77prvo Predavanje 2012 Final

Matrina analiza konstrukcija 1

MATRINA ANALIZA KONSTRUKCIJA

-Informacije o predmetu-kolska godina 2011/2012

Prof. Mira Petronijevi


MATRINA ANALIZA KONSTRUKCIJA2011/2012

FOND ASOVA: 4+2PROFESOR dr Mira Petronijevi, v.prof.

KABINET 145

PREDAVANJA SREDA 10:15-12h SALA 225ETVRTAK 10:15-12h SALA 225

KONSULTACIJE SREDA 14-15h KABINET 145


MATRINA ANALIZA KONSTRUKCIJAASISTENT mr Marija Nefovska-Danilovi KABINET 333

Miroslav Marjanovi KABINET 333dr Marina etkovi KABINET 333Marko Radii KABINET 333Nevenka Kolarevi KABINET 333

VEBE UTORAK 10:15-12h SALA 316 (II GRUPA)*

12:15-14h SALA 319 (I GRUPA)

* PODELA NA GRUPE E BITI ISTAKNUTA NA TABLI ISPRED KABINETA 145


USLOV ZA POHAANJE NASTAVE IZ MAK

Studenti mogu pohaati nastavu iz MAK ako su ostvarili potpis iz

STATIKE KONSTRUKCIJA


Matrina analiza konstrukcijaObaveze studenata - prisustvovanje predavanjima- prisustvovanje vebama- overen elaborat

Uslov za potpis prisustvo na 50/56 asova predavana prisustvo na 24/28 asova vebanja ocena vea od 6 na elaboratu i testovima


ElaboratStudenti rade ukupno 3 GRAFIKA RADA i 3 TESTA. Svaki od radova se u zakazanom terminu predaje asistentu na pregled i ocenu. Steeno znanje se proverava na testu. Ocena na jednom grafikom radu je jednaka prosenoj oceni iz zadatka i testa. Ocena na elaboratu je jednaka prosenoj oceni za sva 3 rada.Ocena na elaboratu se dodaje broju bodova kojestudent ostvari na pismenom ispitu. Ova olakica vai jednu kolsku godinu, od juna 2012. do oktobra 2013.


Student se moe osloboditi usmenog dela ispita ako poloi 2 kolokvijuma (vie od 50%poena). Kolokvijumi se rade prema sledeem rasporedu:

I kolokvijum 19.04.2011.II kolokvijum 31.05.2011.

Kolokvijum je u vidu testa, koji se sastoji od 25 kombinovanih pitanja (izvoenje, zaokruivanje, dopunjavanje..). Radi se 2 asa. Pogreni odgovori donose negativne poene.

Oslobaanje od usmenog dela ispita vai jednugodinu (od juna tekue godine do oktobra naredne godine). Nakon tog roka polae se ceo ispit.

Oslobaanje usmenogdela ispita


Literatura M. Sekulovi: Teorija linijskih nosaa, GK M.Petronijevi, M. Nefovska-Danilovi,

Statika konstrukcija 2. Zbirka zadataka sa izvodima iz teorije, GF, 2007.

M. Sekulovi, M. Petronijevi: Statika konstrukcija 2: Zbirka reenih ispitnih zadataka, GF

R. Salati, S. ivanovi: Zbirka zadataka iz stabilnosti i dinamike konstrukcija, GF

Web site fakulteta/predmeta www.grf.bg.ac.yu


1. UVOD

MAK- istorijat i osnove.Rekapitulacija osnovnih jednaina

klasine statike ravnih linijskih nosaa.

M. Petronijevi


Matrina analiza konstrukcija

Statikaravnih i prostornih linijskih nosaa Stabilnost ravnih linijskih nosaa


Linijski nosai

Statiki odreeni Statiki neodreeni


prema pristupu

Metode analize linijskih nosaa

Metode klasine statike konstrukcija

Matrina analiza konstrukcija


Metode analize

Metoda sila Metoda deformacije

prema izboru nepoznatih


Analizira se nosa u celini, kao sistem povezanih tapova,

Utvruje se statika odnosno deformacijska neodreenost nosaa,

Usvaja se metoda za reavanje, Formiraju se jednaine za odreivanje

nepoznatih (uslovne jednaine), odreuju nepoznate veliine i sile u presecima nosaa.

Klasina statika konstrukcija(od Isaac Newton-a 1666.)


tap je osnovni element nosaa, Nosa se posmatra kao skup meusobno

povezanih tapova, Za nepoznate veliine biraju se parametri

(pomeranja ili sile) u vorovima nosaa, Na osnovu linearne teorije tapa uspostavljaju

se veze izmeu vektora sila i vektora pomeranja krajevima tapa u matrinom obliku,

Formiraju se jednaine za odreivanje nepoznatih (uslovne jednaine), odreuju nepoznate veliine i sile u presecima nosaa.

1.1 Matrina analiza konstrukcija


1930 Matrina analiza je prvi put primenjena u reavanju problema aeroelastinosti, Collar i Duncan,avio-industrija, GB

1934 Prva knjiga Collar, Duncan i Frazer1955 Argyris, metoda sila i metoda

deformacije1959 Tyrner, Direct Stiffness Method 1964 Wilson, metoda konanih elemenata

(MKE)

Istorijski razvoj


Od 1964 Gallagher, Irons,Martin,Clough,Zienkiewicz

1977 Sekulovi


Od 1960-te godine sa ekspanzijom raunara, MATRINA ANALIZA KONSTRUKCIJA (metoda deformacije) se sve vie primenjuje u analizi linijskih nosaa.

Metoda je u literaturi poznata i kao DIRECT STIFFNESS METHOD (Direktna metoda krutosti). Ime potie od matrice krutosti koja daje vezu izmeu sila i pomeranja krajeva tapa.

Iz ove metode se praktino razvila METODA KONANIH ELEMENATA, mnogo optija metoda, koja se primenjuje u statikoj i dinamikoj analizi sloenih linearnih i nelinearnih linijskih i povrinskih nosaa.

Matrina analiza - Metoda deformacije


1.2 Osnove matrine analize1.2 Osnove matrine analizaKonstrukcija Matematiki

model

Reenje diskretnog modela

IDEALIZACIJA DISKRETIZACIJA

Diskretan model

REENJE


Idealizacija

DISKRETIZACIJA IDEALIZACIJA

element

oslonac

vorKonstrukcija

Matematiki model


Nosa sa posmatra kao sistem sastavljen od diskretnih elemenata tapova koji su povezani u vorovima nosaa

Diskretizacija

1 2 3 4 5 6 7 83 41 2 5 6 7

8 9

9 10

VOROVI

TAPOVI

4 54

Br. vorova 10Br. tapova 9


Nepoznate veliine su parametri u vorovima nosaa.

U zavisnosti od izbora parametara u vorovima, postoje 2 metode analize:

Izbor nepoznatih

Metoda sila Metoda deformacije


Parametri: sile u vorovima nosaa u pravcu osa globalnog koordinatnog sistema: H, V, M

Metoda sila se pokazala inferiornom u odnosu na metodu deformacije i praktino se ne koristi u matrinoj analizi konstrukcija.

Matrina analiza - Metoda sila:

HiMi

Vi

Mk

TkNk


Parametri: komponente pomeranja u, vi obrtanja vorova nosaa.

Matrina analiza - Metoda deformacije

uii

vi

kvk

uki k


Postoje 2 nivoa analize: analiza tapa i analiza sistema tapova,

Analiza tapa: uspostavljaju se veze izmeu sila i pomeranja na krajevima tapa,

Analiza strukture tapova: formiraju se jednaine za odreivanje nepoznatih pomeranja (uslovne jednaine) nosaa.

Analize


1

2

3

4

5

6

i

i

i

k

k

k

R NR TR M

RR NR TR M

k

k

k

i

i

i

vu

vu

qqqqqq

6

5

4

3

2

1

q

Vektor pomeranja Vektor sila

j j j jQ R K qMatrica krutosti tapa

Osnovna jednaina tapa jP: Vai linearna teorija tapa

x,y lokalni koordinatni sistem

Vektor ekvivalentnog optereenja

4

26 x

p(x)

1

35

E, A, I, l

y

Analiza tapa


* * *j

j

K q SMatrica krutosti sistema tapova

Uslovne jednaine za odreivanje pomeranja vorova predstavljaju uslove ravnotee vorova nosaa u globalnom koordinatnom sistemu:

1 2 3 4 5 6 7 8

9 10

Vektor pomeranja svih vorovaVektor sila u vorovima sistema

X

Y

X,Y - globalni koordinatni sistem

Deformacijska neodreenost nosaa: n=2K+m-zo

Analiza sistema tapova


Uslovne jednaine* * *K q S

DISKRETNI SISTEM

REENJE

*q jR,VEKTOR POMERANJA

VEKTOR SILA NA

KRAJEVIMA TAPOVA

Uslovne jednaine


formiranje matrica krutosti pojedinih elemenata,

formiranje matrice krutosti sistema, formiranje vektora slobodnih lanova, odreivanje pomeranja vorova

reavanjem sistema uslovnih jednaina, sraunavanje sila u tapovima nosaa.

Postupak analize:


Primena principa superpozicije

Odreivanje vektora ekvivalentnog optereenja

+ Qe

dati nosa

=

deformacijski odreen sistem datog nosaa

ekvivalentni nosaQe - ekvivalentno

optereenje


direktna, princip o min. potencijalne energije , metoda reziduuma (iz dif. jedn. problema)

Metode analize:


NEPOZNATE: sile u presecima:

M, N i T pomeranja i obrtanja:

u, v i deformacije:, i t

1.3 Linearna teorija tapa -rekapitulacija


JEDNAINE: uslovi ravnotee elementa tapa, veze izmeu pomeranja i deformacije

elementa tapa , veze izmeu sila u presecima i

deformacije (Hooke-ov zakon)



Osnovne pretpostavke:P1. Pretpostavka o malim pomeranjima

(pretpostavka o statikoj linearnosti)P2. Pretpostavka o malim deformacijama

(pretpostavka o geometrijskoj linearnosti )P3. Hookov zakon

(pretpostavka o fizikoj linearnost )



P1. Uslove ravnotee posmatramo na nedeformisanom tapu. Posledica: Uslovi ravnotee tapa su linearne jednaine.

000

t

n

dN p dsdT p dsdM Tds

Uslovi ravnotee tapa

dsC'

Cpndsptds

X

Y

MN

TM+dM

N+dN

T+dT

(I)


Veze izmeu pomeranja i deformacije tapa se izvode geometrijskim razmatranjem.Posledica P2 je da su te veze linearne.

Geometrijske veze

u+duds

CC1

X

Y

(1+)ds

v v+dv

uC'

C1'

dx+du

dy+dv

dx

dy

t

du dx dydv dy dx

dds

(II)


Klizanje poprenog preseka t

X

Y

O

O'

Tehnika teorija savijanja tapa

Timoenkov tap

t

osa tapa

v

v(y)

u

u(y)

C'(y)

C'

-t

yC

C(y)

Klizanje poprenog preseka t


Promena krivine X

Y

C1

ds

C1yCy

Cy

( )1 tdds

(1+)ds

O'

O''

''d

d(-t)t t+dt

y

-t'

(1+y )ds


Veze sila i deformacije

Posledica P3: Veze izmeu sila u preseku, temperature i deformacijskih veliina tapa su linearne.

ot

N tEF

tM tEI h

tTk

GF

(III)

Raspodela temperature:

y

O x

to

tu

to ht(y)

t


Jednaine tapa:Jednaine: 6 diferencijalnih (I i II) i 3 algebarske (III)

000

t

n

dN p dsdT p dsdM Tds

(I)

t

du dx dydv dy dx

dds

(II) t

M tEI h

ot

N tEF

tTk

GF

(III)


Nepoznate veliine tapa:Nepoznate: sile u presecima: M, N i T pomeranja i obrtanja ose: u, v i deformacije: , i tUkupan broj nepoznatih je 9.

Ako iz jednaina (III) , i t iskaemo u funkciji od M,N i T i zamenimo u jednaine (II) dobija se sistem od 6 dif. jednaina sa 6 nepoznatih.


6 nepoznatih veliina: M, N, T, u, v i 6 diferencijalnih jednaina I i II

Sistem je mogue reiti ako znamo jo i 6 integracionih konstanti 6 graninih uslova tapa.

Nepoznate i jednaine tapa:


NiMi

Ti

Mk

TkNk

granini uslovi po silama granini uslovi po pomeranjima

Granini uslovi tapa

Mogui granini uslovi: max3 po silama, min 3 po pomeranjima

i k

ivi vk

ui ukk


3 granina uslova po silama i 3 po pomeranjima

MiSik

Mk

Sikui=vi=0 vk=0

Osnovne statiki nezavisne veliine tapa:Sik, Mi, Mk

Dobijaju se 2 nezavisna sistema jednaina sa po 3 diferencijalne jednaine. Problem tapa je statiki odreen.


Sile u presecima tapa

Princip superpozicije: Z=Z1+Z2++ Zn

Nco, Tco, Mco sile u preseku C proste grede od optereenja

pt

MiSik

Mk

Sik

pn

c co ikN N S k ic coik

M MT Tl

' +c co i c k cM M M M


6 graninih uslova po pomeranjima

Ako su svih 6 graninih uslova tapa zadati po pomeranjima, re je o metodi deformacije.

ivi vk

ui uk

k

j j j jQ R K q


Statiki nepoznate veliine nosaaReakcije spoljanjih veza broj

1.4 Ravni nosai Osnovne nepoznate i jednaine

Cu,i

iCoi

i

i i

Reakcije unutranjih vezaSik, Mi, Mk

zo+zu

zs+zk+m

Coi, Cu,i


Broj statiki nepoznatih:zo+zu+ zs+zk+m=Z+m

gde je:zo - broj oslonacazu - broj ukljetenjazs - broj tapovazk - broj krutih uglovam - broj grupa kruto vezanih tapova (br. vorova u kojima postoji bar 1 krut ugao)


Deformacijski nepoznate veliine nosaa: Komponente pomeranja krajeva tapa:

ui, vi, uk, vk

Broj nepoznatih : 2KK broj vorova nosaa

Ukupan broj statiki i deformacijski nepoznatih veliina nosaa:

zo+zu+ zs+zk+m+2K


1. Uslovi ravnotee vorovaJednaine: uslovi ravnotee vorova i

uslovi kompatibilnosti pomeranja

k

ikX

Y

Pi,x

Mi Pi,y

i

CuiCoi

Nik

TikMik

0

0

0

X

Y

M

Broj uslova ravnotee:2K + m

2K m

m- broj vorova u kojim postoji bar 1 krut ugao


2. Uslovi kompatibilnosti pomeranjaa) uslovi kompatibilnosti za relativna pomeranja

ik k il u u cos sinik k i ik k i ikl u u v v

(zs )

1) Promena duine tetive tapa:

-ugao obrtanja tetive tapaik- deformacioni ugao u voru i tapa ik

ik

ik

(-t)i

ik ik

ikki

(-t)k

vk

vi

ui

uk

poprecni presek

poprecni preseki

k

i'

k

ki

lik+lik

lik


i i k

r t ik ik ir iri

ik ir ir ik cos sink i ik k i ikk i

ikik ik

v v u uv vl l

cos sinr i ir r i irr iir

ir ir

v v u uv vl l

(zk )

2) Uglovi obrtanja poprenih preseka tapova kruto vezanih u voru i su isti:

ir

(-t)ii

kikk'

i'

r'

i(-t)i


b) uslovi kompatibilnosti za apsolutna pomeranja

coi

i

i'

ui

vi

i

(zo )cos sini i i i oiu v c i

k

iki'

k'cui =(-t)i

cui = ( -t )i (zu )

Broj uslova kompatibilnosti: zo+zu+ zs+zk

3) Pomeranje oslonca coi : 4) Obrtanje ukljetenja cui :

Ukupan broj jednaina: 2K+m+zo+zu+ zs+zk


Ukupan broj jednaina (uslovi ravnotee i uslovi kompatibilnosti pomeranja vorova) jednak je broju nepoznatih sila i pomeranja nosaa (aksijalne sile Sik , momenti na krajevima tapova Mik, Mki, reakcije oslonaca i ukljetenja Coi, Cui i pomeranja vorova ui i vi ):

zo+zu+zs+zk+2K+m

Documents

77prvo Predavanje 2012 Final