Appunti di analisi Appunti di analisi armonica Tommaso R. Cesari APPUNTI NON UFFICIALI 1 (Analisi armonica

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    Appunti di analisi armonica

    Tommaso R. Cesari

    APPUNTI NON UFFICIALI1

    (Analisi armonica - corso di Maura Salvatori e Marco Vignati)

    1 Nota del redattore

    Questi appunti sono stati scritti da me durante il Corso (A.A. 2012-2013). Sono assoluta- mente indipendenti dall'iniziativa del Docente. Di queste carte non è fornita alcuna garanzia esplicita o implicita di correttezza o di completezza. In particolare, è assai probabile che ri- sultino presenti numerosi errori delle tipologie più svariate, in primo luogo concettuali, dovuti all'imperizia del curatore. Si sottolinea inoltre che non vi è stato da parte mia alcuno sforzo per rendere gli argomenti formalmente corretti, né tanto meno per dare loro una veste chiara e lineare. Usate dunque le informazioni qui contenute a vostro rischio e pericolo. Tommaso R. Cesari

  • Indice

    1 Serie di Fourier 4 1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Sistemi trigonometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Convergenza in media quadratica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    1.4.1 Richiami sulla teoria degli spazi di Hilbert . . . . . . . . . 17 1.5 A-convergenza (serie numeriche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.5.1 Cesaro-sommabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.5.2 Abel-sommabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    1.6 Convergenza di Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.1 Medie di Cesaro e nucleo di Fejér . . . . . . . . . . . . . . 26 1.6.2 Medie di Abel-Poisson e nucleo di Poisson . . . . . . . . . 29

    1.7 Due applicazioni pratiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7.1 Il problema di Didone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.7.2 Temperatura sottoterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2 Trasformata di Fourier 41 2.1 Introduzione e motivazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2 Il teorema di inversione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

    2.2.1 Sommabilità in norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.2.2 Iniettività e suriettività di F in L1 . . . . . . . . . . . . . 59

    2.3 Trasformata di Fourier in Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.1 Lo spazio di Schwartz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3.2 Topologia dello spazio di Schwartz . . . . . . . . . . . . . 62 2.3.3 La trasformata di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.3.4 La trasformata di Fourier in Lp, p ∈ [1, 2] . . . . . . . . . 71

    2.4 Spazio delle distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.4.1 Esempi di distribuzioni temperate . . . . . . . . . . . . . 77 2.4.2 Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.4.3 Trasformata di Fourier di una distribuzione temperata . . 83 2.4.4 Convoluzione tra S ′ e S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

    2.5 Formula di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.5.1 Caso S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.5.2 Caso L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

  • INDICE 3

    2.6 Principio di indeterminazione di Heisenberg . . . . . . . . . . . . 95 2.7 Teorema di campionamento di Shannon . . . . . . . . . . . . . . 99 2.8 Trasformata di Fourier �nestra e basi di Gabor . . . . . . . . . . 103 2.9 Teoria delle ondine (accenni) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    3 Convergenza in norma di Serie di Fourier 113 3.1 Il problema della convergenza in norma . . . . . . . . . . . . . . 113 3.2 Coniugio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

    3.2.1 Estensione del coniugio ad L1 . . . . . . . . . . . . . . . . 125 3.3 Serie di Fourier in più dimensioni (accenni) . . . . . . . . . . . . 135

  • Capitolo 1

    Serie di Fourier

    1.1 Introduzione

    De�nizione 1 (Funzione periodica). Siano f : R→ R e T ∈ R. Si dice che f è T -periodica se per ogni x ∈ R

    f (x+ T ) = f (x) .

    Osservazione 2. È chiaro che, se f è T -periodica, per ogni U ∈ R \ {0}, anche la funzione f

    ( T U · ) è U -periodica. Senza perdere in generalità è dunque

    possibile �ssare un periodo �comodo� una volta per tutte e costruire la teoria attorno ad esso. Da qui in poi, tranne che quando diversamente speci�cato, si �sserà T = 2π.

    Notazione 3 (Q). Nel corso di queste dispense si utilizzerà sistematicamente la notazione

    Q := [−π, π).

    Osservazione 4. È chiaro che se una funzione 2π-periodica è nota in Q, allora è nota su tutto R.

    Osservazione 5. Si noti che Q è in corrispondenza biunivoca1 col toro T := R/2πZ, che è omeomeorfo all'insieme dei punti di bordo del cerchio unitario{ eiϑ ∣∣ ϑ ∈ Q}.

    Notazione 6 (Cper). Nel corso di queste dispense si utilizzerà sistematicamente la notazione

    Cper (R) := {f : R→ R | f continua e 2π-periodica} .

    Osservazione 7. Dato l'ovvio isomor�smo tra gli spazi seguenti, con un abuso di notazione si scrive

    Cper (R) = C (T) = C ({ eiϑ ∣∣ ϑ ∈ Q}) .

    1Ma non bicontinua!

  • 1.2 Sistemi trigonometrici 5

    Notazione 8 (Lp). Sia p ∈ [1,∞]. Con Lp (Q) si indica lo spazio delle funzioni f : R→ R 2π-periodiche, Lebesgue-misurabili e tali che

    1

    (ˆ Q

    |f (x)|p dx )1/p

    < +∞,

    quozientato rispetto all'uguaglianza quasi ovunque. Su Lp (Q) si de�nisce la norma

    ‖·‖p : L p (Q) → [0,+∞) ,

    f 7→ ‖f‖p := 1

    (ˆ Q

    |f (x)|p dx )1/p

    .

    Osservazione 9. Sia p ∈ [1,∞]. Dalle note inclusioni tra spazi Lp su insiemi di misura �nita segue che

    L1 (Q) ⊃ Lp (Q) ⊃ L∞ (Q) ,

    da cui (proprio grazie al fatto che la misura è normalizzata)

    ‖f‖1 ≤ ‖f‖p ≤ ‖f‖∞ .

    Notazione 10. Data l'ovvia isometria tra gli spazi seguenti, con un abuso di notazione si scriverà talvolta Lp (T) in luogo di Lp (Q). Con un usuale abuso di notazione si tratteranno inoltre indi�erentemente le classi di equivalenza in Lp (Q) e le funzioni che le rappresentano. In�ne, anche se per funzioni in Lp (T) si dovrebbe scrivere

    ´ T f ( eit )

    dt, si scriverà talvolta ´ Q f (x) dx.

    1.2 Sistemi trigonometrici

    De�nizione 11 (Sistema trigonometrico reale). La famiglia (numerabile) di funzioni

    {1, cos (n · ) , sin (n · )}n∈N prende il nome di sistema trigonometrico (reale).

    Osservazione 12. Quello precedente è un sistema ortogonale, cioè il prodotto a due a due di funzioni distinte ha integrale nullo e l'integrale del quadrato di ogni funzione è uguale ad 1.

    De�nizione 13 (Polinomio trigonometrico (reale)). Sia N ∈ N. Si dice che T : R→ R è un polinomio trigonometrico (reale) di grado N se esistono 2N + 1 costanti a0, a1, . . . , aN , b1, . . . , bN ∈ R tali che, per ogni x ∈ R

    T (x) = a0 2

    +

    N∑ n=1

    (an cos (nx) + bn sin (nx))

    e almeno uno tra aN e bN è diverso da zero2. 2Ovvero se è una combinazione lineare dei primi N elementi del sistema trigonometrico

    reale.

  • 1.2 Sistemi trigonometrici 6

    Problema 14. Supponendo che il membro di destra nella formula seguente converga puntualmente su R, la funzione somma S, de�nita per ogni x ∈ R da

    S (x) := a0 2

    +

    ∞∑ n=1

    (an cos (nx) + bn sin (nx)) ,

    è certamente 2π-periodica. Quali altre proprietà possiede?

    Teorema 15. Siano {an}+∞n=0 , {bn} +∞ n=1 ⊂ R. Se le serie numeriche

    ∑+∞ n=0 |an|

    e ∑+∞ n=1 |bn| convergono, allora la serie trigonometrica (reale)

    x 7→ S (x) := a0 2

    +

    ∞∑ n=1

    (an cos (nx) + bn sin (nx))

    converge totalmente su R, dunque S ∈ Cper (R).

    Dimostrazione. Ovvia.

    Teorema 16 (Dirichlet). Siano {αn}n∈N ⊂ R e {γn}n∈N ⊂ C. Se per n→ +∞, αn ↘ 0 e le somme parziali

    {∑N n=1 γn

    } N∈N

    ⊂ C sono equilimitate 3, allora la serie

    +∞∑ n=1

    αnγn

    converge.

    Corollario 17 (Teorema di Dirichlet-Abel). Se {dn}n∈N ⊂ R e per n → +∞, dn ↘ 0, allora le serie numeriche

    x 7→ +∞∑ n=1

    dn cos (nx) e x 7→ +∞∑ n=1

    dn sin (nx)

    convergono puntualmente su [−π, π] \ {0}.

    Dimostrazione. Segue dal Teorema di Dirichlet. Basta �ssare x ∈ [−π, π] \ {0}, de�nire per ogni n ∈ N

    γn := e inx (6= 1)

    ed osservare che per ogni N ∈ N∣∣∣∣∣ N∑ n=1

    einx

    ∣∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣eix

    N−1∑ n=0

    ( eix )n∣∣∣∣∣ = ∣∣eix∣∣

    ∣∣∣∣eiNx − 1eix − 1 ∣∣∣∣

    ≤ 2 |eix − 1|

    =: C.

    3I.e. se esiste C > 0 tale che per ogni N ∈ N, ∣∣∣∑Nn=1 γn∣∣∣ ≤ C.

  • 1.2 Sistemi trigonometrici 7

    Osservazione 18. Chiaramente se x = 0 la serie del coseno non converge in generale, mentre quella del seno converge banalmente a 0.

    Esempio 19. Per ogni α > 0 la serie

    +∞∑ n=1

    sin (nx)

    converge puntualmente su [−π, π].

    De�nizione 20 (Sistema trigonometrico complesso). La famiglia (numerabile) di funzioni {

    eik( · ) } n∈Z

    prende il nome di sistema trigonometrico (complesso). Per ogni k ∈ Z, l'ele- mento eik(·) viene talvolta detto k-esimo carattere.

    De�nizione 21 (Polinomio trigonomet