Appunti Analisi Fourier

  • View
    221

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Appunti Analisi Fourier

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    1/163

    Corso di Laurea in Matematica

    Appunti

    Analisi di Fourier 2

    Francesca Astengo

    Universita di Genova, A.A. 2011/2012

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    2/163

    Edito in proprio.Sono stati adempiuti gli obblighi di legge,in ottemperanza allart. 1, D. Lgs. Lgt. n. 660/1945

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    3/163

    Indice

    Capitolo 1. La Trasformata di Fourier 11. Lo spazio euclideo Rd 11.1. Integrazione 31.2. Criteri di integrabilita locale e globale 52. La convoluzione 72.1. Mean filter 132.2. Gaussian filter 132.3. Laplacian of Gaussian 143. Il Teorema di Riesz Thorin e prime applicazioni 164. Identita approssimate 215. La Trasformata di Fourier: il Caso di L1 e lo spazio di Schwartz 246. La formula di inversione 327. Trasformata di funzioni Lp, 1 < p 2 348. Teoremi di incertezza 379. Applicazioni 449.1. Trasformate di immagini 459.2. Filtri 499.3. Riconoscimento caratteri 509.4. Calcolare il diametro di una stella 519.5. Equazione di Laplace sul semipiano 539.6. Equazione del calore 559.7. Equazione delle onde 559.8. Diffrazione 5610. Esercizi 61

    Capitolo 2. Armoniche sferiche 651. Il caso di R2 652. Il caso di Rd 702.1. Polinomi omogenei e armoniche sferiche 702.2. Armoniche sferiche zonali 742.3. Polinomi di Gegenbauer 802.4. Decomposizione di L2(Rd) 833. Esercizi 86

    Capitolo 3. Wavelet 871. La WFT o STFT 881.1. Pregi 901.2. Difetti 922. La CWT 95

    i

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    4/163

    2.1. Alcuni scalogrammi 1002.2. Rettangoli di Heisenberg 1052.3. Un confronto tra STFT e CWT 107

    2.4. Studio della regolarita 1103. Analisi Multi-Risoluzione (MRA) 1113.1. Basi di Riesz 1113.2. MRA 1134. Wavelet generate da una MRA 1204.1. Risoluzione e dettagli 1214.2. Filtro passa-basso 1224.3. Generazione di wavelet ortonormali 1234.4. Wavelet ortonormali e condizione di ammissibilita 1285. Wavelet ortonormali a banda limitata 1295.1. La Shannon wavelet 129

    5.2. Meyer Wavelet 1305.3. Una proprieta delle wavelet a banda limitata 1325.4. Journe wavelet 1366. Lalgoritmo di Mallat 1406.1. Rimozione del rumore 1467. Altri esempi di wavelet ortonormali 1477.1. Spline di ordine 1 e la Franklin wavelet 1477.2. Splines di ordine piu alto e BattleLemarie wavelet 1507.3. Daubechies wavelet 1508. Cenno al caso di dimensione maggiore 1529. Esercizi 155

    Elenco delle Figure 157

    Riferimenti bibliografici 159

    ii

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    5/163

    CAPITOLO 1

    La Trasformata di Fourier

    Nel corso di Analisi di Fourier avete gia visto in cosa consiste il metodo della trasformatadi Fourier. In questo capitolo ci occupiamo del caso multidimensionale, ovvero tratteremoprevalentemente della trasformata di funzioni su Rd con d > 1. La teoria si arricchisce percheentra in gioco linterazione con il gruppo delle rotazioni.

    1. Lo spazio euclideo Rd

    Indichiamo con Rd linsieme delle d-uple di numeri reali (x1, . . . , xd) con xj in R per j =1, . . . , d. Per quanto sia comodo scrivere la d-upla in riga, in realta stiamo trattando vettoricolonna.

    Ricordiamo che Rd e uno spazio vettoriale rispetto alladdizione dei vettori componente percomponente e alla moltiplicazione per scalari anchessa componente per componente.

    Dato x = (x1, . . . , xd) in Rd, definiamo la norma di x come

    |x| = (x21 + + x2d)1/2

    ossia come la lunghezza del vettore x. Il prodotto interno sara denotato con il puntino

    x y = x1y1 + + xdyd = txye quindi |x|2 = x x.

    Se = (1, . . . , d) e un multiindice in Nd, definiamo il monomio

    x

    = x

    1

    1 xd

    d

    e loperatore differenziale

    = 11 ddInfine || = 1 + + d.

    Ci sono importanti gruppi di simmetrie per lanalisi su Rd:

    traslazioni dilatazioni

    rotazioni

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    6/163

    2 Capitolo 1

    Probabilmente avete gia visto limportanza delle traslazioni e delle dilatazioni nel caso uni-dimensionale.

    Una rotazione e una trasformazione lineare che conserva il prodotto interno e si descrivemediante una matrice R del gruppo ortogonale O(d). In formule, una rotazione e una mappa : Rd Rd lineare, quindi, rispetto alla base canonica di Rd a e associata una matriceche chiamo R:

    (x) = R x x Rd;inoltre conserva il prodotto interno, ossia

    ((x)) ((y)) = x y x, y Rd.In termini della matrice R questo vuol dire che

    Rx Ry = x y x, y Rd

    t

    RR = IRd,quindi R e una rotazione se e solo se tR = R1. Si denota con O(d) linsieme delle matricireali R quadrate di ordine d tali che tR = R1. Rispetto al prodotto di matrici O(d) e ungruppo che viene detto gruppo ortogonale.

    Si noti che una mappa lineare e una rotazione se e solo se conserva le distanze, ossia se esolo se |(x)| = |x| per ogni x in Rd.

    Infine, det = det R = 1. Quando det = 1, la rotazione e una rotazione propria e lamatrice R associata fa parte di SO(d), il gruppo ortogonale speciale; altrimenti la rotazione

    si dice impropria.

    Sulla retta reale R ci sono solo due rotazioni, lidentita e la riflessione x x. Invece indimensione maggiore il gruppo delle rotazioni e molto piu ricco e interessante e per questoci aspettiamo che giochi un ruolo fondamentale nello studio dellanalisi su Rd. Inoltre moltidegli operatori fondamentali che si studiano in Rd presentano una simmetria rispetto algruppo delle rotazioni. Ad esempio, il laplaciano =

    dj=1

    2j commuta con lazione del

    gruppo delle rotazioni in questo senso:

    (f(R))(x) = (f)(R(x)) x Rn, f C(Rd).Esempio

    1.1.

    InR2

    possiamo descrivere il gruppo delle rotazioni anche usando lidentificazionecol piano complesso. Spero vi sia noto che

    SO(2) =

    R =

    cos sin sin cos

    : R

    e che

    O(2) = SO(2) {U R : R SO(2)} dove U =

    1 00 1

    ,

    ovvero ogni rotazione di R2 e una rotazione propria associata alla matrice R (che ruotadi un angolo in senso antiorario) oppure e composizione di una rotazione propria e dellariflessione rispetto allasse delle y.

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    7/163

    1.1 Lo spazio euclideo Rd 3

    Chiamiamo c : R2 C lidentificazione col piano complesso, ossia la mappa

    c xy = x + iy x, y R.Sia : R2 R2 la rotazione propria associata alla matrice R. Analizziamo la mappa = c1 c : C C. Si ha

    (x + iy) = c

    xy

    = c

    xy

    = c

    cos x sin ysin x + cos y

    = (cos x sin y) + i(sin x + cos y)= (cos + i sin )(x + iy) = ei(x + iy),

    ossia coincide con la moltiplicazione per ei.

    Se invece consideriamo : R2 R2 la rotazione associata alla matrice U e analizziamo lamappa otteniamo

    (x + iy) = c

    xy

    = c

    U

    xy

    = c

    x

    y

    = x iy

    ossia coincide con il coniugio.

    Identificando R2 con il piano complesso, una rotazione propria e allora la moltiplicazioneper ei con opportuno; una rotazione impropria e la composizione del coniugio con unarotazione propria.

    Esempio 1.2. In R3 una rotazione propria ha sempre un asse di rotazione, ossia esiste unvettore h in R3 tale che Rh = h e inoltre R e una rotazione sul piano ortogonale a h. Se inveceR e impropria, allora R e propria, ossia una rotazione impropria si ottiene componendouna rotazione propria con la simmetria rispetto allorigine.

    Esempio 1.3. Un modo ovvio di ottenere una rotazione in Rd e quello di scegliere due basiortonormali e di mandare base ortonormale in base ortonormale.

    1.1. Integrazione. In tutto il corso, se non diversamente specificato, ci riferiremo sem-

    pre alla algebra e alla misura di Lebesgue.

    Sia f una funzione integrabile (ossia Lebesgue misurabile e assolutamente integrabile su Rd

    rispetto alla misura di Lebesgue). Allora se yf(x) = f(x y) con y in Rd si haRd

    yf(x) dx =

    Rd

    f(x) dx.

    Se rf(x) = rd f(x/r) con r > 0, allora

    Rdrf(x) dx =

    Rdf(x) dx.

  • 8/22/2019 Appunti Analisi Fourier

    8/163

    4 Capitolo 1

    Infine, se R e una rotazione, indichiamo con Rf la funzione ruotata, ovvero (Rf)(x) =f(R1x). Allora

    Rd(Rf)(x) dx = Rd f(x) dx.Vi ricordo le formule di integrazione in coordinate polari. Iniziamo dai casi semplici e notidi d = 2, 3.

    Esempio 1.4. In R2 le coordinate polari sono determinate dal cambio di variabilix = r cos

    y = r sin

    con r 0 e [0, 2). Questa risulta essere una trasformazione con determinante Jacobianor e invertibile tra laperto (r, ) (0, ) (0, 2) e

    R2

    privato di una semiretta. Siccome laporzione di piano che stiamo trascurando ha misura nulla, possiamo scrivere cheR2

    f(x, y) dxdy =

    20

    0

    f(r cos , r sin ) rdrd.

    Esempio 1.5. In R3 le coordinate polari sono determinate dal cambio di variabili

    x = r sin cos

    y = r sin sin

    z = r cos

    con r

    0,

    [0, ] e

    [0, 2). Questa risulta essere una trasformazione con de-

    terminante Jacobiano r2 sin e invertibile tra laperto (r,,) (0, ) (0, ) (0, 2)e R3 \ {(x, 0, z) : x 0, z R} Siccome la porzione di spazio che stiamo trascurando hamisura nulla, possiamo scrivere che

    R3f(x, y, z ) dxdydz=

    20

    0

    0

    f(r sin cos , r sin sin , r cos ) r2 sin drdd.

    In Rd il passaggio a coordinate polari e definito da

    x1 = r cos 1

    x2 = r sin 1 cos 2

    x3 = r sin 1 sin 2 cos 3...

    xd1 = r sin 1 sin 2 sin d2 cos xd = r sin 1 sin 2 sin d2 sin

    r [0, +), j [0, ], [0, 2).

    Si puo dimostrare che il determinante jacobiano di questa trasformazione e

    rd1 (sin 1)d2 (sin 2)d3 sin d2Indichiamo piu brevemente con d() lelemento di supe