Nội dung ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 – Tích phân xác định.

3 – Tích phân suy rộng.

4 – Ứng dụng của tích phân.

I. Tích phân xác định Bài toán

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, hai đường thẳng x = a và x = b. ( )y f x

Chia S một cách tùy ý ra làm n miền con: S1, S2, …, Sn.

Xấp xỉ mỗi miền con S1, S2, …, Sn bằng các hình chữ nhật

Hình dưới là các trường hợp chia thành 2 và 4 phần.

Hình dưới là các trường hợp chia thành 8 và 12 phần.

n càng lớn, diện tích tính được càng chính xác.

Trên mỗi miền S1, S2, …, Sn lấy tùy ý một điểm

Ta có 1 2 ... nS S S S

* * *

1 1 0 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( )n n nS f x x x f x x x f x x x

*

1

( )n

i i

i

S f x x

max( ) 01

lim ( ) ( )i

bn

i ix

i a

S f x x f x dx

Nếu giới hạn tồn tại không phụ *

01

lim ( )i

n

i ix

i

I f x x

thuộc cách chia S và cách lấy điểm , thì gọi là *

ix I

tích phân xác định của hàm y = f(x) trên đoạn [a,b] và

Ví dụ

Tìm diện tích S miền phẳng giới hạn bởi đường cong:

, trục hoành, hai đường thẳng x = 0 và x = 1. 2y x

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên trái

Chia S thành 4 miền, và chọn điểm trung gian bên phải

8 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

10 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

30 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

50 miền con (chọn điểm trung gian bên trái, bên phải)

Bảng thống kê một vài giá trị của Ln và Rn

1. -b

a

dx b a

Tính chất

2. ( ) ( ) ( ) ; b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx a c b

3. ( ) ( ) ( ) ( )

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

0 05. , ( ) 0 , ( ) 0 & x a b f x x a b f x

4. Nếu , thì ( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx , ( ) ( )x a b f x g x

( ) 0b

a

f x dx

0 0 06. , ( ) ( ) , ( ) ( ) & x a b f x g x x a b f x g x

Tính chất

7. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì | f | khả tích trên [a,b]:

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

( ) ( )b b

a a

f x dx g x dx

8. Nếu f(x) khả tích trên [a,b], thì

( ) ( ) ; ( ) ( )x b

a x

F x f t dt G x f t dt

là những hàm liên tục trên đoạn này.

9. ( ) ( ) 0 leû

a

a

f x f x dx

Tính chất

0

10. ( ) ( ) 2 ( ) chaün

a a

a

f x f x dx f x dx

0

11. ( ) ( ) ( ) tuaàn hoaøn chu kyø T

a T a

a

f x f x dx f x dx

Ví dụ Tính 2008

0

sin(2008 sin )I x x dx

Hàm liên tục, tuần hoàn chu kỳ và hàm lẻ: 2008T 1004

1004

sin(2008 sin )tuaàn hoaøn T

I x x dx

0leû

( ) ( ) ( ) ( )b

b

aa

f x dx F x F b F a

Công thức Newton - Leibnitz

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

'

( ) ( )x

a

f t dt f x

Công thức Đạo hàm theo cận trên

Nếu f(x) liên tục trên [a,b], thì với mọi nguyên hàm F(x)

'( )

'( ) ( ) ( )x

a

f t dt f x x

Hai phương pháp tính tích phân xác định

Đổi biến

Nếu f(x) liên tục trên (a,b), xác định và liên tục '( ), ( ) t t

trong khoảng , ngoài ra 1 2,t t 1 2( , ) ( )t t t a t b

2

1

'( ) ( ( )) ( )tb

a t

f x dx f t t dt Khi đó:

1 2( ) , ( )t a t b trong đó

Hai phương pháp tính tích phân xác định

Từng phần

b bb

a

a a

udv uv vdu

Nếu u(x), v(x) cùng với các đạo hàm liên tục trên [a,b],

Chứng minh.

Ví dụ Tích phân nào lớn hơn

/ 2 / 23 7

0 0

sin , sinI xdx J xdx

7 30, / 2 sin sinx x x

/ 2 / 2

7 3

0 0

sin sinxdx xdx

Ví dụ Chứng minh 1 19

20

1 1

2020 2 1

x dx

x

19 19

19

2(0,1) :

2 1

x xx x

x

tích phân hai vế ta có biểu

thức cần chứng minh

Ví dụ Tính giới hạn của dãy 5 5 5

6

1 2n

nS

n

Xét hàm trên đoạn [0,1]. 5( )f x x

Chia đoạn [0,1] ra thành n phần bằng nhau, mỗi

phần có độ dài 1/n.

Trên mỗi đoạn con chọn điểm 1

,k k

n n

k

n

lim nn

S

1

1lim

n

nk

kf

n n

5 5 5

5

1 1 2limn

n

n n

1

0

( )f x dx1

6

0

1lim

6 6n

n

xS

Ví dụ Tính 1 1 1

lim1 2x n n n n

Xét hàm trên đoạn [0,1]. ( ) 1/(1 )f x x

Chia [0,1] ra thành n phần bằng nhau, có độ dài 1/n.

Trên mỗi đoạn con chọn điểm 1

,k k

n n

k

n

1

1lim

n

nk

kf

n n

1 1 1 1lim

1 1/ 1 2/ 1 /n n n n n n

1

0

( )f x dx

1 1 1 1 1 1 1

1 2 1 1/ 1 2/ 1 /n n n n n n n n n

1

0

ln 21

dx

x

Ví dụ Tính

2

0

0

cos

lim

x

x

t dt

Ix

Nhận xét 02

0

cos 0x

xt dt

Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 0

0

'

2

0

'0

cos

lim

x

x

t dt

Ix

2

0

coslim cos0 1.

1x

x

Ví dụ Tính

sin

0

tan0

0

tan

lim

sin

x

xx

tdt

I

tdt

Nhận xét

sin tan0 0

0 0

tan 0, sin 0x x

x xtdt tdt

Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital 0

0'

sin

0

'0 tan

0

tan

lim

sin

x

x x

tdt

I

tdt

20

tan(sin ) coslim

sin(tan ) (1/ cos )x

x x

x x

1.

Ví dụ Tính

2

0

2

(arctan )

lim1

x

x

t dt

Ix

Nhận xét 2

0

(arctan )x

xt dt

Tích phân trên có dạng vô định , dùng qui tắc Lôpital

'

2

0

'0 2

(arctan )

lim

1

x

x

t dt

I

x

2 21 arctanlimx

x x

x

2

4

I. Tính các tích phân sau 37

3 20

1) 1

xdx

x

4

27

2) 9

dx

x

ln3

0

3) 1x

dx

e

1

cos(ln )4)

e x dx

x

1

1

5) 1xe dx

sin1

141

20

32ln

4 7

2 1ln

3( 2 1)

12e

e

I. Tính các tích phân sau

115 8

0

6) 1 3x x dx

/ 4

30

cos27)

sin cos 2

xdx

x x

/ 6

20

cos8)

6 5sin sin

xdx

x x

/ 2

0

cos9)

7 cos2

xdx

x

6/ 2

6 60

sin10)

sin cos

xdx

x x

29

270

2 3

2 2 3

-1

18

10ln

9

2

12

4

/ 46

0

11) tan xdx

1

20

13) 2 1

dx

x x

1/32

0

14) cosh 3xdx

3

0

15) arcsin1

xdx

x

/ 4

30

12) cos

dx

x

2 5ln

1 2

1 1sinh 2

12 6

43

3

13

15 4

2 2 2ln

2 2

/ 2

4 4

0

16) cos2 sin cosx x x dx

2

1/

1/ 2

18) 1 1/ x xx x e dx

1

0

19) arcsin xdx

1

20) 1 ln

e dx

x x

1

20

ln(1 )17)

(1 )

x dx

x

5/ 23

2e

4

2 2 1

ln 28

0

1 1 22) 1 1 1

n

n n n n

2 2 2

1 2 2 13)

n

n n n

/n

1

25)

1/

k n

k n k

1 2 ( 1)1) sin sin sin

n

n n n n

22 2 1

3

6

1

ln 2

2

II. Tính giới hạn của các dãy sau

2 2 2 2 2

1 1 14)

4 1 4 2 4n n n n

2

3

2 43)

1

x

x

d dt

dx t

2

2

0

1) 1xd

t dtdx

cos3

sin

4) cosx

x

dt dt

dx

II. Tính các đạo hàm sau

21

2) t

x

de dt

dx