ฟ ชังก นเชอนและการสิงซ งmaths.sci.ku.ac.th/suchai/417312/ch2.pdf2.1 ฟ งก ช อนงซ นเช 39 ส วนจร งและส

38 บทท 2 ฟงกชนเชงซอนและการสง

บทท 2

ฟงกชนเชงซอนและการสง

ในบทนเราจะศกษาฟงกชนจากเซตของจานวนเชงซอนไปยงเซตของจานวนเชงซอน

ซงจะไมเหมอนกบฟงกชนทเคยศกษามาในแคลคลสเบองตนโดยเฉพาะการเขยนกราฟของฟงกชน

ดงนนในบทนเราจะแนะนาเพอใหเกดความเขาใจของการสง โดยการใชกราฟเพอเปนตวแทนของ

ฟงกชนเชงซอน จากนนกจะศกษาลมตและความตอเนองของฟงกชนเชงซอน

2.1 ฟงกชนเชงซอน

จากความรของฟงกชนตวแปรจรง เรานยามฟงกชน f ของตวแปรจรง x ท )(xfy =

นนคอ x เปนตวแปรอสระ และ y เปนคาของฟงกชนทขนกบคา x หรอ y เปนตวแปรตาม

สาหรบนยามของฟงกชนของตวแปรเชงซอนกเชนเดยวกน เพยงแตแทนตวแปรอสระเปน

z ซงจะไดตวแปรตาม w โดยทสามารถเขยนไดเปน

)(zfw =

สญลกษณ z ใชแทนตวแปรเชงซอนใดๆโดยทเปนสมาชกในเซตของจานวนเชงซอน

บทนยาม 2.1 ฟงกชนเชงซอน

ให C เปนเซตของจานวนเชงซอน ฟงกชน f บนเซต C คอกฎเกณฑ ซงสาหรบแตละ z

ใน C ททาใหไดจานวนเชงซอน w โดยท )(zfw = และเรยก C วาเปนโดเมนของฟงกชน f

ตวอยาง 1 ฟงกชนเชงซอน

1. กาหนดให zizzf )2()( 2 +−=

เมอ iz = และ iz += 1 จะได

iiiiif 2))(2()( 2 −=+−=

และ iiiiif −−=++−+=+ 1)2)(2()1()1( 2

2. กาหนดให )Re(2)( zzzf +=

เมอ iz = และ iz 32 −= จะได

iiiif =+= )Re(2)(

และ iiiif 36)32Re(232)32( −=−+−=−

2.1 ฟงกชนเชงซอน 39

สวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชนเชงซอน

สาหรบ )(zfw = ทเปนฟงกชนเชงซอน ถา iyxz += เปนตวแปรเชงซอนขนอยกบตว

แปรจรง x และ y แลว w หรอ คาของฟงกชนยอมขนอยกบตวแปรจรง x และ y ดวย

ดงนน เราสามารถเขยน )(zfw = ใหอยในรป ivuw += ได นนกคอ

),(),()()( yxivyxuiyxfzfw +=+==

โดยท ),( yxu และ ),( yxv เปนคาทขนกบตวแปรจรง x และ y

ตวอยาง 2 จงเขยน )(zf ทกาหนดใหอยในรป ),(),( yxivyxu + เมอ

1. zizzf )2()( 2 +−=

วธทา zizzf )2()( 2 +−=

ให iyxz +=

))(2()()( 2 iyxiiyxzf ++−+=

iyxxyyxyx )22(222 −−++−−=

yxyxyxu +−−=∴ 2),( 22

yxxyyxv 22),( −−=

2. )Re(2)( zzzf +=

วธทา )Re(2)( zzzf +=

ให iyxz +=

)Re(2)()( iyxiyxzf +++=

iyx += 3

xyxu 3),( =∴

yyxv =),(

ฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอน

บทนยาม 2.2 ฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอน สามารถเขยนโดยสมการ ze ซงกาหนดโดย

yieyee xxz sincos += เมอ z เปนจานวนเชงซอนใดๆ

จากบทนยาม2.2 เราไดวาสวนจรงและสวนจนตภาพของฟงกชนเลขชกาลงของตวแปรเชงซอนคอ

yeyxu x cos),( = และ yeyxv x sin),( =


ตวอยาง 3 จงหาคาของฟงกชนเลขชกาลงในตวแปรเชงซอนในรป ze เมอกาหนด

1. 0=z 2. iz = 3. iz π+= 2

วธทา เนองจาก yieyee xxz sincos +=

ดงนน 1. 10sin0cos 000 =+= ieee

1sin1cos1sin1cos 00 iieeei +=+=

2222 sincos eieee i −=+=+ πππ

สมบตฟงกชนเลขชกาลง

สาหรบจานวนเชงซอน 1z และ 2z ใดๆ สมบตตอไปนเปนจรง

1. 10 =e

2. 2121 . zzzz eee +=

3. 21

2

1zz

z

z

eee −=

4. ( ) 11 nznz ee = เมอ ,...2,1,0 ±±=n

พกดเชงขว

สาหรบฟงกชนเชงซอน )(zf เราเขยนในรป ),(),()( yxivyxuzf += ได เพราะวา

iyxz += ดงนนถา z เขยนในรปเชงขวคอ θθ sincos irrz += แลวเราสามารถเขยน )(zf

ในรปทสวนจรงและสวนจนตภาพของ )(zf เปนฟงกชนคาจรงของตวแปร r และ θ ได นนคอ

),(),()( θθ rivruzf +=

เมอ ),( θru และ ),( θrv เปนฟงกชนคาจรงของตวแปรจรง r และ θ

ตวอยาง 4 จงเขยน )(zf ในรป ),(),( θθ rivru +

1. 13)( 23 ++= zzzf

วธทา ให θθ sincos irrz +=

1)sincos()sincos(3)( 23 ++++= θθθθ irrirrzf

)2sin3sin3()12cos3cos3( 2323 θθθθ rrirr ++++=

ดงนน =),( θru 12cos3cos3 23 ++ θθ rr

θθθ 2sin3sin3),( 23 rrrv +=

2.1 ฟงกชนเชงซอน 41

แบบฝกหด 2.1

1. จงหาคาของฟงกชน )(zf ทจด z ตอไปน

1.1 izzzf 2)( 2 −= (a) iz 2= (b) iz +=1 (c) iz 23−=

1.2 )(log)( ziArgzzf e += (a) iz = (b) iz −= 2 (c) iz 21+=

1.3 zizzzf +−= )Re(2)( 2 (a) 1=z (b) iz 4= (c) iz += 1

1.4 )3()()( 2 yxixxyzf ++−= (a) iz 43+= (b) iz −=1 (c) iz 23−=

1.5 zezf =)( (a) iz π−= 2 (b) iz4π

= (c) iz6

3 π+=

1.6 θ2cos)( irzf += (a) iz 2= (b) iz +=1 (c) iz −= 2

1.7 θθ 2cos2

sin)( irzf += (a) 2−=z (b) iz +=1 (c) iz 2−=

2. จงหาสวนจรงและสวนจนตภาพ ),( yxu และ ),( yxv ของฟงกชนเชงซอน f เมอ iyxz +=

2.1 ( ) izzf 956 +−= 2.2 ( ) izzzf −+−= 23

2.3 ( ) 623 +−= zzzf 2.4 22)( zzzf +=

2.5 izezf += 2)( 2.6 2

)( zezf =

3. จงหาสวนจรงและสวนจนตภาพ ),( θru และ ),( θrv ของฟงกชนเชงซอน f

เมอ )sin(cos θθ irz +=

3.1 zzf =)( 3.2 zzf =)(

3.3 4)( zzf = 3.4 yiyxzf −+= 22)(

2.2 การสงเชงซอน

ฟงกชนเชงซอนสามารถบอกไดวาเปนการสมนยระหวางจดสองจด บนระนาบเชงซอน

โดยจด z ในระนาบเชงซอน z จะสมนยกบจด )(zfw = เพยงจดเดยวในระนาบเชงซอน w เรา

อาจจะใช การสงเชงซอน แทน ฟงกชนเชงซอน กได

ความหมายเชงเรขาคณตของการสงเชงซอน )(zfw = ประกอบดวย รป สองรป

รปแรก คอ เซตของจดในเซต S ซงเปนเซตยอยในระนาบ z

รปทสอง คอ เซตของจดในเซต 'S ซงเปนภาพของจดใน S ภายใตการสง )(zfw = ซงเปนเซต

ยอยในระนาบ w


ถา จด 0z ในระนาบ z สมนยกบจด 0w ในระนาบ w นนคอ )( 00 zfw = แลวจะกลาว

วา f สง 0z ไปบน 0w หรอ 0z สงไปบน 0w โดย f

ตวอยาง 5 จงหาภาพ ของครงระนาบ 2)Re( ≥z ภายใตการสงเชงซอน izw =

วธทา ให S เปนเซตของจด z บนครงระนาบ 2)Re( ≥z ดงรป 2.1(a) พจารณาเสนขอบของ S

ซงมสมการ 2=x ดงนน ทกจดบนเสนขอบสามารถเขยนไดเปน iyz += 2 เมอ ∞<<∞− y

จงไดวาคา izzf =)( ทแตละจดขอบคอ )2()2( iyiiyfw +=+= = iy 2+− ซงเปน

จดทอยบนเสนตรง 2=v ในระนาบ w

นนคอสามารถสรปไดวา เสนตรง 2=x ในระนาบ z ภายใตการสง izw =

ถกสงไปเปนเสนตรง 2=v ในระนาบ w

ตอไปพจารณาจดอน ๆ ใน S

โดย สาหรบ Siyxz ∈+= จะไดวา 2≥x และ ∞<<∞− y

ภายใตการสง )( iyxiizw +== = ixy +−

ซงจะไดสวนจรง ),( yxu ในระนาบ w คอ y− ซง ∞<<∞− y

สวนจนตภาพ ),( yxv ในระนาบ w คอ x ซง 2≥x

สามารถสรปไดวา สาหรบ Siyxz ∈+= ท 2>x ภายใตการสง izw =

ถกสงไปยง ivuw += โดยท 2>v

ถา 'S เปนภาพของ S ภายใตการสง izw = แลว ทกจด 'Sw∈ จะสอดคลอง 2)Im( ≥w

แสดง ดงรป 2.1(b)

รป 2.1(a) รป 2.1(b)

รป 2.1 การสง izw =

2.2 การสงเชงซอน 43

ตวอยาง 6 จงหาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสง 2zw =

วธทา ให S คอเซตของจดทอยบนเสนตรง 1=x ดงรป 2.2(a)

ดงนน ถา Siyxz ∈+= แลว 1=x , ∞<<∞− y

ภายใตการสง 2zw = จะได 2)1( iyw += = yiy 21 2 +−

นนคอสาหรบ ivuw +=

จะได 21),( yyxu −= และ yyxv 2),( =

ทาใหไดความสมพนธระหวาง u และ v

คอ 2

21

−=

vu = 4

12v

− หรอ )1)(1(42 −−= uv

ซงเปนความสมพนธทมกราฟเปนรป พาราโบลา จดยอดท )0,1( ตดแกน v ท )2,0( ±

ดงรป 2.2(b)

นนคอ เสนตรง 1=x ในระนาบ z ภายใตการสง 2zw =

ถกสงไปยง พาราโบลา )1)(1(42 −−= uv ในระนาบ w

0.5 1 1.5 2x

-4

-2

2

4y

-3 -2 -1 1u

-4

-2

2

4v

รป 2.2 (a) เสนตรง 1=x รป 2.2 (b) ภาพของเสนตรง 1=x

รป 2.2 ภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสง 2zw =

บทนยาม 2.3 ถา )(tx และ )(ty เปนฟงกชนคาจรงบนตวแปรจรง t แลว

เซต }),()()({ btatiytxtzC ≤≤+== จะเรยกวา เสนโคงองตวแปรเสรม และ

ฟงกชนเชงซอน )()()( tiytxtz += ของตวแปรจรง t จะเรยกวาสมการองตวแปรเสรม ของ C

เสนโคงองตวแปรเสรมในระนาบเชงซอน ทเปน

เสนตรง ผานจด 0z และ 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน

tztztz 10 )1()( +−= , ∞<<∞− t

สวนของเสนตรงจาก 0z ถง 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน

tztztz 10 )1()( +−= , 10 ≤≤ t

รงส จาก 0z และผานจด 1z จะมสมการองตวแปรเสรมเปน

tztztz 10 )1()( +−= , ∞<≤ t0

วงกลมทมจดศนยกลางท 0z รศม r จะมสมการองตวแปรเสรมเปน

)sin(cos)( 0 titrztz ++= , π20 ≤≤ t

หรอ itreztz += 0)( , π20 ≤≤ t


ภาพของเสนโคงองตวแปรเสรมภายใตการสงเชงซอน

ถา )(zfw = เปนการสงเชงซอน และ C เปนเสนโคงทมสมการองตวแปรเสรม )(tz ,

bta ≤≤ แลว ))(()( tzftw = , bta ≤≤ คอ สมการองตวแปรเสรมของภาพ C คอ 'C ภายใต

การสง )(zfw =

ตวอยาง 7 จงหาภาพของสวนของเสนตรงจาก1 ถง i ภายใตการสงเชงซอน izw =

วธทา ให C เปนสวนของเสนตรงจาก1 ถง i

และ 'C เปนภาพของ C ภายใตการสงเชงซอน izw =

ดงนน C มสมการองตวแปรเสรมเปน itttz +−= 1)( , 10 ≤≤ t

และ 'C มสมการองตวแปรเสรมเปน

))(()( tzftw = = )1( itti +− = tti −−− )1( , 10 ≤≤ t

ซงเปนสวนของเสนตรงจาก i− ถง 1−

รป 2.3 ภาพของสวนของเสนตรงจาก1 ถง i ภายใตการสงเชงซอน izw =

ตวอยาง 8 จงหาภาพของสวนของครงวงกลมบนทมจดศนยกลางทจดกาเนดรศม 2 หนวย

ภายใตการสงเชงซอน 2zw =

วธทา ให C เปนสวนของครงวงกลมบนทมจดศนยกลางทจดกาเนดรศม 2 หนวย

และ 'C เปนภาพของ C ภายใตการสงเชงซอน 2zw =

ดงนน C มสมการองตวแปรเสรมเปน itetz 2)( = , π≤≤ t0

และ 'C มสมการองตวแปรเสรมเปน

))(()( tzftw = = ( )22 ite = tie 24 , π≤≤ t0

ถาให ts 2= แลว 'C สามารถเขยนเปนสมการองตวแปรเสรมใหมเปน

isesw 4)( = π20 ≤≤ s

ซงเปนสมการองตวแปรเสรมของวงกลมจดศนยกลางทจดกาเนด รศม 4 หนวย

รป 2.4 การสง 2zw =

2.2 การสงเชงซอน 45


ในขอ 1- 8 จงหาภาพของ S ภายใตการสงเชงซอน )(zfw = ทกาหนดให

1. zzf =)( , S เปนเสนตรง 3=y

2. zzf =)( , S เปนเสนตรง xy =

3. zzf 3)( = , S เปนครงระนาบ 2)Im( >z

4. zzf 3)( = , S เปนแผนเลกยาวอนนต 3)Re(2 <≤ z

5. zizf )1()( += , S เปนเสนตรง 2=x

6. zizf )1()( += , S เปนเสนตรง 12 += xy

7. 4)( += izzf , S เปนครงระนาบ 1)Im( ≤z

8. 4)( += izzf , S เปนแผนเลกยาวอนนต 2)Im(1 <<− z

ขอ 9.- 14 จงหาภาพของเสนตรงทกาหนดให ภายใตการสงเชงซอน 2zw =

9. 1=y 10. 3−=x

11. 0=x 12. 0=y

13. xy = 14. xy −=

ขอ 15.-20.

(a) จงวาดกราฟของเสนโคง C ทกาหนดในรปสมการองตวแปรเสรม )(tz

(b) จงหาสมมการองตวแปรเสรมของภาพ C คอ 'C ภายใตการสงเชงซอน )(zfw =

(c) จงวาดกราฟของเสนโคง 'C

15. itttz +−= )1(2)( , 10 ≤≤ t , zzf 3)( =

16. tititz )1()1()( ++−= , ∞<≤ t0 , zzf −=)(

17. itetz 21)( += , π20 ≤≤ t , izzf −+= 1)(

18. iteitz +=)( , π≤≤ t0 , 3)()( izzf −=

19. ttz =)( , 20 ≤≤ t , ziezf π=)(

20. itetz 4)( = , π≤≤ t0 , )Re()( zzf =


2.3 การสงเชงเสน

จากฟงกชนบนจานวนจรงในรปแบบ baxxf +=)( ท a และ b เปนคาคงตว เรยกวา

ฟงกชนเชงเสน ในการรกษาความคลายกนระหวางการ วเคราะหจานวนเชงซอนและจานวนจรงนน

เราจะนยามฟงกชนเชงเสนบนจานวนเชงซอนใหเปนฟงกชนในรปแบบ bazzf +=)(

ในหวขอน เราจะแสดงวาทกๆ การสงเชงเสนของจานวนเชงซอนทไมใชคาคงตว สามารถ

เขยนเปนฟงกชนประกอบของการสงพนฐานสามแบบคอ การเลอนขนาน การหมน และการขยาย

การเลอนขนาน

ฟงกชนเชงเสนของตวแปรเชงซอน bzzT +=)( , 0≠b (1)

เรยกวา การเลอนขนาน

ถาเราให iyxz += และ 00 iyxb += ใน (1)

เราจะได )(zT = )()( 00 iyxiyx +++ = )()( 00 yyixx +++

ดงนน ภาพของจด ),( yx ภายใต T คอจด ),( 00 yyxx ++ ซงจะเหนวาถาเราลงจด

),( yx และ ),( 00 yyxx ++ ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน ดงรป 2.5 ดงนน

เวกเตอรทมจดกาเนดท ),( yx และสนสดท ),( 00 yyxx ++ คอเวกเตอร ),( 00 yx เชนเดยวกน

ถาเราลงจด z และ )(zT ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน แลว เวคเตอรทมจดกาเนด

ท z และสนสดท )(zT คอเวกเตอร ),( 00 yx ดงนน การสงเชงเสน bzzT +=)( สามารถถก

จนตนาการใหเหนไดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนวาเปนกระบวนการของการ

แทนทจด z ดวยการสงขนานไปตามเวคเตอร ),( 00 yx ไปยงจด )(zT เนองจาก ),( 00 yx เปน

เวคเตอรของจานวนเชงซอน b ดงนน bzzT +=)( จะถกเรยกวา การเลอนขนานโดย b

รป 2.5 bzzT +=)(

2.3 การสงเชงเสน 47

ตวอยาง 9 จงหาภาพของสเหลยม S ทมจดยอดท i+1 , i+2 , i22 + และ i21+

ภายใตการสงเชงเสน izzT −+= 2)(

วธทา ให 'S เปนภาพของ S ภายใตการสง T เราจะเขยนกราฟ S และ 'S ในระนาบจานวนเชงซอน

เดยวกน

การสงT เปนการเลอนขนาน ดงนน 'S สามารถเขยนกราฟไดดงน

พจารณาคา b = )1(2 −+ i

เขยนเวกเตอร )1,2( − ทมจดเรมตนทแตละจดใน S ดรป 2.6

จะไดเซตของจดปลายของเวคเตอรเหลานซงกคอ 'S (ภาพของ S ภายใตการสง T )

สามารถตรวจสอบ 'S วาเปนสเหลยมทมจดยอดท

)1( iT + = )2()1( ii −++ = 3 , )2( iT + = )2()2( ii −++ = 4

)22( iT + = )2()22( ii −++ = i+4 )21( iT + = )2()21( ii −++ = i+3

รป 2.6 ภาพของสเหลยมภายใตการเลอนขนาน

จากรป 2.6 แสดงกราฟ S และ 'S ในระนาบจานวนเชงซอนเดยวกนโดยสเหลยม 'S คอจด

ปลายทเกดจากการเขยนเวกเตอร )1,2( − โดยมจดเรมตนทจดบนสเหลยม S

ในเชงเรขาคณตจะเหนไดวาการเลอนขนาน ไมไดทาใหลกษณะรปทรงและขนาดของภาพเดม

เปลยนไป

การหมน (Rotations)

ฟงกชนเชงเสนของตวแปรเชงซอน zazR )( = , 1|| =a (2)

จะเรยกวา การหมน

ขอกาหนด 1|| =a เปนขอกาหนดทสาคญมากใน (2) แตอยางไรกตาม

ถา α เปนจานวนเชงซอนใดๆทไมใชศนยแลว ||α

α=a เปนจานวนเชงซอนทซง 1|| =a

ดงนน สาหรบจานวนเชงซอนα ใดๆทไมใชศนย เราไดวา zzR||

)(αα

= คอการหมน

พจารณาการหมน R ใน (2) โดยสมมต 0)( >aArg


เนองจาก 1|| =a และ 0)( >aArg เราสามารถเขยน a ไดเปน θiea = เมอ πθ <<0 .

ดงนนสาหรบ φirez =

จะไดวา φθ ii reezR =)( = )( φθ +ire (3)

จาก (3) เราจะเหนวา มอดลสของ )(zR คอ r ซงเหมอนกบ มอดลส ของ z ดงนน ถา z

และ )(zR ลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน จะไดวาทงสองจดจะอยบนวงกลม

เดยวกนทมจดศนยกลาง 0 และรศม r ดรป 2.7 สงเกตจาก (3) ดวยวา ))(arg( zR คอ φθ +

และ φ=)arg(z ดงนนการสงเชงเสน azzR =)( สามารถมองในระนาบเดยวกนของระนาบ

จานวนเชงซอนไดเปนกระบวนการของการหมนจด z ทวนเขมนาฬกาดวยมม θ เรเดยน โดยม

จดกาเนดเปนจดศนยกลางจะไดจด )(zR ดรป 2.7

ในทางคลายๆกน ถา 0)( <aArg แลว การสงเชงเสน azzR =)( สามารถมองในระนาบ

เดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนไดเปนกระบวนการของการหมนจด z ตามเขมนาฬกาดวยมม

θ เรเดยน โดยมจดกาเนดเปนจดศนยกลางจะไดจด )(zR

สาหรบ มม )(aArg=θ ถกเรยกวามมของการหมนของ R

รป 2.7 การหมน

ตวอยาง 10 หาภาพของแกนจรง 0=y ภายใตการสงเชงเสน zizR

+=

22

22)(

วธทา ให C คอกราฟของแกนจรง 0=y และให 'C คอกราฟของภาพ C ภายใตการสง R .

เนองจาก 122

22

=+ i

ดงนนการสงของจานวนเชงซอน )(zR เปนการหมน

และจาก 42

222 π

=

+ iArg

ถาจด z และจด )(zR ลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอนแลวจด z จะถก

หมนทวนเขมนาฬกาดวยมม 4π

เรเดยน โดยมจดกาเนดเปนจดศนยกลางไปยงจด )(zR


ดงนน กราฟ 'C จะเปนเสนตรง uv = ซงผานจดกาเนด และทามม 4π

เรเดยน กบแกนจรง

ดงรป 2.8

รป 2.8 ภาพของเสนตรงภายใตการหมน

การเลอนขนานและการหมนนนไมทาใหขนาดและรปรางของภาพในรปแบบเชงซอน

เปลยนไป ดงนน ภาพของ เสนตรง วงกลม หรอ สามเหลยมทผานการเลอนขนาน หรอ การหมน

กจะเปน เสนตรง วงกลม หรอ สามเหลยม ดวยตามลาดบ

การเปลยนขนาด

รปแบบสดทายของฟงชนเชงเสนแบบพเศษทจะพจารณาคอ การเปลยนขนาด

ฟงชนเชงเสนของจานวนเชงซอน รปแบบ

zazM )( = , 0>a (4)

จะเรยกวา การเปลยนขนาด

จาก 0>a แสดงวา a คอจานวนจรง

ดงนนถา iyxz += , จะไดวา )(zM = az = iayax + และภาพของจด ),( yx คอจด ),( ayax

และโดยการใชรปแบบชกาลงของ θirez = สมการ (4) คอ θθ ii earreazM )()()( == . (5)

รป 2.9 การเปลยนขนาด

ผลคณ ar ใน (5) คอจานวนจรง (จาก a และ r เปนจานวนจรง )

มอดลส ของ )(zM คอ ar

สมมตวา 1>a จะไดวาจดของจานวนเชงซอน z และ )(zM มอารกวเมนตเดยวกนคอ θ

แต มอดลส ตางกนคอ arr ≠


ถาลงจดทง z และ )(zM ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน แลว )(zM เปน

จดทอยบนรงสทออกมาจาก 0 และ z ซงระยะหางจาก 0 ถง )(zM คอ ar

เนองจาก 1>a , )(zM อยหางจากจดกาเนดมากกวา z , a เทา

ดงนนการสงเชงเสน azzM =)( สามารถลงจดในระนาบเดยวกนของระนาบจานวน

เชงซอนจะไดวาจด )(zM จะเปนจดทไดจากการขยายคาสมบรณของจด z ไปเปน a เทา

จานวนจรง a ถกเรยกวาตวประกอบการเปลยนขนาดของ M

ถา 10 << a แลวจด )(zM อยใกลจดกาเนดมากกวาจด z กรณของการเปลยนขนาดน

เรยกวา การหด

ตวอยาง 11 หาภาพของวงกลม C : 2|| =z ภายใตการสงเชงเสน zzM 3)( =

วธทา ให 'C คอภาพของ C ภายใตการสง M

เนองจาก M เปนการเปลยนขนาดโดย ตวประกอบการเปลยนขนาดคอ 3

ดงนนแตละจดบนวงกลม 2|| =z จะถกสงไปบนจดทถกเปลยนขนาด 3 เทา ในทศทางท

พงออกจาก 0 และ z จงทาใหแตละจดในภาพจะม มอดลส 623 =⋅ นนคอ กราฟ 'C เปน

วงกลม 6|| =w ซงมจดศนยกลางทจดกาเนดและมรศม 6

รป 2.10 ภาพของวงกลมการสงเชงเสน zzM 3)( =

การสงเชงเสน

ตอนนจะแสดงวาการสงเชงเสน bazzf +=)( เปนสวนประกอบของการเลอนขนาน

การหมน และการเปลยนขนาด จากททราบมาแลววา ถา f และ g เปนฟงกชนสองฟงกชน แลว

ฟงกชนประกอบของ f และ g คอฟงชน fog นยามโดย ))(( zfog = ))(( zgf โดยคา

ของ ))(( zfogw = กาหนดโดย เรมแรก หาฟงกชน g ท z จากนนหาคาฟงกชน f ท )(zg

ในทานองเดยวกน ภาพ ''S ของเซต S ภายใตฟงกชนประกอบ ))(( zfogw =

กาหนดโดย เรมแรก หาภาพ 'S ของ S ภายใต g และจากนนหาภาพ ''S ของ 'S ภายใต f

กาหนดให bazzf +=)( เปนฟงชนเชงเสนของจานวนเชงซอน

เราสมมตวา 0≠a เพราะถา 0=a จะไดวา bzf =)( จะเปนฟงกชนคงตว

ดงนนสามารถเขยนฟงกชน f อยในรปแบบ


bazzf +=)( = bzaaa +

||

|| (6)

ตอไปจะพจารณาหาภาพของจด 0z ภายใตการสง bazzf +=)(

ขนตอนแรก 0z ถกคณดวยจานวนเชงซอน || a

a เนองจาก 1

||||

||==

aa

aa

การสงเชงซอน zaaw

||= เปนการหมนซงการหมนจด 0z ดวยมม )

||(

aaArg=θ เรเดยน รอบ

จดกาเนด มมของการหมนสามารถเขยนเปน )(aArg=θ เนองจาก||

1a

เปนจานวนจรง

ให 1z เปนภาพของ 0z ภายใตการหมนโดย )(aArg

ขนตอนสอง คอการคณ 1z ดวย || a เพราะวา 0|| >a เปนจานวนจรง

การสงเชงซอน zaw ||= เปนการเปลยนขนาดดวยตวประกอบการเปลยนขนาด || a

ให 2z เปนภาพของ 1z ภายใตการเปลยนขนาดโดย || a

ขนตอนสดทาย คอการบวก b เขากบ 2z

การสงเชงซอน bzw += เปนการเลอนขนาน 2z ดวย b ไปเปนจด )( 00 zfw =

สรปภาพของจดภายใตการสงเชงเสน

ให bazzf +=)( เปนการสงเชงเสน เมอ 0≠a และให 0z เปนจดในระนาบจานวน

เชงซอน

ถาจด )( 00 zfw = ลงจดในระนาบเชงซอนเดยวกนกบจด 0z แลวจด 0w หาไดโดย

(i) การหมน 0z ดวยมม )(aArg รอบจดกาเนด

(ii) การเปลยนขนาดผลลพธ (i)โดย || a และ

(iii) การเลอนขนานผลลพธ (ii) โดย b

จากการบรรยายภาพของจด 0z ภายใตการสงเชงเสนกเปนการบรรยายภาพของ เซตใด ๆ

ของจด S โดยเฉพาะอยางยงกราฟ 'S ซงคอภาพของเซต S ภายใตการสง bazzf +=)(

ซงเปนเซตของจดทไดจากการหมน S เปนมม )(aArg เรเดยน รอบจดกาเนด จากนนเปลยน

ขนาดโดย || a และจากนนเลอนขนานโดย b

ตวอยาง 12 หาภาพของสเหลยมผนผาทมจดยอด i+−1 , i+1 , i21+ และ i21+−

ภายใตการสงเชงเสน iizzf 324)( ++=

วธทา ให S เปนสเหลยมผนผาทมจดยอดตามทใหมา และให 'S เปนภาพของ S ภายใต f

เราจะลงจด S และ 'S ในระนาบเดยวกนของระนาบจานวนเชงซอน จาก f เปนการสง

เชงเสน, จะไดวา 'S มรปรางเหมอนกนกบ S นนกคอ 'S เปนสเหลยมผนผาเชนกน ซงจดยอด

ของ 'S คอ


iiiiif −−=+++−=+− 232)1(4)1(

iiiiif 7232)1(4)1( +−=+++=+ iiiiif 7632)21(4)21( +−=+++=+

iiiiif −−=+++−=+− 632)21(4)21(

ดงนน 'S เปนสเหลยมผนผาทมจดยอด i−− 2 , i72 +− , i76 +− และ i−− 6

รป 2.11 การสงเชงเสนของสเหลยม

การสงเชงเสน iizzf 324)( ++= ในตวอยางสามารถอธบายในเชงเรขาคณตไดดงน

1. เรมจากการเขยนกราฟ S

2. หมนกราฟ S เปนมมขนาด 2

)( π=iArg เรเดยน รอบจดกาเนด ได 1S

3. ขยายขนาด 1S เปนขนาด 4 เทา ได 2S

4. เลอนขนาน 2S โดย i32 + (เลอนไปทางขวา 2 หนวย แลว เลอนขนขางบน 3 หนวย ) กจะได

'S ซงเปนภาพของ S

ตวอยาง 13 หาฟงกชนเชงเสนของจานวนเชงซอนซงสงสามเหลยมดานเทาทมจดยอด

i+1 , i+2 และ i)231(

23

++ ไปยงสามเหลยมดานเทาทมจดยอด i , i23 + และ i3

วธทา ให 1S คอสามเหลยมทมจดยอด i+1 , i+2 และ i)231(

23

++ ทแสดงในรป 2.12(a),

และให 'S แสดงถงสามเหลยมทมจดยอด i , i23 + และ i3 ทแสดงในรป 2.12(d).

มหลายวธทจะหาการสงเชงเสนจาก 1S ไปบน S

หนงในนนไดแก

1. เลอนขนาน 1S โดยใหมหนงในจดยอดนนเลอนมาอยทจดกาเนดในทนเลอกจดยอด i+1 สงไป

ท จดกาเนด โดยการเลอนขนาน )1()(1 izzT +−= ไดภาพ 1S ภายใต 1T สมมตคอ 2S


2. ให 2S เปนภาพของ 1S ภายใต 1T ดงนน 2S เปนสามเหลยมทมจดยอด 0 , 1 และ

i23

21+ ดงในรป 2.12(a).

3. จากรปภาพ 2.12(a) เราจะเหนวามมระหวางแกนจนตภาพและดานของ 2S มจดยอดท 0

และ i23

21+ คอ

6π

ดงนน การหมนดวยมม 6π

เรเดยน ทวนเขมนาฬการอบจดกาเนด จะ

เปนการสง 2S ไปยงสามเหลยมทมจดยอดสองจดบนแกนจนตภาพ การหมนนคอ

zezRi

6)(π

= = zi

+

223

และภาพของ 2S ภายใตการสง R เปนสามเหลยม 3S ทมจด

ยอดท 0 , i21

23+ และ i แสดงในรปภาพ 2.12(b) ซงสามารถตรวจสอบวา แตละดานของ

สามเหลยม 3S มความยาว 1

4. เพราะวาแตละดานของสามเหลยมทตองการ 'S มความยาว 2 ตอไปเราเปลยนขนาด 3S โดย

ตวประกอบเปลยนขนด 2 ซงการเปลยนขนาดนคอ zzM 2)( = จงไดวา 3S ถกสงโดย M

ไปยง 4S ทแสดงในรป 2.12(c) มจดยอด 0 , i+3 และ i2

5. สดทาย เราเลอนขนาน 4S โดย i จากการสง izzT +=)(2 การเลอนขนานนสง

สามเหลยม 4S ไปยง 'S ตามตองการ ดงในรป 2.12(d).

รป 2.12 (a) รป 2.12 (b)

รป 2.12 (c) รป 2.12 (d)

รป 2.12 การสงเชงเสนของสามเหลยม

ดงนน การสงเชงเสนทตองการคอ

))(()( 12 zTRMTzf = = izi 331)3( +−++

จะสง สามเหลยม 1S ไปสามเหลยม 'S



ขอ 1-6 จงหาภาพของแผนวงกลมปด 1|| ≤z ภายใตการสง )(zfw = พรอมอธบายในเชง

เรขาคณตทละขนตอนดวย

1. izzf 3)( += 2. izzf −+= 2)(

3. izzf 3)( = 4. zizf )1()( +=

5. izzf −= 2)( 6. izizf 31)56()( −+−=

ขอ 7-12 จงหาภาพของสามเหลยมซงมจดยอดทจด 0 , 1 และ i ภายใตการสง )(zfw = พรอม

อธบายในเชงเรขาคณตทละขนตอนดวย

7. izzf 2)( += 8. zzf 3)( =

9. zezfi4)(π

= 10. izzf21)( =

11. izzf +−= 3)( 12. 2)1()( −−= zizf

ขอ 13-16 จงเขยนการสงเชงเสน )(zfw = ในรปการสงประกอบของ การเลอนขนาน การหมน

การขยาย

13. 43)( += izzf 14. )5

sin5

(cos5)( ππ izf +=

15. izzf 3121)( −+−= 16. 12)23()( +−= zizf

ขอ 17-20 จงหาการสงเชงเสน ทสง เซต S ไปยง 'S

17. S เปนสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1 และ i+1

'S เปนสามเหลยมทมจดยอดทจด i2 , i3 และ i31+−

18. S เปนวงกลม 3|1| =−z 'S เปนวงกลม 5|| =+ iz

19. S คอแกนจนตภาพ 'S คอเสนตรงทผานจด i และ i21+

20. S เปนสเหลยมทมจดยอดท i+1 , 11+− , i−−1 และ i−1

'S เปนสเหลยมทมจดยอดท 1− , 0 , i และ i+−1

2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ 55

2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ

ฟงกชนพหนามเชงซอน คอ ฟงกชนในรปแบบ 011

1 ...)( azazazazP nn

nn ++++= −

−

ทซง n เปนจานวนเตมบวก และ 011 ,,...,, aaaa nn − เปนคาคงตว ทเปนจานวนเชงซอน

จากหวขอ 2.3 ไดศกษาพหนามเชงซอน ทม 1=n

ในหวขอนเราจะศกษาฟงกชนพหนามเชงซอน ในรป nzzf =)( , 2≥n

พจารณาการสง nzw = , 2≥n ซงมรากเชงซอนท n มขสาคญ เปน nz1

โดยทฟงกชน nz1

เปนฟงกชนผกผนของฟงกชน nz เมอนยามโดเมน บางสวนอยางเพยงพอ และ

ฟงกชน มขอบเขต ดงนน การสง ของฟงกชนเชงซอน nz และ nz1

มความสมพนธกนมาก

ฟงกชนกาลง

ฟงกชนกาลง เปนฟงกชนทอยในรปแบบ αzzf =)( ทซง α เปนจานวนเชงซอนคงท

ถา α เปนจานวนเตม แลว ฟงกชนกาลง αzzf =)( สามารถหาคาโดยขนตอนทางพชคณต

บนจานวนเชงซอน เชน zzz ⋅=2 และ zzz

z⋅⋅

=− 13

เมอ n1

=α เราสามารถใชวธเดยวกนกบการหาคารากท n นยามฟงกชนกาลง αz

เชน เรานยาม 41

z เปนฟงกชนรากท 4 มขสาคญ ของ z

ในทนเราจะศกษาฟงกชนกาลงในรป nz และ nz1

ท ,2≥n และ n เปนจานวนเตม

2.4.1 ฟงกชนกาลง nz ,2≥n

กรณ 2=n

การหาคาฟงกชนกาลง 2)( zzf = สามารถหาไดงายโดยใชการคณในจานวนเชงซอน

เชน ท iz −= 2 จะได )2( if − = 2)2( i− = i43−

ภายใตการสง 2zw = เราอาจจะพจารณาไดอกรปแบบหนง คอเมอ z อยในรปแบบเลขช

กาลง θirez =

จะไดสมการ 2zw = = 2)( θire = θ22 ier (1)

จาก (1) เราจะเหนวา มอดลสของ w คอ 2r ซงเปนกาลงสองของมอดลสของ z และ

มม w คอ θ2 ซงเปนสองเทาของ z ถาลงจด z และ w ในระนาบเชงซอนเดยวกน แลวขนาด

w จะเปน r เทา ของขนาด z และหมนไปไดอก θ ดงรป 2.13



ความสมพนธระหวาง z และ 2zw = เมอ 1>r และ 0>θ (รปจะขยาย)

เมอ 10 << r ; (รปจะยอ)

ถา 0<θ แลว w จะเปนการหมนตามเขมนาฬกา

ขอสงเกต จด 2)( zzfw == จะมมอดลสยอหรอขยาย และจะตองหมนไปอกθ หรอไมนนขนอย

กบวา จด z อยทใดและมมอดลสนอย หรอมากกวา 1

เชน 1) ถา 2=z แลว 42)2( 2 === fw จะไดวาจด w จะมมอดลส ขยายเปน 2 เทา

แต θ เทาเดม

2) ถา 2iz = แลว

2

2

=

iw = 41−

จะไดวาจด w จะมมอดลสลดลง เปน 41

และจะตองหมนทวนเขมไปอก 2π

เรเดยน

โดยทวไป ฟงกชนกาลงสอง 2zw = มอดลสจะเทาเดม เมอ z อยบนวงกลม 1 หนวย

และ θ จะเทาเดม เมอ z เปนจานวนจรงบวก

จากการพรรณนา การสง 2zw = ในลกษณะการเปลยนขนาด และการหมน

สามารถใชในการมองภาพของเซตบางเซตได เชน รงส ( ray) ทมจดเรมตนทจดกาเนดและจดทก

จดจด ทามม φ กบแกนจรงบวกจะไดวาจดเหลานภายใตการสง 2zw = จะไดวาจด w เปนรงสท

มจดเรมตนทจดกาเนด และจดทกจดใน w จะทามม φ2 กบแกนจรงบวก

ขอสงเกต เนองจากคามอดลส P ของจดในรงสอยในชวง ),0[ ∞

ดงนน คามอดลส 2P ของจดในภาพของรงส จะอยในชวง ),0[ ∞ เหมอนกน


ตวอยาง 14 จงหาภาพของสวนโคงวงกลมซง 2

)arg(0 ,2 || π≤≤= zz ภายใตการสง 2zw =

วธทา ให C เปนสวนโคงวงกลมท 2

)arg(0 ,2 || π≤≤= zz

และให 'C แทนภาพของ C ภายใตการสง 2zw = เนองจากแตละจดใน C มมอดลส 2 ,

ดงนนภายใตการสง 2zw = จะไดวาแตละจดใน 'C มมอดลส 422 = นนคอทกจดใน 'C จะอยบนวงกลม 4 หนวย คอจดศนยกลางท )0,0( รศม 4

แตเนองจากอารกวเมนต z ใน C อยในชวง ]2

,0[ π

ดงนน อารกวเมนต w ใน 'C มคาอยในชวง ],0[]2

2,02[ ππ=⋅⋅

นนคอ 'C = })arg(0 ,4 || :{ π≤≤=∈ wwCw

ซงมกราฟเปนครงวงกลมดงรป 2.14

z -Plan w -Plan


ในการหาภาพใน ตวอยาง 14 เราอาจหาไดอกวธโดยการใชสมการองตวแปรเสรม

จากสวนโคง C สามารถเขยนในรปสมการองตวแปรเสรมได

itetz 2)( = , 2

0 π≤≤ t

ดงนน ภาพ 'C หาไดโดย

tietzftw 24))(()( == , 2

0 π≤≤ t

โดยการเปลยนตวแปรใหมโดยให ts 2=

จะได isesw 4)( = , π≤≤ s0

ซงเปนสมการองตวแปรเสรม ของ π≤≤= )arg(0 ,4 || ww

ในทานองเดวกน การสงฟงกชนกาลงสองจะสงครงวงกลม

rz = || , 2

)arg(2

ππ≤≤− z ไปบนวงกลมบน 2 || rw =


ตวอยาง 15 จงหาภาพของเสนตรงแนวยน kx = ภายใตการสง 2zw =

วธทา ในตวอยางนเราจะใช สวนจรงและสวนจนตภาพของ 2zw =

โดยให ivuw += จะไดวา 22),( yxyxu −=

และ xyyxv 2),( = (1)

เนองจาก เสนตรงแนวยน kx = ประกอบดวยจด iykz += , ∞<<∞− y

ดงนน ภาพของเสนตรงทงหมดประกอบดวยจด ivuw +=

โดยท 22 yku −=

และ kyv 2= , ∞<<∞− y (2)

โดยการพจารณาคา k เปน 2 กรณคอ

กรณ 0≠k

โดยการมองความสมพนธของตวแปร y จะไดวา

2

22

4kvku −= , ∞<<∞− v (3)

หรอ 222 )(4 kukv −−= = 22 ))((4 kuk −−

ซงจะมกราฟเปนรปพาราโบลาทม จดยอดท )0,( 2k จดตดแกน v ท )20( 2k±

ขอสงเกต สมการ (3) จะยงคงเดมถา k ถก แทนทโดย k−

ดงนนเสนตรง kx = และ kx −= จะถกสงไปบนพาราโบลา 2

22

4kvku −= ภายใตการสง

2zw =

รป 2.15 (a) เสนแนวยนในระนาบ z รป 2.15 (b) ภาพของเสนใน (a)


จาก (a) 3=x , 3−=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,9( ใน )(b

2±=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,4(

1±=x ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด )0,1(

กรณ k = 0

จากสมการ (2) จะได 2yu −= , 0=v ; ∞<<∞− y ซงคอแกนจรงทางดานลบ


โดยวธคลายกบในตวอยางท 15 สามารถแสดงไดวาเสนตรงในแนวนอน

ky = , 0≠k

จะถกสงไปบนพาราโบลา

22

2

4k

kvu −= หรอ ))((4 222 kukv += )4(

ซงเปนพาราโบลาทมจดยอด )0,( 2k− จดตดแกน v คอ )20( k±

โดย 2zw = สมการใน (4) คงเดม ถาแทนท k โดย k−

ดงนนคของเสนแนวนอน ky = และ ky −= , 0≠k จะถกสงไปบนพาราโบลา

))((4 222 kukv += ภายใตการสง 2zw =

กรณ 0=k นนคอ 0=y จะได 2xu = และ 0=v ∞<<∞− x ซงคอแกนจรงดานบวก

รป 2.16 (a) เสนแนวนอนในระนาบ z รป 2.16 (b)ภาพของเสนใน (a)


จาก (a) 3±=y ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด (-9,0)

2±=y ถกสงไปยง พาราโบลาจดยอด (-4,0)

1±=y ถกสงไปยงพาราโบลาจดยอด (-1,0)

ตวอยาง 16 จงหาภาพของสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i+1 , i−1 ภายใตการสง 2zw =

วธทา ให S แทนรปสามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i+1 , i−1

ให 'S แทนภาพของสามเหลยมใน 2zw =

ดานของ S ทเชอมจด 0 และ i+1 อยในรงสทมจดเรมตน 0 และทามม 4π

กบแกน x ดานบวก

ดงนน ภาพของดานน จงเปนสวนของเสนตรงททามม 24

2 ππ=⋅ กบแกน u ดานบวก และม

ขนาดเปน ( ) 222= และจาก 002 = , ii 2)1( 2 =+

จงไดวา ภาพของสวนเสนตรงนคอ สวนของเสนตรงทจดเรมตน 0 จดปลาย i2 ซงอยบนแกน v


ในทานองเดยวกน ภาพของสวนเสนตรง S ทเชอมจด 0 และ i−1 คอ สวนของเสนตรงท

จดเรมตน 0 จดปลาย i2− ซงอยบนแกน v

สาหรบภาพของสวนเสนตรง S ทเชอมจด i−1 และ i+1 คอสวนหนงของพราราโบลา

ทสอดคลองสมการ 4

12vu −= , 22 ≤≤− v

รป 2.17 (a) สามเหลยมในระนาบ z รป 2.17 (b) ภาพของสามเหลยม ใน (a)


ฟงกชน nzw = , 2>n วเคราะหในทานองเดยวกนกบ 2zw = โดย

ให θirez = จะไดวา nzw = = θinner

ดงนน ถาลงจด z และ w ในระนาบเชงซอนเดยวกน แลว มอดลสของ w คอ nr ซง

• จะมากกวามอดลสของ z เมอ 1>r

• จะนอยกวามอดลสของ z เมอ 1<r

• จะเทากบมอดลสของ z เมอ 1=r

และ อารกวเมนต ของ w คอ θn

เราสามารถแสดงไดวาภายใตการสง nzw = จะสงรงสทจดเรมตนทจดกาเนด และทามม θ กบ

แกนจรงบวก ไปเปนรงสทจดเรมตนทจดกาเนด และทามม θn กบแกนจรงบวก

จากรป 2.18 แสดงการสง 3zw = ซงสงรงส ทางซาย รป 2.18 (a) ไปเปนรงส รป 2.18(b)

รป 2.18 (a) รงสในระนาบ z รป 2.18 (b) ภาพของรงสใน (a)



ตวอยาง 17 จงหาภาพของ เสยวของจานซงกาหนดโดย 2|| ≤z , 2

)arg(0 π≤≤ z

ภายใตการสง 3zw =

วธทา ให S คอ เสยวของจานซงกาหนดโดย 2|| ≤z , 2

)arg(0 π≤≤ z แสดงดงรป 2.19(a)

'S คอ ภาพ ของ S ภายใตการสง 3zw =

เนองจากมอดลสของจดใน S มคาระหวาง 0 ถง 2 ดงนน มอดลสของจดใน 'S มคา

ระหวาง 0 ถง 823 = และ อารกวเมนต ของจดใน S มคาระหวาง 0 ถง2π

ดงนน อารกวเมนต ของจดใน 'S มคาระหวาง 0 ถง2

32

3 ππ=⋅ นนคอ

}2

3)arg(0 ,8||0:{' π≤≤≤≤= wwwS แสดงดงรป 2.19(b)

รป 2.19 (a) รป 2.19 (b)


ฟงกชน nz /1 เมอ n เปนจานวนนบท 2≥n

เรมจาก 2=n

จาก ททราบมากอนนวา รากท n ของจานวนเชงซอน )sin(cos θθ irz += = θire คอ

))2sin()2(cos(n

kin

krn πθπθ ++

+= nkin er /)2( πθ + เมอ 1 ..., ,2 ,1 ,0 −= nk

ในกรณ 2=n จะไดวา รากท 2 คอ

))22sin()

22(cos( πθπθ kikr +

++

= 2/)2( πθ kier + เมอ 1 ,0=k

ถา )(zArg=θ และ 0=k แลว จะนยามเปน รากท 2 มขสาคญ

บทนยาม 2.4 ฟงกชน 2/1z โดยท 2/)(2/1 || ziArgezz = จะเรยกวา ฟงกชนรากท 2 มขสาคญ


ตวอยาง 18 จงหาคาฟงกชนรากทสองมขสาคญ 2/1z ทจดตอไปน

(a) 4=z (b) iz 2−= (c) iz +−= 1

วธทา (a) จาก 4=z จะไดวา 4|| =z และ 0)( =zArg

ดงนน 2/14 = 2/04 ie = 2

(b) จาก iz 2−= จะไดวา 2|| =z และ 2

)( π−=zArg

ดงนน 2/1)2( i− = 2/)2/(2 π−ie = )2

12

1(2 i− = i−1

(c) จาก iz +−= 1 จะไดวา 2|| =z และ 4

3)( π=zArg

ดงนน 2/1)1( i+− = 2/)4/3(2 πie

= ))8

3sin()8

3(cos(24 ππ i+ ≈ i09868.145509.0 +

บทนยาม 2.5 สาหรบ 2≥n ฟงกชน nz /1

กาหนดโดย nziArgnn ezz /)(/1 ||= จะเรยกวา ฟงกชนรากท n มขสาคญ

ตวอยาง 19

(a) จงหารากท 3 มขสาคญ 3/1z เมอ iz =

(b) จงหารากท 5 มขสาคญ 5/1z เมอ iz 31−=

วธทา (a) จาก iz = จะไดวา 1|| =z และ 2

)( π=zArg

ดงนน 3/1z = 3/)2/(3 1 πie = )6/(πie = i21

23+

(b) จาก iz 31−= จะไดวา 2|| =z และ 3

)( π−=zArg

ดงนน 5/1z = 5/)3/(5 2 π−ie = )15/(5 2 π−ie ≈ i2388.01236.1 −


ในขอ 1-14 จงหาภาพของเซตทกาหนดให ภายใตการสง 2zw =

1. รงส 3

)arg( π=z 2. รงส

43)arg( π

−=z

3. เสนตรง 3=x 4. เสนตรง 5−=y

5. เสนตรง 41

−=y 6. เสนตรง 23

=x

7. แกนจนตภาพทางดานบวก 8. เสนตรง xy =


9. ครงวงกลม 21 || =z , π≤≤ )arg(0 z

10. สวนของวงกลม 34|| =z ,

6)arg(

2π

≤≤π

− z

11. สามเหลยมทมจดยอดทจด 1,0 และ i+1

12. สามเหลยมทมจดยอดทจด 0 , i21+ และ i21+−

13. สเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1, i+1 และ i

14. สเหลยมทมจดยอดทจด 0 , 1, i+1 และ i+−1

15. จงหาภาพของรงส 3

)arg( π=z ภายใตการสง izzf −+= 12)( 2

16. จงหาภาพของเสนตรง 2=x ภายใตการสง 3)( 2 −= izzf

17. จงหาภาพของเสนตรง 3−=y ภายใตการสง izzf +−= 2)(

18. จงหาภาพของรงส 6

)arg( π=z ภายใตการสง

(a) 3)( zzf = (b) 4)( zzf = (c) 5)( zzf =

19. จงหาภาพของจตภาคท หนง ภายใตการสง

(a) 2)( zzf = (b) 3)( zzf = (c) 4)( zzf =

ขอ 20.- 25. จงหาคาฟงกชน รากท n มขสาคญ เอกาหนดคา z

20. 2/1z เมอ iz −= 21. 2/1z เมอ iz += 2

22. 3/1z เมอ 1−=z 23. 3/1z เมอ iz 33+−=

24. 4/1z เมอ iz 31+−= 25. 4/1z เมอ iz 434 +−=

2.5 ฟงกชนสวนกลบ

ฟงกชน z

zf 1)( = ซงโดเมนเปนเซตของจานวนเชงซอนทไมใช 0 เราเรยกวา

ฟงกชนสวนกลบ เราจะศกษาฟงกชนz

w 1= โดยการพจารณาในรปของเลขชกาลง

ให 0≠z ถา θirez =

แลว θθ

ii e

rrezw −===

111 (1)

จาก (1) มอดลสของ w คอสวนกลบของมอดลสของ z และ อารกวเมนต ของ w คอ ลบ

ของ อารกวเมนต ของ z


ดงนน การสงสวนกลบของจดในระนาน z โดย พกดเชงขว ),( θr จะสงไปยงจดในระนาบ w

เปน ),1( θ−r

รป 2.20 การสงสวนกลบ

ในรป 2.20 แสดงความสมพนธ ระหวาง z กบ z

w 1= ในระนาบเชงซอนเดยวกน

ซงจะเหนไดวาz

w 1= เปนการสงประกอบของอนเวอรสในวงกลมกบการสะทอนของแกนจรง

ตอไปเราจะทาการ นยาม และ วเคราะห สวนอนๆของการสงเหลาน

การผกผนในวงกลมหนงหนวย

ฟงกชน θier

zg 1)( = (2)

ซงโดเมนเปนเซตของจานวนเชงซอนทไมใช 0 เราเรยกวา การผกผนในวงกลมหนงหนวย

เราจะพจารณาการสงนโดยแยกพจารณาภาพของจดทอยบนวงกลม 1 หนวย จดทอยในวงกลม 1

หนวย และ จดทอยนอกวงกลม 1 หนวย

กรณ จดทอยบนวงกลม 1 หนวย

ดงนน θiez ⋅=1 จาก (2) จะได

zezg i == θ

11)(

นนคอแตละจดบนวงกลม 1 หนวย จะถกสงไปตวมนเองโดยฟงกชน )(zg

กรณ จดทอยในวงกลม 1 หนวย ทไมเปน 0

ดงนน θirez = , 1<r จาก (2) จะได

11|)(| >=r

zg

นนคอแตละจดในวงกลม 1 หนวยทไมเปน 0 จะถกสงไปนอกวงกลม 1 หนวย โดยฟงกชน )(zg

2.5 ฟงกชนสวนกลบ 65

กรณ จดทอยนอกวงกลม 1 หนวย

ดงนน θirez = , 1>r จาก (2) จะได

11|1||)(| <==r

er

zg iθ

นนคอแตละจดนอกวงกลม 1 หนวย จะถกสงไปในวงกลม 1 หนวยโดยฟงกชน )(zg

รป 2.21 การผกผนในวงกลมหนงหนวย

ดงนนการสงของ r

ewiθ

=

จะสงวงกลม 1|| =z ไปยงวงกลม 1|| =w

สงบรเวณภายในวงกลม 1|| =z ไปยงบรเวณภายนอกวงกลม 1|| =w

และ สงบรเวณภายนอกวงกลม 1|| =z ไปยงบรเวณภายในวงกลม 1|| =w

สดทายเราจะพจารณา การผกผนของวงกลมโดยสงเกตจาก (2) อารกวเมนต ของ

z และ )(zg เหมอนกน ดงนน ถา 01 ≠z เปนจดทมมอดลส r ในระนาบ z แลว )( 1zg

เปนจดทมลกษณะเฉพาะในระนาบ w คอทมอดลส r1

และอยบนรงสทออกมาจากจดกาเนดเปน

มมของ )arg( 1z ในระนาบ w ทางบวก โดย มอดลสของ z และ )(zg เปนสวนกลบกน

กลาวอกนยหนงไดวา

ถา จด z อยไกลจากจด 0 ในระนาบ z แลว ภาพของฟงกชน )(zg จะอยใกลจด 0 ใน

ระนาบ w และ ในทางกลบกน

ถา จด z อยใกลจด 0 แลว ภาพของฟงกชน )(zg จะไกลจากจด 0 ในระนาบ w


สงยคจานวนเชงซอน

การสงแบบท 2 เปนการสงทสะทอน บนแกนจรง ภายใตการสงนภาพขอจด ),( yx คอ

),( yx − ซงสามารถอธบายไดโดยฟงกชน zzc =)( ซงฟงกชนนเรยกวา ฟงกชนสงยคเชงซอน

รป 2.22 สงยคของจานวนเชงซอน

ในรป 2.22 แสดงใหเหนถงความสมพนธ ระหวาง z และภาพของ )(zc ในระนาบ

เชงซอนเดยวกน ถาแทนท z ดวย θire แลว θθ ii errezc ==)(

เพราะวา r เปนจานวนจรง จะไดวา rr = และ θθ ii ee −=

ดงนน ฟงกชนสงยคเชงซอน จะเขยนไดเปน θirezzc −==)(

การสงสวนกลบ

ฟงกชน z

zf 1)( = สามารถเขยนเปนฟงกชนประกอบของการผกผนวงกลมและ

สงยคเชงซอนได โดยใชรปแบบของเลขชกาลง θirezc −=)( และ r

ezgiθ

=)( จะไดวา

))(( zgc = θθ

ii

err

eczgc −==1)())((

โดยการเปรยบเทยบนกบ (1) เราจะเหนไดวา z

zfzgc 1)())(( == ซงเราสามารถบอกไดวา

การสงนคอ เรมแรกสงโดยอนเวอรสในวงกลม แลวกสงโดยสะทอนบนแกนจรง

ดงนนถาให 0z เปน จดในระนาบเชงซอนทไมใช 0 และ จด 0

001)(z

zfw == เปนจดใน

ระนาบเชงซอนเดยวกนกบจด 0z แลวจด 0w เปนจดทแสดงโดย

1.) หาการผกผนของ 0z ในวงกลม

2.) หาภาพสะทอนบนแกนจรง


ตวอยาง 20 จงหาภาพของครงวงกลม 2|| =z , π≤≤ )arg(0 z ภายใตการสงของฟงกชน

สวนกลบ z

w 1=

วธทา ให C แทนครงวงกลม และให 'C แทนภาพของครงวงกลมภายใต z

w 1=

ในการหา 'C ขนแรกเราหาการผกผนของครงวงกลม C แลว กหาภาพสะทอนบนแกนจรง

ภายใตการผกผนในวงกลม ซงมมอดลส 2 เปลยนเปน มอดลส 21

และการหาภาพผกผนใน

วงกลมไมทาใหมมเปลยนแปลง ดงนนภาพของ C ภายใตการผกผนในวงกลมเปนครงวงกลม

21|| =w และ π≤≤ )arg(0 w ภาพสะทอนบนแกนจรงคาของ อารกวเมนต ของจดเปนลบ แต

ไมทาใหใหคามอดลสเปลยนแปลง เนองจากเหตนเองภาพสะทอนบนแกนจรงในครงวงกลมจะได

21|| =w และ 0)arg( ≤≤− wπ


จากรป 2.23 ครงวงกลม C เปนครงวงกลมบนถกสงไปยงครงวงกลม 'C เปนครงวงกลมลาง

ภายใตการสง z

w 1=

การใชเหตผลทานองเดยวกบ ตวอยาง 20 เราสามารถแสดงไดวาการสงสวนกลบ

บนวงกลม kz =|| เมอ 0≠k ถกสงไปยงบนวงกลม k

w 1|| =

ตวอยางตอไป จะเปนการสงสวนกลบ จากเสนตรงไปยงวงกลม

ตวอยาง 21 จงหา ภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสงของฟงกชนสวนกลบz

w 1=

วธทา เสนตรง 1=x ประกอบดวยเซตของจด iyz +=1 และ ∞<<∞− y และจาก z

w 1=

จะได iy

yyiy

w 22 111

11

+−

+=

+=

ตามทภาพของของเสนตรง 1=x ภายใต z

w 1= ประกอบดวยจดทงหมดทสอดคลองกบ

ivu + จะได

22 1,

11

yyv

yu

+−

=+

= และ ∞<<∞− y (3)


เราสามารถระบภาพนกบสมการในพกดฉาก โดยกาจดตวแปร y โดยสงเกตจาก (3)

ดงนน yuv −=

สมการแรกของ (3) แสดงใหเหนวา 0≠u

ดงนนเขยนใหมไดเปน uvy −=

จากนนนา uvy −= แทนลงใน สมการแรกของ (3) จะไดสมการกาลงสองคอ

022 =+− vuu

จดตวแปร u ใหอยในรปกาลงสองสมบรณ จะได

41)

21( 22 =+− vu และ 0≠u (4)

ในสมการท (4) เปนสมการของวงกลมจดศนยกลางท )0,21( และรศมคอ

21

อยางไรกตามเพราะวา 0≠u เพราะฉะนนจะไมมจด )0,0(

ใชตวแปรเชงซอน ivuw += เราสามารถระบภาพนโดย

21|

21| =−w และ 0≠w


จากรป 2.24 เสนตรง 1=x สงไปยงวงกลม 21|

21| =−w , 0≠w ภายใตการสง

zw 1=

จากตวอยาง 21 เหนไดวาไมมจดบนเสนตรง 1=x ทถกสงไปทจด 0 เพอใหไดวงกลม

สมบรณจากภาพของเสนตรง ตองพจารณาการสงฟงกชนสวนกลบบนระบบจานวนเชงซอนขยาย

ระบบจานวนเชงซอนขยาย ประกอบดวยทกจดในระนาบเชงซอนซงรวมจด ∞ ดวย

คณสมบตทสาคญของระนาบเชงซอนขยาย คอ จด ∞ ในระนาบเชงซอนขยาย จะมมอดลสทใหญ

ทสดในระนาบเชงซอน

เราใชการเทากนนทขยายฟงกชนสวนกลบ ท โดเมน และ เรนจ อยในระนาบเชงซอน

ขยาย จาก (1) เรากาหนดใหฟงกชนสวนกลบ สาหรบทกๆจดท 0≠z หรอ ∞ ในระนาบ

เชงซอน เราจะขยายฟงกชนนโดยระบภาพของ 0 และ ∞

โดยวธธรรมดาทกาหนดภาพของจดเหลานทพจารณาจดทใกลเคยง เราสงเกตวา

ถา θirez = เปนจดทใกล 0 แลว r เปนจานวนจรงบวกเลกๆ


ดงนน θierz

w −==11

เปนจดทมมอดลส r1

ซงเปนคาทมาก

นนคอในระนาบเชงซอนขยาย ถา z เปนจดทใกล 0 แลว z

w 1= เปนจดทเขาใกล ∞

ดงนนมเหตผลทจะกาหนดฟงกชน สวนกลบ z

zf 1)( = บนระนาบเชงซอน

โดยกาหนด ∞=)0(f

ในทานองเดยวกน จะไดวา ถา z เปนจดทเขาใกล ∞ ในระนาบเชงซอนขยายแลว

)(zf จะมคาเขาใกล 0 ในระนาบเชงซอนขยาย ดวยเหตนมนเปนเหตผลเหมอนกนทจะกาหนด

ฟงกชนสวนกลบ บนระนาบเชงซอนขยาย โดยกาหนด 0)( =∞f

บทนยาม 2.6 ฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย

ฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยายเปนฟงกชนทกาหนดโดย

∞==∞

∞∉

=zz

zz

zf,0

0,

}, 0{,1

)(

ตวอยาง 22 จงหาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตฟงกชนสวนกลบz

w 1= บนระนาบเชงซอนขยาย

วธทา เราเรมโดยเขยนเสนตรง 1=x ซงเปนเซตในระนาบเชงซอนทไมมขอบเขต

ดงนนจะกาหนดจด ∞ เปนจดบนเสนตรงในระนาบเชงซอนขยาย ในตวอยาง 21 เราหาภาพของ

จดท ∞≠z บนเสนตรง 1=x เปนวงกลม 21|

21| =−w ทไมรวมจด 0=w ดวยเหตนเรา

ตองการหาเพยงแคภาพของจด ∞ ทกาหนดภายใตฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย จาก

บทนยาม 2.6 เราม 0)( =∞f และดงนน 0=w เปนภาพทจด ∞ นคอการเตมเขาไป

ในวงกลม 21|

21| =−w ดงนน เสนตรง 1=x สงไปยงวงกลมทสมบรณ

21|

21| =−w

โดยการสงฟงกชนสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยาย เชนนการสงสามารถแทนโดยรป 2.24 กบ

ท 0=w โดยการเตมใหเตม

เพราะวาจด ∞ อยบนเสนตรงทกๆเสนในระนาบเชงซอนขยาย เรามภาพของเสนตรง

บางเสน kx = และ 0≠k จะได |21||

21|

kkw =− เปนวงกลมทสมบรณภายใตฟงกชนสวน

กลบบนระนาบเชงซอนขยาย

ในทานองเดยวกนเราสามารถแสดงไดวาเสนในแนวนอนสงไปทวงกลมโดย z

w 1=


การสงสวนกลบบนระนาบเชงซอนขยายจะสง

1) เสนแนวยน kx = ท 0≠k ไปยงวงกลม |21||

21|

kkw =− (5)

2) เสนแนวนอน ky = ท 0≠k ไปยงวงกลม |21||

21|

ki

kw =+ (6)

รป 2.25 (a) รป 2.25 (b)

รป 2.25 แสดงถงภาพ ของเสนตรงในแนวนอนกบแนวยน ภายใตการสงสวนกลบ

ในรป 2.25 เสนตรง kx = ท 0≠k แสดงในรป 2.25(a) เปนการสงโดย

zw 1=

ไปยงจดศนยกลางวงกลมบนแกนจรงทแสดงในรป 2.25(b) ภาพของเสนตรง kx = ท 0≠k

บรรจจด )0,1(k

ดวยเหตน เราจะเหนเสนตรง 2=x แสดงในรป 2.25(a) สงไปบน

วงกลม41

41=−w ซงมจดศนยกลาง )

41,0( รศม

41

และวงกลมผานจดศนยกลางบนแกนจรง

ผานจด )0,21( แสดงในรป 2.25(b)

ทานองเดยวกน เสนในแนวนอน 2=y แสดงในรป 2.25(a) สงโดย z

w 1= ไปบน

วงกลม 41

41

41

==+ iw ซงมจดศนยกลางท )41,0( − รศม

41

และวงกลมนมจดศนยกลาง

บนแกนจนตภาพผานจด )21,0( − แสดงในรป 2.25(b)

ตวอยาง 23 จงหา ภาพของแนวนอนแผนยาวครงชวงอนนต

กาหนดโดย 21 ≤≤ y และ 0≥x ภายใต z

w 1=

วธทา กาหนดให S แทน แผนยาวครงชวงอนนต กาหนดโดย 21 ≤≤ y และ 0≥x

ขอบเขตของ S ประกอบดวยสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y

กบเสนตรง 1=y และ 2=y ท ∞<≤ x0


จากสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y สามารถมองเปนเซตของ 2||1 ≤≤ z

ท 2

)arg( π=z

ดงนน เมอ z

w 1= จะได 1||

21

≤≤ w และ )arg()1arg()arg( zz

w −==

ดงนน 2

)arg( π−=w

จงไดภาพของสวนของเสนตรง 0=x และ 21 ≤≤ y เปนสวนของเสนตรงบนแกน

v จาก i21

− ถง i−

เราพจารณาแนวนอนของเสนตรง 1=y และ ∞<≤ x0

จาก(6) โดยท 1=k จะไดภาพของเสนตรงนเปนสวนโคงในวงกลม 21|

21| =+ iw

เพราะวามมของจดบนเสนตรงทสนใจคอ 2

)arg(0 π≤< z

ดงนนมมของภาพทสนใจคอ 0)arg(2

<≤− wπ

และจด ∞ อยบนเสนตรง 1=y ท ∞<≤ x0

จงไดภาพนเปนสวนโคงของวงกลม 21|

21| =+ iw ท 0)arg(

2<≤− wπ

ในทานองเดยวกน เราหาภาพของแนวนอนบนเสนตรง 2=y และ ∞<≤ x0

เปนสวนโคงของวงกลม 41|

41| =+ iw ท 0)arg(

2<≤− wπ

เราสรปโดยสงเกตจาก (6) ทกๆเสนตรง ky = และ 21 ≤≤ k ระหวางเสนตรงทม

ขอบเขต 1=y และ 2=y ใน S สงไปยงระหวางสวนโคงของวงกลม

k

ik

w21|

21| =+ ท 0)arg(

2<≤− wπ

และ สวนโคงของวงกลม k

ik

w21|

21| =+ ท 0)arg(

2<≤− wπ

ดงรป 2.26

รป 2.26 (a) แนวนอนแผนยาวครงชวงอนนต รป 2.26 (b) ภาพของ (a)


ดงนน S แสดงในรป 2.26 (a) ถกสงไปบนเซต 'S แสดงในรป 2.26 (b) ภายใตการสง z

w 1=

zw /1=


ขอสงเกต

ฟงกชนสวนกลบ z

zf 1)( = เปนฟงกชน 1-1 ดงนน ฟงกชนผกผน 1−f เปนฟงกชน

และจาก z

w 1= จะไดวา

wz 1= = )(wf

ดงนน z

zf 1)(1 =−

จากตวอยางเราเหนไดวาภาพของเสนตรง 1=x ภายใตการสงของฟงกชนสวนกลบเปน

วงกลม |21||

21| =−w

ดงนนเมอ )(1)(1 zfz

zf ==− จะไดวาภาพของวงกลม 21|

21| =−z ภายใตการสงของ

ฟงกชนสวนกลบ คอ เสนตรง 1=u

ในทานองเดยวกนเราจะเหนวาวงกลม |21||

21|

kkw =− และ |

21||

21|

ki

kw =+ เปน

การสงไปยงเสนตรง kx = และ ky = ตามลาดบ


จงหาภาพในขอ 1-14 ภายใตการสง ฟงกชนสวนกลบ z


1. วงกลม 5|| =z

2. ครงวงกลม 21|| =z ท

23)arg(

2ππ

≤≤ z

3. ครงวงกลม 3|| =z ท 4

3)arg(4

ππ≤≤− z

4. หนงสวนสของวงกลม 41|| =z ท ππ

≤≤ )arg(2

z

5. วงแหวน 2||31

≤≤ z

6. บรเวณ 41 ≤≤ z ท 3

2)arg(0 πz≤

7. รงม 4

)arg( π=z ทมจดเรมตนทจดกาเนด

8. สวนของเสนตรงจาก 1− ถง 1 บนแกนจรงยกเวนท 0=z

9. เสนตรง 4=y 10. เสนตรง 61

=x

11. วงกลม 1=+ iz 12. วงกลม 31

31

=+ iz

13. วงกลม 22 =−z 14. วงกลม 41

41=+z


ขอ 15-18 จงหาภาพของ S ทกาหนดให ภายใตการสง z


15. 16.

17. 18.

19. จงพจารณาฟงกชน 12)( +=zizh บนระนาบเชงซอนขยาย

(a) ใชขอเทจจรงท h เปนฟงกชนประกอบของฟงกชนสวนกลบz

zf 1)( = และ

ฟงกชนเชงเสน 12)( += izzg นนคอ ))(()( zfgzh =

จงบรรยายในเชงเรขาคณตของการสง )(zhw =

(b) หาภาพของเสนตรง 4=x ภายใตการสง )(zhw =

(c) หาภาพของวงกลม 22 =+z ภายใตการสง )(zhw =

20. จงพจารณาฟงกชน 12

1)(−

=iz

zh บนระนาบเชงซอนขยาย

(a) ใชขอเทจจรงท h เปนฟงกชนประกอบของฟงกชนเชงเสน 12)( −= izzg และ

ฟงกชน สวนกลบz

zf 1)( = นนคอ ))(()( zgfzh =

จงบรรยายในเชงเรขาคณตของการสง )(zhw =

(b) หาภาพของเสนตรง 1=y ภายใตการสง )(zhw =

(c) หาภาพของวงกลม 21

=+ iz ภายใตการสง )(zhw =


21. พจารณาฟงกชน 21)(z

zh = บนระนาบเชงซอนขยาย

(a) เขยน h ใหเปนฟงกชนประกอบของ ฟงกชนกาลงสอง และ ฟงกชนสวนกลบ

(b) หาภาพของวงกลม 21

21


(c) หาภาพของวงกลม 11 =−z ภายใตการสง )(zhw =

22. พจารณาฟงกชน iz

izh ++= 13)( 2 บนระนาบเชงซอนขยาย

(a) เขยน h ใหเปนฟงกชนประกอบของ ฟงกชนกาลงสอง และ ฟงกชนสวนกลบ

(b) หาภาพของวงกลม 21

21


(c) หาภาพของวงกลม 11 =−z ภายใตการสง )(zhw =

2.6 ลมต และความตอเนอง

ลมตในจานวนเชงซอนกมแนวคดคลายกบ ลมตของฟงกชนจานวนจรงซงเปนการศกษา

ความสมพนธระหวางตวแปรตน z กบตวแปรตาม )(zfw = โดยจะศกษาวา ขณะท z เขาใกล

จานวนเชงซอน 0z แลว ฟงกชน )(zfw = จะเปนอยางไร ในกรณ ท )(zfw = มคาเขาใกล

จานวนเชงซอน L จะเขยนโดยสญลกษณ เปน Lzfzz

=→

)(lim0

ซงสามารถนยามดงตอไปน

บทนยาม 2.7 ให )(zfw = เปนฟงกชนเชงซอนทนยามในบางยานใกลเคยงจด 0z (ทจด 0z อาจ

นยามหรอไมนยามกได) และ L เปนจานวนเชงซอนจะกลาววาลมตของ f มคา L เมอ z เขาใกล

0z เขยนโดยสญลกษณ เปน Lzfzz

=→

)(lim0

กตอเมอ สาหรบทก 0>ε จะม 0>δ ททาให

ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz

รป 2.27 (a)ยานใกลเคยง δ ทจด 0z รป 2.27 (b)ยานใกลเคยง ε ทจด L

รป 2.27 ความหมายเชงเรขาคณตของลมต

จากบทนยาม 2.7 จะเหนไดวาการท )(lim0

zfzz→

จะหาคาไดและมคา L แสดงวา ไมวา z

จะเขาใกล 0z ในทศทางใดกตาม )(zf ตองมคาเขาใกล L ดงนน ถาเราสามารถแสดงไดวา z เขา

ใกล 0z ในสองทศทางทตางกนแลวไดคา )(lim0

zfzz→

ตางกน จะทาใหสรปไดวา )(lim0

zfzz→

หาคา

ไมได หรอ กลาวอกนยหนงวา )(zf ไมมลมตท 0z

2.6 ลมตและความตอเนอง 75

ตวอยาง 24 จงแสดงวา zz

z 0lim→

หาคาไมได

วธทา จะพจารณา z เขาใกล 0 ในสองทศทาง

ทศทางแรก z เขาใกล 0 ตามแนวแกนจรง

ดงนน ixz 0+= และเมอ z เขาใกล 0 แสดงวา x เขาใกล 0

นนคอ zz

z 0lim→

= ixix

x 00lim

0 −+

→ = 1lim

0→x = 1

ทศทางทสอง z เขาใกล 0 ตามแนวแกนจนตภาพ

ดงนน iyz += 0 และเมอ z เขาใกล 0 แสดงวา y เขาใกล 0

นนคอ zz

z 0lim→

= iyiy

y −+

→ 00lim

0 = )1(lim

0−

→y = 1−

จากการท z เขาใกล 0 ในสองทศทางทตางกนแลวไดคาzz

z 0lim→

ทตางกน

สรปไดวาzz

z 0lim→

หาคาไมได

ตวอยาง 25 จงพสจน iziiz

31)2(lim1

+=++→

วธทา จากบทนยาม 2.7 iziiz

31)2(lim1

+=++→

กตอเมอ สาหรบทก 0>ε จะม 0>δ ททาให

ทก z ท δ<+−< )1(0 iz แลว ε<+−+ )31()2( izi

ให 0>ε เลอก 5εδ = จะไดวา ถา δ<+−< )1(0 iz แลว

)31()2( izi +−+ = iizi

++

−+2

312

= |)1(|5 iz +−

< δ5

= 5

5 ε

= ε

จากฟงกชน ( )yxuu ,= ทเปนฟงกชนคาจรงของตวแปรจานวนจรง 2 คา คอ x และ y

ไดวา u มลมต 0u ขณะท ( )yx, เขาใกล ( )00 , yx เขยนโดยสญลกษณ

( ) 0),(),(,lim

00

uyxuyxyx

=→

กตอเมอ ทกคาของ 0>ε ใด ๆ สามารถหา 0>δ ททาให

ε<− 0),( uyxu เมอ δ<−+−< 20

20 )()(0 yyxx

สามารถนามาประยกตในการหาลมตของฟงกชนเชงซอนโดยไดทฤษฎบทดงน


ทฤษฎบท 2.1 กาหนดให ),(),()( yxivyxuzf += , 000 iyxz += และ 00 ivuL +=

จะไดวา Lzfzz

=→

)(lim0

กตอเมอ ( ) 0),(),(,lim

00

uyxuyxyx

=→

และ ( ) 0),(),(,lim

00

vyxvyxyx

=→

พสจน สมมต Lzfzz

=→

)(lim0

จะไดวา สาหรบทกคา 0>ε จะม 0>δ ทาให

ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz

จะแสดงวา ( ) 0),(),(,lim

00

uyxuyxyx

=→

และ ( ) 0),(),(,lim

00

vyxvyxyx

=→

ให 0>ε จาก Lzfzz

=→

)(lim0

ดงนน ม 0>δ ทาให ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz

สาหรบ ทก ),( yx ท δ<−+−< 20

20 )()(0 yyxx กจะสอดคลองกบ

ทก iyxz += ท δ<−< 00 zz ทาใหได ε<− Lzf )(

เนองจาก ( ) ( ) ( )( )00 ,, vyxviuyxuLzf −+−=−

ทาใหได Lzfuyxu −≤− )(),( 0 และ Lzfvyxv −≤− )(),( 0

นนคอ ( ) ε<− 0, uyxu และ ε<− 0),( vyxv

สรปไดวา ( ) 0),(),(,lim

00

uyxuyxyx

=→

และ ( ) 0),(),(,lim

00

vyxvyxyx

=→

ในทางกลบกน สมมต ( ) 0),(),(,lim

00

uyxuyxyx

=→

และ ( ) 0),(),(,lim

00

vyxvyxyx

=→

ให 0>ε ดงนนจะม 01 >δ และ 02 >δ ททาใหไดวา

2),( 0

ε<− uyxu เมอ 1

20

20 )()(0 δ<−+−< yyxx

และ 2

),( 0ε

<− vyxv เมอ 22

02

0 )()(0 δ<−+−< yyxx

เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ และ 2δ

ดงนนสาหรบ z ท δ<−< 00 zz ทาให

12

02

0 )()(0 δ<−+−< yyxx และ 22

02

0 )()(0 δ<−+−< yyxx

สงผลให 2

),( 0ε

<− uyxu และ 2

),( 0ε

<− vyxv

จากอสมการสามเหลยมได

00 ),(),()( vyxvuyxuLxf −+−≤− < εεε=+

22

จงสรปวา ε<− Lzf )( เมอ δ<−< 00 zz

นนคอ Lzfzz

=→

)(lim0


ตวอยาง 2.26 จงแสดงวา ( ) 112lim 2

1−=+−

+→zz

iz

วธทา กาหนดให 12)( 2 +−= zzzf และ iyxz += จะไดวา

)22(1212)( 222 yxyixyxzzzf −++−−=+−=

นนคอ 12),( 22 +−−== xyxyxuu และ yxyyxvv 22),( −==

หาลมต สาหรบ u และ v ไดวา

( ) 11211,lim)1,1(),(

−=+−−=→

yxuyx

และ

( ) 022,lim)1,1(),(

=−=→

yxvyx

ดงนน สามารถสรปไดวา 1)(lim1

−=+→

zfiz

โดยทวไปแลว ลมตของฟงกชนจานวนเชงซอนจะเหมอนกบฟงกชนจานวนจรง โดย

ผลรวม ผลตาง ผลคณและผลหารของฟงกชนทมลมตจากดมลมตทเกยวของกบผลรวม ผลตาง

ผลคณและผลหารนน เราจะแสดงใหเหนในสวนของทฤษฎบท

ทฤษฎบท 2.2 สมมตให Lzfzz

=→

)(lim0

และ Mzgzz

=→

)(lim0

จะไดวา

(i) [ ] MLzgzfzz

±=±→

)()(lim0

(ii) LMzgzfzz

=→

)()(lim0

(iii) ML

zgzf

zz=

→ )()(lim

0

, เมอ 0≠M

การพสจน ให Lzfzz

=→

)(lim0

และ Mzgzz

=→

)(lim0

(i) จะแสดงวา [ ] MLzgzfzz

+=+→

)()(lim0


2)( ε

<− Lzf เมอ 100 δ<−< zz

และ 2

)( ε<− Mzg เมอ 200 δ<−< zz



100 δ<−< zz และ 200 δ<−< zz

สงผลให 2

)( ε<− Lzf และ

2)( ε

<− Mzg



M)z(gL)z(f)ML())z(g)z(f( −+−≤+−+ < εεε=+

22

จงสรปวา ε<+−+ )ML())z(g)z(f( เมอ δ<−< 00 zz

นนคอ [ ] MLzgzfzz

+=+→

)()(lim0

สาหรบการพสจน [ ] MLzgzfzz

−=−→

)()(lim0

พสจนในทานองเดยวกนกบ

[ ] MLzgzfzz

+=+→

)()(lim0

ซงขอละไวเปนแบบฝกหด

(ii) จะแสดงวา LMzgzfzz

=→

)()(lim0

จาก Mzgzz

=→

)(lim0

และ 01> ดงนนจะม 01 >δ ทาให

1)( <− Mzg เมอ 100 δ<−< zz

ทก z ท 100 δ<−< zz จะไดวา ||1)()()( MMMzgMMzgzg +<+−≤+−=


|)|1(2)(

MLzf

+<−

ε เมอ 200 δ<−< zz

และ |)|1(2

)(L

Mzg+

<−ε

เมอ 300 δ<−< zz

เลอก δ ทมคานอยทสดระหวางคาของ 1δ , 2δ และ 3δ


100 δ<−< zz , 200 δ<−< zz และ 300 δ<−< zz


LM)z(g)z(f − = LM)z(Lg)z(Lg)z(g)z(f −+−

M)z(g||L||)z(g||L)z(f −+−≤

|)|1(2

|||)|1(|)|1(2 L

LMM +

+++

<εε

εεε=+<

22

นนคอ LMzgzfzz

=→

)()(lim0

(iii) จะแสดงวา ML

zgzf

zz=

→ )()(lim

0

, เมอ 0≠M

กอนอนจะแสดงวา Mzgzz

1)(

1lim0

=→

จาก Mzgzz

=→

)(lim0

และ 02

||>

Mดงนนจะม 01 >δ ทาให

2||)( MMzg <− เมอ 100 δ<−< zz


ทก z ท 100 δ<−< zz จะไดวา 2

||)(|||)(| MMzgMzg <−≤−

นนคอ 2

||3)(2

|| MzgM<<

หรอ ||

2|)(|

1Mzg

<

ให 0>ε เนองจาก 02

|| 2

>M

และ Mzgzz

=→

)(lim0

ดงนนจะม 02 >δ ทาให

ε2

||)(2MMzg <− เมอ 200 δ<−< zz



100 δ<−< zz และ 200 δ<−< zz

จงไดวา Mzg1

)(1

− = )(

)(zMg

zgM − =

|)(||||)(|

zgMzgM −

< ε2

||||

2 2

2M

M= ε

ดงนน Mzgzz

1)(

1lim0

=→

จาก (ii) จงไดวา ML

ML

zgzf

zgzf

zzzz===

→→)1()

)(1))(((lim

)()(lim

00

ขอสงเกต 1. ถา f เปนฟงกชนเชงซอนคงตว Czf =)( แลว Czfzz

=→

)(lim0

ทก 0z

2. ถา f เปนฟงกชนเชงเอกลกษณ zzf =)( แลว 0)(lim0

zzfzz

=→

ทก 0z

ตวอยาง 27 จงหาลมต

(a) 1

2)3(lim24

++−+

→ zzzzi

iz

(b) iz

zziz 31

42lim2

31 −−+−

+→

วธทา (a) พจารณา )1(lim +→

ziz

= 1+i ≠ 0

และ )2)3((lim 24 zzziiz

+−+→

= iiii 2)3( 24 +−+ = i34 +

ดงนน 1

2)3(lim24

++−+

→ zzzzi

iz =

)1(lim

)2)3((lim 24

+

+−+

→

→

z

zzzi

iz

iz

= ii

++

134

= i21

27−

(b) พจารณา )31(lim31

iziz

−−+→

= 0


และ )42(lim 2

31+−

+→zz

iz = 4)31(2)31( 2 ++−+ ii = 0

สาหรบ กรณนยงไมสามารถใชทฤษฎบท ทางพชคณตลมตได และเรยกวาอยใน

รปแบบยงไมกาหนด 00

แตสามารถแกปญหานไดโดยพจารณาฟงกชนiz

zz31422

−−+−

เมอ iz 31+≠ จะได

iz

zz31422

−−+−

= iz

iziz31

)31)(31(−−

+−−−

= iz 31+−

ดงนน iz

zziz 31

42lim2

31 −−+−

+→ = iz

iz31lim

31+−

+→

= ii 3131 +−+

= i32

ในทานองเดยวกนกบฟงกชนคาจรงจะเหนไดวา สาหรบฟงกชนเชงซอน คาลมตของ

ฟงกชนเชงซอน ท 0z ( )(lim0

zfzz→

) กบคาฟงกชนเชงซอนท 0z ( )( 0zf ) มความอสระกน

ตอไปเราจะนยามในกรณทคาฟงกชนเชงซอนท 0z มคาเทากบ ลมตฟงกชนเชงซอน ท 0z

บทนยาม 2.8 ฟงกชนเชงซอน f ตอเนองท 0z กตอเมอ )()(lim 00

zfzfzz

=→

จะเหนไดวาการท ฟงกชนเชงซอน f ตอเนองท 0z ตองประกอบดวย

1. f ตองนยามท 0z

2. )(lim0

zfzz→

ตองหาคา

และ 3. )()(lim 00

zfzfzz

=→

ดงนน ถาขาดสมบตขอใดขอหนง จะบอกไดวา f ไมตอเนองท 0z

และจากฟงกชน ),( yxu ทเปนฟงกชนคาจรงของ 2 ตวแปร x และ y จะกลาววา u ตอเนองทจด

( )00 , yx กตอเมอ

1. ),( 00 yxu หาคาได

2. ( )yxuyxyx

,lim),(),( 00→

หาคาได

และ 3 . ( )yxuyxyx

,lim),(),( 00→

= ),( 00 yxu


ทาใหไดทฤษฏแสดงความสมพนธระหวางความตอเนองของฟงกชนเชงซอนกบ ฟงกชนคาจรง

ของ 2 ตวแปรดงน

ทฤษฎบท 2.3 ให ),(),()( yxivyxuzf += ทหาคาไดในบางยานของ 0z จะไดวา

f จะมความตอเนอง ท 000 iyxz += กตอเมอ u และ v มความตอเนองท ( )00 , yx

ตวอยาง 2.28 จงแสดงวาฟงกชน ( ) zzf = เปนฟงกชนตอเนอง

วธทา จาก ( ) zzf =

ถา iyxz += แลว ( ) zzf = = iyx −

ทาใหไดวา xyxu =),( และ yyxv −=),( ซงทง u และ v เปนฟงกชนตอเนอง

ดงนน ( ) zzf = จงเปนฟงกชนตอเนอง

ฟงกชนเชงซอน f จะตอเนองกตอเมอ สวนจรงและสวนจนตภาพ u และ v มความ

ตอเนอง ดงนนความตอเนองของฟงกชนเชงซอนจะเหมอนกบความตอเนองของฟงกชนคาจรง

ดงตอไปน

ทฤษฎบท 2.4 ให f และ g มความตอเนองทจด 0z จะไดวาฟงกชนตอไปนมความตอเนองทจด 0z

- ผลรวม gf + เมอ ))(( zgf + = ( )zf + )(zg ;

- ผลตาง gf − เมอ ))(( zgf − = ( )zf - )(zg ;

- ผลคณ fg เมอ ))(( zfg = ( )zf )(zg ;

- ผลหาร gf

เมอ )(zgf

= )()(

zgzf

โดยท 0)( 0 ≠zg และ

- ฟงกชนประกอบ fog เมอ ( fog ) )(z = ))(( zgf โดยท f เปนฟงกชนตอเนอง ในยาน

จดท )( 0zg

ตวอยาง 2.29 จงแสดงวาฟงกชนพหนาม nn zazazaazPw ++++== ...)( 2

210

มความตอเนองทกคาของ 0z บนระนาบเชงซอน

วธทา จาก 000

lim aazz

=→

และ 00

lim zzzz

=→

ถา 01 ≠a แลว สามารถใชพชคณตลมตแสดงไดวา

( ) 0110

lim zazazz

=→

จากนนใชอปนยเชงคณตศาสตร จะไดวา

( ) kk

kkzz

zaza 00

lim =→

สาหรบ k = 1,2,3,…,n

ดงนน =→

)(lim0

zPzz

)(lim 00

000

zPzazan

k

kk

n

k

kkzz

==

∑∑==

→

นนคอ P มความตอเนองท 0z


เทคนคหนงในการใชคานวณลมตคอการประยกตใชทฤษฎบท 2.4 กบผลหาร ถาเราให P

และ Q เปนพหนามและถา ( ) 00 ≠zQ แลว

)()(

)()(lim

0

0

0 zQzP

zQzP

zz=

→.

เทคนคอนๆ จะเปนเทคนคทเกยวของกบการกระจายพหนาม คอ ถาทง ( ) 00 =zP และ

( ) 00 =zQ สามารถกระจายออกไดเปน ( ) ( ) ( )zPzzzP 10−= และ ( ) ( ) ( )zQzzzQ 10−=

ถา ( ) 001 ≠zQ แลว ลมตคอ

=→ )(

)(lim0 zQ

zPzz )(

)()()()()(

lim01

01

10

10

0 zQzP

zQzzzPzz

zz=

−−

→

ตวอยาง 2.30 จงแสดงวา izz

iziz

−=+−

−+→

122

2lim2

2

1

วธทา กาหนดให P และ Q เปนเศษและสวนจากโจทย ตามลาดบ จะไดวา

)1)(1()( izizzP ++−−= และ )1)(1()( izizzQ +−−−=

สามารถหาคาของลมตได คอ

=+−

−+→ 22

2lim 2

2

1 zziz

iz )1)(1()1)(1(lim

1 iziziziz

iz −−−−++−−

+→

= iziz

iz +−++

+→ 11lim

1

= iiii

+−++++

1)1(1)1(

= i

i2

22 +

= i−1


ขอ1 – 20 จงหาคาของลมตตอไปน

1. ( )zziz

−→

2

2lim 2.

zzzz

iz +−

+→1lim

3. ( )ziziz

−−→

2

1||lim 4.

)Re()Im(lim

2

3 zzz

iz =→

5. π

πe

iz→lim 6. z

izze

→lim

7. ( )zez

iz+

+→2lim 8.

++

→ xyiyxeiz

arctan||loglim 22


9. ( )zziz

−−→

2

2lim 10. ( )zzz

iz+−

→

25lim

11.

+

→ zz

iez

1lim4/π

12. 11lim 2

2

1 −

++→ z

ziz

13. iz

ziz +

−−→

1lim4

14. )2()2(lim22

2 iziz

iz +−+−

+→

15. 0

0 )()(lim0 zz

bazbazzz −

+−+→

16. 11623 lim 223 ++

−++−→ zz

iziz

17. )524(lim 2

2izz

iz++−

+→ 18.

124lim

2

+++

→ zzz

iz

19. iz

ziz −

−→

1lim4

20. 12

2lim 2

2

1 +−+−+

+→ zzizz

iz

21. จงแสดงวา 0lim2

0=

→ zx

z

22. จงแสดงวา 0200

2 cos)cos(lim 0

0

yixyeyixye xx

zz+=+

→

23. จงแสดงวา [ ] 020

20

22 )ln()ln(lim0

iyyxiyyxzz

++=++→

โดยท 00 ≠z

24. จงแสดงวา 0lim2

0=

→ zz

z

ขอ 25- 30 จงพจารณาวาฟงกชนทกาหนดให เปนฟงกชนตอเนองหรอไม

25. 29 24 −+− izzz 26. 1

12 ++

zz

27. 2356

2

2

++++

zzzz

28. 22

12

4

+++zz

z

29. 1−

+x

iyx 30.

1−+

ziyx

31. จงพจารณาวา 22

23 3),(yxxyxyxu

+−

= มลมตหรอไม เมอ )0,0(),( →yx

32. จงพจารณาวา zzzf =)( มลมตหรอไม เมอ 0→z

33. กาหนดให 22

22

2

2 2)(yx

xyiyxzzzf

++−

== .

a) จงหาคา )(lim0

zfz→

เมอ 0→z ตามแนวเสนตรง y = x

b) จงหาคา )(lim0

zfz→

เมอ 0→z ตามแนวเสนตรง y = 2x


c) จงหาคา )(lim0

zfz→

เมอ 0→z ตามแนว พาราโบลา 2xy =

d) สรปคา )(lim0

zfz→

33. กาหนดใหz

zzzf )Re()( = เมอ 0≠z และ ให 0)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนอง

สาหรบทกคาของ z

34. กาหนดให xy eiyxezf −+= 2)( จงแสดงวา )(zf ตอเนองสาหรบทกคาของ z

35. กาหนดให 2

22

)(z

iyxzf += เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด

กาเนดหรอไม

36. กาหนดให z

zzf )Re()( = เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด


37. กาหนดให zzzf

2)Re()( = เมอ 0≠z และ ให 1)0( =f จงแสดงวา )(zf ตอเนองทจด


38. กาหนดให 2/)(2/12/1)( ziArgezzzf == จงแสดงวา ( )zf ไมตอเนองท 00 =z และทกจด

บนแกน x ทางดานลบ

39. กาหนดให ( ) iArgzzf += ln z ซง Arg<−π π<z จงแสดงวา ( )zf ไมตอเนองท

00 =z และทกจดบนแกน x ทางดานลบ

40. ให ( ) Mzg ≤ และ ( ) 0lim0

=→

zfzz

จงแสดงวา ( ) ( ) 0lim0

=→

zgzfzz

41. กาหนดให 0zzz −=∆ จงแสดงวา ถา ( ) 000lim wzzfz

=∆+→∆

แลว ( ) 00

lim wzfzz

=→

42. กาหนดให ( )zf ตอเนองทกคา z

a) จงแสดงวา ( ) ( )zfzg = ตอเนองทกคา z

b) จงแสดงวา ( ) ( )zfzg = ตอเนองทกคา z


บทท 2 ............................................................................................................................. 38 ฟงกชนเชงซอนและการสง .................................................................................................... 38

2.1 ฟงกชนเชงซอน .......................................................................................................... 38 แบบฝกหด 2.1 ............................................................................................................... 41 2.2 การสงเชงซอน .......................................................................................................... 41 แบบฝกหด 2.2 ............................................................................................................... 45 2.3 การสงเชงเสน ........................................................................................................... 46 แบบฝกหด 2.3 ............................................................................................................... 54 2.4 ฟงกชนกาลงพเศษ ...................................................................................................... 55 แบบฝกหด 2.4 ................................................................................................................ 62 2.5 ฟงกชนสวนกลบ ........................................................................................................ 63 แบบฝกหด 2.5 ................................................................................................................ 72 2.6 ลมต และความตอเนอง ................................................................................................. 74 แบบฝกหด 2.6 ................................................................................................................ 82


การเปลยนขนาด ...................................... 49 การผกผนในวงกลมหนงหนวย .................... 64 การเลอนขนาน ........................................ 46 การสงเชงซอน ........................................ 41 การสงเชงเสน ......................................... 46 การสงสวนกลบ ....................................... 66 การหด .................................................. 50 การหมน ............................................... 47 ตวประกอบการเปลยนขนาด ....................... 50 ฟงกชนกาลง........................................... 55 ฟงกชนเชงซอน ....................................... 38 ฟงกชนเชงซอน ตอเนอง ............................ 81

ฟงกชนรากท 2 มขสาคญ ........................... 61 ฟงกชนรากท n มขสาคญ ........................... 62 ฟงกชนเลขชกาลง .................................... 39 ฟงกชนสวนกลบ ..................................... 63 ฟงกชนสงยคเชงซอน ............................... 66 ภาพของจดภายใตการสงเชงเสน .................. 51 ภาพของเสนโคงองตวแปรเสรม ................... 44 ระบบจานวนเชงซอนขยาย ......................... 68 ลมต ..................................................... 74 เสนโคงองตวแปรเสรม .............................. 43

Documents

ฟ ชังก นเชอนและการสิงซ งmaths.sci.ku.ac.th/suchai/417312/ch2.pdf2.1 ฟ งก ช อนงซ นเช 39 ส วนจร งและส