แผนการจัดการเรียนรู วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 รหัสวิชา …elsd.ssru.ac.th/nattaporn_sr/pluginfile.php/26/course/summary/แผนการ... ·

แผนการจดการเรยนร วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 รหสวชา ค31202

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 4

จดท าโดย นางสาวณฎฐาภรณ ศรชนะ

ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 โรงเรยนสาธตมหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

ค ำอธบำยรำยวชำ

ศกษาระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ การใชเมทรกซแกระบบสมการเชงเสน การด าเนนการของฟงกชน

ฟงกชนผกผน ฟงกชนประกอบ ความรเบองตนเกยวกบเรขาคณตวเคราะห และภาคตดกรวย โดยใชทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร วธการทหลากหลาย เทคโนโลยการแกปญหาในสถานการณตางๆ

ใหเหตผลประกอบการสรป โดยใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาตรในการสอสารและน าเสนออยางถกตอง ชดเจน เชอมโยงความรในคณตศาสตรและศาสตรอนๆ น าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวณการไปใชในการเรยนร และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค

เพอเหนคณคาของคณตศาสตร ท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ คดอยางมวจารณญาณ และทกษะการแกปญหา ทกษะการคดเชงสรรคสราง ทกษะในการสอสาร ทกษะชวต

ผลกำรเรยนร

1. ความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

2. หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ

3. วเคราะหและหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได

4. มความคดรวบยอดเกยวกบฟงกชน เขยนกราฟของฟงกชนทก าหนดใหได

5. น าความรเรองฟงกชนไปใชแกปญหาได

6. หาระยะทางระหวางจดสองจด จดกงกลาง ระยะหางระหวางจดเสนตรงและจดได

7. เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวยเมอก าหนดสวนตางๆของภาคตดกรวยใหและเขยนกราฟของ

ความสมพนธนนได

8. น าความรเรองการเลอนแกนทางขนานไปใชในการเขยนกราฟได

9. น าความรเรองเรขาคณตวเคราะหไปใชแกปญหาได

แผนกำรจดกำรเรยนร 1

หนวยกำรเรยนรท 1 ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ เรองระบบสมกำรเชงเสน

วชำ คณตศำสตรเพมเตม 2 รหสวชำ ค31202 กลมสำระกำรเรยนรคณตศำสตร

ชนมธยมศกษำปท 4 ภำคเรยนท 1 ปกำรศกษำ 2559 เวลำ 1 คำบ

ผสอน นำงสำวณฎฐำภรณ ศรชนะ


วเคราะหและหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได

จดประสงคกำรเรยนร

นกเรยนสามารถหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได

สำระส ำคญ

ระบบสมการเชงเสนสองตวแปรหลายตวแปร

สำระกำรเรยนร

1) ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

2) ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

คณลกษณะพงประสงค

นกเรยนรจกระบบสมการเชงเสน และหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได

สมรรถนะส ำคญ

นกเรยนเขาใจวธการหาค าตอบของระบบสมการเชงเสน

กจกรรมกำรเรยนร

กจกรรมกำรน ำเขำสบทเรยน

ครทบทวนเกยวกบการแกสมการเชงเสนตวแปรเดยว โดยยกตวอยางสมการบนกระดาน 2-3 ตวอยาง ซกถามนกเรยนเกยวกบ

การแกสมการ การหาค าตอบ และใหนกเรยนอาสาออกมาแสดงวธการหาค าตอบหนาชน เชน

1. 24 x หาค าตอบ ได 2

42 44

x

x

2. xx 592 หาค าตอบ ได 2 5 9x x

3 9

9

3

3

x

x

x

กจกรรมพฒนำผเรยน

1. ครยกตวอยางสมการเชงเสนสองตวแปร เชน x + y = 0 แลวถามนกเรยนวา ค าตอบของ x และ y ทท าใหสมการเปน

จรงมอะไรบาง ( มหลายค าตอบ )

2. ครยกตวอยางสมการเชงเสนสองตวแปรเพมเตมอก 1 สมการ เชน 2x–y = 3 แลวถามนกเรยนวา คา x และ y เปน

อะไรทท าใหสมการทงสองสมการขางตนเปนจรง

3. ครแสดงวธการแกสมการเชงเสนสองตวแปรใหนกเรยนด โดยใชการถามตอบ ใหนกเรยนสงเกตวธการแกสมการ เชน

x + y = 0 ………..(1)

2x–y = 3 ………..(2)

(1)+(2) ; x+y+2x–y = 0+3

3x = 3

x = 3

3 = 1

แทนคา x = 1 ในสมการ (1) จะได

1 + y = 0

y = 0 – 1 = –1

ค าตอบของสมการคอ x = 1 และ y = –1

4. จากตวอยาง ครใหนกเรยนชวยกนสรปวาหลกการแกสมการเชงเสนสองตวแปรคออะไร (นกเรยนตอบอยางหลากหลาย)

5. ครอธบายนกเรยนวาสมการเชงเสนสองตวแปร 2 สมการ เรยกวา “ ระบบสมการ” โดยมนยามวา

นยำม ให a , b , c, d , e , f เปนจ านวนจรงใดๆ ท a, b ไมเปนศนยพรอมกน และ c, d ไมเปนศนยพรอมกน

เรยก

fdycx

ebyax วา ระบบสมกำรเชงเสนสองตวแปร

โดยท x และ y เปนตวแปร

นยำม ให naaaa ,...,,, 321 เปนจ านวนจรงใดๆ ท naaaa ,...,,, 321 ไมเปนศนยพรอมกน เรยก

cxaxaxaxa nn ...332211 วา สมกำรเชงเสน n ตวแปร โดยท n

xxxx ,...,,,321

เปนตวแปร และ

2n

วธกำรแกระบบสมกำร สามารถท าได 2 วธ คอ

1) กำรก ำจดตวแปรโดยวธกำรบวกลบสมกำร(elimination by addition or subtraction ) ท าไดโดยการน า

สมการมาบวกหรอลบกนเพอก าจดตวแปรใหเหลอตวแปรเดยว แลวหาคาตวแปรนนจากสมการทได จากนนใหน าคาของตวแปรท

ไดไปแทนในสมการเดมสมการใดสมการหนง เพอหาคาของตวแปรทเหลอ

2) กำรก ำจดตวแปรโดยวธกำรแทนคำ (elimination by substitution) ท าไดโดยเลอกสมการใดสมการหนง แลว

หาคาตวแปรใดตวแปรหนงใหอยในรปของอกตวแปรหนง น าผลทไดไปแทนในอกสมการหนง แลวจะเหลอตวแปรเพยงตวเดยว จงหาคา

ของตวแปรนนได เมอหาตวแปรหนงไดกจะหาตวแปรทเหลอได

6. ครยกตวอยางระบบสมการเชงเสนสองตวแปรอก 1-2 ตวอยาง ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ

7. ครยกตวอยางระบบสมการเชงเสน 3 ตวแปรบนกระดาน แลวซกถามนกเรยนเกยวกบวธการหาค าตอบของสมการ เชน

143

42

52

zyx

zyx

zyx

8. ครอธบายเกยวกบนยามของระบบสมการเชงเสนหลายตวแปรแลวแสดงวธการหาค าตอบของระบบสมการ 2-3 ตวอยาง ให

นกเรยนชวยกนสงเกต เชน

จาก 52 zyx …………..(1)

42 zyx ………….. (2)

143 zyx ………….. (3)

วธท ำ 1) ท าสมประสทธของ y ใหเปน 0 โดยน า 2 คณสมการท (2) แลวบวกกบสมการท (1)

52 zyx …………..(1)

(2)×2 ; 8224 zyx …………..(4)

(4)+(1); 5 3 13x z …………..(5)

2) ท าสมประสทธของ y ใหเปน 0 โดยน าสมการท (2) บวกกบสมการท (3)

42 zyx …………..(2)

143 zyx …………..(3)

(2)+(3); 5 5 5x z …………..(6)

3) แกสมการท (5) และ (6) หาคาของ x และ z

(6) – (5) ; 4

82

z

z

แทนคา z ใน (5) ; 13)4(35 x

255 x

5x 4) น าคา x และ z แทนในสมการท (1) หรอ (2) หรอ (3) เพอหาคาของ y ในทนแทนในสมการท (3) จะได

3(5) + y + 4 (–4) = 1

y = 2

ดงนน ค าตอบของระบบสมการคอ ( 5 , 2 , –4)

9. ครใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 4 คน แลวแจกใบกจกรรมท 1.1 ในหนงสอเรยนเสรมมาตรฐานแมค คณตศาสตรเพมเตม

ม.4 ภาคเรยนท 2 ใหนกเรยนชวยกนท าภายในเวลา 30 นาท หลงจากนนครและนกเรยนชวยกนเฉลยค าตอบ หรอครอาจจะน างาน

ของนกเรยนมาตรวจสอบความถกตองและใหขอเสนอในจดทนกเรยนท าผดในคาบถดไป

กจกรรมรวบยอด

ครใหนกเรยนชวยกนสรปนยามของค าวา ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร และสรปวธการแก

ระบบสมการ โดยใหนกเรยนท าเปนแผนผงความคด

กำรวดผลและประเมนผล

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการใหคะแนน

สาระการเรยนร

1)ระบบสมการเชงเสนสองตวแปร

2)ระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร

-สมด

-แบบฝกหดในหนงสอ

เรยน

-ใบกจกรรม 2/1

-แบบฝกหดท 1.1


-ค ว า ม ถ ก ต อ ง ข อ ง

แบบฝกหดผาน 70%

จดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถหาค าตอบของระบบสมการ

เชงเสนได

-สมด


เรยน






คณลกษณะอนพงประสงค

1. มความรบผดชอบ

2. มระเบยบวนย

3. มสวนรวมในชนเรยน

-สมด

-แบบฝกหด

-บนทกหลกการสอน


-บนทกหล งการ

สอน



ควำมเหนของหวหนำกลมสำระกำรเรยนร

..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )

หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ควำมเหนของรองผอ ำนวยกำรฝำยวชำกำร

..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )

รองผอ านวยการฝายวชาการ

บนทกหลงกำรสอน

๑.ผลการสอน

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

๒.ปญหาอปสรรค

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

๓.ขอเสนอแนะ

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

ลงชอ ....................................................ผสอน

( นางสาวณฎฐาภรณ ศรชนะ )


หนวยกำรเรยนรท 1 ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ เรองเมทรกซ





มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ


1) นกเรยนสามารถหาผลบวก ผลตาง และผลคณของเมทรกซได

2) นกเรยนน าสมบตของการบวกเมทรกซ การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง และการคณเมทรกซดวยเมทรกซ


ระบบสมการเชงเสนสองตวแปรหลายตวแปร


1) ความหมายของเมทรกซ

2) การเทากนของเมทรกซ

3) การบวกเมทรกซ

4) การคณเมทรกซดวยคาคงตว

5) การคณระหวางเมทรกซ

6) เมทรกซเอกลกษณและเมทรกซสลบเปลยน


นกเรยนรจกเมทรกซ และสามารถหาผลบวก ผลตาง และผลคณของเมทรกซได


นกเรยนเขาใจความหมายของเมทรกซและด าเนนการตางๆ เกยวกบเมทรกซได



ครพดคยกบนกเรยนเกยวกบการเขยนตวเลขแสดงขอมลตางๆ โดยครยกตวอยางขอมลแลวใหนกเรยนเขยนตวเลขแสดง

จ านวน เชน ขอมลแสดงการไดรบเหรยญจากการแขงขนกฬาของนกศกษาแตละสถาบน

เหรยญทอง เหรยญเงน เหรยญทองแดง

สถาบน A 3 5 1

สถาบน B 4 4 0

สถาบน C 1 2 5

จากขอมลขางตน ถาพจารณาเฉพาะตวเลขโดยเอาวงเลบปดดานหนาและดานหลง แลวตดชอสถาบนและชอเหรยญออกไป

จะไดดงน

521

044

153


1. ครอธบายวา การเขยนตวเลขแสดงจ านวนขอมลในรปแถวและหลกเรยงกน ดงตวอยางขางตน เรยกวา เมทรกซ พรอมใหนกเรยน

พจารณานยามความหมายของเมทรกซ ดงน

นยำม เมทรกซ คอ ชดของจ านวน mn ตว ),( Inm ซงเขยนเรยงกน m แถว n หลก ภายในเครองหมายวงเลบ

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

...

......

...

...

21

22221

11211

หรอ เขยนไดเปน nmijaA

แถวท 1

แถวท 2

แถวท m

หลกท 1 หลกท 2 หลกท n

องคประกอบของเมทรกซขางตน

1) ชอของเมทรกซ นยมใชอกษรภาษาองกฤษพมพใหญ เชน A, B, C

2) สมาชกของเมทรกซ จะใชอกษรภาษาองกฤษพมพเลกและมตวหอย (subscrip ) 2 ตว เพอบอกต าแหนง โดยให

ija แทนสมาชกต าแหนงใดๆ ซง i แทนแถว และ j แทนหลก เชน

12a หมายถง สมาชกซงอยในแถวท 1 หลกท 2

3) มตของเมทรกซ แทนดวยสญลกษณ m×n โดย m เปนผลรวมของแถว และ n เปนผลรวมของหลก

2. ครยกตวอยางเมทรกซ ใหนกเรยนชวยกนตอบวา เมทรกซมมตเปนอะไร และใหนกเรยนหาสมาชกของเมทรกซตามทครก าหนด เชน

0

1

4

5

4

3A มมตเปน 2 × 3

4

1

21

13

a

a

3. ครใหนกเรยนทกคนท าใบกจกรรมท 1.2.1 โดยใหเวลา 15 นาท แลวใหนกเรยนชวยกนออกมาเฉลยค าตอบ

4. ครยกตวอยางเมทรกซทมมตเทากน 2 เมทรกซ เชน

A=

512

413 , B =

512

43 x

แลวถามนกเรยนวา ถาเมทรกซสองเมทรกซนเทากน คาของ x คออะไร

(ใหนกเรยนตอบ)

5. ครอธบายนกเรยนเกยวกบนยามการเทากนของเมทรกซโดยยกตวอยางประกอบเพมเตม

นยำม ให nmijaA

,

nmijbB

A เทากบ B กตอเมอ ija = ijb ส าหรบทก i = 1,2,…,m และ

j = 1,2,…,n และเขยนแทน A เทากบ B ดวย A = B

6. ครยกตวอยางการน าสมบตการเทากนของเมทรกซไปใช เชน

1)

x

y

2

5 =

02

15

0,1 xy

2)

6

1x =

y2

3

จะได 1x = 3

x = 3 – 1 = 2

y2 = 6

62 = y

y = – 4

7. ครสรปใหนกเรยนทราบขอสงเกตของสมบตการเทากนของเมทรกซวา

1) เมทรกซสองเมทรกซทมมตตางกนจะไมเทากน

2) เมทรกซสองเมทรกซทมมตเดยวกนแตสมาชกทอยในต าแหนงเดยวกนตางกนเพยง 1 ตว เมทรกซทงสองจะไมเทากน

8. ครแจกใบกจกรรมท 1.2.2 ใหนกเรยนท าโดยใหเวลา 20 นาท แลวสมนกเรยนชวยกนออกมาเฉลยหนาชนเรยน

9. ครพดคยกบนกเรยนเกยวกบการบวกจ านวนจรงแลว ซงนกเรยนสามารถหาค าตอบได แลวครยกตวอยางเมทรกซ 2 เมทรกซทมมต

เทากน ใหนกเรยนคดวาถาเปนระบบเมทรกซจะสามารถน าเมทรกซมาบวกกนไดอยางไร เชน

A =

24

31 , B =

75

20

ถามนกเรยนวา A + B ไดเทาใด หลงจากนน ครเฉลยค าตอบ

A + B =

)7(2)5(4

230)1( =

51

51

10. ครและนกเรยนชวยกนสรปนยามของการบวกเมทรกซ ดงน

นยำม ถาให nmijaA

และ

nmijbB

เมทรกซ A บวกกบเมทรกซ B คอเมทรกซ nmijc

เมอ nmijc

=

nmijij ba

ส าหรบทก i = 1,2,…,m และ

j = 1,2,…, n และเขยนแทน A บวกกบ B ดวย A + B

ขอสงเกต : เมทรกซใดๆ จะบวกกนไดตองมขนาดเทากนและวธบวกท าไดโดยน าสมาชกต าแหนงเดยวกนในแตละเมทรกซมาบวกกน

11. ครยกตวอยางการบวกเมทรกซเพมเตมอก 2-3 ตวอยาง แลวแจกใบกจกรรมท 1.2.3 ใหนกเรยนท าโดยใหเวลา 20 นาท แลวครและ

นกเรยนชวยกนเฉลยค าตอบ

12. ครทบทวนสมบตการคณจ านวนจรงแลวยกตวอยางการคณคาคงทกบเมทรกซ

เชน

ถาก าหนด A =

97

53 จงหา 3A

ครถามน า ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ

3A =

)9(3)7(3

)5(3)3(3

=

2721

159

13. ครอธบายนกเรยนเกยวกบนยามการคณเมทรกซดวยคาคงตว ดงน

นยำม ถาก าหนดให nmijaA

และ c เปนคาคงตว

ผลคณของ c กบเมทรกซ A คอเมทรกซ nmijb

เมอ nmijb

=

nmijca

ส าหรบทก i = 1,2,…,m และ j = 1,2,…, n

และเขยนแทนผลคณของ c กบเมทรกซ A ดวย cA

14. ครยกตวอยางการคณเมทรกซดวยคาคงตวอก 2-3 ตวอยาง

15. ครใหนยามเพมเตมเกยวกบการลบเมทรกซ พรอมยกตวอยางประกอบ ดงน


,

nmijbB

และ , เปนคาคงตว BA nmijc

เมอ

ijijij bac ส าหรบทก i = 1,2,…,m และ j = 1,2,…, n

ตวอยำง จงหาเมทรกซ 3A–2B เมอก าหนด

76

42A

78

13B

3A–2B =

76

423

78

132

=

2118

126

1416

26

=

352

1412

16. ครใหนกเรยนชวยกนบอกสมบตของการบวกเมทรกซ (โดยครยกตวอยางประกอบ สมบตแตละขอ) แลวเขยนขอสรปสมบตดงกลาว

บนกระดาน ดงน

ส าหรบเมทรกซ A , B , C , 0 ทมมต m×n

1) A + B มมต m×n

2) A + B = B + A (การสลบท )

3) A + (B+ C) = (A + B) + C ( การเปลยนหม )

4) A + 0 = 0 + A = A (การมเอกลกษณการบวก)

5) A + (–A) = (–A) + A = 0 (การมตวผกผนการบวก)

6) c(A+ B) = cA + cB เมอ c เปนคาคงตวใดๆ

7) (c+d)A = cA + dA เมอ c,d เปนคาคงตวใดๆ

8) (cd)A = c(dA) เมอ c,d เปนคาคงตวใดๆ

9) 1A = A , 0A = 0

ขอสงเกต : 0 เปนเอกลกษณการบวกภายในเซตของเมทรกซมต m×n

–A เปนตวผกผนการบวกของ A

17. ครใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 3 คน ชวยกนท าใบกจกรรมท 1.2.4 โดยใหเวลา 30 นาท แลวครน าผลงานไปตรวจและให

ขอเสนอแนะในชวโมงตอไป

18. ครทบทวนการคณเมทรกซดวยคาคงตว โดยยกตวอยางใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ

19. ครซกถามนกเรยนวา ถาเปนการคณเมทรกซกบเมทรกซจะท าอยางไร (ใหนกเรยนชวยกนตอบ 2-3 นาท ) หลงจากนนครอธบาย

นยามของการคณระหวางเมทรกซพรอมยกตวอยางประกอบ 2-3 ตวอยาง เชน


,

rnijbB

AB = rmijc

โดยท ijc = njinjiji bababa ...2211

ส าหรบทก i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, r

ขอสงเกต : เมทรกซสองเมทรกซใดๆ จะคณกนไดกตอเมอจ านวนหลกของ เมทรกซตวตงเทากบจ านวนแถวของเมทรกซตวคณ

ตวอยำงท 1 ก าหนด A = 42 , B =

3

5 จงหา AB และ BA

AB = 21

42

. 12

3

5

AB = 1111

c ( หาไดโดยการน าแถวท 1 คณกบหลกท 1 )

= )3)(4()5)(2( = 2

BA = 12

3

5

. 21

42

BA = 222221

1211

cc

cc =

126

2010

11c = แถวท 1 คณ หลกท 1 = (5)(2) = 10

12c = แถวท 1 คณ หลกท 2 = (5)( –4) = –20

21c = แถวท 2 คณ หลกท 1 = (3)(2) = 6

22c = แถวท 2 คณ หลกท 2 = (3)(–4) = –12

ตวอยำงท 2 ก าหนด A =

51

40

12

, B =

230

125

AB =

2351

40

12

32

230

125

=

33333231

232221

131211

ccc

ccc

ccc

11c = แถวท 1 คณหลกท 1 = (2)(5) + 1(0) = 10

12c = แถวท 1 คณหลกท 2 = (2)(–2) + 1(3) = –1

13c = แถวท 1 คณหลกท 3 = (2)(–1) + 1(2) = 0

21c = แถวท 2 คณหลกท 1 = (0)(5) + 4(0) = 0

22c = แถวท 2 คณหลกท 2 = (0)(–2) + 4(3) = 12

23c = แถวท 2 คณหลกท 3 = (0)(–1) + 4(2) = 8

31c = แถวท 3 คณหลกท 1 = (1)(5) + 5(0) = 5

32c = แถวท 3 คณหลกท 2 = (1)(–2) + 5(3) = 13

33c = แถวท 3 คณหลกท 3 = (1)(–1) + 5(2) = 9

AB =

9135

8120

0110

20. ครใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 3 คน ชวยกนท าใบกจกรรมท 1.2.5 โดยใหเวลา 30 นาท แลวครน าผลงานไปตรวจ และให

ขอเสนอแนะในชวโมงตอไป

ชวโมงท 6

21. ครทบทวนเกยวกบเอกลกษณการบวกและการคณของจ านวนจรง แลวใชการถามตอบเพออธบายลกษณะของเมทรกซเอกลกษณ

ดงน

นยำม ส าหรบจ านวนเตมบวก n ใดๆ ให nnjkn iI

มสมาชกดงน

kj

kji jk

,0

,1

และเรยก nI วาเมทรกซเอกลกษณมต n×n

เชน 11 I

10

012I

ขอสงเกต : AI = IA = A

ครยกตวอยางพสจนขอสงเกตขางตน เชน

จงหาผลคณของ

10

01

01

23 และ

01

23

10

01

22. ครยกตวอยางเมทรกซ 1 เมทรกซ แลวใหนกเรยนสลบเปลยนจากหลกเปนแถว ทกหลก หรอสลบเปลยนจากแถวเปนหลก ทกแถว

เชน

A = 32

874

512

สลบหลกกบแถว =

2385

71

42

23. ครแนะน านกเรยนวา การสลบเปลยนหลกเปนแถวหรอจากแถวเปนหลก เรยกวาสมบตการทรานสโพสตเมทรกซ โดยอธบายนยาม

พรอมยกตวอยางประกอบเพมเตม


ถา

mnijbB

มสมบตวา

jiij

ab ทก i = 1,2,…,n และ j = 1,2,…,m

เรยกเมทรกซ B วา เมทรกซสลบเปลยนของ A เขยนแทนดวย tA

ขอสงเกต : ถา A มขนาด m×n แลว tA จะมขนาด n×m

24. ครยกตวอยางเมทรกซบนกระดาน 4-5 เมทรกซ แลวแบงนกเรยนเปน 2 ทม แขงกนออกมาเขยนเมทรกซสลบเปลยน ทมทเสรจกอน

ชนะ ครใหนกเรยนในหองปรบมอชมเชย

25. ครแบงนกเรยนเปน 10 กลม แลวใหนกเรยนพจารณาสมบตทเกยวของกบการคณและเมทรกซสลบเปลยน ในหนงสอเรยนเสรม

มาตรฐานแมค คณตศาสตรเพมเตม ม.4 ภาคเรยนท 2 หนา 42 แลวมอบหมายใหนกเรยนยกตวอยางเพอพสจนสมบตดงกลาวกลม

ละ 1 สมบต โดยใหเวลากลมละ 15 นาท แลวสงใหครตรวจสอบ

26. ครใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 1.2.6 เปนการบาน


ครใหนกเรยนชวยกนสรปความหมายของเมทรกซ และสมบตตางๆ ของเมทรกซ โดยใหนกเรยนท าเปนแผนผงความคด






-สมด


เรยน









-สมด


เรยน










-สมด





สอน




..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )



..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )




............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

ลงชอ ....................................................ผสอน



หนวยกำรเรยนรท 1 ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ เรองอนเวอรสกำรคณของเมทรกซ





มความคดรวบยอดเกยวกบการหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ n×n


นกเรยนสามารถหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ n×n


อนเวอรสกำรคณ


อนเวอรสการคณของเมทรกซ


นกเรยนรจกอนเวอรสการคณของเมทรกซและสามารถหาอนเวอรสการคณของเมทรกซมต 2×2 ได


นกเรยนรวธหาอนเวอรสการคณของเมทรกซมต 2×2 โดยใชการแกระบบสมการได



ครทบทวนเรองตวผกผนของจ านวนในระบบจ านวนจรง โดยยกตวอยางใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ เชน

ตวผกผนของ 5 คอ 5

1 เนองจาก 15

15

ครทบทวนสรปอกครงวา

ส าหรบ 0Rx จะได 01

Rx

และ 111

xxx

x


1. ครอธบายความหมายของตวผกผนการคณในระบบเมทรกซวาเปนอยางไรพรอมยกตวอยางประกอบ เชน

นยำม ให A เปน n×n เมทรกซ

ถา X เปน n×n เมทรกซ มสมบตวา AX = XA = nI

แลวจะเรยก X วาเปนตวผกผนการคณของ A

เขยนแทน X ดวย 1A

ขอสงเกต : จ านวนจรงทกจ านวนทไมเทากบ 0 มตวผกผนการคณ แตเมทรกซทไมเทากบ 0 บางเมทรกซอาจไมมตวผกผนการคณ

ครอาจยกตวอยางเมทรกซงายๆ แลวใหนกเรยนหาเมทรกซผกผน

2. ครยกตวอยางเมทรกซมต 2×2 โดยก าหนดเปนตวแปร เชน

ก าหนด

dc

baA และให

43

211

xx

xxA เปนตวผกผนของ A

ดงนน IAA 1

ครแสดงวธการหาค าตอบโดยใชเรองการเทากนของเมทรกซและการแกระบบสมการเชงเสน โดยสดทายจะไดสตรการหาตวผกผน

ของเมทรกซมต 2×2 คอ

ac

bd

bcadA

11 โดย 0bcad

3. ครยกตวอยางเมทรกซทมมต 2×2 เชน

A=

41

25

แลวแบงนกเรยนเปน 2 กลม ใหกลมท 1 ชวยกนหา

43

211

xx

xxA โดยใชสมบตการเทากนของเมทรกซและการแกระบบ

สมการเหมอนทครพสจน และใหกลมท 2 หา 1A โดยใชสตรทครสรปใหขางตน โดยใหเวลา 10 นาท หลงจากนนครและ

นกเรยนชวยกนพจารณาวาค าตอบทงสองกลมเหมอนกนหรอไม

4. ครใหนกเรยนแบงกลม กลมละ 3 คน ชวยกนท าใบกจกรรมท 1.3 โดยใหเวลา 30 นาท หลงจากนนสมใหนกเรยนออกมาน าเสนอ

ค าตอบหนาชนเรยนโดยครเปนผแนะน าค าตอบทถกตอง


ครใหนกเรยนชวยกนสรปความหมายของตวผกผนการคณของเมทรกซและการหาตวผกผนการคณของ เมทรกซมต 2×2 เปนแผนผง

ความคด






-สมด


เรยน









-สมด


เรยน










-สมด





สอน




..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )



..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )




............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

ลงชอ ....................................................ผสอน



หนวยกำรเรยนรท 1 ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ เรองกำรหำอนเวอรสกำรคณของเมทรกซ





1) มความคดรวบยอดเกยวกบการหาอนเวอรสการคณของเมทรกซ

2) หาดเทอรมแนนตของเมทรกซ n×n เมอ n เปนจ านวนเตมไมเกนสได


1) นกเรยนสามารถหาดเทอรมแนนตของ n×n เมทรกซทก าหนดใหได เมอ 2n

2) นกเรยนสามารถน าสมบตของดเทอรมแนนตไปใชได

3) นกเรยนสามารถหาตวผกผนการคณของเมทรกซ n×n เมอ n เปนจ านวนเตมไมเกนสได


-


1) ดเทอรมแนนตของเมทรกซ

2) การหาไมเนอรและตวประกอบรวมเกยว(cofactor) ของ ija

3) สมบตของดเทอรมแนนต

4) การหาตวผกผนการคณของเมทรกซ


นกเรยนสามารถหาเมทรกซผกผนมตตางๆได


นกเรยนเขาใจวธการหาเมทรกซผกผน




ครและนกเรยนทบทวนเกยวกบความหมายของตวผกผนการคณและการหาตวผกผนการคณของเมทรกซมต 2×2 โดย

ยกตวอยางประกอบการถามตอบ


1. ครยกตวอยางเมทรกซมต 3×3 แลวถามนกเรยนวาจะสามารถหาเมทรกซผกผนไดอยางไร (อาจมนกเรยนตอบวาใชการเทากนของ

เมทรกซ การคณเมทรกซ และการแกระบบสมการเชงเสน )

2. ครใหความรวาสามารถหาตวผกผนการคณไดจากวธอน โดยเรมตนจากการหาองคประกอบเหลาน

- ดเทอรมแนนตของเมทรกซ

- ไมเนอรและตวประกอบรวมเกยวของ ija

3. ครอธบายนยามของการหาดเทอรมแนนตของ A พรอมยกตวอยางประกอบ เชน

นยำม ให nnijaA ][ เรยก a วาเปนดเทอรมแนนตของ A

เชน ดเทอรมแนนตของ 5]5[ A ( เมทรกซมต 1×1)

หลงจากนนครใหความรเพมเตมดงน

ดเทอรมแนนตเปนตวเลขทบงบอกลกษณะอยางหนงของเมทรกซ ซงคณสมบตนจะมเฉพาะเมทรกซจตรสเทานน โดยสญลกษณ

ทใชแทนดเทอรมแนนตของเมทรกซ A คอ det(A) หรอ A

วธกำรหำดเทอรมแนนต โดยทวไปวธหาดเทอรมแนนตจะม 2 วธ คอ

1) การคณไขวใชส าหรบเมทรกซ 22, 33

เมทรกซขนำด 22

ให A =

dc

ba

A = dc

ba = ad – cb

เชน A =

43

21

det A = 43

21

264

)2(3)4(1

เมตรกซขนำด 33

ให A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

(เอา 2 หลกแรกมาตอกน)

A =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

3231

2221

1211

aa

aa

aa

= 322113312312332211 ...... aaaaaaaaa –

122133112332132231 ...... aaaaaaaaa

ตวอยำง

ก าหนด A =

210

345

123

A = 210

345

123

10

45

23

= )1)(5)(1()0)(3)(2()2)(4)(3( –

)2)(5)(2()3)(3)(1()1)(4)(0(

= )5(0)24( – )20()9(0

= –29 – (–29)

= 0

2) วธการกระจายโคแฟกตเตอรส าหรบเมทรกซทกมต

การหาดเทอรมแนนตโดยวธกระจายโคแฟกตเตอรนนจะตองมองคประกอบดงตอไปน

- ไมเนอร (Minor)

นยำม ให nnijaA ][ เมอ 2n ไมเนอร(minor) ของ ija คอ

ดเทอรมแนนตของเมทรกซทไดจากการตดแถวท i และหลกท j ของ A ออก เขยนแทนไมเนอรของ ija ดวย

)(AM ij

- ตวประกอบรวมเกยว (cofactor)

นยำม ให nnijaA ][ เมอ 2n ตวประกอบรวมเกยว (cofactor) ของ ija คอผลคณของ ji1 และ

)(AM ij

เขยนแทนตวประกอบรวมเกยวของ ija ดวย )(ACij

จากบทนยามจะได )(1)( AMAC ij

ji

ij

ครอาจจดท าสอเปนแผนภมเชอมโยงสวนประกอบตางๆ เพอน ามาซงนยามการหาดเทอรมแนนตเมทรกซมต n×n โดย 2n

นยำม ให nnijaA ][ เมอ 2n ดเทอรมแนนตของ A คอ

)(...)()( 1112121111 ACaACaACa nn

4. ครยกตวอยางการหาดเทอรมแนนต ไมเนอร ตวประกอบรวมเกยว ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบ 2-3 ตวอยาง

5. ครใหนกเรยนจบคแลวแจกใบกจกรรมท 1.4.1 ใหนกเรยนชวยกนท า ในเวลา 20 นาท หลงจากนนครและนกเรยนชวยกนเฉลย

ค าตอบบนกระดาน


6. ครทบทวนเรองการหาดเทอรมแนนต โดยยกตวอยาง 1 ขอ ใหนกเรยนชวยกนหาค าตอบภายในเวลา 5 นาท

7. ครอธบายสมบตของดเทอรมแนนต 9 ขอ พรอมยกตวอยางประกอบ

8. ครใหนกเรยนจดกลม กลมละ 5 คน แลวแจกใบกจกรรมท 1.4.2 ใหนกเรยนท าขอ 1 และ 2 โดยใหเวลา 30 นาท หลงจากนนคร

สมนกเรยนออกมาเฉลยหนาชนเรยน

9. ครใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 1.4.2 ขอทเหลอเปนการบาน


10. ครใหความรเพมเตมเกยวกบสมบตของเมทรกซ และทฤษฎบทในการหาเมทรกซผกผนมต n×n ดงน (พรอมยกตวอยางประกอบ)

นยำม ให A เปน n×n เมทรกซ

A เปนเมทรกซเอกฐาน (singular matrix) เมอ det(A) = 0

A เปนเมทรกซไมเอกฐาน (non-singular matrix) เมอ det(A) 0

ครยกตวอยางเมทรกซแลวใหนกเรยนตอบวา เปนเมทรกซเอกฐานหรอไม

A =

210

345

123

, det (A) = 0

A เปนเมทรกซเอกฐาน

B =

310

273

425

, det (B) = –121

B เปนเมทรกซไมเอกฐาน

นยำม ให A เปน n×n เมทรกซ เมอ 2n เมทรกซผกพน (adjoint matrix ) ของ A คอเมทรกซ tij AC )(

เขยนแทนเมทรกซผกพนธของ A ดวย adj(A)

ตวอยำง

t

ACACAC

ACACAC

ACACAC

Aadj

)()()(

)()()(

)()()(

)(

333231

232221

131211

หรอ

)()()(

)()()(

)()()(

)(

332313

322212

312111

ACACAC

ACACAC

ACACAC

Aadj

ทฤษฎบท ให A เปน n×n เมทรกซ เมอ 2n

1) A adj(A) = adj(A)A = det(A) nI

2) A มตวผกผนการคณกตอเมอ A เปนเมทรกซไมเอกฐาน จะไดวา 0)det(,)()det(

11 AAadjA

A

ตวอยำง

ก าหนด

454

210

321

B จงหา 1B

2)22(20

54

10

21

454

210

321

)det( B

6)10(445

211111

MC

8))8(0(44

201212

MC

4)4(054

101313

MC

7)158(45

322121 MC

8)124(44

312222 MC

3)85(54

212323 MC

1)3(421

323131

MC

2)02(20

313232

MC

1)01(10

213333

MC

t

Badj

121

387

486

)(

134

288

176

)(Badj

)()det(

11 BadjB

B

134

288

176

2

1

2

1

2

32

1442

1

2

73

11. ครใหนกเรยนจดกลม กลมละ 5 คน แลวแจกใบกจกรรมท 1.4.3 ใหนกเรยนท าขอ 1 และ 2 โดยใหเวลา 30 นาท หลงจากนนคร

สมนกเรยนออกมาเฉลยหนาชนเรยน

12. ครใหนกเรยนท าใบกจกรรมท 1.4.3 ขอทเหลอเปนการบาน


ครใหนกเรยนชวยกนสรปองคประกอบในการหาตวผกผนการคณของเมทรกซ n×n เปนแผนผงความคด






-สมด


เรยน









-สมด


เรยน










-สมด





สอน




..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )



..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )




............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

ลงชอ ....................................................ผสอน


แผนกำรจดกำรเรยนรท 5

หนวยกำรเรยนรท 1 ระบบสมกำรเชงเสนและเมทรกซ เรองกำรใชเมทรกซแกระบบสมกำรเชงเสน





หาค าตอบของระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซได


นกเรยนสามารถหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซได


-


1) การแกระบบสมการโดยใชตวผกผนการคณ

2) การแกระบบสมการโดยใชกฎของคราเมอร

3) การแกระบบสมการโดยใชเมทรกซแตงเตม


นกเรยนสามารถแกระบบสมการเชงเสนได


นกเรยนเขาใจวธการแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ



ครซกถามนกเรยนเกยวกบการแกระบบสมการโดยใชสมบตการเทากนของเมทรกซและการก าจดตวแปรดวยการบวกลบสมการ


1. ครใหนกเรยนชวยกนเขยนรปแบบทวไปของระบบสมการเชงเสนหลายตวแปร เชน

11212111 ... bxaxaxa nn

22222121 ... bxaxaxa nn

mnmnmm bxaxaxa ...2211

ครอธบายใหนกเรยนทราบวา การแกระบบสมการเชงเสนสามารถน าเรอง เมทรกซมาชวยได โดยเราสามารถใชสมบตบาง

ประการของเมทรกซไดคอ คณสมบตเมทรกซผกผน(Invers) และดเทอรมแนนต

ครอาจท าสอแผนภาพแสดงความสมพนธของเมทรกซกบระบบสมการโชวใหนกเรยนดพรอมอธบาย เชน

จากรปทวไปของระบบสมการเชงเสนสามารถแยกเปนเมทรกซ ได 3 เมทรกซ คอ

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

,

nx

x

x

X

2

1

,

mb

b

b

B

2

1

โดยเมทรกซ A คอเมทรกซสมประสทธ เมทรกซ X คอเมทรกซตวแปรทตองการหาคา จดเปนเมทรกซหลก และเมทรกซ B

คอเมทรกซคาคงท

สมการความสมพนธของเมทรกซทงสามเมทรกซขางตน คอ

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

21

22221

11211

nx

x

x

2

1

mb

b

b

2

1

เขยนใหอยในรปของ AX = B

ถา m = n และ det(A) 0 แลวสามารถหาค าตอบของระบบสมการไดจาก

BAX 1 2. ครยกตวอยางการแกระบบสมการโดยใชตวผกผน เชน

ตวอยำง ก าหนด zyx 132

42 zyx

yxz 32

วธท ำ จดรปสมการใหหลกของตวแปรตรงกน

132 zyx

42 zyx

32 zyx

จะได

3

4

1

,,

112

121

132

B

z

y

x

XA

253

112

121

132

A

111

121111

MC

112

111212

MC

312

211313

MC

211

132121

MC

412

122222

MC

812

322323

MC

112

133131

MC

311

123232

MC

721

323333

MC

783

341

121

)(Aadj

783

341

121

2

11A =

2

74

2

32

32

2

12

11

2

1

3

4

1

2

74

2

32

32

2

12

11

2

1

X

2

2116

2

32

98

2

12

34

2

1

=

4

3

2

4,3,2 zyx

3. ครแจกใบกจกรรมท 1.5.1 ใหนกเรยนท าโดยใหเวลา 20 นาท หลงจากนนครสมนกเรยนออกมาน าเสนอค าตอบหนาชนเรยนโดยคร

เปนผชแนะค าตอบทถกตอง

4. ครซกถามนกเรยนวามวธอนอกหรอไมทใชแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

5. ครอธบายนกเรยนเกยวกบทฤษฎบทของคราเมอร (ครอาจจดท าสอเปนแผนภาพ การใชกฎของคราเมอรใหนาสนใจ โดยมภาพ

การตนและสสนประกอบ)

ทฤษฎบท (กฎของคราเมอร)

ก าหนดระบบสมการเชงเสนทม n สมการ และ n ตวแปร โดย AX=B เปนสมการเมทรกซทสมพนธกบระบบสมการ

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

,

nx

x

x

X

2

1

,

nb

b

b

B

2

1

ถา det(A) 0 แลว ค าตอบของระบบสมการนคอ

)det(

)det( 11

A

Ax ,

)det(

)det( 22

A

Ax , ... ,

)det(

)det(

A

Ax n

n

เมอ iA คอเมทรกซทไดจากการแทนหลกท i ของ A ดวยหลกของ B

ทก i = 1,2,…,n

6. ครยกตวอยางการแกระบบสมการโดยใชกฏของคราเมอร 1-2 ตวอยาง เชน

ตวอยำงท 1 จงแกระบบสมการตอไปน

375

132

yx

yx

วธท ำ ตามกฎของคราเมอร จะได

3

1,,

75

32B

y

xXA

11514)3(5)7(275

32A

21

2

1

97

1

)3(3)1(7

1

73

31

x

11

1

1

56

1

)1(5)3(2

1

35

12

y

ดงนน 1,2 yx

ตวอยำงท 2 จงแกระบบสมการตอไปน

232 zyx

453 zyx

zyx 12115

วธท ำ ปรบสมการไดเปน

232 zyx

453 zyx

11125 zyx

11

4

2

,,

1251

531

321

B

z

y

x

XA

35861

51

31

21

1251

531

321

A

13

3

3

)245(242

3

12511

534

322

x

03

)91(91

3

12111

541

321

y

13

3

3

)48(51

3

1151

431

221

z

ดงนน 1,0,1 zyx

7. ใหนกเรยนจดกลม กลมละ 3 คน แลวแจกใบกจกรรมท 1.5.2 ใหนกเรยนชวยกนท าในเวลา 30 นาท หลงจากนนครและนกเรยน

ชวยกนเฉลยค าตอบบนกระดาน

8. ครทบทวนเกยวกบรปแบบทวไปของระบบสมการเชงเสนโดยใหนกเรยนชวยกนออกมาเขยนรปแบบทวไปบนกระดาน

9. ครอธบายวธการแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซแตงเตม พรอมทงยกตวอยางแสดงวธท าใหนกเรยนดอยางละเอยดโดยใชการ

ถามตอบประกอบ

10. ครใหนกเรยนจบค ชวยกนท าใบกจกรรมท 1.5.3 โดยใหเวลา 30 นาท หลงจากนนใหสงตวแทนออกมาน าเสนอหนาชนเรยน โดยคร

คอยแนะน าค าตอบทถกตอง


ครใหนกเรยนชวยกนสรปวธการตางๆ ในการแกระบบสมการเชงเสนเปนแผนผงความคด






-สมด


เรยน









-สมด


เรยน










-สมด





สอน




..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )



..........................................................................................

ลงชอ ...........................................................

( )




............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................


............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................

ลงชอ ....................................................ผสอน


Documents

แผนการจัดการเรียนรู วิชาคณิตศาสตร์เพิ่มเติม 2 รหัสวิชา …elsd.ssru.ac.th/nattaporn_sr/pluginfile.php/26/course/summary/แผนการ... ·