2.1 Predavanje - Naprezanje

8/15/2019 2.1 Predavanje - Naprezanje

1/31

Mehanika materijala (150)

2. NAPREZANJE


2/31

Mehanika materijala (150) Naprezanje 2

2.1. Vektor naprezanja, normalno

i posmično naprezanje

Tijelo mijenja oblik i dimenzije.DEFORMIRA SE!

Vanjske sile koje djeluju na

tijelo nastoje da razdvoje ili

približe čestice tijela.

Unutrašnje sile međučesticama se suprostavljajudjelovanju vanjskih sila.

Vektor srednjeg naprezanja:

i sr

i

F p

A

i A

i F

- elementarna površina

- elementarna unutrašnja sila


3/31

Naprezanje 3

sin

cos

p

p

- normalno naprezanje

- tangencijalno naprezanje (posmično naprezanje)

0o 90o , je pozitivno i nastoji da

razdvoji čestice (vlačno naprezanje)

90o 180o , je negativno i nastoji da

približi čestice (tlačno naprezanje)

Vektor naprezanja u točki: 0

lim A

F p

A

– puno naprezanje p p

nastoji uvijek da jedan sloj čestica smakne u odnosu na drugi sloj (klizanje ili smicanje!)



4/31

Naprezanje 4

Veličina i raspored naprezanja ne ovise o materijalu (u većini slučajeva), već o veličini iobliku tijela te o veličini i rasporedu opterećenja.

Veličina naprezanja može se definirati u bilo kojoj točki tijela, ali samo u odnosu naodređeni orijentirani presjek.

Vektor naprezanja, kao i njegove komponente imaju dimenziju FL-2 tj. dimenziju sile

podijeljenu s površinom. Osnovna jedinica je paskal (Pa):1 Pa = N/m2

Najčešće se koristi megapaskal (MPa = 106 Pa) odnosno gigapaskal (GPa = 109 Pa) zaelastične konstante.



5/31

Naprezanje 5

Primjer

Štap pravokutnog poprečnog presjekaopterećen je dvjema kolinearnimsilama prema slici. Odrediti normalno i

tangencijalno naprezanje u točki T za presjeke - i - . Pretpostaviti

jednoliku raspodjelu naprezanja po

presjeku.

Zadano: F = 5 kN, b = 2 cm, h = 5 cm, = 30o Rješenje:

2 2 2 4 22 10 5 10 m 10 10 m A bh

0:0 pA F F x MPa5Pa105m

N

1010

105 624

3

A

F p

Presjek - ; = 0o: cos0 5 MPa

sin 0 0

p p

p



6/31

Naprezanje 6

Presjek - ; = 30o:

4 220 10 mcos 3cos30

A A A

MPaPam

N

2 33,41033,4

103

20

105 6

4

3

A

F p

MPa165,230sin

MPa75,330cos

p

p

M.1.11. Inclined plane stresses. Theory

0 : 0 x F F pA



7/31

Naprezanje 7

2.2. Tenzor naprezanja

Red tenzora Poseban nazivPotreban broj podataka

Primjeru ravnini u prostoru

nulti skalar 20 = 1 30 = 1 masa, temperatura

prvi vektor 21 = 2 31 = 3 sila, pomak, brzina, moment

drugi tenzor 22 = 4 32 = 9naprezanje, deformacija, momenti

tromosti

četvrti - 24 = 16 34 = 81 tenzor elastičnosti


Način na koji se komponente neke veličine mijenjaju pri zakretanju koordinatnogsustava definira tenzor , a ne broj podataka.

za 3 presjeka: definirano naprezanje u bilo kojoj točki. p


8/31

Naprezanje 8

Prostorno stanje naprezanja:

3 komponente na 3 okomita presjeka: 9 komponenti naprezanja.

Komponenta naprezanja je pozitivna ako na:

- pozitivnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru,

- negativnom presjeku djeluje u negativnom smjeru.

Komponenta naprezanja je negativna ako na:- pozitivnom presjeku djeluje u negativnom smjeru,

- negativnom presjeku djeluje u pozitivnom smjeru.



9/31

Naprezanje 9

Prvi indeks označava presjek, a drugi smjer djelovanja naprezanja.

xx xy xz x xy xz

ij yx yy yz yx y yz

zx zy zz zx zy z

Jednoliko ili homogeno stanje naprezanja = istovjetne komponente naprezanja u svim

točkama tijela jednake (u suprotnom nehomogeno).



10/31

Naprezanje 10

Simetričnost matrice tenzora naprezanja

z y x y z x z y x M yz zy x ddd:0d)dd(d)dd(:01

zy yz

xy yx

zx xz

Analogno, za preostale dvije osi:

Devet komponenti tenzora; neovisnih komponenti ima šest - tri komponente normalnihnaprezanja i tri komponente tangencijalnih.



11/31

Naprezanje 11

Ravninsko stanje naprezanja

x

y

xy

yx

y yx

xy x

ij

z = zx = zy = 0

Osno stanje naprezanja

x

x

x xij

z = zx = zy = 0

y = yx = yz = 0


M.12.5. Plane stress transformations - Terminology


12/31


2.3. Transformacija dvoosnog stanja naprezanja

Oxy – stari ili osnovni koordinatni sustav

y xO – novi transformirani koordinatni sustav


13/31

Naprezanje 13

sincos y

x

y

y

d

d

d

d

0 : d d sin d cos d cos d sin 0 : d x x xy x yx y F y y y x x y

d d d dcos sin sin cos

d d d d x x y xy yx

y x y x

y y y y

yx xy

0 : d d cos d sin d sin d cos 0 : d y xy xy x yx y F y y y x x y

d d d dsin cos cos sin

d d d d xy x y xy yx

y x y x

y y y y



14/31

Naprezanje 14

sincos x y x x d

d

d

d

2 2( )cos sin (cos sin ) yx x y xy

2 2sin cos 2 cos sin y x y xy

:0 x F

:0 y F



15/31

Naprezanje 15

2 2cos sin 2 cos sin x x y xy

2 2sin cos 2 cos sin y x y xy

2 2( )cos sin (cos sin ) xy x y xy


;2

2cos1sin;

2

2cos1cos 22

2cossincos;2sinsincos2 22

cos 2 sin 2

2 2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x y x xy

x y x y y xy

x y xy yx xy

1. i 2. invarijanta tenzora naprezanja:

1

2 22

.

.

x y x y

x y xy x y xy

I konst

I konst


16/31

Naprezanje 16Mehanika materijala (150)

M.12.1. Amazing stress camera


17/31


2.4. Glavna naprezanja

d

2sin 2 2cos 2 0d 2

x y x xy

d2 sin 2 cos 2 2 0

d 2

x y x xy xy

0tan2

( ) 2

xy

x y

0 – kut koji ekstremna normalna naprezanja zatvaraju s osi x.

2 0 ima dvije različite vrijednosti, 2 0' i 2 0'' , koji se razlikuju za , odnosno 0' i 0''

koji se razlikuju za /2. Jedna vrijednost daje položaj maksimalnog naprezanja max, adruga minimalnog min. Ekstremne vrijednosti naprezanja zovu se glavna naprezanja, a

odgovarajući presjeci, odnosno osi, glavni pr esjeci i glavne osi naprezanja.

1 = max, 2 = min


18/31


1,22 2

2 2

2

2 2

2 2

x y x y x y xy

xy

x y x y xy xy

xy

2

y x

2

2

2 xy

y x

02

2

20

2

2sin

xy

y x

xy

2

20

2

22cos

xy

y x

y x

cos 2 sin 22 2

x y x y x xy


19/31

Naprezanje 19

2

21,2

2 2

x y x y xy

Predznak "+" za 1

Predznak " – " za 2

2.5. Mohrova kružnica naprezanja


Predložio: K. Culmann 1866. Usavršio: O. Mohr 1895.

2

2

cos 2 sin 22 2

sin 2 cos 22

x y x y x xy

x y xy xy

2 2

2 2

2 2

x y x y x xy xy

2 2 2( ) ( ) x p y q R

Jednadžba kružnice:

K oordinate središta: ; 02

x ym p q

2

2

2

x y xy R

Polumjer:


20/31

Naprezanje 20

Pozitivni xy se nanosi

ispod osi apscisa, a

pozitivni yx iznad osi

apscisa. Posmična naprezanjakoja "okreću" vanjskunormalu u smjeru

kazaljke na satu crtaju

se iznad osi apscisa, a

ispod osi ona koja

"okreću" suprotno odkazaljke na satu.



21/31


22/31

Naprezanje 22

Za crtanje Mohrove kružnice potrebno je poznavati četiri podatka. Najčešće su to normalno i posmičnonaprezanje na dva okomita presjeka.

x

y

x

y

xy

yx

A

B

+ xy

O

A

B

+ yx

yx

xy

xy

yx

x

y



23/31

Naprezanje 23

+ xy

O

A

B

+ yx

yx

xy

S



24/31


25/31

Naprezanje 25

+ xy

O

A

B

+ yx

yx

xy

S

x x

xy



26/31

Naprezanje 26

B

y

P

y

yx

+ xy

O

A

+ yx

yx

xy

S

x x

xy



27/31

Naprezanje 27

B

y

P

+ xy

O

A

+ yx

yx

xy

S

x

(1)

C

D

0

1

0

(2)

1

2

2



28/31

Naprezanje 28

B

y

P

+ xy

O

A

+ yx

yx

xy

S

x

C

D

E

x

E

E E

E



29/31


30/31


31/31


M.12.11. Mohr’s circle game

M.12.12. Mohr’s circle game

M.12.17. Principal stresses using Mohr’s circle - Theory

Documents

2.1 Predavanje - Naprezanje