บทที 4 ่ อินทิกรลของฟั ังกช์นหลายตั วแปรัpioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_04_1in1.pdf ·

บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร

2301207 Calculus III 2561/1st

4 - 1

บทท 4

อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย




4 - 2

4.1 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสองชน

สมมตเราเปลยนตวแปรจาก x, y ไปเปน u, v โดยให

x = X(u, v)

y = Y(u, v)

โดยบรเวณ S ในระนาบ XY เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ

UV จะไดจด (u, v) ในระนาบ UV ถกสงไปยงจด (x, y) ใน

ระนาบ XY

เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S

กาหนดโดย r(u, v) = (X(u, v), Y(u, v)) = (x, y)

โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง ถา u, v หาไดในพจนของ x, y

โดยท u = U(x, y) และ v = V(x, y)

จะไดม s : S T เปนฟงกชนผกผนของ r

ซงกาหนดโดย s(x, y) = (U(x, y) V (x, y)) = (u, v) จะได

S

f(x, y) dxdy = T

f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv

เมอ X, Y มอนพนธอยางตอเนองบน T

และ U, V มอนพนธอยางตอเนองบน S

โดยท J(u, v) 0 บน T

เมอ J(u, v) = )v,u()Y,X(

=

vY

uY

vX

uX

คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v



4 - 3

ตวอยาง 4.1.1 จงหาคาของ S

(x - y)2 yxe dA

เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง

x - y = 2, x + y = -2, x + y = 2 และ x - y = -2

วธทา

รปท 4.1.1 (ก) รปท 4.1.1 (ข)

บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.1 (ก)

ให u = U(x, y) = x + y

และ v = V(x, y) = x - y

เพราะฉะนน x = X(u, v) = 21(u + v)

และ y = Y(u, v) = 21(u - v)

ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S

ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV



4 - 4

1. เสนตรง x + y = 2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง u = 2 ในระนาบ UV

2. เสนตรง x + y = -2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง u = -2 ในระนาบ UV

3. เสนตรง x - y = -2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV

4. เสนตรง x - y = 2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV

เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY

ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท

T = {(u, v) -2 u 2, -2 v 2}

ซงมกราฟดงรปท 4.1.1 (ข)

จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ

J(u, v) = )v,u()Y,X(

=

vY

uY

vX

uX

=

21

21

21

21

= -41 -

41 = - 1

2

เพราะฉะนน D

(x - y)2 yxe dA

= T




4 - 5

D

(x - y)2 yxe dA

= T


= T

2v ue -21 dudv =

21

2

2

2

2

2v ue dudv

= 21

2

2

2v [ ue ]2u

2u

dv = 21

2

2

2v ( 2e - 2e ) dv

= 21( 2e - 2e )[

3v3

]2v

2v

= 21( 2e - 2e )(

38 +

38)

= 38( 2e - 2e )

หมายเหต เพราะวา )v,u()Y,X(

)y,x()V,U(

= 1

เพราะฉะนนในการหาจาโคเบยน J(u, v) = )v,u()Y,X(

เราสามารถใชสตร J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

จากตวอยางขางตน เพราะวา u = U(x, y) = x + y

และ v = V(x, y) = x - y

จะได )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 1111 = -1 - 1 = -2

เพราะฉะนน J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

= 2

1

= -21



4 - 6

ตวอยาง 4.1.2

จงหาคาของ S

(x + 2y)2 cos(41(2x - y)) dA

เมอ S = {(x, y) 2x - y และ x + 2y 2}

วธทา

รปท 4.1.2 (ก) รปท 4.1.2 (ข)

บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.2 (ก)

ให u = U(x, y) = 2x - y

และ v = V(x, y) = x + 2y

ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S

ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV

1. เสนตรง 2x - y = ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง u = ในระนาบ UV



4 - 7

2. เสนตรง 2x - y = - ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง u = - ในระนาบ UV

3 เสนตรง x + 2y = 2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV

4. เสนตรง x + 2y = -2 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV



T = {(u, v) - u , -2 v 2}


จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

โดยท )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 2112

= 4 + 1 = 5

เพราะฉะนน J(u, v) = 51

เพราะฉะนน S

(x + 2y)2 cos(41(2x - y)) dA

= T




4 - 8

S

(x + 2y)2 cos(41(2x - y)) dA

= T


= T

2v cos(4u )

51 dudv

= 51

2

2

2v cos(4u ) dvdu

= 51

cos(4u ) [

3v3

] 2v

2v du

= 151

cos(4u )(8 3 + 8 3 ) du

= 15

16 3

cos(4u ) du

= 15

16 3 [ 4 sin(4u ) ]

uu

= 15

16 3 (sin(4) - sin(-

4))

= 15

16 3 (2

1 + 2

1 ) = 15

264 3



4 - 9

ตวอยาง 4.1.3 จงหาคาของ 1

0y1

0

yx (x - 2y)2 dxdy

วธทา ให u = U(x, y) = x + y

และ v = V(x, y) = x - 2y

ตวอยาง จด (21 ,

41) ในบรเวณ S

ถกสงไปยงจด (43 , 0) ในระนาบ UV

บรเวณของการอนทเกรตคอ

S = {(x, y) 0 x 1 - y, 0 y 1}

ซงคอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.3 (ก)

รปท 4.1.3 (ก) รปท 4.1.3 (ข)



4 - 10

1. เสนตรง x + y = 1 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง u = 1 ในระนาบ UV

2. เสนตรง x = 0 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = -2u ในระนาบ UV

3 เสนตรง y = 0 ในระนาบ XY

ถกสงไปยง เสนตรง v = u ในระนาบ UV



T = {(u, v) 0 u 1, -2u v u}


จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

โดยท )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 2111 = -2 - 1 = -3

เพราะฉะนน J(u, v) = -31

เพราะฉะนน 1

0y1

0

yx (x - 2y)2 dxdy

= T




4 - 11

1

0y1

0

yx (x - 2y)2 dxdy

= T

u 2v -31 dudv =

31

1

0

u

u2

u 2v dvdu

= 31

1

0

u [ 3

v3 ] u2v

uv

du

= 91

1

0

u ( 3u + 8 3u ) du

= 1

0

27

u du = [ 92 2

9u ]

0u1u

=

92

Matlab



4 - 12

การเปลยนตวแปรระหวาง ระบบพกดฉาก (x, y)

กบ ระบบพกดเชงขว (r, )

ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ

x = X(r, ) = r cos

y = Y(r, ) = r sin

เพราะวาจดบนระนาบในระบบพกดเชงขว สามารถเขยนพกดเชง

ขวไดมากกวาหนงแบบ เพอใหการสงจด (r, ) จากระบบพกด

เชงขวไปยงจด (x, y) ในระบบพกดฉากเปนแบบหนงตอหนง

เราจาเปนตองกาหนดขอบเขตคาของ r และ

โดยให r 0 และ [ 0 , 0 + 2]

หมายเหต นยมให 0 = 0 หรอ 0 = -2

ความสมพนธของ r, ในพจนของ x, y คอ

r = 22 yx

และ tan = xy เมอ x 0



4 - 13

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดเชงขว

มจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ r, คอ

J(r, ) = ),r()Y,X(

= Y

rY

XrX

= cos rsin rsincos

= r 2cos + r 2sin = r

เพราะฉะนน J(r, ) = r เพราะฉะนน

S

f(x, y) dxdy = T

f(r cos , r sin ) r drd

เมอ T = {(r, ) (r cos , r sin ) S}

ตวอยาง 4.1.4 จงหาคาของ

2

2

2x4

2x4

( 2x + 2y ) dydx

วธทา บรเวณของการอนทเกรตคอ

S = {(x, y) - 2x4 y 2x4 , -2 x 2}

จาก y = 2x4 จะได 2x + 2y = 4

บรเวณของการอนทเกรต S เปนวงกลมรศม 2

จดศนยกลางอยทจด (0, 0) ดงรปท 4.1.4 (ก)

จากการเปลยนตวแปร x = r cos

และ y = r sin



4 - 14

บรเวณของการอนทเกรต S จะเปลยนเปน

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ

T = {(r, ) 0 r 2, 0 2}

ดงรปท 4.1.4 (ข)

รปท 4.1.4 (ก) รปท 4.1.4 (ข)

เพราะฉะนน

2

2

2x4

2x4

( 2x + 2y ) dydx

= 2

02

0

2r r drd = 2

02

0

3r drd

= 2

0

[ 4r4

] 0r2r

d =

2

0

4 d

= 4[ ] 02

= 8



4 - 15

หมายเหต ในการพจารณาลมตของการอนทเกรตในระบบพกด

เชงขว จะเหนวาเราสามารถพจารณาคาของ r และ ไดจาก

บรเวณ S ในระนาบ XY โดยเปลยนสมการของเสนโคงซงปด

ลอมบรเวณ S ใหอยในระบบพกดเชงขว เราจงไมจาเปนตอง

เขยนรปของบรเวณ T ในระนาบ R

ตวอยาง 4.1.5 จงหาคาของ 2

2

22 4 y

22 4 y

2 2x y dxdy

วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ

S = {(x, y) 2 - 24 y x 2 + 24 y , -2 y 2}

จาก x = 2 24 y

จะได x - 2 = 24 y หรอ (x - 2)2 + 2y = 4

รปท 4.1.5



4 - 16

จะเหนวา S เปนบรเวณทปดลอมดวยวงกลมรศม 2

จดศนยกลางอยทจด (2, 0) ดงรปท 4.1.5

โดยการเปลยนตวแปร ให x = r cos และ y = r sin

เขยนสมการของวงกลม (x - 2)2 + 2y = 4

ในระบบพกดเชงขวไดเปน 2x + 2y - 4x = 0

2r - 4r cos = 0

r = 4 cos


2

22 4 y

22 4 y

2 2x y dxdy

= 2

2

4cos

0

r r drd

= 2

2

4cos

0 2r drd

= 2

2

[

3r3

] r 4cosr 0 d

= 643

2

2

2cos d



4 - 17

= 643

2

2

2cos cos d

= 643

=

2

= 2

(1 - 2sin ) d(sin )

= 643

[ sin - 3sin

3 ] 2

2

= 643

[(sin(2 ) - 1

33sin (

2 )) - (sin(-

2 ) - 1

33sin (-

2 ))]

= 643

[ (1 - 13) - (-1 + 1

3) ]

= 643

( 23 + 2

3)

= 2569



4 - 18

ตวอยาง 4.1.6 จงหาคาของ S cos( 2x + 2y ) dA

เมอ S เปนบรเวณในจตภาคทหนง

ซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4 เสนตรง y = 0 และ y = x

วธทา บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.6

รปท 4.1.6

เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 4

ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2

และ เขยนสมการของเสนตรง y = x

ในระบบพกดเชงขวไดเปน = 4



4 - 19

เพราะฉะนน S cos( 2x + 2y ) dA =

4

0

2

0 cos( 2r ) r drd

= 12

4

0

r 2

r 0

cos( 2r ) d( 2r ) d

= 12

4

0

[ sin( 2r ) ] r 2r 0 d

= 12

4

0

(sin 4 - sin 0) d

= 12

4

0

(sin 4) d

= 12 (sin 4)[ ] 2

0

= 8 (sin 4)



4 - 20

ขอสงเกต

1. การหาพนทของบรเวณ S ในระบบพกดเชงขว

เมอ S เปนบรเวณในระนาบ XY ทาไดดงน

เราทราบแลววา พนทของ S = S 1 dA

โดยการเปลยนตวแปรเปนระบบพกดเชงขว

สมมตวาบรเวณ S ในระนาบ XY

เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ R

โดยท T = {(r, ) g() r f(), }

ดงรปท 4.1.7

รปท 4.1.7



4 - 21

เพราะฉะนน พนทของ S = S 1 dA

= T r drd

=

f ( )

g( )

r drd

ในกรณท g() = 0 จะไดบรเวณ

T = {(r, ) 0 r f(), } ดงรปท 4.1.8

รปท 4.1.8

เพราะฉะนน พนทของ T =

f ( )

0

r drd

=

12 (f())2d



4 - 22

2. ในกรณท z = f(x, y) = f(r cos , r sin ) 0

และ S เปนบรเวณในระนาบ XY ซงเปลยนเปนบรเวณ

T = {(r, ) g() r f(), }

ในระนาบ R จะไดวา

S f(x, y) dA =

f ( )

g( )


เปนปรมาตรของรปทรงตนซง

มฐานอยบนระนาบ XY (z = 0) เปนบรเวณ S

และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y)

ในกรณทรปทรงตนมฐานอยบนระนาบ z = 0z

ซงมภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ S

และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y)

จะไดวา

ปรมาตร = S (f(x, y) - 0z ) dA

=

f ( )

g( )

(f(r cos , r sin ) - 0z ) r drd



4 - 23

ตวอยาง 4.1.7 จงหาพนทของบรเวณในจตภาคทหนง

ซงอยภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y

วธทา ให S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงอย

ภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y

จาก 2x + 2y = 2y จะได 2x + (y - 1)2 = 1

เราสามารถเขยนรปแสดงบรเวณ S

ดงบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.9 (ก)

รปท 4.1.9 (ก) รปท 4.1.9 (ข)

จะเหนวาเราตองแบงบรเวณของการอนทเกรตออกเปน 2 สวน

คอ 1S และ 2S ดงรปท 4.1.9 (ข)

เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 1

ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 1

และเขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 2y

ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2 sin



4 - 24

หาจดตดระหวาง r = 1 และ r = 2 sin

จะไดวา 2 sin = 1 หรอ sin = 12 ดงนน =

6

เพราะฉะนนบรเวณของการอนทเกรต 1S และ 2S

จะเปลยนเปนบรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ

1T = {(r, ) 0 r 2 sin , 0 6 }

2T ={(r, ) 0 r 1, 6

2 }

เพราะฉะนน พนท =

1S 1 dA +

2S 1 dA

= 6

0

2sin

0

r drd + 2

6

1

0 r drd

= 6

0

[ 2r2

] r 2sinr 0 d +

2

6

[

2r2

] r 1r 0 d

= 6

0

2 2sin d + 2

6

12 d

= 6

0

(1 - cos 2) d + 12 [ ] 6

0

= [ - 12 sin 2 ] 6

0

+ 1

2 (

2 -

6 )

= (6 - 3

4) +

6

= 3 - 3

4 ตารางหนวย



4 - 25

ตวอยาง 4.1.8 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY

ซงดานบนปดลอมดวยพนผว z = 1 + 2x + 2y และปดลอม

ดานขางดวยทรงกระบอกตรงทมฐานเปนวงกลม r = 2 sin บน

ระนาบ XY

วธทา รปท 4.1.10 แสดงบรเวณทเปนฐานของรปทรงตนซงปด

ลอมดวยเสนโคง r = 2 sin

รปท 4.1.10

เขยนสมการ z = 1 + 2x + 2y

ในระบบพกดเชงขวไดเปน z = 1 + 2r

เพราะฉะนนปรมาตรของรปทรงตน

= 0 2sin

0

(1 + 2r ) r drd

= 0

[ 2r2

+ 4r4

] r 2sinr 0 d

= 0

(2 2sin + 4 4sin ) d



4 - 26

= 2 0 2sin d + 4

0 4sin d ... (1)

เพราะวา 0 2sin d =

0 1 cos2

2 d

= [ 12 - 1

4 sin 2 ]

0 =

2 ... (2)

และ 0 4sin d =

0

(1 cos22

)2 d

= 14

0

(1 - 2 cos 2 + 2cos 2) d

= 14

0

(1 - 2 cos 2 + 1 cos42

) d

= 14

0

( 32 - 2 cos 2 + 1

2 cos 4) d

= 14 [ 3

2 - sin 2 + 1

8 sin 4 ]

0

= 38 ... (3)

เพราะฉะนนจาก (1), (2), (3) จะไดวาปรมาตรของรปทรงตน

= 2(2 ) + 4(3

8 ) = 5

2 ลกบาศกหนวย



4 - 27

4.2 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร

บนโดเมนรปทรงสเหลยมมมฉาก

ให 1a , 1b , 2a , 2b , 3a , 3b เปนจานวนจรง

และ 1a 1b , 2a 2b และ 3a 3b ให

D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z

3b }

= [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ]

จะได D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากใน 3R ดงรปท 4.2.1

รปท 4.2.1

ให f : D R

การหาคาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร เราใชหลกการ

เดยวกนกบการหาคาอนทกรลของฟงกชนของสองตวแปร

แบง D ออกเปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ โดย

แบง [ 1a , 1b ] ดวยจด 0x , 1x , 2x , ... , mx

โดยท 1a = 0x 1x 2x ... mx = 1b



4 - 28

แบง [ 2a , 2b ] ดวยจด 0y , 1y , 2y , ... , ny

โดยท 2a = 0y 1y 2y ... ny = 2b

แบง [ 3a , 3b ] ดวยจด 0z , 1z , 2z , ... , pz

โดยท 3a = 0z 1z 2z ... pz = 3b

ให ijkD = [ 1ix , ix ] [ 1jy , jy ] [ 1kz , kz ]

เปนสวนแบงยอยของ D ซงมปรมาตรเทากบ

ijkV = ( ix )( jy )( kz )

เมอ ix = ix - 1ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , m

jy = jy - 1jy เมอ j = 1, 2, 3, ... , n

kz = kz - 1kz เมอ k = 1, 2, 3, ... , p

ให ( ijkx , ijky , ijkz ) ijkD

f เปนฟงกชนคาจรงบนโดเมน D

จะไดผลบวกรมนนของ f บน D คอ mnpS เมอ

mnpS =

m

1 i

n

1 j

p

1 k

f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV

ถา

pnmlim mnpS มคา และมคาเทากน

สาหรบทก ๆ วธแบง D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ

ในลกษณะทเสนทะแยงมมของทกรปทรงสเหลยมมมฉากยอย

มคาเขาสศนย เมอ m, n และ p มคาเขาสอนนต

แลว เรากลาววา f เปน ฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 29

คาลมตทหาไดน เรยกวา อนทกรลสามชนของ f บน D

หรอเรยกสน ๆ อนทกรลของ f บน D

ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ D

f, D

f dV,

D

f(x, y, z) dV หรอ D

f(x, y, z) dxdydz

D เรยกวา โดเมนของการอนทเกรต หรอ บรเวณของการ

อนทเกรต

เพราะฉะนน ถา f อนทเกรตไดบน D แลว จะได

D

f dV =

pnmlim

m

1 i

n

1 j

p

1k

f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV

ทฤษฎบทตอไปนจะบอกใหเราทราบวา

ฟงกชนในแบบใดจะเปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนโดเมน D

ทฤษฎบท 4.2.1 ให f : D R เมอ

D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z 3b }

= [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ]

ถา f มความตอเนองบน D หรอ

บรเวณท f ไมมความตอเนองมปรมาตรเปนศนย

(เชน เซตของจดจานวนจากดจด)

แลว จะได f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 30

การคานวณคา D

f dV

ใชวธซงเรยกวา อนทเกรตซอน

โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปรทละตวเชน

ขนท 1. อนทเกรตเทยบกบ z กอน โดยถอวา x และ y

มคาคงตว จะได 3b

3a

f(x, y, z) dz = g(x, y)

ผลลพธทไดจะเปนฟงกชนของ x และ y

ตอไปกอนทเกรตเทยบกบ y หรอ x

ขนท 2. อนทเกรต g(x, y) เทยบกบ y

โดยถอวา x มคาคงตว จะได 2b

2a

g(x, y) dy = h(x)

ขนท 3. อนทเกรต h(x) เทยบกบ x จะได 1b

1a

h(x) dx = A

จากขนท 1. ถง ขนท 3. คา A

เรยกวา อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ

และเขยนแทนดวยสญลกษณ 1b

1a2b

2a3b

3a

f(x, y, z) dzdydx

เพราะฉะนน 1b

1a2b

2a3b

3a

f(x, y, z) dzdydx

= 1b

1a

[ 2b

2a

[ 3b

3a

f(x, y, z) dz] dy] dx



4 - 31

ในทานองเดยวกนการอนทเกรตซอน D

f dV

เราสามารถหาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y และ z

ในลาดบตาง ๆ ไดทงหมด 6 แบบ คอ

1. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, y และ z ตามลาดบ

เขยนแทนดวย 3b

3a2b

2a1b

1a

f(x, y, z) dxdydz

2. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, z และ y ตามลาดบ


2a3b

3a1b

1a

f(x, y, z) dxdzdy

3. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ


3a1b

1a2b

2a

f(x, y, z) dydxdz

4. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ


1a3b

3a2b

2a

f(x, y, z) dydzdx

5. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, x และ y ตามลาดบ


2a1b

1a3b

3a

f(x, y, z) dzdxdy

6. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ


1a2b

2a3b

3a

f(x, y, z) dzdydx



4 - 32

โดยทวไปคาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y, z ใน

ลาดบทตางกน ไมจาเปนตองมคาเทากน แตในกรณท f เปน

ฟงกชนทอนทเกรตไดบน D จะไดอนทกรลซอนทงหกแบบ

ขางตนจะมคาเทากนและมคาเทากบอนทกรลสามชนของ f บน

D ซง

ในบทน เราจะกลาวถงการหาคาอนทกรลสามชนของฟงกชนท

อนทเกรตไดบนโดเมนทกาหนดใหเทานน โดยเราสามารถหา

คาอนทกรลไดดวยวธอนทเกรตซอน


คาอนทกรลสามชนของ f บน D คอคาลมตของผลบวกทาง

พชคณตของผลคณระหวางคาของฟงกชน ณ จดใดๆ ในรปทรง

สเหลยมมมฉากยอย ijkD กบ ปรมาตรของ ijkD


1. ถา f(x, y, z) คอความหนาแนนของวตถ D

ณ จด (x, y, z)

แลว D

f dV คอมวลของ D

2. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) D

แลว D

f dV คอปรมาตรของ D



4 - 33

ตวอยาง 4.2.1 ให f(x, y, z) = 3 2x z + 2y

และ D = [1, 2] [1, 3] [2, 3]

จงหาคาอนทกรลสามชนของ f บน D

วธทา D

f dV = 2

13

23

1

(3 2x z + 2y) dydzdx

(เลอกอนทเกรตเทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ)

= 2

13

2

[ 3 2x zy + 2y ] 1y3y

dzdx

= 2

13

2

(3 2x z(3 - 1) + (9 - 1)) dzdx

= 2

13

2

(6 2x z + 8) dzdx

= 2

1

[ 3 2x 2z + 8z ] 2z3z

dx

= 2

1

[3 2x (9 - 4) + 8(3 - 2)] dx

= 2

1

(15 2x + 8) dx

= [ 5 3x + 8x ] 1x2x

= (40 + 16) - (5 + 8)

= 43



4 - 34

ตวอยาง 4.2.2 จงหาคาของ

2

03

04

0

(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz

วธทา 2

03

04

0

(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz

= 2

03

0

[24x - 2x - 3yx - 4zx] 0x4x

dydz

= 2

03

0

(24(4 - 0) - (16 - 0) - 3y(4 - 0) - 4z(4 - 0)) dydz

= 2

03

0

(80 - 12y - 16z) dydz

= 2

0

[ 80y - 6 2y - 16 zy ] 0y3y

dydz

= 2

0

(80(3 - 0) - 6(9 - 0) - 16z(3 - 0)) dz

= 2

0

(186 - 48 z) dz

= [186 z - 24 2z ] 0z2z

= 186(2 - 0) - 24(4 - 0)

= 276



4 - 35

4.3 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปรบนโดเมนทวไป

ในหวขอนจะพจารณาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร f

เมอบรเวณของการอนทเกรตเปนรปทรงตนซงลอมรอบดวย

พนผวใน 3R

ให f : S R เมอ S 3R

โดยท S เปนเซตปดและมขอบเขต ดงรปท 4.3.1 (ก)

สรางรปทรงสเหลยมมมฉาก

D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ]

ครอบคลม S ดงรปท 4.3.1 (ข)

รปท 4.3.1 (ก) รปท 4.3.1 (ข)



4 - 36

ให f~ เปนฟงกชนทนยามบน D โดยมคาดงน

f~(x, y, z) =

Sz) y, (x,0

Sz) y, (x,z) y, x,(f

เมอ

เมอ

ถา f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D

เราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S

โดยนยามวา อนทกรลของ f บน S

มคาเทากบ D

f~(x, y, z) dV

และเขยนแทนดวยสญลกษณ S

f, S

f dV,

S

f(x, y, z) dV หรอ S

f(x, y, z) dxdydz

โดยเรยก S วา โดเมนของการอนทเกรต

หรอ บรเวณของการอนทเกรต


f dV = D

f~ dV

เมอ f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 37

ตอไปเราจะพจารณาบรเวณ S ซงกาหนดโดย

S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x)

และ g(x, y) z h(x, y)}

โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ]

และ g, h ตอเนองบนเซต R เมอ

R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)}

เพราะฉะนน S เปนทรงตนทปดลอม

ดานบนและดานลางดวย พนผว z = h(x, y) และ z = g(x, y)

ปดดานขางดวยทรงกระบอก y = 1 (x) และ y = 2 (x)

และ ปดดานหนาและดานหลงดวย

ระนาบ x = 1b และ x = 1a ดงรปท 4.3.2

รปท 4.3.2



4 - 38

ให f : S R เปนฟงกชนตอเนองบน S

ให D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ]

เปนรปทรงสเหลยมมมฉากซงครอบคลมเซต S

กาหนด f~(x, y, z) =

Sz) y, (x,0

Sz) y, (x,z) y, x,(f

เมอ

เมอ

จะไดบรเวณท f~ ไมตอเนอง

คอพนผวทลอมรอบเซต S ซงมปรมาตรเปนศนย

เพราะฉะนนอนทกรลสามชนของ f~ บน D มคา

จงไดวา อนทกรลสามชนของ f บน S มคา

และ D

S dV = D

f~ dV

เพราะวา D ครอบคลมเซต S

เพราะฉะนน แผนสเหลยมผนผา [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ]

บนระนาบ XY จะครอบคลมเซต R ดงรปท 4.3.3

รปท 4.3.3



4 - 39

R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)}

เพราะวา ถา (x, y) R

แลว จะม z ททาให (x, y, z) S

เพราะฉะนน f~(x, y, z) = f(x, y, z)

และ ถา (x, y) R

แลว จะไมม z ททาให (x, y, z) S

เพราะฉะนน f~(x, y, z) = 0

เพราะฉะนน คาอนทกรลสามชนของ f~

บนบรเวณท (x, y) R มคาเปนศนย

สาหรบ (x, y) R

3b

3a

f~(x, y, z) dz

= )y,x(g

3a

f~(x, y, z) dz +

y) h(x,

y) g(x,

f~(x, y, z) dz +

3b

)y,x(h

f~(x, y, z) dz

= )y ,x(g

3a

0 dz + y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dz + 3b

)y,x(h

0 dz

= y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dz

= F(x, y)



4 - 40

เพราะฉะนน D

f dV = R

F(x, y) dxdy

= 1b

1a

)x(2

)x(1

F(x, y) dydx

= 1b

1a

)x(2

)x(1

[ y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dz] dydx


S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dzdydx ... (*)

ซงอนทกรลทางขวามอของสมการ (*)

กคอ อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ

บทนยาม 4.3.1 S 3R

ภาพฉายของ S บนระนาบ XY = {(x, y) ม z ซง (x, y, z) S}

ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ = {(y, z) ม x ซง (x, y, z) S}

ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ = {(x, z) ม y ซง (x, y, z) S}


การพจารณาบรเวณ S ตามทกาหนดขางตน เปนการพจารณา

โดยกาหนดให S มภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ R ใน

กรณเชนนเราจะหาคาอนทกรลสามชนโดยอนทเกรตเทยบกบ z

กอน แลวจงอนทเกรตผลทไดเทยบกบ y แลวตามดวย x



4 - 41

หมายเหต 1. ถา f ตอเนองบน S แลว S

f dV มคา

2. ถา บรเวณท f ไมตอเนองมปรมาตรเปนศนย

(เชน จดหนงจด) แลว S

f dV มคา

3. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) S

แลว S

f dV คอปรมาตรของ S

ลาดบของการอนทเกรต

ให f : S R เมอ S 3R และ f เปนฟงกชนตอเนองบน S

การหาคา S

f dV โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x, y, z

ดวยลาดบของ x, y, z ทตาง ๆ กน

มทงหมด 6 แบบคอ

1. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน

S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z),

g(y, z) x h(y, z)}


และ g, h ตอเนองบน R เมอ

R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง

R = {(y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z)}

จะได S

f dV = 3b

3a

)z(2

)z(1

z) h(y,

z) g(y,

f(x, y, z) dxdydz



4 - 42


S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y),

g(y, z) x h(y, z)}



R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง

R = {(y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y)}

จะได S

f dV = 2b

2a

)y(2

)y(1

z) h(y,

z) g(y,

f(x, y, z) dxdzdy


S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z),

g(x, z) y h(x, z)}



R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง

R = {(x, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z)}

จะได S

f dV = 3b

3a

)z(2

)z(1

z) h(x,

z) g(x,

f(x, y, z) dydxdz



4 - 43


S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x),

g(x, z) y h(x, z)}



R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง

R = {(x, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x)}

จะได S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

z) h(x,

z) g(x,

f(x, y, z) dydzdx


S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y),

g(x, y) z h(x, y)}



R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง

R = {(x, y) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y)}

จะได S

f dV = 2b

2a

)y(2

)y(1

y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dzdxdy



4 - 44


S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x),

g(x, y) z h(x, y)}



R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง

R = {(x, y) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x)}

จะได S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

y) h(x,

y) g(x,

f(x, y, z) dzdydx

เนองจากทง 6 รปแบบของอนทกรลซอนของ f

บนบรเวณของการอนทเกรต S จะมคาเทากน

เพราะฉะนนในการหาคาอนทกรลสามชนของ f บน S

เราจงควรเลอกเขยน S ในรปแบบทเหมาะสม

เพอใหงายตอการคานวณ



4 - 45


4( 2x + 3 2y ) dV

เมอ S = {(x, y, z) 0 x 4, 0 y 2x, 0 z 4 - 4

x2}

วธทา



4 - 46

เราจะหาคา S

4( 2x + 3 2y ) dV

โดยเปลยน dV เปน dzdydx

รปท 4.3.4 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S

และ รปท 4.3.4 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY

รปท 4.3.4 (ก) รปท 4.3.4 (ข)

ภาพฉายของ S บนระนาบ XY

คอ {(x, y) 0 x 4, 0 y 2x}


S

4( 2x + 3 2y ) dV = 4

0x2

0

4

2x 4

0

4( 2x + 3 2y ) dzdydx



4 - 47

S

4( 2x + 3 2y ) dV = 4

0x2

0

4

2x 4

0

4( 2x + 3 2y ) dzdydx

= 4

0x2

0

4( 2x + 3 2y )[ z ] 0z

4x4z

2

dydx

= 4

0x2

0

4( 2x + 3 2y )(4 - 4

x 2 - 0) dydx

= 4

0x2

0

(16 - 2x )( 2x + 3 2y ) dydx

= 4

0

(16 - 2x )[ 2x y + 3y ] 0yx2y

dx

= 4

0

(16 - 2x )[ 2x (2x - 0) + (8 3x - 0)] dx

= 4

0

(16 - 2x )(10 3x ) dx

= 10 4

0

(16 3x - 5x ) dx

= 10[ 4 4x - 6

x6 ]

0x4x

= 10( 54 - 6

46)

= 10( 54 )(4 - 32)

= 3

10240



4 - 48

Matlab



4 - 49


(4 + 2z ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนง

ซงปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และ 2y + 2z = 4

วธทา



4 - 50

เราจะหาคา S

(4 + 2z ) dV

โดยเปลยน dV เปน dxdydz

รปท 4.3.5 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S

และ รปท 4.3.5 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ YZ

รปท 4.3.5 (ก) รปท 4.3.5 (ข)

บรเวณของการอนทเกรต

S = {(x, y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 , 0 x

2z4 }

ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ

คอ {(y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 }



4 - 51

S

(4 + 2z ) dV = 2

0 2z4

0

2z4

0

(4 + 2z ) dxdydz

= 2

0 2z4

0

(4 + 2z )[ x ] 0xz4x 2

dydz

= 2

0 2z4

0

(4 + 2z ) 2z4 dydz

= 2

0

(4 + 2z ) 2z4 [ y ] 0yz4y 2

dz

= 2

0

(4 + 2z ) 2z4 2z4 dz

= 2

0

(4 + 2z )(4 - 2z ) dz

= 2

0

(16 - 4z ) dz

= [ 16z - 5z5

] 0z2z

= 32 - 5

32

= 5

128



4 - 52



4 - 53

ตวอยาง 4.3.3 จงหาปรมาตรของรปทรงตน

ทลอมรอบดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y

วธทา



4 - 54

ให S เปนรปทรงตนทกาหนดให

ซงแสดงไดดงรปท 4.3.6 (ก)

รปท 4.3.6 (ก) รปท 4.3.6 (ข)

รอยตดของพนผว z = 2x + 2y ... (1)

และ z = 8 - 2x - 2y ... (2)

หาไดจาก 2x + 2y = 8 - 2x - 2y

2 2x + 2 2y = 8

2x + 2y = 4

เพราะฉะนนภาพฉายของ S บนระนาบ XY

เปนวงกลม 2x + 2y = 4 ดงรปท 4.3.6 (ข)



4 - 55

ปรมาตร = S

1 dV

=

2

2

2x4

2x4

2y2x8

2y2x

1 dzdydx

=

2

2

2x4

2x4

[ z ] 22

22

yxz

yx8z

dydx

=

2

2

2x4

2x4

[(8 - 2x - 2y ) - ( 2x + 2y )] dydx

=

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx ... (1)

(อานขอสงเกตทายตวอยาง)

=

2

2

[ 8y - 2 2x y - 32 3y ] 2

2

x4y

x4y

dx

=

2

2

2[8 2x4 - 2 2x 2x4 - 32(4 -

2x ) 2x4 ] dx

=

2

2

[4(4 - 2x ) 2x4 - (4 - 2x )34 2x4 ] dx

= 38

2

2

(4 - 2x ) 2x4 dx



4 - 56

การหา

2

2

(4 - 2x ) 2x4 dx

ให x = 2 sin จะได dx = 2 cos d

เมอ x = -2 จะได = -2 เมอ x = 2 จะได =

2


2

2

(4 - 2x ) 2x4 dx

=

2

2

(4 - 4 2sin ) 2sin44 2 cos d

=

2

2

(4 2cos )(2 cos )(2 cos ) d

= 16

2

2

4cos d

= 16

2

2

(2

2cos1 )2 d

= 4

2

2

(1 + 2 cos 2 + 2cos 2) d

= 4

2

2

(1 + 2 cos 2 + 2

4cos1 ) d



4 - 57

=

2

2

(6 + 8 cos 2 + 2 cos 4) d

= [ 6 + 4 sin 2 + 21 sin 4 ]

2

2

= (3 + 0 + 0) - (-3 + 0 + 0)

= 6

เพราะฉะนน ปรมาตร = 38(6) = 16



4 - 58

ขอสงเกต จาก (1) ในตวอยางขางตน

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx

เปนอนทกรลสองชนทมบรเวณของการอนทเกรตเปนรปวงกลม

และตวถกอนทเกรตอยในรป

8 - 2 2x - 2 2y = 8 - 2( 2x + 2y )

ซงจะคานวณคาอนทกรลสองชนไดสะดวกขนเมอใชการ

อนทเกรตในระบบพกดเชงขว จะไดผลดงน

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx

= 2

02

0

(8 - 2 2r ) r drd

= 2

02

0

(8r - 2 3r ) drd

= 2

0

[ 4 2r - 2r4

] 0r2r

d

= 2

0

(16 - 8)d

= 8[ ] 02

= 16



4 - 59


48xyz dV

เมอ S เปนบรเวณปดลอมดวยทรงกระบอก z = 2 - 2

x2

ระนาบ z = 0, y = x และ y = 0

โดยกาหนดลาดบของการอนทเกรตดงน 1. dzdydx 2. dydxdz

วธทา

บรเวณของการอนทเกรต S มภาพดงรปท 4.3.7 (ก)

รปท 4.3.7 (ก) รปท 4.3.7 (ข) รปท 4.3.7 (ค)



4 - 60

1. เราจะหาคา S

48xyz dV

โดยอนทเกรตเทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ

ภาพฉายของ S บนระนาบ XY มกราฟดงรปท 4.3.7 (ข)

S

48xyz dV

= 2

0x

0

2

2x 2

0

48xyz dzdydx

= 2

0x

0

24xy[ 2z ] 0z

2x2z

2

dydx

= 2

0x

0

24xy(2 - 2

x2)2 dydx

= 2

0

12x(2 - 2

x2)2[ 2y ] 0y

xy

dx

= 2

0

12 3x (2 - 2

x2)2 dx

= 2

0

12 3x (4 - 2 2x + 4

x4) dx

= 2

0

(48 3x - 24 5x + 3 7x ) dx

= [ 12 4x - 4 6x + 83 8x ]

0x2x

= 12( 42 ) - 4( 62 ) + 83( 82 )

= 32



4 - 61



4 - 62

2. เราจะหาคา S

6xyz dV

โดยอนทเกรตเทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ

ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.7 (ค)

S

48xyz dV

= 2

0 z24

0

x

0

48xyz dydxdz

= 2

0 z24

0

24xz [ 2y ] 0yxy

dxdz

= 2

0 z24

0

24z 3x dxdz

= 2

0

6z [ 4x ] 0xz24x

dz

= 2

0

6z(4 - 2z)2 dz

= 242

0

z(2 - z)2 dz

= 242

0

(4z - 4 2z + 3z ) dz

= 24[ 2 2z - 4(3z3

) + 4

z4 ] 0z

2z

= 24(8 - 3

32 + 4)

= 32



4 - 63



4 - 64

ตวอยาง 4.3.5 จงเปลยนลาดบของการอนทเกรต

3

0 )x26(

31

0

y3x26

0

f(x, y, z) dzdydx เปน dydxdz

วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ

S = {(x, y, z) 0 x 3, 0 y

31(6 - 2x), 0 z 6 - 2x - 3y}

จากเงอนไขของ S จะได ฐานของ S อยบนระนาบ z = 0

และ ดานบนปดดวยระนาบ z = 6 - 2x - 3y

เพราะฉะนนบรเวณ S มกราฟดงรปท 4.3.8 (ก)

รปท 4.3.8 (ก) รปท 4.3.8 (ข)

ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ปดลอมดวย

แกน X แกน Z และเสนตรง x = 21(6 - z)

ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.8 (ข)


0 )x26(

31

0

y3x26

0

f(x, y, z) dzdydx

= 6

0 )z6(

21

0

)zx26(

31

0

f(x, y, z) dydxdz



4 - 65

4.4 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสามชน

กาหนดให เปลยนตวแปรจาก x, y, z ไปเปน u, v, w โดยให

x = X(u, v, w)

y = Y(u, v, w)

และ z = Z(u, v, w)

โดยทบรเวณ S ในปรภม XYZ

เปลยนเปนบรเวณ T ในปรภม UVW

จะไดจด (u, v, w) ในปรภม UVW

ถกสงไปยงจด (x, y, z) ในปรภม XYZ

เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S กาหนดโดย

r(u, v, w) = (X(u, v, w), Y(u, v, w), Z(u, v, w))

= (x, y, z)

โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง

ถา u, v, w หาไดในพจนของ x, y, z โดยท

u = U(x, y, z)

v = V(x, y, z)

และ w = W(x, y, z)



4 - 66

จะไดวามฟงกชน s : S T

เปนฟงกชนผกผนของ r ซงกาหนดโดย

s(x, y, z) = (U(x, y, z), V (x, y, z), W(x, y, z))

= (u, v, w)

เราจะได S

f(x, y, z) dxdydz

= T

f(X(u,v,w),Y(u,v,w),Z(u,v,w)) J(u, v, w) dudvdw

เมอ X, Y, Z มอนพนธอยางตอเนองบน T

และ U, V, W มอนพนธอยางตอเนองบน S

โดยท J(u, v, w) 0 บน T

เมอ J(u, v, w) = )w,v,u()Z,Y,X(

=

wZ

vZ

uZ

wY

vY

uY

wX

vX

uX

คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ u, v, w

การเปลยนตวแปรทสาคญและใชกนมาก

ในการหาคาอนทกรลสามชนคอ

ตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก

และ ตวแปรในระบบพกดทรงกลม



4 - 67

4.4.1 ความสมพนธระหวาง

ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกระบอก

ระบบพกดทรงกระบอกเปนระบบทกาหนด จด P(x, y, z)

ในระบบพกดฉาก ดวยจดในพกดทรงกระบอก (r, , z)

เมอ (r, ) เปนพกดเชงขวของ (x, y)

ซงเปนภาพฉายของจด P บนระนาบ XY


x = X(r, , z) = r cos

y = Y(r, , z) = r sin

z = Z(r, , z) = z

ความสมพนธของ r, , z ในพจนของ x, y, z คอ

r = 22 yx

tan = xy เมอ x 0

ซงเงอนไขสาหรบ r, คอ กาหนด r 0

และ [ 0 , 0 + 2] เมอ 0 = 0 หรอ 0 = -2

รปท 4.4.1



4 - 68

ตวอยางเชน

ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกระบอก

จด (1, 1, 4) ( 2 , 4 , 4)

ทรงกระบอก

2x + 2y = 16

r = 4

ระนาบ y = x = 4

ครงทรงกลม z = 22 yx1 z = 2r1

พาราโบลอยด z = 2x + 2y z = 2r

ครงกรวย z = 22 yx z = r

ระนาบ x = 4 r cos = 4

ระนาบ y = 2 r sin = 2

ทรงกระบอกปดลอมดวย

2x + 2y = 4, z = 1, z = 4

r = 2, z = 1, z = 4

ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกระบอก จะสงเกตไดวา

1. r = c เปนสมการของทรงกระบอกกลม

ทมแกน Z เปนแกนของทรงกระบอก

2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ

และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY

ทามม 0 กบแกน X



4 - 69

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกด

ทรงกระบอกม จาโคเบยน ของ X, Y, Z เทยบกบ r, , z คอ

J(r, , z) = )z,,r()Z,Y,X(

=

zZZ

rZ

zYY

rY

zXX

rX

= 1000cos rsin0sinrcos

= r

เพราะฉะนน J(r, , z) = r


S

f(x, y, z) dxdydz = T

f(r cos , r sin , z) r dzdrd

เมอ T = {(r, , z) (r cos , r sin , z) S}

การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรนสามารถ

ทาได โดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S

ใหอยในระบบพกดทรงกระบอก

แลว พจารณาคา r, และ z จากบรเวณของการอนทเกรต

กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกระบอก



4 - 70

ตวอยาง 4.4.1 ให S เปนทรงตนปดลอมดวยทรงกระบอก

2x + 2y = 4 และ ระนาบ z = 0 และ z = 5

จงหาปรมาตรของ S

วธทา รปท 4.4.2 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.2 (ข)

แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY

รปท 4.4.2 (ก) รปท 4.4.2 (ข)

ดวยการอนทเกรตในระบบพกดฉาก จะได


1 dV


y = r sin

และ z = z



4 - 71

1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 4 ในระบบพกดฉาก

เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน

2r = 4

เพราะฉะนน r = 2

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ

T = {(r, , z) 0 2, 0 r 2, 0 z 5}

เพราะฉะนน ปรมาตร = S

1 dV

= 2

02

05

0

1 r dzdrd

= 2

02

05

0

r dzdrd

= 2

02

0

r [ z ] 0z5z

drd

= 2

02

0

5r drd

= 2

0

5 [ 2r2

] 0r2r

d

= 2

0

10 d

= 10 [ ] 02

= 20



4 - 72

ตวอยาง 4.4.2 ให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอม

ดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4, 2x + 2y = 9 ระนาบ y = x,

y = 3x, z = 0 และ ระนาบ z = 5 จงหาปรมาตรของ S

วธทา ปรมาตร = S

1 dV


y = r sin

z = z



r = 2



r = 3

3. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก


= 4

4. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก


= 3




4 - 73

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอก T คอ

T = {(r, , z) 4

3 , 2 r 3, 0 z 5}

รปท 4.4.3 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.3 (ข)

แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY

รปท 4.4.3 (ก) รปท 4.4.3 (ข)


1 dV =

3

4

3

25

0

1 r dzdrd

=

3

4

3

2

r [ z ]0z5z

drd =

3

4

3

2

5r drd

=

3

4

5 [ 2r2

]2r3r

d =

3

4

225 d

= 225 [ ]

4

3

=

225(

3 -

4)

= 24

25



4 - 74


22 yx2 dV

เมอ S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกระบอก

2x + 2y = 1 และ ภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2

วธทา



4 - 75

รปท 4.4.4 (ก) แสดงบรเวณ S


รปท 4.4.4 (ก) รปท 4.4.4 (ข)

เปลยนสมการในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกด

ทรงกระบอกโดยใชความสมพนธ x = r cos

y = r sin

z = z



2r = 1

เพราะฉะนน r = 1



4 - 76

2. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2 ในระบบพกดฉาก


2r + 2z = 2

เพราะฉะนน z = 2r2


บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ

T = {(r, , z) 0 2 , 0 r 1, 0 z 2r2 }


22 yx2 dV = T

2r2 r dzdrd

=

2

01

0 2r2

0

2r2 r dzdrd

=

2

01

0

r 2r2 [ z ] 0zr2z 2

drd

=

2

01

0

r 2r2 ( 2r2 - 0) drd

=

2

01

0

(2r - 3r ) drd =

2

0

[ 2r - 4r4

] 0r1r

d

=

2

043 d =

43 [ ] 0

2

= 43(

2 - 0) =

83



4 - 77

4.4.2 ความสมพนธระหวาง

ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกลม

ระบบพกดทรงกลมเปนระบบทกาหนดจด

P(x, y, z) ในระบบพกดฉาก ดวยพกด (, , )

เมอ คอ ขนาดของเวกเตอร OP

คอ มมทภาพฉายของ OP ทากบแกน X

คอ มมท OP ทากบแกน Z


x = X(, , ) = sin cos

y = Y(, , ) = sin sin

z = Z(, , ) = cos

จากความสมพนธขางตนจะได = 222 zyx

เงอนไขสาหรบ , , คอ 0, [ 0 , 0 + 2)

เมอ 0 = 0 หรอ -2 และ [0, ]

รปท 4.4.5

รปท 4.4.5 แสดงความสมพนธของ x, y, z และ , ,



4 - 78

ตวอยางเชน

ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกลม

จด (1, 1, 1) ( 3, 4 , arccos

31 )

จด (0, 1, 1) ( 2 , 2 ,

4)

ระนาบ y = x = 4

ระนาบ y = 3x = 3

ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a = a

ครงกรวย z = 22 yx = 4

ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกลม จะสงเกตไดวา

1. = a คอทรงกลมรศมเทากบ a

จดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)

2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ

และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY

ทามม 0 กบแกน X

3. = 0 คอครงกรวยทมจดยอดอยทจด (0, 0, 0)

เจนเนอเรเตอรทามม 0 กบแกน Z



4 - 79

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดทรงกลม

มจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ , , คอ

J(, , ) = ),,()Z,Y,X(

=

ZZZ

YYY

XXX

= sin0cos

sincoscossinsinsin cos cos sin sin cossin

= - 2 sin

เพราะฉะนน J(, , ) = 2 sin


f(x, y, z) dxdydz

= T

f( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin ddd

เมอ T = {(, , ) sin cos , sin sin , cos ) S}

คาแนะนา

การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรน สามารถ

ทาไดโดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S

ใหอยในระบบพกดทรงกลม

แลว พจารณาคา , และ จากบรเวณของการอนทเกรต S

กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกลม



4 - 80


222 zyx

2

dV

เมอกาหนดให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนง

ซงลอมรอบดวย ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16

ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 กรวย z = )yx(3 22

กรวย 3z = 22 yx ระนาบ y = x และ ระนาบ y = 3x

วธทา เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก

เปน สมการในระบบพกดทรงกลม

โดยใชความสมพนธ x = sin cos

y = sin sin

z = cos


เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน

2 = 16

เพราะฉะนน = 4



2 = 25




4 - 81

3. สมการกรวย z = )yx(3 22 ในระบบพกดฉาก


cos = 22 sin3

tan = 3

1


4. สมการกรวย 3z = 22 yx ในระบบพกดฉาก


3 cos = 22 sin

tan = 3


5. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก


sin sin = sin cos

tan = 1


6. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก


sin sin = 3 sin cos

tan = 3




4 - 82



รปท 4.4.6 (ก) รปท 4.4.6 (ข)

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ

T = {(, , ) 4

3 ,

6

3 , 4 5}


S

222 zyx

2

dV =

T

(2 ) 2 sin ddd

S

222 zyx

2

dV =

3

4

3

6

5

4

2 sin ddd



4 - 83

S

222 zyx

2

dV =

3

4

3

6

(sin ) [ 2 ] 45

dd

=

3

4

3

6

9 sin dd

=

3

4

9 [ -cos ] 6

3

d

=

3

4

-9(21 -

23) d

=

3

4

9(2

13 ) d

= 9(2

13 )[ ] 4

3

= 9(2

13 )(3 -

4)

= 9(2

13 )(12 )

= (2

13 )(4

3)

= 8

)13(3



4 - 84


222 zyx dV

เมอ S คอทรงตนทปดลอมดวยครงทรงกลม z = 22 yx4

และ ระนาบ z = 1

วธทา



4 - 85

เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก



y = sin sin

z = cos

1. สมการครงทรงกลม z = 22 yx4 ในระบบพกดฉาก

จะได 2x + 2y + 2z = 4

เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 4

เพราะฉะนน = 2 ... (1)

2. สมการระนาบ z = 1 ในระบบพกดฉาก

เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน cos = 1

เพราะฉะนน = sec ... (2)

ตอไปเราจะหามม ทครงทรงกลมตดกบระนาบ

จาก (1) และ (2) จะได sec = 2

เพราะฉะนน cos = 21

เพราะฉะนน มม ทครงทรงกลมตดกบระนาบคอ 3



4 - 86



รปท 4.4.7 (ก) รปท 4.4.7 (ข)

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ

T = {(, , ) 0 2, 0 3 , sec 2}


S

222 zyx dV = T

() 2 sin ddd

= 2

0

3

0

2

sec

() 2 sin ddd



4 - 87

S

222 zyx dV = 2

0

3

0

2

sec

() 2 sin ddd

= 2

0

3

0

(sin ) [ 4

4 ]

sec2

dd

= 2

0

3

0

(sin ) [ 4

4 ]

sec2

dd

= 2

0

3

0

(sin )(4 - 4

sec4 ) dd

= 2

0

3

0

(4 sin - 41 sin 4cos ) dd

= 2

0

[ -4 cos + 41

3cos 3

] 0

3

d

= - 2

0

[ (2 + 32) - (4 +

121 ) ] d

= 2

01217 d

= 1217 [ ]

02

= 6

17



4 - 88



4 - 89

ตวอยาง 4.4.6 จงหาปรมาตรของรปทรงตน S

ทลอมขางบนดวยครงทรงกลม z = 1 + 22 yx1

และลอมขางลางดวยกรวย z = 22 yx

วธทา



4 - 90

เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก



y = sin sin

z = cos

1. สมการครงทรงกลม

z = 1 + 22 yx1 ในระบบพกดฉาก

จะได 2x + 2y + (z - 1)2 = 1

2x + 2y + 2z = 2z


2 = 2 cos

เพราะฉะนน = 2 cos



4 - 91

2. สมการกรวย z = 22 yx ในระบบพกดฉาก

2x + 2y = 2z


2 2sin 2cos + 2 2sin 2sin = 2 2cos

2sin ( 2cos + 2sin ) = 2cos

2sin = 2cos

2tan = 1




รปท 4.4.8 (ก) รปท 4.4.8 (ข)

บรเวณการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ

T = {(, , ) 0 2, 0 4 , 0 2 cos

}



4 - 92

T = {(, , ) 0 2, 0 4 , 0 2 cos }

เพราะฉะนนปรมาตร = S

1 dV

= T

2 sin ddd

= 2

0

4

0cos2

0

2 sin ddd

= 2

0

4

0

(sin ) [ 3

3 ] 0

cos2

dd

= 2

0

4

038 sin 3cos dd

= 2

038 [ -

4cos4

] 04

d

= 2

0

-32(

41 - 1) d

= 2

021 d

= 21 [ ]

02

=



4 - 93

4.5 ประโยชนของอนทกรลสามชน

ให S เปนวตถรปทรงตนซงแทนไดดวยบรเวณใน 3R

และ f(x, y, z) เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรท

จด (x, y, z) จะไดวา

1. ปรมาตรของ S คอ V = S 1 dV

2. มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV

3. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM =

S z f(x, y, z) dV

โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ yzM =

S x f(x, y, z) dV

โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ xzM =

S y f(x, y, z) dV

4. พกดของจดศนยถวงของ S คอ (x , y, z)

เมอ x = yzM

M , y = xzM

M และ z =

xyM

M

ถา f(x, y, z) เปนฟงกชนคงตว

แลว เราจะเรยกจด (x , y, z) วาจดเซนทรอยดของ S

5. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบเสนตรง L คอ

LI = S

2 (x, y, z) f(x, y, z) dV

เมอ (x, y, z) เปนระยะทางจากจด (x, y, z) ใน S

ไปยงเสนตรง L



4 - 94

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ

xI = S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y คอ

yI = S ( 2x + 2z ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z คอ

zI = S ( 2x + 2y ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ

xyI = S

2z f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ คอ

yzI = S

2x f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ คอ

xzI = S

2y f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ

0I = S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dV



4 - 95

ตวอยาง 4.5.1 ให f(x, y, z) = xyz เปนความหนาแนนของ

วตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถ

รปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ x + 2y + z = 6 และระนาบ

พกดฉาก

จงหา 1. ปรมาตรของ S

2. มวลของ S

วธทา รปท 4.5.1 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณ

คาเราเลอกระบบพกดฉากซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY

เปนดงรปท 4.5.1 (ข)

รปท 4.5.1 (ก) รปท 4.5.1 (ข)



4 - 96

1. ปรมาตรของ S = S 1 dV

= 6

0

1(6 x)2

0

6 x 2y

0

1 dzdydx

= 6

0

1(6 x)2

0

[ z ] z 6 x 2y

z 0 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

(6 - x - 2y) dydx

= 6

0 [ 6y - xy - 2y ]

1y (6 x)2

y 0

dx

= 6

0 (3(6 - x) - x( 1

2(6 - x)) - ( 1

2(6 - x))2) dx

= 6

0 (9 - 3x + 1

42x ) dx

= [ 9x - 32

2x + 112

3x ] x 6x 0

= 54 - 54 + 18

= 18 ลกบาศกหนวย



4 - 97

2. มวลของ S = S f(x, y, z) dV

= 6

0

1(6 x)2

0

6 x 2y

0

xyz dzdydx

= 6

0

1(6 x)2

0

xy [

2z2

] z 6 x 2yz 0 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

12 xy (6 - x - 2y)2 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

(18xy - 6 2x y - 12x 2y + 1

23x y

+ 2 2x 2y + 2x 3y ) dydx

= 6

0 [ 9x 2y - 3 2x 2y - 4x 3y + 1

43x 2y

+ 23

2x 3y + 12x 4y ]

1y (6 x)2

y 0

dx

= 6

0 ( 27

2x - 9 2x + 9

43x - 1

44x + 1

965x ) dx

= [ 274

2x - 3 3x + 916

4x - 120

5x + 1576

6x ] x 6x 0

= 243 - 648 + 729 - 19445

+ 81

= 815



4 - 98



4 - 99

ตวอยาง 4.5.2 ให f(x, y, z) = 2 2x y เปนความหนาแนน

ของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปน

วตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ

กรวย z = 2 24(x y )

จงหา 1. มวลของ S

2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY

วธทา รอยตดของกรวย z = 2 24(x y ) กบระนาบ z = 8

คอวงกลม 2x + 2y = 16, z = 8

รปท 4.5.2 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเรา

เลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บนระนาบ

XY เปนดงรปท 4.5.2 (ข)

รปท 4.5.2 (ก) รปท 4.5.2 (ข)



4 - 100

1. มวลของ S คอ M= S f(x, y, z) dV

= S

2 2x y dV

= 2

0

4

0

8

2r r r dz drd

= 2

0

4

0

2r [ z ] z 8z 2r drd

= 2

0

4

0

2r (8 - 2r) drd

= 2

0

4

0 (8 2r - 2 3r ) drd

= 2

0

[ 83 3r - 1

2 4r ] r 4

r 0 d

= 2

0

(5123

- 128) d

= 2

0

1283

d

= 1283

[ ] 20

= 2563



4 - 101

2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY = S z f(x, y, z) dV

= S z 2 2x y dV

= 2

0

4

0

8

2r zr r dz drd

= 2

0

4

0

2r [ 2z2

] z 8z 2r drd

= 2

0

4

0 2r (32 - 2 2r ) drd

= 2

0

4

0 (32 2r - 2 4r ) drd

= 2

0

[ 323

3r - 25 5r ] r 4

r 0 d

= 2

0

( 20483

- 20485

) d

= 2

0

409615

d

= 409615

[ ] 20

= 819215



4 - 102

ตวอยาง 4.5.3 ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถ

ตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรง

ตนซงปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY,

YZ, XZ ในอฐภาคทหนง จงหาจดเซนทรอยดของวตถ S


คาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บน

ระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.3 (ข)

รปท 4.5.3 (ก) รปท 4.5.3 (ข)



4 - 103

มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV

= S k dV

= 2

0

4

0

216 r

0

k r dz drd

= k 2

0

4

0 r [ z ]

2z 16 rz 0

drd

= k 2

0

4

0 r 216 r drd

= k 2

0

[ -13 (16 - 2r )

32 ] r 4

r 0 d

= k 2

0

643

d

= 64k3

[ ] 20

= 32k3



4 - 104

โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM = S z f(x, y, z) dV

= S z k dV

= 2

0

4

0

216 r

0

k z r dz drd

= k 2

0

4

0 r [

2z2

] 2z 16 r

z 0

drd

= k2

2

0

4

0 r(16 - 2r ) drd

= k2

2

0

[ 8 2r - 4r4

] r 4r 0 d

= k2

2

0

64 d

= 32k [ ] 20

= 16k

เพราะฉะนน z = xyM

M = 16k

32k( )3

= 32



4 - 105

โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ

xzM = S y f(x, y, z) dV

= S y k dV

= 2

0

4

0

216 r

0

(r sin ) k r dz drd

= k 2

0

4

0 2r sin [ z ] 2z 16 r

z 0

drd

= k 2

0

4

0 (sin ) 2r 216 r drd ... (1)

พจารณา 4

0 2r 216 r dr

ให r = 4 sin จะไดวา dr = 4 cos d

เมอ r = 0 จะได = 0 และ เมอ r = 4 จะได = 2


0 2r 216 r dr

= 2

0

(16 2sin )(4 cos ) 4 cos d

= 256 2

0

( sin 22 )2 d



4 - 106

= 64 2

0

1 cos4

2 d

= 32 [ - 14 sin 4 ] 2

0

= 16 ... (2)

เพราะฉะนนจาก (1) และ (2) จะได

โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ

xzM = k 2

0

16 sin d

= 16k 2

0

sin d

= 16k [ -cos ] 20

= 16k

เพราะฉะนน y = xzMM

= 16k32k( )

3

= 32



4 - 107

โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ

yzM = S x f(x, y, z) dV

= S x k dV

= 2

0

4

0

216 r

0

(r cos ) k r dz drd

= k 2

0

4

0 2r cos [ z ] 2z 16 r

z 0

drd

= k 2

0

4

0 (cos ) 2r 216 r drd

= k 2

0

(cos ) 4

0 2r 216 r drd

= 16k 2

0

cos d

(จาก (2) 4

0 2r 216 r dr = 16 )

= 16k [ sin ] 20

= 16k

เพราะฉะนน x = yzM

M = 16k

32k( )3

= 32

ดงนนจดเซนทรอยดของ S คอจด ( 32, 3

2, 3

2)



4 - 108

ตวอยาง 4.5.4 ให S เปนวตถรปทรงตนซง

ปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY

และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวย

ปรมาตรทจด (x, y, z) ใด ๆ

จงหา 1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X

2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY

3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด


คาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกลม ซงภาพฉายของ S บน

ระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.4 (ข)

รปท 4.5.4 (ก) รปท 4.5.4 (ข)



4 - 109

1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ xI

= S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV

= S ( 2y + 2z )k dV

= k2

0 2

0

3

0 ( 2 2sin 2sin + 2 2cos ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2sin 2sin + 2cos ) (sin ) 4 ddd

= k 2

0 2

0

( 2sin 2sin + 2cos )(sin) [ 5

5

] 30

dd

= 243k5

2

0 2

0

( 2sin 2sin + 2cos ) sin dd

= 243k5

2

0 2

0

((1 - 2cos ) 2sin + 2cos )d(-cos)d

= 243k5

2

0 2

0

-( 2sin - 2sin 2cos + 2cos )d(cos)d

= 243k5

2

0

-[ 2sin cos - 2sin (3cos

3

) +3cos

3

] 20

d

= 243k5

2

0

( 2sin - 13

2sin + 13) d

= 243k5

2

0

( 23

2sin + 13) d



4 - 110

= 81k5

2

0

(2 2sin + 1) d

= 81k5

2

0

(1 - cos 2 + 1) d

= 81k5

2

0

(2 - cos 2) d

= 81k5

[ 2 - 12 sin 2 ] 2

0

= 324k5



4 - 111

2. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ xyI

= S

2z f(x, y, z) dxdydz

= S

2z k dV

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2 2cos ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2cos sin) 4 ddd

= k 2

0 2

0

( 2cos sin) [ 5

5

] 30

dd

= 243k5

2

0 2

0

2cos sin dd

= 243k5

2

0 2

0

2cos d(-cos)d

= 243k5

2

0

[ -3cos

3

] 20

d

= 243k5

2

0 1

3 d

= 81k5

2

0

1 d

= 81k5

[ ] 20

= 162k5



4 - 112

3. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ 0I

= S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dxdydz

= S ( 2x + 2y + 2z ) k dV

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2 ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0

4 sin ddd

= k 2

0 2

0

(sin ) [ 5

5

] 30

d d

= 243k5

2

0 2

0

sin d d

= 243k5

2

0

[-cos ] 20

d

= 243k5

2

0

1 d

= 243k5

[ ] 20

= 486k5


2301207 Calcuus III 2561/1st

4 - 113

แบบฝกหด 4.1

1. จงหาคาของ 4

01

2y

2y

(2

yx2 ) 4 dxdy โดยการเปลยนตวแปร u =

2yx2

, v = 2y


0 x 1

0

sin(x + y) cos(y - 2x) dydx โดยการเปลยนตวแปร u = x + y, v = y - 2x

3. จงหาคาของ S

(x - y) 2 (2x + y) 3 dA เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสามเหลยมบนระนาบ XY ทมจดยอด

เปน (0, 0), (1, 1) และ (1, -2) โดยการเปลยนตวแปร u = x - y, v = 2x + y


(3x + 2y) 2 (x + 4y) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย แกน X แกน Y และ เสนตรง x + y = 1

โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y


(3 2x + 14xy + 8 2y ) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย เสนตรง 3x + 2y = 2, 3x + 2y = 6,

x + 4y = 0 และ x + 4y = 4 โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y


(yx +

xy

) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 9, y = x และ y = 4x

เฉพาะสวนทอยในจตภาคทหนงโดยการเปลยนตวแปร x = vu , y = uv


0 y2 2

y

(x + 2y) x ye dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = x + 2y, v = y - x


0

2

4 y

2y

3 2y (2x - y)2)y x2(e

dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = 2x - y, v = y

9. จงหาคาของอนทกรลตอไปน

9.1 S

(x - y) 2 cos(2

yx ) dA

เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (, 0), (2, ), (, 2) และ (0, )

9.2 S

2sin (x - y) 2cos (x + y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }

9.3 S

(x - y) 2 yxe dA

เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (0,0), (1, 1), (2, 0) และ (1, -1)

9.4 S

y xe cos(x - y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }

9.5 S

(2 2y + x)(x - 2y ) xye dA

เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 4, x - 2y = 1 และ x - 2y = 4

10. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต

10.1 1

0

2y 1

y 1

f(x, y) dxdy 10.2

1

1 2x 1

0

f(x, y) dydx

10.3

2

2 2y 4

|y |

f(x, y) dxdy 10.4

1

11

2x

f(x, y) dydx



4 - 114

11. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดฉาก พรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต

11.1

2

0cos

0

3r drd 11.2

2

3

θ 2cosec

θ cosec

r cos drd


f(x, y) dA เมอ

12.1 f(x, y) = 22 y4x41 และ S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4

12.2 f(x, y) = 22 yx

1

และ S เปนบรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4x และภายนอกวงกลม 2x + 2y = 4

12.3 f(x, y) = x + y และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม x = 24 y เสนตรง y = 3 x และ y = 0

12.4 f(x, y) = y 22 yx และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม y = 2xx2 และแกน X

13. จงหาคาของอนทกรลตอไปนดวยการเปลยนตวแปรในระบบพกดเชงขว

13.1 1

0 2y 2

y

2y dxdy 13.2 4

0 2x 16

0

)2y 2x(e dydx

13.3 4

1

x 3

022 yx

1

dydx 13.4

4

0 2y y4

0

2xy dxdy

13.5 6

0

2 x x6

2 x x6

x dydx 13.6 2

0 2y 4

02 21

1 x y dxdy

13.7

1

1 2 x 1

022 yx1

1

dydx 13.8

2

0

2 x 4

2 x 4

322 )yx( dydx

13.9 1

0 2y 1

0

sin(( 2x + 2y )) dxdy 13.10

5

5 2 x 25

0

(25 - 2x - 2y ) dydx

13.11 1

0y

y

22 yx dxdy 13.12 2

1x

022 yx

1

dydx

13.13 1

0 2y y2

0

( 2x + 2y ) 2 dxdy 13.14

21

0

2x x

2x x

x dydx

14. จงหาพนทของบรเวณตามขอกาหนดตอไปน

14.1 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เสนตรง x = 3, y = x และ y = 0

14.2 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = ax และภายนอกวงกลม 2x + 2y = ay เมอ a 0

14.3 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4y เมอ y 3

14.4 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4x เสนโคง y = x2 และแกน X

15. จงหาปรมาตรของรปทรงตนตามขอกาหนดตอไปน

15.1 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 2 - y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 2x = 0 บนระนาบ z = 0

15.2 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 4 และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 1 + sin บนระนาบ z = 0

15.3 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 5 และฐานปดลอมดวยครงวงกลม x = 24y y และเสนตรง y = x

บนระนาบ z = 0

15.4 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y และฐานปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0



4 - 115

15.5 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x + 2y และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 2 sin บนระนาบ z = 0

15.6 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 3 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 บนระนาบ z = 0

15.7 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 6 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 6y = 0 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0

15.8 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 ในจตภาคทหนง บนระนาบ z = 0

16. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1 - 2x - 2y

และปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y - x = 0

17. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 4y

และสวนบนปดดวยพนผว z = 22 yx

18. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a และ พนผว 2x + 2y = 2b เมอ 0 b a

19. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 1

และสวนบนปดดวยระนาบ z = 4 + x + 2y


1. จงหาคาอนทกรลซอนตอไปน

1.1 1

02

04

1

6x 2y 3z dxdydz 1.2 2

03

11

0

(3 2x + 4y 3z ) dzdydx

1.3

1

1

2

24

1

( 2x + 2y + 2z ) dydxdz 1.4

0

4

0

0

sin(x + y + z) dzdydx

1.5

1

1

2

2

4

4

( 2x + 2 2y + 3z) dxdydz 1.6 1

02

03

0

xz ye dxdzdy

1.7 2

04

01

0

x(y + z) dydxdz 1.8

0

2

0

0

x cos(y + z) dzdydx

1.9

1

12

03

1

2x (y + zx) dydxdz 1.10

0

4

0

0

sin(x + y) cos(x + z) dzdydx

2. จงหาคาอนทกรลสามชนตอไปนบนบรเวณของการอนทเกรต D ทกาหนดให

2.1 D

(x + y - z) dV เมอ D = {(x, y, z) -1 x 1, 0 y 2, 0 z 1}

2.2 D

2)1xy(

yz

dV

เมอ D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 และ z = 2

2.3 D

xyz 2x1 dV เมอ D = [0, 1] [0, 2] [0, 3]

2.4 D

cos x sin(y + z) dV เมอ D = {(x, y, z) 0 x 2 , 0 y

2 , 0 z

4 }

2.5 D

)z1)(y1(x

dV เมอ D = [0, 1] [0, 1] [0, 2]



4 - 116


1. จงหาคาของอนทกรลซอนตอไปน

1.1 1

0x

0y

0

xyz dzdydx 1.2 1

0y

0z

0

(1 + xy) dxdzdy

1.3 1

0

x

x

zx

zx

(x + y + z) dydzdx 1.4 2

0 2z4

0z2

0

y dxdydz

1.5 1

0z

0 2z2y

0

xy dxdydz 1.6

4

01

02y

0

y cos x dzdydx

1.7 1

0y12

0y1

0

xz dzdxdy 1.8 1

0x

0zx

0

2x dydzdx

2. จงเปลยนลาดบของอนทกรลซอนทกาหนดใหตามลาดบทระบไว และเขยนรปบรเวณของการอนทเกรต

2.1 4

0 )

4x 1(5

0

)

5y

4x 1(6

0

f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydxdz

2.2

3

1

2

2 2x 4

0

f(x, y, z) dzdxdy เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx

2.3

2

2

4

2x 13

4

2x 13

9

2y

4

2x 14

9

2y

4

2x 14

f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdzdy

2.4

2

2

4

2x 13

4

2x 13

1

9

2y

4

2x

f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdydz

2.5 1

0 z33

0 z22

0

f(x, y, z) dxdydz เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx

2.6 2

0 2x 4

0

)2z 2x 4(

21

0

f(x, y, z) dydzdx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dzdxdy

3. จงเขยนอนทกรลซอนทง 6 แบบของฟงกชน f(x, y, z) บนบรเวณ S ในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว 2y + 2z = 1

และ ระนาบ y = x, z = 0, x = 0


f dV เมอกาหนด f และ S ดงตอไปน

4.1 f(x, y, z) = z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบพกดฉากทงสาม และระนาบ x + y + z = 6

4.2 f(x, y, z) = x, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 22 yx1 และระนาบ z = 0

4.3 f(x, y, z) = 2x + 2z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 1

4.4 f(x, y, z) = yz, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 22 yx

4.5 f(x, y, z) = x + 2y + 3z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 1, z = 0, y + z = 2 และ y = z



4 - 117

5. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทกาหนดดงตอไปน

5.1 ปดลอมดวยระนาบ 2x + 5y + 7z = 70 และระนาบพกดฉากทงสาม

5.2 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และระนาบ y + z = 6 เฉพาะในอฐภาคทหนง

5.3 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2y + 2z = 1 ระนาบ y = x, z = 0 และ x = 0

เฉพาะในอฐภาคทหนง 5.4 ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = y + 2

5.5 ปดลอมดวยทรงกระบอก x = 2y ระนาบ z = 0 และ x + z = 1

5.6 ปดลอมดวยระนาบ z = x + y, y = 2x, z = 0, x = 0 และ y = 2

5.7 ปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 9

5.8 ปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 4, z = 0, y + z = 2 และ y = z

5.9 อยในอฐภาคทหนงและปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y ระนาบ x = 1 และระนาบ YZ

5.10 ปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 4, 2x + 2z = 4 และระนาบ XY


1. จงเขยน S

f(x, y, z) dV

ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกระบอกเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต)

1.1 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16

1.2 f(x, y, z) = 2z , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 และทรงกระบอก 2x + 2y = 2x

1.3 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z ,

S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y

1.4 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในพาราโบลอยด z = 29 - 2x - 2y และอยเหนอระนาบ z = 4

1.5 f(x, y, z) = z,

S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10

2. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก

2.1 S

( 2x + 2y ) dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 3z และระนาบ z = 3

2.2 S

2 2 364

(x y ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y ทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และระนาบ x + y = 4

2.3 S

1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 22 y4x432 และพนผว z = 2x + 2y

2.4 S

1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และพนผว z = 8 - 2x - 2y

2.5 S

1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทอยภายในพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และอยภายนอกทรงกระบอก 2x + 2y = 1

3. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก

3.1 1

0 2x1

0 2y2x1

0

2z dzdydx 3.2 2

0 2y4

0 2y2x8

0

x dzdxdy

3.3 4

0 2y y4

0 2y 2x

0

z dzdxdy 3.4 2

0 2x x2

0 2y 2x 4

0

y dzdydx



4 - 118

3.5 3

0 2x 9

0 2y 2x

0

1 dzdydx 3.6 3

0 2x 9

0 2y 2x 9

0

2 29 x y dzdydx

3.7 4

0 2x x4

0 2y 2x

0

1 dzdydx 3.8 1

0 2x 1

0 2y 2x

0

2x dzdydx

4. จงเขยน S

f(x, y, z) dV

ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกลมเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต)

4.1 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z , S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

4.2 f(x, y, z) = x, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 9 และ กรวย z = 22 yx

4.3 f(x, y, z) = 2x + 2y , S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงและอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16

4.4 f(x, y, z) = 22 yx , S เปนรปทรงตนทอยภายในกรวย z = 22 yx และอยใตระนาบ z = 7

4.5 f(x, y, z) = 222 zyx , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z และอยใตระนาบ z = 2

5. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม

5.1 S

( 2x + 2y + 2z ) dV เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 4

5.2 S

( 2x + 2y ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 1 และปดลอมดานลางดวยกรวย z = 22 yx

5.3 S

222 zyx dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 และปดลอมดานลางดวยระนาบ z = 1

5.4 S

222 zyx1

1

dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

5.5 S

( 2x + 2y + 2z ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยกรวย z = 2 22 yx ทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0

6. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม

6.1 1

0 2x 1

0 2y 2x 1

0

( 2x + 2y + 2z ) dzdydx 6.2 1

0 2y 1

0

2y 2x 4

)2y 2x(3

222 zyx dzdxdy

6.3 1

0 2y 1

0

2y 2x 1 1

2y 2x 1 1

22 yx dzdxdy 6.4 1

0 2x 1

0

2y 2x 1 1

2y 2x

( 2x + 2y ) dzdydx

6.5 2

0 2x 4

0 2y 2x 4

0

z 22 yx4 dzdydx 6.6 3

0 2x 3

0 2y 2x 3

0

( 2x + 2y + 2z ) dzdydx

7. จงหาปรมาตรของรปทรงตน S ทกาหนดใหตอไปน

7.1 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a

7.2 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z

7.3 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 36 และกรวย z = 22 yx

7.4 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16

7.5 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y

7.6 S อยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10



4 - 119


1. ให f(x, y, z) = xy เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปด

ลอมดวยระนาบ 2x + y + z = 4 และระนาบพกดฉากทงสาม

จงหา 1.1 ปรมาตรของ S 1.2 มวลของ S

2. ให f(x, y, z) = 22 yx เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตน

ซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ กรวย z = )yx(4 22

จงหา 2.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 2.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY

3. ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอม

ดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY, YZ, XZ ในอฐภาคทหนง

จงหา 3.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 3.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ

3.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด

4. ให S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY

และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S

จงหา 4.1 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 4.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ

4.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 4.4 มวลของ S และ จดเซนทรอยดของ S

5. ใหทรงตน S ปดลอมดวยทรงกระบอก z = 1 - 2y ระนาบ z = 0, x = 0 และ x = 2

และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S

จงหา 5.1 มวลของ S 5.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X

5.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y 5.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z

6. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง ดานบนปดดวยพนผว z = 2x + 2y และดานขางปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 1

และ f(x, y, z) = z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S

จงหา 6.1 มวลของ S 6.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY

6.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ 6.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ

6.5 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด

7. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง มฐานวางอยบนระนาบ XY ผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ดานบนเปนพนผว

2x + 2y + z = 2 และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S

จงหา 7.1 มวลของ S 7.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY

7.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 7.4 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 7.5 จดเซนทรอยดของ S

8. ใหทรงตน S มฐานวางอยบนจตภาคทหนงผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 2x

ดานบนเปนพนผว z = 4 - 2x - 2y

และ f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S


8.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 8.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY

9. ใหทรงตน S ปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของ

วตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S


9.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 9.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z

10. ให S เปนวตถรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2z และกรวย z = 2 2x y

และ f(x, y, z) = 2 2 2x y z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S


10.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 10.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ



4 - 120

คาตอบแบบฝกหด 4.1

1.

2

0

1

0 4u (2) dudv =

54 2.

1

0

u

2u (sin u cos v)(

31 ) dvdu = -

61 sin(1)cos(1) +

61 +

92 3sin (1)

3.

3

0

3 v

0

2u 3v (31 ) dudv =

140243 4.

2

0

2u

u3

( 2u v)(101 ) dvdu +

3

2

10 3u

u3

( 2u v)(101 ) dvdu =

1235

5.

6

2

4

0 uv(

101 ) dvdu =

564 6.

2

1

3

1 (

v1 + v)(

vu2 ) dudv = 12

7.

2

0

0

u (u ve )(

31 ) dvdu =

31 + 2e 8.

4

0

2

0 (3 2v u

2ue )(21 ) dvdu = 2 16e - 2

9. 9.1

2

( 2u cos(

2v ))(

21 ) dudv = - 4

33 9.2

0

v

v ( 2sin u 2cos v)(

21 ) dudv =

2

8

9.3

2

0

2

0 2u ve (

21 ) dudv =

34 ( 2e - 1) 9.4

0

v

v ( ve cos u)(

21 ) dudv =

2e1

9.5

4

1

4

1 v ue dudv =

215 ( 4e - e)

10. 10.1

2

0

1

cossin1


10.2

01

0


10.3

4

4

2

0


10.4

4

0

tansec

0

f(r cos , r sin ) r drd +

43

4

θ cosec

0

f(r cos , r sin ) r drd +

4

3

tansec

0




4 - 121

11. 11.1

1

0 2x x

0

( 2x + 2y ) dydx

11.2

2

13

y

022 yx

x

dxdy

12. 12.1 24 (17 17 - 1) 12.2

34 (3 3 - ) 12.3

34 ( 3 + 1) 12.4

54

13. 13.1

4

02

0

( 2r 2sin ) r drd = 8 -

41 13.2

2

04

0

(2re ) r drd =

4 (1 - 16e )

13.3

3

0

sec4

sec

(r1 ) r drd = 3 n(2 + 3 ) 13.4

2

0sin4

0

(2 r cos r sin ) r drd = 3

64

13.5

2

2

cos6

0

(r cos ) r drd = 27 13.6

2

02

0

(2r1

1

) r drd =

4 n 5

13.7

01

0

(2r1

1

) r drd = ( 2 - 1) 13.8

2

2

2

0

( 3r ) r drd = 5

32

13.9

2

01

0

sin( 2r ) r drd = 21 13.10

05

0

(25 - 2r ) r drd = 4

625

13.11 4

0

sec tan

0

(r) r drd = 452 ( 2 + 1) 13.12

4

0

2sec

sec

(

21

r) r drd =

4 n 2

13.13 4

0

2sin

0

( 4r ) r drd + 2

4

2cosec

0

( 4r ) r drd = 6

5 - 1532

13.14

4

2

cos

0

(r cos ) r drd +

4

4

sec2

0

(r cos ) r drd + 2

4

cos

0

(r cos ) r drd = 16 -

121

14. 14.1 29 -

8 ตารางหนวย 14.2

4a2

(2 + 1) ตารางหนวย 14.3

34 - 3 ตารางหนวย 14.4 +

38 ตารางหนวย

15. 15.1 2 ลกบาศกหนวย 15.2 6 ลกบาศกหนวย 15.3 5 - 3

34 ลกบาศกหนวย 15.4 4


15.5 2

11 ลกบาศกหนวย 15.6 12 ลกบาศกหนวย 15.7 18 + 2

81 ลกบาศกหนวย 15.8 4 + 3


16. 325 ลกบาศกหนวย 17.

9128 ลกบาศกหนวย 18.

34 [ 3a - ( 2a - 2b )

23

] ลกบาศกหนวย 19. 4 ลกบาศกหนวย



4 - 122


1. 1.1 30 1.2 24 1.3 208 1.4 2 2 - 4 1.5 512 1.6 9e - 9

1.7 24 1.8 2 1.9 3

64 1.10 -2

2. 2.1 2 2.2 2 - 2 n 2 2.3 3 2.4 1 2.5 21 (n 2)(n 3)


1. 1.1 481 1.2

51 1.3

34 1.4

310 1.5

403 1.6

241 1.7

31 1.8

103

2. 2.1 6

0 )

6z 1(4

0 )

4x

6z 1(5

0

f(x, y, z) dydxdz 2.2

2

2 2x 4

0

3

1

f(x, y, z) dydzdx

2.3

3

3

9

2y 14

9

2y 14

16

2z 9

2y 12

16

2z 9

2y 12

f(x, y, z) dxdzdy 2.4 1

0

z3

z3

9

2y z2

9

2y z2

f(x, y, z) dxdydz

2.5 2

0

2

x2

0 z3 3

0

f(x, y, z) dydzdx 2.6 2

0 y2 4

0 y2 2x 4

0

f(x, y, z) dzdxdy

3. 3.1 1

01

x 2y 1

0

f(x, y, z) dzdydx 3.2 1

0y

0 2y 1

0

f(x, y, z) dzdxdy

3.3 1

0 2z 1

0y

0

f(x, y, z) dxdydz 3.4 1

0 2y 1

0y

0

f(x, y, z) dxdzdy

3.5 1

0 2x 1

0 2z 1

x

f(x, y, z) dydzdx 3.6 1

0 2z 1

0 2z 1

x

f(x, y, z) dydxdz

4. 4.1 54 4.2 16 4.3

218 4.4

351 4.5

27

5. 5.1 3

2450 ลกบาศกหนวย 5.2 6 - 38 ลกบาศกหนวย 5.3


5.4 32

81 ลกบาศกหนวย 5.5 158 ลกบาศกหนวย 5.6


5.7 5

648 ลกบาศกหนวย 5.8 4 ลกบาศกหนวย 5.9 3

2 + 2

33 ลกบาศกหนวย 5.10 6 ลกบาศกหนวย


1. 1.1 2

04

0

2r 25

2r 25

r dzdrd 1.2

2

2

cos2

0

2r 16

2r 16

2z r dzdrd

1.3 2

02

0 2r 20

2r

( 2r + 2z ) r dzdrd 1.4 2

05

0

229 r

4

r dzdrd 1.5

0sin4

0

sinr cosr 10

0

zr dzdrd

2. 2.1 2

03

03

3

2r

3r dzdrd = 2

81 2.2

2

0

4sin cos

1

2r

05

64

r dzdrd = 15 - 2



4 - 123

2.3 2

02

0 2r4 32

2r

r dzdrd = 3

)56264( 2.4

2

02

0 2r 8

2r

r dzdrd = 16

2.5 2

04

1

2r 16

2r 16

r dzdrd = 20 15

3. 3.1

2

01

0 2r 1

0

2z r dzdrd = 30 3.2

2

02

0 2r8

0

2r cos dzdrd = 15224

3.3

2

0sin4

0r

0

z r dzdrd = 6 3.4

2

0cos2

0 2r 4

0

2r sin dzdrd = 58

3.5

2

03

0r

0

r dzdrd = 2

9 3.6

2

03

0 2r9

0

29 r r dzdrd = 818

3.7

2

0cos4

02r

0

r dzdrd = 12 3.8

2

01

02r

0

3r 2cos dzdrd = 24

4. 4.1 2

0

01

0

4 sin ddd 4.2 2

0

4

03

0

3 2sin cos ddd

4.3

2

0

2

04

0

4 3sin ddd 4.4 2

0

4

0sec7

0

3 2sin ddd

4.5 2

0

4

0sec2

0

3 sin ddd + 2

0

2

4

cos4

0

3 sin ddd

5. 5.1

2

0

2

02

0

4 sin ddd = 5

16 5.2 2

0

4

01

0

4 3sin ddd = (154 -

62

)

5.3 2

0

3

0

2

sec

3 sin ddd = 6

17 5.4 2

0

01

021

1

2 sin ddd = 4 - 2

5.5 2

02

) 21 arctan(

2cosec

0

4 sin ddd = 15

896

6. 6.1

2

0

2

01

0

4 sin ddd = 10 6.2

2

0

6

02

0

3 sin ddd = (2 - 3 )

6.3

2

0

2

0cos2

0

3 2sin ddd =

16

2 6.4

2

0

4

0cos2

0

4 3sin ddd =

12011

6.5

2

0

2

02

0

( cos )( 22 sin4 ) 2 sin ddd = 5 8 6.6

2

0

2

03

0

4 sin ddd = 10

39



4 - 124

7. 7.1 8

2

0

2

0a

0

2 sin ddd = 34 3a 7.2

2

0

2

0cos4

0

2 sin ddd = 3

32

7.3 2

0

4

06

0

2 sin ddd = (144 - 72 2 ) 7.4 2

04

0

2r 25

2r 25

r dzdrd = 3

392

7.5 2

02

0 2r 20

2r

r dzdrd = 3

)152580( 7.6

0sin4

0

sinr cosr 10

0

r dzdrd = 32


1. 1.1 V = 3

16 ลกบาศกหนวย 1.2 M = 1532 2. 2.1 zI =

158192 2.2 xyI =

932768

3. 3.1 zI = 15

k1024 3.2 yzI = 15

k512 3.3 0I =5k512

4. 4.1 xyM = 81k4 4.2 yzM = 0 4.3 xzM = 0 4.4 M = 18k, (0, 0,

89 )

5. 5.1 M = 3k8 5.2 xI =

7k8 5.3 yI =

315k1312 5.4 zI =

45k184

6. 6.1 M = 24 6.2 xyI =

80 6.3 yzI =

64 6.4 xzI =

64 6.5 0I =

1607

7. 7.1 M = 6 7.2 xyM =

9611 7.3 yzM =

359 7.4 xzM =

359 7.5 (

3554 ,

3554 ,

1611 )

8. 8.1 V = 4

5 ลกบาศกหนวย 8.2 M = 24

125 8.3 zI = 40

197 8.4 xyI = 15

436

9. 9.1 V = 16 ลกบาศกหนวย 9.2 M = 3

64 9.3 xyM = 3

256 9.4 zI = 3

128

10. 10.1 V = 4 ลกบาศกหนวย 10.2 M =

(8 2)20

10.3 yzM = 142 2525

10.4 xzI = (64 11 2)

756

Documents

บทที 4 ่ อินทิกรลของฟั ังกช์นหลายตั วแปรัpioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_04_1in1.pdf ·