Rodolfo Figari 25 marzo 2013 - people.na.infn.itpeople.na.infn.it/~figari/appunti/Capitolo I Analisi Complessa.pdf · Capitolo 1 Analisi Complessa 1.1 Richiami sui numeri complessi

Appunti di Metodi

Rodolfo Figari

25 marzo 2013

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Indice

1 Analisi Complessa 51.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Funzioni olomorfe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 I polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2.2 La funzione esponenziale e le funzioni trigonometriche . 161.2.3 La funzione logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.4 Potenze e radici in notazione esponenziale . . . . . . . 19

1.3 Teorema e Formula di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Teorema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Formula di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.4 Funzioni analitiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5 Singolarita isolate e Serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . 361.6 Classificazione delle Singolarita Isolate . . . . . . . . . . . . . 37

1.6.1 Il teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.6.2 Calcolo di Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

A Successioni, serie numeriche e serie di potenze 45A.1 Definizioni sulle successioni numeriche a valori reali . . . . . . 45A.2 Successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.3 Serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A.4 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48A.5 Serie di potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

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4 INDICE

Capitolo 1

Analisi Complessa

1.1 Richiami sui numeri complessi

1.1.1 Algebra

All’insieme R2 delle coppie di numeri reali si puo dare la struttura di campo1

introducendo le due seguenti operazioni:

somma z1 ≡ (x1, y1), z2 ≡ (x2, y2), x1, y1, x2, y2 ∈ R

z1 + z2 ≡ (x1 + x2, y1 + y2)

prodotto z1 ≡ (x1, y1), z2 ≡ (x2, y2), x1, y1, x2, y2 ∈ R

z1z2 ≡ (x1 x2 − y1 y2, x1 y2 + x2 y1)

La commutativita, associativita e la distributivita tra le due operazioni disomma e prodotto di numeri complessi sono provate riportandole alle analo-ghe proprieta valide per i numeri reali. E un utile esercizio provarle

commutativita z1 + z2 = z2 + z1; z1 z2 = z2 z1

associativita z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 ≡ z1 + z2 + z3

z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3 ≡ z1 z2 z3

distributivita (z1 + z2) z3 = z1 z3 + z2 z3

1per la definizione di campo vedi per esempio ([2])

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6 CAPITOLO 1. ANALISI COMPLESSA

L’elemento neutro per la somma e l’elemento (0, 0) ed ogni coppia z ≡ (x, y)ammette uno ed un solo opposto −z ≡ (−x,−y).L’elemento neutro per il prodotto e l’elemento (1, 0) e ogni coppia z ≡ (x, y)

diversa da (0, 0) ammette uno ed un solo inverso1

z=

(x

x2 + y2,− y

x2 + y2

).

Il campo cosı costruito verra indicato con C e denominato campo deinumeri complessi.

L’insieme dei numeri complessi della forma (x, 0) e naturalmente isomorfo aR e viene indicato come il sottoinsieme dei numeri complessi reali.Il sottoinsieme dei numeri complessi della forma (0, y) e analogamente iso-morfo ad R e indicato come il sottoinsieme dei numeri complessi puramenteimmaginari.Del numero complesso z ≡ (x, y), x verra chiamata la parte reale (spessoindicata con Re z) ed y la parte immaginaria (spesso indicata con Im z).

Come e noto la notazione piu utilizzata per i numeri complessi e quella chesi ottiene introducendo il simbolo ı, unita immaginaria

- usando la notazione z ≡ (x, y) ≡ x+ ı y

- assumendo distributivita di questa “somma” rispetto al prodotto

- assumendo la regola ı ı = −1

Il campo dei numeri complessi cosı costruito non e ordinato (come R).

in C esiste la soluzione (in effetti le soluzioni) di z2 = −1 essendo

(0, 1)(0, 1) ≡ ı ı ≡ (−1, 0) ≡ −1 = (−ı) (−ı) = (0,−1)(0,−1)

In C e possibile definire una coniugazione che ad ogni z = (x, y) ≡ x+ ıy ∈ Cassocia il suo complesso coniugato z ≡ (x,−y) ≡ x− ı y con la proprietache z = z (involuzione).

Il modulo o valore assoluto di un numero complesso z ≡ (x, y) ≡ x + ı ye definito come la radice quadrata positiva di x2 + y2

|z| =√x2 + y2 =

√z z

E facile verificare le seguenti uguaglianze e disuguaglianze

i) Re z =z + z

2, Im z =

z − z2 ı

1.1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI 7

ii) (z1 + z2) = z1 + z2

iii) z1 z2 = z1 z2

iv) −|z| 6 Re z 6 |z|, −|z| 6 Im z 6 |z|

v) |z1+z2|2 = |z1|2+|z2|2+2 Re(z1z2) 6 |z1|2+|z2|2+2|z1||z2| = (|z1|+|z2|)2

vi) |z1 + z2| > ||z1| − |z2||

La disuguaglianza v) (disuguaglianza triangolare) assicura che il valoreassoluto sia una norma (ne parleremo estesamente in seguito in un ambitopiu generale) in C essendo:

∀z ∈ C, |z| > 0 e inoltre |z| = 0⇐⇒ z = 0

e∀z1, z2 ∈ C |z1 + z2| 6 |z1|+ |z2|

con l’uguaglianza verificata solo nel caso in cuix1

x2

=y1

y2

con z1 ≡ (x1, y1) e

z2 = (x2, y2).In C e quindi definibile una distanza

dist(z1, z2) = |z1 − z2| = |z2 − z1| ∀z1, z2 ∈ C

che coincide con la distanza euclidea in R2:

dist[(x1, y1)− (x2, y2)] =√

(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2.

E noto che rispetto a questa distanza R2 e quindi C e completo: ogni suc-cessione di Cauchy in C e convergente ad uno (ed uno solo) elemento diC.

1.1.2 Geometria

Ogni elemento z = x + ıy ∈ C puo essere rappresentato come un punto delpiano euclideo di coordinate x, y rispetto ad un sistema di assi cartesiani orto-gonali. Il piano complesso si riferisce a questa particolare rappresentazionedell’insieme dei numeri complessi.Ogni numero complesso e rappresentato nel piano complesso da un vetto-re del piano (il segmento orientato che congiunge l’origine con il punto di


coordinate (x, y)). Si noti che il vettore non e “applicato” e non dipendedall’origine scelta (ogni segmento orientato che si ottenga per traslazioneparallela rappresenta lo stesso vettore).

La somma di numeri complessi coincide, in questa rappresentazione, con lasomma vettoriale (regola del parallelogramma); parte reale e parte imma-ginaria rispettivamente con le componenti x e y; il valore assoluto con lalunghezza del vettore.La rappresentazione geometrica suggerisce che al numero complesso z ≡x+ ı y possano essere associate le coordinate polari piane del corrispondentevettore: (x, y) =⇒ (ρ, θ)

x = ρ cos θ y = ρ sin θ

z = ρ(cos θ + ı sin θ)

ρ = |z| =√x2 + y2 tan θ =

y

x

con 0 6 ρ <∞, 0 6 θ < 2 π.

Se z1 ≡ (ρ1, θ1) e z2 ≡ (ρ2, θ2) la regola per il prodotto di due numericomplessi si scrive, nelle nuove coordinate

z1 z2 ≡ ρ1ρ2(cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2) + ı ρ1ρ2(cos θ1 sin θ2 + sin θ1 cos θ2)

ovveroz1 z2 = ρ1ρ2 [cos(θ1 + θ2) + ı sin(θ1 + θ2)]

dove la somma degli angoli va intesa come “modulo 2π”. Il prodotto di duenumeri complessi, identificati tramite le loro coordinate polari, si ottiene dun-que moltiplicando i moduli per ottenere il modulo del prodotto e sommando

1.1. RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI 9

gli angoli (modulo 2π) per ottenere la coordinata angolare del prodotto. Inparticolare se z1 = z2 ≡ z si ha

z2 = ρ2(cos(2θ) + ı sin(2θ))

e applicando il risultato piu volte

zn = ρn(cos(nθ) + ı sin(nθ)).

In particolare per ρ = 1 (i numeri complessi del cerchio unitario attornoall’origine) si ottiene la formula di de Moivre

(cos θ + i sin θ)n = cos(n θ) + ı sin(n θ).

Per definire la radice n-sima di un numero complesso cercheremo le solu-zioni di

ξn = z

con ξ = (|ξ|, φ), z = (|z|, θ). Si dovra quindi avere |ξ|n(cos(nφ)+ ı sin(nφ)) =|z|(cos(θ) + ı sin(θ)), che ammette n soluzioni:

ξ ≡ z1n = |z|

1n

(cos

(θ

n+ k

2π

n

)+ ı sin

(θ

n+ k

2π

n

))k = 0, 1, ..., n− 1

Ci sono quindi n radici n-esime del numero complesso z. Tutte sono sul

cerchio di raggio |z|1n e differiscono in angolo di

2π

n.

Come alcuni autori sottolineano (vedi ad esempio [1]) l’interpretazionegeometrica appena accennata e i risultati sull’espressione del prodotto e del-l’elevamento a potenza si basano su definizioni geometriche di angoli e del-le loro funzioni trigonometriche. In una introduzione puramente analiticale stesse quantita dovrebbero avere una definizione indipendente dagli entigeometrici.Nel prossimo paragrafo forniremo l’introduzione analitica. La rappresenta-zione geometrica verra comunque estesamente utilizzata per il suo caratterefortemente intuitivo.

Una differente rappresentazione geometrica (che appena accenniamo, vi-sto che non la utilizzeremo) si ottiene mettendo in corrispondenza i punti delpiano con i punti della “sfera di Riemann” . Le relazioni:


x1 =2Re(z)

|z|2 + 1

z =x1 + ıx2

1− x3

x2 =2Im(z)

|z|2 + 1

x3 =|z|2 − 1

|z|2 + 1

definiscono la trasformazione dei punti z del piano complesso nell’insiemedelle triple (x1, x2, x3) (esclusa la tripla (0, 0, 1)) di una sfera tridimensionale.La corrispondenza geometrica e indicata in figura dove si nota che i punti conx3 > 0 corrispondono ai punti del piano esterni al cerchio equatoriale, mentrei punti con x3 < 0 corrispondono ai punti del piano interni o sul bordo delcerchio equatoriale.

(0,0,1)N

x'

zz' x

y

z

x

L’insieme di tutti i punti della sfera (compreso il “polo nord” (0, 0, 1)) sonoin corrispondenza biunivoca con i punti del piano complesso esteso, ottenutoaggiungendo al piano complesso il “punto all’infinito”, i cui intorni sfericiaperti sono definiti come i punti esterni alle sfere chiuse di centro l’origine.

1.2. FUNZIONI OLOMORFE 11

1.2 Funzioni olomorfe

Analizzeremo le proprieta di una particolare classe di funzioni complesse divariabile complessa:

f : z ∈ C −→ f(z) ∈ C,

che hanno avuto grande importanza in Fisica fondamentale ed applicata.Esempi di funzioni complesse definite su tutto il piano complesso sono:

i) z → z

ii) z → Re z

iii) z → Pn(z) = a0 + a1z + ...+ anzn =

n∑j=0

ajzj; aj ∈ C, ∀j

Altre funzioni sono definite solo su sottoinsiemi di C:

z → 1

zz ∈ C\0; z → 1

zz ∈ C\0; z → 1

Re zz ∈ C\I

con I, asse immaginario: z : Re z = 0.Una funzione complessa f si dice continua in z0 se ∀ε > 0 ∃δ > 0 tale che|z − z0| < δ =⇒ |f(z)− f(z0)| < ε.Se Ω e un sottoinsieme aperto di C ed f e una funzione Ω =⇒ C, continuain z ∈ Ω, ∀z ∈ Ω allora f si dice continua in Ω.

Una funzione complessa f definita in un intorno di z0 ∈ C si dice derivabilein z0 se

limh→0

f(z0 + h)− f(z0)

h≡ f ′(z0) (1.1)

esiste finito (e non dipende da come h tenda a 0).

Una funzione f da Ω, aperto di C, in C derivabile in ogni z ∈ Ω si diceolomorfa e Ω si dira il dominio di olomorfia della funzione f .L’operazione di derivazione e evidentemente lineare ed e facile verificare chevale la regola di Leibniz di derivazione del prodotto: se f e g sono olomorfein Ω allora ∀z ∈ Ω si ha

(f + g)′(z) = f ′(z) + g′(z) (f g)′(z) = f ′(z)g(z) + f(z)g′(z)


Vale la regola di derivazione di funzione di funzione : se f e una funzioneolomorfa sull’aperto Ω ∈ C e g e olomorfa nell’aperto Ω′ ∈ C che contienel’immagine di Ω attraverso f , allora la funzione z → g(f(z)) e olomorfa in Ωe

(g(f))′(z) = g′(f(z)) f ′(z)

Vediamo come la derivabilita espressa nella (1.1) sia una richiesta molto fortesulla funzione f . La (1.1) implica, in effetti, che la f sia differenziabile, chesi abbia cioe

f(z0 + h)− f(z0)− f ′(z0)h = o(|h|) (1.2)

cioe che l’incremento della funzione f intorno a z0, quando ci si “sposta”di h, sia proporzionale ad h, a meno di termini il cui modulo va a 0 piurapidamente di |h|, con un fattore di proporzionalita che non dipende dah 2. Non e quindi semplicemente una richiesta di regolarita dell’incrementoin ogni direzione, ma anche di omogeneita rispetto alla direzione attorno az0.

Piu in dettaglio sia f una funzione olomorfa in Ω aperto di C e sia u = Re f ev = Im f cosicche f(z) = u(z) + ı v(z) = u(x, y) + ı v(x, y) (dove z = x+ ı y).Come conseguenza della derivabilita di f in z0 ∈ Ω, le funzioni reali di duevariabili reali u e v hanno derivate parziali rispetto a x e a y nel punto (x0, y0).Prendendo rispettivamente h reale o puramente immaginario si ha

f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + ı

∂v

∂x(x0, y0)

f ′(z0) = − ı ∂u∂y

(x0, y0) +∂v

∂y(x0, y0)

2

|f(z0 + h)− f(z0)− f ′(z0)h| =

=

∣∣∣∣f(z0 + h)− f(z0)

hh− f ′(z0)h

∣∣∣∣ = |h|∣∣∣∣f(z0 + h)− f(z0)

h− f ′(z0)

∣∣∣∣che dice che il modulo del membro di sinistra della (1.2) e pari a |h| per una funzione cheva a zero per h tendente a zero.


Le derivate parziali in z0 devono quindi soddisfare le relazioni (Condizioni oEquazioni di Cauchy - Riemann)

∂u

∂x=∂v

∂y

∂u

∂y= −∂v

∂x(1.3)

Anticipiamo alcune proprieta delle funzioni olomorfe che proveremo inseguito, ma che sono intuitivamente riconducibili alla proprieta di differen-ziabilita.

Sia z0 un punto nel dominio di olomorfia della funzione f . Assumiamo persemplicita che la derivata di f in z0 non sia nulla: f ′(z0) 6= 0. Il caso generalerichiede conoscenze sulle derivate successive di una funzione olomorfa cheproveremo nei paragrafi successivi.

Si noti che f ′(z0) (z−z0), al variare di z in un intorno di z0 interno al dominiodi olomorfia e un numero complesso le cui parti reale e immaginaria assumonovalori positivi o negativi al variare della direzione di allontanamento di z daz0 nell’intorno. Per esempio prendendo z − z0 = εf ′(z0), con ε numero realepositivo, sufficientemente piccolo da garantire che z sia ancora nel dominiodi olomorfia di f , si ottiene che f ′(z0) (z − z0) e un numero reale positivo(trovare esempi per tutti gli altri casi). Dalla (1.2) si deduce che |f |(z)per z in qualunque intorno sufficientemente piccolo di z0 assumera valori siamaggiori che minori di |f |(z0). Si puo dunque concludere che il modulo diuna funzione olomorfa in un insieme aperto Ω ∈ C non puo avere un massimoo un minimo in un punto interno a Ω in cui la derivata e diversa da zero.

Un analogo ragionamento porta a concludere che se z0 e uno zero di unafunzione olomorfa f e se f ′(z0) 6= 0 allora esiste un intorno di z0 in cui lafunzione f e diversa da zero. z0 e dunque uno zero isolato della funzione.

Vediamo come per i polinomi si possano estendere i risultati elencati prece-dentemente a tutti i punti del dominio di olomorfia (anche cioe dove il valoredella derivata risulti nullo).


1.2.1 I polinomi

Notiamo preliminarmente che la funzione g(z) = zn, per ogni n naturale, euna funzione olomorfa su tutto C. Infatti

(z + h)n = zn + n zn−1 h+n∑j=2

(n

j

)zn−j hj

Si ha quindi g′(z) = n zn−1 che e ancora una funzione olomorfa.

Poiche ogni combinazione lineare, a cofficenti complessi, di funzioni olomorfee olomorfa i polinomi di qualunque grado sono funzioni olomorfe.

Sia Pn(z) =∑n

j=0 aj zj un polinomio di grado n.

Le seguenti proprieta sono facili da verificare

• Pn(z) e derivabile infinite volte e la derivate (n + 1)-sima, assieme atutte le derivate successive, sono nulle,

• se tutte le derivate di Pn sono nulle, allora il polinomio e la funzionecostante Pn(z) = a0,

• per ogni z0 ∈ C il polinomio Pn(z) si puo scrivere come polinomio in(z − z0)

Pn(z) = Pn(z0) +n∑j=1

bj(z0) (z − z0)j

(basta porre z = (z−z0)+z0 in Pn(z), sviluppare le potenze e riordinarein potenze di (z − z0))

• se Pn(z) non e costante e z0 e un suo zero (Pn(z0) = 0) allora esiste unintorno Iz0 di z0 in cui Pn(z) 6= 0 ∀ z ∈ Iz0 .

Infatti deve esistere un m con 1 ≤ m ≤ n tale che la derivata m-sima di Pn calcolata in z0 sia diversa da zero P

(m)n (z0) 6= 0 quando

P(k)n (z0) = 0 ∀k < m.

Una stima della somma di tutti i termini di grado maggiore di mfornisce la disuguaglianza, certamente valida per |z − z0| < 1


|Pn(z) − bm(z0) (z − z0)m| = |n∑

j=m+1

bj(z0)(z − z0)j| (1.4)

≤ K |z − z0|(m+1)

per qualche K costante positiva (verificare che (n − j) sup |bj(z0)|costituisce una scelta sicura). Si ha dunque

|Pn(z)| = |bm(z0) (z − z0)m + Pn(z) − bm(z0) (z − z0)m|≥

∣∣|bm(z0) (z − z0)m| − |Pn(z) − bm(z0) (z − z0)m|∣∣

≥ |bm(z0) (z − z0)m| − K |z − z0|(m+1) > 0

Dove l’ultima disuguaglianza si intende valida per |z − z0| sufficiente-mente piccolo.

In sintesi un polinomio e una funzione olomorfa che

• ammette infinite derivate,

• puo essere scritta come combinazione lineare di potenze di (z − z0)nell’intorno di ogni z0 del dominio di olomorfia,

• puo avere solo zeri isolati.

Vedremo che ogni funzione olomorfa soddisfa le stesse proprieta e possiede,intorno ad ogni punto del dominio di olomorfia, la struttura di un polinomioeventualmente di grado infinito (serie di potenze).

Il rapporto tra due polinomi Pn e Qm di grado rispettivamente m e n

f(z) =Pn(z)

Qm(z)

e genericamente una funzione olomorfa su C privato dei punti zk (isolati comeabbiamo visto) in cui si ha Qm(zk) = 0.Se accade che anche Pn(zk) = 0 e l’ordine dello zero zk di Pn e maggiore ouguale all’ordine dello stesso zero per Qn e plausibile pensare che la funzio-ne possa essere estesa, come funzione olomorfa nel punto zk. Il caso verraaffrontato durante lo studio delle singolarita isolate delle funzioni meromorfe.


1.2.2 La funzione esponenziale e le funzioni trigono-metriche

La funzione esponenziale nel piano complesso e definita come somma dellaserie di potenze

ez ≡∞∑n=0

zn

n!= 1 + z +

z2

2+z3

6+ . . . (1.5)

Dalla formula di Hadamard per il raggio di convergenza e dal calcolodiretto della serie derivata si ha che la funzione ez

• e definita dalla (1.5) in tutto C

• e olomorfa in tutto C

• e l’unica soluzione dell’equazione f ′(z) = f(z) con f(0) = 1

La relazione funzionale all’ultimo punto precedente fornisce una maniera,piu semplice della prova diretta partendo dalla definizione, per dimostrare laprincipale proprieta della funzione esponenziale

ez1 ez2 = ez1+z2 ∀z1, z2 ∈ C

Infatti se per ogni z1 e z2 del piano complesso deriviamo rispetto a z lafunzione olomorfa f(z) ≡ ezez1+z2−z otteniamo

(ezez1+z2−z)′ = ezez1+z2−z − ezez1+z2−z = 0 (1.6)

la f , come funzione delle variabili x = Rez e y = Imz, ha quindi derivateparziali nulle in ogni punto del piano (x, y). E quindi costante ed eguagliandoi valori che essa assume in z = 0 e in z = z1 si ottiene la (1.6)

Naturalmente per valori di z reali z = x + ı0 la funzione ez coincide conla funzione ex studiata in Analisi 1, come si deduce dalla coincidenza delleserie di potenze delle due funzioni per z reale, o dal fatto che entrambesoddisfano la stessa equazione differenziale, con le stesse condizioni sullafunzione nell’origine, sempre per z reali.

La prova delle proprieta che seguono e lasciata al lettore

• ez 6= 0 per ogni z del piano complesso,


• ez = ez,

• |ez| = ex per ogni z = x+ iy. In particolare |eıy| = 1 per ogni y ∈ R.

Siamo ora in grado di definire le funzioni trigonometriche come funzioni divariabile complessa. La definizione, indipendente dalle definizioni di angolo,dovra coincidere con le definizione classiche per valori reali della variabilecomplessa z.

Siano

cos z ≡ eız + e−ız

2

sin z ≡ eız − e−ız

2ı(1.7)

Dalle definizioni precedenti, e dalla definizione di funzione esponenziale, siricavano facilmente le proprieta delle funzioni trigonometriche

•

cos z =∞∑n=0

(−)nz2n

(2n)!= 1− z2

2+z4

24− . . .

sin z =∞∑n=0

(−)nz2n+1

(2n+ 1)!= z − z3

6+

z5

120− . . .

• eız = cos z + ı sin z. Si noti che le funzioni coseno e seno hanno valoricomplessi. In particolare cos z e sin z non sono rispettivamente laparte reale e immaginaria di eız come la formula precedente potrebbefar pensare. Solo per z = y ∈ R si ha che cos y e sin y sono reali e sonorispettivamente la parte reale e immaginaria del numero complesso dimodulo uno eıy = cos y + ı sin y.

• cos2 z + sin2 z = 1 per ogni z del piano complesso,

• (sin z)′ = cos z (cos z)′ = − sin z

Partendo dalle serie per le funzioni seno e coseno si puo provare che la fun-zione eıy quando y ∈ R e una funzione periodica. La tesi e la conseguenzadella seguente successione di passaggi (la prova di alcuno dei quali e lasciataal lettore)Sia y > 0


• 1− y2

2< cos y < 1− y2

2+y4

24per ogni y < 5.

Infatti

cos y = 1− y2

2+

∑n pari≥2

[y2n

(2n)!− y2n+2

(2n+ 2)!

]= 1− y2

2+y4

24+

∑n dispari≥3

[− y2n

(2n)!+

y2n+2

(2n+ 2)!

]

E facile rendersi conto che la prima parentesi quadra e strettamentemaggiore di zero per ogni n ≥ 2 se y < 5. La seconda parentesi quadrae quindi strettamente minore di zero per ogni n ≥ 3 nelle stesse ipotesisu y. Ne discende la disuguaglianza scritta precedentemente.

• Per y = 2 la disuguaglianza si legge −1 < cos y < 0 =⇒ ∃ y0 < 2 :cos y0 = 0 . In y0 di conseguenza sin y0 = ±1.

• Se ne deduce che eı y0 = ±ı =⇒ e4ı y0 = 1. 4 y0 e quindi un periododella funzione eı y.

• Al lettore resta da mostrare che 4 y0 e il piu piccolo e unico periododella funzione.

.Il periodo puo essere ora definito 2π fornendo, in questo modo, una defi-nizione di π indipendente dalla geometria. Si deducono quindi le relazionifondamentali tra il numero e e il numero π

eıπ2 = ı eıπ = −1 e

ı3π2 = −ı e2π = e0 = 1

La funzione eıy trasforma biunivocamente l’intervallo 0 ≤ y < 2π nel cerchiounitario |z| = 1 percorso in senso antiorario, per poi ripetersi periodicamentein ogni intervallo 2πj ≤ y < 2π(j + 1) per ogni j 6= 0 intero.La rappresentazione polare di un numero complesso corrisponde, in questoschema, alla decomposizione

z = |z| z|z|

= |z|eıθ = |z| (cos θ + ı sin θ)

dove θ e l’unica soluzione in [0 , 2π) dell’equazionez

|z|= eıθ


1.2.3 La funzione logaritmo

Definiamo la funzione logaritmo log z come la funzione inversa dell’esponen-ziale. Si avra dunque

ξ = log z se accade che eξ = z cioe se eRe ξ = |z| e eıIm ξ =z

|z|

La parte reale di ξ e quindi il logaritmo reale del numero positivo |z|. La parte

immaginaria di ξ e una delle infinite soluzioni dell’equazione eıIm ξ =z

|z|che

differiscono tra loro per multipli di 2π. Definiremo ognuna di queste soluzioniarg z.La funzione logaritmo e dunque la funzione a piu valori

ξ = log z = log |z|+ ı arg z

Si noti che e possibile definire la funzione logaritmo come funzione a un solovalore restringendo ad esempio arg z ad uno degli intervalli [2πj , 2π(j + 1))(la scelta j = 0 si dira determinazione principale del logaritmo). In questocaso pero la funzione non riassume, a |z| fissato, gli stessi valori quando l’ar-gomento aumenta di 2π. Un dominio in cui la funzione logaritmo e continuanon puo essere quindi tutto il piano complesso. E necessario togliere al pianouna semiretta qualunque uscente dall’origine, per esempio la semiretta deireali positivi.

Si provi che nel dominio cosı definito la funzione e olomorfa e (log z)′ =1

z.

Si specifichi inoltre in che senso valgono le uguaglianze

log (z1 z2) = log z1 + log z2

arg (z1 z2) = arg z1 + arg z2

1.2.4 Potenze e radici in notazione esponenziale

Se un numero complesso z e espresso in notazione esponenziale z = |z| eı arg z

la sua potenza j-sima, per j intero si scrive

zj = |z|j eı j arg z

definita ∀z ∈ C se j > 0 e ∀z 6= 0 se j < 0. Per ogni j la funzione zj eevidentemente periodica, di periodo 2 π/|j|, nell’argomento di z.


La funzione inversa (radice m-sima), per m > 0 si otterra risolvendo in zl’equazione

ξm = z =⇒ |ξ| = |z|1m arg ξ =

arg z

m=⇒ z

1m = |z|

1m eı

arg zm

Se θ e il valore di arg z compreso tra 0 e 2π, arg zm

potra assumere gli m valori

distintiarg z

m=

θ

m+

2πκ

mκ = 0, 1, . . . , (m− 1). La funzione radice m-sima

e quindi una funzione a m valori. Per definirla come funzione monodroma enecessario specificare un intervallo di ampiezza 2π a cui vengono ristretti ivalori di arg z, per esempio 0 ≤ arg z < 2π.

Si noti pero che la funzione cosı ottenuta non assume gli stessi valori, a paritadi |z|, quando arg z = 0 e quando arg z → 2π essendo 1 = eı 0 6= e

ı 2πm . Come

nel caso del logaritmo, la funzione radice non e olomorfa in tutto il pianocomplesso, privato dell’origine (dove non e derivabile), ma solo nel pianoprivato di una semiretta che congiunge l’origine con l’infinito, per esempiola semiretta dei reali positivi. In tale dominio di olomorfia la sua derivata e

(z1m )′ =

1

mz−1+ 1

m per z 6= 0.

Potenze non intere di numeri complessi possono essere definite tramitele funzioni esponenziale e logaritmo. Le funzioni cosı definite potranno es-sere monodrome o polidrome a seconda delle funzioni che utilizzeremo perdefinirle

xz ≡ ez log x z ∈ C, x ∈ R+ \ 0 e una funzione monodroma

zξ ≡ eξ log z z, ξ ∈ C e una funzione polidroma

zr ≡ (zp)1q z ∈ C r =

p

q∈ Q con p e q interi

che e una funzione polidroma se p/q non e un numero intero

dove log x, nella prima definizione, si intende il logaritmo reale del numeropositivo x e Q, nella terza definizione, indica l’insieme dei numeri razionali.

Le funzioni polidrome zr e zξ, ristrette a domini del piano complesso doverispettivamente la radice q-sima e il logaritmo sono monodrome e olomorfe,definiscono corrispondenti funzioni olomorfe.

1.3. TEOREMA E FORMULA DI CAUCHY 21

1.3 Teorema e Formula di Cauchy

Dimostreremo nel seguito che la derivata di una funzione olomorfa nell’apertoΩ ∈ C e ancora olomorfa. Iterando il risultato si deduce che una funzioneolomorfa e infinitamente derivabile e che quindi la sua parte reale cosı comequella immaginaria hanno derivate parziali continue di tutti gli ordini.Se diamo per acquisito questo risultato, e immediato provare:

Teorema 1 Sia Ω un aperto di C, e sia f(z) = u(z) + ı v(z) : Ω → Colomorfa. Allora u e v sono armoniche, cioe sono di classe C2 (ovverohanno derivate parziali continue fino al secondo ordine) e

∇2u = ∇2v = 0 in Ω (1.8)

Si ha inoltre che le 1-forme ω1 ≡ u dx − v dy e ω2 ≡ v dx + u dy in Ω sonochiuse

Dimostrazione Dalle relazioni di Cauchy-Riemann (1.3) si ha che, in Ω:

∇2u ≡ ∂2u

∂x2+∂2u

∂y2=

∂

∂x

∂v

∂y− ∂

∂y

∂v

∂x

Per il Teorema di Schwarz, essendo le derivate parziali seconde continue (nelleipotesi di infinita differenziabilita della funzione olomorfa f) , si puo scam-biare l’ordine di derivazione di v, ottenendo ∇2u = 0 in Ω. Analogamente sidimostra che ∇2v = 0 in Ω.E immediato verificare che d2 ω1 = d2 ω2 = 0 in Ω ( chi non voglia usareil linguaggio delle forme differenziali e preferisca il linguaggio dell’analisivettoriale, puo verificare che i rotori dei due campi vettoriali (E

(1)x = u,E

(1)y =

−v) e (E(2)x = v, E

(2)y = u) sono entrambi nulli in ogni punto di Ω). 3

3 Viceversa, se la regione Ω e semplicemente connessa (la definizione si trova alla paginasuccessiva del testo), e u : Ω→ R e armonica, allora esiste una funzione armonica v (dettaarmonica coniugata di u), tale che f ≡ u + ı v e olomorfa in Ω. (Analogamente, −u earmonica coniugata di v).

Poiche infatti ∇2u = 0, si ha ∂∂y

(−∂u

∂y

)= ∂

∂x

(∂u∂x

). Questo unitamente al fatto che

l’aperto Ω e semplicemente connesso, implica che la forma differenziale −∂u∂y dx + ∂u

∂xdy e

esatta in Ω; ovvero esiste v : Ω → R (determinata a meno di una costante additiva) taleche:

∇v ≡(∂v

∂x,∂v

∂y

)=

(−∂u

∂y,∂u

∂x

)in Ω. Quindi valgono le condizione di Cauchy-Riemann (1.3), ovvero f e olomorfa in Ω.


1.3.1 Teorema di Cauchy

Sia Ω un aperto di C e sia γ ∈ Ω una curva regolare a tratti. Con questointenderemo che

• γ e l’immagine in Ω di un intervallo della retta reale (che per comoditasceglieremo sempre [0 , 1]) tramite una funzione complessa z(t) = x(t)+ıy(t), t ∈ [0 , 1],

• x e y sono funzioni differenziabili a tratti: a meno di un numero finitodi valori del parametro t le funzioni x e y hanno cioe derivate continue.Nei punti i singolarita devono comunque esistere le derivate destra esinistra (che possono essere diverse).

• Non esistono valori del parametro t in cui z′(t) = 0→ x′(t) = y′(t) = 0.

Diremo che la curva γ e orientata nel verso che va da z(0) a z(1)

Se t(τ) e una funzione strettamente crescente da [0, 1] in [0, 1] la curva γ puoessere ri-parametrizzata, con la stessa orientazione, col parametro τ tramitel’equazione parametrica z(t(τ)). Assumeremo sempre che le funzioni chedefiniscono le ri-parametrizzazioni siano derivabili con derivate continue.

Una curva regolare a tratti di dira semplice se non si auto-interseca: z(t1) =z(t2) se e solo se t1 = t2 (estremi esclusi).

Una curva semplice si dice chiusa se z(0) = z(1). Se z(t) descrive una curvasemplice chiusa γ, z(1−t) descrive la stessa curva percorsa nel verso opposto(qualche volta indicata con −γ).

I soli casi che considereremo in seguito sono quelli di curve che sono unionidi curve semplici e, piu spesso, unioni di curve semplici chiuse.

L’integrale di una funzione continua f : Ω → C lungo la curva sempliceγ e definito da ∫

γ

f(z) dz ≡∫ b

a

f(γ(t)) γ′(t) dt (1.9)

ovvero, posto z ≡ x+ ı y e f ≡ u+ ı v,∫γ

f(z) dz ≡∫γ

f(z) dx+ ı

∫γ

f(z) dy =

∫γ

(u dx− v dy) + ı

∫γ

(u dy + v dx)

(1.10)


L’integrale esteso all’unione di curve semplici e definito essere la somma degliintegrali relativi alle singole curve semplici.

Ricordiamo alcune definizioni e proprieta relative ai sottoinsiemi aperti delpiano complesso e alle curve regolari (a tratti) nel piano.

• un sottoinsieme aperto Ω di C si dice connesso se non esistono due suoisottoinsiemi aperti disgiunti la cui unione coincide con Ω. Chiameremoregione ogni sottoinsieme aperto, connesso, non vuoto di C;

• (un risultato fortemente intuitivo, ma di difficilissima dimostrazione,asserisce che) se γ e una curva semplice allora R2 \ γ e l’unione didue componenti aperte connesse di cui γ e frontiera. Una e limitata everra indicata interno di γ e una illimitata indicata come esterno diγ;

• due curve semplici γ1 e γ2 nella regione Ω si dicono Ω-omotope sepossono essere trasformate con continuita una nell’altra restando inΩ. Dovra cioe esistere una funzione Γ : [0, 1] × [0, 1] → Ω continuanella prima variabile (che indicizza le curve), regolare a tratti nellaseconda (che descrive ciascuna curva), tale che Γ(0, t) = γ1(t)∀t ∈ [0, 1]e Γ(1, t) = γ2(t)∀t ∈ [0, 1];

• una curva chiusa in Ω si dice Ω-omotopa ad un punto se puo esseredeformata con continuita in Ω fino a ridurla ad un punto di Ω (Γ(1, t) =z0 ∈ Ω ∀t,∈ [0, 1] nelle notazioni precedenti);

• una regione Ω in cui ogni curva chiusa e Ω-omotopa a un punto e dettasemplicemente connessa.

Sia Ω una regione di C e sia f una funzione olomorfa in Ω. Siano ω1 eω2 le 1-forme associate alla f come indicato nel teorema 1). Se le ipotesi delteorema 1) fossero valide, le due forme sarebbero chiuse e cio permetterebbedi provare, utilizzando teoremi classici dell’analisi vettoriale, una serie dirisultati fondamentali

Teorema 2 (Teorema Integrale di Cauchy) Sia Ω una regione di C, siaf : Ω→ C olomorfa, e sia γ una curva semplice chiusa (risp. una unione dicurve semplici chiuse), Ω-omotopa a un punto (risp. ciascuna Ω-omotopa aun punto). Allora ∫

γ

f(z) dz = 0 (1.11)


Il teorema ha vari corollari fondamentali

Corollario 3 Sia Ω una regione di C, sia f : Ω→ C olomorfa, e γ1, γ2 sianodue curve semplici Ω-omotope tra loro, con punti iniziali e finali coincidenti(γ1(0) = γ2(0) e γ1(1) = γ2(1)). Allora∫

γ1

f(z) dz =

∫γ2

f(z) dz (1.12)

Corollario 4 Sia Ω un aperto di C semplicemente connesso, sia f : Ω→ Colomorfa, e si fissi z0 ∈ Ω. Per ogni z ∈ Ω, sia γz una curva regolare in Ωcongiungente z0 con z (ovvero γz : [0, 1] → Ω, γz(0) = z0, γz(1) = z), e siponga

F (z) :=

∫ 1

0

f(γz(t))γ′z(t)dt

Allora F e olomorfa, e F ′ = f in Ω.

Osservazione 5 Sfortunatamente la prova delle proprieta di regolarita diuna funzione olomorfa verra data nel prossimo paragrafo utilizzando il teo-rema di Cauchy. Non possiamo quindi utilizzare le proprieta dimostrate nelteorema 1) sulle forme ω1 e ω2 poiche la dimostrazione fa uso della regolaritadelle funzioni olomorfe.In effetti sarebbe sufficiente dimostrare la continuita delle derivate parzialidella parte reale e della parte immaginaria di una funzione olomorfa nellaseguente forma: se f = u + ı v e olomorfa nella regione Ω =⇒ esistono esono continue in Ω le derivate parziali di u e v. In questo caso i risulta-ti elencati sopra sarebbero conseguenza del teorema di Stokes applicato allacurva e al suo interno.Una dimostrazione diretta della continuita delle derivate parziali di u e v peruna funzione f = u+ ı v olomorfa nella regione Ω risulta molto difficile. Lapiu semplice alternativa e di dimostrare il teorema di Cauchy senza utilizzarealcuna proprieta di continuita delle derivate parziali di u e v, ma la solaolomorfia di f .Questo e quello che faremo qui di seguito dando cenni della dimostrazioneclassica di Goursat.

Teorema 6 (Teorema di Cauchy (versione Goursat)) : Se una fun-zione olomorfa in un dominio Ω semplicemente connesso ammette derivatain tutti i punti di Ω allora l’integrale di tale funzione lungo una qualunquecurva chiusa di Ω e nullo.


Dimostrazione Per la dimostrazione del teorema si procedera secondo iseguenti passi, di alcuni dei quali non verra dato alcun dettaglio

i) dalla curva al poligono

ii) pavimentazione del poligono

iii) calcolo sulla piastrella triangolare

Si consideri il seguente triangolo T :

e calcoliamo ∮T

f(z)dz =4∑i=1

∮T0i

f(z)dz

∣∣∣∣∮T

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4∑i=1

∣∣∣∣∮T0i

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4

∣∣∣∣∮T1

f(z)dz

∣∣∣∣ove T1 e uno tra i quattro T0i per cui l’integrale assume il massimo valore.Suddividiamo poi T1 ancora in quattro triangoli come fatto prima, ed iterandon volte si ha che∣∣∣∣∮

T

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4n−1

∣∣∣∣∮Tn−1

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4∑i=1

∣∣∣∣∮Tn−1 i

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4n∣∣∣∣∮Tn

f(z)dz

∣∣∣∣ .


Dal fatto cheT0 ⊂ T1 ⊂ T2 ⊂ ... ⊂ Tn−1

con Ti chiusi 4 segue per il lemma di Cantorn−1⋂i=1

Ti 6= ∅.

Quindi ∃z0 ∈n−1⋂i=1

Ti.

Per le ipotesi del teorema abbiamo che f(z) e olomorfa in T e ne segue che

∀ε > 0∃δ > 0 :

∣∣∣∣f(z)− f(z0)

z − z0

− f ′(z0)

∣∣∣∣ < ε per 0 < |z − z0| < δ.

Sia g(z) = f(z)− (z − z0)f ′(z0) allora 0 < |z − z0| < δ → |g(z)| 6 ε |z − z0|.

∮Tn

f(z)dz =

∮Tn

[f(z0) + (z − z0)f ′(z0)] dz +

∮Tn

g(z)dz =

∮Tn

g(z)dz

L’ultimo passaggio e giustificato dal fatto che f(z0) + (z − z0)f ′(z0) e unafunzione olomorfa di z con derivate certamente continue (in effetti la derivatae costante). Che l’integrale di tale funzione lungo un cammino chiuso sia nullae pertanto conseguenza del teorema di Stokes applicato alle due 1-forme adessa associate.

E valida la successione di implicazioni f(z) continua → g(z) continua →|g(z)| limitata su Tn.Usando l’ipotesi di limitatezza e possibile maggiorare il modulo dell’integralecon il prodotto dell’estremo superiore del modulo della funzione integrandaper la lunghezza dell’arco di curva∣∣∣∣∮Tn

g(z)dz

∣∣∣∣ 6 supz∈Tn|g(z)| l(Tn) 6 l(Tn) sup

z∈Tn|z − z0|ε 6 εl2(Tn) = ε 2−2nl2(T )

poiche ad ogni suddivisione vi e il dimezzamento del perimetro.∣∣∣∣∮Tn

f(z)dz

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∮Tn

g(z)dz

∣∣∣∣ 6 ε 4n l2(T )

∣∣∣∣∮T

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 4n∣∣∣∣∮Tn

f(z)dz

∣∣∣∣ 6 ε l2(T )

4Ti = Ti


e passando al limite per ε → 0 si ha che

∣∣∣∣∮T

f(z)dz

∣∣∣∣ = 0 (quanto detto vale

per ε arbitrariamente piccolo).

1.3.2 Formula di Cauchy

Per ogni z ∈ C ed ogni R > 0, denoteremo con BR(z) il cerchio con centroz e raggio R, e con CR(z) la sua circonferenza. Nelle integrazioni lungo unacirconferenza verra sempre inteso che l’orientamento e antiorario.

Teorema 7 (Formula di Cauchy) Sia Ω una regione di C, sia f : Ω →C olomorfa, e sia γ una curva semplice chiusa, Ω-omotopa ad un punto,orientata in senso antiorario. Allora

f(z) =1

2πı

∫γ

f(ξ)

ξ − zdξ ∀z interno a γ (1.13)

Dimostrazione Si fissi z interno a γ, e sia ε > 0 tale che Bε(z) ⊂ Ω e cheBε(z) sia interno a γ. Le curve γ e Cε(z) risultano (Ω \ z)-omotope. Peril Teorema integrale di Cauchy si ha quindi∫

γ

f(ξ)

ξ − zdξ =

∫Cε(z)

f(ξ)

ξ − zdξ = f(z)

∫Cε(z)

1

ξ − zdξ +

∫Cε(z)

f(ξ)− f(z)

ξ − zdξ.

(1.14)Per ε→ 0 quest’ultimo integrale tende a 0, poiche la lunghezza di Cε(z) tendea 0 e l’integrando e limitato, dal momento che f e differenziabile. Inoltreparametrizziamo Cε(z) con ξ(t) = z + ε ei t, si ha

f(z)

∫Cε(z)

1

ξ − zdξ = f(z)

∫ 2π

0

1

ε eitd

dt

(ε eit

)dt = 2π i f(z)

passando al limite per ε→ 0 in (1.14), si ottiene quindi la formula di Cauchy(1.13).

Osservazione 8 Per ogni z esterno a γ, l’integrando della (1.13) e unafunzione olomorfa di ξ in Bε(z); pertanto l’integrale e nullo, per il Teoremadi Cauchy.

Una semplice generalizzazione della formula di Cauchy e data nel corollario


Corollario 9 (Teorema e Formula di Cauchy generalizzati) Sia Ω unaperto di C e sia f : Ω → C olomorfa. Sia γ0, γ1, ..., γM un insiemefinito di curve semplici chiuse di C, non intersecanti, regolari a tratti edorientate in senso antiorario. Denotato con An l’interno della curva γn pern = 0, 1, ...,M , inoltre sia

M⋃n=1

An ⊂ A0, A0\M⋃n=1

An ⊂ Ω, Am ∩ An = ∅ ∀m,n 6= 0, m 6= n.

Allora ∫γ0

f(ξ)dξ −M∑n=1

∫γn

f(ξ)dξ = 0 (1.15)

f(z) =1

2πı

∫γ0

f(ξ)

ξ − zdξ − 1

2πı

M∑n=1

∫γn

f(ξ)

ξ − zdξ ∀z ∈ A0\

M⋃n=1

An. (1.16)

Dimostrazione La prova del corollario dovrebbe risultare evidente dallafigura nella quale e disegnata una curva Ω-omotopa a γ0 che differisce dall’u-nione delle curve semplici chiuse γn , n > 0, per archi percorsi due volte conorientazioni opposte.


L’integrale della funzione f su tale curva risulta quindi identico a quellosu γ0 per il teorema di Cauchy e, allo stesso tempo, a quello sull’unione dellecurve semplici chiuse γn , n > 0 .

Un importante corollario della formula di Cauchy per funzioni olomorfee il

Corollario 10 (Principio del massimo) Se f(z) e olomorfa e non costan-te in una regione Ω del piano complesso, allora il suo valore assoluto non hamassimo in Ω.

Dimostrazione Sia z0 un punto interno a Ω e sia r > 0 tale che il discoBr(z0) di centro z0 sia contenuto in Ω. Dalla formula di Cauchy

f(z0) =1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2π

∫ 2π

0

f(z0 + reıθ)dθ

La funzione al centro del disco e quindi la media dei valori che la funzioneassume sulla circonferenza. In particolare

|f(z0)| ≤ 1

2π

∫ 2π

0

|f(z0 + reıθ)|dθ

Se |f(z0)| avesse un massimo, per r sufficientemente piccolo, i valori del mo-dulo della funzione sul cerchio di raggio r attorno a z0 dovrebbero essere tuttistrettamente inferiori a |f(z0)| implicando la disuguaglianza |f(z0)| < |f(z0)|evidentemente assurda.


La formula di Cauchy, quando si prenda la funzione costante f(ξ) = 1(certamente olomorfa su tutto C), diventa

1 =1

2πı

∫γ

1

ξ − zdξ ∀z interno a γ

0 =1

2πı

∫γ

1

ξ − zdξ ∀z esterno a γ

−1 =1

2πı

∫−γ

1

ξ − zdξ ∀z interno a γ

per ogni curva semplice chiusa in C.Se Γ e un’unione finita di curve semplici chiuse, l’integrale, esteso a Γ, a fissatoz, fornisce il numero intero che si ottiene aggiungendo una unita per tuttele curve che contengono z al loro interno e sono percorse in senso antiorario,sottraendo una unita per tutte le curve che contengono z al loro interno esono percorse in senso orario. L’integrale fornisce quindi il numero di giri,con segno, che la curva Γ fa intorno a z; le curve che non contengono z dannonaturalmente contributo nullo.

Esempio Sia Γ la curva chiusa con rappresentazione parametrica z(t) =r eı4πt con r reale positivo e t ∈ [0, 1]. Si tratta del cerchio di raggio r attornoall’origine percorso due volte il senso antiorario. Si noti che l’equazione para-metrica non descrive una curva chiusa semplice (ha infinite intersezioni), mae l’unione di due curve chiuse semplici. l’integrale definito sopra vale quindi2 per ogni z ∈ Br(0) e vale 0 per ogni z esterno alla circonferenza.

Definizione Chiameremo indice della curva Γ (unione di curve semplicichiuse) rispetto al punto z ∈ C il numero intero

Ind(Γ, z) ≡ 1

2πı

∫γ

1

ξ − zdξ

1.4 Funzioni analitiche

Una funzione f : Ω → C e detta analitica se per ogni z0 ∈ Ω esistono unδ > 0 ed una successione cn(z0)∞n=0 di numeri complessi tali che Bδ(z0) ⊂ Ωe

f(z) =∞∑n=0

cn(z0) (z − z0)n ∀z ∈ Bδ(z0). (1.17)

1.4. FUNZIONI ANALITICHE 31

Come e noto una serie di potenze e infinitamente derivabile all’interno delsuo cerchio di convergenza, e le derivate della somma possono essere calcolatederivando termine a termine, ovvero

f (l)(z) =∞∑n=l

n!

(n− l)!cn(z0) (z − z0)n−l ∀z ∈ Bδ(z0), ∀l ∈ N (1.18)

Il confronto tra la (1.17) e la (1.18) fornisce l’eguaglianza

cn(z) =f (n)(z)

n!∀n ∈ N (1.19)

che prova che la (1.17) coincide con lo sviluppo in serie di Taylor dellafunzione f intorno al punto z0.

Teorema 11 (Teorema di Analiticita) Sia Ω un aperto di C e sia f :Ω → C olomorfa. La funzione f e allora analitica in Ω e vale, per icoefficienti dello sviluppo in serie di potenze attorno al punto z0 ∈ Ω

cn(z0) =1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

(ξ − z0)n+1dξ ∀r < dist (z0, ∂Ω), ∀n ∈ N, (1.20)

Osservazione 12 Si noti che il teorema inverso: f analitica =⇒ f olo-morfa e una conseguenza immediata della infinita derivabilita delle funzionianalitiche.

Dimostrazione Sia z0 ∈ Ω e sia r > 0 un numero reale piu piccolo delladistanza di z0 dal bordo della regione di olomorfia r < dist(z0, ∂Ω). Per laformula di Cauchy (1.13) si ha ∀z ∈ Br(z0)

f(z) =1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

ξ − zdξ =

1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

ξ − z0 + z0 − zdξ

=1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

ξ − z0

1

1− z−z0ξ−z0

dξ =1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

ξ − z0

∞∑n=0

(z − z0)n

(ξ − z0)ndξ

=∞∑n=0

(1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

(ξ − z0)n+1dξ

)(z − z0)n


dove la convergenza della serie geometrica e uniforme per |z − z0| < r′ <r. Per ogni z in tale disco aperto vale quindi la (1.17) con i coefficientidati dalla (1.20). La giustificazione del passaggio della somma da dentro afuori l’integrale meriterebbe qualche semplice considerazione che e lasciataal lettore.

Corollario 13 Sia Ω un aperto di C e sia f : Ω→ C olomorfa. Allora, perogni z ∈ Ω, definito r come sopra, si ha

f (n)(z0) =n!

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

(ξ − z0)n+1dξ ∀n = 1, 2, . . . (1.21)

Il valore della derivata n-sima in z0 e limitato dai valori della funzione fsu Cr(z0) in accordo alla disuguaglianza

|f (n)(z0)| ≤ n!

rnsup

z∈Cr(z0)

|f(z)| (1.22)

Osservazione 14 Come si nota la (1.21) e formalmente ottenibile passandola derivata n-sima sotto il segno di integrale (un metodo alternativo di provasarebbe quindi quello di giustificare tale passaggio)

f (n)(z0) =1

2πı

∫Cr(z0)

[∂n

∂znf(ξ)

(ξ − z)

]z=z0

dξ.

Dimostrazione La formula per f (n)(z0) era gia scritta in (1.20); la stima(1.22) si ottiene maggiorando il modulo dell’integrale con l’estremo superioredel modulo della funzione integranda per la lunghezza della curva.

E ora facile dimostrare il teorema inverso a quello di Cauchy.

Teorema 15 (Teorema di Morera) Se una funzione f continua nella re-gione Ω ⊂ C, semplicemente connessa, ha integrale nullo per qualunque curvachiusa contenuta in Ω, allora f e olomorfa.

Data infatti la funzione f , il corollario (4) caratterizza esplicitamenteuna funzione olomorfa F di cui f e derivata nella regione Ω. La funzione f equindi olomorfa essendo la derivata di una funzione olomorfa, come asserisceil teorema appena provato.


Siamo ora in grado di dimostrare alcuni teoremi fondamentali dell’analisicomplessa. Diremo che una funzione olomorfa che ha C come dominio diolomorfia e una funzione intera

Corollario 16 (Teorema di Liouville) Se la funzione intera f e limitata,allora e costante

Dimostrazione Supponiamo che f intera sia limitata su tutto C. Sia Mtale che sup

z∈C|f(z)| < M . Per ogni r reale positivo la (1.22) applicata alla

circonferenza di raggio r e la (1.19) implicano che

|cn(0)| < M

rn∀n = 1, 2, . . . , ∀r > 0 (1.23)

Poiche la disuguaglianza rimane vera comunque grande sia r si conclude chetutti i coefficienti cn(0) n = 1, 2, . . . sono nulli e che la funzione f e uguale alvalore costante c0(0).

Un corollario fondamentale del teorema di Liouville e il seguente

Corollario 17 (Teorema fondamentale dell’algebra) Sia Pn(z) =n∑j=0

ajzj

(con an 6= 0) un polinomio di grado n > 1. Allora esistono n numericomplessi z1, . . . , zn, le radici di Pn, tali che e verificata l’uguaglianza

Pn(z) = an(z − z1) · ·(z − zn) ∀z ∈ C (1.24)

Se i coefficienti di Pn sono reali l’insieme delle radici e costituito da numerireali o da coppie di numeri complessi coniugati, con la stessa molteplicitacome zeri del polinomio. Se z1, . . . zk sono le radici reali e ξ1, ξ1, . . . , ξm, ξmle radici complesse (k + 2m = n), si ha dunque l’eguaglianza

Pn(z) = an(z − z1) · ·(z − zk)|z − ξ1|2 · ·|z − ξm|2 ∀z ∈ C (1.25)

Dimostrazione Per assurdo, se P non si annullasse in nessun punto, allora1/P (z) sarebbe una funzione olomorfa, quindi limitata sui sottoinsiemi limi-tati di C. In particolare in ogni disco Br(0) esisterebbe un estremo superiore


Kr dei valori del modulo di 1/P (z), per ogni r. Scriviamo il polinomio nellaforma

Pn(z) = anzn

n∑j=0

an−janzj

= anzn

[1 +

an−1

anz−1 + . . .

a0

anz−n]

(1.26)

Si puo scegliere r > 0 abbastanza grande perche si abbia |Pn(z)| ≥M |an|rn,per qualche M reale maggiore di 0 e per ogni z : |z| > r. Si avrebbe quindi :

sup

∣∣∣∣ 1

P (z)

∣∣∣∣ ≤ maxKr,M

−1 |an|−1r−n

.

La funzione 1/P (z) sarebbe allora intera e limitata su tutto C, quindi co-stante per il teorema di Liouville, contro l’ipotesi che il grado del polinomiosia maggiore di zero.Il polinomio ha quindi almeno una radice z1 nel piano complesso. Il compitodi concludere per induzione la prova del teorema e lasciato al lettore.

Teorema 18 Sia Ω una regione di C e siano f e g due funzioni olomorfe inΩ. Le seguenti affermazioni sono equivalenti

a) f = g;

b) l’insieme z ∈ Ω|f(z) = g(z) in cui le due funzioni sono uguali ha unpunto di accumulazione in Ω;

c) esiste un punto z0 ∈ Ω in cui tutte le derivate di f e di g sono uguali:fn)(z0) = g(n)(z0) ∀n = 0, 1, 2, . . . .

Dimostrazione Che a) =⇒ b) e evidente.

Per provare che b) =⇒ c), e sufficiente provare che se la funzione olomorfah = f − g ha uno zero z0 che e punto di accumulazione di zeri della stessafunzione, allora tutte le derivate di h sono nulle in z0.Supponiamo, per assurdo, che cosı non sia e sia m il piu piccolo dei naturaliper cui h(m)(z0) 6= 0. Si avrebbe allora

h(z) = (z − z0)m∞∑j=m

h(j)(z0)

j!(z − z0)(m−j) ≡ (z − z0)mhm(z) (1.27)

La funzione hm e olomorfa e quindi continua in un intorno di z0. Einoltre diversa da 0 in z0. Esiste allora un intorno di z0 in cui hm e quindi h


e diversa da 0, contro l’ipotesi che z0 sia un punto di accumulazione di zeridella funzione h.

c) =⇒ a). Per ogni m consideriamo l’insieme Ωm dei punti di Ω in cui laderivata m-sima della funzione h = f − g risulta nulla. La continuita di hm

assicura che Ωm sia un insieme chiuso. L’insieme∞⋂m=0

Ωm dei punti di Ω in

cui si annullano tutte le derivate della h e quindi chiuso.Se z0 e un punto in cui tutte le derivate della h si annullano lo sviluppo diTaylor della funzione attorno a z0 ha tutti i coefficienti nulli. La funzione h

e quindi nulla in tutto un intorno di z0. L’insieme∞⋂m=0

Ωm e dunque anche

aperto.

Poiche la regione Ω e connessa e, per ipotesi,∞⋂m=0

Ωm non e vuoto, tale

insieme non puo che coincidere con tutto Ω. Ne discende che h = 0 in tuttala regione, che vale cioe la a).

Osservazione 19 Abbiamo dimostrato che le funzioni complesse di variabi-le complessa infinitamente differenziabili (e sufficiente in effetti che lo sianouna volta) sono analitiche e hanno quindi una serie di Taylor convergentealla funzione stessa nell’intorno di ogni punto del dominio di olomorfia. Lasituazione e molto differente per le funzioni reali di variabile reale: e facileinfatti dare esempi di funzioni derivabili n volte ma non (n + 1) volte e difunzioni infinitamente derivabili la cui serie di Taylor ha raggio di conver-genza nullo o non converge alla funzione stessa. Un esempio di quest’ultimocaso e dato dalla funzione da R a R

h(x) = e1

1−x2 se |x| ≤ 1 e h(x) = 0 se |x| > 1 (1.28)

h(x) ha infinite derivate continue in tutti i punti. Tutte le derivate dellah sono nulle nei punti x = ±1. Le serie di Taylor attorno a questi duepunti hanno tutti i coefficienti nulli e convergono alla funzione nulla, chenaturalmente non coincide con h(x) nell’intorno di x = ±1.

Osservazione 20 Abbiamo dimostrato che due funzioni olomorfe che coin-cidano in un insieme di punti della regione di olomorfia che abbia anche unsolo punto di accumulazione coincidono su tutta la regione. In questo sen-so ogni funzione olomorfa e caratterizzata in maniera unica (anche se non


esplicita) dai suoi valori in un sottoinsieme della regione di olomorfia conalmeno un punto di accumulazione, per esempio un arco di curva semplicedi lunghezza positiva, comunque piccola. La formula di Cauchy fornisce unesempio in cui i valori della funzione all’interno di una curva semplice chiusasono esplicitamente espressi in termini dei valori sulla curva.

1.5 Singolarita isolate e Serie di Laurent

Teorema 21 (Teorema di Laurent) Siano z0 ∈ C, 0 6 R1 < R2 6∞, siindichi con BR1,R2(z0) la corona circolare z ∈ C : R1 < |z0 − z| < R2, e siaf : BR1,R2(z0)→ C olomorfa. Definiamo cn(z0) tramite l’uguaglianza (1.20)

cn(z0) ≡ 1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)

(ξ − z0)n+1dξ (1.29)

estesa a tutti gli n ∈ Z e con R1 < r < R2.Allora

f(z) =∑n∈Z

cn(z0) (z−z0)n =∞∑n=0

cn(z0)(z−z0)n+∞∑n=1

c−n(z0)(z−z0)−n (1.30)

∀z ∈ CR1,R2(z0)

Entrambe le serie convergono e la convergenza e uniforme per R1 < r1 ≤|z| ≤ r2 < R2. Esse sono rispettivamente chiamate parte regolare e partesingolare dello sviluppo di Laurent di f attorno a z0.

Osservazione 22 Se f e analitica in tutto il cerchio BR2(z0), allora lo svi-luppo in serie di Laurent e ridotto alla sua parte regolare; infatti in tal ca-so per ogni n > 1 la funzione f(ξ)/(ξ − z0)−n+1 e olomorfa in Br(z0) perR1 < r < R2 , e quindi c−n(z0) = 0 per il Teorema di Cauchy.

Dimostrazione Per ogni z tale che R1 < |z− z0| < R2, siano r1, r2 > 0 taliche R1 < r1 < |z − z0| < r2 < R2; la (1.16) con γ0 = Cr2(z0) e γ1 = Cr1(z0)fornisce l’uguaglianza

f(z) =1

2πı

∫Cr2 (z0)

f(ξ)

ξ − zdξ − 1

2πı

∫Cr1 (z0)

f(ξ)

ξ − zdξ (1.31)

1.6. CLASSIFICAZIONE DELLE SINGOLARITA ISOLATE 37

Con lo stesso procedimento utilizzato nella prova del Teorema 11, il primointegrale in (1.31) si dimostra uguale alla prima delle serie in (1.30).Per studiare il secondo integrale notiamo che∣∣∣∣ξ − z0

z − z0

∣∣∣∣ =r1

|z − z0|< 1 ∀ξ ∈ Cr1(z0),

Converge quindi la serie geometrica

− 1

ξ − z=

1

z − z0

1

1− ξ−z0z−z0

=∞∑m=0

(ξ − z0)m

(z − z0)m+1=∞∑n=1

(z − z0)−n

(ξ − z0)−n+1

che da origine alla seconda serie delle (1.30).

1.6 Classificazione delle Singolarita Isolate

Sia R > 0 e sia f : BR(z0)\z0 → C olomorfa. Il comportamento dellafunzione attorno a z0 puo essere solo uno dei tre seguenti

i) esiste il limz→z0 f(z) ∈ C

ii) esiste il limz→z0 |f(z)| =∞

iii) nessuno dei due casi precedenti e verificato.

Il caso i) sussiste se e solo se f e limitata in BR(z0)\z0, ovvero se e solo sela parte singolare dello sviluppo di Laurent e identicamente nulla. Ponendof(z0) ≡ limz→z0 f(z) = c0(z0), si ottiene una funzione olomorfa in tuttoBR(z0). Si dice allora che f ha in z0 una singolarita eliminabile.

Se vale la condizione ii) si dice che la funzione f ha un polo nel punto z0.La funzione inversa 1/f e olomorfa in Br(z0) \ z0, per r sufficientemente

piccolo (dove |f(z)| > M > 0) e limz→z0

1

f(z)= 0. La funzione 1/f ha quindi

una singolarita removibile in z0 e puo essere estesa a una funzione olomorfasu tutto Br(z0).z0 e uno zero (necessariamente isolato) della funzione olomorfa 1/f cosı este-sa. Come abbiamo dimostrato esiste allora un intero positivo m tale che


la derivata di 1/f nel punto z0 e diversa da zero (tutte quelle preceden-ti essendo nulle). Si dice che lo zero ha ordine m. Intorno a z0 si ha

1

f(z)= (z − z0)m fm(z) con fm analitica e tale che fm(z0) 6= 0.

Si ha dunque che f , in un intorno di z0, puo essere scritta

f(z) = (z − z0)−m1

fm(z). Poiche 1/fm e olomorfa in un intorno di z0 la

funzione f ammette uno sviluppo di Laurent la cui parte singolare ha comepotenza negativa di modulo massimo quella di esponente −m. Si dice che fha un polo di ordine m.In conclusione se una funzione e olomorfa in una regione privata di un puntoe ha limite infinito in quel punto, allora la sua serie di Laurent ha partesingolare costituita da un numero finito di termini.La nostra discussione dovrebbe avere convinto che l’insieme dei punti di sin-golarita di una funzione f che abbia solo singolarita di tipo polare e sia olo-morfa in ogni altro punto di una regione Ω e un insieme discreto (coincidentecon gli zeri della funzione 1/f).

Nel caso iii) invece c−n 6= 0 per infiniti interi n > 0. Si dice che f ha in z0

una singolarita essenziale. In questo caso il limz→z0 |f(z)| non esiste, nefinito ne infinito.Il comportamento di f in un intorno di una tale singolarita e estremamenteirregolare, come e indicato dal seguente teorema che non dimostreremo

Teorema 23 (di Picard) Sia z0 ∈ C, R > 0, ed f una funzione olomorfain BR(z0)\z0. Se z0 e una singolarita essenziale per f , allora quest’ultimaassume in Br(z0)\z0 tutti i valori di C, salvo al piu uno, per qualunquevalore di r : 0 < r < R.

Esempio Ad esempio la funzione f(z) = e1z =

∑∞n=0 z

−n/n! ha una singola-rita essenziale in 0 e non e mai nulla. Si prova facilmente che in ogni cerchiodi centro 0 la funzione assume tutti i valori complessi non nulli

Le singolarita isolate non esauriscono tutti i tipi di singolarita che lefunzioni olomorfe possono avere.Abbiamo visto per esempio che le potenze a esponente razionale e il logarit-mo di z sono certamente non olomorfe nell’origine (ogni derivata di ordinesufficientemente elevato non e definita nell’origine). L’origine non e pero una


singolarita isolata dovendosi escludere dal dominio di olomorfia anche unasemiretta uscente dall’origine, dove tali funzioni risulterebbero discontinue.

1.6.1 Il teorema dei residui

Si consideri un funzione f(z) olomorfa in un disco di raggio r privato del suocentro BR(z0) \ z0 e sia c−1(z0) il coefficiente di (z − z0)−1 nello sviluppodi Laurent attorno a z0 della funzione f . Dalla (1.29)

c−1(z0) ≡ 1

2πı

∫Cr(z0)

f(ξ)dξ (1.32)

dove Cr(z0) e una qualunque circonferenza di raggio r < R percorsa in sensoantiorario.

c−1(z0) si dira residuo della funzione f in z0 e verra indicato conResz0(f).

Osservazione 24 Si noti che il termine c−1(z−z0)−1 e l’unico termine nellosviluppo di Laurent che e derivata di una funzione polidroma (il logaritmo di(z− z0)). Tutti gli altri termini, essendo derivate di funzioni olomorfe in unintorno di z0 (z0 escluso) hanno integrali nulli su qualunque circonferenzaCr(z0), come puo essere verificato direttamente.Il residuo Resz0(f) di una funzione f(z) in una singolarita isolata z0 viene

quindi talvolta definito come il numero che rende la funzione f(z)−Resz0(f)

z − z0

la derivata di una funzione monodroma olomorfa in BR(z0) \ z0.

Siamo ora in grado di provare il

Teorema 25 (Teorema dei residui) Sia f olomorfa nella regione Ω pri-vata di un insieme discreto di punti zj dove la funzione presenta singolaritaisolate (il dominio di olomorfia e dunque Ω \ ∪jzj ). Allora

1

2πı

∫γ

f(z) dz =∑j

Ind(γ , zj)Reszj(f) (1.33)

per ogni γ unione di curve semplici chiuse Ω-omotope a un punto che nonpassino per alcuno dei punti zj.


In particolare se γ e una curva semplice chiusa, percorsa in senso antiorario,che non passa per alcuno dei punti zj allora

1

2πı

∫γ

f(z) dz =∑j

Reszj(f) (1.34)

dove la somma e estesa agli indici j tali che il punto zj si trovi all’internodella curva γ.

Dimostrazione Il teorema e una semplice applicazione della formula diCauchy (1.16) all’unione della curva γ con cerchi Crj(zj), attorno alle sin-golarita, che non abbiano intersezioni con γ (per questo bastera prendere iraggi rj sufficientemente piccoli).Dallo sviluppo di Laurent, come abbiamo gia osservato, si deduce che lafunzione f , nell’intorno di ciascuna singolarita zj, e scrivibile come

f(z) = F ′(z) +c−1(zj)

z − zj(1.35)

dove F e una primitiva (monodroma) della somma della serie di Laurent pri-vata del termine n = −1 (che ha invece come primitiva la funzione polidromalogaritmo).L’integrale di F ′(z) lungo una qualunque curva chiusa essendo nullo, la provadel teorema discende direttamente dalla formula di Cauchy generalizzata

La conoscenza dei residui di una funzione f olomorfa in una regione Ω,eccetto che in un insieme di punti isolati, permette di calcolare integrali dellafunzione su curve chiuse del piano complesso.Se in z0 la funzione f ha una singolarita essenziale l’unico modo per calcolareil residuo della f in z0 e avere la forma esplicita dell’espansione in serie dipotenze attorno a z0.Ad esempio sappiamo che il residuo della funzione e1/z nell’origine e 1 poiche

conosciamo l’intera serie di Laurent : e1/z =∞∑n=0

z−n

n!.

Se la funzione f ha un polo semplice (di ordine 1) in z0 e immediato verificareche il coefficiente c−1(z0) nello sviluppo di Laurent della f e illimz→z0

f(z) (z − z0).


Se la funzione f ha un polo di ordine n > 1 in z0 allora la funzione (z −z0)nf(z) e olomorfa in un intorno di z0 (in effetti ha una singolarita elimina-bile in z0 e la sua estensione e olomorfa). Il coefficiente c−1(z0) dello sviluppodi Laurent della f e identico al coefficiente cn−1(z0) dello sviluppo di Taylordella funzione olomorfa (z − z0)nf(z). Si ha quindi

Resz0(f) = c−1(z0) =1

(n− 1)!limz→z0

[(z − z0)n f(z)](n−1) (1.36)

Nel caso di funzioni con sole singolarita polari i residui sono quindi calcolabilidirettamente.

Chiameremo meromorfa una funzione f olomorfa nella regione Ω privatodi un insieme di punti in cui la funzione presenta singolarita polari (si notiche tale insieme risulta automaticamente costituito da punti isolati).Il calcolo di molti integrali indefiniti e, come vedremo, riportabile al calcolodi integrali di funzioni meromorfe su curve chiuse nel piano complesso. Ilteorema dei residui permettera di tradurre tale calcolo nella valutazione deiresidui delle funzioni stesse.

1.6.2 Calcolo di Integrali

Per il calcolo esplicito di alcuni integrali rilevanti nel seguito del nostroprogramma risultano necessari alcuni semplici lemmi che proviamo qui diseguito.Definiamo i settori del piano complesso di vertice nell’origine

SΘ1Θ20 ≡ z ∈ C|Θ1 ≤ arg z ≤ Θ2

Sia Cr = SΘ1Θ20

⋂z ∈ C| |z| = r l’arco di circonferenza di raggio r e centro

l’origine compreso nel settore e orientato in senso antiorario.Sia f una funzione continua dal settore SΘ1Θ2

0 in C.

Lemma 26 (Lemmi del cerchio grande e del cerchio piccolo) Se limz→∞

z f(z) = α,

per z nel settore, allora

limR→∞

∫CR

f(z)dz = iα(Θ2 −Θ1) (1.37)


Se limz→0

z f(z) = β, per z nel settore, allora

limr→0

∫Cr

f(z)dz = iβ(Θ2 −Θ1) (1.38)

Dimostrazione Ponendo z = |z| ei arg z l’integrale della funzione f sull’arcodi raggio ρ interno al settore diventa∫

Cρ

f(z) dz =

∫ Θ2

Θ1

f(ρ, θ) i ρ eiθ dθ = i

∫ Θ2

Θ1

f(z) z dθ

Poiche |z| |f(z)| e uniformemente limitata sugli archi CR e Cr nei casi conside-rati nel lemma e possibile passare il limite sotto segno di integrale e ottenereil risultato.

Lo stesso risultato vale naturalmente se i settori hanno vertice in un qualun-que punto z0 del piano complesso e lim

z→∞(z−z0) f(z) = α o lim

z→z0(z−z0) f(z) =

β.

Lemma 27 (Lemma di Jordan) Si consideri un arco di circonferenza CRnel settore SΘ1Θ2

0 0 ≤ Θ1 ≤ arg z ≤ Θ2 ≤ π come quello indicato in figura(dove si e considerato il caso Θ1 = 0 , Θ2 = π)Sia f una funzione a valori complessi, definita e continua nel settore, taleche lim

z→∞f(z) = 0 per z nel settore, allora

limR→∞

∫CR

eikzf(z)dz = 0 k > 0 (1.39)


Dimostrazione Data la continuita uniforme della f in Θ1 ≤ θ ≤ Θ2 siha che |f(z)| 6 KR, z ∈ CR, con KR indipendente da θ e lim

R→∞KR = 0.

Abbiamo quindi

I =

∫CR

eikzf(z)dz 6∫CR

|eikz| |f(z)|dz 6 KRR

∫ Θ2

Θ1

e−k y dθ (1.40)

PoicheIn coordinate polari y = R sin θ e∫ Θ2

Θ1

e−k ydθ =

∫ Θ2

Θ1

e−k R sin θdθ ≤ 2

∫ π/2

0

e−k R sin θdθ

Come risulta evidente dalla figura, nella regione 0 6 θ 6 π/2, vale la seguentestima sin θ > 2θ/π e quindi

I 6 2KRR

∫ π/2

0

e−k R sin θdθ ≤ 2KRRπ

2 k R(1− e−k R)

ed I → 0 quando R→∞ poiche KR → 0.


Appendice A

Successioni, serie numeriche eserie di potenze

In questa appendice riassumeremo le definizioni fondamentali ed i principalirisultati sulle serie di potenze e le serie numeriche ([1]).

A.1 Definizioni sulle successioni numeriche a

valori reali

Rivediamo alcune definizioni sulle successioni di numeri reali.

Si consideri una successione di numeri reali αn∞n=1.

Si definisca con Ak l’estremo superiore della successione αn∞n=k ottenutadalla successione originaria a cui sono stati sottratti i termini α1, α2, ..., αk−1.Ovviamente vale la proprieta A1 > A2 > A3 > ..., ovvero tale successione enon crescente e denotiamo il suo limite con A. A e definito essere il limitesuperiore della successione αn∞n=1(puo essere finito, oppure uguale a ±∞).

Il limite inferiore viene definito in modo analogo : sia ak l’estremo inferioredella successione αn∞n=k. La successione degli ak e non decrescente. Il suolimite e definito limite inferiore della successione αn∞n=k.

Il limite inferiore e superiore coincidono solo per le successioni convergenti adun valore finito o divergenti a +∞ o −∞. In seguito e adottata la notazionelim supn→∞

per il limite superiore e lim infn→∞

per il limite inferiore.

Valgono le seguenti proprieta (la cui prova e lasciata al lettore):

45

46APPENDICE A. SUCCESSIONI, SERIE NUMERICHE E SERIE DI POTENZE

i) lim infn→∞

αn + lim infn→∞

βn 6 lim infn→∞

(αn + βn) 6 lim infn→∞

αn + lim supn→∞

βn

ii) lim infn→∞


βn 6 lim supn→∞

(αn + βn) 6 lim supn→∞


βn

A.2 Successioni

Le definizioni che brevemente ricorderemo qui di seguito possono essere datein un qualunque spazio metrico completo. Noi le specializzeremo al caso incui tale spazio coincida con C, l’ insieme dei numeri complessi.

Definizione di limite di una successione: La successione an∞n=1 conan ∈ C ∀n si dice avere limite A se per ogni ε > 0 esiste un n0 tale che|an − A| < ε per n > n0.

Definizione di successione divergente: La successione an∞n=1 con an ∈C ∀n si dice divergente se per ogni M > 0 esiste un n0 tale che |an| > Mper n > n0.

Le successioni con limite finito si dicono convergenti.1

Definizione di successione di Cauchy: Una successione si dice di Cau-chy se ∀ε > 0 ∃n0 tale che |an − am| < ε ogni volta che m > n >n0.

In C (come in ogni spazio metrico completo) vale che:

Teorema 28 Una successione e convergente se e solo se e una successionedi Cauchy.

A.3 Serie

Utilizzando il criterio di Cauchy e possibile dedurre la convergenza di unasuccessione dalla convergenza di un’altra successione.Siano an∞n=0 e bn∞n=0 due successioni di numeri complessi. Se si verificala condizione:

|bm − bn| 6 |am − an|1vi sono successioni che non sono ne convergenti ne divergenti, come ad esempio zn = ın

A.3. SERIE 47

per tutte le coppie di indici allora la successione bn si dice una contrazionedella successione an.In questo caso se an e una successione di Cauchy, tale sara anche lasuccessione bn.

Definiamo ora la serie

S =∞∑k=1

ak (A.1)

sia sn (la somma parziale n-sima definita come segue)

sn =n∑k=1

ak.

Con sn∞n=0 indicheremo la successione delle somme parziali n-sime.

Convergenza di una serie: La serie S si dice convergente se e convergentela successione delle somme parziali n-sime. Il limite, se esiste, si dira sommadella serie.

Applicando alla successione delle somme parziali il criterio di Cauchy si ot-

tiene la seguente condizione per la convergenza: la serie∞∑k=1

ak converge se e

solo se per ogni ε > 0 esiste un n0 tale che |an + an+1 + ... + an+p| < ε pertutti gli n > n0 e p > 0. Per p = 0 si ritrova in particolare che |an| < ε.In questo modo si ottiene che una condizione necessaria: per la convergenzadella serie che il termine generale deve essere infinitesimo.

La serie∞∑k=1

ak puo essere confrontata con la serie

|a1|+ |a2|+ ...+ |an|+ ... (A.2)

Poiche vale che |an+an+1+...+an+p| 6 |an|+|an+1|+...+|an+p| la successionedelle somme parziali n-sime sn e una contrazione della (A.2). Quindi laconvergenza della (A.2) implica la convergenza della (A.1). Una serie con laproprieta di avere convergente la serie dei moduli e detta assolutamenteconvergente.


A.4 Convergenza uniforme

Si consideri la successione di funzioni complesse di variabile complessa fn(z)definite su una stessa regione Ω ⊂ C. Se la successione fn(z)∞n=0 converge∀z ∈ Ω allora il limite f(z) e ancora una funzione definita su Ω.

Convergenza puntuale La successione di funzioni fn(z) converge pun-tualmente alla funzione f(z) sull’insieme Ω se ∀ε > 0 e ∀ z ∈ Ω ∃n0(z)tale che |fn(z)− f(z)| < ε per tutti gli n > n0(z).

Convergenza uniforme La successione di funzioni fn(x)∞n=0 si dice con-vergere uniformemente alla funzione f(z) sull’insieme Ω se ∀ε > 0 ∃n0 taleche |fn(z)− f(z)| < ε per tutti gli n > n0, per ogni z ∈ Ω.

La convergenza uniforme di una successione di funzioni continue e condizionesufficiente perche il limite sia una funzione continua.Un test di convergenza uniforme e il seguente: se la successione di funzio-ni fn(z)∞n=0 e una contrazione di una successione convergente di costantireali an, allora la successione e uniformemente convergente. L’ipotesi daverificare e che |fm(z)− fn(z)| 6 |am − an| ∀z ∈ Ω.

Possiamo adoperare un criterio simile per le serie, che prende il nome di

M-test di Weierstrass . Supponiamo che la serie∑n

fn(z) ammetta come

maggiorante la serie a termini positivi∑

n an, ovvero che sia |fn(z)| 6 Manper qualche costante M e per n sufficientemente grande. Se la serie

∑n an

converge, allora la serie∑

n fn(z) converge uniformemente.

A.5 Serie di potenze

Per serie di potenze intorno ad un punto z0 ∈ C si intende la seguentescrittura formale:

∞∑n=0

an(z − z0)n

con an∞n=0 successione di numeri complessi. Prima di tutto occorre definiredove tale scrittura acquista un senso, ovvero dove la serie indicata converge.A tale scopo si consideri il seguente:

A.5. SERIE DI POTENZE 49

Teorema 29 (Teorema di Abel) Sia∞∑n=0

an(z − z0)n. Esiste R ∈ [0,∞]

detto raggio di convergenza tale che:

i) la serie converge assolutamente per z : |z − z0| < R ed uniformementeper z : |z − z0| 6 ρ < R

ii) la serie diverge per z : |z − z0| > R

iii) per z : |z−z0| < R la somma della serie f(z) e analitica e la sua derivatavale f ′(z) =

∑∞n=1 n an (z − z0)n−1

iv) il raggio di convergenza della serie delle derivate e lo stesso della seriedi partenza

v)1

R= lim

n→∞|an|1/n (criterio di Cauchy-Hadamard) o

1

R= limn→∞

|an+1||an|

(criterio di d’Alambert)2

2i due criteri sono equivalenti


Bibliografia

[1] L. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, New York, 1979.

[2] N. Melone Introduzione ai metodi dell’Algebra Lineare, CUEN, 1998.

51

Documents

Rodolfo Figari 25 marzo 2013 - people.na.infn.itpeople.na.infn.it/~figari/appunti/Capitolo I Analisi Complessa.pdf · Capitolo 1 Analisi Complessa 1.1 Richiami sui numeri complessi