เอกสารประกอบการเรียน

วิชา คณิตศาสตร์เพิ่มเติม 5 (ค23201)

เรื่อง กรณฑ์ที่สอง

ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3

ชื่อ – นามสกลุ……………………………………………………………………………………

ชั้น………………เลขที่………………

โรงเรียนสาธิตมหาวิทยาลัยราชภัฏสวนสุนันทา

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 1

บทที่ 1 กรณฑ์ที่ 2

1. สมบัติของ√a เมื่อ a ≥ 0

ตัวอย่างท่ี 1

2 เป็นรากที่สองของ 4 เพราะ 22 = 4 เป็นรากที่สองของ 4 เพราะ เป็นรากที่สองของ

9

16 เพราะ

เป็นรากที่สองของ 9

16 เพราะ

ตัวอย่างท่ี 2 รากที่สองของ 49 มีสองรากคือ

รากที่สองของ 9

25 มีสองรากคือ

รากที่สองของ 15 มีสองรากคือ

ตัวอย่างท่ี 3 (√3)

2 =

(−√19)2 =

(√2

5)

2

=

(−√0.03)2 =

1. เม่ือ a เป็นจ านวนจริงบวกใดๆ รากที่สองของ a คือ จ านวนจริงที่ยกก าลังสองแล้วได้ a

และถ้า a = 0 รากที่สองของ a คือ 0

2. เม่ือ a เป็นจ านวนจริงบวก รากที่สองของ a มีสองราก คือ รากที่สองที่เป็นบวกซ่ึงแทนด้วย

สัญลักษณ์ √a และรากที่สองที่เป็นลบ ซ่ีงแทนด้วยสัญลักษณ์ −√a

3. เม่ือ a เป็นจ านวนจริงบวก (√a )2 = a และ (−√a )2 = a

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 2

ตัวอย่างท่ี 4

|5| = เพราะ

|−3| = เพราะ

ตัวอย่างท่ี 5 จงหาค่าของ √16 ตัวอย่างท่ี 6 จงหาค่าของ √(−13)2

วิธีท า วิธีท า

จ านวนในรูป √𝑎 เม่ือ 𝑎 ≥ 0 มีสมบัติที่ส าคัญสองข้อ ดังนี้

ตัวอย่างท่ี 7 √5 × √45 ตัวอย่างท่ี 8 √108

√3

วิธีท า วิธีท า

ค่าสัมบูรณ์ของจ านวนจริง

1. |a| = a เม่ือ a > 0

2. |a| = −a เม่ือ a < 0

3. |a| = 0 เม่ือ a = 0

4. √a2 = |a| เม่ือ a เป็นจ านวนจริงใด ๆ

5. √𝑎√𝑏 = √𝑎𝑏 เม่ือ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 ≥ 0

6. √𝑎

√𝑏= √

𝑎

𝑏 เม่ือ 𝑎 ≥ 0, 𝑏 > 0

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 3

แบบฝึกหัด 1.1

1. จงท าให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1) √36𝑎2 เม่ือ 𝑎 > 0 2) −√196𝑚2𝑛4 เม่ือ 𝑚 > 0 และ 𝑛 > 0 3) √12.25𝑝4𝑞6𝑟16 เม่ือ 𝑝 > 0 และ 𝑞 > 0 และ 𝑟 > 0

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 4

2. จงท าให้อยู่ในรูปอย่างง่าย

1) √32 2) √5 × √45 3) √108

√3

4) √324

529 5)√

49𝑚6𝑛8

361

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 5

2. การด าเน ินการของจ านวนจริงซึ่งเกี่ยวกับกรณฑ์ที่สอง

การบวกและการคูณจ านวนจริงที่อยู่ในรูป √𝑎 เม่ือ 𝑎 ≥ 0 มีสมบัติดังนี้

1.สมบัติของการสลับท่ีส าหรับการบวก

√𝑎 + √𝑏 = √𝑏 + √𝑎

เช่น.......................................................................................................................................................................

2.สมบัติการเปล่ียนหมู่ส าหรับการบวก

(√𝑎 + √𝑏) + √𝑐 = √𝑎 + (√𝑏 + √𝑐)

เช่น.......................................................................................................................................................................

3.สมบัติการสลับท่ีส าหรับการคูณ

√𝑎 × √𝑏 = √𝑏 × √𝑎

เช่น.......................................................................................................................................................................

4.สมบัติการเปล่ียนหมู่ส าหรับการคูณ

(√𝑎 × √𝑏) × √𝑐 = √𝑎 × (√𝑏 × √𝑐)

เช่น................................................................................................................................................. ......................

5.สมบัติการแจกแจง

√𝑎 × (√𝑏 + √𝑐) = (√𝑎 × √𝑏) + (√𝑎 × √𝑐)

และ (√𝑏 + √𝑐) × √𝑎 = (√𝑏 × √𝑎) + (√𝑐 × √𝑎)

เช่น.......................................................................................................................................................................

.................................................................................... ................................................................................... .......

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 6

การบวกและการลบ

***หลักการ*** ต้องเป็นกรณฑ์เดียวกัน แล้วน าสัมประสิทธ์ิมาบวกหรือลบกัน

𝒂√𝒙 + 𝒃√𝒙 = (𝒂 + 𝒃)√𝒙

𝒂√𝒙 − 𝒃√𝒙 = (𝒂 − 𝒃)√𝒙

ตัวอย่างที่ 1 จงหาผลบวก 2√3 + 5√3

ตัวอย่างที่ 2 จงหาผลลบ 2√27 − √12

ตัวอย่างที่ 3 จงหาผลลัพธ์ √48 − 15√12 + √75

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 7

การคูณและการหาร

ตัวอย่างที่ 4 จงหาผลคูณ 2√3 × 3√27

ตัวอย่างที ่5 จงหาผลลัพธ์ 2√60

√45

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 8

ตัวอย่างที่ 6 จงหาผลลัพธ์ 2√6 × (3√6 − 2√24)

ตัวอย่างที่ 7 จงหาผลลัพธ์ √320

√60

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 9

แบบฝึกหัด 1.2

1. จงท าให้เป็นผลส าเร็จ 1. 7√5 + 2√5 2. 5√3 + 4√3 – 8√3 3. √50 – √8 4. √2 × (√8 – √12)

5. –3√1280

√180

6. √50

3 เม่ือก าหนดให้ √6 ≈ 2.449

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 10

3. การน าไปใช้

ตัวอย่างที่ 1 บันไดอันหนึ่งวางพาดขอบหน้าต่างพอดี ระยะทางจากโคนบันไดถึงตึกเท่ากับ 20 เมตร และ

บันไดอยู่สูงจากพ้ืน 12 เมตร จงหาว่าบันไดยาวก่ีเมตร

ก าหนดให้ AB = 12 เมตร BC = 20 เมตร หา AC

วิธีท า ให้ ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี B̂ เป็นมุมฉาก จากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส

C B

A

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 11

ตัวอย่างที่ 2 กล่องทรงลูกบาศก์ใบหนึ่งมีแต่ละด้านยาว 12 นิ้ว ดังรูป จงหา AC ยาวเท่าใด

วิธีท า จากรูป ABC เป็นรูปสามเหลี่ยมมี B̂ เป็นมุมฉาก

BDC เป็นรูปสามเหลี่ยมมี D̂ เป็นมุมฉาก

และ AB = BD = DC = 12 นิ้ว

12

12

12

A

D C

B

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 12

ตัวอย่างที่ 3 ลานกีฬากลางแจ้งรูปวงกลมสองแห่ง ส าหรับผู้ใหญ่และเด็กมีพ้ืนที่ 200 ตารางเมตร และ 50 ตารางเมตรตามล าดับ จงหาว่ารัศมีของลานกีฬาส าหรับผู้ใหญ่ยาวกว่าเด็กก่ีเมตร

วิธีท า ก าหนดให้ รัศมีลานกีฬาส าหรับผู้ใหญ่เป็น 1r เมตร

รัศมีลานกีฬาส าหรับเด็กเป็น 2r เมตร

วิชาคณิตศาสตร์ 5 มัธยมศึกษาปีท่ี 3 13

แบบฝึกหัด 1.3 1. ตึกแห่งหนึ่งสูง 60 เมตร ต้องการโยงสายไฟเพ่ือติดหลอดไฟสีต่างๆ จากยอดตึกลงมายังพ้ืนถนนด้านหน้าตึก

ซ่ึงห่างจากชานตึก 20 เมตร จะต้องใช้สายไฟทั้งหมดก่ีเมตร

2. รูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีด้านยาวด้านละ 8 นิ้ว จงหาความสูงของรูปสามเหลี่ยมนี้

A

B 20 C

60

A

B C