ÖSSZEFOGLALÓ MATEMATIKÁBÓL TANÍTÓKNAK

5/20/2018 SSZEFOGLAL MATEMATIKBL TANTKNAK

1/149

SZERKESZTETTE

DONTH RPD

SSZEFOGLAL MATEMATIKBL TANTKNAK(vglegest vizsga)

2009


2/149

Descrierea CIP a Bibliotecii Naionale a Romniei

DONTH RPD

sszefoglal matematikbl tantknak / Donthrpd - Sngeorgiu de Mure : Editura Hoppa!, 2009ISBN 978-973-151-061-3


3/149

3

TARTALOMELSZ HELYETT.................................................................................................................... 5I.FEJEZET..................................................................................................................................... 6MEGELZISMERETEK........................................................................................................ 6

1.1.Gondolkodsi mveletek................................................................................................ 61.2.A fogalom, a fogalom tartalma, a fogalom terjedelme (kre) .................................... 7

1.2.1. Fogalmak osztlyozsa........................................................................................... 81.2.2. Fogalmakkal vgzett mveletek............................................................................ 91.2.3. Mg egyszer a defincirl (rtelmezs, meghatrozs).................................... 10

1.3. tlet s formi............................................................................................................. 111.3.1. Az tletek felosztsa............................................................................................. 111.3.2. tletek kztti viszonyok..................................................................................... 121.3.3. Logikai alaptrvnyek.......................................................................................... 121.3.4. Kvetkeztetsek.................................................................................................... 12

1.3.4.5. Megfordts.................................................................................................... 131.3.4.6. Induktv kvetkeztets:................................................................................. 15

1.4.Diszlexia, diszkalkulia.................................................................................................. 161.4.1. Nhny hasznos tancs a gyermekkzpont oktats megteremtshez.......... 161.4.2. Tancs szlknek, pedaggusoknak................................................................... 18

VGLEGESTVIZSGA ANYAGA MATEMATIKBL................................................. 23II. FEJEZET................................................................................................................................ 24HALMAZOK............................................................................................................................... 24

2.1. rtelmezsek................................................................................................................ 242.2. Bennfoglals, rszhalmaz, egyenlsg........................................................................ 242.3. Mveletek halmazokkal.............................................................................................. 26

2.3.1. Egyests (uni)..................................................................................................... 262.3.2. Metszet (kzs rsz).............................................................................................. 27

2.3.2. Klnbsg (differencia)........................................................................................ 27

2.3.4. Descartes-fle szorzat (direkt szorzat)................................................................ 29III. FEJEZET ...............................................................................................................................31A TERMSZETES SZMOK HALMAZA.............................................................................31

3.1. Halmazok szmossga.................................................................................................313.1.1. Relcik .................................................................................................................313.1.2. Fggvnyek........................................................................................................... 343.1.3. Azonos szmossg (ekvipotens) halmazok....................................................... 35

3.2. A termszetes szmok halmaza.................................................................................. 363.2.1. A termszetes szmok fogalmnak halmazelmleti rtelmezse...................... 363.2.2. A termszetes szmok axiomatikus rtelmezse................................................ 37

3.2.3. A termszetes szmok rsa (brzolsa)........................................................... 393.2.4. Szmrendszerek....................................................................................................413.2.5. Mveletek a termszetes szmok halmazn....................................................... 443.2.6. Mveletek a tzestl klnbzszmrendszerekben......................................... 47

IV. FEJEZET............................................................................................................................... 49OSZTAHTSG A TERMSZETES SZMOK HALMAZN.......................................... 49

4.1. Oszthatsg, oszthatsgi szablyok......................................................................... 494.1.1. Mi a szmelmlet? (rvid trtneti ttekints).................................................. 494.1.2. Oszthatsg........................................................................................................... 494.1.3. Prmszmok........................................................................................................... 524.1.4. Kzs osztk.......................................................................................................... 54

4.1.5. Kzs tbbszrsk.............................................................................................. 57V. FEJEZET................................................................................................................................ 59A RQZ ,, SZMHALMAZOK.................................................................................................. 59

5.1. Az egsz szmok halmaza (Z).................................................................................... 59


4/149

4

5.2. A racionlis szmok halmaza ( Q ).............................................................................. 645.2.1. A Q halmaz ltrehozsa....................................................................................... 645.2.2. Racionlis szmok s trtszmok........................................................................ 67

5.3. A vals szmok halmaza (R )......................................................................................70VI. FEJEZET............................................................................................................................... 75EGYENLETEK, EGYENLTLENSGEK............................................................................ 75

6.1. Egyenletek.................................................................................................................... 756.1.1. rtelmezsek......................................................................................................... 756.1.2. Elsfok egyismeretlenes egyenletek..................................................................806.1.3. Msodfok egyismeretlenes egyenletek..............................................................816.1.4. Elsfok egyismeretlenes egyenltlensgek....................................................... 826.1.5. Elsfok ktismeretlenes egyenltlensgek........................................................ 836.1.6. Elsfok ktismeretlenes egyenletrendszerek.................................................... 876.1.7. Elsfok egyismeretlenes egyenltlensgrendszerek......................................... 896.1.8. Elsfok ktismeretlenes egyenltlensgrendszerek......................................... 89

VII. FEJEZET .............................................................................................................................91MENNYISGEK, MRTKEGYSGEK..............................................................................91

7.1. Mennyisg.....................................................................................................................917.2. Hosszsg..................................................................................................................... 92

A prefixumok (eltagok)................................................................................................ 947.3. Tmeg........................................................................................................................... 957.4. Id................................................................................................................................. 997.5. Terlet........................................................................................................................ 1047.6. Trfogat...................................................................................................................... 108

VIII. FEJEZET......................................................................................................................... 113MRTANI ALAPISMERETEK.............................................................................................. 113

8.1. Rvid trtneti ttekints.......................................................................................... 113

8.2. A mrtan alapfogalmai, fogalmai............................................................................. 1158.3. A sokszgek ............................................................................................................. 1218.3.1. Hromszgek....................................................................................................... 1218.3.2. Ngyszgek.......................................................................................................... 125

8.4. Metrikus sszefggsek a derkszghromszgben ......................................... 1328.5. Mrtani testek ......................................................................................................... 136

SZAKIRODALOM................................................................................................................... 149


5/149

5

ELSZ HELYETT

A knyv szndka, segteni azokat a tantkat, akik vglegest vizsgra jelentkeztek. Aknyv feldolgozza azt a matematikai tartalmat, melyet a Nevelsgyi Minisztrium 2000.prilis 26-n kelt 3701-es rendeletvel (OMEC) jvhagyott, Tanmenetben rgztett, a

vglegestvizsgra jelentkeztantk szmra. Megjegyzend, hogy ez a legutols hivataloss rvnyes tanmenet, mely tartalmazza a fokozati vizsgk tantrgyanknti kvetelmnyeit.Tbbvi tapasztalat azt igazolja, hogy a vglegest vizsgra jelentkezk, felkszlstmegnehezti egy szintzis hinya, mely tartalmazn az elrt matematikai tartalmat. Mr avizsga idpontja, hogy az llamvizsgt kvetkt vagy tbb vi sznet utn kell a magasabbmatematikbl vizsgzni, megnehezti a helyzetet. A kt vizsga kztti idszak (kt vagy tbbv) inkbb szakmai, mdszertani problmk (tants-tanuls) megoldsval telik el. Nemnagyon jut id kzbe-kzbe a magasabb matematikval foglalkozni. A knyv az emltettkimarads feltltst clozza meg. A matematikai tartalom trgyalsnl nem mindgtrekszik a szigor matematikai bizonytsra. Jobbnak lttam egy-egy elvontabb bizonytshelyett egy szemlletesebb pldval megrthetbb s vilgosabb tenni az illetmatematikai

fogalmat. gy gondoltam, hogy egy szemlletes plda jobban segti a hallgatt a krdsesmatematikai fogalom megrtsben, elsajttsban, mint a szigor s elvont matematikaibizonyts. Nem feledkeztem el a klnbzgondolkodsi mdok bemutatsrl sem, melyetegy-egy ttel tbbfle kppen trtn igazolsval vagy a ttelhez, fogalomhoz vezettbbfle t, bemutatsval igyekeztem megvalstani. A szintzis igyekszik egy elg gazdaggrafikai anyaggal is szemlletesebb s ttekinthetbb tenni a matematikai tartalmat.A knyvet nagy haszonnal alkalmazhatjk azon hallgatk is, akik fiskoln vagy egyetemeniratkoztak be a tanti vagy vni szak elvgzsre.Megemltem korunk egyik nagy problmjt a diszlexit s a diszkalkulit, mint gyakorivvl jelensget a gyerekek krben.Krem a kedves olvast, hogy a knyv hasznlata alkalmval felmerlt szrevteleirl tegyemeg megjegyzseit a kvetkeze-mail cmen: [email protected] a kedves olvaskat, rintetteket rdekli egy szintzis megjelentetse, matematikaimdszertanbl az I-IV osztlyok szmra, krem, jelezzk a fenti e-mail cmen.

A szerkeszt


6/149

6

I.FEJEZET

MEGELZISMERETEK

1.1.

Gondolkodsi mveletekAz ember tbb mint ktezer ves vgya, hogy megismerje a vilgot s alrendelje rdekeinek.A vilg, a dolgok, jelensgek, folyamatok tbbszrsen kapcsold szvevnye. A dolgok,ellenttek egysge, mert ha van egy lnyeges oldala, van egy lnyegtelen is, ha van egylland (maradand) oldala van egy mland is, ha van egy szksges oldala, van egy alkalmi(esetleges) oldala is, ha van egy ltalnos jellegoldala, akkor van egy egyedi oldala is, stb.Az ember igyekezett megtallni a dolgok, jelensgek s folyamatok kztti klnbsget seljutott ezek kategrikba (osztlyokba, halmazokba) val besorolshoz, hasonlsgukalapjn. Ebben az osztlyozsi eljrsban jelents szerepet kaptak a dolgok, jelensgek egyedis ltalnos tulajdonsgai. Pontosan az egyedi tulajdonsgokban klnbznek egymstl s azltalnos tulajdonsgok alapjn, tartoznak ugyanabba az osztlyba. Az egyedi tulajdonsgok(vonsok) rzkelhetek, mg az ltalnosak felfoghatak (megrthetek).Az objektv valsg arra ktelez, hogy elfogadjuk az ltalnos klnbz fokozatait, vagyisaz ltalnos fogalma elg relatv. Pldul a mrtan vilgbl adhatunk erre egy szemlletespldt:

ngyzet tglalap paralelogramma viszonya;

a ngyzet egyedi eset, a tglalap sajtos eset s a paralelogramma ltalnos.Teht a sajtos tulajdonsg ltalnos az egyedihez viszonytva, s sajtos egy ltalnoshozkpest. A sajtos egy kiss ltalnos de nem egyedi.

ngyzet tglalap viszonya;a ngyzet egyedi eset, a tglalap ltalnos ebben az olvasatban.Teht a sajtos az egyedihez viszonytva ltalnosnak nevezhet.Azt a gondolkodsi mveletet, mely meghatrozza a dolgok, jelensgek egyedi (egyni)tulajdonsgait (melyekben klnbznek egymstl) s a kzs tulajdonsgaikat (melyekbenhasonltanak egymshoz) sszehasonltsnak nevezzk.Ahhoz, hogy meg tudjuk llaptani a dolgok, jelensgek tulajdonsgait, gondolatban fel kellbontanunk ket alkot elemeikre, s mindeniket kln tanulmnyozni. Ezt a gondolkodsimveletet nevezzk analzisnek.Ez a valsg kutatsnak egyik mdszere, de nem elgsges, ezrt szksges, hogy kvesse a

szintzisnek nevezett gondolkodsi mvelet. Ezzel a gondolkodsi mvelettel a dolgokat,jelensgeket sszetesszk alkot elemeibl, alapozva a kzttk levkapcsolatokra.Az elvonatkoztats (absztrahls) az a gondolkodsi mvelet, mikor egy csoport dolognakvagy jelensgnek kiemeljk a lnyeges tulajdonsgait s ltalnostjuk. Teht azelvonatkoztatssal eltrbe kerlnek az ltalnos tulajdonsgok, s httrbe szorulnak asajtosak. A logikus gondolkodsban az elvonatkoztatst llandan kveti az ltalnosts,melyek elvlaszthatatlanok. Teht az ltalnostssal egy j fogalomba foglaljuk azondolgoknak, jelensgeknek a csoportjt, melyek rendelkeznek a megadott kzs (ltalnos)tulajdonsggal. Pl.:

A 3 termszetes szm fogalma, jelenti azon halmazok sszessgt, melyekkzs (ltalnos) tulajdonsga, hogy hrom elembl llnak.

A paralelogramma fogalma, jelenti azon ngyszgek halmazt, melyek kzs(ltalnos) tulajdonsga, hogy a szembe lvoldalaik prhuzamosak.


7/149

7

Az ltalnosts olyan gondolkodsi mvelet, amelyben megtrtnik az absztrakcival(elvonatkoztatssal) kiemelt lnyeges jegyek sszegzse s kiterjesztse a fogalomhoz tartozdolgok s jelensgek valamennyi egyedre, egsz csoportjra. Teht az ltalnos elemeket adolgok, jelensgek stb. nagyobb csoportjra vonatkozan ltalnos rvnynek tekintjk.

1.2. A fogalom, a fogalom tartalma, a fogalom terjedelme (kre)

A fogalomalkotsban rszt vesz minden gondolkodsi mvelet. Pldnak hadd hozzam fel, aparalelogramma (egyenlkz ngyszg) mrtani fogalmat, mert taln mindenki szmra alegszemlletesebb s elg konkrt. Ennek a fogalomnak a kialaktsra a tanr egyszerbemutat egy vltozatos s gazdag szemlltet anyagot, melyek egy rsze kartonbl, drtblkszlt vagy ppen rajzon brzol egy paralelogrammt s ms mrtani idomokat is(hromszget, trapzt, ltalnos ngyszget, stb.). A tanulk a tanr irnytsvalsszehasonltst tesznek a bemutatott mrtani idomok kztt. Az eredmny tbb, bizonyosmrtani idomokbl, kpzett csoportok (halmazok) lesznek (osztlyozs). Egy ilyen klncsoportot fognak kpezni a paralelogrammk. A tanr rirnytja a tanulk figyelmt erre acsoportra s felkri a tanulkat annak vizsglatra. A tanulk megvizsgljk, analizljk, aparalelogrammk csoportjnak elemeit. gy megllaptjk a paralelogrammk alkotelemeinek (oldalak, szgek) tulajdonsgait, majd szintzissel ellltjk a paralelogrammtoldalaibl, szgeibl az ket jellemz tulajdonsgok alapjn. Mindez a paralelogrammnak atanulk ltali, rajzban, val brzolssal fog megvalsulni. Ezt kveti az elvonatkoztats(absztrahls) mvelete, mely segtsgvel sztvlasztjuk a lnyeges tulajdonsgokat alnyegtelentl. Vagyis megllaptjk a paralelogramma ltalnos tulajdonsgait (amelyekminden paralelogrammra rvnyesek), s melyek klnbznek az egyedi tulajdonsgoktl(milyen anyagbl kszltek, milyen a sznk, az oldalak hossza, a szgek nagysga, stb.).

Megllaptst nyer, vagyis definiljuk (rtelmezzk) a paralelogramma fogalmt, hogy az angyszg, melynek szembe lvoldalai prhuzamosak. Az ltalnosts mveletn keresztlmegllaptjuk, hogy az sszes olyan skidom, mely rendelkezik az elvonatkoztats alapjnmegllaptott tulajdonsggal, az mind paralelogramma. A fogalom rgztse rdekbenellenpldval is szolglunk az ltal, hogy felkrjk a tanulkat, mondjk el, mirt nemparalelogramma a hromszg, a trapz, az ltalnos ngyszg, stb.szrevehet, hogy amg az sszehasonlts, analizls s szintetizls a szemlltetsretmaszkodik addig az elvonatkoztats, s ltalnosts eltekint a szemlltetstl smeghatrozza a fogalmat. Teht a fogalom nem azonos a fogalmat szemlltetdologgal, nemrendelkezik a sajtos (egyedi) tulajdonsgokkal, csak az ltalnos s lnyegestulajdonsgokkal. A lnyeges tulajdonsg, azaz ltalnos tulajdonsg, mely nlkl nem ltezik

az illetdolog vagy jelensg.Teht a fogalom, az a logikai forma, mely rendelkezik egy csoport (halmaz) dolog, jelensglnyeges s ltalnos tulajdonsgaival (ismrveivel).A fogalomalkots egy hosszas folyamat, melyben a gondolkodsi mveleteken kvlmegtallhat mg az rzet, szlels, kpzet, figyelem, memria, fantzia.A fogalom alkot elemei a fogalom tartalmas a fogalom kre (terjedelme).A fogalom tartalmt kpezik a dolgok s jelensgek egy csoportjnak azok a lnyeges sltalnos tulajdonsgai, melyek megadjk a fogalmat. Pldul a paralelogrammnl a fogalomtartalmt, kpezik a kvetkezlnyeges s ltalnos tulajdonsgok:

- skidom- ngy oldala van

- szemben lvoldalak prhuzamosak.A fogalom terjedelmt (krt) kpezik azok a dolgok, jelensgek, melyek rendelkeznek atartalomban felsorolt tulajdonsgokkal. Pldul a paralelogramma esetn a fogalom krt,alkotjk a ngyzetek, rombuszok, tglalapok, ltalnos paralelogrammk.


8/149

8

A fogalom tartalma s terjedelme fordtottan arnyos egymssal. Minl kevesebb az ismrvekszma - teht ltalnosabb a fogalom tartalma - annl tbb trgy, jelensg tartozik aterjedelmhez. Tbb klnbz dolognak kevesebb az azonos tulajdonsga, ismertetjegye.Az ismrvek szmnak nvelsvel egyre kevesebb dolog tartozik majd a fogalomterjedelmhez.Egy fogalom rtelmezse (defincija, meghatrozsa) a fogalmat alkot lnyegi, meghat-

roz tulajdonsgok, vagyis a fogalom tartalmnak, felsorolssal val kifejtse. A defincisegtsgvel pontosan azokat az objektumokat vlasztjuk ki, melyek rendelkeznek a felsorolttulajdonsgokkal. A definci tartalmazza a meghatrozand fogalmat s a meghatrozfogalmat, valamint a fogalmat meghatroz lnyeges tulajdonsgokat. A meghatrozfogalom egy a meghatrozand fogalom fl rendelt fogalom. Pl.:

Paralelogrammnak nevezzk azt a ngyszget,melynek szembe lvoldalai prhuzamosak.

Itt a meghatroz s egyben flrendelt fogalom a ngyszg s a meghatrozott, egybenalrendelt fogalom a paralelogramma. A meghatroz tulajdonsgok: ngyszg (skidom),szembe lvoldalak prhuzamosak.Teht amikor az egyik fogalom terjedelme teljes egszben (paralelogramma) beletartozik

egy msik fogalom terjedelmbe (ngyszg) s az egyik fogalomban ltalnostott lnyegesismertetjegyek (paralelogramma) tartalmazzk a msik fogalomban ltalnostott ismertet

jegyeket, akkor az els fogalom alrendeltsgi viszonyba van a msodik fogalommal. Az afogalom, amelynek terjedelme beletartozik a msik terjedelmbe (az alrendelt fogalom) az afogalom a fajfogalom (species), az pedig, amelyik magba foglalja (flrendelt fogalom) amsik fogalmat, nemfogalomnak (genus) nevezzk. Pl.: a paralelogramma fajfogalom s angyszg nemfogalom.Mg egyszer sszefoglalva:Az osztlyozott fogalmak - ismrveik szmnak vltozsbl ereden - egymssal klcsnsal- s flrendeltsgi viszonyban llnak. Ez a viszony relatv, vagyis valamely fogalom nemabszolt rtelemben vett nemfogalom vagy fajfogalom, hanem mindig csak egymssalkapcsolatos konkrt vonatkozsokban. Az a fogalom, amelynek ms fogalmak vannakalrendelve anemfogalom(genus), az altartoz fogalom viszont afajfogalom(species). Azal- s flrendeltsgi viszonyban ll fogalmak kzl azt a fogalmat, mely egy adottfogalomnak kzvetlenl (elsszinten) van alrendelve, a legkzelebbi fajfogalomnak(genusproximum) nevezzk.A fogalmak nyelvi kifejezsi formi a szavak s szcsoportok. Nem minden sz vagyszcsoport fejez ki fogalmat.

1.2.1. Fogalmak osztlyozsa

A fogalmak osztlyozsa trtnhet tbbfle szempontbl.Tartalmuk szempontjbl a fogalmak lehetnek: valdi fogalmak s res fogalmak. Valdi

fogalom az, melynek terjedelme nem res halmaz, vagyis lteznek olyan objektumok, melyekrendelkeznek a fogalom tartalmban felsorolt tulajdonsgokkal. res (nem valdi) fogalom,amelynek terjedelme nem tartalmaz egyetlen objektumot sem. Vagyis nem ltezik olyanobjektum, mely rendelkezne a tartalomban felsorolt tulajdonsgokkal.

Terjedelmk szempontjbl a fogalmak lehetnek: ltalnos fogalmak, mikor a fogalomterjedelmhez sok objektum tartozik; sajtos fogalom, mikor a fogalom terjedelmhez nhnyobjektum tartozik; egyedi fogalom, mikor a fogalom terjedelmt egyetlen objektum kpezi.Pldul: ltalnos fogalom a fggvnyek fogalma, mert nagyon sokfle fggvny tartozik ide;

sajtos fogalom pldul az elsfok egy ismeretlenes egyenletek, mert csak egy nhnytartozik ide; egyedi fogalom a szm fogalma, mert csak egy van ilyen, mely a krkerletnek s tmrjnek arnya.


9/149

9

Alapfogalom olyan fogalom, mely valamely tudomnyban alapvet fontossg, melynekflfogsa dntaz egszre nzve. Pldul a matematika fogalmai ktflk. Vannak olyanok,amelyeket alapfogalmaknak fogadunk el: ezeket nem vezetjk vissza ms fogalmakra. Atbbi fogalmat szrmaztatottaknak tekintjk, s definiljuk ket. Teht az alapfogalom vagyelsdleges fogalom olyan matematikai fogalom, amelyet definci nlkl tekintnk ismertnek.Nincs meghatroz vagy flrendelt fogalom, csak fogalom, a tmban az elsfogalom. Pl.:

mrtanban alapfogalom vagy elsdleges fogalom a pont, az egyenes, a sk. Vagy alapfogalompldul a halmaz s a halmazhoz val hozztartozs (eleme). Az alapfogalmak segtsgvelhatrozzuk meg a tbbi fogalmat.Lteznek mg ms szempont osztlyozsok is, melyekre nem trnk ki.

1.2.2. Fogalmakkal vgzett mveletek

Az ltalnosts egy logikai mvelet, mikor egy fajfogalomrl (alrendelt fogalomrl)ttrnk egy nemfogalomra (flrendelt fogalomra). Pl. a paralelogrammrl a ngyszgre.Vagyis az a fogalmakkal vgzett logikai mvelet, amelynek segtsgvel egy fogalomrl egy

ltalnosabb fogalomra trnk t.Hatrols vagy specializls az ltalnostssal ellenttes irny mvelet. Egy ltalnosabbfogalomtl egy kevsb ltalnos fogalomhoz jutunk. Msknt mondva, mikor egynemfogalomrl egy fajfogalomhoz jutunk.Az ltalnostssal n a fogalom terjedelme s cskken a tartalma, mg a hatrolssal vagyspecializlssal cskken a fogalom terjedelme, mert n a tartalma. Teht e mveleteksegtsgvel ttrhetnk egyik fogalomrl a msikra. Az itt felsorolt mveleteket csakmegegyezfogalmak esetn lehet alkalmazni.Az osztlyozs olyan logikai mvelet a fogalmakkal, mikor a lnyeges ismertetjegyek kzla kzs ismrvek a trgyakat egy flrendelt, ltalnosabb osztlyba egysgestik. Azt akzs ismertetjegyet, mely az adott osztly fogalmait ms osztlyok fogalmaitlmegklnbzteti, anemet (genus) tkrzismertetjegyneknevezzk. Azt a kzs ismrvetpedig, amelyik az adott osztlyon bell megklnbzteti a fogalmak egy csoportjt, a fajt(species) tkrzismertetjegynek nevezzk. Vagyis az osztlyozs mvelete sorn az gynevezett faj fogalmakbl ltrehozunk egy nemfogalmat, mely flrendelt fogalma az fajfogalmainak. Az osztlyozs az ltalnostsnak egy sajtos esete.Az osztlyozs fordtott mvelete a fogalom feloszts, mely az a logikai mvelet, melyneksegtsgvel feltrjuk a fogalom terjedelmt, rmutatunk a felosztand fogalomnak alrendeltfaji fogalmakra egy valamilyen kzs, lnyeges ismertetjegy alapjn. Vagyis felsoroljuk afaji fogalmakat az adott kritrium alapjn, melyek az adott fogalom terjedelmhez tartoznak.A feloszts alkot elemei: a felosztand fogalom, a feloszts tagja, a feloszts alapja (ismrv).

A feloszts szablyai:- a felosztsnak csak egy alapja lehet (egy jl meghatrozott kritrium, ismrv);- a feloszts tagjainak ki kell zrniuk egymst;- a felosztott fogalom terjedelme egyenlkell, legyen a kapott faji fogalmak

terjedelmeinek sszegvel;- a feloszts tagjainak a felosztand fogalomhoz viszonytva a legkzelebbi

fajfogalmaknak (genus proximum) kell lennik, egymshoz viszonytva pedigmellrendelteknek.

Ez a kt mvelet, osztlyozs s feloszts, a fogalom terjedelme sszetevsnek s

felosztsnak a mveletei.Ms logikai mveletek, melyeket mg a fogalmakkal vgezhetnk, a kvetkezk:sszehasonlts: trgyak s jelensgek sszevetse s klnbsgeinek kikeresse. Fbbmozzanatai az azonosts s megklnbztets.


10/149

10

Analzis: a trgyak s jelensgek elemeinek, tulajdonsgainak s viszonyainak gondolatisztvlasztsa abbl a clbl, hogy a lnyegest kiemeljk.Szintzis: a trgy klnbzoldalainak, rszeinek sszefggseit, kapcsolatait helyrelltjuk.Absztrakci: a trgyak egyes lnyeges tulajdonsgainak s sszefggseinek gondolatbanval elvlasztsa sszes tbbi tulajdonsgaitl s sszefggseitl s tiszta formban valkiemelse.

1.2.3. Mg egyszer a defincirl (rtelmezs, meghatrozs)

A definici az a logikai mvelet, mely felsorolja egy fogalom tartalmt. A definils viszontaz a logikai mvelet, mellyel eljutunk a defincihoz, vagyis megtesszk a fogalmat alkotlnyegi, meghatroz tulajdonsgok megllaptst. Ezzel egyttal kifejezzk azokat a logikaistruktrkat, melyek elvlasztjk egymstl az egyes nemfogalmakat (genus). A szpdefinci elegns, szabatos, tmr s kimert.A definici segtsgvel pontosan azokat az objektumokat vlasztjuk ki, amelyekrendelkeznek a definciban felsorolt tulajdonsgokkal. Teht a defincival kapcsolatban

lev kategrik a kvetkezk: nemfogalom (genus), fajfogalom (species), megklnbztetismertetjegyek (differentia specifica), sajtos tulajdonsgok, magn tulajdonsgok.A nemfogalom reprezentlja a nemet, tkrz ismertetjegyeket, melyekkel rendelkezik azsszes objektum, melyek a nemfogalomhoz tartoznak. A fajfogalom reprezentlja a fajt,tkrzismertetjegyeket, vagyis amiben klnbzik az egyik fajfogalom a msiktl, melyekugyanazon nemfogalomhoz tartoznak A sajtos tulajdonsgok azok, melyek a fajt tkrzismertet jegyekbl szrmaznak. Magn tulajdonsgok azok, amelyek csak az individuumot

jellemzik. Teht a definici segtsgvel elhatroljuk az egyik fajfogalmat a msiktl, melyekugyanazon nemfogalomhoz tartoznak. A definici magba foglalja a nemet, a fajt,megklnbztet ismertetjegyeket (differentia specifica), kizrja a sajtos s magntulajdonsgokat. Pl.:

A tglalap az a paralelogramma, melynek van egy derkszge.A nemfogalom a paralelogramma, fajfogalom a tglalap s a megklnbztetismertetjegy,van derkszge. A definici kizrta, vagyis nem tartalmazza a tglalap sajtos tulajdonsgait:tli egyenlk, szgei egyenlk, stb., magn tulajdonsgait pl. a mreteit (ez vltoziktlalaprl tglalapra). A megklnbztet ismertetjegy lehet a fajfogalom brmelyik sajtostulajdonsga. Pl.:

A tglalap az a paralelogramma, melynek tli egyenlk.A van derkszge tulajdonsg megy a sajtos tulajdonsgok kz.Tbbfle definici ltezik:a) Definils a (legkzelebbi) flrendelt fogalom s a megklnbztet tulajdonsgok

alapjn (pl. a tglalapfent megadott defincija).b) Genetikus definci: egy adott fogalom keletkezst, ellltst rja le. (pl. Ha kt algebraikifejezst egyenlsgjellel kapcsolunk ssze, akkor egyenletrlbeszlnk.)

c) Rekurzv definci (Szmtani sorozat (haladvny):2

11 + += nnnaa

a )

d) Definci megadsa szimblumok segtsgvel ( 10 =a ).e) Kzvetett definils aximk segtsgvel (pl. a termszetes szmok jellemzse a Peano-

fle aximarendszerrel).f) Lers, magyarzat, pldkon keresztli absztrakci (pl. irracionlis szmok,a tizedes

szmhoz hasonl szmok, vgtelen sok szmjeggyel s nem szakaszosak).g) Halmaz elemeinek, sszes rszhalmazainak megadsval (pl. negatv egsz szmok, nulla).h) Hozzrendel meghatrozs: (pl. a szm brmely kr kerletnek s tmrjnek a

hnyadosa).


11/149

11

1.3. tlet s formi

Az tlet, olyan gondolati forma, amelyben meghatrozott sszefggsek ltezst lltjuk,vagy tagadjuk. Pldul: A tglalap egy paralelogramma.Rszei:

1. Logikai alany: amelyben kifejezzk az tlet trgyt (tglalap)

2. Logikai lltmny: amit az tlet trgyrl lltunk vagy tagadunk(paralelogramma)

3. Copula (ktsz): maga az llts vagy tagads (egy )Az alanyt s lltmnyt egyttesen az tlet terminusainak nevezzk. Az tleteket mondatokformjban fejezzk ki.

1.3.1. Az tletek felosztsa

a.)Az tletek a bennk tkrzdobjektv viszonyok jellegeszerint lehetnek:- kategorikus tletek: amelyekben azt fejezzk ki, hogy egyik vagy msik trgyban

megvan vagy hinyzik valamely ismertetjegy vagy ismertetjegyek;- sztvlaszt tletek: lehetnek egyestsztvlaszt vagy kizr sztvlaszt;- egyest-sztvlaszt tlet: azt lltjuk, hogy egy trgyban a meghatrozott

tulajdonsgok kzl legalbb valamelyik megvan. Az egyes tagok nem zrjk kiegymst. Kplete: S vagy P1, vagy P2, vagy P3

- kizr-sztvlaszt tlet: valamely tulajdonsgok sszeegyeztethetetlensgt fejezzkki. Az egyes tagok kizrjk egymst. Kplete: S vagy P1vagy P2

- alap-kvetkezmny tpus tletek: ezekben a jelensgek oksgi kapcsolata fejezdikki, hogy egyikk ltezse alapul szolglhat a msik ltezsrl szl kvetkeztetshez.

Kplete: Ha S - P, akkor S1- P1Ha S - P, akkor S1nem P1Ha S nem P, akkor S1- P1Ha S - P, akkor S1vagy P1vagy P2

b.)Minsg szerint:- llt tlet- tagad tlet

c.) Terjedelem szerint:- ltalnos tlet: az llts vagy tagads az alany-fogalomban ltalnostott sszes

trgyakra vonatkozik;- egyedi tlet: az alany egyedi fogalom;- rszleges tlet: az llts az alanyknt szolgl fogalom terjedelmnek csak egy

rszre vonatkozik;

Pldk az elzkt tpusra:1.ltalnos llt tlet: Atpus tlet. Kplete: minden S - P2. Rszleges llt tlet: Itpus tlet. Kplete: nhny S - P3. ltalnos tagad tlet: Etpus tlet. Kplete: egy S sem P4. Rszleges tagad tlet: Otpus tlet. Kplete: nhny S nem P

d.) Mdozat szerint:1. Valsgot kifejez vagy tnytlet: valamilyen trgy, jelensg, sszefggs

ltezsnek egyszermegllaptsa.Kplete: S - P; S nem P


12/149

12

2.Szksgszersget kifejez tlet: valamilyen a valsgban ltez sszefggsszksgszervoltt fejezi ki.

Kplete: S szksgszeren P; S nem lehet, hogy ne legyen P3. Lehetsget kifejez tlet: annak lehetsgt fejezi ki, hogy egyik msik

trgyban, vagy jelensgben bizonyos krlmnyek kztt megvannak bizonyosismertetjegyek, hogy bizonyos sszefggsek bekvetkezhetnek.

Kplete: S lehet P ; S lehet, hogy nem P

1.3.2. tletek kztti viszonyok

1. sszeegyeztethettletek: azok, amelyek nem zrjk ki egymst, s mindketten igazaklehetnek.

- Egyenrtk tletek: amelyek a dolgoknak egy s ugyanazon sszefggsttkrzik, de klnbz oldalakrl. Vagy mindketten igazak, vagy mindkettenhamisak

- Alrendeltsgi viszonyban: vannak azok az tletek, amelyek kzl az egyik csakegy rszt fejezi ki annak, amit a msikban kifejeztnk

2. ssze nem egyeztethettletek: amelyek igazsga egyidben kizrja egymst. Ha azegyikk igaz, a msik felttlenl hamis.

- Ellentmond tletek: azok, amelyek egyike rtelem szerint tagadja s kizrja amsikat. Nem lehet egyszerre sem igaz, sem tves.

- Ellenttes tletek: azok, amelyek kt vgletes lehetsget fejeznek ki az sszesegymst kizr lehetsgek kzl. Sohasem lehetnek egy vonatkozsbanmindketten igazak, de lehetnek mindketten hamisak

- Alrendelt-ellenttessgi viszony: az ilyen tletek br ellenttesek, mgissszeegyeztethetk, mivel itt rszleges tletekrl van sz. Ha az egyik tlet akett kzl hamis, akkor a msik felttlenl igaz, de ha az egyik igaz, akkor amsik lehet igaz is s hamis is.

1.3.3. Logikai alaptrvnyek

1. Azonossg trvnyeOlyan logikai trvny, amely kimondja, hogy minden dolog csak nmagval azonos,adott idben s vonatkozsban, s semmi mssal nem azonos.

2. Ellentmondsmentessg trvnyeKt egymsnak ellentmond fogalom vagy tlet kzl, ha az egyik igaz, akkor amsik szksgszeren hamis, s fordtva.

3. A kizrt harmadik trvnyeKt egymsnak ellentmond fogalom vagy tlet kzl az egyiket igaznak vagyhamisnak kell elfogadni. Harmadik lehetsg nincs.

4. Az elgsges alaptrvnyeKijelentseinket, kvetkeztetseinket, bizonytsunkat vagy cfolatunkat logikailagelegendtnyekkel kell altmasztani.

1.3.4. Kvetkeztetsek

A kvetkeztets olyan logikai mvelet, amelynek segtsgvel a rendelkezsnkre llismeretekbl kiindulva logikai ton, tletek sszekapcsolsa rvn j ismeretekre tehetnkszert.


13/149

13

Kzvetlen kvetkeztets: amelyek az adott tlet bels sszefggseibl add jismeretekhez vezetnek.

talakts: azon alapul, hogy az ltalnos llts igazsgbl kvetkezik, hogy a rszleges saz ltalnos tagads hamis.Megjegyzs:

ltalnos llt tlet: atpus tlet. Kplete: minden S - P Rszleges llt tlet: itpus tlet. Kplete: nhny S - P ltalnos tagad tlet: etpus tlet. Kplete: egy S sem P Rszleges tagad tlet: otpus tlet. Kplete: nhny S nem P

1. Ha S a P , akkor nem S o PHa minden S - P, akkor nem igaz, hogy nhny S nem P(Ha minden ember olvasta a knyvet, akkor nem igaz, hogy nhny ember nem olvasta)

2. Ha S a P, akkor nem S e PHa minden S - P, akkor nem igaz, hogy egyetlen S sem P(Ha minden ember olvasta a knyvet, akkor nem igaz, hogy egyetlen ember sem olvasta)

3. Ha nem S a P, akkor4. Ha S e P, akkor nem S a P

Ha egyetlen S sem P, akkor nem igaz, hogy minden S - P(Ha egyetlen ember sem olvasta el a knyvet, akkor nem igaz, hogy minden emberelolvasta a knyvet)

5. Ha S e P, akkor nem S i PHa egyetlen S sem P, akkor nem igaz, hogy nhny S - P(Ha egyetlen ember sem olvasta el a knyvet, akkor nem igaz, hogy nhny emberelolvasta)

6. Ha nem S e P, akkor S i PHa nem igaz, hogy egyetlen S sem P, akkor nhny S - P

(Ha nem igaz, hogy egyetlen ember sem olvasta el a knyvet, akkor nhny emberelolvasta)7. Ha S i P, akkor nem S e P

Ha nhny S - P, akkor nem igaz, hogy egyetlen S sem P(Ha nhny ember elolvasta a knyvet, akkor nem igaz, hogy egyetlen ember sem olvasta)

8. Ha nem S i P, akkor S e PHa nem igaz, hogy nhny S - P, akkor egyetlen S sem P(Ha nem igaz, hogy nhny ember elolvasta a knyvet, akkor egyetlen ember sem olvastael)

9. Ha S o P, akkor nem S a PHa nhny S nem P, akkor nem igaz, hogy minden S - P

(Ha nhny ember nem olvasta el a knyvet, akkor nem igaz, hogy minden emberelolvasta)10. Ha nem S o P, akkor S a P

Ha nem igaz, hogy nhny S nem P, akkor minden S - P(Ha nem igaz, hogy nhny ember nem olvasta a knyvet, akkor minden ember elolvasta)

1.3.4.5. Megfordts

A megfordts olyan mvelet, amelynek sorn az lltmnyi fogalmat alanny, az alanyi

fogalmat lltmnny tesszk.1. Ha S a P, akkor P i S

Ha minden S - P, akkor nhny P - S2. Ha S i P, akkor P i S


14/149

14

Ha nhny S - P, akkor nhny P - S3. Ha S e P, akkor P e S

Ha egyik S sem P, akkor egyik P sem S

Szembellts:Azaz egyszerkvetkeztets, amikor a megfordtst s az talaktst egyms utni sorrendbe

vgezzk el.

Kzvetett kvetkeztets (Szillogizmus):Olyan mvelet, amelyben a zrttel tbb elzmnybl addik. A zrttel szksgszerenkvetkezik az elzmnyekbl.Az egyszer szillogizmus kt elzmnybl (premissza) s egy ebbl levont zrttelbl(konklzi) ll. Mindhrom tletben hrom klnbzfogalom szerepel, ezek a terminusok.Az egyik terminust, amely sszekti a msik kettt, kzps fogalomnak (M) nevezzk. Akt msik terminus a szlsterminus, ebbl az egyik (alsterminus) a zrttel alanya (S), amsik (felsterminus) a zrttel lltmnya (P).

Kategorikus szillogizmus: ami rvnyes egy bizonyos fogalomban ltalnostott trgyakrlltalban, az rvnyes az adott fogalomhoz tartoz minden egyes trgyrl kln-kln is.Alakzatai:1. M - P (a,a,a) (e,a,e)

S - M (a,i,i) (e,i,o)S - P

2. P - M (e,a,e) (a,e,e)S - M (e,i,o) (a,o,o)S - P

3. M - P (a,a,i) (e,a,o)M - S (i,a,i) (o,a,o)S - P (e,i,o)

4. P - M (a,a,i) (a,e,e)M - S (i,a,i) (e,a,o)S - P (e,i,o)

ltalnos szablyok:1. A szillogizmus elzmnyei igazak legyenek.2. A szillogizmusnak csak hrom terminusa lehetsges.3. A kzpsterminusnak legalbb az egyik elzmnyben elosztottnak kell lennie.4. A szls terminusok csak akkor lehetnek a zrttelben elosztottak, ha a premisszkban is

elosztottak voltak.5. A kategorikus szillogizmusban legalbb az egyik elzmnynek lltnak kell lennie. Kttagad elzmnybl nem vonhat le szillogisztikus kvetkeztets.6. Ha az egyik elzmny tagad, akkor a zrttelnek is tagadnak kell lennie7. Ha a kt premissza az llt jelleg, akkor a zrttelnek is annak kell lennie.8. Ha az egyik elzmny rszleges tlet, akkor a zrttelnek is rszlegesnek kell lenni.

Felosztsa (osztlyozsa):A szillogizmusban szerepltletek fajai szerint:1. Kategorikus szillogizmus: melyben kategorikus tletek szerepelnek.2. Az alapkvetkezmny szillogizmus: amikor a szillogizmus egyik vagy mindhrom ttele

alapkvetkezmny tpus tlet.Kplete: Ha S - P, akkor S1- P1S - P

Teht S1- P1


15/149

15

3. Sztvlaszt szillogizmus: amelyben az egyik tlet sztvlaszt tletKplete: S - vagy P1, vagy P2

S nem P2Teht S - P1

1.3.4.6. Induktv kvetkeztets:

Egyedi vagy rszleges elzmnyekbl ltalnos zrttelhez jutunk.Teljes induktv kvetkeztets: akkor lehetsges, ha az egyes vizsglt tnyek szmaviszonylag kevs s gy szmba tudjuk venni az sszes eseteket.

Kplete: S1- P, S2- P, S3- P ......S9- PS - S1, S2, .........S9Teht Minden S P

Nem-teljes induktv kvetkeztets: az ismert jelensgekbl a nem ismertre kvetkeztetnkFormi:

a.) Npszerindukci: egyszer felsorols tjn nyert induktv kvetkeztets, amelyben nemtallkozunk ellentmond esetekkel.b.) Tudomnyos indukci: olyan induktv kvetkeztets, amelyek nem a jelensgek felsznikapcsolataira, tulajdonsgaira vonatkoznak, hanem a jelensgekben megfigyelt objektvefennll lnyeges sszefggseket tkrzik vissza az egyestl sz ltalnos fel haladfolyamatos kvetkeztetsek segtsgvel.c.) Indukcin alapul megismersi mdszerek:

1. Megegyezs mdszere: kt olyan jelensget hasonltunk ssze, melyeknek akrlmnyei mindenben eltrnek egy kivtelvel, s ez az egy a jelensg oka.

Kplete: a1 - A B C Da2 - A K L MTeht "a" jelensg oka "A" krlmny

2. Klnbzs mdszere: olyan esetekre vonatkozik, amikor a krlmnyekmindenben megegyeznek egy kivtelvel.

Kplete: a - A B C Dnincs a - B C DTeht "a" jelensg oka "A" krlmny

3. A megegyezs s klnbzs mdszere: ez az elz kt mdszer egyestse, sakkor alkalmazzk, ha a krlmnyek egy rsze nincs teljesen tisztzva.

Kplete:a - A (B C D) nincs a - (B C D)

a - A (B1C1D1) nincs a - (B1C1D1)a - A (B2C2D2) nincs a - (B2C2D2)Teht "a" jelensg oka "A" krlmny

4. A prhuzamos vltozsok mdszere: ha valamely jelensg megvltozsakapcsolatban van valamilyen krlmny vltozsval, mg a tbbi krlmnyekvltozatlanok maradnak, akkor a vltoz krlmny a jelensg vltozsnak oka.

Kplete: a - A B C Da1- A1 B C Da2- A2B C DTeht "a" jelensg vltozsnak oka "A" krlmny

5. A maradkok mdszere: ha egy sszetett jelensgbl kivlasztjuk azt a rszt,

amelyik a megelz krlmnyek egy rsznek kvetkezmnye, akkor a jelensgmaradka a tbbi krlmny kvetkezmnye.Kplete: a b c - A B C

b - B


16/149

16

c - CTeht "a" jelensg oka "A" krlmny

Analogikus kvetkeztets: olyan kvetkeztets, amelyben kt trgynak bizonyosjegyekben val egyezsbl ezeknek, a trgyaknak ms jegyekben val egyezsrekvetkeztetnk.

Kplete: A - a b c d

B - a b c xTeht valszn, hogy d = x

Hipotzis:bizonyos meglv jelensget elidz sszefggsek felttelezse. Olyan kvet-keztets vagy kvetkeztetsek sora, amelybl egy, vagy nhny premissza ismeretlen.A hipotzist, amg be nem igazoldott, felttelesen kell fogadni. Ha kt hipotzis kizrjaegymst, gy az egyiknek szksgkppen hamisnak kell lennie.Bizonyts s cfolat:olyan mveletek, amelyeknek feladata, hogy valamely tlet igazsgt,vagy hamissgt segtsgkkel kimutassuk, mr elzleg bizonytott tletek rvn.Szerkezete:

- Tzis: azaz tlet, amelynek igazsgt vagy hamissgt be kell bizonytani

- rvek (indokok): azok az tletek, amelyek igazsgt mr megllaptottk, samelyek ezrt elgsges alapul szolglnak a tzis igazolsra.

- rvels: az a md, amelyeknek segtsgvel a tzist levezetjk az indokokblKzvetlen bizonyts:amelyben az rvek kzvetlenl altmasztjk a tzis igazsgt.Kzvetett bizonyts:ha sikerl bebizonytani, hogy valamilyen, a tzisnek ellentmondtlet hamis, akkor ebbl a harmadik kizrsa trvnynek figyelembevtelvel kvetkezi,hogy a bizonytand tzis igaz.A bizonyts szablyai:

- a tzisnek vilgosan s pontosan megfogalmazott tletnek kell lennie- a tzisnek azonosnak, vagyis ugyanannak kell maradnia a bizonyts egsz

folyamatban- az rveknek felttlenl igaznak kell lennik- az rveknek elgsges alapul kell szolglniuk a tzis szmra

Tzis megcfolsnak mdjai:- tnyekkel val cfols- annak bizonytsa, hogy a megcfoland tzis igazsga nem kvetkezik a

tzis tmogatsra felhozott rvekbl- egy a megcfoland tzisnek ellentmond tzis nll bizonytsa- annak kimutatsa, hogy a tzis tmogatsra felhozott rvek hamisak- a megcfoland tzis hamissgnak kzvetlen bizonyts.

1.4. Diszlexia, diszkalkulia

1.4.1. Nhny hasznos tancs a gyermekkzpont oktats megteremtshez

Manapsg nagyon divatos szakkifejezsek, fogalmak tarktjk nevels oktatmunknkat:kreatv nevels, kompetencia alap oktats, szksgletekhez igazod nevels minthavalami j dolgot talltak volna fel. Pedig errl sz sincs. vszzadok ta a nevelsi folyamatmindig a gyermekek szksgleteihez igazodik, s mivel ezek a szksgletek igen

klnbzek, szksgszeren kreatvnak is kell lennie ennek a folyamatnak. Tovbbfelsoroljuk azokat az sszetevket, melyek nlklzhetetlenek a gyermekkzpont oktatsmegvalstsban.

1.) A szemlyisg figyelembe vtele:


17/149

17

Iskolba lpskor a gyermek legerteljesebb hajtereje a nagyfok aktivits.Ebben nyilvnul meg a gyermek szemlyisge. Ettl lesz egyedi s megismtel-hetetlen minden aprsg. Nagyon fontos, hogy az iskola tudja felhasznlni ezt azaktivitst, s ne igyekezzen elfojtani ezeket, a trekvseket. Az emberi trsadal-mat az egyedi szemlyisgek fejlesztik tovbb, ezrt mr az iskolban is ezek,kibontakozsn kell dolgoznunk. Csupn arra van szksg, hogy maga a

pedaggus se fojtsa el sajt szemlyisgt, hanem folyamatosan trekedjen aznismeretnek fejlesztsre, s ljen a sajt szemlyisgnek erejvel.2.) A klnbzsgek kezelse:

Szakmnk legnehezebb s legszebb rsze a klnbz kpessg gyerekekkelval foglalkozs. Ez sokkal nehezebb, ha a gyermekek mg valamilyen zavarralis kzdenek. Ez lehet rszkpessg- vagy akr magatarts-zavar is. A velk valfoglalatossgot nehezti az a tny is, hogy mg ma is elg hinyosak ezekrl szlismereteink. A tantsi rkon differencilt feladatadssal, segdeszkzkalkalmazsval lehet elrhetv tenni szmukra is a tananyag megismerst.

3.) Differencils:Fontos, hogy az eltrkpessggyermekeket klnbzmdon foglalkoztassuk:

mindenki a neki megfelelszintfeladatot kapja. Ha tl knny, vagy tl nehz afeladat, az egyarnt rosszalkodshoz vezethet. De nem csak a tantsi rn vanszksg a differencilsra. A hzi feladat adsa is trtnhet ugyanilyen mdon.Pldul egy diszkalkulis gyerek, akinek csak az 1000-es szmkrben vankialakult szmfogalma, ugyangy vgezhet felszn s trfogatszmtst, mint atbbiek, csak az szmkrnek megfelel szmokkal. Ennek megvalstshozelengedhetetlenl szksges a pedaggus tudatos felkszltsge.

4.) A tudatos felkszls:Az eredmnyes oktat-nevelmunka egyik alapfelttele, hogy a pedaggus mindigpontosan tudja, hogy hov is akar eljutni, milyen eszkzk, milyen lehetsgekllnak rendelkezsre. Ezrt rdemes minden rra olyan vzlattal kszlni,melyben az is meg van jellve, hogy egy-egy feladatkr hogyan kerl fel-dolgozsra. Akkor j egy vzlat, ha az rugalmas, ha szmt a gyermekek alkotrszvtelre. gy a pedaggus elkpzelse akr httrbe is szorulhat, ha agyermekek ltal javasolt gondolatmenet is clravezeti. Ezltal az ismeretszerzssokkal hatkonyabb vlik. Kiprblhatjk az elkpzelsieket, meglhetik a sikerlmnyt ppgy, mint az esetleges kudarct. gy rtkk vlik szmukra aprblkozs.

5.) Az rdeklds felkeltse:Az tgondolt, tervszer felkszls mellett az rdeklds felkeltsre is nagyhangslyt kell fektetni. Az iskolt s a tanulst csak gy lehet megszerettetni a

gyermekekkel, ha a tananyagot sokfle prblkozssal melyek lehetneksikeresek s sikertelenek egyarnt maguk tapasztaljk meg. Tudomnyosanigazolt tny, hogy az ismeretszerzs annl hatkonyabb, minl tbb rzkszervetkapcsolunk be a megismersi folyamatba. A hallottak 20%-t, a ltottak 30-%-t,a hallottak s ltottak 50%-t, a sajt szavainkkal elmondottak 70%-t, acselekedeteinkkel megtapasztaltak 90%-t jegyezzk meg.

6.) A tanterem:Ahhoz, hogy ez a sokrt tapasztals ltrejhessen, nagyon fontos a megfeleltanulsi tr kialaktsa. rdemes kiprblni a padok csoportos elhelyezst azosztlyltszmnak megfelelen t vagy hat csoportot lehet ltrehozni. Ezltal egycsoporton bell a gyermekek kzvetlenl tudnak kommuniklni egymssal.

Fejldik a metakommunikcis kszsgk, hiszen megtanuljk leolvasni egymsrezdlseit. Ez a ksbbiekben a konfliktusok megoldshoz is nagy segtsgetnyjthat azzal, hogy pontosan fel tudjk mrni trsuk indulatait.

7.) Testtarts:


18/149

18

Ahhoz, hogy a tantsi rkon a gyermekek figyelni tudjanak, nlklzhetetlen ahelyes testtarts megtantsa. A padon elnyl, vagy a fejt tmasztkisgyermek gondolatai hamar eltereldnek, ezltal fontos informcikrlmaradhat le. Nagyon fontos teht az egyenes ht, amit a szken val jelhelyezkeds, a lb- s kartarts is segthet. A kar lazn helyezkedjen el azasztalon, a lb pedig a fldn szksg esetn a lbtartn. Az alacsonyabb

gyermekek szmra felttlenl szksg van lbtartra, klnben a zsibbad lbaeltereli figyelmt a tananyagrl. Sajnos nagyon kevs gondot fordtunk az lgyerekek helyes testtartsra, pedig a gyerekek nyugtalansgt rszben a nemmegfeleltesthelyzet is okozhatja.

8.) A kommunikci fontossga:A gyermekek rzelmeit, gondolatait a legknnyebb akkor megrteni, ha apedaggus is kzel kerl a gyermeki vilghoz, ha tud a gyermekekkelkommuniklni. Ehhez arra van szksg, hogy a pedaggus ne csak a gyermekekkpessgeit, a kpessgei egy rszt lssa csak meg, hanem, hogy akarja agyermeket, mint egszet minl teljesebben megismerni. Azaz a szellemiadottsgain kvl a mozgst, az rzelmi lett, az esetleges rzelmi megterhelst

is figyelembe venni. Pldul egy nehezen olvas gyermek, lehet, hogy nagyon jkzgyessggel rendelkezik, munkit felhasznlva egytt dszthetik az osztlyt,sznesthetik a szndarabokat. Ezltal is fontosnak rezheti magt azosztlykzssgben.

9.) A konfliktus kzs gy legyenElvette a hegyezmet, sz nlkl!, Meghzta a hajamat!, Bergta az ajtt! rengeteg pldt hozhatnk mg a gyakorlatbl, biztosan n is tudn folytatni asort. Vajon mirt szeretnek rulkodni a gyerekek? Fltkenysgbl?Szeretetfltsbl? Ki akarnak tnni? Erre nehz vlaszt adni. A meghallgatsraugyanis gyakran sajnljuk az idt. Egyszeren elintzzk: figyelmeztetjk azelrult gyereket, leszidjuk, vagy berunk az ellenrzjbe. Pedig a gyerekeksokkal egyszerbben el tudjk simtani az egyms kztti srldsokat. Mi felnttek felnagytjuk ezeket, a dolgokat, befolysol bennnket a pillanatnyilelkillapotunk. Ezrt fontos, hogy megtantsuk gyermekeinket a konfliktusokkezelsre. Ne sajnljuk erre az idt, hiszen biztosan megtrl.

10.) Egyttmkds a szlvelA pedaggus akkor tud eredmnyesen dolgozni a gyermekkel, ha annak szljvelis sikerl a megfelelkapcsolatot kialaktani. Hiba minden fradozs, ha otthon agyermek mindennek ellenkezjt ltja, hallja. A neveli hats ugyanismegsokszorozdik, ha a szlk s a pedaggusok kztt nylt s szinte a lgkr.Mindketten a gyermek vals rdekeit kpviselik. Ha a nevelsi elveiket kzelteni

tudjk egymshoz, s ezt a gyakorlatba is t tudjk ltetni, akkor egymsttmogatva segtik a gyermek harmonikus fejldst. Ezrt fontosak a szlirtekezletek, fogadrk, csaldltogatsok, nylt napok. Ezeken, a frumokonlehetsg nylik a problmk nylt kezelsre, mely egyms jobb megismershezvezeti el a rsztvevket.

1.4.2. Tancs szlknek, pedaggusoknak1

A tanulsi problmk htterben a mai iskolsok 50-60 szzalknl kimutathat valamilyen,az anyanyelvhez, az olvasshoz, a szvegrtshez, a szkincshez, a beszdhez kapcsold

1Minden kedves olvasnak ajnlom a www.varazsbetu.huhonlap felkeresst a rszletekrt. Szakemberekltrehoztk a VarzsbetProgramcsald ot, mely nyolc tagbl ll. Ezek kzl 5 a diszlexia, hrom pedig adiszkalkulia kezelsre szolgl. sszesen 57 jtk biztostja azt, hogy az olvasshoz szksges valamennyikpessg fejlesztsre, megfeleltpus feladat lljon rendelkezsre.


19/149

19

elakads, zavar, fejletlensg, gyakorlatlansg. A nyelvi alapok gyengesge nem csak a szkenrtelmezett, iskolai tanulst nehezti meg, hanem rezteti a hatst az let minden terletn.Sok-sok kisiskolst rint a tanulsi zavar e problmja. E problma neve diszlexia.Mindenekeltt nagyon fontos tisztzni, hogy a diszlexis gyerekek nem fogyatkosak, nem isa szorgalmukkal van baj, de azokon a terleteken, ahol a rendezettsg, sorrend nagy szerepet

jtszik, sok akadlyba tkznek. k is megtanulnak olvasni, rni, szmolni, de informci-

feldolgozsi sajtossgaik miatt mskpp, lassabban, s igen nagy erfesztssel, ahagyomnyos oktats keretben, csak knldva sajttjk el ezeket, az ismereteket.A diszlexia kt tpust klnbztetjk meg. Az els tpus az organikus eredet diszlexia,melynek kialakulsban szerepet jtszhatnak rkletes tnyezk, vagy terhessg alatti, szlskrli, kisgyermekkori srlsek, melyek az idegrendszert krosthatjk. A msodik tpus azgynevezett szerzett diszlexia, melynl a rszkpessg-zavart krnyezeti tnyezk, lelkisrlsek okozzk. Ekkor az idegrendszerben nincs srls, az okok kzt szerepelhet rsikss, az olvasstants sorn elkvetett mdszertani hiba, vagy htrnyos szocilis helyzet. A tanulsi zavar (diszlexia, diszgrfia, diszkalkulia) a clirnyos, idben megkezdett egyniterpival javthat. A rszletesebb s hatkonyabb teendkrt keresse fel az interneten akvetkezcmet: www.varazsbetu.hu

Hogyan segthet gyermeknek?1.) Jtkos feladatsorok

Els, s egyben legfontosabb teende, hogy figyelje meg, milyen terletekenvannak gyermeknek problmi. Ezutn pedig tervezzen meg egy jtkosfoglalkozssorozatot, amely segti javtani ezeket, a terleteket. Kzben szem elttkell tartania, hogy gyermeke az otthonra gy tekint, mint ahol megszabadulhat azrs-olvassi feladatoktl, ezrt fontos, hogy ezek a foglalkozsok szrakozsnakszmtsanak. Ehhez hatkony segtsget kaphat a www.varazsbetu.hucmen.

2.) OktatprogramokBosszantja, hogy gyermeke trsainl fradtabban tr haza az iskolbl? Fogadjael, hogy diszlexis gyermeknek az iskolai tanrk sokkal nagyobb terhet

jelentenek, mint a tbbieknek. Az otthonra pedig olyan menedkknt gondol,ahol vgre nem kell nehezen vagy egyltaln nem megoldhat feladatokkalfoglalkoznia. Az rkon t tart, ncl gyakoroltatst kerlje: gyermeknek nagyvalsznsggel nem azrt akadozik az olvassa, rsa, szmolsa, mert nemgyakorolt eleget, hanem azrt mert a szmok, betk, sorozatok, szimblumokkezelst, feldolgozst bizonyos folyamatok lasstjk. pp ezrt szerencssebb

jtkos formban megoldani ezeknek, a terleteknek a fejlesztst. Erre a clraklnfle oktatprogramok llnak az n rendelkezsre. Tbbek kztt a

Varzsbet (www.varazsbetu.hu) is, amely az olvasshoz szksges valamennyialapkszsg fejlesztst tzte ki cljul.3.) gyessgi gyakorlatok

Egyes mozgsformk sokat segtenek a diszlexia korrekcijban. gyessgigyakorlatok vgeztetsvel a gyermek az egsz napos lmunka utn vgrefelszabadultan jtszhat. S ekzben szrevtlenl fejldnek az olvasshozszksges kpessgei. Ilyenek, a klnbzi labdagyakorlatok (labdaeldobs,elkaps, elrgs), ugrsok, egyenslyozsi gyakorlatok. Pldul az "Anyamondja" egyszer feladatokkal kezddik, pl. "Anya mondja, ugorj egyet!", sfokozatosan nehezedik, pl. "Anya mondja, fogd a bal kezeddel a jobb bokdat!".

4.) Hallsfejleszts

Hatkony segtsg a halls s ritmusrzk fejlesztse. Szerencss, ha gyermekevalamilyen hangszeren tanul jtszani. Persze csak abban az esetben, ha ehhezkedvet rez. Otthoni jtkok keretben is ellehet segteni a halls fejlesztst: ezta clt szolgljk a ritmusgyakorlatok, tapssorozatok ismtlse. De a hangingerek


20/149

20

jobb feldolgozst segtik ela Hol szlsz, kispajts? tpus jtkok (ksse begyermeke szemt, majd menjen a laks egy msik pontjra, mondogassagyermeke nevt, s gyermeke keresse meg nt). Ugyanilyen tpus jtk a hangok,zrejek beazonostsa (keltsen zrejt valamilyen trggyal a paravn mgtt vagy agyermek hta mgtt, s a gyermeke feladata a zrej forrsnak megnevezse).

5.) A kz segtsge a tapints

Az olvassi- s rskszsg fejldst elsegti az is, ha a tapasztalsba bevonjukkeznket - azaz a tapintst - is. A gyurmzs, a gyngyfzs mind - mind ezt aclt szolgljk. De kszthetnek odahaza tapints domint is. A dominra szmok(illetve pttyk) helyett klnbz fellet anyagot, ragasszanak: csiszolpaprt,vsznat, filcet, plsst, selymet stb. s kezddhet a jtk a domin szablyaiszerint, bekttt szemmel! Prblja ki! Gyermeke biztosan nagyon fogja lvezni!S ekzben szrevtlenl fejldnek kpessgei.

6.) Az esti mese jtkony hatsaA televzizs, videzs elterjedsvel httrbe szorult az esti felolvass, mesls.Pedig jtkony hatsa miatt erre bizony gyermeknek is szksge van, mg 10-12ves korban is. Ilyenkor ugyanis kpzeletben kveti az esemnyeket, ltsi

ingerek nlkl. Ez pedig fejleszti a fantzit, a kreativitst, a memrit, afigyelmet. Nem beszlve arrl, hogy ersti a kapcsolatot n s gyermeke kztt.De bvti a szkincset is, amivel a diszlexisoknl szinte mindig baj van. Az estimeslsek sorn gyermeke megismerheti az ignyesebb szpirodalmi nyelvet, ezpedig hozzjrul a tanknyvi szvegek megrthez.

7.) FelolvassHa gyermeke olvass alapjn alig tudja megrteni a szveget, ne hagyja magraazzal, hogy "olvasd, majd megrted!". Olvassa fel neki a szveget, vagy vegye felmagnra, hogy tbbszr meghallgathassa. Ez persze csak tmenetileg nyjtsegtsget, fels tagozatban mr mindenkppen el kell jutni a gyereknek amegfelelszvegrtshez, e nlkl bukdcsolss vlik a tanuls.

8.) A lecke mondanivaljnak megkeresseA tanulst jelentsen megknnyti, ha a sokszor tbboldalas leckbl kihmozzk a lnyeget. gy eleve kevesebbet kell gyermeknek megtanulnia,tlthatbb, rthetbb vlik a tananyag. Eleinte kzsen kell elvgeznik ezt afeladatot, klnsen akkor, hogyha gyermeke nem rti a szvegben elfordulidegen szavakat. Ilyenkor nagyon hasznos segtsg az idegen szavak sztra, vagybrmilyen ms lexikon. Ehhez azonban elengedhetetlen a sztr szakszerkezelse, a betrend biztos ismerete.

9.) A betrend fontossga a sztrazsAz nll tanulshoz vezet t els mrfldkve a sztrazs megtanulsa.

Hiszen valamennyi tananyagban elfordul tbb-kevesebb idegen sz, amelymegnehezti a tananyag elsajttst. Ezrt fontos, hogy gyermeke biztosan tudja amagyar ABC t oda-vissza. Hogyan tudja jtkosan, minden knyszer nlklgyakoroltatni vele? Elszr is ksztsk el a teljes ABC t valamilyen anyagbl(papr, textil, gyurma), de jtkboltokban, taneszkz boltokban meg isvsrolhatjk. Fontos, hogy gyermeke kzbe is vehesse, hiszen gy egy jabbcsatornt (a lts s a halls mell a tapintst is) kapcsol be a betk rgztsre.A bethalmazbl kzsen rakjk ki az ABC t a gyerekkel egytt. Ha kzsenmr jl megy, prbljon minl kevesebbet segteni neki, hogy vgl gyermeketeljesen egyedl tudja megoldani a feladatot. Ha ez is sikerlt, mrjk akirakshoz szksges idt, rjk fel, s igyekezzen naprl-napra javtani a korbbi

eredmnyen. gy is jtszhatjk a jtkot, hogy a teljes ABC kiraksa utn nnhnyat kivesz belle, s gyermeknek a feladata megkeresni s visszarakni ahelyre. Ha ezek jl mennek, vegyenek el egy lexikont (pl. Ablak Zsirf), skezdjk el gyakorolni a sztrhasznlatot. Az elssz lehet az ablak. Elsbetje:


21/149

21

A, elszr ezt kell megkeresni. Ha megtallta, ezen bell kell eljutni a B-ig. Majdugyangy folytatva mindaddig, mg r nem bukkannak az ABLAK szra.

10.) LECKEFZET a nlklzhetetlen segtsgUgye nnel is megesik, hogy gyermeke, az iskolbl hazarve nem pontosan,vagy egyltaln nem tudja, mit adtak fel az egyes rkon hzi feladatknt?Gyakran tapasztalom, hogy ilyenkor bizony fekete pontok, kis egyesek kerlnek

az ellenrzbe, s ezekbl bizony hamar sszegylik a valdi egyes a naplba. ppezrt tartom fontosnak, hogy legyen a gyermeknek egy fzete, amit csak arra aclra hasznl, hogy a feladatokat feljegyezze. Paprboltokban rulnak kifejezettenerre kszlt LECKEFZETET. De n is elksztheti otthon: brmilyen fzetberajzoljon egy olyan tblzatot, amely tartalmazza a ht napjait (htftl pntekig),s minden napra rja be az aznapi rarendet. Egy dologra figyeljen! Az ramegnevezse mellett legyen elegend helye gyermeknek berni a tudnivalkat.Lehet, hogy ezt tl gyerekesnek rzi? Gondoljon csak bele! Minden fontosembernek van hatridnaplja, laptopja, manager kalkultora. Vajon mirt? Azrtmert az ember feje nem kptalan, nem tud mindent megjegyezni. Ez all az ngyermeke sem kivtel. Ha azonban ott van a leckefzet, - amibe akr egy olyan

osztlytrs neve is bekerlhet, aki biztosan felrt mindent a felesleges egyesekelkerlhetv vlnak, a szksgtelen kudarcoktl megmentheti gyermekt.

Mirt na beszdhibs gyermekek szma?Felgyorsult letnknek szmos pozitvuma mellett egyik rnyoldala, hogy kevesebb id jutgyermekeinkre. Elmaradnak, vagy rvidlnek a nagy csaldi beszlgetsek, amelyek kivltptalajt knltak az anyanyelvi fejlesztsre. Ezeken, az alkalmakon ugyanis a gyermek nemcsak szemllknt vett rszt, hanem aktvan bekapcsoldhatott a trsalgsba, ezltalgyakorolva a beszdet. Hasznlhatta jonnan megtanult szavait, gyakorolhatta a hangokkiejtst.Egyre gyakoribb, hogy az esti mese felolvassa helyett a szlk beraknak egy vide kazetttvagy egy DVD filmet a lejtszba, mondvn, hogy nincs ida meslsre. Pedig a tvzs nemptolja az lszban elmondott mest. Nem kszteti gyermekt fantzijnakmegmozgatsra, hiszen mindent kszen kap. Radsul itt lehetsg sincs a prbeszdre: havalamit nem rt meg a gyermek, nem tudja senkitl megkrdezni, hiszen a televzi nemvlaszol.Pedig a beszd mindennek az alapja. Ha kzlni akarunk valamit, meg akarjuk rtetnimagunkat, akkor rtheten, megfelel szavakat hasznlva kell kommuniklnunk. Hagyermeknek sikerlmnye van a beszddel kapcsolatban, megrtik t, akkor n aznbizalma. Sikeresebb lesz az letben. S persze az olvass s rs elsajttsa is lnyegesenknnyebb azok szmra, akik jl beszlnek. Aki szban knnyen meg tudja fogalmazni

gondolatait az rsban is knnyebben boldogul.Felismerhet-e idben a megksett s akadlyozott beszdfejlds?Az ilyen beszdproblmval kzd gyerek els letvben: "Kevesebbet gagyog, mint atestvre", "Gagyogsa olyan egyhang s sivr", "Nem is igazn figyel a szlk beszdre".Ezen tnetek mellett jellemz mg, hogy az els pr sz megjelense utn megtorpanstapasztalhat: hossz ideig csak ugyanazt a nhny szt hasznljk, nem gyarapodik tovbbszkincsk egszen 3 ves korukig. Aztn szp lassan egyre tbb szt kezdenek hasznlni,sajnos gyakran helytelenl: a szavakat pszn ejtik, a hosszabb szavakat megrvidtik. Rvid,egyszavas mondatokat hasznlnak 4-5 ves korukig. Ksbb mr igyekeznek hosszabbankifejezni gondolataikat, de elfordul hogy nyelvtanilag helytelenl.


22/149

2


23/149

2

VGLEGESTVIZSGA ANYAGA MATEMATIKBL(tantk)


24/149

2

II. FEJEZET

HALMAZOK

2.1. rtelmezsekGeorg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845.mrcius 3. 1918.

janur 6.) matematikus. Oroszorszgban szletett, de lete nagy rszben

Nmetorszgban lt. A halmazelmlet nev matematikai tudomnyg

megalkotja. Egyik, mig hat jelentsg eredmnye a Cantor-ttel s abizonytsban hasznlt tls eljrs, melynek alapgondolatt mind a

halmazelmletben, mind a szmtstudomnyban, mind pedig amatematikai logikban alkalmazzk. letmvt Hilbert az 1900-as

nemzetkzi matematikus kongresszuson a kvetkezmondattal mltatta:Senki sem zhet ki minket abbl a paradicsombl, melyet Cantor teremtett

neknk.A halmaz fogalma, alapfogalom vagy elsdleges fogalom. Ez azt jelenti, hogy nlnl nincsegyszerbb fogalom, melyre lehetne hivatkozni, mint nemfogalomra (genus, lsd az elzfejezet 3. oldal). A dolgokat melyek a halmazt alkotjk a halmaz elemei. A halmazokat nagybetkkel, az elemeket kisbetkkel jelljk. A szemlltetskre a Venn diagrammotalkalmazzuk.A halmazt megadottnak tekintjk, ha ismernk egy olyan kritriumot, tulajdonsgot, melynekalapjn eldnthet, hogy egy dolog eleme-e a halmaznak vagy sem. gy a halmazokat akvetkezkppen adhatjuk meg:

Felsoroljuk az elemeit (minden elemet csak egyszer sorolunk fel)

Pl.: { }dcbaA ,,,= , { }5,4,3,2,1=B , { }9,6,3,0=C , stb. Megadjuk a halmaz elemeit, jellemzkzs tulajdonsgot (tulajdonsgokat)

Pl.:

= szmokstermszeteprosP , { }tglalapokT= , { }xNxH /3|= , stb.

A dologrl vagy trgyrl, mely a halmazhoz tartozik, azt mondjuk, hogy eleme a halmaznak.Az eleme, szintn elsdleges fogalom. Pldul a fenti halmazok kzl az { }dcbaA ,,,=

halmaznak az a eleme, ezt gy jelljk: { }dcbaAa ,,,= . Az e nem eleme

az { }dcbaA ,,,= halmaznak, jellse: { }dcbaAe ,,,= .res halmaz az olyan halmaz, melynek egyetlen eleme sincs. Jele: vagy { }.

2.2. Bennfoglals, rszhalmaz, egyenlsg

Legyen adott a kvetkez halmaz { }10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=E . Most fogalmazzunk meg egytulajdonsgot, pl. az Ehalmaz azon elemei, melyek prosak. A tulajdonsgnak a kvetkezelemek tesznek eleget, melyek halmazt jelljk: { }10,8,6,4,2,0=P . Teht a P halmaz rszeaz Ehalmaznak.A P halmazt az E halmaz rszhalmaznak nevezzk. Azt mondjuk, hogy a P halmazbennfoglalt az Ehalmazban. Jellse: EP .Mindezt a Venn diagrammal gy brzoljuk:


25/149

2

Egy halmaznak az elemei lehetnek halmazok is, ekkor a halmazok halmazrl beszlnk.Brmely halmaznak rszhalmaza az res halmaz, mert megfogalmazhatunk olyantulajdonsgot is, melynek nem tesz eleget az adott halmaz ( E) egyetlen eleme sem. Pl. azEhalmaz azon elemeinek halmaza, melyek oszthatak 25-tel. Ilyen elem nincs az Ehalmazban, gy ezen elemek halmaza az res halmaz , teht E . Ugyan gy az Ehalmaz lehet nmagnak rszhalmaza, melyet gy jellnk: EE az E halmazrszhalmaza vagy egyenl az E halmazzal. Az E halmaz rszhalmazainak halmazt gy

jelljk: P ( )E gy az Ehalmaz rszhalmazainak halmaza:

P ( )E { } { } { } { } { } { } { }{ }E,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,...,3,2,1,0,...,2,1,0,...,1,0,...,2,1,0,=

Itt ebben az esetben a P ( )E brmely eleme halmaz s itt nem azt mondjuk, hogy vagy

{ }3,2,1 , stb. rszhalmaza a P ( )E -nek, hanem eleme.

Klnbsget kell tenni az E1 s { } E1 kztt. Az elsesetben 1 elem, mg a msodikban{ }1 halmaz. Teht kt klnbz fogalomrl van sz. Ezrt az elssszefggs az fejezi ki,

hogy 1 eleme az Ehalmaznak, mg a msodik azt mondja, hogy az { }1 halmaz rszhalmaza

az Ehalmaznak, illetve, hogy az { }1 halmaz bennfoglalt az Ehalmazban.A bennfoglalsi relci ( vagy , illetve vagy ) a kvetkez tulajdonsgokkal

rendelkezik:1.) Reflexv: AA egy halmaz rszhalmaza nmagnak;2.) Tranzitv: ha BA s CB , akkor CA .

Most kssk ssze az eleme s rszhalmaza relcikat:

1.) { } AxAx ; ez azt fejezi ki, hogy a kt relci egyenrtk.2.) Ha Ax s BA , akkor Bx -nek.

Ha kt halmazra igaz, hogy BA s AB , akkor azt mondjuk, hogy a kt halmazegyenl: BA= . Vagyis kt halmaz egyenl, ha elemeik azonosak, ugyanazon elemek

alkotjk.A halmazok egyenlsge rendelkezik a kvetkez tulajdonsgokkal:1.) Reflexv: minden halmaz nmagval egyenl AA= ;2.) Szimmetrikus: ha BA= , akkor AB= ;3.) Tranzitv: ha BA= s CB= , akkor CA= .

Ttel: Egy n elemet szmll halmaz rszhalmazainak szma n2 .

Knnyen igazolhat a matematikai vagy teljes indukci mdszervel. Teht igazolni akarjuk,hogy halmaznak, mely Nn elembl ll, rszhalmazainak szma n2 .Legyen 0=n vagyis az res halmaz. Rszhalmaza csak egy van s az nmaga. Teht

rszhalmazainak szma 021 = .Legyen 1=n vagyis egy elemes halmaz, melyet gy nyerhetnk, hogy az res halmazhozhozztesznk egy elemet { }1a . Rszhalmazai az res halmaz, mely minden halmaznak rsz-

halmaza s maga a halmaz { }1a . A rszhalmazok szma122= .


26/149

2

Most legyen 2=n , melyet gy kpeznk, hogy az elbbi halmazhoz mg tesznk egy elemets gy kapjuk az { }21 a,a halmazt. Rszhalmazai lesznek az elzhalmaz rszhalmazai s mgminden rszhalmazhoz hozztve az j elemet. gy a rszhalmazok szma megduplzdik,vagyis a rszhalmazok az elmondott sorrendben: , { }1a , { }2a , { }21 a,a . Teht a

rszhalmazok szma 21 2224 == .

Nveljk mg eggyel az elemek szmt s gy kapjuk az { }321 a,a,a halmazt ahol az elemekszma 3=n . Kpezzk a rszhalmazait az elbbi mdon, hogy vesszk az elz halmazrszhalmazait s azokat a halmazokat, melyeket ezekbl kapunk az j elem 3a hozzadsval.

gy a rszhalmazok szma megint megduplzdik. A rszhalmazok: , { }1a , { }2a , { }21 a,a ,

{ }3a , { }31 a,a , { }32 a,a , { }321 a,a,a . A rszhalmazok szma32 2228 == .

Ezt a szerkesztsi mdot alkalmazva elfogadjuk, hogy kn= esetn a rszhalmazok szmak2 , s 1+=kn elemet szmll halmazra igazoljuk, hogy a rszhalmazok szma 12 +k .

Az 1+=kn elemet szmll halmaz rszhalmazait az elbb alkalmazott eljrssal lltjukel. Vesszk az kn= elembl ll halmaz rszhalmazait, melyrl tudjuk, hogy a szmuk k2 ,majd mindenik rszhalmazhoz hozztesszk az

1+ka elemet s gy megkapjuk az sszes

rszhalmazt az { }121 +kk, a,a...,a,a halmaznak. Knnyen belthat az elz esetekhezhasonlan, hogy a rszhalmazok szma az elz halmaz rszhalmazai szmnak amegduplzsa, vagyis 1222 += kk . Ezzel igazoltuk, hogy brmely Nn elemet szmllhalmaz rszhalmazainak szma n2 .

2.3. Mveletek halmazokkal

2.3.1. Egyests (uni)

rtelmezs: Kt halmaz egyestse alatt rtjk azt a harmadik halmazt, melynek elemei,elemei az elskt halmaz legalbb egyiknek.

Jellse: legyenA sB kt halmaz, melyek egyestse (unija) a kvetkezhalmaz:

{ }Bxvagy,Ax|xBA =

Pl.: Legyen { }9,6,3,0=A s { }8,6,4,2,0=B melyek egyestse az { }9,8,6,4,3,2,0=BA halmaz. Venn diagrammal szemlltetve:

Az egyests tulajdonsgai: Idempotens, vagyis AAA =

Kommutatv, vagyis ABBA = Asszociatv, vagyis ( ) ( )CBACBA = A tulajdonsgok knnyen belthatak Venn diagrammal. Az asszociatv tulajdonsgrdeme, hogy az egyests elvgezhetkettnl tbb halmazra is.


27/149

2

2.3.2. Metszet (kzs rsz)

rtelmezs: Kt halmaz metszetn rtjk azt a halmazt, melyet a kt halmaz kzs elemeialkotnak.

Jellse: legyenA sB kt halmaz, melyek metszete (kzs rsze) a kvetkezhalmaz:

= BxsAxxBA |

Pl.: Legyen { }9,6,3,0=A s { }8,6,4,2,0=B melyek metszete az { }6,0=BA halmaz.Venn diagrammal szemlltetve:

A metszet tulajdonsgai: Idempotens, vagyis AAA = Kommutatv, vagyis ABBA = Asszociatv, vagyis ( ) ( )CBACBA =

A tulajdonsgok knnyen igazolhatak Venn diagrammal. Az asszociatv tulajdonsgrdeme, hogy a metszet elvgezhetkettnl tbb halmazra is.rtelmezs: Ha Kt halmaz metszete res halmaz , vagyis nincs kzs elemk, akkor

diszjunkt (idegen) halmazoknak nevezzk.Az egyests mvelete disztributv (szttagolhat) a metszetre nzve s fordtva:

( ) ( ) ( )CABACBA =

( ) ( ) ( )CABACBA = A bennfoglals kapcsolatt az egyestssel s a metszettel a kvetkez tulajdonsgok fejezikki:

BAA illetve ABA

BBABA = illetve BBAAB =

CBCABA illetve CACBAB

Ha CA s CB , akkor CBA illetve,

ha AC s BC , akkor BAC

Mindezen tulajdonsgok knnyen igazolhatk a mveletek rtelmezse valaminttulajdonsgaik segtsgvel.

2.3.2. Klnbsg (differencia)

rtelmezs: Kt halmaz klnbsge (differencija) az a halmaz, melynek elemei az els

halmaznak elemei, de nem elemei a msodik halmaznak.Jellse: legyenA sB kt halmaz, melyek klnbsge (differencija) a kvetkezhalmaz:


28/149

2

= BxsAxxBA |\ vagy

= BxsAxxBA |

Pl.: Legyen { }9,6,3,0=A s { }8,6,4,2,0=B melyek klnbsge az { }9,3\ =BA halmaz.Tulajdonkppen a klnbsget gy kapjuk meg, hogy az els halmazbl elvesszk a kthalmaz kzs elemeit.Venn diagrammal szemlltetve:

A kivons tulajdonsgai: Nem idempotens, vagyis AAA \ , mert { }=AA\ vagy =AA\

Nem kommutatv, vagyis ABBA \\ Nem asszociatv, vagyis ( ) ( )CBACBA \\\\

AA =\

{ } { }=A\ vagy =A\

HaABBA

\\ = , akkor =BA

\ s =AB

\ Ha BsA halmazok diszjunktak (idegenek), akkor ABA =\ s BAB =\

Ha BA , akkor =BA\

rtelmezs: Ha BA , akkor a AB\ klnbsget az A halmaz B halmazra vonatkozkomplementer halmaznak nevezzk.

Jellse: ACB vagy A . Pldul legyen { }6,4,2=A s { }9,8,7,6,5,4,3,2,1,0=B , akkor az A

halmaz B halmazra vonatkoz komplementere (mert BA ): { }9,8,7,5,3,1,0\ == ABACB

vagy { }9,8,7,5,3,1,0=A .

Venn diagrammal szemlltetve:

A komplementer halmaz tulajdonsgai:

AA= vagyis az A komplementer halmaznak komplementere egy B alaphalmazra nzve, maga az A halmaz.


29/149

2

Az alaphalmaz nmagra vonatkoz komplementer halmaza az res halmaz .

Egy halmaz egyestve a komplementer halmazval, az alaphalmazt kapjuk. Egy halmaz s komplementer halmaznak metszete az res halmaz .

Morgan kpletei: ( ) BABA =______

s BABA =

_______

ABBA Ha BA= , akkor BA= . Ha AxAx

2.3.4. Descartes-fle szorzat (direkt szorzat)

rtelmezs: Kt halmaz Descartes-fle szorzata azon rendezett elemprok2 halmaza,melyeknl az els tag az els halmaz eleme, mg a msodik tag a msodikhalmaz eleme.

Jellse: legyenA sB kt halmaz, melyek Descartes-fle szorzata a kvetkezhalmaz:

( )

= BysAxyxBA |,

Ha AA= , akkor 2AAA = jellst alkalmazzuk. Vagy nAAAAA = ... , ha az A

halmazt n -szer vettk szorztnyeznek. Ezeket homogn szorzatoknak nevezzk.

Pl.: Legyen { }9,6,3=A s { }4,2=B melyek Descartes-fle szorzata a kvetkezhalmaz:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4;9,2;9,4;6,2;6,4;3,2;3=BA

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }9,9,9,...,3,3,9,...,3,3,6,...,3,9,3,9,6,3,6,6,3,3,6,3,9,3,3,6,3,3,3,3,33 =A

A Descartes-fle szorzat (direkt szorzat) tulajdonsgai:

Nem kommutatv, vagyis ABBA

Pl.: Ha { }9,6,3=A s { }4,2=B , akkor

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }4;9,2;9,4;6,2;6,4;3,2;3=BA s

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }9;4,6;4,3;4,9;2,6;2,3;2=AB

Jl ltszik, hogy az BA s AB halmazokat nem azonos elemek alkotjk.Teht a kt halmaz nem egyenl: ABBA .

Nem asszociatv, vagyis ( ) ( )CBACBA

Az elzhz hasonlan ki lehet mutatni.

A halmazok unijra s metszetre nzve disztributv (szttagolhat):

( ) ( ) ( )CABACBA =

( ) ( ) ( )CABACBA =

2Rendezett elemprok, mert az elstagja mindg az elshalmaznak, a msodik tagja mindg a msodikhalmaznak eleme.


30/149

2


31/149

2

III. FEJEZET

A TERMSZETES SZMOK HALMAZA

3.1. Halmazok szmossga

3.1.1. Relcik

A relcidolgok viszonyt jelenti; s hasonl jelentssel br a matematikban is. A kznapiletben s a matematikban is egy nagyon ltalnos fogalom, de a matematikban nem szmtalapfogalomnak, lehetsges definilni (rtelmezni).LegyenA s B kt halmaz, valamint BA a kt halmaz Descartes-fle szorzata.rtelmezs: Az BA Descartes-fle szorzat brmely BAG rszhalmazt az A s B

halmazok kztti megfeleltetsnek (relcinak) nevezzk.Tulajdonkppen itt egy halmazhrmasrl van sz, melyet a grg bc kisbetivel fogunkjellni. Teht ( )BAG ,,= egy relci (megfeleltets), melyet a BAG rszhalmazhatroz meg. A G rszhalmazt alkot elemprok els tagjaibl alkotott halmazt jelljk

( )D -val ahol ( ) AD s indulsi halmaznak nevezzk (definition domen of relation, angolmegnevezs) s az elemprok msodik tagjbl alkotott halmaz legyen ( )R , neve rkezsi

halmaz (range of relation, angol megnevezs) ahol ( ) BR . Tovbb az egyszersgkedvrt a relcit meghatroz BAG rszhalmazt is -val fogjuk jellni.A fent rtelmezett relci ktvltozs s ezrt a binr nevet viseli. Lehet a relci n vltozsis, ha nA...AA 21 Nn .

Ha a relciban (megfeleltetsben) BA= , akkor a relcit homogn binr relcinaknevezzk. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy az A halmazon rtelmeztk a relcit.Megjegyzs:

A relci lehet n vltozs homogn relci is.nAA...AA =

A relcinak, rendezett szmprok halmazaknt val meghatrozsa azremnek csak az egyik oldala. A msik oldala, hogy ezen elemproknak, vagyelem n -eseknek milyen viszony felel meg. Vagyis mi az a viszony, mely

ltrehozza a rendezett elemprokat, hogy melyik els komponensnek melyikmsodik komponens felel meg stb.?

Pldul, legyen { }43210 ,,,,A= s { }1312111098 ,,,,,B= kt halmaz, melyek Descartes-fleszorzata:

8 9 10 11 12 13

0 (0,8) (0,9) (0,10) (0,11)

(0,12) (0,13)1 (1,8) (1,9) (1,10) (1,11) (1,12) (1,13)2 (2,8) (2,9) (2,10) (2,11) (2,12) (2,13)3 (3,8) (3,9) (3,10) (3,11) (3,12) (3,13)4 (4,8) (4,9) (4,10) (4,11) (4,12) (4,13)

n -szer vve

AB


32/149

3

Relcik: : 12=+ ba , ahol Aa s Bb , ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } BA,,,,,,,,,b,a = 8493102111120

A tblzatban srga mezbe rt szmprok. : b/a az a osztja b -nek, ahol Aa s Bb ,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }12410282311211111019181 ,,...,,,,,,,,,,,,,,,,b,a = A tblzatban pirossal rt szmprok.

: ba =+ 5 , az a 5-tel kisebb, mint b , ahol Aa s Bb ,( ) ( ) ( ){ } BA,,,b,a = 9483

A tblzatban kk mezbe rt szmprok. : 15>+ ba , ahol Aa s Bb , ( ) ( ) ( ) ( ){ } BA,,,,,b,a = 134124133

A tblzatban a zld mezbe rt szmprok. Mi tovbbra is csak a ktvltozs relcikkal fogunk foglalkozni.

A ktvltozs (binr) homogn relcik tulajdonsgai:

Reflexv, vagyis minden elem relciban van nmagval. Ha AA s Ax

egy tetszleges elem, akkor ( ) xx, vagyis xx (x a relciban van x -el,vagyis nmagval).

Pl.: Egy szm mindg osztja nmagnak, vagy egy szm mindgegyenl nmagval, stb.

Szimmetrikus, vagyis, hax elem relciban van y -nal, akkor y elem is

relciban van x -el. Teht, ha ( ) yx, , akkor ( ) xy, is igaz. A tulajdonsg aztfejezi ki, hogy a relciban megfogalmazott viszony, kapcsolat klcsns.

Tranzitv, vagy a relciban megfogalmazott viszony, kapcsolat trkthet, tvihet.Ezt gy fejezzk ki: ha yx s zy , akkor zx .Vagyis, ha x a relciban van y -nal, s y a relciban van z -vel, akkor x is

relciban van z -vel. Msknt mondva, ha ( ) yx, s ( ) zy, , akkor

( ) zx, is igaz.

Pl.: Tranzitv az egyenlsg, az egyenltlensg, az oszthatsg, stb.

Antiszimmetrikus, vagyis, ha yx s xy , akkor yx= .

Msknt mondva, ha ( ) yx, s ( ) xy, , akkor yx= . Ez a tulajdonsg azt fejezi

ki, hogy az yx= , yx s xy relcik kzl legalbb az egyik lehetsges.Ilyenkor a relcit linerisnak nevezzk.

A relcik osztlyozsa:

a.) Ha egy relci rendelkezik a reflexv, szimmetrikus s tranzitv tulajdonsgokkal,akkor azt mondjuk, hogy ekvivalencia relci.

Pl.: az egyenlsg, egybevgsg, kongruens, stb.

b.) Ha egy relci tranzitv s antiszimmetrikus, rendezsi relcinak nevezzk.Pl.: a , oszthatsg, , stb.

rtelmezs: Az Mhalmaz egy osztlyfelbontst vagy egy osztlyozst alkotjk azMkvetkez rszhalmazai: nAAAA ,...,,, 321 , ha a rszhalmazok egyike sem


33/149

3

res halmaz s pronknt diszjunktak (idegenek) s egyestsk az Mhalmazzalegyenl. Egy ilyen iA szhalmazt osztlynak neveznk.

Ttel: Minden ekvivalencia relci egy osztlyfelbontst (osztlyozst) hatroz meg sfordtva, minden osztlyozs (osztlyfelbonts) meghatroz egy ekvivalencia relcit.

Bizonytsa a ttelnek:Megjegyzs: A bizonyts elvgzshez szksges a kvetkezfogalom bevezetse:

Ha egy A halmazon rtelmezett a relci, akkor valamely Aa elemnek a relcira vonatkoz metszetn rtjk az A halmaz azon Ax elemeinek

halmazt, melyek relciban vannak az Aa elemmel. Jellse: ( )a .

Teht: ( ) { } AaxAxa = | .Knnyen belthat, hogy ezen metszetek egyestse egyenl az A halmazzal. Azegyestsben elfordulhatnak egyenltagok is. Ha az egyestsben minden elem csak egyszerfordulna el, akkor azA halmazt olyan elemei metszeteinek egyestseknt lltannk el,mely metszetek nem lennnek egyenlk ( ) ( )ba . Most tekintsk gy, hogy az A tetszleges halmazt ilyen metszetek egyestseknt lltottuk elahol a halmazon rtelmezett relci ekvivalencia relci, mely az rtelmezs alapjn reflexv, szimmetrikus s tranzitv.

Teht: ( ) ( ) ( ) ...= cbaA ahol ( ) ( ) ( ) ... cba Tovbb igazoljuk, hogy az gy vlasztott metszetek diszjunkt (idegen) rszhalmazai az A halmaznak. Felttelezzk, hogy kt tetszleges metszet nem diszjunkt, vagyis

( ) ( ) ba , van kzs elemk:

( ) ( ) ( )

( )

xbusszimmetrikmivelbxbx

xausszimmetrikmivelaxaxbax

,

,

Legyeny egy tetszleges eleme ( )a -nak, vagyis

( )

( )( ) ( ).,

.,

,,

bahogyigazoltukTehatbybyhogyalapjantastranzitiviabxalapjanfentiek

augyancsakdexytranzitvsxaalapjanfentiekadeayay

Ugyan gy igazoljuk, hogy ( ) ( )ab , s a kettbl kvetkezik, hogy ( ) ( )ba = amiellentmond a feltevsnek, hogy ( ) ( ) ( ) ... cba

Teht igazoltuk, hogy a ( )a , ( )b , ( )c , rszhalmazok diszjunktak (idegenek), melyekegyestse azA halmaz.Igazoltuk, hogy ezek a metszetek az A halmaz egy osztlyfelbontst kpezik.

Bizonytsa a fordtott ttelnek:Legyen

......21 = iAAAA ahol jiAA ji ,= esetn.

Vagyis ez az A halmaznak egy osztlyfelbontsa. rtelmezzk a kvetkezrelcit:Aba , s iAbaba , vagyis, ha ba, ugyanazon osztlyhoz tartozik.

Knnyen belthat, hogy ez a relci reflexv, szimmetrikus s tranzitv, vagyis ekvivalenciarelci.Mivel Aa kvetkezik, hogy iAa valamelyiknek, vagyis aa reflexv.

Ha baAba i , rtelmezs alapjn, de abAab i , is igaz. Teht, ha ba akkor

ab is igaz, vagyis a relci szimmetrikus.

Ha iAbaba , s iAcbcb , . Innen kvetkezik, hogy caAca i , . Teht a

relci tranzitv.

Inverz relci vagy inverz megfeleltets:


34/149

3

rtelmezs: Legyen A s B kt halmaz s BA egy relci, akkor a AB 1 inverz

relcija -nak, ha az xy 1 relci akkor ll fenn, ha yx is fennll.Venn diagrammal szemlltetve:

3.1.2. Fggvnyek

Legyen BA egy az A s B halmazokon rtelmezett relci (megfeleltets). A relci

rtelmezse nem zrja ki azt a lehetsget, hogy a relci ne hasznlja fel a teljesA illetveB halmazt. Ezrt vezettk be a kvetkezfogalmakat:

Indulsi halmaz, azA halmaz azon rsze, melynek elemeit a relci

felhasznlta s ( )D -val (definition domain of relation, angol) jelltk.

Pl.: ( ) { } A,,,,D = 43210 , ( ) { } A,,,D = 4321 , ( ) { } A,D = 43 , ( ) { } A,D = 43 a fentirelcikbl.

rkezsi halmaz, aB halmaz azon rsze, melynek elemeit a relci

felhasznlt s ( )R -val (range of relation, angol) jelltk.Pl.: ( ) { } B,,,,R = 12111098 , ( ) { } B,,,,,R = 1312111098 , ( ) { } B,R = 98 , ( ) { }1312,R =

a fenti relcikbl.rtelmezs: Ha a relci indulsi halmaza ( )D egybeesik az A halmazzal, vagyis

( )D =A , valamint minden ba s 'ba -bl kvetkezik, hogy 'bb= (klnbzelemek klnbz elemekkel vannak relciba), akkor a relcit fggvnynek(lekpezsnek) nevezzk.

Jellse: A helyett az f -et fogjuk alkalmazni, vagyis BAf , de ennl is elterjedtebbaz BAf : jells.

A ( ) AfD = indulsi halmazt az f fggvny rtelmezsi tartomnynak s a ( )fR rkezsi

halmazt az f fggvny rtkkszletnek vagy kphalmaznak (kpelemek halmaza ( )Af )nevezzk. A B halmazt kodomeniom-nak (codomain of function, angol) s az A halmaztmg domeniumnak (domain of function, angol) is nevezik.Ha az Aa s Bb elemek kztt fennll az bfa vagyis ( ) baf = egyenlsg, akkor b -taz a kpelemnek nevezzk. Az A halmaz kpe az f fggvnyen keresztl az ( )Af halmaz.

rtelmezs: Kt fggvny BAf : s DCg : egyenl, ha rtelmezsi tartomnyaik,rtk kszleteik egyenlk s ugyanannak az elemnek ugyanazt az elemetfeleltetik meg. Vagyis, ha CA= valamint DB= s ( ) ( )xgxf = brmely

Ax esetn, akkor a kt fggvny egyenl gf= .

Fggvnyek osztlyozsa: Ha az BAf : fggvny (lekpezs) esetn teljesl, hogy ( ) ( )bfaf = -bl

kvetkezik az ba= egyenlsg, akkor azt mondjuk, a fggvny (lekpezs)injektv.


35/149

3

Ha az BAf : fggvny (lekpezs) esetn teljesl, hogy ( ) ( ) BAffR == ,akkor a fggvny (lekpezs) szrjektv.

Ha az BAf : fggvny (lekpezs) injektv is, s szrjektv is, akkorbijektvnek nevezzk.

Venn diagrammal szemlltetve:

A bijektv fggvnyek rendelkeznek inverz fggvnnyel.rtelmezs: Mivel minden fggvny relci is, ezrt minden fggvnynek van inverz

relcija, de nem minden fggvny inverz relcija teljesti a fggvny kvetelmnyeit. Csaka bijektv fggvny inverz relcija teljesti egy fggvny kritriumait, ezrt a bijektvfggvny inverz relcijt, inverz fggvnynek nevezzk.Teht, ha BAf : egy bijektv fggvny, akkor az ABf :1 inverz relci azf fggvny inverz fggvnye.

3.1.3. Azonos szmossg (ekvipotens) halmazok

rtelmezs: Legyenek adottak azA s B halmazok. Ha az A halmaz bijektv mdon

lekpezhet a B halmazra, akkor azt mondjuk, hogy a kt halmaz egyenlszmossg (ugyanannyi elembl ll), vagy szmossgilag ekvivalensek. Eztegy kifejezssel gy mondjuk, hogy a kt halmaz ekvipotens, vagy egyszeren ahalmazok ekvipotensek.

Jellse: AzA sB halmazok szmossgt (hny elembl ll) gy jelljk: A s B . A fenti

estben A =B , vagyis az A s B halmazok azonos szm elemet tartalmaznak.

Ttel: A szmossgi (ekvipotencia) relci egy ekvivalencia relci.Bizonyts:

Reflexv: Knnyen belthat, hogy egy A halmaz mindg lekpezhetbijektven

nmagra. Teht A =A , vagyis a szmossgi relci reflexv.Szimmetrikus: Ha az A halmaz bijektven lekpezhet az f fggvnnyel a B

halmazra, akkor az f bijektv fggvnynek van inverze 1f , mely szintn

bijektv. Teht ltezik az 1f fggvny, mely bijektven lekpezi a B halmazt az

A halmazra. Teht A =B -bl kvetkezik, hogy B = A , vagyis a szmossgi

relci szimmetrikus.Tranzitv: Ha A =B s B =C , akkor A = C , vagyis, ha azf fggvny

lekpezi bijektven az A halmazt a B halmazra s g fggvny lekpezibijektven a B halmazt a Chalmazra, akkor a fgo fggvny lekpezibijektven az A halmazt a C halmazra. A fgo fggvny tulajdonkppen azf s g fggvnyek egymsutni elvgzse, melyet a kt fggvny szorzatnakneveznk. Teht a szmossgi relci tranzitv.


36/149

3

Mivel a szmossgi (ekvipotencia) relci rendelkezik a fenti hrom tulajdonsggal,kvetkezik az rtelmezs alapjn, hogy ekvivalencia relci. De minden ekvivalencia relcimeghatroz egy osztst vagy osztlyokra val bontst. gy a szmossgi (ekvipotencia)relci a halmazok halmazt osztlyokra bontja. Minden osztly kpvisel egy szmossgot. Aszmossgok reprezentnsait nevezzk kardinlis szmoknak.

rtelmezs: Egy halmazt vgtelennek neveznk, ha rendelkezik egy olyan valdi rsz-halmazzal, mellyel ekvipotens.Pl.: A termszetes szmok halmaznakN, valdi rszhalmaza a prostermszetes szmok halmaza P . Az Nhalmazt bijektven le lehet kpezni a P halmazra az ( ) nnf = 2 fggvny segtsgvel, ahol Nn . Teht atermszetes szmok Nhalmaza vgtelen.

Megjegyzs: nem valdi rszhalmazok az res halmaz s a halmaz nmaga.

rtelmezs: Egy halmaz vges, ha nincs egyetlen olyan valdi rszhalmaza sem, mellyelszmossgra ekvivalens (ekvipotens) lenne.

rtelmezs: Egy halmaz megszmllhatan vgtelen, ha szmossgilag ekvivalens(ekvipotens) a termszetes szmok halmazval.

rtelmezs: Azt a vgtelen halmazt, mely nem ekvipotens a termszetes szmok halmazval,nem megszmllhatan vgtelen halmaznak nevezzk.

Pl.: a vals szmok halmaza, az egyenes pontjainak halmaza, egy kr pontjainakhalmaza, stb.

3.2. A termszetes szmok halmaza

3.2.1. A termszetes szmok fogalmnak halmazelmleti rtelmezse

Ttelezzk fel, hogy nem ismerjk egyetlen termszetes szmnak sem a fogalmt. Nemtudjuk mi az egy, mi a nulla, mi a kett, stb. Az rtelmezst t lpsben fogjuk elvgezni.

1.) Legyen adott a halmazoknak egy olyan rendszere, mely tartalmazza az res halmazt s hatartalmaz egy A halmazt, akkor tartalmazza az { }xA halmazt is, ahol x egytetszleges elem.A halmazrendszer halmazai ilyenek: { } { }aa = , { } { }bb = , { } { } { }baba ,= ,{ } { } { }bnbn ,= , { } { } { }nbanba ,,, = , stb. Jl belthat, hogy a halmazrendszervgtelen sok vges halmazt tartalmaz.

2.) A fenti halmazrendszeren rtelmezzk a kvetkez relcit: haA s B a

halmazrendszer kt halmaza, akkor BA , ha teljesl az BA= egyenlsg.

Vagyis a kt halmaz szmossga azonos. Az gy rtelmezett relci, tulajdonkppenekvipotencia relci, melyrl a 3.1.3. pontban kimutattuk, hogy ekvivalencia relci. Ezmeghatrozza a halmazrendszer osztlyokra val tagozdst. Egy osztlyba fognak

tartozni azok a halmazok melyek szmossga megegyezik.

3.) Minden osztly reprezentnsa (kpviselje) legyen egy az osztlybl vett tetszlegeshalmaz. gy nyerjk a kvetkezhalmazsort:


37/149

3

{ }ba, , , { }cba ,, , { }a , stb.,mint osztly- reprezentnsokat. Ezeket a szemlletessg kedvrt lehetne domin-kockkkal helyettesteni, gy:

4.) A reprezentns halmazokra rtelmezzk a kvetkez rendezsi relcit: ha A s B ktreprezentns halmaz, akkor BrA (A halmaz rrelciba vanB halmazzal), ha BA< .

Ezzel a rendezsi relcival a reprezentns halmazokat a kvetkezsorrendbe llthatjuk:, { }a , { }ba, , { }cba ,, , stb.

5.) A reprezentns halmazok szmossga a kardinlis szmok, melyek reprezentljk azosztlyok szmossgt. gy a fenti halmazsornak megfelelkardinlis szmok:

0, 1, 2, 3, melyeket, termszetes szmoknak neveznk.Jellse a termszetes szmok halmaznak: { },....4,3,2,1,0=N

A termszetes szmok nhny alapvettulajdonsga: A termszetes szm egy vges halmaz szmossga. A termszetes szm, valjban halmaztulajdonsg. A fentiek szerint a nulla is termszetes szm, mert az res halmaz szmossga. A termszetes szmok halmaza vgtelen, megszmllhatan vgtelen. A termszetes szmok halmaza teljesen rendezett halmaz, mert brmely kt

termszetes szm sszehasonlthat az ba< ha BA< , ahol Aa= s Bb= ,

rendezsi relcival. Vagyis az BA< , BA= , BA> kzl az egyik biztosanteljesl. Ez a relci is a halmazok szmossgra plt.

3.2.2. A termszetes szmok axiomatikus rtelmezse

Giuseppe Peano (1858. augusztus 271932. prilis 20.) olasz matema-tikus, logikatuds s nyelvsz a matematika aximarendszereinekegyik megalaptja. Olyan nagy nevekkel emlthet egytt, mintEukleidsz s Hilbert. Leibniz-et s Boole-t kvetve igyekezettmegalkotni a matematika formlis logikai alapjait. Arra trekedett,

hogy a htkznapi ember is megrtse a logikusan felptettaximarendszer segtsgvel az alapfogalmakat.Bemutatom a Peanotl szrmaz, elvontabb, axiomatikusrtelmezst a termszetes szmoknak. Mieltt elkezdenm abemutatst, hadd tekintsnk be egy elmlet, axiomatikus trgyalsiszablyaiba.

1. Szably: Nhny egyszer fogalmat rtelmezs (definici) nlkl elfogadunk. Ezek azelsdleges- vagy msknt mondva alapfogalmak.

2. Szably: Nhny, az elbbi fogalmakra vonatkoz, lltst fogadunk el bizonyts nlkl,

melyeket aximknak neveznk.3. Szably: Az alapfogalmakra pl rtelmezsekkel s az aximk segtsgvel igazolttteleken keres

Documents

ÖSSZEFOGLALÓ MATEMATIKÁBÓL TANÍTÓKNAK