Amit illik tudni matematikából

5/11/2018 Amit illik tudni matematikbl

1/26

Nyiregyhazi FoiskolaGazda sagi e s Ta rsada lom tudomanyi KaTGazdasagmodszertani Tanszek

"Amit illlk tudni matematikabel'(a k iizepiskola i anyag celiranyos fe le le venite se

rov id p elda kon k eresztid )

O:sszeallitotfa:Dr. Hadhdzyne dr. I szaly Ka ta lintanszekvezeto, foiskolai tanar

Nyiregyhaza2008/ 2009.


2/26

TAR T ALO IV[JEG Y ZE K.1BEVEZETES. I 11 ' . " 11 . 01 6 0 " " I PI , I111 1 ' > . . " " OL - a - ; r 0"" 9 I o~O ~"" '" I 11- 0 . 3

2. FE LADA TOK E REDMENYE K K E L ~ , 52.1. AZALGEBRA ELEMEI. 52.2. M(jYELETEK ALGEBRAI TORTE K K E L ~ 62.3. NEGATIV ES TOR TK IT E VO JU HATVA .NYOK 72 .4 . A LOG ARITM US . ,,, 82.5. EOYENLOTLENSEGEK AVALOS SZAMOK HALMAZAN 92.6. TRIGONOMETRIA 102.7. SZAMTANI SOROZAT 112.8. MERTANI SOROZAT 122.9. KAMATOS KAlv lATszAMiTAs 132.10. FDGGVENYYIZSoALAT 1 ~ 142.11. FDOGVENYVIZSoALA T 2 15

3 0 1 1 MEGOLDANDO FELADATOK ..> I D o " ' ct o .. ., oa .. "'''' ( 0 0" 0 11- "0l1 16r: "..""4 KEPLETGYUJTEM~NY .~ I04 1I O " " ., l oI .. " I I ' ' ' . . e , ' t . I - - f o t C I 17

4.1. ARITMETIKA E S ALGEBRA 174.2. SOROZATOK 184.3. ALGEBRAI K IFE JE Z E SE K , E GYENLETE K ~ 194.4. GONIOMETRIA (SZOOFOOOVENYEK) 194.5. FOO GV EN YT AN (ANA LlZ IS) 22. . .5 ..O SSZEFOGLALAS " D ".ij." ' 'I o t..Do.' ~."'#" iI + "" ~ "' iI 26


3/26

r. BEVEZETESG ratu lalunk sikeres felvetelijukhoz. A z orom on t61 valoszinu , hogy kicsit szorongassalis varjak az ev kezdeset.Az else felev sikeres abszolvalasahoz a m atem atika nagy kihivast jelen t. A nem till,k on ny ii targ y sikeres feldolgozasa eleve feltetelezi a k ozepisk olai tan an yag bizon yo sreszeinek a la po s i sme re te t,Ugy gondoltuk , hogy ehhez egy rovid "esszencicit" keszitunk a kritikus tem akorok fel-

Iada to r ien ta lt f eldolgoza saval .

A seg ed let elk eszitesek or a k ovetk ezo celt fo galm aztu k m eg .- Felvazoljuk azokat a kozepiskolai tem akoroket, am elyekre foiskolai tanulma-

n ya ik s ora n tam as zk od ha tn ak .- Az eredmenyekkel ella to tt peldakon keresztu l lehetosegnk lesz arra , hogy felter-

k epezzek a .feher foltokat" a t ud as ukban .- A .feher fo ltos" elrneleti ism eretek potlasa utan gyakorlatkent az itt ta la lh ato fe l-

adatok rnegoldasat tartjuk celszeninek - bem elegitokent .- m ielo tt a f6iskolaia ny ag feld olg oz asa elk ez do dn e.

Rernelem , hogy tu l egyszerunek tfin ik az a felsorolas, am elyiket a tovabbiakban olvasnifognak. Csak azokat a temakoroket emlltjuk, amelyek biztos ismerete feltetelezi azt,hogy a f6iskolai anyagot fel tudjak dolgozni.

E zek a temakorok a kove tk ez ok.

-- T ortekkel kapcsolatos rm iveletek es szabalyok, (K iem eles, egyszenisites, stb.),- Nevezetes szorzatok , hatvanyok felism erese m uveletek vegzese(pl.:(a+bi; (a-bi; (a+b)3; (a-b)J stb.),

- E xponencialis es logaritm ikus osszefuggcsek,- Szam tani es rnertan i sorozatok ,- A s zo gfu gg ve ny ek e rte lm e ze se (sin x, cos x, tg x, ctg x),- A z alaposszefuggesek ugyanazon szog szogfuggvenyei kozott

sin xpl.:sin2x+coix=1~ tg x- ctg x=T; tgx= -- ... stb.,cosx

3


4/26

- A nevezetes szogek (45~ 30', 60, Oes 90) szogfuggvenyei,- Nevezetes tetelek (pl.: Pitagorasz tetele, cosinus tetel, sinus tetel)- Osszegezesi tetelek

pI.: sin (a + ~) =?; cos (a + P ) = = ? ...stb.,- A ketszeres es felszogek fuggvenyei

pl.: sin 2a =?; cos 2a =t ...stb.,- Elemi fuggvenyek ertelmezesi tartornanyanak, ertekkeszletenek, menetenek szel-soertekeinek meghatarozasa,

- Fnggvenyek grafikonjanak megrajzolasa.

A se ge dle t v eg ere egy k ep le tg yu jteme ny t is e lh ely ez tu nk . E z ek et te rm e sz ete se na fu gg -venytablazatban is megtalaljak, de ugy gondoltuk, hogy a feladatok rnegoldasainalkonnyebben megkereshetik a kerdeses adatot.

A tovabbiakban egy csoportositott feladatsorral talalkoznak, amelyeknek az eredrnenye-it is k oz olju k, E z ek a z e re dm en ye k a fe1adatok mellett - a lap jobb oldalan - helyezked-nek el a teglalapokban. lg y lehetoseguk van az onellenorzesre is.A megoldott feladatok mellett a 3. fejezetben kitnzott feladatokkal talalkoznak.

4


5/26

2. FELADATOK EREDMENYEKKEL

2.1. Ai algebra elemei

1. V cgezze el a kovetkezQ mfiveleteketl

e) x (x + y) - y (x - y)=f) (x - 2) (x + 3) + (x +.2)(x - 3) =g) (2x + y) (2x - y) =2. Szamitsa ki a kovetkezo hatvanyokat!

c) [(- x ) Y r " "d) ( 5 . a .b2 Y ;>~e) (a2 .b3Y .(_2a3b2)2=

5

x2+y Ix2-12 r /f'' ._;,4x2- y - I

I 2Sa2 b4~II --,

.. ::./


6/26

2.2. MiiveJetek algebra; t6rlekkel

1. Az ismeretlenek mely ertekeinel nem ertelmezhetdk a kovetkezo. tdrtek?5a) -=x-I

mind en e rte k re e rt elmez ett

b =2, b =-2

e) a+2 =(a-3)(a+l)2. V eg ez ziik el a k ovetk ezo dsszeadasokar, kivonasokat!a+b a-ba).----- =. a+x a+x I2bl~a bb)-+-=x-I I-x ~~5 x-2 x-Ic) --- + =x-3 x2 -9 2x+6 x

2 +4x+372{x2 -9)

3. Algebrai tortek szorzasa, osztasa,

b)} 7.'4x3 -36x 14

IT]I 8~ I

x yc)~=x y-+-Y X

6


7/26

2.3. Negatfv as tortkitev6jii hawanyok1. Szamitsa kia ki5vetkezo hatvanyok ertekH!a) --2 s'. 10 -3 II 1 Ij . -- 5 ' 1000b) ( 1 ] -2 ( ~ r 3 . or' I 9 ; 27 10000. j3 ) , ~~ , , 8-',

" 1 2 5 [ Ic) \ 5-3 ' 9' 250; 20. _j3-2 ' 2 " 2 ,2. Alkalmazzon negatfv batvanykitevot!

a ) 1 1 1 1 2- 1 2 " 3 . 2-5, 4-3, I' 8' 32 '' 64 . , b) 0,1; 0,01; "0,001 10 - 1 , 10 -2, 10.3 ]1 ,c) 3 2 .2,5 ( U ' ; ( Z ; f ; ( ~ r8 ' 25 'd) 1 1 ( b - 5 ) 3 . ' ~ i ; \ , ! _ b -4 c-2, (b-sl (b+5rl.-2' - b 4c2 ' b+5 a ; J I a . , , : , i -'.3. Irja fel olyan alakban a kdvetkezf kifejezeseket, hogy ne legyen benntik tort!

a) ab2 ; 2xa -3 '

15x---'aJb-lc-3 '4. Vegezze el a kdvetkezf mfiveleteket!

, a ) ix-3; a -2 'a -3; aO 'a -1 u ; 1 1 I5"'a aI 2x3 + 2x + 2 III X4 +X3 +x+l IxI x3 _ y l

7


8/26

2.4. A logaritmus

1. Szamitsa kia kovetkezo logaritmusok ertekeit!a) IglOO = ; 19 10 = ; 19 1 =: 19 0,01 =b) Ig 10-1 = ; 19 S O =; 19 103 =; 19M=c) log} 9 =; logs 125::;:; log, 2 =d) log.a =; loga 1 =: log; b2 =

2. Oldja meg a kovetkezo egyenleteketla) log, a =4; log} b =2; logs b=3.

logh a=-l; log., b=O.log, x = -1,5.

log, . ! . . = -1.9'e) log, ;5 =-2; log, 8 = = - % ; log, 2 =.d) log, 81 =4; log, 64 =2;

"'\3.).?ejezziik ki x-et a kovetkezo egyenlosegekbol!_,

2' 1 ; Q . 2 .,I -1; O 3 ' 1,5. I,1

2 ' 3 ' 11

, , 2I 1 . Q . 2 . I,a= 16; b =9; b= 125.b =0,01; a =2; b= 1.

a=3; a=8; a=9.a= 5; a= 1. a=V2.1 6 '

a} lg x := 192,4 + lg 15;1 1b)lgx= 2 " 198- 2 " Ig2;

Ig x = 21g 12 -lg 18. I: : = = = 1 =============== : :

x =36; x=8.x= 2; x = _ ! _2 5x=bc; x=bk,

lg x = 2 19 5 + 3 19 2.c) log, x = log, b + log, c; loga x =k log , h.

.;?.:~\4~:!E g y en lO ek -e a k ov etk ezQ k ife je ze se k?~)'lg(5+6) e s 195+1g6

xb) 19 -- es Ig x -l g (x - 5), ha x > 5x -5c) lg x2 es 2 19x, ha x > 0

8

nemnemigen


9/26

2.5~Egyenlotlensegek a val6s szsmo halmazan1. Oldja meg a val6s szamok halmazana) x'i> i ]-00; -I] v ]1;+oo[

]~oo; -1 J u1; +oo(

c) r-9> 0 ]-00; 3[ v ]3; +ro[[-3; 3]

2* OIdja meg a val6s szamok ha lmazan aJgebrai tI t grafiku 'ton is.a) x2 - 2x- 3> 0 ] -00; -1 [u ] 3;+00 [

VxeR

c) .,(1+x+6 ~ 0 [-2~3]/1 "~ \I - ~ \2 t \ .~

L 1 A 7_ ,--1- a

9


10/26

2.6. Trigo nome tria1. Oldja meg a vakis szamok halmazan a kovetkezo egyenleteket!a) J2 n nsmx=- x: ::::- + 2 k n; X2 : :: ::3 - + 2 n n; k, n E Z2 4 4b) 1 [ x, = ~ + 2 k n; x = 5 ~ + 2 n n; k, n e Zmx= -2c) cos X =-1 I x = (2k + 1) n, k E Zd) cos x=-0,5 I x = 2; + 2 k ", k e Ze) ntg x =-1 x=--+knkEZ4 '

f) J3 1ttgx= -- x=--+kn kEZ3 6 'g) ctg 2x =1 IX=~+k;,kezh) sin 3x =0 I ' ~k ~, k e Zi) . 2 1 I " 5"m x=- 2 Xl = - + k n' X2 =- + n n' k n E Z12 ' 12 "j) tg (x- ~ ) = J3 I x= ~ +k",keZk) .23 I x=;+k",kEZm x=- 41 ) sin2 x - 2 sin x =0 I x =k n,k E Z

10


11/26

2.7. Szamtani sorozet

1. Hatarozza meg az elsf husz pares szam osszegH!al = 2; d = 2; n =20; Sn = - ?_ al +an _ a]+at+(n-l)d _2a]+(n-l)d 's - n- n- nn 2 2 2 .4 + 19 .2 20 21 20 420 I" ) , , ..Sn = 2 . = . "'" az elSo msz paros szam osszege.

2. Kor alaku cirkusz elso soraban 60 szemely ulhet es minden kovetkezo sorban5-5 szemellyel tobb, Hanyan ulnek a 15. sorban es hanyan femek el a cirkuszban, haa sorok szama 15.

ai = 60, d =5, n = 15, alS =?; SI S = ?a15=al + (15 - 1) d = 60 + 145 =60 + 70 ""130S15= a1 +a15 .15:= 60+130 .15=95.15=14252 2Az u to ls6 so rb an 130, az egesz cirkuszban 1425 em be r fe r el.

3. A szabadon eso test az elso masodpercben 4,9 m utat tesz m eg , minden kovetkezomasodpercben 9,8 m-rel to bb et. Menny i utat tesz meg a szabadon eso test az otodikmasodpercben,

al = 4,9 m; d =9,8 m; n =5; a5 ::::::as =al + (n -1) d =4,9 + 4 . 9,8 = 4,9 + 39,2 =44,1 mA test az oto dik m asod percben 4 4,1 m utat tesz meg.


12/26

2.8~Mertani sorozet1. q = 4; n =7~a7= 1024; al =?

I

a7=al' q6. al = ~ = 1024 = 1024 = _ ! _. ' q6 46 4096 4

2. al ::::::; q = 4; an = 128; n=?an,= ai- q n-l ; ~ = q-I n erteke csak egesz lehet, aJ

3=n-l; n=4

I3. aJ =8; q :;:;::; n =5; S5=?2

4. Mit er egy 240 000 F t e rt6 kii gep 6 ev mulva, ha az ertekcsokkenes evente az eloz6evi ertek 12%-a.

A gep egy ev utan ai eredeti a t 8 8% - at eri.a l =240000 Ft; q = 0,88; n =7; a 7 = ?a7=al . q6 = 240 000 . 0,886; 19240 000 = 5,3802

+ 6 190,88 =0,6670 - 11 9 a 7 :=6,0472 - 1

lg a7=5,0472;a 7 =III500 FtA gep erteke 6 ev mulva 111 500 Ft.


13/26

2.9. Ksmeios kamatszamiias

A szamitasban elofordulo mennyisegek neve es benijele:t -+- tokep -. kamatlab

n -+- az evek szam at, -. toke az n-ed ik ev vegen

t = t ( 1 + _ E _ ) nII 100

1. 2500 $megtakaritott penzunket takarekba tessziik. Az evi kamatlab 5%.Mennyi penzunk lesz 6 e v m ulva, ha a kam atot minden ev vegen a bete thez tesszuk?

t = 2500 $; P =5% ; n =6 ev; tn = ?4; = t ( 1 + l ) 6 ; : : : : :500(1 + _ 2 _ ) 6 =2500 ' 1)05610 0 10019 t6 "" 19 2500 + 6 19l,05t6=3351 $

19 2500 = 3,3979+ 6 19 1,05 ;:::::.1272

19 t6 = 3,5251Tehat 6 e v r nu lv a 3351 $-unk lesz.

2. Mekkora osszeget kell betennunk az evi 5% kamato t fizeto bankba, hogy 20 ev m ul-va 10000 $legyen?p =5% ; n =20 ev; t20 ;:::::10 000 $; t=?t2 0 =t ( 1 + L ) 2 0. 100 _ t20 10000t= ;:::::--

( . )20 10520l+L '100I

lg t=Ig 10000-201g 1,05 19 10 000 =4,000-20 1 9 1 , O S ; : : : : : 0.424

1 9 t = 3,576t=3770$A bankba tehat 3770 $ kell betennunk , hogy 20 ev m ulva 10 000 $ legyen.


14/26

2.10. Fl1ggvenyv;zsgaJat 1.Habirozza meg a kovetkezo fi iggvenyeka} Ertelm.ezesi tartomanyat: Et =?c) Umshelyet: Zit =?e) AbB'azoljuk azokat:

3. Y =' -O;5,x? + 2

\. x2-44.\ y =' -- x;t: 2_ J x-2y = (x-2)(x +~)=x + 2

x-2y=x+2

a) Et: x E : Rb)Ek: y:?:-lc) Zh: Xl =: -I

Xl"" 1. d) Po (0; -1)

b) Ertekkeszletet: Ek::::?d) Szelsoerlekpontjat: p , ; '

a) E t : x E Rb) Ek: y z -Ic) Zh: Xl = 1

Xz =3d) Po (2; -1)

b) E k: y : ; t o 4 kfil6nben Y E R

a) E t: x E Rb) Ek: yS2c) Zh: Xl =-2

X2= 2d) Po (0; 2)

, 1 \ . e)

I, . . . .~

a) : E t : x ER de X :;6 2

c) Zh: x =-2d) nines

~ . - - - - - - - - - - - - ~ - - - - - - ~ - - - - - - - - - - ~1 4 .


15/26

2..11.Fiiggvenyvizsgalaf 2.Ertelmezesi tartomannyal es ertekkeszlettel kapcsolatos feladatok

1. Hatarozza meg a kovetkezQ fliggvenyek ertelmezesi tartomsnyat e s e r-tekkeszletct!

5a) y=-- ,~x -17

b) y = 6x~ - 3x + 2'~'{.!:"'f'#'~,_t::L-, o.,-'(_l }~. ~~i''~~L,:.

t 1 jv!\. . . . . . . . -:.. ,

f t, .I!- 1 ( 1 ' 1 h'. j.~-'"Z_,(__- x * 1 x E R \ {-1~ I}x 2-1

I S


16/26

3. MEGOLDANDO FELADATOK1. Hatarozza meg a kovetkezo fiiggvenyek ertelmezesi tartomanyat es irja azeredmenyt a teglalapbal

a) 3Y " ". J S - X 2b) y"'"rc sin (x + 16)

c) 3y=---. J 9 - x2d) y= 19(x2+2x-24)e) 3 I= . J 2 - x 2t) Y = 19 (x 2 + X - 6) Jg) y=~h_X2 Ih) y =arc sin (x + 7)

i) 5x-10y= sin2x

2. Hatarozza meg a kiivetkezo fUggvcnyek zerushelyet es Irja az eredmenyt a tegla-lapbal

a) y=~h_X2

b) 5x-IOy= .sin2x

16


17/26

4. KEPLETGYUITEMENY4. 1. Ariimetika. as algebraHatvanyok, g y o k o k , lo:garitmu.sok (a va16s szamok koreben)A hatvfmYQk azonossagal tet~z61egeS kitevore

A z o n o s ~~puh a t v a n y o k :a~.ak=al l+kan:a~=(/I-k(aTl'f-a"l:"tiii!'=amkAzonos Idtev6jfi hatvanyok:a " . b " = : ( a b ) 1 1al1:b tl= (a':b)n ' "an~bll;"" (a~ b).{al1-1 +an~t.b + an-s.b2 + ... + a.b"-!+ b"-l)a2-b2=(a-b).(a+b) .0:'-: lr'=(a- b ) (0'+ubf bl)atk+:+b1k+l={a . f . b).{a!l


18/26

Logaritmusok azonossagalAznnea alapu logaritmusok:log, (xy):lo~ x+loSa Yl O B i : (x:y):;:lo~ x"':""loga Ylo~ (xn)=nlo~ z10&ta=llo~ 1=0Ktil6nbozl) alapu logMitmusok:lo&.blo~ a=1 1Iogb x=logb a}o&x=--.lOIk x, lo~b

4.2. Sorozatok

Specialis sorozat~kSz&mtan! (aritmetikai) sorozat :- 1ali=- - = < a k + 1 +a,,-f)2 .,ak~ak_l.+d

l 1 A =al+(k-l).dSIt=n. Ql+l1n !!.[~ +{n-l)dJ'2 2. ~,Mertan~ (geoll).etriai) sorozat:l a k l =:YafHl'Os:-t(!'k = ~-lqak = = a1tf-1Sn = al~-1q-llim Sn=~~ ha 1 ' 1 1 < 1fJ~... q-1

l{arnatos~~at~.a r a d e k s z a r r u t l sp %-oskamatlah eseten, n ev (id6szak) alatta kamatos kamatokkal felnfivekedett ertek: kn =ko ' (1 + 1~ T -az a jarad&. Ielnovekedett ertek.e: Sn= l~a . [ (1+1~r1].a t kOlcson torlesztesehez sziikseges e v i reszlet (annuitas):

, 'p"=1.(1+I~rl+~r -1'. r o o I

18


19/26

4.3. Algebra! egyenletekEgyismeretienes a1gehrai egy~nletek

Els6foku:egyenlet: t lX+.b =b (a~O);' . bGyoke X{.='*'"'_' " t " - : : ..: 'a-M a s od f o ku egyenl~.~:;~~+ bx+ c,=O (a ;eO)" 3'tp:t+q=O... . -bt'bt~4ac P I F p ) !Gyoke l : 1 1 . . 2 = ,2a . = "'":2 V l 2 ' J -q .A gyokok es egyijttbat6k osSzef tigg~eib ' .x1+:r,.=--=-pac:l;'X:!=-=q , ".;.; ":"". a1 1 . b P-+_.=_ ....=-_.:ll ~ e q

4.4. Goniometria (SzogflJggvenyek)

SzogfiiggvenyekItrtelmezes:

. 'J

(J.sm =-.C'f;cos =-C

. (ltg=lhctg =-ao G = rC)(cos 0::. sin ( 1 . ) ; tg 0:::::: sin ct ;co s

si n =Ycco s O::=Xotg O : = Y Dctg (1.=Xp

tg cos 0::c 0::=-.-sm 0::

19

F

. . . . . .

. ' C :,


20/26

..A sZi igf i . ig."cvenyek erlekB ITi ."{5Yesszogzogfi lggvenyevel ki fe jezve:r. . t II. I II L ! IV. !1- _ . _ j ~~90 1800= - ; 180"+ ~ 1 3 6 o o - ; - 0: 0 0 . " . : a . 1 9 .0< i " t ~l ..q ; " '"

siu 0 / 8m a; sm -sin lO t =sin ~ cos - cos a;co s If co s Q! -cos ' -cos 0: co s IX sin ('l -sm a :. _ --tgrp tg(J. -'{;go.: tg 1 % ! -:tg 0.: ctgct -etg ctg 0 :1 - : - ctg lX -ctg'1' ctg e x -ctg IX tg~ " " " J g 1 %-

. k = = O . 1. 2. 3.

t)ssze~figg~ek egy sz :og k ' :i1onb5zo szogffiggvenyei k6z6ttsin% I l ' ! + eos z 11= 1t 0:= sin IXg cos ~tg ,coso :C 0.:=-.-sm

tg o .:.c tg 1%.= 111+tg! 0.:= costa.

, .. 11+ctg2 0:=-.--sm:tQ:;= tga 1 = _ 1

sin it= = l'l-cos~ r. t it+tg:l. a; I Y 1 + ctg:e 0.:__- t =+ 1 I .. ctgco s a:= Vl-sin20. : =- 1 1 +tg2 a : Yl+ctg2 a :I -I sin 0: I :::::Vl-eoszl;t 1 .itgo:= =--I V1-sin2 o : 1 _ _ . , C05 ctg 0:I tg - YI-sin" [ = CO!!OI: 1

1""_.- < Yl-c05~ t g I sm 0:

OsszefUggesek ket szog szogfuggv imye i k5zoUKet szog osszegenek es ktilonhsegenek szogCtiggvenyei:sin (4 : p)=sin jl;cos P cos ( C o s i n { Jcos {o:P)=cos -cos fl=fsin IXsin Iit (


21/26

Ket s7,ogfiiggveny osszegenek szorzatta alakltasa: { J . . . . : x + / J o c - f JSIn 0:. +sm =zsm-2-eos-2-sin (in O(sin f Jt t R_ sin ( o t f J )g g,.. coso:;-cos { Jtg t R sin (o:.fJ)c IX cgv. . psm ee-sm i"

T obbszo r6s es felszogek. szogfi iggvenyeiKetszeres szogek:sin 2a:=2 sin a-COS -cos 2 =co sz -sinl! a.tg2o:= 2tg f t .. l_tgll or ;

ctg% rx.-lctg 20:= -r-:--2 etg c cHaromszoros szogek:sin 3"",,3 sin -4 sin2 0:eos 3 =4 cos3 0: - 3 co s IX

_ 3 tg _tg3 (ttg 3cr.- 1-3 tg2 ctg 3 !X Ctg3 oX.- 3 ctg Q:3 ctgz 11.-1 .n -s ze re s s zo ge k. trigonometrikus polinomok:SinnQ:=(~)cosn-la: 'Sin O:-(~)COSI1-3'Sin3 a . + ( ~ ) cosn-5(tsin5 i;r.- + - , ...cos nQ:= ( g ) co sn O C - ( 2 )


22/26

4.5. Fl1ggvenytan (AnaJizis)

Fugy venytipusokMonoton mggveny: Ha Xl..-:::- .! helyeken felvett fHgg'lrenyertekek

r{Xt}~f{::s), mnnotou n(i\"ekv6.{(:r.t)


23/26

~ e u d f f i g g v e n y e kLegegyszeriibb elemi ffiggvenyek (Rovidites: ET=ertelmez~ tartcmany,E K = crtekkeszlet.)Hatvanyfuggveny: y=3fI; n;>O egesz

ET: x minden vales sza.m,E I Y B S ;O , h a n=2kK , y minden vales szam, ha n=2k+ 1

y

.Forditott aranyossag: y = . !x

y"'1

x

y

IIGyokfiigg-veny: y= Y x ; n> 1 egesz!(

x

: a : . iX~O . ha n=2kT. t :J ; minden vales szam, ha n=2k + 1.ffi{' J YE:? ha n = = 2k.I minden vales szam, ha n=2k+ 1

23


24/26

EJrPi'.In~ncialisfiiggvcny: :y=


25/26

Trigonometrikus fiiggvenyek:g=sin x .. y=cus x

y

1!T; x minden vales szamEK: -l~x~ly=tgx

ItT: x minden vakis sz a r nEK: -l~x~l,y=ctg x

ET: x(2k+ l)iET: x~2k.~EK:' y minden va16s szam EK: { J .minden vales szamCikIometrikus f f i ggvenyek foertekei. (Arcusfiiggvcnyek)

Iy=arc sinx y=arc cos zy

-1 x

ET: -1x=El liT: -l~x~lEK:O~Y:3: rr

2 5


26/26

! ~ged let vegen - a 4. fejezetben, a kep le tgyii jt emenyben - ta la ln ak e gy H m a . 1 1 l ' \. 6 t ' ~ .

N ezzuk m eg. hogy hol es milyen ternakor5kn6i n yiljt s eg its eg et e z a kepletgy(ijtemeny!

- Nevezetes szorzatok, hatvanyok fe li smerese , rmive lt ek vegzese -laro 17 . o ld a iLog aritm asok azon ossag ai - lasd 18 . o ldalS zam ta nl e s m e rta ni s oro za to k -lasd .18 . o lda lS zo gfiig gv en ye k e rte lm e ze se -lfu ;d l 9 . o ld alAla po ss ze fb gg es ek ugya na zon s zog s zog fu ggve ny ei k o z o ! t - Ia sd 2 0. o ld alO sszeg zesi tetelek - lisd 21. oldal

- K etszeres es lelsz5gek sz6gfiiggvenyei =lasd 21. o ld alE l em i fiiggvenyek e rte lm e ze si ta rtomany an ak , ert6kk6sz1etenek 7 menetenek,s ze ls 66 rt6kemek a megha ta roz as a -lasd 22-23-24-25. o ld alA fU ggveny grafikonisnak m eghatarozasa - lasd 22-23-24-25. o lda l . .

A 2.7 , 2 .g ~ 2 .9-e s fe la da to k k im o nd otta n 61 etb lS lv ett g ya ko rla ti peldit d olg oz na k fe l,am in ek ko zv etle n h as zn a t 6 rz 6k e lh etju k .A gazda lkodas i szakos ha llg at6k na k - e rte le msz erlien - n ag yo n fontos ezek a ti sme t le s e)hiszen szakm aiu kho z fog tarto zni ezek ismerete, e s term eszetesen ~ foiskolai tanulma-nyaik so ran is t obbszo r, tobb t an ta rgyban t amaszkodunk ezekre az ismeretekre,

J6 tanu la st k ivanoka s ze rz o

26

Documents

Amit illik tudni matematikából