appunti analisi 1

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Text of appunti analisi 1

  • Registro delle lezioni del corso di Analisi MatematicaUniversita di Firenze - Scuola di Ingegneria

    Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica MZa.a. 2013/14 - Prof. M.Patrizia Pera

    Prima parte

    1a settimana - dal 16.9.13

    Testo di riferimento :- Anichini G. Conti G., Analisi Matematica 1, Pearson Education, 2008.

    - Anichini G. Conti G., Analisi Matematica 2, Pearson Education, 2010.

    Testi consigliati per consultazione :- Bertsch M. Dal Passo R. Giacomelli L., Analisi Matematica, McGraw Hill,Milano 2011.

    - Giaquinta M. Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di unavariabile, Pitagora Editrice, Bologna 2005.

    - Giaquinta M. Modica G., Note di Analisi Matematica. Funzioni di piuvariabili, Pitagora Editrice, Bologna 2006.

    Testo consigliato per i prerequisiti:- Anichini G. Carbone A. Chiarelli P. Conti G., Precorso di Matematica,Pearson Education, 2010.

    Testi consigliati per esercizi:- Benevieri P., Esercizi di Analisi Matematica, Ed. De Agostini, 2007.

    - Marcellini P. Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 1, Liguori Editore.

    - Marcellini P. Sbordone C., Esercitazioni di Matematica 2, Liguori Editore.

    - Salsa S. Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 1, Zanichelli, 2011.

    - Salsa S. Squellati A., Esercizi di Analisi Matematica 2, Zanichelli, 2011.

    Cenni di teoria degli insiemi. Vari modi per rappresentare un insieme. Unionee intersezione di due insiemi. Sottoinsiemi di un insieme. Sottoinsieme proprio.Insieme vuoto. Complementare di un insieme (rispetto ad un universo assegnato).Leggi di De Morgan. Differenza tra due insiemi.

    Versione del 12 novembre 2013 1

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    Cenno ai quantificatori: esiste () e per ogni ().Cenno ai connettivi logici: e (), o (), implica ( = ), equivale o see solo se ( ).

    Ricordiamo che in un teorema nella forma A = B, la proposizione A si chiamaipotesi e la B si dice tesi. Il teorema afferma che un solo fatto non si puo verificare:che sia falsa B e vera A. Quando A e falsa, A = B e vera.Esempio. La proposizione dato un qualunque numero reale positivo esiste unnumero naturale che lo supera si puo scrivere

    x R, x > 0, n N : n > x.

    Esempio.

    1. La proposizione (detta anche enunciato o affermazione) se un numero emaggiore di 10, allora e maggiore di 7 si puo scrivere

    a > 10 = a > 7 .

    2. La proposizione se un numero e maggiore di 10, allora non e minore di 0si puo scrivere

    a > 10 6= a < 0 .

    Esempio. La proposizione a b e equivalente a 3a 3b si puo scrivere

    a b 3a 3b .

    Richiami sulla nozione di condizione necessaria e di condizione sufficiente e sullanegazione di una affermazione.

    Esempio. Condizione necessaria perche risulti a > 10 e che si abbia a > 7. Sipuo anche dire che a > 10 e condizione sufficiente (ma non necessaria!) percherisulti a > 7.

    Esempio. La negazione della affermazione tutti gli studenti di questaula hannoi capelli neri e esiste (almeno) uno studente di questaula che non ha i capellineri.

    Esempio. La negazione della affermazione tutti gli studenti di questaula sonoiscritti a Ingegneria e hanno i capelli neri e esiste (almeno) uno studente diquestaula che non e iscritto a Ingegneria o che non ha i capelli neri.

    Versione del 12 novembre 2013 2

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    Esempio. La negazione della seguente proposizione

    x > 0 y > 0 : x+ y < 1

    e x > 0 : y > 0 = x+ y 1.

    Versione del 12 novembre 2013 3

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    2a settimana - dal 23.9.13

    Definizione. Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A e B linsieme, denotatocol simbolo A B, costituito dalle coppie ordinate (x, y) con x A e y B. Ilprodotto cartesiano AA si denota anche con A2. Analogamente, A3 e linsiemedelle terne ordinate degli elementi di A.

    Definizione. Unoperazione binaria in un insieme X e una legge che ad ognicoppia (x1, x2) di X X associa un elemento di X.Negli insiemi numerici, esempi di operazioni binarie sono la addizione (+) e lamoltiplicazione ().Nellinsieme Q dei numeri razionali laddizione e la moltiplicazione determina-no una struttura algebrica con le seguenti proprieta: associativa, commutativa,distributiva, esistenza e unicita dellelemento neutro rispetto alla somma (0) erispetto al prodotto (1), esistenza e unicita dellopposto e esistenza e unicitadellinverso di ogni numero diverso da 0.

    I numeri naturali (N) e i numeri interi (Z) possono essere pensati sottoinsiemi diQ.Osserviamo che in N e in Z alcune delle precedenti proprieta non valgono. Inumeri razionali si rappresentano spesso in forma decimale (si dice anche in base10) e, anzi, si puo far vedere che linsieme Q puo essere identificato con gli alli-neamenti o limitati (cioe con un numero finito di cifre decimali non nulle) oppureperiodici propri (cioe periodici con periodo diverso da 9).

    Esercizio. Dedurre dalle proprieta della struttura algebrica di Q che:

    1. a 0 = 0, a

    2. (a) b = (a b), a, b

    3. (a) (b) = a b, a, b

    4. a b = 0 = (a = 0) (b = 0) (legge di annullamento del prodotto)

    Nellinsieme Q si definisce anche un ordinamento, che si indica con , e chesoddisfa le seguenti proprieta:

    a b oppure b a a, b (dicotomia)

    a a, a (proprieta riflessiva)

    a b e b a = a = b (proprieta antisimmetrica)

    Versione del 12 novembre 2013 4

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    a b e b c = a c (proprieta transitiva)

    a b = a+ c b+ c, c (compatibilita con la somma)

    a b e 0 c = a c b c , (compatibilita con il prodotto)

    Definizione. Definiamo a b se b a.Definizione. Definiamo a < b se a b e a 6= b.Osservazioni sul significato dei simboli di minore e di minore o uguale. Ad esempiole disuguaglianze 2 3, 2 2, 2 < 3 sono tutte e tre vere.Esercizio. Dedurre dagli assiomi precedenti i seguenti fatti

    a 0 a 0,

    a b e c 0 = ac bc,

    a2 0 per ogni a R,

    Siano a, b 0. Si ha a b a2 b2.

    Eviteremo in questo corso di affrontare il problema di definire e costruire il sistemadei numeri reali, che si indica con R. Tale problema, che nasce dalle osservazionidei Pitagorici sullesistenza di grandezze incommensurabili, ha richiesto secoli distudi e approfondimenti fino ad ottenere una sistemazione soddisfacente nei primianni del secolo scorso con i contributi di Dedekind e Cantor. Ci limiteremo quia osservare che dal punto di vista della struttura algebrica e dellordinamento,gli assiomi che permettono di costruire i numeri reali sono gli stessi introdotti inprecedenza nei numeri razionali. Enunceremo in seguito lassioma di completezza,una proprieta che differenzia i numeri reali dai razionali.

    Proviamo intanto il seguente risultato

    Teorema. Lequazione x2 = 2 non ha soluzione nei razionali.

    Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale x taleche x2 = 2. Senza perdere in generalita possiamo supporre che x sia positivo epossiamo scriverlo nella forma x = p/q con p e q primi tra loro. Si ha

    p2 = 2q2 ,

    per cui p2 e pari e, quindi, p e pari (e facile infatti verificare che il quadrato di unnumero dispari e un numero dispari). Di conseguenza, p = 2r per qualche r N.Sostituendo nelluguaglianza precedente si ottiene

    4r2 = 2q2 ,

    Versione del 12 novembre 2013 5

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    da cui q2 e, quindi, q sono pari. Questo e assurdo, perche p e q sono primi fraloro e, pertanto, non possono essere entrambi pari.

    Vedremo tra poco che la proprieta di completezza garantisce che in R un talex > 0 esiste. Esso si denota con

    2 e, ovviamente, non e un numero raziona-

    le. Linsieme dei numeri reali non razionali, i cosiddetti numeri irrazionali, siindica con R\Q. Nella rappresentazione decimale, i numeri irrazionali sono gliallineamenti illimitati non periodici.

    Un ruolo essenziale nella teoria dei numeri reali e svolto dallassioma di Dedekind.

    Definizione. Una sezione in R e una coppia (A,B) di sottoinsiemi non vuoti diR che soddisfano le seguenti proprieta:

    1. A B = , A B = R ;

    2. a A e b B si ha a < b .

    Assioma di Dedekind. Per ogni sezione (A,B) di R esiste un numero reale s taleche

    a s b ,

    per ogni a A , b B .Il numero s e detto elemento separatore delle classi A e B.

    Osservazione. Esistono sezioni dei razionali prive di elemento separatore. Adesempio consideriamo la sezione

    A = {x Q : x 0}{x Q : x > 0 e x2 2}, B = {x Q : x > 0 e x2 > 2}.

    Leventuale elemento separatore s di tale sezione dovrebbe soddisfare lequaziones2 = 2 che, per quanto dimostrato in precedenza, non ha soluzioni in Q .

    Definizione. Un sottoinsieme di R con la proprieta che se contiene due punti,contiene anche tutti i punti intermedi si dice un intervallo di R. In altre parole,I R e un intervallo se e vera la seguente proposizione: (x1, x2 I) (x1 < x 00 se x = 01 se x < 0

    Esempio.sign 3 = +1 sign(2) = 1.

    Versione del 12 novembre 2013 7

  • Analisi Matematica c.l. Ing. Meccanica MZ a.a. 2013/14 M.P.Pera

    Esercizio. Verificare che per ogni x R risulta

    |x| = (signx)x .

    Le proprieta fondamentali del valore assoluto sono:

    1. |x| 0;

    2. |x| = 0 x = 0;

    3. |x1 + x2| |x1|+ |x2| (disuguaglianza triangolare).

    Ulteriori proprieta del valore assoluto che si deducono dalle precedenti sono:

    4. ||x1| |x2|| |x1 x2|;5. |x1x2| = |x1||x2|.Definizione. Dati x1, x2 R, il numero (ovviamente non negativo) |x1 x2|