1 23201elsd.ssru.ac.th/nattaporn_sr/pluginfile.php/79/course/summary/แผนการ... · 1 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่

1

แผนการจดการเรยนรท 1 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง สมบตของ√ เมอ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ

ผลการเรยนรทคาดหวง

1. อธบายเกยวกบกรณฑทสองได จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได สาระส าคญ สมบตของ √ เมอ

1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใดๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสองแลวได

และถา รากทสองของ คอ 2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนสญลกษณ

√ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √ 3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √

4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ 5. เมอ และ แลว √ √ √

6. เมอ และ แลว √

√ √

สาระการเรยนร ดานความร

สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได คณลกษณะอนพงประสงค

1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน

2

สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครทบทวบความหมายของรากทสองและการใชเครองหมายกรณฑ โดยการถามตอบและยกตวอยางประกอบ เพอน านกเรยนเขาสบทเรยนเรอง สมบตของ √ เมอ ดงน

ตวอยางท 1

2 เปนรากทสองของ 4 เพราะ 22 4

2 เปนรากทสองของ 4 เพราะ 22 4

เปนรากทสองของ

เพราะ (

)


เพราะ (

)

กจกรรมพฒนาผเรยน

2. เมอนกเรยนเขาใจตวอยางท 1 แลว ครใหนกเรยนสงเกต

และ

ซงจะเหนวาจ านวนทงสอง


ครจงอธบายวา

ตวอยางท 2 รากทสองของ มสองรากคอ √ และ √ หรอ และ


และถา รากทสองของ คอ

2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนดวยสญลกษณ √ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √

3

รากทสองของ

มสองรากคอ √

และ √

หรอ

และ

รากทสองของ มสองรากคอ √ และ √ ซงทงสองรากน เปนจ านวนอตรรกยะ

ตวอยางท 3 (√ )

( √ )

(√

)

( √ )

3. ครอธบายโดยสรปวา เนองจาก เมอ เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ รากทสองของ คอจ านวนจรง ทยกก าลงสองแลวได และ √ และ √ ดงนน รากทสองของ คอ √

4. ครทบทวนความรเกยวกบ คาสมบรณของจ านวนจรง ดงน

ครยกตวอยางเพอตรวจสอบความเขาใจ ตวอยางท 4

| | เพราะ | | เพราะ

3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √

คาสมบรณของจ านวนจรง 1. | | เมอ 2. | | เมอ 3. | | เมอ

4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ

4

ตวอยางท 5 จงหาคาของ √ วธท า เนองจาก √ √ | |

ดงนน √

ตวอยางท 6 จงหาคาของ √ วธท า เนองจาก √ √ √

| |

ดงนน √ ตวอยางท 7 √ √

วธท า เนองจาก √ √ √

√

√

√

ดงนน √ √

ตวอยางท 8 √

√

เนองจาก √

√ √

√

√

ดงนน √

√

กจกรรมรวบยอด 5. คร และนกเรยนรวมกนสรปสมบตของ √ เมอ ดงน

5. √𝑎√𝑏 √𝑎𝑏 เมอ 𝑎 , 𝑏

6. √𝑎

√𝑏 √

𝑎

𝑏 เมอ 𝑎 , 𝑏

5

6. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.1 และ Exersice1 (Chapter 7) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและประเมนผล

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน

สาระส าคญ

สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได

- แบบฝกหด 1.1 - Exersice1 (Chapter 7)


ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ

คณลกษณะอนพงประสงค - ใฝเรยนร - มงมนในการท างาน

การเขาเรยน และการท างาน

- เขาเรยน - มสวนรวมในกจกรรมการเรยน

- เขาเรยนตรงเวลา - เมอครถาม นกเรยนมความกระตอรอรนในการตอบ

สมรรถนะ

- การแกปญหา - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย




สมบตของ √𝐚 เมอ 𝐚 𝟎 1. เมอ เปนจ านวนจรงบวกใด ๆ รากทสองของ คอ จ านวนจรงทยกก าลงสอง

แลวได และถา รากทสองของ คอ 2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซง

แทนสญลกษณ √ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √ 3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √

4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ 5. เมอ และ แลว √ √ √


√ √

6

แผนการจดการเรยนรท 2 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


แสดงการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถบวก ลบ คณ และหารจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองทก าหนดใหได


การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง

การบวก และการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ มสมบตดงน

สมบตการสลบทส าหรบการบวก

√ √ √ √

สมบตการเปลยนหมส าหรบการบวก

√ √ √ √ √ √

สมบตการสลบทส าหรบการคณ

√ √ √ √

สมบตการเปลยนหมส าหรบการคณ

√ √ √ √ √ √

สมบตการแจกแจง

√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )


สามารถบวก ลบ คณ และหารจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสองทก าหนดใหได

7

คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน

สมรรถนะส าคญ

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย

กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน 1. ครทบทวนเรอง สมบตของรากทสองของจ านวนจรงท เรยนในคาบทแลว โดยยกตวอยางเปน การทบทวน กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครอธบายใหนกเรยนฟงวา การด าเนนการของจ านวนจรงทอยในรปกรณฑทสอง เราจะใชสมบตของ √ เมอ และใชสมบตการสลบท การเปลยนหมและการแจกแจงมาชวยในการหาค าตอบได

√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )



√ √ √ √


√ √ √ √ √ √


√ √ √ √


√ √ √ √ √ √


8

𝑎√𝑥 𝑏√𝑥 𝑎 𝑏 √𝑥

𝑎√𝑥 𝑏√𝑥 𝑎 𝑏 √𝑥

3. ครอธบายหลกการบวกและการลบจ านวนจรงทอยในรปกรณฑทสอง ดงน การบวกและการลบ

***หลกการ*** ตองเปนกรณฑเดยวกน แลวน าสมประสทธมาบวกหรอลบกน

4. ครยกตวอยางโจทยการบวกจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 1-2 โดยในตวอยางท 2 ครเนนย าวาในกรณทหาคาเปนจ านวนจรงได ใหหาคาออกมาเสยกอนแลวน าจ านวนจรงทคณ √ มาบวกกน ตวอยางท 1 จงหาผลบวก √ √ วธท า เนองจาก √ √ √

√ ดงนน √ √ √

5. ครยกตวอยางโจทยการลบจ านวนจรงอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 3-4 ตวอยางท 2 จงหาผลลบ √ √ วธท า เนองจาก √ √ √ √

( √ ) √ √ √ √ √

ดงนน √ √ √ 6. ครยกตวอยางโจทยการหาผลบวกและผลลบของจ านวนจรงทอย ในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณา โดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 6-7 ตวอยางท 3 จงหาผลลพธ √ √ √ วธท า เนองจาก √ √ √

√ √ √ √ ( √ ) √ √ √ √ √ √

9

ดงนน √ √ √ √ 7. ครยกตวอยางโจทยการคณจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ โดยใชสมบตของการคณในการหาผลลพธใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท 8 ตวอยางท 4 จงหาผลคณ √ √

วธท า เนองจาก √ √ √ √

ดงนน √ √

8. ครยกตวอยางโจทยการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ ใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม-ตอบประกอบการอธบายตวอยางท5

ตวอยางท 5 จงหาผลลพธ √

√

วธท า เนองจาก √

√

√

√

√

√

√

√

√

√

ดงนน √

√

√

9. ครอธบายวาในการหาผลลพธของตวอยางท 6 นกเรยนจะตองใชสมบตการแจกแจงโดยแจกแจง √ เขาไปในวงเลบแลวจงหาค าตอบของตวอยางท 6 ตวอยางท 6 จงหาผลลพธ √ √ √ วธท า เนองจาก √ ( √ √ ) ( √ √ ) √ √

√ √

10

√

ดงนน √ √ √

ตวอยางท 7 จงหาคาของ √

√

วธท า เนองจาก √

√ √

√

√

√

√

√

√

√

ดงนน √

√

√

10. ครใหขอสงเกตวา การท าใหตวสวนทอยในรปกรณฑเปนจ านวนเตม ชวยใหการค านวณสะดวกขน เนองจากการหารจ านวนใด ๆ ดวยจ านวนเตมท าไดสะดวกกวาการหารดวยทศนยมทเปนคาประมาณของจ านวนทอยในรปกรณฑ กจกรรมรวบยอด

11. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.2 และ Exersice3 (Chapter 7) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า

สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook

การคณดวย √

√ เปนการคณดวย 1

จงไมท าใหคาของ

√ เปลยนไป

11

การวดและประเมนผล



สามารถใชสมบตของ √ เมอ ในการแกปญหาได

- แบบฝกหด 1.2 Exersice3 (Chapter 7)












12

แผนการจดการเรยนรท 3 หนวยการเรยนรท 1 กรณฑทสอง เรอง การน าไปใชวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


ใชความรเกยวกบกรณฑทสองในการแกปญหาในชวตประจ าวน

จดประสงคการเรยนร

1.นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบกรณฑทสองไปใชในการแกปญหาได

2. นกเรยนตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได


สมบตของ √ เมอ


และถา รากทสองของ คอ

2. เมอ เปนจ านวนจรงบวก รากทสองของ มสองราก คอ รากทสองทเปนบวกซงแทนสญลกษณ

√ และรากทสองทเปนลบ ซงแทนดวยสญลกษณ √

3. เมอ เปนจ านวนจรงบวก √ และ √

4. √ = | | เมอ เปนจ านวนจรงใด ๆ

5. เมอ และ แลว √ √ √


√ √

การด าเนนการของจ านวนจรงซงเกยวกบกรณฑทสอง

13



√ √ √ √


√ √ √ √ √ √


√ √ √ √


√ √ √ √ √ √


√ (√ √ ) (√ √ ) (√ √ )


1. สามารถน าความรเกยวกบกรณฑทสองไปใชในการแกปญหาได

2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได คณลกษณะอนพงประสงค


สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล

3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครและนกเรยนรวมกนสนทนาทบทวนความรเกยวกบสมบตของรากทสอง และการบวก การลบ การคณ และการหารจ านวนจรงทอยในรป √ เมอ

2. ครตงค าถามกระตนความคดของนกเรยนเกยวกบการน าความรเรองกรณฑทสองมาประยกตใชแกปญหา ดงน

14

นกเรยนคดวา นกเรยนสามารถน าความรเกยวกบเรองกรณฑทสองไปแกปญหาในเรองใดบาง (ตามประสบการณการเรยนรของนกเรยน) เพอน านกเรยนเขาสบทเรยนเรอง การน าไปใช กจกรรมพฒนาผเรยน

3. ครยกตวอยางการน าความรเรองกรณฑทสองไปใช ดงน ตวอยางท 1 บนไดอนหนงวางพาดขอบหนาตางพอด ระยะทางจากโคนบนไดถงตกเทากบ 20 เมตร และบนไดอยสงจากพน 12 เมตร จงหาวาบนไดยาวกเมตร ก าหนดให AB 12 เมตร BC 20 เมตร หา AC วธท า ให เปนรปสามเหลยมมมฉาก ม เปนมมฉาก จากทฤษฎบทของพทาโกรส AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 202 = 144 + 400

= 544 ดงนน AC = √ เนองจาก √ = √ = √ √

= 4√ ดงนน บนไดยาว 4√ เมตร ตวอยางท 2

กลองทรงลกบาศกใบหนงมแตละดานยาว 12 นว ดงรป จงหา AC ยาวเทาใด

12

12

12

A

D C

B

15

วธท า จากรป เปนรปสามเหลยมม เปนมมฉาก

เปนรปสามเหลยมม เปนมมฉาก และ นว เนองจาก BC2 = BD2 + DC2 = 122 + 122 = 144 + 144 = 288 เนองจาก AC2 = AB2 + BC2 = 122 + 288 = 144 + 288 = 432

ดงนน AC = √ เนองจาก √ = √ = √ √

= 12√ ดงนน AC ยาว 12√ นว ตวอยางท 3 ลานกฬากลางแจงรปวงกลมสองแหง ส าหรบผใหญและเดกมพนท 200 ตารางเมตร และ 50 ตารางเมตรตามล าดบ จงหาวารศมของลานกฬาส าหรบผใหญยาวกวาเดกกเมตร วธท า ก าหนดให รศมลานกฬาส าหรบผใหญเปน 1r เมตร รศมลานกฬาส าหรบเดกเปน 2r เมตร จะได พนทวงกลมลานกฬาส าหรบผใหญ 200 เมตร 2

1r 200 เมตร 2

1r 200 เมตร

1r 200 210 จะได พนทวงกลมลานกฬาส าหรบเดก 50 เมตร

16

2

2r 50 เมตร

2

2r 50 เมตร

2r 50 25

ดงนนรศมลานกฬาของผใหญยาวกวารศมลานกฬาของเดก 21 rr

25210 25 นนคอ รศมลานกฬาของผใหญยาวกวารศมลานกฬาของเดก 25 เมตร กจกรรมรวบยอด

6. ใหนกเรยนท าแบบฝกหด 1.3 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า

สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3

การวดและประเมนผล เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน

สาระส าคญ - สามารถน าความรเกยวกบกรณฑ

ทสองไปใชในการแกปญหาได

- ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได

แบบฝกหด 1.3 แบบฝกหด 1.3 ตรวจสอบความถกตอง และความเขาใจ








17

แผนการจดการเรยนรท 4 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


แยกตวประกอบของพหนามดกรสอง

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได


การแยกตวประกอบพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสอง สามารถแสดงไดดงน เมอ และ เปนพหนาม สาระการเรยนร ดานความร สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได


สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย

กจกรรมการเรยนร

18

กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครทบทวนเรอง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปผลตางกาลงสอง สามารถใชสตรการแยก ตวประกอบไดดงน เมอ และ เปนพหนาม

หรอ (พจนหนา)2 – (พจนหลง)2 = (พจนหนา – พจนหลง)(พจนหนา + พจนหลง) 2. ครยกตวอยาง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปผลตางกาลงสอง ดงน

3. ครทบทวน สมบตบางประการของจ านวนจรง ดงน เชน 5 = √ กจกรรมพฒนาผเรยน

3. ครเขยนตวอยางบนกระดานพรอมทงใหนกเรยนพจารณาตวอยางการแยกตวประกอบของ พหนามดกรสองทเปนผลตางก าลงสอง

ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของ

วธท า √ √

√ √


วธท า (√ ) (√ )


วธท า (√ )

√

√ เมอ

19

√ √

√ √ กจกรรมรวบยอด

4. คร และนกเรยนรวมกนสรป เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง ดงน

ในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ถาตวประกอบทไดเปนพหนามดกรหนงทมพจนหนาและพจนหลงเหมอนกน แตมเครองหมายระหวางพจนตางกน จะเรยกพหนามดกรสองทมลกษณะนวา พหนามดกรสองทเปนผลตางของก าลงสอง หรออาจกลาวไดวา ถาให แทนพจนหนา และ แทนพจนหลง สามารถสรปเปนสตรของการแยกตวประกอบของพหนามดกรสองในรปของผลตางก าลงสองไดดงน



20

การวดและการประเมน

เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน สาระส าคญ สามารถแยกตวประกอบของ พหนามดกรสองทเปนผลตางของกาลงสองได








สมรรถนะ - การใหเหตผล - ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย




21

แผนการจดการเรยนรท 5 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ สาระส าคญ

การแยกตวประกอบพหนามดกรสองทอยในรปก าลงสองสมบรณ สามารถแสดงไดดงน เมอ และ เปนพหนาม

สาระการเรยนร

ดานความร

สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน

สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา

2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย

กจกรรมการเรยนร

22

กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครทบทวนเรอง การแยกตวประกอบของพหนามทเปนก าลงสองสมบรณ สามารถใชสตรการแยกตวประกอบไดดงน

2. ครยกตวอยาง การแยกตวประกอบของพหนามทอยในรปก าลงสองสมบรณ ดงน

กจกรรมพฒนาผเรยน

3. ครยกตวอยาง ใหนกเรยนพจารณาดงน นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของ ไดดงน

เนองจาก ดงนนเมอตองการเขยน ใหมบางสวนเปนก าลงสองสมบรณ จะตองจดเปน จากนนเพมพจน เขาไป และเพอใหไดพจนเทาเดม กหกออกดวยพจน ดงน

]-

ดงนน แยกตวประกอบของ ไดดงน ]-

การแยกตวประกอบดวยวธขางตนนเรยกวา วธก าลงสองสมบรณ 4. ครอธบายวา การแยกตวประกอบโดยวธกาลงสองสมบรณ ใชแยกตวประกอบของพหนามดกรสองบางพหนามทไมสามารถแยกโดยวธปกตได ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ

23

วธท า

√

√ √

( √ ) √

ดงนน ( √ ) √ ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ

วธท า ( )

(

) (

) (

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

(√ )

( )

(√

)

( ( )

√

) ( ( )

√

)

( √

) (

√

)

ดงนน ( √

) (

√

)

5. ครอธบายวา ในการแยกตวประกอบของพหนาม เมอ ท า ไดโดยวธ ก าลงสองสมบรณ ส าหรบในกรณท และ เราสามารถใชวธนในการแยกตวประกอบของพหนามโดยใชสมบตการแจกแจงท าใหสมประสทธของ ใหเปน 1 กอน ดงตวอยาง ตอไปน

24


จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ

วธท า *

+

*( )

+

[ ( ) (

)

] ( )

[( )

]

[( )

(

)]

[( )

(

)]

[( )

(

)]

[( )

(

)

]

*( )

+ *( )

+

(

) (

)

( )

ดงนน

25

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของพหนาม โดยใชวธท าเปนกาลงสองสมบรณ

วธท า *

+

[ –

(

)

] (

)

[(

)

(

) ]

[(

)

(

)]

[(

)

( )

]

*(

) (

)+

–

– –

ดงนน – –

26

กจกรรมรวบยอด

6. คร และนกเรยนรวมกนสรป เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ในการแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง บางครงเราไมสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธการปกตได จงตองแยกตวประกอบโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ โดยการใหพจนท 1 และ 2 อยในรปก าลงสองสมบรณและน าครงหนงของสมประสทธของตวแปรยกก าลงหนงบวกเขาและลบออก และใชความสมพนธของสตรผลตางก าลงสองทวา

A2- B

2 = (A + B)(A - B)


สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook การวดและการประเมน



สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณได









- การแกปญหา - การใหเหตผล

- ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย




27

แผนการจดการเรยนรท 6 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม จดประสงคการเรยนร

นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตมได สาระส าคญ

การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม สามารถด าเนนการแยกตวประกอบพหนามไดโดยใชสตรผลตางก าลงสอง หรอผลตางและผลบวกก าลงสาม ดงน ผลตางก าลงสอง

A2 – B2 = (A – B)(A + B) ผลบวกก าลงสาม

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) ผลตางก าลงสาม

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) สาระการเรยนร

ดานความร

สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม


28



กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครทบทวน เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสอง ทเรยนมาแลวโดยการถาม-ตอบ กจกรรมพฒนาผเรยน

2. ใหนกเรยนพจารณาการหาผลคณของพหนามดงตอไปน

3. ครใหนกเรยนพจารณาผลทไดจากการหาผลคณของพหนามขางตน ดงน

4. ครอธบายวา

พหนามทอยในรป A3 + B3 เรยกวา ผลบวกของก าลงสาม เชน x3 + 53

พหนามทอยในรป A3 – B3 เรยกวา ผลตางของก าลงสาม เชน (2x)3 – 33

ซงจากการพจารณาขางตน สรปไดวาอยางไร จนไดขอสรปดงน

A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2)

A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

29

5. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดศกษาวธการแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสองโดยใชผลตางก าลงสาม และผลบวกก าลงสาม ดงน ตวอยางท 1 จงแยกตวประกอบ 27x3 + 1

วธท า 27x3 + 1 = (3x)3 + 13

= (3x + 1)[ (3x)2 – (3x)(1) + 12 ]

= (3x + 1)(9x2 – 3x + 1 )

ดงนน 27x3 + 1 = (3x + 1)(9x2 – 3x + 1 )

ตวอยางท 2 จงแยกตวประกอบ 8x3 – 125

วธท า 8x3 – 125 = (2x)3 – 53

= (2x – 5)[ (2x)2 + (2x)(5) + 52 ]

= (2x – 5)((2x)2 + 10x + 52 )

= (2x – 5)(4x2 + 10x + 25 )

ดงนน 8x3 – 125 = (2x – 5)(4x2 + 10x + 25 )

6. ครอธบายวา การแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสอง บางครงอาจท าไดโดยการจด พหนามนนใหอยในรปก าลงสองสมบรณ ผลตางของก าลงสอง ผลบวกของก าลงสาม หรอผลตางของก าลงสาม

7. ครยกตวอยางเพอใหนกเรยนไดศกษาวธการแยกตวประกอบของพหนามทมดกรสงกวาสอง ดงน ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบ 16x4 – 81

วธท า 16x4 – 81 = (4x2)2 – 92

= (4x2 + 9)( 4x2 – 9)

= (4x2 + 9) [ (2x)2 – 32 ]

= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)

ดงนน 16x4 – 81 = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x – 3)

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบ x4 + x2 +1 วธท า x4 + x2 +1 = [ (x2)2 + 2(x2)(1) + 12 ] – x2

30

= (x2 + 1)2 – x2 = [(x2 + 1) + x] [(x2 + 1) – x] = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1)

ดงนน x4 + x2 +1 = (x2 + x + 1) (x2 - x + 1) ตวอยางท 5 จงแยกตวประกอบ x6 – 64

วธท า x6 – 64 = (x3)2 – 82 = (x3 + 8) (x3 – 8) = [(x + 2)(x2 – 2x + 1)] [(x – 2)(x2 + 2x + 1)] = (x + 2)(x – 2)(x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1)

ดงนน x6 – 64 = = (x + 2)(x – 2)(x2 – x + 1)(x2 + 2x + 1) กจกรรมรวบยอด

8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.3 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า

สอการเรยนร 1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3

การวดและการประเมน เปาหมาย หลกฐาน เครองมอวด เกณฑการประเมน


สามารถแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม










31

แผนการจดการเรยนรท 7 หนวยการเรยนรท 2 การแยกตวประกอบของพหนาม เรอง การแยกตวประกอบของพหนามดกรสงกวาสองทมสมประสทธเปนจ านวนเตม วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


แยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอได

สาระส าคญ ทฤษฎบทเศษเหลอ

ถาหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลวจะไดเศษเหลอเปน P(c) ในกรณทหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลว P(c) = 0

กลาวคอ (x - c) จะเปนตวประกอบหนงของ P(x) สาระการเรยนร

ดานความร สามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใช

ทฤษฎบทเศษเหลอได คณลกษณะอนพงประสงค



32


กจกรรมการเรยนร กจกรรมน าเขาสบทเรยน

1. ครทบทวนเรอง การหารพหนาม โดยพจารณาจากการหารพหนาม ดวยพหนาม ดงน

พจารณาการหารสงเคราะห

จากการหารขางตน จะเหนวาเมอหารพหนาม ดวยพหนาม จะไดเศษเปน 6 ให เมอแทน x ดวย 2 จะได

กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครอธบายวา ในกรณทวไป เมอหารพหนาม ใดๆ ดวยพหนาม ท เปนคาคงตว จะไดเศษ ซงตอไปนจะเรยกวา เศษเหลอ ดงทฤษฎบทตอไปน 3. ครยกตวอยางการใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทไดจากการหาร ดวย ใหนกเรยนพจารณาโดยใชการถาม – ตอบ ประกอบการอธบายตวอยางท 1 โดยถามนกเรยนดงน ตวอยางท 1 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอทไดจากการหาร P(x) ดวย x – a ท a เปนคาคงตว

ทฤษฎเศษเหลอ ถาหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม x – a ท a เปนคาคงตว แลวจะไดเศษเหลอเปน P(a)

33

หารดวย

วธท า ให

จากทฤษฎบทเศษเหลอ เปนเศษเหลอทไดจากการหาร ดวย

ดงนน เศษเหลอเทากบ - พหนามทเปนตวตงคอพหนามใด ( แนวค าตอบ )

- พหนามทเปนตวหารคอพหนามใด ( แนวค าตอบ )

จากนนครจงอธบายการหาคา โดยใหนกเรยนเขยนพหนามทเปนตวหาร ใหเทากบ 0 แลวแกสมการหาคา x ดงน

ซงคา จะเทากบ ครอธบายตอวาใหนกเรยนน าคา ทไดไปแทนใน นนกคอ ต าแหนงใดเปนตวแปร x ใหนกเรยนแทนคาเปน แลวค านวณผลลพธออกมา ผลลพธทไดกจะคอ เศษเหลอ ซงเทากบ 9 4. ครยกตวอยางการใชทฤษฎบทเศษเหลอหาเศษทไดจากการหารนาม ดวย โดยใชการถาม – ตอบกบนกเรยนแลวรวมกนแสดงวธท าตวอยางท 2 โดยครเขยนขนตอนและวธท า บนกระดาน แลวเดนสงเกตและคอยใหค าปรกษากบนกเรยนในระหวางการแสดงวธท าตวอยางท 2 ตวอยางท 2 จงใชทฤษฎบทเศษเหลอทไดจากการหารพหนาม ดวย

วธท า ให

จากทฤษฎบทเศษเหลอ เปนเศษเหลอทไดจากการหาร ดวย

34

ดงนน เศษเหลอเทากบ จากตวอยางท 2 จะเหนวาเมอหาร ดวย จะไดเศษเหลอเปน 0 แสดงวา หาร ไดลงตว ดงนน จะไดวา เปนตวประกอบของ

5. ครอธบายวา ในกรณทหารพหนาม P(x) ดวยพหนาม (x – c) เมอ c เปนคาคงตว แลว P(c) = 0

กลาวคอ (x - c) จะเปนตวประกอบหนงของ P(x) 6. ครอธบายวา การแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบท

เศษเหลอ มขนตอนดงน 1) หาจ านวนเตมทงหมดทหารพจนทเปนคาคงตวของพหนาม P(x) ไดลงตว 2) จากจ านวนเตมทหาไดในขอท 1 เลอกจ านวนเตม c ทท าให P(c) = 0 จะไดวา x – c เปนตว

ประกอบของ P(x) 3) น า x – c ทไดในขอท 2 ไปหารพหนาม P(x) ไดผลหารเปนพหนามใหมทไมซ ากบพหนาม

P(x) จะใหผลหารนเปนพหนาม Q(x) ซงดกรของพหนาม Q(x) จะนอยกวาดกรของพหนาม P(x) อย 1 และ P(x) = (x – c) Q(x)

4) ถาพหนาม Q(x) ทไดในขอ 3 เปนพหนามทมดกรสงกวาสองและสามารถแยกตวประกอบตอไปไดอกกแยกตวประกอบของพหนาม Q(x) โดยใชวธตามขนตอนในขอ 1 ขอ 2 และขอ 3 หรอใชวธตามทไดเรยนมาในคาบกอนหนาน

7. ครยกตวอยางใหนกเรยนศกษาเกยวกบการแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ ดงน ตวอยางท 3 จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ วธท า ให

พจนทเปนคาคงตวของ คอ จ านวนเตมทหาร 12 ไดลงตว คอ 1, -1, 2, -2, 3, -3 ,4, -4, 6, -6, 12 และ -12 พจารณา

แสดงวา เปนตวประกอบของ น า ไปหาร ไดผลหารเปน

ดงนน

35

ตวอยางท 4 จงแยกตวประกอบของพหนามโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอ วธท า ให พจนทเปนคาคงตวของ คอ

จ านวนเตมทหาร 24 ไดลงตว คอ 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 8, -8, 12, -12, 24 และ -24

พจารณา

แสดงวา เปนตวประกอบของ น า ไปหาร ไดผลหารเปน

ดงนน

กจกรรมรวบยอด 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า สอการเรยนร

1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3

36




สามารถแยกตวประกอบของพหนามทมสมประสทธของแตละพจนเปนจ านวนเตมโดยใชทฤษฎบทเศษเหลอได

แบบฝกหด 2.4ก และ 2.4ข


ตรวจสอบความถกตอง และ

ความเขาใจ

คณลกษณะอนพงประสงค

- ใฝเรยนร

- มงมนในการท างาน

การเขาเรยน และ

การท างาน

- เขาเรยน

- มสวนรวมใน

กจกรรมการเรยน

- เขาเรยนตรงเวลา

- เมอครถาม นกเรยนมความ

กระตอรอรนในการตอบ


- การแกปญหา

- การใหเหตผล

- ความสามารถในการ

สอสาร การสอความหมาย





37

แผนการจดการเรยนรท 8 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง ทบทวนสมการก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยการแยกตวประกอบ

จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได สาระส าคญ สมการก าลงสองตวแปรเดยว

สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0

ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0


แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได

คณลกษณะอนพงประสงค 1. ใฝเรยนร 2. มงมนในการท างาน สมรรถนะส าคญ

38

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย

กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน

1. ครทบทวนเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว ดงน สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c

เปนคาคงตว และ a 0 2. ครยกตวอยางสมการ แลวใหนกเรยนพจารณาวาสมการทก าหนด เปนก าลงสองตวแปรเดยวหรอไม

ดงน x + 8 = 20 (ไมเปนสมการก าลงสอง) x2 – 5x + 9 = 0 (เปนสมการก าลงสอง) 500a + 90 = 0 (ไมเปนสมการก าลงสอง) x2 + 10x + 20 = 0 (เปนสมการก าลงสอง)

3. ครอธบายวา ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปน จ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0

4. ครอธบายวา การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวทนกเรยนทราบมาแลวนนเปนวธทค าตอบของสมการเปนจ านวนตรรกยะ ซงเปนพนฐานความรทจ าเปนตอการเรยนรในบทน โดยในบทนจะใชการแยกตวประกอบโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณและผลตางก าลงสอง เพอขยายความรวาค าตอบของสมการก าลงสองตวแปรเดยวสามารถเปนจ านวนทอยนรปกรณฑได กจกรรมพฒนาผเรยน 5. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว ทมค าตอบของสมการเปนจ านวนตรรกยะ ตวอยางท 1 จงแกสมการ x2 + 3x + 2 = 0 วธท า x2 + 3x + 2 = 0

(x + 1)(x + 2) = 0

ดงนน x + 1 = 0 หรอ x + 2 = 0 x = –1 หรอ x = –2


39

จงแกสมการ 3x2 – 7x + 2 = 0 วธท า 3x2 – 7x + 2 = 0

(3x – 1)(x – 2) = 0

ดงนน 3x – 1 = 0 หรอ x – 2 = 0

x =

หรอ x = 2

6. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ และผลตางก าลง

สอง ตวอยางท 3 จงแกสมการ 4x2 – 3 = 0 วธท า 4x2 – 3 = 0

(2x)2 – √ = 0

(2x + √ ) (2x – √ ) = 0 ดงนน 2x + √ = 0 หรอ 2x – √ = 0

x = –√

หรอ x =

√

ตวอยางท 4 จงแกสมการ

วธท า =

= =

=

=

√

=

√ √ =

( √ ) √ =

ดงนน √ = หรอ √ = = √ หรอ = √

40

กจกรรมรวบยอด 7. ครและนกเรยนรวมกนสรปวา สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน

ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกน

ของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0





แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยใชการแยกตวประกอบได














41

แผนการจดการเรยนรท 9 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง การแกสมการก าลงสองโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


แกสมการก าลงสองตวแปรเดยวในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ จดประสงคการเรยนร นกเรยนสามารถแกสมการก าลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดย

วธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร x = √


การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร

สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว

x = √

ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ √

ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ

ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

สาระการเรยนร ดานความร แกสมการก าลงสอง ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลง

สองสมบรณ หรอใชสตร x = √

42




1. คร และนกเรยนรวมกนหาค าตอบของสมการก าลงสอง โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ตวอยางท 1 จงแกสมการ x2 + 4x – 2 = 0

วธท า x2 + 4x – 2 = 0 [ x2 + 2(2)(x) + 22 ] – 22 – 2 = 0 ( x + 2 )2 – 4 – 2 = 0 ( x + 2 )2 – 6 = 0 ( x + 2 )2 – (√ )

= 0

[( x + 2 ) – √ ] [( x + 2 ) + √ ] = 0 ( x + 2 – √ ) ( x + 2 + √ ) = 0

ดงนน x + 2 – √ = 0 หรอ x + 2 + √ = 0 จะได x = – 2 + √ หรอ x = – 2 – √

2. ครใหนกเรยนระบวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ทก าหนดใหมคา a, b และ c เปนเทาใด x2 – 5x + 9 = 0 (a = 1, b = –5 และ c = 9)

x2 + 10x + 20 = 0 (a = 1, b = 10 และ c = 20) 3x2 + – 2 = 0 (a = 3, b = 0 และ c = –2)

4x2 – 5x = 0 (a = 4, b = –5 และ c = 0) x2 – 3x – 12 = 0 (a = 1, b = –3 และ c = –12)

3. ครอธบายวา ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวนน นอกจากหาไดโดยการแยกตวประกอบของ ax2

+ bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n

43

เปน จ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0 ยงมอกวธทสะดวกและรวดเรวกวา โดยวธการดงกลาวไดมาจากการแยกตวประกอบ ax2 + bx + c โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ กจกรรมพฒนาผเรยน

5. ครอธบายวา สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว

x = √

เรยก วา ดสครมแนนตของสมการ โดย



ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง 6. ครยกตวอยางการแกสมการก าลงสองตวแปรเดยว โดยใชสตร ดงน

ตวอยางท 1 จงแกสมการ 2x2 – 5x + 9 = 0 วธท า เนองจาก 2x2 – 5x + 9 = 0 มคา a = 2, b = –5 และ c = 9 พจารณา = (–5)2 – 4(2)(9) = 25 – 72 = –47 ซง –47 0 ดงนน สมการ x2 – 5x + 9 = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง ตวอยางท 2 จงแกสมการ x2 + 10x + 20 = 0 วธท า เนองจาก x2 + 10x + 20 = 0 มคา a = 1, b = 10 และ c = 20 พจารณา = 102 – 4(1)(20) = 100 – 80 = 20 ซง 20 0 ดงนน สมการ x2 + 10x + 20 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ

จาก x = √

แทนคา a = 1, b = 10, c = 20 และ = 20

จะได x = √

= √

44

= –5 √ ดงนน สมการ x2 + 10x + 20 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ คอ –5 √ และ –5 √ ตวอยางท 3 จงแกสมการ x2 – 10x + 25 = 0 วธท า เนองจาก x2 – 10x + 25 = 0 มคา a = 1, b = –10 และ c = 25 พจารณา = (–10)2 – 4(1)(25) = 100 – 100 = 0

ดงนน สมการ x2 – 10x + 25 = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ คอ

=

= 5

หรออาจแทนคา a = 1, b = –10, c = 25 และ = 0 ในสตร x = √

จะได x = √

=

= 5 ซงจะเห นวาไดคาของค าตอบเทากน กจกรรมรวบยอด

7. ครและนกเรยนรวมกนสรปวา 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 3.2 และ Exersice1 (Chapter 9) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมคร

เปนผใหค าแนะน า

สอการเรยนร

การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยการใชสตร สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปรมรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ

c เปนคาคงตว และ a 0 แลว

x = √

เรยก วา ดสครมแนนตของสมการ โดย

ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 2 ค าตอบ

คอ √

ถา = 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 มค าตอบทเปนจ านวนจรง 1 ค าตอบ

คอ

ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง

45

1. หนงสอเรยนสาระการเรยนรเพมเตมคณตศาสตร เลม 1 มธยมศกษาปท 3 2. Workbook



แก ส มกา รก า ล ง ส อ ง ใน ร ป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 โดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร

x = √














46

แผนการจดการเรยนรท 10 หนวยการเรยนรท 3 สมการก าลงสอง เรอง โจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ


1. แกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยว 2. ตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยวได

2. นกเรยนสามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได สาระส าคญ

สมการก าลงสองตวแปรเดยว

สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0

ในการหาค าตอบของสมการดงกลาวไดโดยแยกตวประกอบของ ax2 + bx + c ใหอยในรปของการคณกนของพหนามดกรหนงสองพหนาม แลวใชสมบตจ านวนจรงทกลาววา ถา m, n เปนจ านวนจรง และ mn = 0 แลว m = 0 หรอ n = 0 การแกสมการก าลงสองตวแปรเดยวโดยวธท าเปนก าลงสองสมบรณ หรอใชสตร

สมการก าลงสองตวแปรเดยวทม x เปนตวแปร มรปทวไปเปน ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b และ c เปนคาคงตว และ a 0 แลว

x = √


47


ถา 0 จะไดวา สมการ ax2 + bx + c = 0 ไมมค าตอบทเปนจ านวนจรง สาระการเรยนร

ดานความร 1. นกเรยนสามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสองตวแปรเดยวได 2. นกเรยนสามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได คณลกษณะอนพงประสงค




1. ครทบทวนเรองการแกสมการก าลงสองทใชวธตางๆ ในการหาค าตอบโดยการถาม - ตอบ กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครสนทนากบนกเรยนเกยวกบเรองของการแกสมการก าลงสองวาสามารถน าไปใช โดยครใชค าถามและใหขอแนะน าจนสรปไดวา การประยกตสมการก าลงสองสามารถน าไปใชในเรองการแกปญหา รปสามเหลยมมมฉากหรอหาพนทผวของพระมดฐานสเหลยมมมฉาก และสถานการณอน ๆ ได

3. ครยกตวอยางโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง ดงน ตวอยางท 1 รปสามเหลยมมมฉากมดานตรงขามมมฉากยาว 7 เซนตเมตร ดานประกอบมมฉากอกดานหนงยาว 4 เซนตเมตร จงหาความยาวของดานประกอบมมฉากอกดานหนง

48

วธท า พจารณา

ให ดานประกอบมมฉากของดานทเหลอยาว x เซนตเมตร โดยทฤษฎบทของพทาโกรส

จะได x2 = 72 – 42 x2 = 72 – 42 x2 = 49 – 16 x2 = 33 x2 – 33 = 0

x2 – √ 2 = 0

(x + √ )(x – √ ) = 0 ดงนน x = √

แตเนองจากความยาวของดานของรปสามเหลยมเปนบวก ดงนน ความยาวของดานประกอบมมฉากทเหลอยาว √ เซนตเมตร ตวอยางท 2 ทรงสเหลยมมมฉากซงมความยาวของดานยาวเปนสองเทาของความยาวของดานกวาง และความสงเทากบความยาวของดานกวางลบดวย 3 เซนตเมตร ทรงสเหลยมมมฉากมพนทผว 1,224 ตารางเซนตเมตร จงหาความกวางและความสงของทรงสเหลยมมมฉาก และตรวจสอบค าตอบ

วธท า ใหความกวางของทรงสเหลยมมมฉากเทากบ x เซนตเมตร ดงนน ความยาวของทรงสเหลยมมมฉากเทากบ 2x เซนตเมตร ความสงของทรงสเหลยมมมฉากเปน x - 3 เซนตเมตร จากสตร พนทผว = (พนทฐาน 2) + (ความยาวเสนรอบฐาน สง)

1,224 = [ x(2x)(2) ] + [ (x + x + 2x + 2x)(x – 3) ]

7 x

4

49

1,224 = 4x2 + 6x(x – 3) 1,224 = 4x2 + 6x2 – 18x

1,224 = 10x2 – 18x 612 = 5x2 – 9x 5x2 – 9x – 612 = 0 แยกตวประกอบไดดงน (5x + 51)(x – 12) = 0 ดงนน 5x + 51 = 0 หรอ x – 12 = 0

x = 515

หรอ x = 12

หรอหาคา x จากสตร x = √

เมอ a = 5, b = 9 และ c = 61

จะได x = 12 หรอ x =515

เชนกน

เนองจากความยาวของดานตางๆ ของทรงสเหลยมมมฉากมคามากกวาศนย ดงนน ทรงสเหลยมมมฉากมความกวาง 12 เซนตเมตร ความยาว 2(12) = 24 เซนตเมตร ความสง 12 – 3 = 9 เซนตเมตร ตรวจสอบค าตอบ พนทผว = (พนทฐาน 2) + (ความยาวเสนรอบฐาน สง) 1,224 = [ (12)(24)(2) ] + [ (12 + 12 + 24 + 24)(9) ] 1,224 = 576 + 648 1,224 = 1,224 ดงนน ค าตอบทไดถกตอง นนคอ ทรงสเหลยมมมฉากมความกวาง 12 เซนตเมตร ความยาว 24 เซนตเมตร และ ความสง 9 เซนตเมตร ตวอยางท 3 One number is the square of another. The sum is 132. Find the two numbers.

Solve Let x and y be the two numbers: Then y = x2 and x2 + x = 132

50

x2 + x = 132 x2 + x – 132 = 0

(x – 11) (x + 12) = 0 Hence, x = 11 or x = –12

If x = 11, then y = x2 = 121 and if x = –12, then y = x2 = 144

Therefore, we have two solutions, namely x = 11, y = 121 and x = –12, y = 144 ตวอยางท 4 The area of a rectangle is 560 square inches. The length is 3 inches more than twice the width. Find the length and the width.

Solve Let x and y the length and width of the rectangle, respectively Then, xy = 560 and x = 2y + 3. By substitution we obtain (2y + 3)y = 560 Hence, 2y2 + 3y – 560 = 0

2y2 + 3y – 560 = 0 (2y + 35) (y – 16) = 0 it follows that y = 16

Therefore, the length and the width of the rectangle are 35 (2(16) + 3) inches and 16 inches, respectively. กจกรรมรวบยอด





- สามารถแกโจทยปญหาเกยวกบสมการก าลงสอง ตวแปรเดยวได




51

- สามารถตระหนกถงความสมเหตสมผลของค าตอบทได











52

แผนการจดการเรยนรท 11 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง สมการของพาราโบลาวชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ

ผลการเรยนรทคาดหวง 1. บอกไดวาสมการทก าหนดใหเปน หรอไมเปนสมการของพาราโบลา

2. พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถบอกไดวาสมการทก าหนดใหเปนหรอไมเปนสมการของพาราโบลา

2. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 3. บอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 4. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 5. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 และ a 0 ได


สมการของพาราโบลา สมการ y = ax2 + bx + c เมอ x, y เปนตวแปร a, b, c เปนคาคงตว และ a 0 เรยกวา สมการของ

พาราโบลา พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0

สมการของพาราโบลา y = ax2 + bx + c เมอ a 0 เมอก าหนดให a 0 , b = 0 , c = 0 จะได y = ax2 เปนสมการของพาราโบลา ทม

จดยอดอยทจด (0, 0) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 0 หรอ แกน Y คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 0

ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย

53

กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า

สาระการเรยนร ดานความร 1. นกเรยนสามารถบอกไดวาสมการทก าหนดใหเปนหรอไมเปนสมการของพาราโบลา 2. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 3. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 4. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 เมอ a 0 ได 5. บอกความแตกตางของกราฟของสมการ y = ax2 เมอ a 0 และ a 0 ได


สมรรถนะส าคญ 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย กจกรรมการเรยนร กจกรรมเขาสบทเรยน

1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลา วาเมอสงเกตสงแวดลอมรอบตวเรา จะพบเหนสงกอสรางวสด หรออปกรณบางอยางทมสวนประกอบมลกษณะเปนเสนโคงทางเรขาคณต เชน สะพานแขวนทมสายเคเบลโยงดานบนระหวางเสาสะพานลกษณะเปนเสนโคงหงายขน เสนทางการเคลอนทของสายน าของน าพในชวงเวลาตาง ๆ กนมลกษณะเปนเสนโคงคว าดงรป

2. ครอธบายวา ในทางคณตศาสตร เรยกเสนโคงทมลกษณะดงกลาวนวา พาราโบลา

54

X 0

X 0

สมการทอยในรป เมอ และ เปนตวแปร , , เปนคาคงตว และ

3. ครใชค าถามเพอกระตนความคดนกเรยนวา กราฟเสนตรง เปนกราฟของสมการเชงเสนสองตวแปรทอยในรป y = ax + b แลวนกเรยนคดวา กราฟพาราโบลา เปนกราฟของสมการรปแบบใด กจกรรมพฒนาผเรยน

4. ครอธบายวา สมการ y = ax2 + bx + c เมอ x, y เปนตวแปร a, b, c เปนคาคงตว และ a 0 เรยกวา สมการของพาราโบลา 5. ครยกตวอยางสมการ พรอมใหนกเรยนระบวาสมการทก าหนดให สมการใดเปนสมการของพาราโบลา ดงน y = 2x2 + 5x + 1 เปนสมการของพาราโบลา y = x2 – 5x เปนสมการของพาราโบลา y = x – 8 ไมเปนสมการของพาราโบลา y = –4x 2 เปนสมการของพาราโบลา

6. ครใหนกเรยนพจารณาสมการตอไปน y = ax2 + bx + c เมอ a ≠ 0, b = 0 และ c = 0 วา จะมสมการใหมในรปแบบใด ซงจะไดวาสมการจดอยในรป y = ax2 7. ครอธบายการเขยนกราฟของสมการ y = 3x2 และ y = -3x2 โดยเรมจากการก าหนดคา x บางคา แลวใหนกเรยนชวยกนหาคา y และเขยนสรปลงในตาราง จากนนใหชวยกนลงจดและเขยนกราฟบนกระดาน ตวอยางท 1 จงเขยนกราฟของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = 3x2 วธท า ก าหนดคา x บางคา และหาคา y ไดดงน

พาราโบลาหงาย พาราโบลาคว า

55

เขยนกราฟไดดงน

ตวอยางท 2 จงเขยนกราฟของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = -3x2 วธท า ก าหนดคา x บางคา และหาคา y ไดดงน

เขยนกราฟไดดงน

56

3. ใหนกเรยนรวมกนพจารณาวากราฟทไดจากตวอยางท 1 และตวอยางท 2 วามลกษณะเปนอยางไร และไดขอสงเกตจากการเขยนกราฟวาอยางไร ซงจะไดวากราฟจะเปนพาราโบลาหงาย และในการเขยนกราฟเราจะตองมการก าหนดคาตวแปรกอน

4. ครและนกเรยนรวมกนอภปรายถงขอสรปทได ซงจะไดดงน จากสมการ y = 3x2 ซงมาจากสมการรปทวไปของพาราโบลาคอ y = ax2 เมอ a ≠ 0 ม a = 3 ซง

a มคามากกวาศนย จะไดกราฟเปนพาราโบลาหงาย และมจดต าสดอยท (0, 0) จากสมการ y = -3x2 มาจากสมการรปทวไปของพาราโบลาคอ y = ax2 เมอ a ≠ 0 ม a = -3 ซงมคานอยกวาศนย จะไดกราฟเปนพาราโบลาคว า และมจดสงสดอยท (0, 0) กจกรรมรวบยอด 7. ครใหนกเรยนรวมกนอภปรายเกยวกบกราฟของพาราโบลาทก าหนดให และไดขอสรปดงน

ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย และ กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า

| | ยงมคามาขน ความกวางของกราฟ y = ax2 จะนอยลง 8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.1,4.2 และ Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า


57




สมการของพาราโบลา

- แบบฝกหด 4.1,4.2

- Exersice1

(Chapter 10)


- Exersice1

(Chapter 10)

ตรวจสอบความถกตอง

และความเขาใจ










- เมอครถาม นกเรยนม

ความกระตอรอรนใน

การตอบ




- ความสามารถในการสอสาร

การสอความหมาย


- Exersice1

(Chapter 10)


- Exersice1

(Chapter 10)



58

แผนการจดการเรยนรท 12 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2+ k เมอ a 0วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ

ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได

2. นกเรยนสามารถบอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได

3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได สาระส าคญ พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0

สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k

ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า

สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ได

59


สมรรถนะส าคญ

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. ความสามารถในการสอสาร การสอความหมาย


1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลาทอยในรป y = ax2 เมอ a 0 วา y = ax2 เมอ a 0 เปนสมการของกราฟพาราโบลาทม

– จดยอดอยทจด (0, 0) – แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 0 หรอ แกน Y – คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 0

กจกรรมพฒนาผเรยน 2. ครถามนกเรยนวา จากตวอยางทผานมา หากไมวาดกราฟ นกเรยนสามารถบอกพกดของจดยอด แกน

สมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของสมการดงกลาวไดหรอไม 3. คร และนกเรยนรวมกนสรปวา สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a

0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k


4. ครยกตวอยาง การหาสวนประกอบตาง ๆของกราฟพาราโบลาทมสมการในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 ดงน ตวอยางท 1 จงหาจดยอด แกนสมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของพาราโบลาทมสมการ y = (x – 2)2+7

วธท า จาก y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม

60

จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k จะได y = (x – 2)2+7 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (2, 7) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 2 คาต าสดของ y คอ 7

ตวอยางท 2 จงหาจดยอด แกนสมมาตร และ คาต าสดหรอคาสงสดของพาราโบลาทมสมการ y = –3(x + 4)2 – 5 พรอมทงวาดกราฟของสมการดงกลาว

วธท า จาก y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k จะได y = –3(x + 4)2 – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทม จดยอดอยทจด (–4, –5) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = –4 คาสงสดของ y คอ –5

พจารณา x –6 –5 –4 –3 –2 y –17 –8 –5 –8 –17

61

น าขอมลจากตารางมาวาดกราฟไดดงน

ตวอยางท 3 จงหาสมการของพาราโบลาทมพกดของจดยอดเปน (1, –8) และพาราโบลานผานจดก าเนด วธท า จากโจทย (h, k) = (1, –8) นนคอ h = 1 และ k = –8 แทนคา h = 1 และ k = –8 ในสมการ y = a(x – h)2 + k จะได y = a(x – 1)2 – 8 เนองจากกราฟพาราโบลาผานจดก าเนดทมพกด (0,0) แทนคา x = 0 และ y = 0 ในสมการ y = a(x – 1)2 – 8 จะได 0 = a(0 – 1)2 – 8 ดงนน a = 8 นนคอ สมการของพาราโบลาทมจดยอดเปน (1, –8) และผานจดก าเนด คอ y = 8(x – 1)2 – 8

5. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน

y = –3(x + 4)2 – 5

(–4, –5)

(–3, –8)

(–5, –8)

(–2, –17)

(–6, –17)

62

สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม

จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k

ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า กจกรรมรวบยอด

6. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.4ข และ Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า




พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ

y = a(x – h)2+ k เมอ a 0

- แบบฝกหด 4.3

- Exersice1

(Chapter 10)


- Exersice1

(Chapter 10)









- มสวนรวมในกจกรรม

การเรยน


- เมอครถาม นกเรยนมความ

กระตอรอรนในการตอบ







- Exersice1

(Chapter 10)


- Exersice1

(Chapter 10)



63

แผนการจดการเรยนรท 13 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ

ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0

จดประสงคการเรยนร 1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได

2. นกเรยนสามารถบอกจดสงสดหรอจดต าสด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได

3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได สาระส าคญ

ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได


64



1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาเกยวกบพาราโบลาทอยในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทม

จดยอดอยทจด (h, k) แกนสมมาตรคอเสนตรง x = h คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ k


2. ครใชค าถามกระตนความคดนกเรยนวา นกเรยนมวธการใดในการหาพกดของจดยอดของพาราโบลาทมสมการเปน y = ax2 + bx + c เมอ a 0 กจกรรมพฒนาผเรยน

3. ครอธบายวา ในการเขยนกราฟหรอหาพกดของจดยอดของสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว เมอ a 0 นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

4. ครยกตวอยางการจดรปสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน ตวอยางท 1 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y

วธท า y

65

ดงนน y = 2x2 + 3x + 5 มกราฟเปนพาราโบลาหงาย มจดต าสดอยท ( , )

ตวอยางท 2 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y = 2x2 + 3x + 5

วธท า y = 2x2 + 3x + 5

y = 2 3 52 x x

2 2

= 2 2

2 3 3 3 52 x x

2 4 4 2

= 23 9 40

2 x4 16 16

= 23 31

2 x4 8

ดงนน y = 2x2 + 3x + 5 มกราฟเปนพาราโบลาหงาย มจดต าสดอยท 3 31,4 8

7. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ กจกรรมรวบยอด

8. ครใหนกเรยนท า Exersice1 (Chapter 10) เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า


66




y = ax2 + bx + c เมอ a 0

Exersice1

(Chapter 10)

Exersice1

(Chapter 10)














การตอบ







Exersice1

(Chapter 10)

Exersice1

(Chapter 10)



67

แผนการจดการเรยนรท 14 หนวยการเรยนรท 4 พาราโบลา เรอง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 วชา ค23201 คณตศาสตรเพมเตม 5 กลมสาระการเรยนร คณตศาสตร ชน มธยมศกษาปท 3 ภาคเรยนท 1 ปการศกษา 2562 เวลา 1 ชวโมง อาจารยประจ าวชา อาจารยณฎฐาภรณ ศรชนะ

ผลการเรยนรทคาดหวง พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0

จดประสงคการเรยนร

1. นกเรยนสามารถเขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. น ก เ ร ยนสามารถบอกจ ดส งส ดหร อจ ดต า ส ด และแกนสมมาตรของกราฟของสมการ

y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได

3. นกเรยนสามารถบอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได

สาระส าคญ พาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0

สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลาทม

จดยอดอยทจด 2b 4ac b

,2a 4a

แกนสมมาตรคอเสนตรง x = b2a

คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ


68

สาระการเรยนร ดานความร 1. เขยนกราฟพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 2. บอกจดสงสดหรอจดต าสดและแกนสมมาตรของกราฟของสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได 3. บอกคาสงสดหรอคาต าสดของ y จากสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a 0 ได




1. คร และนกเรยนรวมกนสนทนาวา ในการเขยนกราฟสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว นยมเขยนสมการ y = ax2 + bx + c ใหอยในรป y = a(x - h)2 + k โดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ

2. ครใชค าถามกระตนความคดนกเรยนวา จากตวอยางในคาบทผานมานกเรยนจะพบวาวธการจดรป

พาราโบลาทมสมการเปน y = ax2 + bx + c เมอ a 0โดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ นนคอนขางเสยเวลาและมโอกาสผดพลาดสง นกเรยนคดวาเราจะใชความรจากทไดเรยนมา ในการหาพกดของจดยอดของพาราโบลาโดยไมตองจดรปไดหรอไม กจกรรมพฒนาผเรยน

3. ครอธบายวา ในการเขยนกราฟหรอหาพกดของจดยอดของสมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c เมอ a , b และ c เปนคาคงตว เมอ a 0 สามารถหาไดโดยการจดรปโดยใชวธท าเปนก าลงสองสมบรณ ดงน

y = 2 b ca x x

a a

y = 2 2

2 b b c ba x x

a 2a a 2a

69

y = 2 2

2 2

b 4ac ba x

2a 4a 4a

y = 2 2b 4ac b

a x2a 4a

ซงจะเหนวาสมการดงกลาวอยในรป y = a(x – h)2 + k เมอ a 0

ดงนน y = 2 2b 4ac b

a x2a 4a

เปนสมการของพาราโบลา ทม


,2a 4a


คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย

กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า 4. ครยกตวอยางการหาสวนประกอบตาง ๆ ของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c ดงน

ตวอยางท 1 จงหาจดยอดของพาราโบลาทมสมการ y = 2x2 + x – 5

วธท า จาก y = ax2 + bx + c เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b

,2a 4a

พจารณา y = 2x2 + x – 5 มคา a = 2 , b = 1 และ c = –5 ดงนน y = 2x2 + x – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด

(

,

) = (

,

)

นนคอ y = 2x2 + x – 5 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด (

,

)

ตวอยางท 2 จงหาจดต าสดหรอจดสงสดของสมการ y = 4x2 – 25

วธท า จาก y = ax2 + bx + c เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b

,2a 4a

70

พจารณา y = 4x2 – 25 มคา a = 4 , b = 0 และ c = –25 ดงนน y = 4x2 – 25 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด

(

,

) = ( , )

นนคอ y = 4x2 – 25 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดต าสดอยทจด ( , )

ตวอยางท 3 จงหาสวนประกอบตาง ๆของพาราโบลาสมการ y = –x2 +10x – 24 พรอมทงวาดกราฟ

วธท า จาก y = 2 2b 4ac b

a x2a 4a

เปนสมการของพาราโบลา ทม


,2a 4a


คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ พจารณา y = –x2 +10x – 24 มคา a = –1 , b = 10 และ c = –24 ดงนน y = –x2 +10x – 24 เปนสมการของพาราโบลา ทม

จดยออยทจด (

– ,

(– )

– ) = ( , )

แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 5 คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 1 นนคอ y = –x2 +10x – 24 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยออยทจด ( , )

แกนสมมาตรคอเสนตรง x = 5 และคาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ 1 พจารณา

x 3 4 5 6 7 y –3 0 1 0 –3

71

น าขอมลจากตารางมาวาดกราฟไดดงน

7. ครใหนกเรยนรวมกนสรปดงน สมการของพาราโบลาทก าหนดดวยสมการ y = ax2 + bx + c

เมอ a 0 เปนสมการของพาราโบลา ทมจดยอดอยทจด 2b 4ac b

,2a 4a

แกนสมมาตรคอเสนตรง

x = b2a

และ คาสงสดหรอคาต าสดของ y คอ

ในกรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาหงาย กรณท a 0 กราฟของพาราโบลาจะเปนกราฟพาราโบลาคว า กจกรรมรวบยอด

8. ครใหนกเรยนท าแบบฝกหด 4.5 เพอตรวจสอบความเขาใจ โดยมครเปนผใหค าแนะน า


y = –x2 +10x – 24

(5,1) (6,0) (4,0)

(7, –3) (3, –3)

72




y = ax2 + bx + c เมอ a 0

แบบฝกหด 4.5 แบบฝกหด 4.5 ตรวจสอบความถกตอง













การตอบ






แบบฝกหด 4.5 แบบฝกหด 4.5 ตรวจสอบความถกตอง


Documents

1 23201elsd.ssru.ac.th/nattaporn_sr/pluginfile.php/79/course/summary/แผนการ... · 1 แผนการจัดการเรียนรู้ที่ 1 หน่วยการเรียนรู้ที่