2 - 1 บทที่ 2 พิกัดเชิงข้ัว 2.1 ในระบบ ...pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1... · 2018-08-15 · 2 - 5 บทที่

บทท 2 พกดเชงขว 2 - 1

บทท 2

พกดเชงขว

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2301207 Calculus III 2561/1st


2.1 จดและสมการในพกดเชงขว ในระบบพกดฉาก เราบอกตาแหนงของจดบนระนาบโดย อางองตาแหนงกบเสนตรง 2 เสนทตดและตงฉากกน และตดกนเปนมมฉากท จดกาเนด เสนตรงแนวนอนของแกนพกดฉากคอ แกน X และ เสนตรงแนวดงของแกนพกดฉากคอ แกน Y ดงรปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ก) รปท 2.1.1 (ข) ในระบบพกดเชงขว เราใชเสนตรงทผานจด O ชวยในการบอกตาแหนงของจดในระนาบ ดจากรปท 2.1.1 (ข) ประกอบ เสนตรงทผานจด O เรยกวา แกนเชงขว เพอความสะดวกในศกษาเราใชแกน X ทางดานบวก หรอแกน OX ของระบบพกดฉากเปนแกนเชงขวในระบบพกดเชงขว และเรยกจดกาเนด O วา ขว


การบอกตาแหนงของจดในระนาบกจะใชแกนเชงขว OX ในการอางองตาแหนง ให P เปนจดบนระนาบ ให r เปนระยะทางจากจด O ไปยงจด P และสวนของเสนตรง OP ทามม กบแกน OX ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP เปนการวดทวนเขมนาฬกา แลว 0 ถา การวดมมจากแกน OX ไปยงเสนตรง OP เปนการวดตามเขมนาฬกา แลว 0 เราจะระบตาแหนง พกดเชงขว ของจด P ในระบบพกดเชงขวดวยคอนดบ (r, ) ดงแสดงในรปท 2.1.2

รปท 2.1.2 การเขยนจดและกราฟในระบบพกดฉากนยมเขยนในกระดาษกราฟทประกอบดวยเสนทขนานกนในแนวนอนและแนวดง ดงรปท 2.1.3 (ก)


ในระบบพกดเชงขวเราระบตาแหนงของจด P ดวยระยะทางจากจด O ถงจด P และ มมท OP ทากบแกน OX เพราะฉะนนกระดาษกราฟทเหมาะสมในการเขยนจดหรอกราฟ ในระบบพกดเชงขวจงควรมจดคงทเพอใหเปน ขว O มวงกลมรศม 1, 2, 3, ... รอบขว และ เสนตรงผานขวซงทามมตาง ๆ กน เชน 0, 6

, 3 , 2

, ... ดงรปท 2.1.3 (ข) รปท 2.1.3 (ก) รปท 2.1.3 (ข)


ตวอยางของจดในระบบพกดเชงขว เชน A(2, 0), B(3, 6),

C(3, 32 ), D(3, 6

7 ), E(4, 23)

และ F(3, 611)

รปท 2.1.4 จะเหนวา สาหรบแตละจดในระนาบทไมใชจดกาเนด จะมพกดเชงขว (r, ) สาหรบจดนนอยอยางนอยพกดหนง และในทางกลบกน สาหรบแตละพกดเชงขว (r, ) ซง r 0 เราจะหาตาแหนงของจดในระนาบทมพกดนนไดจดหนงเสมอ สาหรบจดกาเนดเราตกลงกนวา สาหรบมม ใด ๆ พกด (0, ) จะเปนพกดเชงขวของจดกาเนด


โปรแกรม GeoGebra


ในบางครง เราอาจจะยอมให r มคาเปนลบไดกลาวคอ ถา P มพกดเชงขวเปน (r, ) เมอ r 0 แลว พกดเชงขว (-r, ) จะหมายถงพกดของจด Q ซงเปนจดทไดจากการลากเสนตรงจากขวไปในทศทางตรงกนขามกบ OP เปนระยะทาง r ดงแสดงในรปท 2.1.5

รปท 2.1.5 สรป ตาแหนงของจด P(r, ) จะไดความยาวสวนของเสนตรง OP = r และตาแหนงของจด P เปนดงน ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดทวนเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา สวนเสนของตรง OP อยในทศทางเดยวกบแขนของมม ถา 0 และ r 0 แลว มม วดตามเขมนาฬกา สวนของเสนตรง OP อยในทศทางตรงขามกบแขนของมม


ความสมพนธระหวางพกดเชงขว (r, ) และพกดฉาก (x, y) ของจด P บนระนาบโดยท P ทไมใชจดกาเนด อาจพจารณาไดจากรปท 2.1.6

รปท 2.1.6 จะได x = r cos , y = r sin และ 2r = 2x + 2y , tan = x

y การเปลยนจาก พกดเชงขว เปน พกดฉาก กาหนดพกดเชงขว P(r, ) เมอเปลยนเปนพกดฉาก จะได x = r cos y = r sin การเปลยนจาก พกดฉาก เปน พกดเชงขว กาหนดพกดฉาก P(x, y) เมอเปลยนเปนพกดเชงขว จะได 2r = 2x + 2y ... (1) tan = x

y ... (2)


ตวอยาง 2.1.1 จงหาพกดเชงขวของจดในพกดฉากตอไปน เมอ r 0 และ 0 2 1. (-2, 0) 2. (- 3, 1) วธทา รปท 2.1.7 (ก) รปท 2.1.7 (ข) จาก 2r = 2x + 2y และ tan = x

y 1. จะได r = 0)2( 2 = 2 และ tan = 2

0

= 0 เพราะวา จด (-2, 0) อยบนแกน X ทางดานลบ เพราะฉะนน = เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (-2, 0) คอ (2, ) 2. จะได r = 22 1)3( = 2 และ tan = -

31

เพราะวาจด (- 3, 1) อยในจตภาคท 2. เพราะฉะนน = 6

5 เพราะฉะนน พกดเชงขวของจด (- 3, 1) คอ (2, 6

5 )


หมายเหต จากสมการ (1) คาของ r อาจเปนบวกหรอลบ และจากสมการ (2) คาของมมอาจมไดหลายคา เพราะฉะนนคาของ r, ทไดจาก (1) และ (2) ตองสอดคลองเงอนไข x = r cos และ y = r sin ดวย ตวอยางเชน P(-1, -1) จากสมการ (1) และ (2) จะได 2r = 2x + 2y = 2 และ tan = x

y = 1 จะเหนวาคาของ r, มไดหลายคา แตเราจะเลอก (r, ) ทเปน พกดเชงขวของ P เฉพาะทสอดคลองกบคาของ x และ y เทานน ซงจะพบวากยงเลอกไดหลายคาเชน ( 2 , 4

5 ) , (- 2 , 4), ...

ในกรณทตองการ r 0 และ เปนมมบวกทเลกทสด จะได พกดเชงขวของ P คอ ( 2 , 4

5 )

รปท 2.1.8


จากตวอยาง 2.1.1 ถาเรากาหนดให r 0 เราจะได จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, 0) จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (-2, - 6

) หรอ (-2, 611)

ถากาหนดชวงของ เปนแบบอน เชน ให - 2

23 เราจะได

จด (-2, 0) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, ) หรอ (-2, 0) จด (- 3, 1) ในระบบพกดฉาก จะเขยนพกดเชงขวไดเปน (2, 6

5 ) หรอ (-2, - 6)

ซงจะเหนไดวาในระบบพกดเชงขว จด ๆ หนงอาจจะมพกดเชงขวหลายแบบ ขอสงเกต จดบนแกน Y ทมพกดฉากเปน (0, y) จะมพกดเชงขวเปน (y, 2

) หรอ (y, 2n + 2) เมอ n I

จดบนแกน X ทมพกดฉากเปน (x, 0) จะมพกดเชงขวเปน (x, 0) หรอ (x, 2n) เมอ n I


ตวอยาง 2.1.2 จงหาพกดฉากของจดซงมพกดเชงขวตอไปน 1. P(7, - 4

) 2. Q(2, 34 )

วธทา

รปท 2.1.9 จาก x = r cos และ y = r sin 1. จะได x = 7 cos(- 4

) = 7 cos 4 =

27

และ y = 7 sin(- 4) = -7 sin 4

= -2

7 เพราะฉะนน จด (7, - 4

) ในระบบพกดเชงขว จะมพกดฉากเปน (

27 , -

27 )

2. จะได x = 2 cos 34 = -1 และ y = 2 sin 3

4 = - 3 เพราะฉะนน จด (2, 3

4 ) ในระบบพกดเชงขว จะมพกดฉากเปน (-1, - 3)


จากทกลาวมาขางตน จดใด ๆ ในระนาบทบอกตาแหนงของจดดวยพกดฉาก (x, y) สามารถเปลยนเปนพกดเชงขว (r, ) ได จากแนวคดแบบเดยวกนเราสามารถเปลยนสมการท แสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y ในระบบพกดฉาก เปนสมการทแสดงความสมพนธระหวางตวแปร r, ในระบบพกดเชงขวได รปท 2.1.10 (ก) รปท 2.1.10 (ข) สงทเราจะศกษาตอไปคอการเปลยนแปลงระหวาง สมการในพจนของ x, y ในพกดฉาก กบ สมการในพจนของ r, ในพกดเชงขว


ตวอยาง 2.1.3 จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว 1. x = 4 2. y = 2 3. 2x = 4y 4. 2x + 2y - 4x = 0 5. 2x + 2y - 6y = 0 วธทา 1. จาก x = 4 จะได r cos = 4 เพราะฉะนน r = 4 sec จะเปนสมการทตองการ 2. จาก y = 2 จะได r sin = 2 เพราะฉะนน r = 2 cosec จะเปนสมการทตองการ 3. จาก 2x = 4y จะได 2r 2cos = 4r sin r(r 2cos - 4 sin ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r 2cos = 4 sin r = 0 หรอ r = 4 sec tan จาก r = 4 sec tan จะเหนวา ถา = 0 แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 4 sec tan จะเปนสมการทตองการ


4. จาก 2x + 2y - 4x = 0 จะได 2r - 4r cos = 0 r(r - 4 cos ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 4 cos จาก r = 4 cos จะเหนวา ถา = 2

แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 4 cos จะเปนสมการทตองการ 5. จาก 2x + 2y - 6y = 0 จะได 2r - 6r sin = 0 r(r - 6 sin ) = 0 เพราะฉะนน r = 0 หรอ r = 6 sin จาก r = 6 sin จะเหนวา ถา = แลว r = 0 เพราะฉะนน r = 6 sin จะเปนสมการทตองการ สรป สมการในระบบพกดฉาก สมการในระบบพกดเชงขว x = 4 r = 4 sec y = 2 r = 2 cosec

2x = 4y r = 4 sec tan 2x + 2y - 4x = 0 r = 4 cos 2x + 2y - 6y = 0 r = 6 sin


ตวอยาง 2.1.4 จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก 1. r + 8 sin = 0 2. r =

cos22

3. r = sin2cos3

12 4. r = 4 5. r + 4 cos = 0 6. r = 2 sin + 2 cos 7. r = 4 sec วธทา 1. จาก r + 8 sin = 0 คณดวย r จะได 2r + 8r sin = 0 เพราะฉะนน 2x + 2y + 8y = 0 จะเปนสมการทตองการ 2. จาก r =

cos22

จะได r(2 - cos ) = 2 2r - r cos = 2 2r = 2 + r cos ยกกาลงสองทงสองขาง 4 2r = 4 + 4r cos + 2r 2cos จะได 4( 2x + 2y ) = 4 + 4x + 2x เพราะฉะนน 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0 จะเปนสมการทตองการ 3. จาก r =

sin2cos312

จะได 3r cos + 2r sin = 12 เพราะฉะนน 3x + 2y = 12 จะเปนสมการทตองการ


4. จาก r = 4 จะได 2r = 16 เพราะฉะนน 2x + 2y = 16 จะเปนสมการทตองการ 5. จาก r + 8 cos = 0 คณดวย r จะได 2r + 8r cos = 0 เพราะฉะนน 2x + 2y + 8x = 0 จะเปนสมการทตองการ 6. จาก r = 2 sin + 2 cos 2r = 2r sin + 2r cos 2x + 2y = 2x + 2y เพราะฉะนน 2x + 2y - 2x - 2y = 0 จะเปนสมการทตองการ 7. จาก r = 4 sec เพราะฉะนน r cos = 4 เพราะฉะนน x = 4 จะเปนสมการทตองการ สรป สมการในระบบพกดเชงขว สมการในระบบพกดฉาก r + 8 sin = 0 2x + 2y + 8y = 0 r =

cos22 3 2x + 4 2y - 4x - 4 = 0

r = sin2cos3

12 3x + 2y = 12 r = 4 2x + 2y = 16 r + 4 cos = 0 2x + 2y + 8x = 0 r = 2 sin + 2 cos 2x + 2y - 2x - 2y = 0 r = 4 sec x = 4


2.2 การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขว หรอฟงกชน r = f() มแนวคดเหมอนกบการเขยนกราฟในระบบพกดฉาก นนคอคานวณคาของ r และ ทสอดคลองกบสมการของ ฟงกชน แลวเขยนจด (r, ) ตามทคานวณได ตวอยาง 2.2.1 จงเขยนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (2, 0), (3,

6),

(2 + 2 , 4), (2 + 3, 3

), (4, 2), ... , (2, 2)

ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.1 (ก)

รปท 2.2.1 (ก)


รปท 2.2.1 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2

] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [ 2

, ] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ข) รปท 2.2.1 (ค)


รปท 2.2.1 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [, 2

3 ] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [ 2

3 , 2] โดยจะพบวาคาของ r เปนบวก เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ง) รปท 2.2.1 (จ)


รปท 2.2.1 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 2 + 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2]

รปท 2.2.1 (ฉ)


กราฟเชงขวเขยนโดยโปรแกรม GeoGebra


ตวอยาง 2.2.2 จงเขยนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), (1 + 3, 6

), (1 + 2 , 4

), (2, 3), (1, 2

), ... , (3, 2) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบดงรปท 2.2.2 (ก)

รปท 2.2.2 (ก)


รปท 2.2.2 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2

] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.1 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [ 2

, ] โดยจะพบวาบนชวง [ 2

, 65 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1

เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม บนชวง [ 6

5 , ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.2 (ข) รปท 2.2.2 (ค)


รปท 2.2.2 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [, 2

3 ] โดยจะพบวาบนชวง [, 3

4 ] คาของ r มคาระหวาง -1 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม บนชวง [ 3

4 , 23 ] คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 1

เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.2 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [ 23 , 2] โดยจะพบวาคาของ r = 1 + 2 cos มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.2 (ง) รปท 2.2.2 (จ)


รปท 2.2.2 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 1 + 2 cos เมอ อยในชวง [0, 2]

รปท 2.2.2 (ฉ)



ตวอยาง 2.2.3 จงเขยนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (3, 0), ( 2

33 , 12 ), ( 2

3 , 6), (0, 4

), (-23 , 3

), (- 2

33 , 125 ), (-3, 2

), ... , (3, 2) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ ดงรปท 2.2.3 (ก)

รปท 2.2.3 (ก)


รปท 2.2.3 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 4

] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4

, 2 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ข) รปท 2.2.3 (ค)


รปท 2.2.3 (ง) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 2

, 43 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (จ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4

3 , ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ง) รปท 2.2.3 (จ)


รปท 2.2.3 (ฉ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [, 4

5 ] โดยจะพบวา คาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ช) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4

5 , 23 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ฉ) รปท 2.2.3 (ช)


รปท 2.2.3 (ซ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 2

3 , 47 ]

โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง -3 กบ 0 เพราะฉะนน จงเหนไดวาจด (r, ) อยบนดานตรงขามแขนของมม รปท 2.2.3 (ฌ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [ 4

7 , 2] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 3 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.3 (ซ) รปท 2.2.3 (ฌ)


รปท 2.2.3 (ฐ) เปนกราฟของสมการ r = 3 cos 2 เมอ อยในชวง [0, 2]

รปท 2.2.3 (ฐ)



ตวอยาง 2.2.4 จงเขยนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ] วธทา คานวณหาคา r จากสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ] จะไดพกด (r, ) ตาง ๆ กน เชน (0, 0), (1, 6

), ( 2 , 4

), ( 3, 3), (2, 2

), ... , (0, ) ตอไปลงจด (r, ) ตามทคานวณไดในระนาบ รปท 2.2.4 (ก) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, 2

] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.4 (ข) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [ 2

, ] โดยจะพบวาคาของ r มคาระหวาง 0 กบ 2 เพราะฉะนนจงเหนไดวาจด (r, ) อยบนแขนของมม รปท 2.2.4 (ก) รปท 2.2.4 (ข)


รปท 2.2.4 (ค) เปนกราฟของสมการ r = 2 sin เมอ อยในชวง [0, ]

รปท 2.2.4 (ค) ขอสงเกต วงกลมทเกดจากสมการ r = 2 sin ใชชวงของมม [0, ] เทานน



2.3 สมมาตรของกราฟในระบบพกดเชงขว การเขยนกราฟในระบบพกดเชงขว หากเราไดพจารณาลกษณะสมมาตรแบบตาง ๆ ของกราฟจะทาใหเราเขยนกราฟในระบบพกดเชงขวไดงายขน สมมาตรทสาคญในระบบพกดเชงขวมดงน

สมมาตรเทยบกบแกนเชงขว จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (r, -) หรอ (-r, - )

รปท 2.3.1 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบแกนเชงขว เพราะฉะนน ถา F(r, -) = 0 หรอ F(-r, - ) = 0 นนคอ F(r, -) = F(r, ) หรอ F(-r, - ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว


การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

1. ถา F(r, -) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว หรอ 2. ถา F(-r, - ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เชน รปท 2.3.2 (ก) รปท 2.3.2 (ข) รปท 2.3.2 (ค)

หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ตองตรวจสอบโดยวธอน


สมมาตรเทยบกบขว จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (-r, ) หรอ (r, + )

รปท 2.3.3 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว กตอเมอ ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบขว เพราะฉะนน ถา F(-r, ) = 0 หรอ F(r, + ) = 0 นนคอ F(-r, ) = F(r, ) หรอ F(r, + ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว


การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว

1. ถา F(-r, ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว หรอ 2. ถา F(r, + ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบขว

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบขว เชน รปท 2.3.4 (ก) รปท 2.3.4 (ข) รปท 2.3.4 (ค)

หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบขว ตองตรวจสอบโดยวธอน


สมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

จด Q สมมาตรกบจด P(r, ) เทยบกบแกนเชงขว เมอจด Q มพกดเปน (-r, -) หรอ (r, - )

รปท 2.3.5 กราฟของสมการ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง =

2 กตอเมอ

ทกจด P บนกราฟของสมการ F(r, ) = 0 จะมจด Q บนกราฟของ F(r, ) = 0 โดยท Q สมมาตรกบจด P เทยบกบ เสนตรง = 2

เพราะฉะนน ถา F(-r, -) = 0 หรอ F(r, - ) = 0 นนคอ F(-r, -) = F(r, ) หรอ F(r, - ) = F(r, ) แลว กราฟของ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2


การตรวจสอบวากราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

1. ถา F(-r, -) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

หรอ 2. ถา F(r, - ) = F(r, ) แลว กราฟ F(r, ) = 0 มสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

ตวอยางของกราฟทมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2 เชน

รปท 2.3.6 (ก) รปท 2.3.6 (ข) รปท 2.3.6 (ค)

หมายเหต ในกรณทการตรวจสอบ ขอ 1. และ ขอ 2. ขางตน ไมจรง ยงไมสามารถสรปไดวา กราฟ F(r, ) = 0 ไมมสมมาตรเทยบกบเสนตรง = 2

ตองตรวจสอบโดยวธอน


ตวอยาง 2.3.1 จงตรวจสอบวากราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2

] มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

หรอไม และจงเขยนกราฟของ 2r = 4 sin 2 บนชวง [0, 2

] วธทา ให F(r, ) = 2r - 4 sin 2 = 0 ... (1)

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม 1. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, -) = 2r - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) 2. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2( - ) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1) จะได F(-r, ) = (-r)2 - 4 sin 2 = 2r - 4 sin 2 = F(r, ) เพราะฉะนน 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว


การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบ กบเสนตรง = 2

หรอไม 1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(-r, - ) = (-r)2 - 4 sin 2(-) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) 2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, - ) = 2r - 4 sin 2( - ) = 2r + 4 sin 2 F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได

การเขยนกราฟ 2r = 4 sin 2 เพราะวากราฟ 2r = 4 sin 2 มสมมาตรเทยบกบขว เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, 2

] เฉพาะคา r 0 ดงรปท 2.3.7 (ก) แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.7 (ข) รปท 2.3.7 (ก) รปท 2.3.7 (ข)


หมายเหต กราฟของสมการ 2r = 4 sin 2 ... (*) เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*) ตองเปน ททาให 4 sin 2 0 ดงนนคา ททาให 4 sin 2 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ จาก 4 sin 2 0 sin 2 0 จะได 0 2 และ 2 2 3 นนคอ 0 2

และ 23

เพราะฉะนน กราฟของสมการ (*) จะมจดในกราฟเมอ อยในชวง [0, 2

] และ [, 23 ] เทานน

พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ r = 2sin4 และ r = - 2sin4 โดยทฟงกชนทงสองจะใหกราฟเหมอนกน กลาวคอ


กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [0, 2 ]

จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [,

23 ]

ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 1. ดงรปท 2.3.7 (ค) และ กราฟของ r = 2sin4 เมอ อยในชวง [, 2

3 ] จะเหมอนกบกราฟของ r = - 2sin4 เมอ อยในชวง [0,

2 ]

ซงคอสวนทปรากฏในจตภาคท 3. ดงรปท 2.3.7 (ง) รปท 2.3.7 (ค) รปท 2.3.7 (ง)


ตวอยาง 2.3.2 จงตรวจสอบวากราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2] มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

หรอไม และจงเขยนกราฟของ r = 4 + 4 cos บนชวง [0, 2] วธทา ให F(r, ) = r - 4 - 4 cos = 0 ... (1)

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบแกนเชงขวหรอไม แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, -) = r - 4 - 4 cos(-) = r - 4 - 4 cos = F(r, ) เพราะฉะนน r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว

การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบขวหรอไม 1. แทนคา r ดวย -r ในสมการ (1) จะได F(-r, ) = -r - 4 - 4 cos F(r, ) 2. แทนคา ดวย + ในสมการ (1) จะได F(r, + ) = r - 4 - 4 cos( + ) = r - 4 + 4 cos F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได


การตรวจสอบวากราฟมสมมาตรเทยบกบ เสนตรง = 2

หรอไม 1. แทนคา r ดวย -r และ แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(-r, - ) = -r - 4 - 4 cos(-) = -r - 4 - 4 cos F(r, ) 2. แทนคา ดวย - ในสมการ (1) จะได F(r, - ) = r - 4 - 4 cos( - ) = r - 4 + 4 cos F(r, ) เพราะฉะนน สรปไมได

การเขยนกราฟ เพราะวากราฟ r = 4 + 4 cos มสมมาตรเทยบกบแกนเชงขว เราจงเขยนกราฟบนชวง [0, ] ดงรปท 2.3.8 (ก) แลวจงใชการมสมมาตรของกราฟขางตน วาดกราฟสวนทเหลอดงรปท 2.3.8 (ข) รปท 2.3.8 (ก) รปท 2.3.8 (ข)


ขอสงเกต กราฟ r f (sin ) และ r f (cos( )) มสมมาตร เทยบกบเสนตรง 4


กราฟบางรปทสาคญในระบบพกดเชงขว 1. r = k เมอ k เปนจานวนจรง มกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางอยทจด (0, 0) และมรศม k หนวย ตวอยางเชน กราฟของ r = 4, r = 2 รปท 2.3.9 (ก) รปท 2.3.9 (ข) 2. = 0 มกราฟเปนเสนตรงททามม 0 กบแกนเชงขว ตวอยางเชน กราฟของ = 4

, = 3

รปท 2.3.10 (ก) รปท 2.3.10 (ข)


3. 3.1 r = 2k sin เมอ k เปนจานวนจรง และ 0 มกราฟเปนวงกลม จดศนยกลางอยทจด (k, 2

) และมรศม k หนวย 3.2 r = 2k cos เมอ k เปนจานวนจรง และ 0 มกราฟเปนวงกลมจดศนยกลางอยทจด (k, 0) และมรศม k หนวย ตวอยางเชน กราฟของ r = 8 sin และ r = 6 cos รปท 2.3.11 (ก) รปท 2.3.11 (ข)


4. r = a + b sin และ r = a + b cos เมอ a, b เปนจานวนจรง และ 0 2 4.1 ถา a = b แลว กราฟผานขว และเราจะเรยกกราฟนวา คารดออยด (cardioid) 4.2 ถา a b แลว เราจะเรยกกราฟนวา ลมาซอง (limacon) 4.3 ถา a b แลว กราฟไมผานขว 4.4 ถา a b แลว กราฟผานขว และ มวงวน (loop) อยภายใน ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 + 4 sin , r = 4 + 3 sin และ r = 2 + 4 sin มดงน รปท 2.3.12 (ก) รปท 2.3.12 (ข) รปท 2.3.12 (ค)


กราฟของ r = 4 + 4 cos , r = 4 + 3 cos และ r = 2 + 4 cos มดงน รปท 2.3.13 (ก) รปท 2.3.13 (ข) รปท 2.3.13 (ค)


5. 5.1 r = k sin 2n, r = k cos 2n เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2 มกราฟเปนกลบกหลาบ 4n กลบ 5.2 r = k sin((2n + 1)), r = k cos((2n + 1)) เมอ k เปนจานวนจรง, n เปนจานวนนบ และ 0 2 มกราฟเปนกลบกหลาบ 2n + 1 กลบ ตวอยางเชน กราฟของ r = 4 sin 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ ดงรปท 2.3.14 (ก) กราฟของ r = 4 sin 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ ดงรปท 2.3.14 (2) รปท 2.3.14 (ก) รปท 2.3.14 (ข)


กราฟของ r = 4 cos 2 เปนกลบกหลาบจานวน 4 กลบ ดงรปท 2.3.15 (ก) กราฟของ r = 4 cos 3 เปนกลบกหลาบจานวน 3 กลบ ดงรปท 2.3.15 (ข) รปท 2.3.15 (ก) รปท 2.3.15 (ข)


6. กราฟ spiral Hyperbolic spiral r =

a เมอ a เปนจานวนจรง

Spiral of Archimedes r = a เมอ a เปนจานวนจรง Parabolic spiral r = a + b เมอ a, b เปนจานวนจรง Logarithmic spiral r = re เมอ a เปนจานวนจรง ตวอยางเชน Hyperbolic spiral r =

1 Spiral of Archimedes r = 2

รปท 2.3.16 (ก) รปท 2.3.16 (ข) Parabolic spiral r = 2 + 3 Logarithmic spiral r = 4.0e รปท 2.3.16 (ค) รปท 2.3.16 (ง)


7. กราฟ Lemniscates เปนกราฟของสมการ 2r = 2a cos 2 หรอ 2r = 2a sin 2 เมอ a เปนจานวนจรง ตวอยางเชน Lemniscate 2r = 4 cos 2 Lemniscate 2r = 9 sin 2 รปท 2.3.17 (ก) รปท 2.3.17 (ข)


8. กราฟ r = a sin(k) เมอ k ไมเปนจานวนเตม


2.4 การหาพ นทของบรเวณในระบบพกดเชงขว ให R เปนบรเวณทปดลอมดวยฟงกชนทตอเนอง r = f() และ เสนตรง = และ = เมอ r 0 แบงชวง [, ] ออกเปน n ชวงยอย ดวยจด 0 , 1 , 2 , ... , n โดยท = 0 1 2 ... n =

รปท 2.4.1 สาหรบ i = 1, 2, ... , n ให iR เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง = 1i และ = i และเสนโคง r = f() ให 1iP มพกดเปน (f( 1i ), 1i ) และ iP มพกดเปน (f( i ), i ) *

i มคาอยระหวาง 1i และ i *

iP มพกดเปน (f( *i ), *

i )


รปท 2.4.2 และ ให วงกลมรศม O *

iP ตดเสนตรง = 1i ทจด 1iQ และตดเสนตรง = i ทจด iQ เพราะฉะนน 1iQ มพกดเปน (f( *

i ), 1i ) และ iQ มพกดเปน (f( *

i ), i ) จะได พนท iR พนทเซกเตอร 1iiQOQ = 2

1(f( *i ))2( i - 1i )

เพราะฉะนน พนท R =

n

1 iพนท iR

n

1 i 21(f( *

i ))2( i - 1i )

เพราะวา r = f() เปนฟงกชนทตอเนอง

เพราะฉะนน n

lim

n

1 i 21(f( *

i ))2( i - 1i ) =

21 2r d

เพราะฉะนน

พนท R = 21

2r d


ตวอยาง 2.4.1 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 2 + 2 sin บนชวง [0, 2] วธทา

รปท 2.4.3

เพราะฉะนน พนท = 21

2

0

2r d

= 21

2

0(2 + 2 sin )2 d

= 21

2

0(4 + 8 sin + 4 2sin ) d

= 2

02 d + 4

2

0sin d +

2

02 2sin d

= 2[ ] 02

+ 4[ -cos ] 0

2

+ 2

0(1 - cos ) d

= 4 + 4(-1 + 1) + [ - 22sin ] 0

2

= 4 + 2 = 6


ตวอยาง 2.4.2 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 4 + 4 cos บนชวง [ 4

, 32 ]

วธทา

รปท 2.4.4

เพราะฉะนน พนท = 21

32

4

2r d

= 21

32

4

(4 + 4 cos )2 d

= 8

32

4

(1 + 2 cos + 2cos ) d


= 8

32

4

d + 16

32

4

cos d + 4

32

4

2 2cos d

= 8[ ] 4

32

+ 16[ sin ] 4

32

+ 4

32

4

(1 + cos 2) d

= 8( 32 - 4

) + 16(sin 32 - sin 4

) + 4[ ] 4

32

+ 2

32

4

cos 2 d2

= 8(125 ) + 16( 2

3 - 2

1 ) + 4( 32 - 4

)

+ 2[ sin 2 ] 4

32

= 8(125 ) + 16( 2

3 - 2

1 ) + 4(125 ) + 2(sin 3

4 - sin 2)

= 5 + 16( 23 -

21 ) + 2(- 2

3 - 1)

= 5 + 7 3 - 8 2 - 2


ตวอยาง 2.4.3 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย เสนโคง r = 4 cos 2 วธทา

รปท 2.4.5 เพราะวากราฟของ r = 4 cos 2 มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

จากรปท 2.4.5 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 เสนตรง = 0 และ = 2

แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2


พนทในบรเวณทปดลอมดวย r = 4 cos 2 เสนตรง = 0

และ = 2 มคา = 2

1 2

0

2r d

= 21

2

0(4 cos 2)2d

= 4 2

02 2cos 2 d

= 4 2

0(1 + cos 4) d

= 4[ + 41 sin 4 ]

02

= 4[( 2 + 0) - (0 + 0)] = 2

เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 มคาเทากบ 8

หมายเหต ในกรณทหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง r = 4 cos 2 โดยไมนาสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

ของกราฟมาชวย และทาการอนทเกรตบน

ชวง [0, 2] จะไดพนท = 21

2

0(4 cos 2)2d = 8 เหมอนกน


ตวอยาง 2.4.4 จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos วธทา

รปท 2.4.6 (ก) เพราะวากราฟของ 2r = 4 cos มสมมาตรกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

จากรปท 2.4.6 เราจงหาพนทในบรเวณปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 2

แลวคณดวย 4 จะไดพนท ของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos พนทในบรเวณปดลอมดวย 2r = 4 cos เสนตรง = 0

และ = 2 มคา = 2

1 2

0

2r d


21

2

0

2r d

= 21

2

04 cos d

= 2[ sin ] 02

= 2(sin 2 - 0)

= 2 เพราะฉะนน พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง

2r = 4 cos มคาเทากบ 8


หมายเหต ในการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos โดยไมนาการมสมมาตรของกราฟมาชวย เราตองพจารณาดงน จากสมการ 2r = 4 cos ... (*) เพราะวา 2r 0 เพราะฉะนน คา ทสอดคลองสมการ (*) ตองเปน ททาให 4 cos 0 ดงนนคา ททาให 4 cos 0 จงเปนคาทไมมจดในกราฟ จาก 4 cos 0 cos 0 จะได - 2

2

เปนชวงทกราฟของสมการ (*) มจดอยบนกราฟ พจารณาสมการ (*) จะพบวามฟงกชน 2 ฟงกชน คอ r = cos4 กบ r = - cos4 โดยท ฟงกชน r = cos4 เมอ อยในชวง [- 2

, 2 ]

จะไดกราฟทางขวาของเสนตรง = 2

ดงรปท 2.4.6 (ข) และ ฟงกชน r = - cos4 เมอ อยในชวง [- 2

, 2 ]

จะไดกราฟทางซายของเสนตรง = 2

ดงรปท 2.4.6 (ค)


รปท 2.4.6 (ข) รปท 2.4.6 (ค) พนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2r = 4 cos คอ

= 21

2

2

( cos4 )2 d + 21

2

2

(- cos4 )2 d

= 21

2

2

4 cos d + 21

2

2

4 cos d

= 21 [ 4 sin ]

2

2

+ 21 [ 4 sin ]

2

2

= 24( sin 2

- sin(- 2)) + 2

4( sin 2 - sin(- 2

)) = 4 + 4 = 8


ตวอยาง 2.4.5 จงหาพนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin วธทา

รปท 2.4.7 จดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin หาไดโดยการแกสมการ 6 sin = 2 + 2 sin 4 sin = 2 sin = 2

1 = 6

หรอ 65

เพราะฉะนนจดตดของ เสนโคง r = 6 sin และ เสนโคง r = 2 + 2 sin คอ (3, 6

) และ (3, 65 )


เพราะวากราฟของ r = 6 sin และ r = 2 + 2 sin มสมมาตรกบเสนตรง = 2

จากรปท 2.4.7 เราจงหาพนท 1R และ พนท 2R แลว จะได พนทของบรเวณภายในเสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R )

พนท 1R = 21

6

0(6 sin )2 d = 9

6

02 2sin d

= 9 6

0(1 - cos 2) d

= 9[ - 21 sin 2 ]

06

= 9[( 6 - 4

3) - (0 - 0)] = 2

3 - 439


พนท 2R = 21

2

6

(2 + 2 sin )2 d

= 2

2

6

(1 + 2 sin + 2sin ) d

= 2

2

6

(1 + 2 sin + 21 - 2

1cos 2) d

=

2

6

(3 + 4 sin - cos 2) d

= [ 3 - 4 cos - 21 sin 2 ]

6

2

= ( 23 - 0 - 0) - ( 2

- 2 3 - 43)

= + 4

39 พนท 1R + พนท 2R = ( 2

3 - 439 ) + ( + 4

39 ) = 25

เพราะฉะนนพนทของบรเวณทอยทงภายใน เสนโคง r = 6 sin และ ภายในเสนโคง r = 2 + 2 sin มคาเทากบ 2(พนท 1R + พนท 2R ) = 5( 2

5 ) = 5



ในกรณทเราตองการหาพนทของบรเวณทปดลอมดวย ของเสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ] ดงรปท 2.4.8

รปท 2.4.8 จะได พนททปดลอมดวย เสนโคง r = f() และ r = g() บนชวง [, ] มคา

= 21

[(f())2 - (g())2] d


ตวอยาง 2.4.6 จงหาพนทของบรเวณทอย ภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin วธทา

รปท 2.4.9 จดตดของ เสนโคง r = 1 + cos และ เสนโคง r = sin หาไดโดยการแกสมการ 1 + cos = sin 1 = sin - cos 1 = 2sin - 2 sin cos + 2cos 1 = 2sin + 2cos - 2 sin cos 1 = 1 - sin 2


เพราะฉะนน sin 2 = 0 2 = 0, , 2 = 0, 2

, บรเวณภายนอกเสนโคง r = 1 + cos และ ภายในเสนโคง r = sin เปนบรเวณปดลอมดวย r = 1 + cos และ r = sin เสนตรง = 2

และ = ดงรปท 2.4.9

พนทแรเงา = 21

2

[(sin )2 - (1 + cos )2] d

= 21

2

( 2sin - 1 - 2 cos - 2cos ) d

= 21

2

(-1 - 2 cos - ( 2cos - 2sin ) d

= 21

2

(-1 - 2 cos - cos 2) d

= 21 [ - - 2 sin - 2

1 sin 2 ] 2

= 21 [(- - 0 - 0) - (- 2

- 2 - 0)] = - 4

+ 1


ตวอยาง 2.4.7 จงหาพนทของบรเวณทอยภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 วธทา รปท 2.4.10 (ก) รปท 2.4.10 (ข) วงกลม 2x + 2y - 4y = 0 มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 sin วงกลม 2x + 2y - 4x = 0 มสมการในพกดเชงขวเปน r = 4 cos บรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 คอ บรเวณภายนอกเสนโคง r = 4 sin และ ภายในเสนโคง r = 4 cos ประกอบดวยบรเวณ 1R และ 2R ดงรปท 2.4.10 (ข)


จดตดของ เสนโคง r = 4 sin และ เสนโคง r = 4 cos หาไดโดยการแกสมการ 4 sin = 4 cos sin = cos = 4

บรเวณ 1R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 sin และ r = 4 cos เสนตรง = 0 และ = 4

พนท 1R = 21

4

0[(4 cos )2 - (4 sin )2] d

= 8 4

0( 2cos - 2sin ) d

= 8 4

0cos 2 d

= 4[ sin 2 ] 04

= 4(1 - 0) = 4


บรเวณ 2R เปนบรเวณปดลอมดวย r = 4 cos เสนตรง = - 2

และ = 0

พนท 2R = 21

0

2

(4 cos ) 2 ) d

= 8

0

2

2cos d

= 8

0

2

( 21 + 2

2cos ) d

= 8

0

2

( 21 + 2

2cos ) d

= 4[ ] 2

0

+ 2[ sin 2 ] 2

0

= 4(0 + 2) + 2(0 + 0)

= 2 เพราะฉะนน พนทบรเวณภายนอกวงกลม 2x + 2y - 4y = 0 และ ภายในวงกลม 2x + 2y - 4x = 0 = พนท 1R + พนท 2R = 4 + 2


การหาพนทระหวางเสนโคง F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 ในบางครงตองหาจดตดของกราฟ แตเนองจากจดในพกดเชงขวจดเดยวกนอาจเขยนพกดได หลายแบบ ดงนนจดตดทตองการอาจจะหาไดไมครบถวน ตวอยางเชน การหาจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2 รปท 2.4.11 (ก) รปท 2.4.11 (ข)


โดยการแกสมการ 3 = r = 2 sin 2 จะได sin 2 = 2

3 2 = ... , - 3

16 , - 311 , - 3

10 , - 35 , - 3

4 , 3 ,

32 , 3

7 , 38 , 3

13 , 314 , ...

= ... , - 616 , - 6

11 , - 610 , - 6

5 , - 64 , 6

, 6

2 , 67 , 6

8 , 613 , 6

14 , ... = ... , - 3

8 , - 611 , - 3

5 , - 65 , - 3

2 , 6 , 3

, 6

7 , 34 , 6

13 , 37 , ...

จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ ( 3, 6

), ( 3, 3), ( 3, 6

7 ), ( 3, 34 )

ดงรปท 2.4.11 (ข) จากรปท 2.4.11 (ก) จะเหนวามจดตดของ วงกลม r = 3 และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด แนวทางในการหาพกดจดตดทเหลออาจทาไดโดย ถากราฟมสมมาตรกบแกนเชงขว ขว หรอ เสนตรง = 2

แลว เราจะสามารถหาพกดของจดตดทเหลอได


นอกจากใชสมบตของสมมาตรแบบตาง ๆ แลว เราสามารถ ใชสมบตของจดในพกดเชงขวทเขยนไดหลายแบบ กลาวคอ จด (r, ) กบจด ((-1)n r, + n) เมอ n เปนจานวนเตม จะเปนจดเดยวกน เพราะฉะนน กราฟของสมการ F(r, ) = 0 และ กราฟของสมการ F((-1)n r, + n) = 0 จะเปนรปเดยวกน สมการ F((-1)n r, + n) = 0 เรยกวา สมการเทยบเทา ของ F(r, ) = 0 เพราะฉะนน เราสามารถใชสมการเทยบเทามาชวยในการหา จดตดของกราฟไดอยางเชนตวอยางขางตน สมการเทยบเทาของ r = 3 คอ r = - 3 โดยการแกสมการ - 3 = r = 2 sin 2 จะได sin 2 = - 2

3 2 = ... , - 3

14 , - 313 , - 3

8 , - 37 , - 3

2 , - 3 , 3

4 , 3

5 , 310 , 3

11 , 316 , ...

= ... , - 614 , - 6

13 , - 68 , - 6

7 , - 62 , - 6

, 64 ,

65 , 6

10 , 611 , 6

16 , ... = ... , - 3

7 , - 613 , - 3

4 , - 67 , - 3

, - 6 , 3

2 , 6

5 , 35 , 6

11 , 38 , ...


จากคาของ ตาง ๆ ขางตนเมอคานวณเปนพกดของจดตด จะไดเพยง 4 จดเทานนคอ (- 3, 3

2 ), (- 3, 65 ), (- 3, 3

5 ), (- 3, 611)

จากทแสดงมาทงหมดจะไดจดตดของ r = 3 และ r = 2 sin 2 ทงหมด 8 จด ดงแสดงในรปท 2.4.12

รปท 2.4.12


ขอสงเกต 1. ปญหาลกษณะหนงทอาจเกดขนในการหาจดตดของ กราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 กคอ การท ขว เปนจดตดของกราฟ แตไมสามารถหาไดโดยการแกสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 สาเหตทเปนเชนนเนองจาก ขว มพกดเปน (0, ) โดยท เปนมมอะไรกได ดงนนหากกราฟของ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 ผานขวดวยคามมทตางกน เรากจะไมสามารถหาจดตดทเปนขวได วธแกปญหาขางตน ใหแทนคา r = 0 ในสมการ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0 หาก หาคา = 1 ททาให F(r, 1 ) = 0 และ หาคา = 2 ททาให G(r, 2 ) = 0 จะถอวา ขว เปนจดตดของกราฟ F(r, ) = 0 และ G(r, ) = 0


ตวอยางเชน การหาจดตดของกราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin

รปท 2.4.13 โดยการแกสมการ 1 + sin = 1 - sin จะได sin = 0 = n เพราะฉะนนจะไดจดตด (1, 0) และ (1, ) แตไมไดขวเปนจดตดจากการแกสมการขางตน ทเปนเชนน เพราะวา กราฟ r = 1 + sin ผานขว เมอ = 2

3 และ กราฟ r = 1 - sin ผานขว เมอ = 2

เพราะฉะนน ขว เปนจดตดของ กราฟ r = 1 + sin และ r = 1 - sin


2. การตรวจสอบวาจด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 1. ถา 0 0F(r , ) 0 แลว จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 2. ถา 0 0F(r , ) 0 แลวยงสรปไมไดวา จด 0 0(r , ) อยบนกราฟเชงขว F(r, ) 0 หรอไม ใหตรวจสอบกบสมการเทยบเทาของ F(r, ) 0 กอน


ตวอยางเชน กราฟเชงขว F(r, ) r 2cos(2 ) 0 F(1, ) 1 2cos(2( )) 1 1 03 3

เพราะวาจด (1, )3

สอดคลองเงอนไขสมการเทยบเทา 1F(( 1) (1), 1 ) F( 1, )3 3

1 2cos(2( ))321 2cos( )3

11 2( )20

เพราะฉะนน (1, )3 อยบนกราฟ F(r, ) r 2cos(2 ) 0


ตวอยาง 2.4.8 จงหาพนทของบรเวณทอย ภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3 วธทา จากวธหาจดตดขางตนจะได ( 3, 6

) และ ( 3, 3

) เปนจดตดของ r = 2 sin 2 และ r = 3 รปท 2.4.14 (ก) รปท 2.4.14 (ข) เพราะฉะนนพนทแรเงาในรปท 2.4.14 (ข) มคา

= 21

[(f())2 - (g())2] d

= 21

3

6

[(2 sin 2)2 - ( 3))2] d

= 21

3

6

(4 2sin 2 - 3) d


= 21

3

6

(4( 24cos1 ) - 3) d

= 21

3

6

(2 - 2 cos4 - 3) d

= 21 [ - -

21 sin4 ]

6

3

= 21 [(- 3

- 21(- 2

3)) - (- 6 - 2

1( 23))]

= 21( 2

3 - 6)

= 43 - 12

เพราะวากราฟ r = 2 sin 2 และ r = 3 มสมมาตรกบแกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

ดงนนจากรปท 2.4.12 จะเหนวา พนทของบรเวณทอยภายในเสนโคง r = 2 sin 2 และ ภายนอกวงกลม r = 3 มคาเทากบ

= 4( 21

[(f())2 - (g())2] d)

= 4( 43 - 12

) = 3 - 3


แบบฝกหด 2.1 1. จงหาพกดเชงขวของจดในระนาบ XY ตอไปน เมอกาหนดคา r 0 และ 0 2 1.1 A(–1, 0) 1.2 B(4, –4) 1.3 C(1, – 3 ) 1.4 D( 2 , 2 ) 1.5 E(–4, –4 3 ) 1.6 F(2 3 , –2) 1.7 G(0, 4) 1.8 H(–4, 4 3 )

2. จงเขยนจดในระบบพกดเชงขว

และหาพกดฉากของจดตอไปน 2.1 A(1, 0)

2.2 B(2, – 611 )

2.3 C(3, 4 )

2.4 D(–4, 3 )

2.5 E(5, 32 )

2.6 F(–6, – 65 )

2.7 G(7, 34 )

2.8 H(–7, –7)

2.9 I(8, 65 )

2.10 J(6, 611 )

3. จงเขยนสมการในระบบพกดฉากตอไปน ใหอยในระบบพกดเชงขว 3.1 x + y = 0 3.2 2x + 2y = 25 3.3 2x + 2y – 8y = 0 3.4 2x + 2y – 10x = 0 3.5 2x + 2y – 4x + 6y = 0 3.6 x = –5

4. จงเขยนสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน ใหอยในระบบพกดฉาก 4.1 r = 7 4.2 r = 2 cos 4.3 r = 4 sec 4.4 r = 16 sin 4.5 r = –8 coec 4.6 r = 4 sin + 2 cos


เฉลยแบบฝกหด 2.1

1. 1.1 (1, ) 1.2 (4 2 , 47 )

1.3 (2, 35 ) 1.4 (2, 4

) 1.5 (8, 3

4 ) 1.6 (4, 611 )

1.7 (4, 2 ) 1.8 (8, 3

2 )

2. 2.1 A(1, 0) 2.2 B( 3 , 1) 2.3 C(

23 ,

23 )

2.4 D(–2, –2 3 )

2.5 E(– 25 , 2

35 )

2.6 F(–3, –3 3 )

2.7 G(– 27 , – 2

37 )

2.8 H(–7, 0) 2.9 I(4 3 , 4) 2.10 J(3 3 , –3) 3. 3.1 = 4

3 หรอ = – 4 3.2 r = 5 หรอ r = –5

3.3 r = 8 sin 3.4 r = 10 cos 3.5 r = 4 cos – 6 sin 3.6 r = –5 sec

4. 4.1 2x + 2y = 49 4.2 2x + 2y – 2x = 0 4.3 x = 4 4.4 2x + 2y – 16y = 0 4.5 y = –8 4.6 2x + 2y – 2x – 4y = 0


แบบฝกหด 2.2 1. จงเขยนกราฟของสมการในระบบพกดเชงขวตอไปน 1.1 r = 5 sin 1.2 r = –6 cos 1.3 r = 6 sin 3 1.4 r = 5 cos 2 1.5 r = 4 sin – 4 cos 1.6 r = 2 + 4 sin


1.7 r = 6 cos 3 1.8 r = 6 sin 2 เฉลยแบบฝกหด 2.2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

65432105 sin

65432106 cos

65432106 sin 3

65432105 cos 2

65432104 sin 4 cos

65432102 4 sin

65432106 cos 3

65432106 sin 2


แบบฝกหด 2.3 1. จงตรวจสอบวากราฟของ r = f() ตอไปน มสมมาตรเทยบกบ แกนเชงขว ขว และ เสนตรง = 2

หรอไม และจงเขยนกราฟ 1.1 r = –4 – 4 sin 1.2 r = –2 – 4 cos 1.3 r = –3 sin 3 1.4 r = sin – cos 1.5 r = cos 3 1.6 r = –cos 1.7 r = 2 2cos 1.8 r = –2 sin

6420

6

00

43210

4

00

210

2

00

43210

4

00

10.50

1

00

3210

3

00

210

2

00

1086420

10

00


เฉลยแบบฝกหด 2.3 1. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 2. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2

ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2

3. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 4. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2


5. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว 6. สมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว ไมสมมาตรกบเสนตรง = 2


7. สมมาตรกบแกนเชงขว สมมาตรกบขว 8. ไมสมมาตรกบแกนเชงขว ไมสมมาตรกบขว สมมาตรกบเสนตรง = 2

สมมาตรกบเสนตรง = 2

1086420

10

04 4 sin ( )

6420

6

02 4 cos ( )

43210

4

03 sin 3 ( )

210

2

0sin ( ) cos ( )

43210

4

04 cos 3 ( )

10.50

1

0cos ( )

3210

3

02 cos ( )2

210

2

02 sin ( )


แบบฝกหด 2.4 1. จงหาพนทของบรเวณทปดลอมดวยเสนโคงตอไปน

1.1 r = 1 + cos บนชวง [0, 2] 1.2 r = 2 cos 2 บนชวง [0, 2]

1.3 r = cos + sin บนชวง [0, ] 1.4 r = 3 - 2 cos บนชวง [0, 2]

1.5 r = 2 cos 3 บนชวง [0, 2] 1.6 r = 4 2cos บนชวง [0, 2]

2. จงหาพนทภายใน r = 4 sin และ r = 4 3 cos 3. จงหาพนทภายใน r = 4 sin 2 และ r = 4 cos 4. จงหาพนทภายใน r = 2 + sin 2 และ r = 2 + 3 cos 5. จงหาพนทภายใน r = 2 sin 3 และ r = 2 sin 6. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 และ 2x + 2y + x – y = 0 7. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – x – y = 0 หรอ 2x + 2y – x = 0 โดยทบรเวณนนไมเปนสวนตดของวงกลมทงสอง 8. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4y = 0 และ x 3 9. จงหาพนทภายในวงกลม 2x + 2y – 4x – 4y = 0 และ y 4 10. จากกราฟของสมการ r = 2 - 4 cos รปท 2.4.15 (ก) จงหาพนทสวนทแรเงา 11. จากกราฟของสมการ r = 3 + 6 sin รปท 2.4.15 (ข) จงหาพนทสวนทแรเงา 12. จากกราฟของสมการ r = 4 cos และ r = 4 sin 2 รปท 2.4.15 (ค) จงหาพนทสวนทแรเงา รปท 2.4.15 (ก) รปท 2.4.15 (ข) รปท 2.4.15 (ค) เฉลยแบบฝกหด 2.4 1. 1.1 2

3 1.2 2 1.3 2

1.4 11 1.5 1.6 6 2. 3

10 – 4 3 3. 4 – 3 3 4. 5 – 8 5. 3

2 – 34 6. 4

– 21 7. 16

3 + 85

8. 32 – 3 9. 2 – 4 10. 4 – 6 3

11. 29 + 2

327 12. 4 + 3 3

Documents

2 - 1 บทที่ 2 พิกัดเชิงข้ัว 2.1 ในระบบ ...pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1... · 2018-08-15 · 2 - 5 บทที่