จุดประสงค์การเรียนรู้elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/859/course/summary/แผนการ... · แผนภาพต้นไม้

แผนการจดการเรยนรท 1

หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง กฏการนบเบองตน

วชาคณตศาสตร 4 ชอรายวชา ค 32102 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร

ชน มธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 เวลา 2 คาบ

อาจารยผสอน อาจารยเกตม สระบรนทร

มาตรฐานการเรยนร

มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมล

มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการ

คาดการณไดอยางสมเหตสมผล

มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและ

แกปญหา

ตวชวด ค 5.2 ม. 4–6/2 อธบายการทดลองสม เหตการณ ความนาจะเปนของ

เหตการณและน าผลทไดไปใชคาดการณในสถานการณทก าหนดให

ตวชวด ค 6.1 ม. 4–6/1 ใชวธการทหลากหลายแกปญหา

ตวชวด ค 6.1 ม. 4–6/2 ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตรและ

เทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณ ตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม

ตวชวด ค 6.1 ม. 4–6/3 ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยาง

เหมาะสม

ตวชวด ค 6.1 ม. 4–6/5 เชอมโยงความรตาง ๆ ในคณตศาสตรและน าความร

หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอน ๆ

จดประสงคการเรยนร

1. ดานความร

นกเรยนสามารถ

1.1 สามารถแกโจทยปญหาโดยใชกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบได

1.2 สามารถแกโจทยปญหาโดยใชแผนภาพตนไมอยางงายได

1.3. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบจากการค านวณและการแกปญหาได

2. ดานทกษะกระบวนการ


2.1 มทกษะในการแกปญหาและใหเหตผลได

2.2 มการสอสาร สอความหมายทางคณตศาสตร และการน าเสนอ

2.3 มทกษะในการใชสมบตของเลขยกก าลงในการประยกตใชได

3. ดานคณลกษณะ

นกเรยนตองเปนผท

3.1 มความรบผดชอบ

3.2 มระเบยบวนย

3.3 ใฝเรยนรและมงในการท างาน

สาระการเรยนร

นกเรยนสามารถเขยนแผนภาพตนไมของความนาจะเปนไดและเขาใจกฏการนบเบองตน

กจกรรมการเรยนร

กจกรรมน าเขาสบทเรยน

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน ครพดถงค าวาโอกาสหมายถงอะไร โอกาสในการกระท าสงใดจะมกวธในการกระท าได

ขนท 2 กจกรรมการเรยนร 1. ครน านกเรยนสนทนาวาใครเคยมปญหาเรองการจดชดเสอผา จดชดอาหาร จดชดสงของ ตาง ๆ และนกเรยนมวธแกไขปญหาอยางไร ครเปดโอกาสใหนกเรยนทเคยมปญหา มวธ แกปญหาเลาปญหา วธแกปญหา พรอมใหนกเรยนคนอนรวมสนทนาแสดงความคดเหน

2. ครบอกนกเรยนเกยวกบแผนภาพตนไมวาคออะไร แผนภาพตนไม คอ วธการในการแกปญหาทางคณตศาสตรทเกยวของกบการหาจ านวนวธการทงหมดทเปนไปไดของเหตการณหนงๆ 3. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาค าตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผา ทมเสอ 3 ตว กางเกง 2 ตว โดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนก าหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถก าหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาค าตอบไดงายขน

กางเกง เสอ เสอตวท 1 ชดท 1 กางเกงท 1 เสอตวท 2 ชดท 2 เสอตวท 3 ชดท 3

กางเกง เสอ เสอตวท 1 ชดท 4 กางเกงท 2 เสอตวท 2 ชดท 5 เสอตวท 3 ชดท 6

4. ครถามนกเรยนใครตอบ 6 วธ และมวธอยางไร พรอมใหนกเรยนอภปรายวธใหค าตอบ 5. ครสรปเราใชหลกในการค านวณ 6 วธ ทไดมานเกดจากการกระท าท 1 (เลอกกางเกง)

ท าได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระท าอยางท 2 (เลอกเสอ) ได 3 วธ ดงนนไดทงหมด 2 × 3 = 6 วธ เพอความเขาใจตรงกน สรปเปนกฎขอท 1 ไดดงน

กฎการนบ (กฏการคณ)

ถาในการท างานชนหนงสามารถแบงงานเปน k ขนตอนดวย

ขนตอนท 1 สามารถท างานไดทงหมด 1n วธ



ขนตอนท k สามารถท างานไดทงหมด kn วธ

จ านวนวธการท างานชนหนงดงกลาวทงหมด คอ 1 2 3 kn n n n วธ

6. ครยกตวอยางตอไปโดยโจทยก าหนดใหนกเรยนตองจดชดเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธ บนกระดาน ใหนกเรยนลองหาค าตอบโดยเขยนค าตอบในกระดาษ 7. ครแสดงวธแกปญหา หรอหาค าตอบโดยการแผนภาพตนไมของการจดชดเสอผาทมเสอ 5 ตว กางเกง 3 ตว ถงเทา 5 ค รองเทา 2 ค หมวก 2 ใบ จะจดชดแตงตวใหครบทง 5 อยาง ไดทงหมดกวธโดยนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนก าหนดเงอนไขอะไรบาง การพจารณาเงอนไขของปญหาจะชวยใหสามารถก าหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาค าตอบไดงายขน

วธท า แตงตว 1 ชด ตองใสกางเกง เสอ ถงเทา รองเทา และหมวก โดย ท างานอยางแรก เลอกเสอได 3 วธ ท างานอยางทสอง เลอกกางเกงได 5 วธ ท างานอยางทสาม เลอกถงรองเทาได 2 วธ ท างานอยางทส เลอกรองเทาได 2 วธ ท างานอยางทหา เลอกหมวกได 2 วธ

ดงนนจะเลอกแตงชดไดทงหมด 3 5 2 22 = 120 วธ 8. ครสรปเราใชหลกในการค านวณ 120 วธ ทไดมานเกดจากการกระท าท 1 (เลอกเสอ)

ท าได 3 วธ และในแตละวธน สามารถกระท าอยางท 2 (เลอกกางเกง) ได 5 วธ และในแตละวธน สามารถ กระท าอยางท 3 (เลอกถงรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระท าอยางท 4 (เลอกรองเทา) ได 2 วธ และในแตละวธน สามารถกระท าอยางท 4 (เลอกหมวก) ได 2 วธ ดงนน ได ทงหมด 3 × 5 × 2 × 2 × 2 = 120 วธ เพอความเขาใจตรงกน

9. ครยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดฝกฝนและท าความเขาใจมากขน

ตวอยาง ฟวเจอรผโอบออมอาร ตองการแจกแอปเปลอย 4 ลก ตองการมอบใหเพอนรก 10 คน จะ

มวธการแจกกวธเมอ

1) ไมมเงอนไข

วธท า ฟวเจอรตองการแจกแอปเปล 4 ลกใหเพอนสบคน

โดยท างานอยางแรก เลอกได 10 วธ

โดยท างานอยางสอง เลอกได 10 วธ

โดยท างานอยางสาม เลอกได 10 วธ

โดยท างานอยางทส เลอกได 10 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเปลใหเพอนไดทงหมด 10x10x10x10 = 10000 วธ

2) ไมใหซ าคน

วธท า โดยท างานอยางแรก เลอกได 10 วธ

โดยท างานอยางสอง เลอกได 9 วธ

โดยท างานอยางสาม เลอกได 8 วธ

โดยท างานอยางทส เลอกได 7 วธ

ดงนนฟวเจอรจะเลอกแจกแอปเปลใหเพอนไดทงหมด 10 x 9 x 8 x 7 วธ

ตวอยาง ในงานเลยงงานแตงงานงานหนง ในจ านวนผรวมงานครงนม พลอย แอนท แปงและหยก

ไดน ารมตดตวมาดวยและไดน ารมมาวางไวในทๆจดเตรยมไว ซงมเฉพาะรมของคนทง 4 นเทานน

เมองานเลก จงหาวธทงหมดทคนทง 4 คน หยบรมทวางไวแบบไมเจาะจง

วธท า วธในการททง 4 คน จะหยบรม 1 คนโดยไมเจาะจง แบงเปนออกเปน 4 ขนตอนดงน

โดย งานขนแรก พลอยหยบรม 1 คนจากรม 4 คน จะเลอกไดทงหมด 4 วธ

งานขนทสอง แอนทหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 3 คน จะเลอกไดทงหมด 3 วธ

งานขนทสาม แปงหยบรม 1 คนจากรมทเหลอ 2 คน จะเลอกไดทงหมด 2 วธ

งานขนทส หยกหยบรม 1 คน จากรมทเหลอ 1 คน จะเลอกไดทงหมด 1 วธ

ดงนนจะมวธการหยบรม ทงหมด 4x3x2x1 = 24 วธ

10.นกเรยนบนทกอภปรายและสรปองคความรจากตวอยางทผานมาพรอมค าอธบายเพมเตม 11.ครอธบายเพมเตมถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ ยงมกฎการบวก (Addition principle) ใน การท างานอยางหนงมวธการท างานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน 12.ครยกตวอยางการใชกฎการบวก (Addition principle) และเนนใหนกเรยนควรอานโจทยใหเขาใจวาในปญหานนก าหนดเงอนไขอะไรบางการพจารณาเงอนไขของปญหาจะ ชวยใหสามารถก าหนดขนตอนในการแกปญหา ซงจะชวยใหสามารถหาค าตอบไดงายขน

ตวอยาง ตองการจ านวนค 4 หลก โดยเลอกจากตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแต ละหลกใชเลขโดดไมซ ากน จะไดจ านวนคทงหมดกจ านวน

วธท า เนองจาก 4 หลก ในหลกพน เปน 0 ไมไดและในหลกหนวยจะตองเปนเลข 0, 2, 4 จงจะเปนจ านวนคทตองการ

ดงนน กรณท 1 เลขคหลกหนวยเปนเลข 0 เลอกตวเลขหลกหนวย 1 วธ เลอกตวเลขหลกสบ 5 วธ

เลอกตวเลขหลกรอย 4 วธ เลอกตวเลขหลกพน 3 วธ

จ านวนคจะได 1 5 4 3 = 60 จ านวน กรณท 2 เลขคทหลกหนวยไมเปนเลข 0 เลอกตวเลขหลกหนวย 2 วธ เลอกตวเลขหลกพน 4 วธ เลอกตวเลขหลกรอย 4 วธ เลอกตวเลขหลกสบ 3 วธ

จ านวนคจะได 2 4 4 4 = 96 จ านวน ดงนน จะไดจ านวนค 4 หลก จากเลอกตวเลขโดด 0, 1, 2, 3, 4, 5 โดยเลขในแตละ

หลกไมซ ากนไดทงหมด 60 + 96 = 156 จ านวน

13. ครยกตวอยางกฎการบวกเพมเตม

ตวอยาง มสลาก 6 ใบมความหมาย 1-6 ก ากบไว ใหสมหยบสลาก 2 ครงๆละใบ ถาครงแรกได

เลขคใหใสสลากใบนนกลบคนกอนหยบครงทสอง แตถาครงแรกไดเลขค กหยบครงทสองไดโดยไม

ตองใสสลากกลบคน

1) วธทหยบไดทงหมดมคาเทาใด

วธท า วธการหยบฉลาก สองครงครงละ 1 ใบจากฉลาก 6 ใบ โดยแบงเปน 2 กรณ ดงน

กรณท 1 วธการหยบฉลากไดเลขค ท างานโดย

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ ท าได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงทสอง จากทงหมด 6 ใบ ท าได 6 วธ

งานในกรณท 1 สามารถท าได 3x6 = 18 วธ

กรณท 2 วธการหยบฉลากไดเลขค ท างานโดย

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขค 3 ใบ ท าได 3 วธ

งานขนท 2 หยบครงทสองได จากทงหมด 5 ใบ ท าได 5 วธ

งานในกรณท 1 สามารถท าได 3x5 = 15 วธ

ดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 18 + 15 = 33 วธ

2) วธทหยบไดครงทสองเปนเลขคมคาเทาใด

วธท า วธการหยบสองครงโดยใหครงทสองไดเลขค ท าไดโดยแบงออกเปน 2 กรณ

กรณท 1 ครงแรกและครงทสองไดเลขคทง 2 ครง

งานขนท 1 หยบครงแรกไดเลขค จากเลขคทง 3 ใบ สามารถท าได 3 วธ


เพราะฉะนน งานในกรณท 1 คอ 3 x 3 = 9 วธ

กรณท 2 ครงแรกไดเลขคและครงทสองไดเลขค



เพราะฉะนน งานในกรณท 2 คอ 3 x 3 = 9 วธ

ดงนน ผลบวกของงานทง 2 กรณ คอ 9 + 9 = 18

14.นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากกจกรรม 11 เขยนแผนภาพตนไม โดยคร อธบายซ าถงกฎเกณฑเบองตนเกยวกบการนบ กฎการบวก (Addition principle) ในการท างานอยางหนงมวธการท างานได k แบบ แตละแบบงานเสรจโดยไมตอเนองกบแบบอน 15. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดทเหลอดวยตนเองแลวสงในคาบ โดยครคอยก ากบดแล

กจกรรมรวบยอด

16. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปน 17. ครใหนกเรยนทกคนท า worksheet 1 ในเอกสารประกอบการเปนการบาน และก าหนดวนสง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education

การวดและประเมนผล

ลงชอ ผสอน ลงชอ ผสอน

( นางสาวฐนดา เรองตระกล ) ( อาจารยเกตม สระบรนทร )

นกศกษาฝกประสบการณวชาชพ อาจารยพเลยง

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ กฏการนบเบองตน

-แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet1) -แบบฝกหดในหนงสอเรยนและแบบฝกหดใน Workbook

-แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet1) -แบบฝกหดในหนงสอเรยนและแบบฝกหดใน Workbook

- ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ - ความถกตองของแบบฝกหดไมต ากวา 70%

คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนรและมงมนในการท างาน - ตรงตอเวลา

- การเขาเรยน - การสงงาน - บนทกหลงการสอน

- การเขาเรยน - การมสวนรวมกนในชนเรยน

- เขาเรยนตรงตอเวลา - มความกระตอรอรนในการเรยน

สมรรถนะ - การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความ

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน (worksheet1) - แบบฝกหดในหนงสอเรยน และแบบฝกหดใน Workbook

- แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน(worksheet1) - แบบฝกหดในหนงสอเรยนและแบบฝกหดใน Workbook

- ตรวจสอบความถกตองและความเขาใจ - ความถกตองของแบบฝกหดไมต ากวา 70%

บนทกหลงการสอน

ผลการสอน

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ปญหาและอปสรรค

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ขอเสนอแนะ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน

(อาจารยเกตม สระบรนทร)

ความเหนของหวหนากลมสาระการเรยนร ……………………………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………….………………… (อาจารยน าผง ชเลศ) หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ความเหนของรองผอ านวยการโรงเรยนฝายวชาการ

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. (อาจารย ดร. สดารตน ศรมา) รองผอ านวยการฝายวชาการ


หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง แฟคทอเรยล









แกปญหา














1.2 สามารถใชและแกปญหาเกยวกบแฟคทอเรยลได













n เปนจ านวนเตมบวก แฟกทอเรยล n หมายถง ผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1

ถง n เขยนแทนดวย n!



ขนท 1 น าเขาสบทเรยน ครแนะน าใหนกเรยนไดรจกถงสญลกษณของความนาจะเปนและบอกความหมายของแฟกทอเรยล คอ ถา n เปนจ านวนเตมบวกแลวผลคณของจ านวนเตมบวกตงแต 1 ถง n สามารถเขยนแทนดวย n! 1 2 3 4 n

หรอ n! n (n 1) (n 2) 3 2 1 เราเรยก n! วา แฟคทอเรยล

ขนท 2 กจกรรมการเรยนร 1. ครยกตวอยางการเขยนแฟคทอเรยล เพอใหนกเรยนเขาใจชดเจนขน

โดย 0! = 1

1! = 1

2! = 2 1 = 2

3! = 3 2 1 = 6

4! = 4 3 2 1 = 24

5! = 5 4 3 2 1 = 120

6! = 6 5 4 3 2 1 = 720

2. ครยกตวอยางทน าแฟคทอเรยลไปใชในการหาเขยนแฟคทอเรยลในรปของตวเลข

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

1) 6!

4!

วธท า = 6 5 4!

4!

= 6 5

= 30

2) 7!

2!5!

วธท า = 7 6 5!

2!5!

= 7 6

2!

= 7 3 = 21

3) 2(n!)

(n 1)!(n 1)!

วธท า = (n!)(n!)

(n 1)!(n 1)!

= (n!) n!

(n 1)! (n 1)!

= (n!) n(n 1)!

(n 1)n! (n 1)!

= n

(n 1)

3. ครยกตวอยางการเขยนจ านวนใหอยในรปของแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงเขยนผลคณตอไปนใหอยในรปแฟคทอเรยล

1) 9 8 7 6

วธท า = 9 8 7 6 5!

5!

= 9!

5!

2) 11 10 9 8 7

วธท า = 11 10 9 8 7 6!

6!

= 11!

6!

3) n(n 1)(n 2)(n 3)

วธท า = n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)!

(n 4)!

= n!

(n 4)!

4. ครลองใหนกเรยนลองท าขอทเหลอเพอใหนกเรยนไดเกดการเรยนรดวยตนเอง

5. ครยกตวอยางการใชแฟคทอเรยลในลกษณะทซบซอนมากขนโดยการแกสมการแฟคทอเรยล

ตวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) (n 1)!

(n 2)!

= 1320

วธท า (n 1)(n)(n 1)(n 2)!

(n 2)!

= 12 11 10

(n 1)(n)(n 1) = 12 11 10

ดงนน n 1 = 12

n = 11

2) (2 n)!

(n 10)!10!

= (2 n)!

(n 7)!7!

วธท า (n 7)!7!

(n 10)!10!

= (2 n)!

(2 n)!

(n 7)!

(n 10)!

=

10!

7!

(n 7)(n 8)(n 9)(n 10)!

(n 10)!

=

10 9 8 7!

7!

(n 7)(n 8)(n 9) = 10 9 8

ดงนน (n 7) = 10

n = 17

6. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการใชแฟคทอเรยล 7. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดทเหลอดวยตนเองแลวสงในคาบ โดยครคอยก ากบดแล 8. ครใหนกเรยนท ากจกรรมกลมรวมกนโดยใชโปรแกรม Kahoot! เพอใหนกเรยนไดทบทวนเนอหาและความรทเรยนไปในคาบกอนหนาอกดวย


9. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปน 10. ครใหนกเรยนทกคนท า worksheet 2 ในเอกสารประกอบการเรยนลงสมดพรอมก าหนดวนสง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท.

2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education 4. โปรแกรม Kahoot!





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ แฟคทอเรยล














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง วธการเรยงสบเปลยน









แกปญหา














1.2 สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการเรยงสบเปลยนได













นกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนได (Permutation)



ขนท 1 น าเขาสบทเรยน ครพดการเรยงสบเปลยนคออะไร ลองถามนกเรยนถงในเหตการณทพบไดในชวตประจ าวน

ขนท 2 กจกรรมการเรยนร 1. ครบอกความหมายถงวธการเรยงสบเปลยนวาเปนวธการทน าสงของจ านวนหนงมา

จดเรยง โดยทการจดเรยงดงกลาวใหค านงถงต าแหนงของสงของแตละสงเปนส าคญ โดยเราจะ

ศกษาวธเรยงสบเปลยนใน 2 ลกษณะ คอ 1) วธเรยงสบเปลยนเชงเสน 2) วธเรยงสบเปลยน

แบบวงกลม

2. ครบอกความหมายการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนวามลกษณะอยางไรคอ

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน หมายถง การจดเรยงสงของโดยมลกษณะเปนแถว โดยสามารถ

ก าหนดต าแหนงหวแถวและทายแถวได

วธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมด n สงเทากบ n! วธ

3. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน เพอสรางความเขาใจใหกบนกเรยน

ตวอยาง เดกชาย 3 คน ยนลงเลอยทเกาอ 3 ตว จะมกวธทจะจดเดกเขานงประจ าเกาอไดกวธ

วธท า การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนของสงของทแตกตางกนทงหมดคอ 3!

ตวอยาง มชาย 4 คน หญง 3 คน นงบนมานง 7 ตว ซงวางเรยงเปนแถวยาว จะมวธนงของคนทง

7 คนไดกวธ

1) ไมมเงอนไขเพมเตม

ตอบ การเรยงสบเปลยนคน 7 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได 7!

2) ชายและหญงนงสลบทกนทละคน

ตอบ การเรยงสบเปลยนเชงเสน ผชาย 4 คน และหญง 3 คน เปนการเรยงสบเปลยนแบบชายอย

หนาเพราะจ านวนผชายมากกวา

การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได 4!

การเรยงสบเปลยนเชงเสนของผชายได 3!

ดงนน การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน 3! 4!

ตวอยาง ถาน าเลขโดด 1,2,3 และ 4 มาจดเรยงเปนจ านวนทม 4 หลกโดยแตละหลกไมซ ากน

จะจดไดทงหมดกวธ

ตอบ การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนโดยเรยงสบเปลยนเชงเสน 4 หลก

การเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน 4!

4. ครแนะน าการจดสงของทตองการตดกน โดยมหลกการดงน

ขนท 1 มดสงของทตองการอยดวยกนใหถอเปนของ 1 สงแลวน าไปรวมกบสงของอนๆแลวน าไป

จดเรยง

ขนท 2 ท าการจดเรยงภายในสงของทมดไว (ทตดกน)

ตวอยาง สามภรรยาคหนง พรอมดวยลก 4 คนมายนเรยงแถวยาวเพอถายรป จะมวธจดใหยน

ทงหมดกวธเพอ


วธท า สามภรรยาและลก 4 คน รวม 6 คน

การเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได 6! วธ

2) พอและแมยนตดกน

วธท า พอและแมตองการตดกน น าพอและแมมาจบมดรวมกนแลวนบเปน 1

พอ แม ลก1 ลก2 ลก3 ลก4

ดงนน การเรยงสบเปลยนเชงเสนกบสงของ 5 ชน จะได 5! วธ

สลบเปลยนในมดของพอและแมได 2! วธ

ดงนน พอและแมยนตดกน 2!5! วธ

3) พอและแมยนรมทง2ดาน

พอ ลก1 ลก2 ลก3 ลก4 แม

สบเปลยนเชงเสนของลกทง 4 คนได 4! วธ

พอกบแมตองยนรมทงสองดาน สลบพอและแมได 2 วธ

ดงนน วธทพอและแมยนรมทง2ดาน จะได 4! 2 วธ

ตวอยาง มนกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน ยนถายรปหมเปนแถว

ตรง 1 แถว จงหาจ านวนวธในการยนถายรป เมอ


วธท า นกเรยนชาย 3 คนและมนกเรยนหญง 2 คน รวมกบคร 1 คน รวมเปน 6 คน

การเรยงสบเปลยนของคน 6 คน ในลกษณะการเรยงสบเปลยนเชงเสนได 6! วธ

2) ครยนอยรมแถว

____ น1 น2 น3 น4 น5 _____

สบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได 5! วธ

ครตองยนรม ครจะยนขางหนาหรอขางหลงกไดทงนนได 2 วธ


3) นกเรยนหญงยนตดกน

วธท า ผหญงตองการตดกนใหมดแลวนบเปน 1 ชน

ญ1 ญ2 ช1 ช2 ช3 คร

สบเปลยนเชงเสนของนกเรยนทง 5 คนได 5! วธ

สบเปลยนในมดของผหญงทตองการตดกนได 2! วธ


5. ครใหนกเรยนท าตวอยาง 29 และ ตวอยาง 30 เองเพอวดความเขาใจการเรยงสบเปลยนแบบเชง

เสน โดยครคอยก ากบดแล

6. ครแนะน าการหางานของการจดสงของทไมตองการยนตดกน มหลกการเรยงดงน

ขนท 1 ใหเกบสงของทไมตองการตดกนไวกอนแลวน าทเหลอมาจดเรยง

ขนท 2 หาต าแหนงใหกบสงของทไมตองการตดกนลง แลวท าการจดเรยงสงของ

ตวอยาง มผชาย 5 คน และผหญง 4 คน มายนเรยงแถวยาว จะมวธการยนทงหมดกวธเมอ

1) ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน

วธท า ผชายไมตองการยนตดกนใหน ามาคดทหลง โดยใสผหญงกอน

___ญ1____ ญ2____ ญ3____ ญ4____

สบเปลยนเชงเสนของผหญงทง 4 คนได 4! วธ

โดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสน 5 คน ได 5! วธ

ดงนน ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน คอ 4!5!

2) ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน

วธท า ผหญงไมตองการยนตดกนใหน ามาคดทหลง โดยใสผชายกอน

___ช1____ ช2____ ช3____ ช4____ ช5____

สบเปลยนเชงเสนของผชายทง 5 คนได 5! วธ

โดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 6 ทคน 4 คน

ดงนนจะไดจ านวนวธ 6,4P

ดงนน ไมมผหญง 2 คนใดใดยนตดกน คอ 5! 6,4P

ตวอยาง สามภรรยาคหนงมบตรชาย 2 คน และบตรสาว 3 คน ถาใหทงหมดมายนเรยงแถวยาว

จะมวธการยนกวธเมอ

1) บตรชายยนตดกน และบตรสาวยนแยกกนหมด

วธท า ผหญงยนแยกกนจบผหญงออกมากอน

___ ช1 ช2 ___ พอ____แม____

สบเปลยนเชงเสนของคน 4 คนได 4! วธ

สบเปลยนผชายในมดได 2! วธ

โดยผหญงมาคดทหลง โดยคดผหญงมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 3 คน


ดงนน ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน คอ 4! 2! 4,3P

2) บตรสาวยนตดกน แตบตรชายยนแยกกนหมด

วธท า ผชายยนแยกกนจบผชายออกมากอน

___ ญ1 ญ2 ญ3 ___ พอ____แม____

สบเปลยนเชงเสนของคน 3 คนได 3! วธ

สบเปลยนผหญงในมดได 3! วธ

โดยผชายมาคดทหลง โดยคดผชายมาเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมท 4 ทคน 2 คน


ดงนน ไมมผชาย 2 คนใดใดยนตดกน คอ 3! 3! 4,2P

7. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสน

8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดทเหลอดวยตนเองแลวสงในคาบ โดยครคอยก ากบดแล


9. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 10. ครใหนกเรยนท าการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงเสนพรอมก าหนดวนสง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร

คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ แฟคทอเรยล














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง วธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม









แกปญหา














1.2 สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการเรยงสบเปลยนได













นกเรยนสามารถเขาใจวธการเรยงสบเปลยนเชงเสนและเชงวงกลมได (Permutation)



ขนท 1 น าเขาสบทเรยน ครทบทวนการกฎการเรยงสบเปลยนและกฎการนบและกฎตางๆของการนบเบองตน

ขนท 2 กจกรรมการเรยนร 1. ครแนะน าทฤษฎบทในการหาการเรยงสบเปลยนโดยใชสตร

ทฤษฎบท ในการจดสงของ n สง ทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ r สง (r n )

จะจดไดทงหมด n!

(n r)! วธ อาจใชสญลกษณ n

rP หรอ n,rP แทนจ านวนวธในการจด

เรยงล าดบสงของ n สงทแตกตางกนทงหมด โดยจดครงละ r สง ดงน n,rP = n!

(n r)!

2. ครยกตวอยางการใชสตรในการหาโดยใชสตร

ตวอยาง จงหาคา n จากขอตอไปน

1) 7,5P

วธท า 7,5P = 7!

(7 5)!

= 7!

2!

= 7 6 5 4 3 2!

2!

= 7 6 5 4 3

2) 6,2P

วธท า 6,2P = 6!

(6 2)!

= 6!

4!

= 6 5 4!

4!

= 6 5 = 30

3) n,4P = n,22 P

วธท า n,4P = n,22 P

n!

(n 4)! = 2 n!

(n 2)!

n(n 1)(n 2)(n 3)(n 4)!

(n 4)!

= 2 n(n 1)(n 2)!

(n 2)!

n(n 1)(n 2)(n 3) = 2 n(n 1)

n(n 1)(n 2)(n 3)

n(n 1)

= 2

(n 2)(n 3) = 2 1

ดงนน จากการเทยบสมประสทธ จะไดวา

n 2 = 2

n = 4

3. หลงจากทนกเรยนใชสตรในการหาการเรยงสบเปลยนไดแลว จงน าสตรมาลองใชกบโจทยปญหา

ในชวตประจ าวน

ตวอยาง การเลอกตงสมาชกเพอด ารงต าแหนงสโมสรรวม 3 ต าแหนงคอ ประธาน รองประธานและ

เลขานการ ในการสมครครงนมผสมครเขารบเลอกตงต าแหนง 10 คน จงหาจ านวนวธทผสมครเหลาน

จะไดรบเลอกตง

วธท า จ านวนในการเลอกตงสมาชก 10,3P

ดงนน จะไดวา 10,3P = 10!

(10 3)!

= 10!

7!

= 10 9 8 7!

7!

= 10 9 8 = 720 วธ

ตวอยาง ตองการสรางจ านวนทม 4 หลก จากเลขโดด 1,2,3,…,9 โดยทแตละหลกไมซ ากน จะสราง

ไดทงหมดกจ านวน เมอ


วธท า ตองการสรางเลข 4 หลก โดยเลอกจากเลข 9 ตว จะไดวา

9,4P = 9!

5! = 3024 จ านวน

2) หลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

จากเลขทก าหนดมาให จะไดวา มเลขค 4 ตว คอ 2,4,6,8 และ มเลขค 5 ตว คอ 1,3,5,7,9

วธในการเลอกจ านวนคใหเปนหลกพนและหลกสบ จะได 4,2P = 12

วธในการเลอกจ านวนคใหเปนหลกหนวยและหลกรอย จะได 5,2P = 20

วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทหลกหนวยและหลกรอยเทานนเปนเลขค

คอ 12 20 240

3) แตละหลกสลบเลขคและเลขค

จากขอ 2) ทผานมาจะไดวา หลกเลขคนนสลบกบหลกเลขคอย คอ ค ค ค ค คอ 240 วธ

ดงนน จะไดวาโดยสลบใหเลขคอยหลกพนและหลกสบ คอ 240 วธ

จะไดวา วธในการเลอกเลขมาสราง 4 หลกโดยทแตละหลกสลบเลขคและเลขค

คอ 240 240 480 จ านวน

ตวอยาง ตองการสรางค าทประกอบไปดวยตวอกษร 4 ตว ไมซ ากน โดยเลอกมาจากค าวา

ENTRANCE จะสรางไดทงหมดกค า โดยค าทสรางขนมาไมจ าเปนตองมความหมายกได เมอ


วธท า จาก ENTRANCE พยญชนะคอ N,T,R,C สระ A,E มพยญชนะทงหมด 6 ตว

จะไดวา 6,4P = 6!

3602! ค า

2) อกษรตวแรกเปนสระ และอกษรตวสดทายเปนพยญชนะ

วธท า สระ ____ ____ พยญชนะ

โดยต าแหนงแรกจะมสระ 2 ตว และต าแหนงสดทายมพยญชนะ 4 ตว

ต าแหนงแรก สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 2

ต าแหนงท2 สามารถมโอกาสเปนไปไดคอ 4

ต าแหนงตรงกลาง สามารถใสไดคอ 4,2P = 12

ดงนน โอกาสทเปนไปไดทงหมดคอ 2x4x12 = 96 วธ

4. การจดการสงของใน n สงทไมแตกตางกน (มของซ ากน) d = 1 2 k

n!

n ! n !...n !

ตวอยาง ตวอกษรในค าวา SUCCESS จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทไมจ าเปนตองม

ความหมายไดทงหมดกวธ

วธท า การเรยงสบเปลยนเชงเสนโดยมตวอกษร 7 ตว จะได 7!

เนองจากม S สามตว จะได 3! , ม C สองตว 2! ทซ ากน

จากกฎการจดสงของทมของซ า d = 7!

2! 3! = 420 วธ

ตวอยาง ตวอกษรในค าวา LOVELYPOO จะมวธเรยงสบเปลยนเปนค าตางๆ ทงหมดกวธ เมอ

1) อกษรทไมซ ากนอยตดกน

2) อกษรทซ ากนในกลมเดยวกนอยตดกน

วธท า 1) สรางค าใหมทมการเรยงอกษร 9 ค า โดยม L สองตว, ม o สามตว โดยอกษาทไมซ าอย

ตดกน V E Y P L L O O O O

โดยมอย 6 ตวต าแหนง 6!

โดยสลบในมด 4!

และม L สองตว 2 ตว, O สามตว จะได 6! 4!

2!3!

2) อกษรทซ ากนในกลมเดยวกนอยตดกน LL OOO V E Y P

โดยมอกษรอย 6 ต าแหนง จะได 6!

โดยมตวอกษร L สองตว จะได 2!

โดยมตวอกษร O สามตว 3!

ดงนน จะไดวา 6! 2! 3!

2! 3!

= 6! = 720 วธ

ตวอยาง มตวเลข 7 ตว ดงน 1,1,2,2,2,3,4 ถาน าตวเลขทกตวมาจดเรยงเปนจ านวนทม 7 หลก จะ

สรางไดกวธ เมอ


วธท า มตวเลขทงหมด 7 ตวอกษร น ามาจดเรยงเชงเสน 7!

โดยจากการจดเรยงสงของซ าจะไดวา

โดยในตวอกษรจะมเลขสอง ซ ากน 3 ตว คอ 3! และ ตวอกษรจะมเลขหนง ซ ากน 2 ตวคอ 2!

ดงนน จะจดเรยงได 7!

2!3!

2) มคามากกวา 2 ลาน

วธท า กรณท 1 หลกลานเปนเลข 2

2 __ __ __ __ __ __

ในต าแหนงแรก บงคบใหเปน 2 จะได 1 วธ

อก 6 ต าแหนงทเหลอ นนคอ 6.6P = 6!

และในการเรยงจดของสงของซ าจะมเลขสอง ซ ากน 2 ตว คอ 2! และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซ ากน 2 ตวคอ 2! ดงนนจะจดเรยงได 6!

2!2! = 180 วธ

กรณท 2 หลกลานเปนเลข 3

__ __ __ __ __ __ __

ในต าแหนงแรก บงคบใหเปน 3 หรอ 4 จะได 2 วธ

อก 6 ต าแหนงทเหลอ นนคอ 6.6P = 6!

และในการเรยงจดของสงของซ าจะมเลขสอง ซ ากน 3 ตว คอ3! และ ตวอกษรจะมเลขหนง

ซ ากน 2 ตวคอ 2! ดงนนจะจดเรยงได 6!

23!2!

= 120 วธ

5. ครแนะน านกเรยนถงวธการเรยงสบเปลยนอกหนงแบบคอ วธการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม

คอ วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแตกตางไปจากวธเรยงสบเปลยนแบบเชงเสน โดยทการจดเรยงแบบ

วงกลมจะไมสามารถระบต าแหนงหวแถวหรอทายแถวได

6. ครลองใหนกเรยนชวยกนนกวาอะไรบางทมลกษณะทเปนวงกลม แลวดลกษณะวาจะมการเรยง

ประเภทไดกแบบ

7. เมอนกเรยนสามารถเขาใจการสบเปลยนแบบวงกลมแลว เชน การจดคนนงรอบโตะกลม การรอย

พวงมาลยเปนวงกลม ครจะบอกถงประเภทของการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมวามกแบบและม

ลกษณะแตกตางกนอยางไร

8. โดยวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลม สามารถแยกออกไดเปน 2 ประเภท

1) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได เชน การจดคนยนเปนวงกลม จดคนนงรอบโตะกลม

จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกไมได คอ (n 1)! วธ

2) วธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมแบบพลกได ไดแก การรอยพวงมาลยแบบวงกลม

ถามสงของทแตกตางกน n สง จ านวนวธเรยงสบเปลยนแบบวงกลมทพลกไดเทากบ

(n 1)!

2

วธ

9. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมเพอใหนกเรยนไดเขาใจในการใชทมากขน

ตวอยาง จงหาจ านวนวธการนงของคน 5 คน รอบโตะกลมซงม 5 ทนง

วธท า การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจ านวนทงหมด 5 จ านวน

จะไดทงหมด (5 1)! 4!

ตวอยาง มเกยคง 2 คน และเกยควน 4 คน มายนเรยงกนเปนวงกลม จะยนไดกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม

วธท า การเรยงสบเปลยนเชงวงกลม โดยมจ านวนทงหมด 6 จ านวน

จะไดทงหมด (6 1)! 5!

2) เกยคง 2 คน ยนตดกนเสมอ

วธท า โดยจากกฎการยนตดกน จะไดวา K1 K2

จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ (5 1)! 4! Q1 Q2

และการสลบทในมดจะได 2! Q3 Q4

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 4!2! วธ

3) เกยคง 2 คน ยนแยกจากกนเสมอ

วธท า โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา น าเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ (4 1)! 3!

Q2 Q3 จากนนจะเหลอต าแหนงวางใหเกยคงสามารถใสไดคอ 4,2P

Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 4,23! P = 72 วธ

4) เกยคง 2 คน ยนตรงขามกนเสมอ

วธท า โดยจากกฎการยนไมตดกน จะไดวา น าเกยคงออกมากอน (คดทหลง)

Q1 K1 จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมคอ (4 1)! 3!

Q2 Q3 จากนนจะจดต าแหนงใหเกยคงยนตรงขามกนเสมอสามารถใสไดคอ 2 2

K2 Q4 เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 4,22 2 P = 24 วธ

ตวอยาง มคน 8 คน ในจ านวนนม Boy Nong และ Pat รวมอยดวย ถาใหทงหมดนงรอบโตะกลม

ตวหนง จะมวธนงกวธ เมอ

1) Boy Nong และ Pat นงตดกนเสมอ

วธท า B N P โดยมการจ านวนคนทงหมด 8 คน และจากกฎการตดกน จะท าการมดรวมกน

มการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม (6 1)! 5!

สามารถสลบในมด B N P ไดกบ 3!

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 5!3!

2) Boy Nong และ Pat นงแยกจากกนเสมอ

วธท า B N P มการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม (5 1)! 4!

โดยจะมทวาง 5 ท น าคนสามคนไปใส จะได 5,3P

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 5,34! P

3) Boy นงตดกน Nong แตไมตดกน Pat

P B N จาก Boy นงตดกน Nong แตไมตดกน Pat ดงนนน า PAT ออกมากอน(คดทหลง)

มการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม (6 1)! 5!

โดยสามารถท Boy กบ Nong ไดเทากบ 2!

โดยสามารถจดทให Pat โดยสามารถอยได 5 ต าแหนง จะมวธ 5,1P

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 5! 2! X 5,1P

11. ครยกตวอยางการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมอกแบบ คอแบบพลกได

ตวอยาง นองพลอยรองพวงมาลยเปนวงกลมดวยดอกไม 9 ดอก แตละดอกแตกตางกน โดยทดอกไม

มสขาว 2 ดอก สแดง 3 ดอกทเหลอมสไมซ ากน อยากทราบวา จะไดพวงมาลยทแตกตางกนกวธ เมอ

1) ไมมเงอนไขใดเพมเตม

วธท า เนองจากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได จะไดเทากบ (9 1)!

2

=

8!

2

2) สขาวอยตดกนและสแดงอยตดกน

วธท า จากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดและมสอยตดกน

ข ข ดดด จะไดเทากบ (6 1)!

2

=

5!

2

และจากกฎการตดกนสามารถสลบท สลบทในมด 2! 3!

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได 5! 2! 3!

2

ตวอยาง มดอกไม 8 ดอกทแตกตาง มสขาว 4 ดอก สชมพ 4 ดอก น ามารอยพวงมาลยไดกวธ ท

แตกตาง เมอมเงอนไขดงน


วธท า จากการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดและมสอยตดกน

จะไดเทากบ (8 1)!

2

=

7!

2

2) ใหสขาวสลบทกบสชมพ

วธท า เนองจากตองสลบทกนระหวางสชมพและสขาว ดงนนจงน าออกมา 1 สเพอคดทหลง

จะไดวา น าสขาวมาเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกไดจะได 3!

2

และน าสชมพไปจดเรยงใสโดยหามตดกบสขาว โดยมทอย 4

ทน าสชมพ 4 ดอกไปจดเรยงจะได 4,4P

เพราะฉะนน จะมการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมแบบพลกได 3! 4!

2

= 72 วธ

3) ใหสขาวอยตดกนและสชมพอยตดกน

วธท า จากกฎการตดกนจะไดวา น ามามดรวมกน

ดงนนจะน าสขาวมามดรวมกนและสชมพมามดรวมกน 2!4!4!

2 = 288 วธ

12. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการเรยงสบเปลยนเชงเสนและการสบเปลยน

เชงวงกลมวามลกษณะทแตกตางกนอยางไร



14. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการเรยงสบเปลยนเชงวงกลม 15. ครใหนกเรยนท าการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมพรอมก าหนดวนสง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ เรยงสบเปลยนเชงเสนและวงกลม














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน เรอง วธการจดหม









แกปญหา














1.2 สามารถแกโจทยปญหาโดยวธการจดหม













การจดหม เซต A,B,C และ D ดงกลาวเปนเซตทเทากน เพราะไมไดค านงถง

ต าแหนงเปนส าคญ ซงลกษณะของวธการจดหมกไมไดค านงถงต าแหนงเชนกน โดยวธการจด

หมจะไมมการจดเรยง

ท าใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ r สง จากสงของทแตกตางกน n

สงแทนดวยสญลกษณ

n

r

หรอ nrC หรอ n rC หรอ n,rC = n!

r!(n r)!



ครทบทวนเรองเรยนทผานมาคอการเรยงสบเปลยนเชงเสนและแบบวงกลมรวมถงกฎตางๆ

เชนการยนตดกน การยนแยกกน

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน 1. ครเกรนน าถงตวอยางทผานมาทเกยวกบการแบงกรณการคดในหลายๆกรณวาเกดการ

เสยเวลาในการท า ครจงอธบายวธการหาโจทยประเภทนดวยวธการอกวธการหนง คอ

โจทยแบบอยางนอย โจทยขอนเปนตองแบงเปนกรณซงบางครงอาจจะแบงๆไดหลายกรณมากและ

เสยเวลาในการคด ลองมาพจารณางานทอยตรงขามกบโจทยตองการถางานทอยตรงขามนนหาไดงาย

กวากจะใชหลกการคลายๆกบเรองเซตเขามาชวยแกโดยท n(E) = n(U) n(E ) หรอ

เรยกวา n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)

2. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดลองน าทฤษฎบทไปใชและใหนกเรยนไดเขาใจในคอนเซ

ปการน าไปใชมากขน

ตวอยางท ในการสรางเลข 4 หลกจากเลข 2,4,5,6,7,8 จะสรางเลขสหลกทมการใชเลขซ ากนอยาง

นอย 2 หลกไดกจ านวน

วธท า จากสตร n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)

จะไดวา n (เลขซ ากนอยางนอย 2 หลก) = n (งานทงหมด) - n (4 หลกไมซ ากนเลย)

หา n (งานทงหมด) = เลขทง 4 หลกซ ากนหมด จะได 6 6 6 6 = 1296 จ านวน

หา n (4 หลกไมซ ากนเลย) = 6 5 4 3 = 360

ดงนน 1296 - 360 = 936 วธ

ตวอยางท มโรงแรม 6 แหง อยากทราบวานกทองเทยว 4 คน จะเลอกพกโรงแรมดงกลาวโดยม

นกทองเทยวอยางนอย 2 คน พกโรงแรมเดยวกน

วธท า จากสตร n (งานทโจทยตองการ) = n (งานทงหมด) - n (งานทตรงขามกบโจทย)

จะไดวา n (นกทองเทยวอยางนอย 2 หลก) = n (งานทงหมด) - n (นกทองเทยวพกตางโรงเรยน)

หา n (งานทงหมด) = เลขทง 4 หลกซ ากนหมด จะได 6 6 6 6 = 1296 จ านวน

หา n (4 หลกไมซ ากนเลย) = 6 5 4 3 = 360

ดงนน 1296 - 360 = 936 วธ

3. ครสรปการหาค าตอบโดยวธการทผานมาคอการเรยงสบเปลยนแบบเชงเสนและวงกลม จากนนคร

แนะน าวธการหาค าตอบในอกรปแบบหนง

4. ครยกตวอยางการหาค าตอบในอกรปแบบหนงคอการจดหม โดยเซต A,B,C และ D ดงกลาว

เปนเซตทเทากน เพราะไมไดค านงถงต าแหนงเปนส าคญ ซงลกษณะของวธการจดหมกไมไดค านงถง

ต าแหนงเชนกน โดยวธการจดหมจะไมมการจดเรยง

ท าใหไดวาการเลอกหรอการจดหมสงของครงละ r สง จากสงของทแตกตางกน n สง

แทนดวยสญลกษณ

n

r

หรอ nrC หรอ n rC หรอ n,rC = n!

r!(n r)!

5. ครลองยกตวอยางเพอใหนกเรยนเขาใจมากขน

ตวอยาง จงหาคาตอไปน

1) 5,2C

วธท า n,rC = n!

r!(n r)!

5,2C = 5!

2!(5 2)! =

5!

2!3! = 10

2) 10

8


r!(n r)!

10

8

= 10!

8!(10 8)! = 10!

8! 2! = 45

3) 10

10


r!(n r)!

10

10

= 10!

10!(10 10)! = 10!

10! 0! = 1

6. ครลองใหนกเรยนออกมาท าแบบฝกหดหนาหอง โดยเลอกจากการสมออกมาโดยครคอยก ากบดแล

ตวอยาง จงหาคา n จากสมการตอไปน

1) n,n 1C = 20


r!(n r)!

n!

(n 1)!(n (n 1))! = 20

n!

(n 1)! = 20

n(n 1)!

(n 1)!

= 20

n = 20

2) n 1,nC = 100


r!(n r)!

(n 1)!

n!(n n 1)!

= 100

(n 1)!

n!

= 100

(n 1)n!

n!

= 100

n 1 = 100

n = 99

7. ครยกตวอยางโจทยทเปนโจทยปญหาเพอใหนกเรยนไดเจอโจทยทหลากหลายและสามารถน าไปใช

ในชวตประจ าวน

ตวอยาง สมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการน าเสอไปเทยวจ านวน 4 ตว จะมวธจดเสอไป

เทยวไดทงหมดกวธ

วธท า จากโจทยจะไดวาสมพรมเสอทแตกตางกน 10 ตว เขาตองการน าเสอไปเทยวจ านวน 4 ตว

10

4

= 10!

4!(10 4)! = 10!

4! 6! = 210 วธ

ตวอยาง มนกเรยนทงหมด 12 คน เปนนกเรยนชาย 8 คน และนกเรยนหญง 4 คน จงหาจ านวนวธ

ในการเลอกกรรมการจ านวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน โดยมเงอนไขตอไปน


วธท า การเลอกกรรมการจ านวน 5 คน จากคนทงหมด 12 คน

12

5

= 12!

5!(12 5)! = 12!

5! 7! = 792 วธ

2) เปนนกเรยนชาย 3 คน และนกเรยนหญง 2 คน

วธท า เลอกผชาย 3 คน จากผชาย 8 คน จะได 8

3

= 56 วธ

เลอกผหญง 2 คน จากผหญง 4 คน จะได 4

2

= 6 วธ

ดงนน จะไดวธทงหมด 56 6 = 336 วธ

ตวอยาง บนเสนรอบวงวงกลมหนงมจดคงท 8 จด จงหา

1) จ านวนเสนตรงทลากเชอมระหวางจดสองจด

วธท า มจดทงหมด 8 จด เลอกจากจากจด 2 จด

8

2

= 8!

2!(8 2)! = 28 วธ

2) จ านวนรปสามเหลยมทมจดเหลานเปนจดยอดมมของรปสามเหลยมทง 3 มม

วธท า มจดทงหมด 8 จด เลอกจากจากจด 3 จด สรางสามเหลยม

8

3

= 8!

3!(8 3)! = 56 วธ

ตวอยาง นกเรยนหองหนงม 15 คน เปนนกเรยนชาย 10 คน หญง 5 คน แบงนกเรยนออกเปน 3

กลมเพอไปท างานตามใบงานท 1,2 และ 3 โดยทใบงานชนท 1 ตองการชาย 8 คน ใบงานชนท 2

ตองการหญง 2 คน และใบงานชนท 3 ตองการ 5 คน จงหาจ านวนวธทจะแบงนกเรยนไปท างาน 3

ชนงานน

วธท า แบงนกเรยน 15 คน ออกเปน 3 กลม

ใบงานท 1 มผชาย 10 คนเลอกชาย 8 คน เลอกได 10

8

= 10!

8!(10 8)! =

10 9

2

= 45

ใบงานท 2 มผหญง 5 คนเลอกชาย 2 คน เลอกได 5

2

= 5!

2!(5 2)! =

5 4 3

3 2

= 10

ใบงานท 2 ตองการนกเรยน 5 คน เลอกมา 5 คน เลอกได 5

5

= 5!

5!(5 5)! = 1

ดงนน จ านวนวธเลอกคนไปท างานกลม 45 10 = 450 วธ

8. นกเรยนรวมกนอภปรายและสรปองคความรจากการจดหมวามลกษณะการใชอยางไร

พรอมใหนกเรยนรวมกนสรปถงขอแตกตางถงลกษณะการใช



10. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบการหาเขาใจโจทยปญหาของความนาจะเปนเกยวกบการจดหม 11. ครใหนกเรยนท าการบาน worksheet 3 เรองการเรยงสบเปลยนเชงวงกลมพรอมก าหนดวนสง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ การจดหม














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน 2 เรอง กจกรรมความนาจะเปน









แกปญหา













1.1 สามารถเขาใจความหมายของความนาจะเปน

1.2 สามารถเขาใจความหมายของการทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณได

1.3. สามารถหาการทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณได












การทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณ



ครจะท ากจกรรมเกยวกบการทดลองสมตางๆ เพอใหนกเรยนเขาใจกฎความนาจะเปนขน

พนฐาน

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน 1. ครเกรนน าถงความหมายของค าวาโอกาสมความหมายวาอยางไร ซงโอกาสคอชวตจะเกดสงใดกได แตเราสามารถใชคณตในการตดสนใจได

2. โดยครใหนกเรยนลองท ากจกรรมในหองเรยน โดยการใหนกเรยนน าเหรยญชนดใดกไดขนมา 1 เหรยญ แลวใหนกเรยนท าการโยนเหรยญ โดยใหนกเรยนทงชนเรยนยนขน

โดยมกฎเกณฑวา เมอเหรยญออกหว ใหนกเรยนนงลง

แตถาเหรยญออกกอย ใหนกเรยนยนขนเชนเดม แลวท าการโยนเหรยญตอ

3. โดยจะท าการโยนเหรยญดวยกฎนไปเรอยๆ เพอหาวานกเรยนคนใดทจะโยนไดกอย

ตอเนองเปนคนสดทายในหองเรยนนน แลวท าการโยนไปกครง

4. หลงจากทครไดใหนกเรยนทท าการโยนเหรยญออกหนากอยจนหาคนสดทายไดแลวนน

จะท าการพจารวา นกเรยนคนทเหลอคนสดทาย โยนไดหนากอยตดตอกนกครง

5. สมมตวาใหนกเรยนโยนไดกอยตดตอกนได n ครง โดยครจะท าการสอบถามนกเรยนวา

การโยนเหรยญ 1 ครง สามารถออกหนาเหรยญได 2 หนา จะมโอกาสเทาไร โดยนกเรยนจะรวมตอบ

คอ เปนครงหนง นนคอเปน 1

2 ในการโยนแตละครง

6. ครถามนกเรยนเพมเตมวา แตเพอนคนทเหลอคนสดทาย โดยไดหนากอยตดตอกน n ครง

แสดงวาจะมโอกาสเทาใด นนคอ

n

1 1 1 1

2 2 2 2 นนคอ

n1

2

7. จากนน ใหนกเรยนลองหารดเปนจ านวนทศนยม นนสงเกตไดวาคานอยมาก นนคอม

โอกาสเกดขนไดนอยมาก โดยโยงไปวาคาทไดนนคอ คาความนาจะเปนทเกดขน

8. หลงจากไดใหนกเรยนท าการทดลองการโยนเหรยญแลวนน ครไดจดอกหนงกจกรรมนน

คอการโยนลกเตา จะไดเปนอยางไร โดยถามนกเรยนวาการโยนลกเตา 1 ลกนน มโอกาสเกดหนาไดก

หนา และมความนาจะเปนเทาไร นนคอ 1

6

9. ครถามเพมเตมวาถาโยนลกเตา 2 ลกจะมโอกาสเปนเทาไร คอ 1 1

6 6 =

1

36

10. โดยตอมาครใหนกเรยนลองท านายวาถาโยนลกเตา 2 ลกผลบวกแตมจะเปนอะไรไดมาก

ทสด โดยใหนกเรยนลองทายและเขยนลงในกระดาษวาทายเลขอะไร แลวคอยมาดค าตอบกนใน

ตอนทาย

11. โดยครใหนกเรยนบนทกผลพรอมกนไปดวย เชน โยนลกแรกได 2 ลกทสองได 5 ให

บนทกผลในรปคอนดบคอ (2,5) ซงผลรวมแตมคอ 7

12. โดยใหนกเรยนท าการออกมาโยนลกเตารวมกนทงหอง (ประมาณ 30 คน) แลวมารวม

ทายกนวาผลบวกแตมใดออกมากทสด

13. ซงในการทดลองนน ผลรวมแตมทควรมากทสดนนคอ 7 เพราะมโอกาสคาความนาจะ

เปนมากทสด นนคอ 1

6 แตในการทดลองหนงๆนน ลกเตาทออกผลรวมได 5,6,8 มประมาณ

เทาๆกน ซงไมตางกนมากนก โดยการทดลองหนงนนๆเปนเพยงแนวโนมเทานน โดยในคาบตอไป

จะท าการเรยนเกยวกบกฎความนาจะเปนอยางละเอยดอกครง


14. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบกจกรรมทไดท าในวนนวาไดประโยชน

อยางไรและสามารถเชอมโยงกบความนาจะเปนไดอยางไรบาง

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท.

2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ กจกรรมความนาจะเปน














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน 2 เรอง การทดลองสม


ชนมธยมศกษาปท 5 ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2559 เวลา 2 คาบ







แกปญหา



























การทดลองสม ปรภมตวอยางและเหตการณ



ครทบทวนการท ากจกรรมในคาบทผานมาคอการท าการทดลองสมโดยการโยนเหรยญและ

การโยนลกเตา โดยในคาบนครจะสอนถงความหมายและลกษณะในการทอลองสมกนใหมากขน

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน 1. ครถามนกเรยนถงการทดลองเมอสปดาหทแลววาการกระท าทไดท าการทดลองนนถอวาเปนการทดลองสม โดยครไดอธบายความหมายของการทดลองสมดงน การทดลองสม (Random Experiment) การทดลองสมหมายถง การกระท าซงทราบวาผลลพธทไดจากการทดลองนนจะเปนอะไรไดบาง แตไมสามารถระบไดแนชดวาในการทอลองแตละครงจะเกดผลลพธอะไร จากผลลพธทงหมดเหลานน

2. หลงจากนกเรยนทราบความหมายแลวนน ครจะสมนกเรยนขนมาตอบค าถามทละคน วาการกระท าทจะบอกตอไปน เปนการทดลองสมหรอไม 1) เสยมเซยมซ 2) น าเงนไปฝากธนาคาร 3) หลบตาหยบลกบอลในกลอง 4) สอยดาวในงานกาชาด 5) โยนเหรยญ 2 เหรยญ 2 ครง 6) หยบไพ 1 ใบออกจากไพ 1 ส ารบ 7) การท านายเลขทายสองตวของการออกสลากกนแบงรฐบาลงวดทผานมา 8) การสงเกตนกเรยนทเขาไปอานหนงสอในหองสมดของโรงเรยน 9) หยบลกแกวออกจากขวดโหล 10) เลอกเครอขายผปกครอง 3 คนจากผปกครองทงหมด 3 คน

3. หลงจากนกเรยนสามารถแยกการทดลองสมมาไดแลวนน ครจงถามนกเรยนวาการทดลองสมนนๆมประโยชนและน ามาใชไดอยางไร โดยครไดใหความหมายของค าวา ปรภมตวอยาง วาคออะไรและเกยวของอะไรกบการทดลองสม ปรภมตวอยาง หรอ แซมเปลเสปซ (Sample Space) แซมเปลสเปส หมายถง เซตของผลลพธทเปนไปไดทงหมดจากการทดลองสม แทนดวย S และก าหนดให n s แทน จ านวนของแซมเปลสเปซ 4. ครจงยกตวอยางการหาแซมเปลสเปซและจ านวนของแซมเปลสเปซ เพอใหนกรยนได

เขาใจในความหมายมากขน

ตวอยาง จงเขยนแซมเปลสเปซและจ านวนแซมเปลสเปซของการทดลองสมตอไปน

1) สนใจหนาทแสดงจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 1 ครง

ตอบ S {H,T} และ n(s) 2

2) สนใจหนาทแสดงจากการโยนเหรยญ 1 เหรยญ 2 ครง

ตอบ S {(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)} และ n(s) 4

3) สนใจหนาทแสดงจากการโยนลกเตา 1 ลก

ตอบ S {1,2,3,4,5,6} และ n(s) 6

4) สนใจจ านวนหลอดไฟทเสย จากการผลตหลอดไฟจ านวน 50 หลอด

ตอบ S {0,1,2,3,...,50} และ n(s) 51

5) สนใจจ านวนลกบอลสแดงจากการหยบลกบอล 4 ลกจากกลองใบหนงทมลกบอลสแดง 5 ลก สขาว 7 ลก ส

เขยว 4 ลก

ตอบ S {(0,1,2,3,4} และ n(s) 4

5. เมอนกเรยนไดเขาใจการหาแซมเปลสเปซของการทดลองสมแลวนน ครจงใหนกเรยนลองท าแบบฝกหดท

เหลอเพมเตม เพอใหนกเรยนไดลองคนหาความเขาใจดวยตนเอง

6. หลงจากนนครทฤษฎอกหนงทฤษฎทเกยวของและส าคญกบความนาจะเปน โดยครถามนกเรยนวา ความ

นาจะเปนกคอการคดคาความเปนไปไดจากสงทเราสนใจจากความเปนไปไดทงหมด ดงนน ครจงบอกนกเรยน

เกยวกบการหาคาสงทเราสนใจ คอ เหตการณ (Event)

เหตการณ คอ เซตทมสมาชกเปนผลลพธทไดจากการกระท าจรงของการทดลองสม

แทนดวย E และก าหนดให n E แทน จ านวนสมาชกของเหตการณ

7. จากนนครจงแนะน าสมบตของความนาจะเปนทส าคญเพอเปนการสรปความคดรวบยอด

รไวเถอะวา!!!!!!! E เปนเหตการณ กตอเมอ E S

1. S ดงนน เปนเหตการณ

2. S S ดงนน S เปนเหตการณ

3. ถา S เปนเซตจ ากดและ E เปนเหตการณ จะไดวา

3.1 E เปนเซตจ ากดดวย

3.2 0 n(E) n(S)

3.3 n(E) 0 เมอ E

3.4 n(E) n(S) แลว E S

3.5 ถา n(S) n แลวจ านวนเหตการณทงหมด เทากบ n2

8. จากนนครลองยกตวอยางเกยวการการหาเหตการณ โดยยกตวอยางเพมเตมเพอความเขาใจ

ตวอยาง ในการโดยลกเตา 1 ลก จงเขยนเหตการณและจ านวนสมาชกของเหตการณตอไปน

1) 1E เปนเหตการณทไดแตมเปนเลขค

ตอบ 1E {1,3,5} , 1n(E ) 3

2) 2E เปนเหตการณทไดแตมนอยกวา 3

ตอบ 2E {1,2} , 2n(E ) 2

ตวอยาง ในการโดยลกเตา 2 ลก จงเขยนเหตการณและจ านวนสมาชกของเหตการณตอไปน

1) 1E เปนเหตการณทไดแตมทงสองเหมอนกน

ตอบ 1E {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} , 2n(E ) 6

2) 2E เปนเหตการณทไดผลตางของแตมอยางนอย 4

ตอบ 2E {(1,5),(5,1),(1,6),(6,1),(2,6),(6,2)} , 2n(E ) 6

3) 3E เปนเหตการณทไดผลบวกของแตมอยางมาก 5

ตอบ 3E {(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1),(2,2),(2,3),(3,2)} ,

3n(E ) 10

9. หลงจากครไดฝกท าตวอยางการหาเหตการณครจงลองใหนกเรยนท าตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดสราง

ความรดวยตนเอง

ตวอยาง การทดลองเรมตนดวยการโยนเหรยญอนหนง ถาไดหวโยนเหรยญนนอกครง แตถา

ไดกอยใหทอดลกเตาหนงลก

1) จงเขยนแซมเปลสเปซ

2) จงระบสมาชกของเซต A ซงเปนเหตการณทแตมบนลกเตามากกวา 3

3) จงระบสมาชกของ B ซงเปนเหตการณทเกดกอย 2 ครง

วธท า หาแซมเปลสเปซ

S {(H,H),(H,T),(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5),(T,6)}

หาสมาชกของเซต A ซงเปนเหตการณทแตมบนลกเตามากกวา 3

A {(T,4),(T,5),(T,6)}

หาสมาชกของ B ซงเปนเหตการณทเกดกอย 2 ครง

B

ตวอยาง การโยนเหรยญอนหนง กบการทอดลกเตาอกลกหนง ใหพรอมกนให

A แทนเหตการณทเหรยญขนกอย ลกเตาขนแตมค

B แทนเหตการณทแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตว

C แทนเหตการณทเหรยญขนหว ลกเตาขนแตมค

1) เหรยญขนกอยแลวลกเตาขนแตมค หรอแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตว

2) เหรยญขนหว ลกเตาขนแตม 3 หรอ เหรยญขนกอย ลกเตาขนแตม 6

วธท า หาเหตการณการโยนเหรยญอนหนง กบการทอดลกเตาอกลกหนง

S {(H,1),(H,2),(H,3),(H,4),(H,5),(H,6),

(T,1),(T,2),(T,3),(T,4),(T,5)(T,6)}

A {(T,1),(T,3),(T,5)}

B {(H,3),(H,6),(T,3),(T,6)}

B {(H,2),(H,4),(H,6)}

1) เหรยญขนกอยแลวลกเตาขนแตมค หรอแตมเปนเลขทหารดวย 3 ลงตว

จะได {(T,1),(T,3),(T,6),(H,3),(H,6)} = A B

2) เหรยญขนหว ลกเตาขนแตม 3 หรอ เหรยญขนกอย ลกเตาขนแตม 6 จะได {(H,3) (T,6)}

10. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหดเพมเตมดวยตนเอง เพอเปนการสรางความเขาใจความคดรวบยอด

ดวยตนเอง


11. ครและนกเรยนรวมกนสรปประเดนเกยวกบทเรยนวนนทไดท าในวนนวาไดประโยชนอยางไร

และสามารถเชอมโยงกบความนาจะเปนไดอยางไรบาง

12. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวยตนเอง สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ การทดลองสม

-แบบฝกหดในเอกสารประกอบการเรยน -แบบฝกหดในหนงสอเรยนและแบบฝกหดใน Workbook













………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน 2 เรอง ความหมายของความนาจะเปน









แกปญหา



























ความหมายของความนาจะเปนและสมบตทส าคญของความนาจะเปน



ครทบทวนการหาแซมเปลเสปซและเหตการณและจ านวนของการหาแซมเปลเสปซและ

จ านวนของเหตการณ

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน

1. ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไร

มาแลวบาง ดงนนครจงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร

บทนยาม ความนาจะเปนคอ อตราสวนระหวางจ านวนสมาชกของเหตการณทสนใจ กบ

จ านวนสมาชกของแซมเปลสเปซทมโอกาสเกดขนเทาๆกน

ให n(E) แทน จ านวนสมาชกของเหตการณ

n(S) แทน จ านวนสมาชกของ sample space

และให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E

จะไดวา n(E)P(E)

n(S)

2. ครไดใหสมบตของความนาจะเปน นนคอ สมบตเกยวกบความนาจะเปน

1. ถา E เปนเหตการณใดใด แลว 0 P(E) 1

2. P(E) 0 กตอเมอ E

3. P(E) 1 กตอเมอ E S

และไดย ากบนกเรยนวาคาของความนาจะเปนจะอยระหวาง 0 P(E) 1

โดยถา P(E) 0 นนคอ โอกาสของความนาจะเปนจะเกดขน 0% และถา

P(E) 1 นนคอ โอกาสของความนาจะเปนจะเกดขน 100%

3. ครไดลองยกตวอยางในสถานการณจรงวาเพอใหนกเรยนไดเขาใจมากขน และใหนกเรยน

ชวยกนคดวาเหตการณอะไรบางทมโอกาสเกดขนทง 0% และ 100%

4. หลงจากนกเรยนไดทราบความหมายและการหาความนาจะเปนนนหาอยางไร ครจงลอง

ยกตวอยางเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจการหาความนาจะเปนได

ตวอยาง ในการโยนลกเตา 2 ลก 1 ครง

วธท า ในขนตอนเรมตนนน ตองหา n(s) = 6 6 = 36

1) ความนาจะเปนทลกเตาจะขนหนาเหมอนกนทง 2 ลก

จะไดวาเหตการณคอ ลกเตาจะขนหนาเหมอนกนทง 2 ลก นนคอ

E {(1,1),(2,2),(3,3),...,(6,6)} และ n(E) 6

2) ความนาจะเปนทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลก

จะไดวา เหตการณคอ ทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลก

และจากขอทแลวลกเตาทขนหนาเหมอนเทากบ 6 วธ และจ านวนทงหมดของหนาลกเตาคอ 36 วธ

ดงนนเหตการณทลกเตาจะขนหนาไมเหมอนกนทง 2 ลก คอ 36-6 = 30

ดงนน n(E) 30

5. ในตวอยางขนตนจะเปนตวอยางทไมซบซอน ในตวอยางทเหลอครจงใหนกเรยนไดลองฝก

เขยนแจกแจงปรภมตวอยางและการหาเหตการณเพอน าไปหาคาความนาจะเปน โดยครจะคอยก ากบ

ดแลแลวเฉลย

6. ครไดยกตวอยางเพมเตมในโจทยทซบซอนเพมมากขนเพอใหนกเรยนไดทบทวนเรอง กฎ

การนบเบองตน การเรยงสบเปลยนและการจดหม

ตวอยาง ครคนหนงตองการแจกขนม 3 ชนทแตกตางกนใหกบนกเรยนทม 6 คน จงหาความนาจะ

เปนทครจะแจกขนมใหนกเรยนทไมซ าคน

วธท า S คอ ครคนหนงตองการแจกขนม 3 ชนทแตกตางกนใหกบนกเรยนทม 6 คน

และปรภมตวอยาง นนคอ n(s) 6 6 6 = 216

E คอเหตการณทครจะแจกขนมใหนกเรยนทไมซ าคน

และ n(E) คอ 6 5 4 = 120

ดงนน n(E)P(E)

n(S) = 120

216 = 5

9

ตวอยาง มตวอกษร 3 ตวคอ P,A,T น ามาสลบทกนทง 3 ตว เพอใหเกดค าใหม(ไมจ าเปนตองม

ความหมาย)จงหาความนาจะเปนของเหตการณทจะได P เปนตวแรกของค า

วธท า S คอ น าตวอกษร 3 ตวคอ P,A,T น ามาสลบทกนทง 3 ตว คอ

S {PAT,PTA,TAP,TPA,ATP,APT} และปรภมตวอยาง นนคอ n(s) 3! 6

E คอเหตการณทจะได P เปนตวแรกของค า นนคอ E {PAT,PTA}

และ n(E) คอ 1 2 1 = 2


n(S) = 2

6 = 1

3

ตวอยาง จากเลขโดด 1,3,0 น ามาสรางจ านวนทม 2 หลก โดยใชเลขไมซ ากน จงหาความนาจะเปนทจะได

เลขค

วธท า S คอ เลขโดด 1,3,0 น ามาสรางจ านวนทม 2 หลก โดยใชเลขไมซ ากน

S {13,10,31,30} และปรภมตวอยาง นนคอ n(s) 4

E คอเหตการณสรางจ านวนทม 2 หลกทเปนเลขค นนคอ E {10,30}

และ n(E) = 2


n(S) = 2

4 = 1

2

ตวอยาง มนกเรยน 5 คนรวมโบและเบลดวย ยนแถวตรงหนาเสาธงแถวเดยว จงหาความนาจะเปนท

1) โบและเบลยนตดกน( 1E )

วธท า S คอ มนกเรยน 5 คนรวมโบและเบลดวยยนแถวตรงหนาเสาธงแถวเดยว

และปรภมตวอยาง นนคอ n(s) 5! 120

E คอเหตการณทโบและเบลยนตดกน( 1E ) นนคอ

โบ เบล O O O n(E) = 4! 2 = 48


n(S) = 48

120 = 1

2

2) โบและเบลยนอยหวแถวและทายแถว ( 2E )

ให E คอเหตการณทโบและเบลยนอยหวแถวและทายแถว( 2E )

นนคอ โบ O O O เบล n(E) = 3! 2! = 12 วธ


n(S) = 12

120 = 1

10

3) โบและแบลยนแยกกน ( 3E )

ให E คอเหตการณทโบและแบลยนแยกกน ( 3E )

นนคอ โบ O O O จะได 4!

และ น าเบลไปเลอกทหลง นนคอ สามารถวางเบลได 3 ท นนคอ 4! 3 = 72


n(S) = 72

120 = 3

5

7. ครใหตวอยางนกเรยนเพมเตมทใชการจดหมเปนการหาความนาจะเปน

ตวอยาง มจ านวนจรงบวก 4 จ านวน จ านวนจรงลบ 5 จ านวนโดยเลอกจ านวนออกมา 3 จ านวน จงหา

ความนาจะเปนของเหตการณ

1) ผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนบวก( 1E )

วธท า จากโจทยจะไดวา มจ านวนจรงบวก 4 จ านวน จ านวนจรงลบ 5

S คอ มจ านวนจรงลบและจ านวนจรงบวก 10 จ านวนโดยเลอกจ านวนออกมา 3 จ านวน

ดงนน ปรภมตวอยาง นนคอ 9

n(s)3

= 84

E คอเหตการณผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนบวก( 1E )

นนคอ กรณท 1 จ านวนจรงบวก x จ านวนจรงบวก x จ านวนจรงบวก

จะไดวา n(E) = 4

3

= 4 วธ

กรณท 2 จ านวนจรงบวก x จ านวนจรงลบ x จ านวนจรงลบ

จะไดวา n(E) = 4 5

1 2

= 40 วธ

ดงนน เหตการณทผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนบวก คอ 40 4 44


n(S) = 44

84 = 11

21

2) ผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนลบ( 2E )

E คอเหตการณผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนลบ( 2E )

นนคอ กรณท 1 จ านวนจรงลบ x จ านวนจรงบวก x จ านวนจรงบวก

จะไดวา n(E) = 4 5

2 1

= 30 วธ

กรณท 2 จ านวนจรงลบ x จ านวนจรงลบ x จ านวนจรงลบ

จะไดวา n(E) = 5

3

= 10 วธ

ดงนน เหตการณทผลคณของจ านวนทงสามเปนจ านวนบวก คอ 30 10 40


n(S) = 40

84 = 20

21

ตวอยาง ในการสมหยบไพ 1 ใบ จากส ารบหนง จงหา

วธท า S คอ ในการสมหยบไพ 1 ใบ จากส ารบหนง ซงไพ 1 ส ารบม 52 ใบ

ดงนน ปรภมตวอยาง นนคอ 52

n(s)1

= 52

1) ความนาจะเปนทจะไดไพแตม 5

E คอเหตการณทจะไดไพแตม 5 นนคอ E = { 5 โพด า, 5 โพแดง , 5 ดอกจก , 5 ขาวหลามตด }

จะไดวา n(E) = 4 วธ


n(S) = 4

52 = 1

13

2) ความนาจะเปนทจะไดไพสแดง

E คอเหตการณทจะไดไพแตม 5 นนคอ E = { ไพโพแดง 13 ใบ , ไพขาวหลามตด 13 ใบ}

จะไดวา n(E) = 13 13 = 26 วธ


n(S) = 26

52 = 1

2


ดวยตนเอง




12. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวยตนเอง

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ การทดลองสม














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………



หนวยการเรยนรท 1 ความนาจะเปน 2 เรอง สมบตของความนาจะเปน









แกปญหา



























ความหมายของความนาจะเปนและสมบตทส าคญของความนาจะเปน



ครทบทวนการหาแซมเปลเสปซและเหตการณและจ านวนของการหาแซมเปลเสปซและ

จ านวนของเหตการณ

ขนท 1 น าเขาสบทเรยน

1. ครถามนกเรยนเกยวกบเนอหาความรทเรยนมาเมอสปดาหทแลวนนวาไดเรยนอะไรมาแลวบาง ดงนนคร

จงเกรนถงความนาจะเปนวาคออะไร มความหมายอยางไร โดยในสปดาหนเราจะเรยนถงสมบตทส าคญของ

ความนาจะเปน โดยครไดใหสมบตความนาจะเปน ดงน

สมบตความนาจะเปน คอ ถา A และ B เปนเหตการณใดใดในการทดลองสม ซงมแซมเปลสเปซ (S) จะได

1. P(A) 0 ; A S

2. P(S) 1

3. P(A B) P(A) P(B) ถา A และ B เปนเหตการณทไมเกดขนรวมกนไมได

จากสมบตทงสามชอจะเหนวาความนาจะเปนของเหตการณใดใด มคาเปนบวกเสมอ โดยมคา0 P(A) 1

ซงถา P(A) 0 แสดงวา เหตการณนนไมมโอกาสเกดขนเลย แตถา P(A) 1 แสดงวาเหตการณนน

เกดขนไดแนนอน

2. โดยครบอกนกเรยนวา เรองนตองใชพนฐานทส าคญของการด าเนนการทางเซต ดงนนครจงจะท าการ

ทบทวนการด าเนนการของเซตและการวาดแผนภาพเวนนออยเลอร ดงน

กฎของความนาจะเปน

ให A และ B เปนเหตการณใดใดจากการทดลอง ซงมแซมเปลสเปซ(S) จะได

1. P( ) 0

2. P(A B ) P(A) P(A B)

3. P(A B) P(A) P(B) P(A B)

4. P(A ) 1 P(A)

5. P(A B) P(A) P(A B)

6. ถา B A จะได P(A) P(B)

7. ถา 1 2 3 nA ,A ,A ,...A เปนเหตการณทคใดใด เกดรวมกนไมได จะได

1 2 3 nP(A A A ... A ) = 1 2 3 nP(A ) P(A ) P(A ) ... P(A )

3. หลงจากนกเรยนไดทบทวนหลกการทางเซตไปแลวนน ครจงยกตวอยางเพอใหนกเรยนเขาใจมาก

ขน

ตวอยาง ถา A และ B เปนเหตการณทเกดรวมกนไมได และ P(A) 0.5 และ P(B) 0.4 จงหาคาของ

1) P(B )

วธท า จากโจทยทราบวา P(A) 0.5 และ P(B) 0.4

หา P(B ) จากสตรของความนาจะเปนคอ P(A ) 1 P(A)

จะไดวา P(B ) = 1 P(B)

= 1 0.4

= 0.6

2) P(A B)

จากสมบตของความนาจะเปนคอ P(A B) P(A) P(B) P(A B)

และเนองจากโจทยบอกวา A และ B เปนเหตการณทเกดรวมกนไมได ดงนน P(A B) 0

ดงนนจะไดวา P(A B) = P(A) P(B) P(A B)

= 0.5 0.4 0

= 0.9 3) P(A B )

จากสมบตของความนาจะเปนคอ P(A B ) P(A) P(A B)

จะไดวา P(A B ) = 0.5 0

= 0.5

4. ครใหนกเรยนท าตวอยางในเอกสารประกอบการเรยนดวยตนเอง เพอเปนการใหนกเรยนเขาใจหลกการ

พนฐานดวยตนเอง และเกดการเรยนรดวยตนเอง

5. เมอนกเรยนเขาใจหลกการพนฐานการใชสตรของความนาจะเปนและหลกการของเซตแลวนน ครจง

ยกตวอยางประกอบทซ าซอนมากขน โจทยทเปนโจทยปญหาเพอใหนกเรยนไดลองน าสตรและความเขาใจนน

มาปรบใชได

ตวอยางถาความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาคณตศาสตร และชววทยาเปน 0.6 และ 0.5 ตามล าดบ

ความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชาเทากบ 0.8 จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชา

วธท า ให P(A) แทน ความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาคณตศาสตร

และ ให P(B) แทน ความนาจะเปนทแฟรงคจะสอบผานวชาชววทยา

จากโจทยจะไดวา P(A) = 0.6 และ P(B) = 0.5

และ ความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชาเทากบ 0.8 นนคอ P(A B) 0.8

และโจทยตองการหา จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชา นนคอ P(A B)

ดงนน ให x แทนความนาจะเปนทจะสอบผานอยางนอย 1 วชา

สามารถวาดแผนภาพเวนนออยเลอรไดดงน

A B

0.6 x x 0.5 x

จากแผนภาพ จะไดวา P(A B) = 0.8

(0.6 x) x (0.5 x) = 0.8

1.1 x = 0.8

x = 0.3

หรอ ถาไมวาดแผนภาพ เราสามารถใชสตรในการหาไดเชนกน

P(A B) = P(A) P(B) P(A B)

0.8 = 0.6 0.5 x

x = 0.3

ดงนน จงหาความนาจะเปนทจะสอบผานทง 2 วชา คอ 0.3

ตวอยาง ผลการสอบวชาคณตศาสตรและเคมของนกเรยนกลมหนงพบวา 1

3 ของนกเรยนทงหมดสอบผานวชา

คณตศาสตร และ 8

15 ของนกเรยนทงหมดสอบผานวชาเคม ถาความนาจะเปนของนกเรยนกลมนทจะสอบ

ผานอยางมาก 1 วชา เทากบ 4

5 จงหาความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชา

วธท า ให P(A) แทน ความนาจะเปนทจะสอบผานวชาคณตศาสตร

และ ให P(B) แทน ความนาจะเปนทจะะสอบผานวชาเคม

จากโจทยจะไดวา P(A) = 1

3 และ P(B) = 8

15

และ ความนาจะเปนทจะสอบผานอยางมาก 1 วชาเทากบ 4

5

นนคอ สอบผานอยางมาก 1 วชา หมายถง ไมสามารถผานสองวชาได โดย ผานทงสองวชาคอ P(A B)

ดงนน สอบผานอยางมาก 1 วชา คอ P(A B) = 4

5

และโจทยตองการหา จงหาความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชานนคอ P(A B)

จากสมบตความนาจะเปน P(A B) = P(A) P(B) P(A B)

แตเนองจากตอนนยงไมทราบ P(A B) โดยเราสามารถหาไดจาก P(A B) = 4

5

จากสมบตจะไดวา P(A ) 1 P(A) ซงกคอ P(A B) 1 P(A B)

จะไดวา P(A B) = 1 P(A B)

4

5 = 1 P(A B)

ดงนน P(A B) = 41

5

= 1

5

เพราะฉะนน ความนาจะเปนทนกเรยนกลมนจะสอบผานอยางนอย 1 วชา คอ 1

5

6. หลงจากนกเรยนไดลองท าตวอยางไปมากขนแลวนน ตวอยางตอไปนจะปนตวอยางทซบซอนมากขน

โดยครใหนกเรยนลองท าดวยตนเองกอน และครจะท าการเฉลย

ตวอยาง ให A และ B แทนเหตการณในแซมเปลสเปซ (S) ถา P(A ) 0.6 ,P(B A ) 0.2 และ 'P(A B) 0.9 จงหา 'P(A B)

วธท า จากโจทยจะไดวา P(A ) 0.6 ,P(B A ) 0.2 และ 'P(A B) 0.9

และโจทยตองการหา 'P(A B)

ดงนนจากสตร 'P(A B) = 1 P(A B)

ขนแรก ตองท าการหา P(A B) กอนซงหาไดจาก P(A B) = P(A) P(B) P(A B) ขนทสอง หา P(A),P(B),P(A B)

หา P(A) จาก P(A ) = 1 P(A)

0.6 = 1 P(A)

ดงนน P(A) = 0.4

ตอมาหา 'P(A B) 0.9

จาก P(A ) = 1 P(A)

จะไดวา 0.9 = 1 P(A B)

ดงนน P(A B) = 0.1

ตอมาหา P(B) จาก P(B A ) 0.2

และจากสมบตของความนาจะเปนนนคอ P(A B ) P(A) P(A B)

จะไดวา P(B A ) = P(B) P(B A)

0.2 = P(B) 0.1

ดงนน P(B) = 0.3

จะไดวา P(A B) = P(A) P(B) P(A B)

= 0.4 0.3 0.1

= 0.6

เพราะฉะนน 'P(A B) = 1 P(A B)

= 1 0.6

'P(A B) = 0.4


ดวยตนเอง โดยครคอยก ากบและดแล




9. ครสงการบานนกเรยนเพมเตมเพอใหนกเรยนไดเขาใจดวยตนเอง

สอ/อปกรณ/แหลงการเรยนร 1. หนงสอเรยนรายวชาคณตศาสตรพนฐาน เลม 2 ชนมธยมศกษาปท 4-6 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2251 จดท าโดย สสวท. 2. เอกสารประกอบการเรยนคณตศาสตร 3 เรอง ความนาจะเปน 3. Workbook discovering mathematics เลม 5 จดท าโดย สถาบน PDCA Education





เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ สมบตของความนาจะเปน














………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………

ลงชอ ………………………………………………….. ผสอน





………………………………………………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………


Documents

จุดประสงค์การเรียนรู้elsd.ssru.ac.th/ketum_sa/pluginfile.php/859/course/summary/แผนการ... · แผนภาพต้นไม้