tục trên (a,b). Ta nói F(x) một của nếu PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN · Tích phân xác định •Tích phân xác địnhcủahàm f từa đếnb là: (nếugiớihạnnày

9/10/2016

1

Bài giảng Toán Cao cấp 1 Nguyễn Văn Tiến

PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN

CHƯƠNG 3


Định nghĩa nguyên hàm

• Định nghĩa: Cho hàm f(x) liên tục trên (a,b). Ta nói F(x)là một nguyên hàm của f(x) trên (a,b) nếu:

• Ví dụ:

, ,F x f x x a b

laø moät nguyeân haøm cuûa

treân

laø moät nguyeân haøm cuûa a treân R.

2tan 1 tan

\ 2 12

lnx x

x x

R n

a a


Tích phân bất định

• Tích phân bất định của hàm f(x) ký hiệu:

• Được xác định như sau:

• F(x) là một nguyên hàm của f(x).

• C: hằng số tùy ý.

f x dx

f x dx F x C


Tính chất

)

) .

)

i f x dx f x

ii k f x dx k f x dx

iii f x g x dx f x dx g x dx


Công thức cơ bản

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. cos

8. sin

x x

k dx x dx

dx dx

xx

a dx e dx

ax b dx

ax b dx



2 2

22

2 22 2

2 2

9. 10.cos sin

11. 12.11

13. 14.

15. 16.

dx dx

x x

dx dx

xx

dx dx

a xa x

dx dx

a x x a

9/10/2016

2



2

2

17. 18.sin cos

19. 20.cos

21. 22.sin

ax b

dx dx

x x

dx dx

ax bax b

dxe dx

ax b


Tích phân xác định• Định nghĩa: Nếu f là hàm số xác định trên [a;b].

3. Goïi laø caùc ñieåm maãu baát kyø

trong nhöõng ñoaïn con

* * *

1 2

*

1

, ,...,

; .

n

i i i

x x x

x x x

2.Giaû söû laø caùc ñieåm bieân

nhöõng ñoaïn con Ta coù

0 1 2, , ,...,

. : .n

i

a x x x x b

x a i x

1.Chia ñoaïn thaønh phaàn baèng nhau,

coù chieàu roäng

[ , ]a b n

b ax

n


Tích phân xác định• Tích phân xác định của hàm f từ a đến b là:

(nếu giới hạn này tồn tại).

• Khi đó ta nói hàm f khả tích trên [a,b].

*

1

limb n

inia

f x dx f x x


Chú ý

: daáu tích phaân : haøm laáy tích phaân

: caùc caän laáy tích phaân : bieán ñoäc laäp .

Tích phaân laø moät soá, khoâng phuï thuoäc vaøo .

Toång Riemann:*

1

,b

ab b b

a a an

ii

f x

a b dx x

f x dx x

f x dx f t dt f r dr

f x x


Tích phân xác định

• Công thức:

• Trong đó F(x) là một nguyên hàm (tích phân bấtđịnh) của f(x).

bb

aa

f x dx F x F b F a

C; 'f x dx F x F x f x


Tính chất

• Giả sử f(x), g(x) khả tích trên [a;b]. Khi đó ta có:

) ( ) ( )

) [ ( ) ( )] ( ) ( )

) ( ) ( ) ( )

b b

a a

b b b

a a a

b c b

a a c

a cf x dx c f x dx

b f x g x dx f x dx g x dx

c f x dx f x dx f x dx

9/10/2016

3


Tính chất

d) Với a<b và g(x)≤f(x) trên [a;b] ta có:

Hệ quả:

, ,

b b

a a

g x f x x a b g x dx f x dx

b b

a a

f x dx f x dx


Tính chất

• e) Nếu

• thì:

, ,m f x M x a b

b

a

m b a f x dx M b a


Tích phân hàm đối xứng

• Cho f liên tục trên [-a; a].

0

2

0

a a

a

a

a

f x dx f x dx

f x dx

f

f x

f x

x

x

f

f) Neáu f laø haøm chaün thì:

g) Neáu f laø haøm leû thì:


Các phương pháp tính

• Phân tích, biến đổi

• Đổi biến dạng 1

• Đổi biến dạng 2

• Tích phân từng phần


Phương pháp phân tích

• Chia đa thức

• Nhân liên hợp

• Áp dụng các công thức biến đổi hàm số

• Sử dụng công thức cơ bản


Đổi biến số dạng 1

• Đặt t=u(x)

• Ta đưa tích phân về dạng:

• Phải tìm u’ hoặc biến đổi u’ xuất hiện trước.

.u'f u x x dx f t dt

9/10/2016

4


Ví dụ

• Tính các tích phân sau

3 4

2 5

. cos 2 . 2 1

. 1 . . tan

a x x dx b x dx

c x x dx d xdx


Đổi biến số dạng 2

• Đặt: x=u(t)

• Biến đổi biểu thức tính tích phân về dạng:

.f x dx f u t u t dt


Ví dụ


2 12

20 01 2

2 20 2

) 4 )1

) )1 1

xa x dx b dx

x

dx dxc d

x x x


Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức tính tích phân về dạng:

• Đặt:

• Khi đó:

.f x dx h x g x dx

'du h xu h x

dv g x dx v g x dx

. .f x dx h x g x dx uv v du


Tích phân từng phần

• Đưa biểu thức về dạng tích

• Chọn hàm để đặt u và dv

• Chú ý: chọn sao cho việc tính đạo hàm và tíchphân dễ tính.

• Áp dụng công thức:

.udv uv v du


Các dạng cần nhớ. sin

.cos

. .

n

n

axn

P x ax dx

P x ax dx

P x e dx

. ln .

.arctan .

.arcsin .

n

n

n

P x x dx

P x x dx

P x x dx

Luong giacnguoc garit

thuc

Lo

Da Luong Mgiac u

9/10/2016

5


Ví dụ


2

1 0

12

0

3

) ln ) 2 1 sin

) cos ) arctan

e

a x xdx b x xdx

c x xdx d x xdx


Ứng dụng tích phân trong kinh tế

• Tìm chi phí khi biết chi phí cận biên

• Tìm doanh thu khi biết doanh thu cận biên



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Tìm hàm chi phí biết chi phí cố định là C0=200.

290 120 27MC Q Q Q



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, chi phí cận biênlà:

• Giả sử Q=1 thì chi phí là 60. Tìm hàm chi phí.

2 350 18 45 4MC Q Q Q Q



• Giả sử ở mỗi mức sản lượng Q, doanh thu cậnbiên là:

• Giả sử Q=1 thì R=37. Tìm doanh thu và hàm giátheo sản lượng.

23 8 30MR Q Q Q



• Cho biết doanh thu cận biên ở mỗi mức giá p là:

• Giả sử P=10 (ngàn đồng/sản phẩm) thì R=10,4(triệu đồng). Tìm doanh thu và hàm sản lượngtheo giá.

3 24 3 24 15MR P P P P

9/10/2016

6


Tích phân suy rộng

• Loại 1: cận vô hạn

• Loại 2: hàm có điểm kỳ dị


TPSR loại 1

• Dạng:

• Cách tính:

a

f x dx

limb

ba a

f x dx f x dx


TPSR loại 1

Neáu höõu haïn

thì hoäi tuï.

limb

ba

a

f x dx S

f x dx

Neáukhoâng toàn taïi

thì phaân kyø.

limb

ba

a

f x dx

f x dx


Ví dụ

• Tính các tích phân sau:

• Tổng quát:

21 1

. .dx dx

a I b Jx x

1

dxK

x


Ghi nhớ

• Tổng quát:

1

dxK

xhoäi tuï khi >1; phaân kyø khi 1

cuøng tính chaát.' 0a

dxK a

x


Các loại khoảng vô hạn

Daïng limb b

aa

f x dx f x dx

Daïng

c

c

f x dx f x dx f x dx

hoäi tuï

vaø cuøng hoäi tuï.

c

c

f x dx

f x dx f x dx

9/10/2016

7


Tiêu chuẩn hội tụ 1

• Cho

0 , ,f x g x x a

Neáu hoäi tuï thì hoäi tuï.

Neáu phaân kyø thì phaân kyø.

a a

a a

g x dx f x dx

f x dx g x dx



Cho vaøø

Neáu thì caùc tích phaân cuøng tính chaát.

HT HT

: PK

; 0, , lim

0

0:

x

a a

a a

f xf x g x x a k

g x

k

k g x dx f x dx

k g x dx f x dx PK



Cho coù daáu tuøy yùtreân

Neáu HT HT tuyeät ñoái.

PK

Neáu baùn HT.

HT

, .

a a

a

a

a

f x a

f x dx f x dx

f x dxf x dx

f x dx


TPSR loại 2

• Điểm kỳ dị: điểm x0 gọi là điểm kỳ dị của hàmf(x) nếu:

0limx xf x


Điểm kỳ dị ở cận trên

• Xét tích phân:

• Ta có:

vôùi limc

x caf x dx f x

= limc b

b ca af x dx f x dx


Điểm kỳ dị ở cận dưới

• Xét tích phân:

• Ta có:

vôùi limb

x aaf x dx f x

= limb b

c aa cf x dx f x dx

9/10/2016

8


Điểm kỳ dị trong khoảng tích phân

• Ta tách thành 2 tích phân có cận trên và cậndưới là điểm kỳ dị.

• Nếu cả 2 tích phân thành phần hội tụ thì tíchphân ban đầu hội tụ.

• Giả sử c là điểm kỳ dị nằm trong (a,b)

=

b c b

a a cf x dx f x dx f x dx


Ghi nhớ

• Tổng quát:

;b b

a a

dx dxK L

x a b x

hoäi tuï khi <1; phaân kyø khi 1



• Cho

0 , ,f x g x x a b

Neáu hoäi tuï thì hoäi tuï.

Neáu phaân kyø thì phaân kyø.

b b

a ab b

a a

g x dx f x dx

f x dx g x dx



Cho vaøø

Neáu thì caùc tích phaân cuøng tính chaát.

HT HT

: PK

; 0, , lim

0

0:

x b

b b

a ab b

a a

f xf x g x x a b k

g x

k

k g x dx f x dx

k g x dx f x dx PK



Cho coù daáu tuøy yùtreân

Neáu HT HT tuyeät ñoái.

PK

Neáu baùn HT.

HT

, .b b

a ab

bab

a

a

f x a b

f x dx f x dx

f x dxf x dx

f x dx

Documents

tục trên (a,b). Ta nói F(x) một của nếu PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN · Tích phân xác định •Tích phân xác địnhcủahàm f từa đếnb là: (nếugiớihạnnày