4 - 1 4 - 2 4.1 สมมติเราเปล ี่ยนตัวแปร ...pioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_04...บทท 4 อ นท กรลของฟ

บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร

2301207 Calculus III 2561/1st

4 - 1

บทท 4

อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย




4 - 2

4.1 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสองชน สมมตเราเปลยนตวแปรจาก x, y ไปเปน u, v โดยให x = X(u, v) y = Y(u, v) โดยบรเวณ S ในระนาบ XY เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ UV จะไดจด (u, v) ในระนาบ UV ถกสงไปยงจด (x, y) ในระนาบ XY เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S กาหนดโดย r(u, v) = (X(u, v), Y(u, v)) = (x, y) โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง ถา u, v หาไดในพจนของ x, y โดยท u = U(x, y) และ v = V(x, y) จะไดม s : S T เปนฟงกชนผกผนของ r ซงกาหนดโดย s(x, y) = (U(x, y) V (x, y)) = (u, v) จะได

S

f(x, y) dxdy = T

f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv

เมอ X, Y มอนพนธอยางตอเนองบน T และ U, V มอนพนธอยางตอเนองบน S โดยท J(u, v) 0 บน T

เมอ J(u, v) = )v,u()Y,X(

=

vY

uY

vX

uX

คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v



4 - 3

ตวอยาง 4.1.1 จงหาคาของ S

(x - y)2 yxe dA

เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง x - y = 2, x + y = -2, x + y = 2 และ x - y = -2 วธทา

รปท 4.1.1 (ก) รปท 4.1.1 (ข) บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.1 (ก) ให u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - y เพราะฉะนน x = X(u, v) = 2

1(u + v) และ y = Y(u, v) = 2

1(u - v) ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV



4 - 4

1. เสนตรง x + y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = 2 ในระนาบ UV 2. เสนตรง x + y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = -2 ในระนาบ UV 3. เสนตรง x - y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV 4. เสนตรง x - y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) -2 u 2, -2 v 2} ซงมกราฟดงรปท 4.1.1 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) = )v,u(

)Y,X(

= vY

uY

vX

uX

= 21

21

21 2

1

= - 4

1 - 41 = - 1

2

เพราะฉะนน D

(x - y)2 yxe dA

= T




4 - 5

D

(x - y)2 yxe dA

= T


= T

2v ue - 21 dudv = 2

1

2

2

2

2

2v ue dudv

= 21

2

2

2v [ ue ] 2u2u

dv = 21

2

2

2v ( 2e - 2e ) dv

= 21( 2e - 2e )[ 3

v3 ] 2v2v

= 21( 2e - 2e )(3

8 + 38)

= 38( 2e - 2e )

หมายเหต เพราะวา )v,u()Y,X(

)y,x()V,U(

= 1

เพราะฉะนนในการหาจาโคเบยน J(u, v) = )v,u()Y,X(

เราสามารถใชสตร J(u, v) = )y,x()V,U(

1

จากตวอยางขางตน เพราะวา u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - y

จะได )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 1111 = -1 - 1 = -2

เพราะฉะนน J(u, v) = )y,x()V,U(

1

= 21

= - 21



4 - 6

ตวอยาง 4.1.2 จงหาคาของ

S(x + 2y)2 cos( 4

1(2x - y)) dA

เมอ S = {(x, y) 2x - y และ x + 2y 2} วธทา

รปท 4.1.2 (ก) รปท 4.1.2 (ข) บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.2 (ก) ให u = U(x, y) = 2x - y และ v = V(x, y) = x + 2y ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV 1. เสนตรง 2x - y = ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = ในระนาบ UV



4 - 7

2. เสนตรง 2x - y = - ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = - ในระนาบ UV 3 เสนตรง x + 2y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV 4. เสนตรง x + 2y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) - u , -2 v 2} ซงมกราฟดงรปท 4.1.2 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

โดยท )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 2112 = 4 + 1 = 5

เพราะฉะนน J(u, v) = 51

เพราะฉะนน S

(x + 2y)2 cos( 41(2x - y)) dA

= T




4 - 8

S

(x + 2y)2 cos( 41(2x - y)) dA

= T


= T

2v cos( 4u ) 5

1 dudv

= 51

2

2

2v cos( 4u ) dvdu

= 51

cos( 4u ) [ 3

v3 ] 2v

2v du

= 151

cos( 4u )(8 3 + 8 3 ) du

= 1516 3

cos( 4u ) du

= 1516 3 [ 4 sin( 4

u ) ]

uu

= 1516 3 (sin( 4

) - sin(- 4))

= 1516 3 (

21 +

21 ) = 15

264 3



4 - 9

ตวอยาง 4.1.3 จงหาคาของ 1

0y1

0yx (x - 2y)2 dxdy

วธทา ให u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - 2y ตวอยาง จด (2

1 , 41) ในบรเวณ S

ถกสงไปยงจด ( 43 , 0) ในระนาบ UV

บรเวณของการอนทเกรตคอ S = {(x, y) 0 x 1 - y, 0 y 1} ซงคอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.3 (ก)

รปท 4.1.3 (ก) รปท 4.1.3 (ข)



4 - 10

1. เสนตรง x + y = 1 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = 1 ในระนาบ UV 2. เสนตรง x = 0 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2u ในระนาบ UV 3 เสนตรง y = 0 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = u ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) 0 u 1, -2u v u} ซงมกราฟดงรปท 4.1.3 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =

)y,x()V,U(

1

โดยท )y,x()V,U(

=

yV

xV

yU

xU

= 2111 = -2 - 1 = -3

เพราะฉะนน J(u, v) = -31

เพราะฉะนน 1

0y1

0yx (x - 2y)2 dxdy

= T




4 - 11

1

0y1

0yx (x - 2y)2 dxdy

= T

u 2v -31 dudv = 3

1 1

0

u

u2u 2v dvdu

= 31

1

0u [ 3

v3 ] u2vuv

du

= 91

1

0u ( 3u + 8 3u ) du

= 1

0

27

u du = [ 92 2

9u ] 0u

1u = 9

2

Matlab



4 - 12

การเปลยนตวแปรระหวาง ระบบพกดฉาก (x, y) กบ ระบบพกดเชงขว (r, ) ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(r, ) = r cos y = Y(r, ) = r sin เพราะวาจดบนระนาบในระบบพกดเชงขว สามารถเขยนพกดเชงขวไดมากกวาหนงแบบ เพอใหการสงจด (r, ) จากระบบพกดเชงขวไปยงจด (x, y) ในระบบพกดฉากเปนแบบหนงตอหนงเราจาเปนตองกาหนดขอบเขตคาของ r และ โดยให r 0 และ [ 0 , 0 + 2] หมายเหต นยมให 0 = 0 หรอ 0 = - 2

ความสมพนธของ r, ในพจนของ x, y คอ r = 22 yx และ tan = x

y เมอ x 0



4 - 13

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดเชงขว มจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ r, คอ

J(r, ) = ),r()Y,X(

= Y

rY

XrX

= cos rsin rsincos

= r 2cos + r 2sin = r เพราะฉะนน J(r, ) = r เพราะฉะนน S

f(x, y) dxdy = T

f(r cos , r sin ) r drd

เมอ T = {(r, ) (r cos , r sin ) S}


2

2

2x4

2x4

( 2x + 2y ) dydx

วธทา บรเวณของการอนทเกรตคอ S = {(x, y) - 2x4 y 2x4 , -2 x 2} จาก y = 2x4 จะได 2x + 2y = 4 บรเวณของการอนทเกรต S เปนวงกลมรศม 2 จดศนยกลางอยทจด (0, 0) ดงรปท 4.1.4 (ก) จากการเปลยนตวแปร x = r cos และ y = r sin



4 - 14

บรเวณของการอนทเกรต S จะเปลยนเปน บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ T = {(r, ) 0 r 2, 0 2} ดงรปท 4.1.4 (ข)

รปท 4.1.4 (ก) รปท 4.1.4 (ข)

เพราะฉะนน

2

2

2x4

2x4

( 2x + 2y ) dydx

= 2

02

0

2r r drd = 2

02

0

3r drd

= 2

0[ 4

r4 ] 0r2r

d =

2

04 d

= 4[ ] 02

= 8



4 - 15

หมายเหต ในการพจารณาลมตของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขว จะเหนวาเราสามารถพจารณาคาของ r และ ไดจากบรเวณ S ในระนาบ XY โดยเปลยนสมการของเสนโคงซงปดลอมบรเวณ S ใหอยในระบบพกดเชงขว เราจงไมจาเปนตองเขยนรปของบรเวณ T ในระนาบ R

ตวอยาง 4.1.5 จงหาคาของ 2

2

22 4 y

22 4 y

2 2x y dxdy

วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ S = {(x, y) 2 - 24 y x 2 + 24 y , -2 y 2} จาก x = 2 24 y จะได x - 2 = 24 y หรอ (x - 2)2 + 2y = 4

รปท 4.1.5



4 - 16

จะเหนวา S เปนบรเวณทปดลอมดวยวงกลมรศม 2 จดศนยกลางอยทจด (2, 0) ดงรปท 4.1.5 โดยการเปลยนตวแปร ให x = r cos และ y = r sin เขยนสมการของวงกลม (x - 2)2 + 2y = 4 ในระบบพกดเชงขวไดเปน 2x + 2y - 4x = 0 2r - 4r cos = 0 r = 4 cos


2

22 4 y

22 4 y

2 2x y dxdy

= 2

2

4cos

0 r r drd

= 2

2

4cos

0 2r drd

= 2

2

[ 3r

3 ] r 4cosr 0 d

= 643 2

2

2cos d



4 - 17

= 643 2

2

2cos cos d

= 643

= 2

= 2

(1 - 2sin ) d(sin )

= 643 [ sin - 3sin

3 ] 2

2

= 643 [(sin( 2

) - 13

3sin ( 2 )) - (sin(- 2

) - 13

3sin (- 2 ))]

= 643 [ (1 - 1

3) - (-1 + 13) ]

= 643 ( 2

3 + 23 )

= 2569



4 - 18

ตวอยาง 4.1.6 จงหาคาของ S cos( 2x + 2y ) dA

เมอ S เปนบรเวณในจตภาคทหนง ซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4 เสนตรง y = 0 และ y = x วธทา บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.6

รปท 4.1.6 เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 4 ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2 และ เขยนสมการของเสนตรง y = x ในระบบพกดเชงขวไดเปน = 4



4 - 19

เพราะฉะนน S cos( 2x + 2y ) dA = 4

0

2

0 cos( 2r ) r drd

= 12 4

0

r 2

r 0

cos( 2r ) d( 2r ) d

= 12 4

0

[ sin( 2r ) ] r 2r 0 d

= 12 4

0

(sin 4 - sin 0) d

= 12 4

0

(sin 4) d

= 12 (sin 4)[ ] 2

0

= 8 (sin 4)



4 - 20

ขอสงเกต 1. การหาพนทของบรเวณ S ในระบบพกดเชงขว เมอ S เปนบรเวณในระนาบ XY ทาไดดงน เราทราบแลววา พนทของ S =

S 1 dA

โดยการเปลยนตวแปรเปนระบบพกดเชงขว สมมตวาบรเวณ S ในระนาบ XY เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ R โดยท T = {(r, ) g() r f(), } ดงรปท 4.1.7

รปท 4.1.7



4 - 21

เพราะฉะนน พนทของ S = S 1 dA

= T r drd

=

f ( )

g( )

r drd

ในกรณท g() = 0 จะไดบรเวณ T = {(r, ) 0 r f(), } ดงรปท 4.1.8

รปท 4.1.8 เพราะฉะนน พนทของ T =

f ( )

0 r drd

=

12 (f())2d



4 - 22

2. ในกรณท z = f(x, y) = f(r cos , r sin ) 0 และ S เปนบรเวณในระนาบ XY ซงเปลยนเปนบรเวณ T = {(r, ) g() r f(), } ในระนาบ R จะไดวา

S f(x, y) dA =

f ( )

g( )


เปนปรมาตรของรปทรงตนซง มฐานอยบนระนาบ XY (z = 0) เปนบรเวณ S และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y) ในกรณทรปทรงตนมฐานอยบนระนาบ z = 0z ซงมภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ S และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y) จะไดวา ปรมาตร =

S (f(x, y) - 0z ) dA

=

f ( )

g( )

(f(r cos , r sin ) - 0z ) r drd



4 - 23

ตวอยาง 4.1.7 จงหาพนทของบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y วธทา ให S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงอย ภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y จาก 2x + 2y = 2y จะได 2x + (y - 1)2 = 1 เราสามารถเขยนรปแสดงบรเวณ S ดงบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.9 (ก)

รปท 4.1.9 (ก) รปท 4.1.9 (ข) จะเหนวาเราตองแบงบรเวณของการอนทเกรตออกเปน 2 สวน คอ 1S และ 2S ดงรปท 4.1.9 (ข) เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 1 ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 1 และเขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 2y ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2 sin



4 - 24

หาจดตดระหวาง r = 1 และ r = 2 sin จะไดวา 2 sin = 1 หรอ sin = 1

2 ดงนน = 6

เพราะฉะนนบรเวณของการอนทเกรต 1S และ 2S จะเปลยนเปนบรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ

1T = {(r, ) 0 r 2 sin , 0 6 }

2T ={(r, ) 0 r 1, 6 2

} เพราะฉะนน พนท =

1S 1 dA +

2S 1 dA

= 6

0

2sin

0 r drd + 2

6

1

0 r drd

= 6

0

[ 2r2 ] r 2sin

r 0 d + 2

6

[ 2r

2 ] r 1r 0 d

= 6

0

2 2sin d + 2

6

12 d

= 6

0

(1 - cos 2) d + 12 [ ] 6

0

= [ - 12 sin 2 ] 6

0

+ 1

2 ( 2 - 6

)

= ( 6 - 3

4 ) + 6

= 3 - 3

4 ตารางหนวย



4 - 25

ตวอยาง 4.1.8 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงดานบนปดลอมดวยพนผว z = 1 + 2x + 2y และปดลอมดานขางดวยทรงกระบอกตรงทมฐานเปนวงกลม r = 2 sin บนระนาบ XY วธทา รปท 4.1.10 แสดงบรเวณทเปนฐานของรปทรงตนซงปดลอมดวยเสนโคง r = 2 sin

รปท 4.1.10 เขยนสมการ z = 1 + 2x + 2y ในระบบพกดเชงขวไดเปน z = 1 + 2r เพราะฉะนนปรมาตรของรปทรงตน =

0 2sin

0 (1 + 2r ) r drd

= 0 [ 2r

2 + 4r4 ] r 2sin

r 0 d

= 0 (2 2sin + 4 4sin ) d



4 - 26

= 2 0 2sin d + 4

0 4sin d ... (1)

เพราะวา 0 2sin d =

0 1 cos2

2 d

= [ 12 - 1

4 sin 2 ] 0 = 2

... (2)

และ 0 4sin d =

0 (1 cos2

2 )2 d

= 14

0 (1 - 2 cos 2 + 2cos 2) d

= 14

0 (1 - 2 cos 2 + 1 cos4

2 ) d

= 14

0 ( 3

2 - 2 cos 2 + 12 cos 4) d

= 14 [ 3

2 - sin 2 + 18 sin 4 ] 0

= 38 ... (3)

เพราะฉะนนจาก (1), (2), (3) จะไดวาปรมาตรของรปทรงตน = 2( 2

) + 4(38 ) = 5

2 ลกบาศกหนวย



4 - 27

4.2 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร บนโดเมนรปทรงสเหลยมมมฉาก ให 1a , 1b , 2a , 2b , 3a , 3b เปนจานวนจรง และ 1a 1b , 2a 2b และ 3a 3b ให D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z

3b } = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] จะได D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากใน 3R ดงรปท 4.2.1

รปท 4.2.1 ให f : D R การหาคาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร เราใชหลกการ เดยวกนกบการหาคาอนทกรลของฟงกชนของสองตวแปร แบง D ออกเปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ โดย แบง [ 1a , 1b ] ดวยจด 0x , 1x , 2x , ... , mx โดยท 1a = 0x 1x 2x ... mx = 1b



4 - 28

แบง [ 2a , 2b ] ดวยจด 0y , 1y , 2y , ... , ny โดยท 2a = 0y 1y 2y ... ny = 2b แบง [ 3a , 3b ] ดวยจด 0z , 1z , 2z , ... , pz โดยท 3a = 0z 1z 2z ... pz = 3b ให ijkD = [ 1ix , ix ] [ 1jy , jy ] [ 1kz , kz ] เปนสวนแบงยอยของ D ซงมปรมาตรเทากบ ijkV = ( ix )( jy )( kz ) เมอ ix = ix - 1ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , m jy = jy - 1jy เมอ j = 1, 2, 3, ... , n kz = kz - 1kz เมอ k = 1, 2, 3, ... , p ให ( ijkx , ijky , ijkz ) ijkD f เปนฟงกชนคาจรงบนโดเมน D จะไดผลบวกรมนนของ f บน D คอ mnpS เมอ

mnpS =

m

1 i

n

1 j

p

1 k f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV

ถา

pnmlim mnpS มคา และมคาเทากน

สาหรบทก ๆ วธแบง D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ ในลกษณะทเสนทะแยงมมของทกรปทรงสเหลยมมมฉากยอย มคาเขาสศนย เมอ m, n และ p มคาเขาสอนนต แลว เรากลาววา f เปน ฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 29

คาลมตทหาไดน เรยกวา อนทกรลสามชนของ f บน D หรอเรยกสน ๆ อนทกรลของ f บน D ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ

Df,

Df dV,

D

f(x, y, z) dV หรอ D

f(x, y, z) dxdydz

D เรยกวา โดเมนของการอนทเกรต หรอ บรเวณของการอนทเกรต เพราะฉะนน ถา f อนทเกรตไดบน D แลว จะได

D

f dV =

pnmlim

m

1 i

n

1 j

p

1 k f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV

ทฤษฎบทตอไปนจะบอกใหเราทราบวา ฟงกชนในแบบใดจะเปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนโดเมน D ทฤษฎบท 4.2.1 ให f : D R เมอ D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z 3b } = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] ถา f มความตอเนองบน D หรอ บรเวณท f ไมมความตอเนองมปรมาตรเปนศนย (เชน เซตของจดจานวนจากดจด) แลว จะได f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 30

การคานวณคา D

f dV

ใชวธซงเรยกวา อนทเกรตซอน โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปรทละตวเชน ขนท 1. อนทเกรตเทยบกบ z กอน โดยถอวา x และ y

มคาคงตว จะได 3b

3af(x, y, z) dz = g(x, y)

ผลลพธทไดจะเปนฟงกชนของ x และ y ตอไปกอนทเกรตเทยบกบ y หรอ x ขนท 2. อนทเกรต g(x, y) เทยบกบ y

โดยถอวา x มคาคงตว จะได 2b

2ag(x, y) dy = h(x)

ขนท 3. อนทเกรต h(x) เทยบกบ x จะได 1b

1ah(x) dx = A

จากขนท 1. ถง ขนท 3. คา A เรยกวา อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ

และเขยนแทนดวยสญลกษณ 1b

1a2b

2a3b

3af(x, y, z) dzdydx

เพราะฉะนน 1b

1a2b

2a3b

3af(x, y, z) dzdydx

= 1b

1a[

2b

2a[

3b

3af(x, y, z) dz] dy] dx



4 - 31

ในทานองเดยวกนการอนทเกรตซอน D

f dV

เราสามารถหาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y และ z ในลาดบตาง ๆ ไดทงหมด 6 แบบ คอ 1. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, y และ z ตามลาดบ

เขยนแทนดวย 3b

3a2b

2a1b

1af(x, y, z) dxdydz

2. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, z และ y ตามลาดบ


2a3b

3a1b

1af(x, y, z) dxdzdy

3. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ


3a1b

1a2b

2af(x, y, z) dydxdz

4. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ


1a3b

3a2b

2af(x, y, z) dydzdx

5. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, x และ y ตามลาดบ


2a1b

1a3b

3af(x, y, z) dzdxdy

6. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ


1a2b

2a3b

3af(x, y, z) dzdydx



4 - 32

โดยทวไปคาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y, z ในลาดบทตางกน ไมจาเปนตองมคาเทากน แตในกรณท f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D จะไดอนทกรลซอนทงหกแบบขางตนจะมคาเทากนและมคาเทากบอนทกรลสามชนของ f บน D ซง ในบทน เราจะกลาวถงการหาคาอนทกรลสามชนของฟงกชนทอนทเกรตไดบนโดเมนทกาหนดใหเทานน โดยเราสามารถหาคาอนทกรลไดดวยวธอนทเกรตซอน

ขอสงเกต คาอนทกรลสามชนของ f บน D คอคาลมตของผลบวกทางพชคณตของผลคณระหวางคาของฟงกชน ณ จดใดๆ ในรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ijkD กบ ปรมาตรของ ijkD เพราะฉะนน 1. ถา f(x, y, z) คอความหนาแนนของวตถ D ณ จด (x, y, z) แลว

Df dV คอมวลของ D

2. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) D แลว

Df dV คอปรมาตรของ D



4 - 33

ตวอยาง 4.2.1 ให f(x, y, z) = 3 2x z + 2y และ D = [1, 2] [1, 3] [2, 3] จงหาคาอนทกรลสามชนของ f บน D

วธทา D

f dV = 2

13

23

1(3 2x z + 2y) dydzdx

(เลอกอนทเกรตเทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ)

= 2

13

2[ 3 2x zy + 2y ] 1y

3y dzdx

= 2

13

2(3 2x z(3 - 1) + (9 - 1)) dzdx

= 2

13

2(6 2x z + 8) dzdx

= 2

1[ 3 2x 2z + 8z ] 2z

3z dx

= 2

1[3 2x (9 - 4) + 8(3 - 2)] dx

= 2

1(15 2x + 8) dx

= [ 5 3x + 8x ] 1x2x

= (40 + 16) - (5 + 8) = 43



4 - 34


2

03

04

0(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz

วธทา 2

03

04

0(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz

= 2

03

0[24x - 2x - 3yx - 4zx] 0x

4x dydz

= 2

03

0(24(4 - 0) - (16 - 0) - 3y(4 - 0) - 4z(4 - 0)) dydz

= 2

03

0(80 - 12y - 16z) dydz

= 2

0[ 80y - 6 2y - 16 zy ] 0y

3y dydz

= 2

0(80(3 - 0) - 6(9 - 0) - 16z(3 - 0)) dz

= 2

0(186 - 48 z) dz

= [186 z - 24 2z ] 0z2z

= 186(2 - 0) - 24(4 - 0) = 276



4 - 35

4.3 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปรบนโดเมนทวไป ในหวขอนจะพจารณาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร f เมอบรเวณของการอนทเกรตเปนรปทรงตนซงลอมรอบดวยพนผวใน 3R ให f : S R เมอ S 3R โดยท S เปนเซตปดและมขอบเขต ดงรปท 4.3.1 (ก) สรางรปทรงสเหลยมมมฉาก D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] ครอบคลม S ดงรปท 4.3.1 (ข)

รปท 4.3.1 (ก) รปท 4.3.1 (ข)



4 - 36

ให f~ เปนฟงกชนทนยามบน D โดยมคาดงน

f~(x, y, z) =

Sz) y, (x,0

Sz) y, (x,z) y, x,(f

เมอ

เมอ

ถา f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามวา อนทกรลของ f บน S มคาเทากบ

Df~(x, y, z) dV

และเขยนแทนดวยสญลกษณ S

f, S

f dV,

S

f(x, y, z) dV หรอ S

f(x, y, z) dxdydz

โดยเรยก S วา โดเมนของการอนทเกรต หรอ บรเวณของการอนทเกรต เพราะฉะนน

Sf dV =

Df~ dV

เมอ f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D



4 - 37

ตอไปเราจะพจารณาบรเวณ S ซงกาหนดโดย S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x) และ g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบนเซต R เมอ R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)} เพราะฉะนน S เปนทรงตนทปดลอม ดานบนและดานลางดวย พนผว z = h(x, y) และ z = g(x, y) ปดดานขางดวยทรงกระบอก y = 1 (x) และ y = 2 (x) และ ปดดานหนาและดานหลงดวย ระนาบ x = 1b และ x = 1a ดงรปท 4.3.2

รปท 4.3.2



4 - 38

ให f : S R เปนฟงกชนตอเนองบน S ให D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] เปนรปทรงสเหลยมมมฉากซงครอบคลมเซต S

กาหนด f~(x, y, z) =

Sz) y, (x,0

Sz) y, (x,z) y, x,(f

เมอ

เมอ

จะไดบรเวณท f~ ไมตอเนอง คอพนผวทลอมรอบเซต S ซงมปรมาตรเปนศนย เพราะฉะนนอนทกรลสามชนของ f~ บน D มคา จงไดวา อนทกรลสามชนของ f บน S มคา และ

DS dV =

Df~ dV

เพราะวา D ครอบคลมเซต S เพราะฉะนน แผนสเหลยมผนผา [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] บนระนาบ XY จะครอบคลมเซต R ดงรปท 4.3.3

รปท 4.3.3



4 - 39

R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)} เพราะวา ถา (x, y) R แลว จะม z ททาให (x, y, z) S เพราะฉะนน f~(x, y, z) = f(x, y, z) และ ถา (x, y) R แลว จะไมม z ททาให (x, y, z) S เพราะฉะนน f~(x, y, z) = 0 เพราะฉะนน คาอนทกรลสามชนของ f~ บนบรเวณท (x, y) R มคาเปนศนย สาหรบ (x, y) R

3b

3af~(x, y, z) dz

= )y,x(g

3af~(x, y, z) dz +

y) h(x,

y) g(x,f~(x, y, z) dz +

3b

)y,x(hf~(x, y, z) dz

= )y ,x(g

3a0 dz +

y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dz +

3b

)y,x(h0 dz

= y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dz

= F(x, y)



4 - 40

เพราะฉะนน D

f dV = R

F(x, y) dxdy

= 1b

1a

)x(2

)x(1

F(x, y) dydx

= 1b

1a

)x(2

)x(1

[ y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dz] dydx


S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dzdydx ... (*)

ซงอนทกรลทางขวามอของสมการ (*) กคอ อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ

บทนยาม 4.3.1 S 3R ภาพฉายของ S บนระนาบ XY = {(x, y) ม z ซง (x, y, z) S} ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ = {(y, z) ม x ซง (x, y, z) S} ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ = {(x, z) ม y ซง (x, y, z) S}

ขอสงเกต การพจารณาบรเวณ S ตามทกาหนดขางตน เปนการพจารณาโดยกาหนดให S มภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ R ในกรณเชนนเราจะหาคาอนทกรลสามชนโดยอนทเกรตเทยบกบ z กอน แลวจงอนทเกรตผลทไดเทยบกบ y แลวตามดวย x



4 - 41

หมายเหต 1. ถา f ตอเนองบน S แลว S

f dV มคา

2. ถา บรเวณท f ไมตอเนองมปรมาตรเปนศนย (เชน จดหนงจด) แลว

Sf dV มคา

3. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) S แลว

Sf dV คอปรมาตรของ S

ลาดบของการอนทเกรต ให f : S R เมอ S 3R และ f เปนฟงกชนตอเนองบน S การหาคา

Sf dV โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x, y, z

ดวยลาดบของ x, y, z ทตาง ๆ กน มทงหมด 6 แบบคอ 1. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z), g(y, z) x h(y, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 3a , 3b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง R = {(y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z)}

จะได S

f dV = 3b

3a

)z(2

)z(1

z) h(y,

z) g(y,f(x, y, z) dxdydz



4 - 42

2. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y), g(y, z) x h(y, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 2a , 2b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง R = {(y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y)}

จะได S

f dV = 2b

2a

)y(2

)y(1

z) h(y,

z) g(y,f(x, y, z) dxdzdy

3. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z), g(x, z) y h(x, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 3a , 3b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง R = {(x, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z)}

จะได S

f dV = 3b

3a

)z(2

)z(1

z) h(x,

z) g(x,f(x, y, z) dydxdz



4 - 43

4. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x), g(x, z) y h(x, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง R = {(x, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x)}

จะได S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

z) h(x,

z) g(x,f(x, y, z) dydzdx

5. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y), g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 2a , 2b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง R = {(x, y) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y)}

จะได S

f dV = 2b

2a

)y(2

)y(1

y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dzdxdy



4 - 44

6. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x), g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง R = {(x, y) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x)}

จะได S

f dV = 1b

1a

)x(2

)x(1

y) h(x,

y) g(x,f(x, y, z) dzdydx

เนองจากทง 6 รปแบบของอนทกรลซอนของ f บนบรเวณของการอนทเกรต S จะมคาเทากน เพราะฉะนนในการหาคาอนทกรลสามชนของ f บน S เราจงควรเลอกเขยน S ในรปแบบทเหมาะสม เพอใหงายตอการคานวณ



4 - 45


4( 2x + 3 2y ) dV

เมอ S = {(x, y, z) 0 x 4, 0 y 2x, 0 z 4 - 4x2 }

วธทา



4 - 46

เราจะหาคา S

4( 2x + 3 2y ) dV

โดยเปลยน dV เปน dzdydx รปท 4.3.4 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S และ รปท 4.3.4 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.3.4 (ก) รปท 4.3.4 (ข) ภาพฉายของ S บนระนาบ XY คอ {(x, y) 0 x 4, 0 y 2x} เพราะฉะนน

S

4( 2x + 3 2y ) dV = 4

0x2

0 4

2x 4

04( 2x + 3 2y ) dzdydx



4 - 47

S

4( 2x + 3 2y ) dV = 4

0x2

0 4

2x 4

04( 2x + 3 2y ) dzdydx

= 4

0x2

04( 2x + 3 2y )[ z ] 0z

4x4z

2

dydx

= 4

0x2

04( 2x + 3 2y )(4 -

4x 2 - 0) dydx

= 4

0x2

0(16 - 2x )( 2x + 3 2y ) dydx

= 4

0(16 - 2x )[ 2x y + 3y ] 0y

x2y dx

= 4

0(16 - 2x )[ 2x (2x - 0) + (8 3x - 0)] dx

= 4

0(16 - 2x )(10 3x ) dx

= 10 4

0(16 3x - 5x ) dx

= 10[ 4 4x - 6x6 ] 0x

4x

= 10( 54 - 646 )

= 10( 54 )(4 - 32)

= 310240



4 - 48

Matlab



4 - 49


(4 + 2z ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนง ซงปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และ 2y + 2z = 4 วธทา



4 - 50

เราจะหาคา S

(4 + 2z ) dV

โดยเปลยน dV เปน dxdydz รปท 4.3.5 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S และ รปท 4.3.5 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ YZ รปท 4.3.5 (ก) รปท 4.3.5 (ข) บรเวณของการอนทเกรต S = {(x, y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 , 0 x

2z4 } ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ คอ {(y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 }



4 - 51

S

(4 + 2z ) dV = 2

0 2z4

0

2z4

0(4 + 2z ) dxdydz

= 2

0 2z4

0(4 + 2z )[ x ] 0x

z4x 2

dydz

= 2

0 2z4

0(4 + 2z ) 2z4 dydz

= 2

0(4 + 2z ) 2z4 [ y ] 0y

z4y 2

dz

= 2

0(4 + 2z ) 2z4 2z4 dz

= 2

0(4 + 2z )(4 - 2z ) dz

= 2

0(16 - 4z ) dz

= [ 16z - 5z5 ] 0z

2z

= 32 - 532

= 5128



4 - 52



4 - 53

ตวอยาง 4.3.3 จงหาปรมาตรของรปทรงตน ทลอมรอบดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y วธทา



4 - 54

ให S เปนรปทรงตนทกาหนดให ซงแสดงไดดงรปท 4.3.6 (ก) รปท 4.3.6 (ก) รปท 4.3.6 (ข) รอยตดของพนผว z = 2x + 2y ... (1) และ z = 8 - 2x - 2y ... (2) หาไดจาก 2x + 2y = 8 - 2x - 2y 2 2x + 2 2y = 8 2x + 2y = 4 เพราะฉะนนภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนวงกลม 2x + 2y = 4 ดงรปท 4.3.6 (ข)



4 - 55

ปรมาตร = S

1 dV

=

2

2

2x4

2x4

2y2x8

2y2x

1 dzdydx

=

2

2

2x4

2x4

[ z ] 22

22

yxzyx8z

dydx

=

2

2

2x4

2x4

[(8 - 2x - 2y ) - ( 2x + 2y )] dydx

=

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx ... (1)

(อานขอสงเกตทายตวอยาง)

=

2

2[ 8y - 2 2x y - 3

2 3y ] 2

2

x4yx4y

dx

=

2

22[8 2x4 - 2 2x 2x4 - 3

2(4 - 2x ) 2x4 ] dx

=

2

2[4(4 - 2x ) 2x4 - (4 - 2x )3

4 2x4 ] dx

= 38

2

2(4 - 2x ) 2x4 dx



4 - 56

การหา

2

2 (4 - 2x ) 2x4 dx

ให x = 2 sin จะได dx = 2 cos d เมอ x = -2 จะได = - 2

เมอ x = 2 จะได = 2


2

2(4 - 2x ) 2x4 dx

=

2

2

(4 - 4 2sin ) 2sin44 2 cos d

=

2

2

(4 2cos )(2 cos )(2 cos ) d

= 16

2

2

4cos d

= 16

2

2

( 22cos1 )2 d

= 4

2

2

(1 + 2 cos 2 + 2cos 2) d

= 4

2

2

(1 + 2 cos 2 + 24cos1 ) d



4 - 57

=

2

2

(6 + 8 cos 2 + 2 cos 4) d

= [ 6 + 4 sin 2 + 21 sin 4 ]

2

2

= (3 + 0 + 0) - (-3 + 0 + 0) = 6 เพราะฉะนน ปรมาตร = 3

8(6) = 16



4 - 58

ขอสงเกต จาก (1) ในตวอยางขางตน

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx

เปนอนทกรลสองชนทมบรเวณของการอนทเกรตเปนรปวงกลม และตวถกอนทเกรตอยในรป 8 - 2 2x - 2 2y = 8 - 2( 2x + 2y ) ซงจะคานวณคาอนทกรลสองชนไดสะดวกขนเมอใชการอนทเกรตในระบบพกดเชงขว จะไดผลดงน

2

2

2x4

2x4

(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx

= 2

02

0(8 - 2 2r ) r drd

= 2

02

0(8r - 2 3r ) drd

= 2

0[ 4 2r - 2

r4 ] 0r2r

d

= 2

0(16 - 8)d

= 8[ ] 02

= 16



4 - 59


48xyz dV

เมอ S เปนบรเวณปดลอมดวยทรงกระบอก z = 2 - 2x2

ระนาบ z = 0, y = x และ y = 0 โดยกาหนดลาดบของการอนทเกรตดงน 1. dzdydx 2. dydxdz วธทา บรเวณของการอนทเกรต S มภาพดงรปท 4.3.7 (ก) รปท 4.3.7 (ก) รปท 4.3.7 (ข) รปท 4.3.7 (ค)



4 - 60

1. เราจะหาคา S

48xyz dV

โดยอนทเกรตเทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ ภาพฉายของ S บนระนาบ XY มกราฟดงรปท 4.3.7 (ข) S

48xyz dV

= 2

0x

0 2

2x 2

048xyz dzdydx

= 2

0x

024xy[ 2z ] 0z

2x2z

2

dydx

= 2

0x

024xy(2 - 2

x2 )2 dydx

= 2

012x(2 - 2

x2 )2[ 2y ] 0yxy

dx

= 2

012 3x (2 - 2

x2 )2 dx

= 2

012 3x (4 - 2 2x + 4

x4 ) dx

= 2

0(48 3x - 24 5x + 3 7x ) dx

= [ 12 4x - 4 6x + 83 8x ] 0x

2x

= 12( 42 ) - 4( 62 ) + 83( 82 )

= 32



4 - 61



4 - 62

2. เราจะหาคา S

6xyz dV

โดยอนทเกรตเทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.7 (ค) S

48xyz dV

= 2

0 z24

0

x

048xyz dydxdz

= 2

0 z24

024xz [ 2y ] 0y

xy dxdz

= 2

0 z24

024z 3x dxdz

= 2

06z [ 4x ] 0x

z24x

dz

= 2

06z(4 - 2z)2 dz

= 242

0z(2 - z)2 dz

= 242

0(4z - 4 2z + 3z ) dz

= 24[ 2 2z - 4( 3z3 ) + 4

z4 ] 0z2z

= 24(8 - 332 + 4)

= 32



4 - 63



4 - 64

ตวอยาง 4.3.5 จงเปลยนลาดบของการอนทเกรต

3

0 )x26(3

1

0

y3x26

0f(x, y, z) dzdydx เปน dydxdz

วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ S = {(x, y, z) 0 x 3, 0 y 3

1(6 - 2x), 0 z 6 - 2x - 3y} จากเงอนไขของ S จะได ฐานของ S อยบนระนาบ z = 0 และ ดานบนปดดวยระนาบ z = 6 - 2x - 3y เพราะฉะนนบรเวณ S มกราฟดงรปท 4.3.8 (ก) รปท 4.3.8 (ก) รปท 4.3.8 (ข) ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ปดลอมดวย แกน X แกน Z และเสนตรง x = 2

1(6 - z) ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.8 (ข)


0 )x26(3

1

0

y3x26

0f(x, y, z) dzdydx

= 6

0 )z6(2

1

0

)zx26(31

0f(x, y, z) dydxdz



4 - 65

4.4 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสามชน กาหนดให เปลยนตวแปรจาก x, y, z ไปเปน u, v, w โดยให x = X(u, v, w) y = Y(u, v, w) และ z = Z(u, v, w) โดยทบรเวณ S ในปรภม XYZ เปลยนเปนบรเวณ T ในปรภม UVW จะไดจด (u, v, w) ในปรภม UVW ถกสงไปยงจด (x, y, z) ในปรภม XYZ เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S กาหนดโดย r(u, v, w) = (X(u, v, w), Y(u, v, w), Z(u, v, w)) = (x, y, z) โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง ถา u, v, w หาไดในพจนของ x, y, z โดยท u = U(x, y, z) v = V(x, y, z) และ w = W(x, y, z)



4 - 66

จะไดวามฟงกชน s : S T เปนฟงกชนผกผนของ r ซงกาหนดโดย s(x, y, z) = (U(x, y, z), V (x, y, z), W(x, y, z)) = (u, v, w) เราจะได

Sf(x, y, z) dxdydz

= T

f(X(u,v,w),Y(u,v,w),Z(u,v,w)) J(u, v, w) dudvdw

เมอ X, Y, Z มอนพนธอยางตอเนองบน T และ U, V, W มอนพนธอยางตอเนองบน S โดยท J(u, v, w) 0 บน T

เมอ J(u, v, w) = )w,v,u()Z,Y,X(

=

wZ

vZ

uZ

wY

vY

uY

wX

vX

uX

คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ u, v, w การเปลยนตวแปรทสาคญและใชกนมาก ในการหาคาอนทกรลสามชนคอ ตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก และ ตวแปรในระบบพกดทรงกลม



4 - 67

4.4.1 ความสมพนธระหวาง ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกระบอก ระบบพกดทรงกระบอกเปนระบบทกาหนด จด P(x, y, z) ในระบบพกดฉาก ดวยจดในพกดทรงกระบอก (r, , z) เมอ (r, ) เปนพกดเชงขวของ (x, y) ซงเปนภาพฉายของจด P บนระนาบ XY ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(r, , z) = r cos y = Y(r, , z) = r sin z = Z(r, , z) = z ความสมพนธของ r, , z ในพจนของ x, y, z คอ r = 22 yx tan = x

y เมอ x 0 ซงเงอนไขสาหรบ r, คอ กาหนด r 0 และ [ 0 , 0 + 2] เมอ 0 = 0 หรอ 0 = - 2

รปท 4.4.1



4 - 68

ตวอยางเชน ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกระบอก

จด (1, 1, 4) ( 2 , 4 , 4)

ทรงกระบอก 2x + 2y = 16

r = 4

ระนาบ y = x = 4

ครงทรงกลม z = 22 yx1 z = 2r1 พาราโบลอยด z = 2x + 2y z = 2r ครงกรวย z = 22 yx z = r ระนาบ x = 4 r cos = 4 ระนาบ y = 2 r sin = 2 ทรงกระบอกปดลอมดวย

2x + 2y = 4, z = 1, z = 4 r = 2, z = 1, z = 4

ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกระบอก จะสงเกตไดวา 1. r = c เปนสมการของทรงกระบอกกลม ทมแกน Z เปนแกนของทรงกระบอก 2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY ทามม 0 กบแกน X



4 - 69

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกด ทรงกระบอกม จาโคเบยน ของ X, Y, Z เทยบกบ r, , z คอ J(r, , z) = )z,,r(

)Z,Y,X(

=

zZZ

rZ

zYY

rY

zXX

rX

= 1000cos rsin0sinrcos

= r เพราะฉะนน J(r, , z) = r เพราะฉะนน S

f(x, y, z) dxdydz = T

f(r cos , r sin , z) r dzdrd

เมอ T = {(r, , z) (r cos , r sin , z) S}

การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรนสามารถทาได โดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S ใหอยในระบบพกดทรงกระบอก แลว พจารณาคา r, และ z จากบรเวณของการอนทเกรต กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกระบอก



4 - 70

ตวอยาง 4.4.1 ให S เปนทรงตนปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และ ระนาบ z = 0 และ z = 5

จงหาปรมาตรของ S วธทา รปท 4.4.2 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.2 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.2 (ก) รปท 4.4.2 (ข) ดวยการอนทเกรตในระบบพกดฉาก จะได ปรมาตร =

S1 dV

จากการเปลยนตวแปร x = r cos y = r sin และ z = z



4 - 71

1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 4 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r = 4 เพราะฉะนน r = 2 บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ T = {(r, , z) 0 2, 0 r 2, 0 z 5} เพราะฉะนน ปรมาตร =

S1 dV

= 2

02

05

01 r dzdrd

= 2

02

05

0r dzdrd

= 2

02

0r [ z ] 0z

5z drd

= 2

02

05r drd

= 2

05 [ 2

r2 ] 0r2r

d

= 2

010 d

= 10 [ ] 02

= 20



4 - 72

ตวอยาง 4.4.2 ให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4, 2x + 2y = 9 ระนาบ y = x, y = 3x, z = 0 และ ระนาบ z = 5 จงหาปรมาตรของ S วธทา ปรมาตร =

S1 dV

จากการเปลยนตวแปร x = r cos y = r sin z = z 1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 4 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน r = 2 2. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 9 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน r = 3 3. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน = 4

4. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน = 3




4 - 73

บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอก T คอ T = {(r, , z) 4

3 , 2 r 3, 0 z 5}

รปท 4.4.3 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.3 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.3 (ก) รปท 4.4.3 (ข)

ปรมาตร = S

1 dV =

3

4

3

25

01 r dzdrd

=

3

4

3

2r [ z ] 0z

5z drd =

3

4

3

25r drd

=

3

4

5 [ 2r2 ] 2r

3r d =

3

4225 d

= 225 [ ]

4

3

= 225( 3

- 4)

= 2425



4 - 74


22 yx2 dV

เมอ S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และ ภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2

วธทา



4 - 75

รปท 4.4.4 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.4 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.4 (ก) รปท 4.4.4 (ข) เปลยนสมการในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกระบอกโดยใชความสมพนธ x = r cos y = r sin z = z 1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r = 1 เพราะฉะนน r = 1



4 - 76

2. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r + 2z = 2 เพราะฉะนน z = 2r2 เพราะฉะนน บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ T = {(r, , z) 0 2

, 0 r 1, 0 z 2r2 } เพราะฉะนน

S

22 yx2 dV = T

2r2 r dzdrd

= 2

01

0 2r2

0

2r2 r dzdrd

= 2

01

0r 2r2 [ z ] 0z

r2z 2

drd

= 2

01

0r 2r2 ( 2r2 - 0) drd

= 2

01

0(2r - 3r ) drd =

2

0[ 2r - 4

r4 ] 0r1r

d

= 2

043 d = 4

3 [ ] 02

= 43( 2

- 0) = 83



4 - 77

4.4.2 ความสมพนธระหวาง ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกลม ระบบพกดทรงกลมเปนระบบทกาหนดจด P(x, y, z) ในระบบพกดฉาก ดวยพกด (, , ) เมอ คอ ขนาดของเวกเตอร OP คอ มมทภาพฉายของ OP ทากบแกน X คอ มมท OP ทากบแกน Z ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(, , ) = sin cos y = Y(, , ) = sin sin z = Z(, , ) = cos จากความสมพนธขางตนจะได = 222 zyx เงอนไขสาหรบ , , คอ 0, [ 0 , 0 + 2) เมอ 0 = 0 หรอ - 2

และ [0, ]

รปท 4.4.5 รปท 4.4.5 แสดงความสมพนธของ x, y, z และ , ,



4 - 78

ตวอยางเชน

ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกลม จด (1, 1, 1) ( 3, 4

, arccos3

1 ) จด (0, 1, 1) ( 2 , 2

, 4)

ระนาบ y = x = 4

ระนาบ y = 3x = 3

ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a = a ครงกรวย z = 22 yx = 4

ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกลม จะสงเกตไดวา 1. = a คอทรงกลมรศมเทากบ a จดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0) 2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY ทามม 0 กบแกน X

3. = 0 คอครงกรวยทมจดยอดอยทจด (0, 0, 0) เจนเนอเรเตอรทามม 0 กบแกน Z



4 - 79

การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดทรงกลม มจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ , , คอ

J(, , ) = ),,()Z,Y,X(

=

ZZZ

YYY

XXX

= sin0cos

sincoscossinsinsin cos cos sin sin cossin

= - 2 sin เพราะฉะนน J(, , ) = 2 sin เพราะฉะนน

Sf(x, y, z) dxdydz

= T

f( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin ddd

เมอ T = {(, , ) sin cos , sin sin , cos ) S} คาแนะนา การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรน สามารถ ทาไดโดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S ใหอยในระบบพกดทรงกลม แลว พจารณาคา , และ จากบรเวณของการอนทเกรต S กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกลม



4 - 80


222 zyx2

dV

เมอกาหนดให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนง ซงลอมรอบดวย ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 กรวย z = )yx(3 22 กรวย 3z = 22 yx ระนาบ y = x และ ระนาบ y = 3x วธทา เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 16 เพราะฉะนน = 4 2. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 25 เพราะฉะนน = 5



4 - 81

3. สมการกรวย z = )yx(3 22 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน cos = 22 sin3 tan =

31

เพราะฉะนน = 6

4. สมการกรวย 3z = 22 yx ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 3 cos = 22 sin tan = 3 เพราะฉะนน =

3

5. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน sin sin = sin cos tan = 1 เพราะฉะนน = 4

6. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน sin sin = 3 sin cos tan = 3 เพราะฉะนน = 3



4 - 82

รปท 4.4.6 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.6 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.6 (ก) รปท 4.4.6 (ข) บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 4

3 , 6

3 , 4 5}


222 zyx2

dV =

T(2 ) 2 sin ddd

S

222 zyx2

dV =

3

4

3

6

5

42 sin ddd



4 - 83

S

222 zyx2

dV =

3

4

3

6

(sin ) [ 2 ] 45

dd

=

3

4

3

6

9 sin dd

=

3

4

9 [ -cos ] 6

3

d

=

3

4

-9(21 - 2

3) d

=

3

4

9( 213 ) d

= 9( 213 )[ ]

4

3

= 9( 213 )( 3

- 4)

= 9( 213 )(12

) = ( 2

13 )( 43)

= 8)13(3



4 - 84


222 zyx dV

เมอ S คอทรงตนทปดลอมดวยครงทรงกลม z = 22 yx4 และ ระนาบ z = 1 วธทา



4 - 85

เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการครงทรงกลม z = 22 yx4 ในระบบพกดฉาก จะได 2x + 2y + 2z = 4 เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 4 เพราะฉะนน = 2 ... (1) 2. สมการระนาบ z = 1 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน cos = 1 เพราะฉะนน = sec ... (2) ตอไปเราจะหามม ทครงทรงกลมตดกบระนาบ จาก (1) และ (2) จะได sec = 2 เพราะฉะนน cos = 2

1 เพราะฉะนน มม ทครงทรงกลมตดกบระนาบคอ 3



4 - 86

รปท 4.4.7 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.7 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.7 (ก) รปท 4.4.7 (ข) บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 0 2, 0

3 , sec 2}


222 zyx dV = T

() 2 sin ddd

= 2

0

3

0

2

sec() 2 sin ddd



4 - 87

S

222 zyx dV = 2

0

3

0

2

sec() 2 sin ddd

= 2

0

3

0(sin ) [ 4

4 ]

sec2 dd

= 2

0

3

0(sin ) [ 4

4 ]

sec2 dd

= 2

0

3

0(sin )(4 - 4

sec4 ) dd

= 2

0

3

0(4 sin - 4

1 sin 4cos ) dd

= 2

0[ -4 cos + 4

13

cos 3

] 0

3

d

= - 2

0[ (2 + 3

2) - (4 + 121 ) ] d

= 2

01217 d

= 1217 [ ] 0

2

= 6

17



4 - 88



4 - 89

ตวอยาง 4.4.6 จงหาปรมาตรของรปทรงตน S ทลอมขางบนดวยครงทรงกลม z = 1 + 22 yx1 และลอมขางลางดวยกรวย z = 22 yx วธทา



4 - 90

เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการครงทรงกลม z = 1 + 22 yx1 ในระบบพกดฉาก จะได 2x + 2y + (z - 1)2 = 1 2x + 2y + 2z = 2z เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 2 cos เพราะฉะนน = 2 cos



4 - 91

2. สมการกรวย z = 22 yx ในระบบพกดฉาก 2x + 2y = 2z เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 2sin 2cos + 2 2sin 2sin = 2 2cos 2sin ( 2cos + 2sin ) = 2cos 2sin = 2cos 2tan = 1 เพราะฉะนน = 4

รปท 4.4.8 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.8 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.8 (ก) รปท 4.4.8 (ข) บรเวณการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 0 2, 0

4 , 0 2 cos

}



4 - 92

T = {(, , ) 0 2, 0 4 , 0 2 cos }

เพราะฉะนนปรมาตร = S

1 dV

= T

2 sin ddd

= 2

0

4

0cos2

0

2 sin ddd

= 2

0

4

0(sin ) [ 3

3 ] 0cos2

dd

= 2

0

4

038 sin 3cos dd

= 2

038 [ - 4

cos4 ] 04

d

= 2

0- 3

2( 41 - 1) d

= 2

021 d

= 21 [ ] 0

2

=



4 - 93

4.5 ประโยชนของอนทกรลสามชน ให S เปนวตถรปทรงตนซงแทนไดดวยบรเวณใน 3R และ f(x, y, z) เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) จะไดวา 1. ปรมาตรของ S คอ V =

S 1 dV

2. มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV

3. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM = S z f(x, y, z) dV

โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ yzM = S x f(x, y, z) dV

โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ xzM = S y f(x, y, z) dV

4. พกดของจดศนยถวงของ S คอ (x , y, z)

เมอ x = yzMM , y = xzM

M และ z = xyMM

ถา f(x, y, z) เปนฟงกชนคงตว แลว เราจะเรยกจด (x , y, z) วาจดเซนทรอยดของ S 5. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบเสนตรง L คอ LI =

S

2 (x, y, z) f(x, y, z) dV

เมอ (x, y, z) เปนระยะทางจากจด (x, y, z) ใน S ไปยงเสนตรง L



4 - 94

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ xI =

S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y คอ yI =

S ( 2x + 2z ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z คอ zI =

S ( 2x + 2y ) f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ xyI =

S

2z f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ คอ yzI =

S

2x f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ คอ xzI =

S

2y f(x, y, z) dV

โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ 0I =

S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dV



4 - 95

ตวอยาง 4.5.1 ให f(x, y, z) = xyz เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ x + 2y + z = 6 และระนาบพกดฉาก จงหา 1. ปรมาตรของ S 2. มวลของ S วธทา รปท 4.5.1 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกระบบพกดฉากซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.1 (ข) รปท 4.5.1 (ก) รปท 4.5.1 (ข)



4 - 96

1. ปรมาตรของ S = S 1 dV

= 6

0

1(6 x)2

0

6 x 2y

0

1 dzdydx

= 6

0

1(6 x)2

0

[ z ] z 6 x 2y

z 0 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

(6 - x - 2y) dydx

= 6

0 [ 6y - xy - 2y ] 1y (6 x)2

y 0

dx

= 6

0 (3(6 - x) - x( 1

2 (6 - x)) - ( 12 (6 - x))2) dx

= 6

0 (9 - 3x + 1

42x ) dx

= [ 9x - 32

2x + 112

3x ] x 6x 0

= 54 - 54 + 18 = 18 ลกบาศกหนวย



4 - 97

2. มวลของ S = S f(x, y, z) dV

= 6

0

1(6 x)2

0

6 x 2y

0

xyz dzdydx

= 6

0

1(6 x)2

0

xy [ 2z

2 ] z 6 x 2yz 0 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

12 xy (6 - x - 2y)2 dydx

= 6

0

1(6 x)2

0

(18xy - 6 2x y - 12x 2y + 1

23x y

+ 2 2x 2y + 2x 3y ) dydx = 6

0 [ 9x 2y - 3 2x 2y - 4x 3y + 1

43x 2y

+ 23

2x 3y + 12 x 4y ] 1y (6 x)2

y 0

dx

= 6

0 ( 27

2 x - 9 2x + 94

3x - 14

4x + 196

5x ) dx

= [ 274

2x - 3 3x + 916

4x - 120

5x + 1576

6x ] x 6x 0

= 243 - 648 + 729 - 19445 + 81

= 815



4 - 98



4 - 99

ตวอยาง 4.5.2 ให f(x, y, z) = 2 2x y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ กรวย z = 2 24(x y ) จงหา 1. มวลของ S 2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY วธทา รอยตดของกรวย z = 2 24(x y ) กบระนาบ z = 8 คอวงกลม 2x + 2y = 16, z = 8 รปท 4.5.2 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.2 (ข) รปท 4.5.2 (ก) รปท 4.5.2 (ข)



4 - 100

1. มวลของ S คอ M= S f(x, y, z) dV

= S

2 2x y dV

= 2

0 4

0 8

2r r r dz drd

= 2

0 4

0

2r [ z ] z 8z 2r drd

= 2

0 4

0

2r (8 - 2r) drd

= 2

0 4

0 (8 2r - 2 3r ) drd

= 2

0 [ 8

3 3r - 12 4r ] r 4

r 0 d

= 2

0 (512

3 - 128) d

= 2

0 128

3 d

= 1283 [ ] 2

0

= 2563



4 - 101

2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY = S z f(x, y, z) dV

= S z 2 2x y dV

= 2

0 4

0 8

2r zr r dz drd

= 2

0 4

0

2r [ 2z2 ] z 8

z 2r drd

= 2

0 4

0 2r (32 - 2 2r ) drd

= 2

0 4

0 (32 2r - 2 4r ) drd

= 2

0 [ 32

3 3r - 25 5r ] r 4

r 0 d

= 2

0 ( 2048

3 - 20485 ) d

= 2

0 4096

15 d

= 409615 [ ] 2

0

= 819215



4 - 102

ตวอยาง 4.5.3 ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY, YZ, XZ ในอฐภาคทหนง จงหาจดเซนทรอยดของวตถ S วธทา รปท 4.5.3 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.3 (ข)

รปท 4.5.3 (ก) รปท 4.5.3 (ข)



4 - 103

มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV

= S k dV

= 2

0

4

0

216 r

0 k r dz drd

= k 2

0

4

0 r [ z ] 2z 16 r

z 0

drd

= k 2

0

4

0 r 216 r drd

= k 2

0

[ -13 (16 - 2r )

32 ] r 4

r 0 d

= k 2

0

643 d

= 64k3 [ ] 2

0

= 32k3



4 - 104

โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM = S z f(x, y, z) dV

= S z k dV

= 2

0

4

0

216 r

0 k z r dz drd

= k 2

0

4

0 r [ 2z

2 ] 2z 16 rz 0

drd

= k2 2

0

4

0 r(16 - 2r ) drd

= k2 2

0

[ 8 2r - 4r4 ] r 4

r 0 d

= k2 2

0

64 d

= 32k [ ] 20

= 16k

เพราะฉะนน z = xyMM = 16k

32k( )3

= 32



4 - 105

โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ xzM =

S y f(x, y, z) dV

= S y k dV

= 2

0

4

0

216 r

0 (r sin ) k r dz drd

= k 2

0

4

0 2r sin [ z ] 2z 16 r

z 0

drd

= k 2

0

4

0 (sin ) 2r 216 r drd ... (1)

พจารณา 4

0 2r 216 r dr

ให r = 4 sin จะไดวา dr = 4 cos d เมอ r = 0 จะได = 0 และ เมอ r = 4 จะได = 2


0 2r 216 r dr

= 2

0

(16 2sin )(4 cos ) 4 cos d

= 256 2

0

( sin 22 )2 d



4 - 106

= 64 2

0

1 cos4

2 d

= 32 [ - 14 sin 4 ] 2

0

= 16 ... (2) เพราะฉะนนจาก (1) และ (2) จะได โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ

xzM = k 2

0

16 sin d

= 16k 2

0

sin d

= 16k [ -cos ] 20

= 16k เพราะฉะนน y = xzM

M = 16k32k( )3

= 32



4 - 107

โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ yzM =

S x f(x, y, z) dV

= S x k dV

= 2

0

4

0

216 r

0 (r cos ) k r dz drd

= k 2

0

4

0 2r cos [ z ] 2z 16 r

z 0

drd

= k 2

0

4

0 (cos ) 2r 216 r drd

= k 2

0

(cos ) 4

0 2r 216 r drd

= 16k 2

0

cos d

(จาก (2) 4

0 2r 216 r dr = 16 )

= 16k [ sin ] 20

= 16k

เพราะฉะนน x = yzMM = 16k

32k( )3

= 32

ดงนนจดเซนทรอยดของ S คอจด ( 32 , 3

2 , 32 )



4 - 108

ตวอยาง 4.5.4 ให S เปนวตถรปทรงตนซง ปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใด ๆ จงหา 1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X 2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด วธทา รปท 4.5.4 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกลม ซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.4 (ข) รปท 4.5.4 (ก) รปท 4.5.4 (ข)



4 - 109

1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ xI =

S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV

= S ( 2y + 2z )k dV

= k2

0 2

0

3

0 ( 2 2sin 2sin + 2 2cos ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2sin 2sin + 2cos ) (sin ) 4 ddd

= k 2

0 2

0

( 2sin 2sin + 2cos )(sin) [ 5

5 ] 3

0 dd

= 243k5 2

0 2

0

( 2sin 2sin + 2cos ) sin dd

= 243k5

2

0 2

0

((1 - 2cos ) 2sin + 2cos )d(-cos)d

= 243k5 2

0 2

0

-( 2sin - 2sin 2cos + 2cos )d(cos)d

= 243k5

2

0 -[ 2sin cos - 2sin (

3cos3 ) +

3cos3 ] 2

0

d

= 243k5 2

0 ( 2sin - 1

32sin + 1

3) d

= 243k5 2

0 ( 2

32sin + 1

3) d



4 - 110

= 81k5 2

0 (2 2sin + 1) d

= 81k5 2

0 (1 - cos 2 + 1) d

= 81k5 2

0 (2 - cos 2) d

= 81k5 [ 2 - 1

2 sin 2 ] 20

= 324k5



4 - 111

2. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ xyI =

S

2z f(x, y, z) dxdydz

= S

2z k dV

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2 2cos ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2cos sin) 4 ddd

= k 2

0 2

0

( 2cos sin) [ 5

5 ] 3

0 dd

= 243k5 2

0 2

0

2cos sin dd

= 243k5 2

0 2

0

2cos d(-cos)d

= 243k5 2

0 [ -

3cos3 ] 2

0

d

= 243k5 2

0 1

3 d

= 81k5 2

0 1 d

= 81k5 [ ] 2

0

= 162k5



4 - 112

3. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ 0I =

S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dxdydz

= S ( 2x + 2y + 2z ) k dV

= k 2

0 2

0

3

0 ( 2 ) 2 sin ddd

= k 2

0 2

0

3

0

4 sin ddd

= k 2

0 2

0

(sin ) [ 5

5 ] 3

0 d d

= 243k5 2

0 2

0

sin d d

= 243k5 2

0 [-cos ] 2

0

d

= 243k5 2

0 1 d

= 243k5 [ ] 2

0

= 486k5


2301207 Calcuus III 2561/1st

4 - 113

แบบฝกหด 4.1

1. จงหาคาของ 4

01 2

y

2y

( 2yx2 ) 4 dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = 2

yx2 , v = 2y


0 x 1

0sin(x + y) cos(y - 2x) dydx โดยการเปลยนตวแปร u = x + y, v = y - 2x

3. จงหาคาของ S

(x - y) 2 (2x + y) 3 dA เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสามเหลยมบนระนาบ XY ทมจดยอด

เปน (0, 0), (1, 1) และ (1, -2) โดยการเปลยนตวแปร u = x - y, v = 2x + y 4. จงหาคาของ

S(3x + 2y) 2 (x + 4y) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย แกน X แกน Y และ เสนตรง x + y = 1

โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y 5. จงหาคาของ

S(3 2x + 14xy + 8 2y ) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย เสนตรง 3x + 2y = 2, 3x + 2y = 6,

x + 4y = 0 และ x + 4y = 4 โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y


( yx + x

y ) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 9, y = x และ y = 4x

เฉพาะสวนทอยในจตภาคทหนงโดยการเปลยนตวแปร x = vu , y = uv


0 y2 2

y(x + 2y) x ye dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = x + 2y, v = y - x


0

2

4 y

2y

3 2y (2x - y) 2)y x2(e dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = 2x - y, v = y

9. จงหาคาของอนทกรลตอไปน 9.1

S(x - y) 2 cos( 2

yx ) dA

เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (, 0), (2, ), (, 2) และ (0, ) 9.2

S

2sin (x - y) 2cos (x + y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }

9.3 S

(x - y) 2 yxe dA

เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (0,0), (1, 1), (2, 0) และ (1, -1) 9.4

S

y xe cos(x - y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }

9.5 S

(2 2y + x)(x - 2y ) xye dA

เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 4, x - 2y = 1 และ x - 2y = 4 10. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต

10.1 1

0

2y 1

y 1f(x, y) dxdy 10.2

1

1 2x 1

0f(x, y) dydx

10.3

2

2 2y 4

|y |f(x, y) dxdy 10.4

1

11

2x

f(x, y) dydx



4 - 114

11. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดฉาก พรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต

11.1

2

0cos

0

3r drd 11.2

2

3

θ 2cosec

θ cosecr cos drd


f(x, y) dA เมอ

12.1 f(x, y) = 22 y4x41 และ S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4 12.2 f(x, y) =

22 yx

1

และ S เปนบรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4x และภายนอกวงกลม 2x + 2y = 4

12.3 f(x, y) = x + y และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม x = 24 y เสนตรง y = 3 x และ y = 0 12.4 f(x, y) = y 22 yx และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม y = 2xx2 และแกน X 13. จงหาคาของอนทกรลตอไปนดวยการเปลยนตวแปรในระบบพกดเชงขว

13.1 1

0 2y 2

y

2y dxdy 13.2 4

0 2x 16

0

)2y 2x(e dydx

13.3 4

1

x 3

022 yx

1

dydx 13.4

4

0 2y y4

02xy dxdy

13.5 6

0

2 x x6

2 x x6

x dydx 13.6 2

0 2y 4

02 21

1 x y dxdy

13.7

1

1 2 x 1

022 yx1

1

dydx 13.8

2

0

2 x 4

2 x 4

322 )yx( dydx

13.9 1

0 2y 1

0sin(( 2x + 2y )) dxdy 13.10

5

5 2 x 25

0(25 - 2x - 2y ) dydx

13.11 1

0y

y

22 yx dxdy 13.12 2

1x

022 yx

1

dydx

13.13 1

0 2y y2

0( 2x + 2y ) 2 dxdy 13.14

21

0

2x x

2x x

x dydx

14. จงหาพนทของบรเวณตามขอกาหนดตอไปน 14.1 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เสนตรง x = 3, y = x และ y = 0 14.2 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = ax และภายนอกวงกลม 2x + 2y = ay เมอ a 0 14.3 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4y เมอ y 3 14.4 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4x เสนโคง y = x2 และแกน X 15. จงหาปรมาตรของรปทรงตนตามขอกาหนดตอไปน 15.1 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 2 - y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 2x = 0 บนระนาบ z = 0 15.2 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 4 และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 1 + sin บนระนาบ z = 0 15.3 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 5 และฐานปดลอมดวยครงวงกลม x = 24y y และเสนตรง y = x บนระนาบ z = 0 15.4 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y และฐานปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0



4 - 115

15.5 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x + 2y และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 2 sin บนระนาบ z = 0 15.6 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 3 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 บนระนาบ z = 0 15.7 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 6 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 6y = 0 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0 15.8 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 ในจตภาคทหนง บนระนาบ z = 0 16. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1 - 2x - 2y และปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y - x = 0 17. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 4y และสวนบนปดดวยพนผว z = 22 yx 18. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a และ พนผว 2x + 2y = 2b เมอ 0 b a 19. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 1 และสวนบนปดดวยระนาบ z = 4 + x + 2y แบบฝกหด 4.2 1. จงหาคาอนทกรลซอนตอไปน

1.1 1

02

04

16x 2y 3z dxdydz 1.2

2

03

11

0(3 2x + 4y 3z ) dzdydx

1.3

1

1

2

24

1( 2x + 2y + 2z ) dydxdz 1.4

0

4

0

0sin(x + y + z) dzdydx

1.5

1

1

2

2

4

4( 2x + 2 2y + 3z) dxdydz 1.6

1

02

03

0xz ye dxdzdy

1.7 2

04

01

0x(y + z) dydxdz 1.8

0

2

0

0x cos(y + z) dzdydx

1.9

1

12

03

1

2x (y + zx) dydxdz 1.10

0

4

0

0sin(x + y) cos(x + z) dzdydx

2. จงหาคาอนทกรลสามชนตอไปนบนบรเวณของการอนทเกรต D ทกาหนดให 2.1

D

(x + y - z) dV เมอ D = {(x, y, z) -1 x 1, 0 y 2, 0 z 1}

2.2 D

2)1xy(yz

dV

เมอ D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 และ z = 2 2.3

D

xyz 2x1 dV เมอ D = [0, 1] [0, 2] [0, 3]

2.4 D

cos x sin(y + z) dV เมอ D = {(x, y, z) 0 x 2 , 0 y 2

, 0 z 4 }

2.5 D

)z1)(y1(x

dV เมอ D = [0, 1] [0, 1] [0, 2]



4 - 116

แบบฝกหด 4.3 1. จงหาคาของอนทกรลซอนตอไปน

1.1 1

0x

0y

0xyz dzdydx 1.2

1

0y

0z

0(1 + xy) dxdzdy

1.3 1

0

x

x

zx

zx(x + y + z) dydzdx 1.4

2

0 2z4

0z2

0y dxdydz

1.5 1

0z

0 2z2y

0xy dxdydz 1.6

4

01

02y

0y cos x dzdydx

1.7 1

0y12

0y1

0xz dzdxdy 1.8

1

0x

0zx

0

2x dydzdx

2. จงเปลยนลาดบของอนทกรลซอนทกาหนดใหตามลาดบทระบไว และเขยนรปบรเวณของการอนทเกรต

2.1 4

0 )4

x 1(5

0

)5y 4

x 1(6

0f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydxdz

2.2

3

1

2

2 2x 4

0f(x, y, z) dzdxdy เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx

2.3

2

2

42x 13

42x 13

9

2y 42x 14

9

2y 42x 14

f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdzdy

2.4

2

2

42x 13

42x 13

1

9

2y 42x

f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdydz

2.5 1

0 z33

0 z22

0f(x, y, z) dxdydz เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx

2.6 2

0 2x 4

0

)2z 2x 4(21

0f(x, y, z) dydzdx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dzdxdy

3. จงเขยนอนทกรลซอนทง 6 แบบของฟงกชน f(x, y, z) บนบรเวณ S ในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว 2y + 2z = 1 และ ระนาบ y = x, z = 0, x = 0 4. จงหาคาของ

Sf dV เมอกาหนด f และ S ดงตอไปน

4.1 f(x, y, z) = z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบพกดฉากทงสาม และระนาบ x + y + z = 6 4.2 f(x, y, z) = x, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 22 yx1 และระนาบ z = 0 4.3 f(x, y, z) = 2x + 2z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 1 4.4 f(x, y, z) = yz, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 22 yx 4.5 f(x, y, z) = x + 2y + 3z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 1, z = 0, y + z = 2 และ y = z



4 - 117

5. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทกาหนดดงตอไปน 5.1 ปดลอมดวยระนาบ 2x + 5y + 7z = 70 และระนาบพกดฉากทงสาม 5.2 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และระนาบ y + z = 6 เฉพาะในอฐภาคทหนง 5.3 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2y + 2z = 1 ระนาบ y = x, z = 0 และ x = 0 เฉพาะในอฐภาคทหนง 5.4 ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = y + 2 5.5 ปดลอมดวยทรงกระบอก x = 2y ระนาบ z = 0 และ x + z = 1 5.6 ปดลอมดวยระนาบ z = x + y, y = 2x, z = 0, x = 0 และ y = 2 5.7 ปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 9 5.8 ปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 4, z = 0, y + z = 2 และ y = z 5.9 อยในอฐภาคทหนงและปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y ระนาบ x = 1 และระนาบ YZ 5.10 ปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 4, 2x + 2z = 4 และระนาบ XY แบบฝกหด 4.4 1. จงเขยน

Sf(x, y, z) dV

ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกระบอกเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต) 1.1 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16 1.2 f(x, y, z) = 2z , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 และทรงกระบอก 2x + 2y = 2x 1.3 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y 1.4 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในพาราโบลอยด z = 29 - 2x - 2y และอยเหนอระนาบ z = 4 1.5 f(x, y, z) = z, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10 2. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก 2.1

S( 2x + 2y ) dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 3z และระนาบ z = 3

2.2 S

2 2 364

(x y ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y ทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และระนาบ x + y = 4 2.3

S1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 22 y4x432 และพนผว z = 2x + 2y

2.4 S

1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และพนผว z = 8 - 2x - 2y

2.5 S

1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทอยภายในพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และอยภายนอกทรงกระบอก 2x + 2y = 1

3. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก

3.1 1

0 2x1

0 2y2x1

0

2z dzdydx 3.2 2

0 2y4

0 2y2x8

0x dzdxdy

3.3 4

0 2y y4

0 2y 2x

0z dzdxdy 3.4

2

0 2x x2

0 2y 2x 4

0y dzdydx



4 - 118

3.5 3

0 2x 9

0 2y 2x

01 dzdydx 3.6

3

0 2x 9

0 2y 2x 9

0

2 29 x y dzdydx

3.7 4

0 2x x4

0 2y 2x

01 dzdydx 3.8

1

0 2x 1

0 2y 2x

0

2x dzdydx

4. จงเขยน S

f(x, y, z) dV

ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกลมเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต) 4.1 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z , S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 4.2 f(x, y, z) = x, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 9 และ กรวย z = 22 yx 4.3 f(x, y, z) = 2x + 2y , S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงและอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 4.4 f(x, y, z) = 22 yx , S เปนรปทรงตนทอยภายในกรวย z = 22 yx และอยใตระนาบ z = 7 4.5 f(x, y, z) = 222 zyx , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z และอยใตระนาบ z = 2 5. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม 5.1

S( 2x + 2y + 2z ) dV เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 4

5.2 S

( 2x + 2y ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 1 และปดลอมดานลางดวยกรวย z = 22 yx 5.3

S

222 zyx dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 และปดลอมดานลางดวยระนาบ z = 1 5.4

S222 zyx1

1

dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1

5.5 S

( 2x + 2y + 2z ) dV

เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยกรวย z = 2 22 yx ทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0 6. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม

6.1 1

0 2x 1

0 2y 2x 1

0( 2x + 2y + 2z ) dzdydx 6.2

1

0 2y 1

0

2y 2x 4

)2y 2x(3

222 zyx dzdxdy

6.3 1

0 2y 1

0

2y 2x 1 1

2y 2x 1 1

22 yx dzdxdy 6.4 1

0 2x 1

0

2y 2x 1 1

2y 2x

( 2x + 2y ) dzdydx

6.5 2

0 2x 4

0 2y 2x 4

0z 22 yx4 dzdydx 6.6

3

0 2x 3

0 2y 2x 3

0( 2x + 2y + 2z ) dzdydx

7. จงหาปรมาตรของรปทรงตน S ทกาหนดใหตอไปน 7.1 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a 7.2 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z 7.3 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 36 และกรวย z = 22 yx 7.4 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16 7.5 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y 7.6 S อยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10



4 - 119

แบบฝกหด 4.5 1. ให f(x, y, z) = xy เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ 2x + y + z = 4 และระนาบพกดฉากทงสาม จงหา 1.1 ปรมาตรของ S 1.2 มวลของ S 2. ให f(x, y, z) = 22 yx เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ กรวย z = )yx(4 22 จงหา 2.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 2.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 3. ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY, YZ, XZ ในอฐภาคทหนง จงหา 3.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 3.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ 3.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด 4. ให S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 4.1 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 4.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 4.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 4.4 มวลของ S และ จดเซนทรอยดของ S 5. ใหทรงตน S ปดลอมดวยทรงกระบอก z = 1 - 2y ระนาบ z = 0, x = 0 และ x = 2 และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 5.1 มวลของ S 5.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X 5.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y 5.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 6. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง ดานบนปดดวยพนผว z = 2x + 2y และดานขางปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และ f(x, y, z) = z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 6.1 มวลของ S 6.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 6.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ 6.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ 6.5 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด 7. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง มฐานวางอยบนระนาบ XY ผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ดานบนเปนพนผว

2x + 2y + z = 2 และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 7.1 มวลของ S 7.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 7.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 7.4 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 7.5 จดเซนทรอยดของ S 8. ใหทรงตน S มฐานวางอยบนจตภาคทหนงผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 2x ดานบนเปนพนผว z = 4 - 2x - 2y และ f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 8.1 ปรมาตรของ S 8.2 มวลของ S 8.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 8.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 9. ใหทรงตน S ปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 9.1 ปรมาตรของ S 9.2 มวลของ S 9.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 9.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 10. ให S เปนวตถรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2z และกรวย z = 2 2x y และ f(x, y, z) = 2 2 2x y z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 10.1 ปรมาตรของ S 10.2 มวลของ S 10.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 10.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ



4 - 120

คาตอบแบบฝกหด 4.1

1. 2

0

1

0 4u (2) dudv = 5

4 2. 1

0

u

2u (sin u cos v)( 3

1 ) dvdu = - 61 sin(1)cos(1) + 6

1 + 92 3sin (1)

3. 3

0

3 v

0

2u 3v ( 31 ) dudv = 140

243 4. 2

0

2u

u3

( 2u v)( 101 ) dvdu +

3

2

10 3u

u3

( 2u v)( 101 ) dvdu = 12

35

5. 6

2

4

0 uv( 10

1 ) dvdu = 564 6.

2

1

3

1 ( v

1 + v)( vu2 ) dudv = 12

7. 2

0

0

u (u ve )( 3

1 ) dvdu = 31 + 2e 8.

4

0

2

0 (3 2v u 2ue )( 2

1 ) dvdu = 2 16e - 2

9. 9.1 2

( 2u cos( 2

v ))( 21 ) dudv = - 4

33 9.2

0

v

v ( 2sin u 2cos v)( 2

1 ) dudv = 2

8

9.3 2

0

2

0 2u ve ( 2

1 ) dudv = 34 ( 2e - 1) 9.4

0

v

v ( ve cos u)( 2

1 ) dudv = 2e1

9.5 4

1

4

1 v ue dudv = 2

15 ( 4e - e)

10. 10.1

2

0

1

cossin1


10.2

01

0f(r cos , r sin ) r drd

10.3

4

4 2


10.4

4

0

tansec

0f(r cos , r sin ) r drd +

43

4

θ cosec

0f(r cos , r sin ) r drd +

4

3

tansec




4 - 121

11. 11.1

1

0 2x x

0( 2x + 2y ) dydx

11.2

2

13

y

022 yx

x

dxdy

12. 12.1 24

(17 17 - 1) 12.2 34 (3 3 - ) 12.3 3

4 ( 3 + 1) 12.4 54

13. 13.1

4

02

0( 2r 2sin ) r drd = 8

- 41 13.2

2

04

0( 2re ) r drd = 4

(1 - 16e )

13.3

3

0

sec4

sec( r

1 ) r drd = 3 n(2 + 3 ) 13.4

2

0sin4

0(2 r cos r sin ) r drd = 3

64

13.5

2

2

cos6

0(r cos ) r drd = 27 13.6

2

02

0( 2r1

1

) r drd = 4 n 5

13.7

01

0(

2r1

1

) r drd = ( 2 - 1) 13.8

2

2

2

0( 3r ) r drd = 5

32

13.9

2

01

0sin( 2r ) r drd = 2

1 13.10

05

0(25 - 2r ) r drd = 4

625

13.11 4

0

sec tan

0

(r) r drd = 452 ( 2 + 1) 13.12

4

0

2sec

sec

( 2

1r

) r drd = 4 n 2

13.13 4

0

2sin

0

( 4r ) r drd + 2

4

2cosec

0

( 4r ) r drd = 65 - 15

32

13.14

4

2

cos

0

(r cos ) r drd +

4

4

sec2

0

(r cos ) r drd + 2

4

cos

0

(r cos ) r drd = 16 - 12

1

14. 14.1 29 - 8

ตารางหนวย 14.2 4a2 ( 2

+ 1) ตารางหนวย 14.3 34 - 3 ตารางหนวย 14.4 + 3

8 ตารางหนวย

15. 15.1 2 ลกบาศกหนวย 15.2 6 ลกบาศกหนวย 15.3 5 - 334 ลกบาศกหนวย 15.4 4

7 ลกบาศกหนวย 15.5 2

11 ลกบาศกหนวย 15.6 12 ลกบาศกหนวย 15.7 18 + 281 ลกบาศกหนวย 15.8 4 + 3


16. 325 ลกบาศกหนวย 17. 9

128 ลกบาศกหนวย 18. 34 [ 3a - ( 2a - 2b ) 2

3

] ลกบาศกหนวย 19. 4 ลกบาศกหนวย



4 - 122

คาตอบแบบฝกหด 4.2 1. 1.1 30 1.2 24 1.3 208 1.4 2 2 - 4 1.5 512 1.6 9e - 9 1.7 24 1.8 2 1.9 3

64 1.10 -2

2. 2.1 2 2.2 2 - 2 n 2 2.3 3 2.4 1 2.5 21 (n 2)(n 3)

คาตอบแบบฝกหด 4.3 1. 1.1 48

1 1.2 51 1.3 3

4 1.4 310 1.5 40

3 1.6 24

1 1.7 31 1.8 10

3

2. 2.1 6

0 )6

z 1(4

0 )4

x 6z 1(5

0f(x, y, z) dydxdz 2.2

2

2 2x 4

0

3

1f(x, y, z) dydzdx

2.3

3

3

9

2y 14

9

2y 14

162z 9

2y 12

162z 9

2y 12

f(x, y, z) dxdzdy 2.4 1

0

z3

z3

9

2y z2

9

2y z2

f(x, y, z) dxdydz

2.5 2

0

2

x2

0 z3 3

0f(x, y, z) dydzdx 2.6

2

0 y2 4

0 y2 2x 4

0f(x, y, z) dzdxdy

3. 3.1 1

01

x 2y 1

0f(x, y, z) dzdydx 3.2

1

0y

0 2y 1

0f(x, y, z) dzdxdy

3.3 1

0 2z 1

0y

0f(x, y, z) dxdydz 3.4

1

0 2y 1

0y

0f(x, y, z) dxdzdy

3.5 1

0 2x 1

0 2z 1

xf(x, y, z) dydzdx 3.6

1

0 2z 1

0 2z 1

xf(x, y, z) dydxdz

4. 4.1 54 4.2 16 4.3 21

8 4.4 351 4.5 2

7 5. 5.1 3

2450 ลกบาศกหนวย 5.2 6 - 38 ลกบาศกหนวย 5.3 3

1 ลกบาศกหนวย 5.4 32

81 ลกบาศกหนวย 5.5 158 ลกบาศกหนวย 5.6 3


5.7 5648 ลกบาศกหนวย 5.8 4 ลกบาศกหนวย 5.9 3

2 + 233 ลกบาศกหนวย 5.10 6 ลกบาศกหนวย

คาตอบแบบฝกหด 4.4

1. 1.1 2

04

0

2r 25

2r 25

r dzdrd 1.2

2

2 cos2

0

2r 16

2r 16

2z r dzdrd

1.3 2

02

0 2r 20

2r

( 2r + 2z ) r dzdrd 1.4 2

05

0

229 r

4

r dzdrd 1.5

0sin4

0

sinr cosr 10

0zr dzdrd

2. 2.1 2

03

03

32r

3r dzdrd = 281 2.2

2

0

4sin cos

1

2r

05

64r

dzdrd = 15 - 2



4 - 123

2.3 2

02

0 2r4 32

2r

r dzdrd = 3)56264( 2.4

2

02

0 2r 8

2r

r dzdrd = 16

2.5 2

04

1

2r 16

2r 16

r dzdrd = 20 15

3. 3.1

2

01

0 2r 1

0

2z r dzdrd = 30 3.2

2

02

0 2r8

0

2r cos dzdrd = 15224

3.3

2

0sin4

0r

0z r dzdrd = 6 3.4

2

0cos2

0 2r 4

0

2r sin dzdrd = 58

3.5

2

03

0r

0r dzdrd = 2

9 3.6

2

03

0 2r9

0

29 r r dzdrd = 818

3.7

2

0cos4

02r

0r dzdrd = 12 3.8

2

01

02r

0

3r 2cos dzdrd = 24

4. 4.1 2

0

01

0

4 sin ddd 4.2 2

0

4

03

0

3 2sin cos ddd

4.3

2

0

2

04

0

4 3sin ddd 4.4 2

0

4

0sec7

0

3 2sin ddd

4.5 2

0

4

0sec2

0

3 sin ddd + 2

0

2

4

cos4

0

3 sin ddd

5. 5.1

2

0

2

02

0

4 sin ddd = 516 5.2

2

0

4

01

0

4 3sin ddd = ( 154 - 6

2 )

5.3 2

0

3

0

2

sec

3 sin ddd = 617 5.4

2

0

01

021

1

2 sin ddd = 4 - 2

5.5 2

02

) 21 arctan(

2cosec

0

4 sin ddd = 15896

6. 6.1

2

0

2

01

0

4 sin ddd = 10 6.2

2

0

6

02

0

3 sin ddd = (2 - 3 )

6.3

2

0

2

0cos2

0

3 2sin ddd = 162 6.4

2

0

4

0cos2

0

4 3sin ddd = 12011

6.5

2

0

2

02

0( cos )( 22 sin4 ) 2 sin ddd = 5

8 6.6

2

0

2

03

0

4 sin ddd = 10

39



4 - 124

7. 7.1 8

2

0

2

0a

0

2 sin ddd = 34 3a 7.2

2

0

2

0cos4

0

2 sin ddd = 332

7.3 2

0

4

06

0

2 sin ddd = (144 - 72 2 ) 7.4 2

04

0

2r 25

2r 25

r dzdrd = 3392

7.5 2

02

0 2r 20

2r

r dzdrd = 3)152580( 7.6

0sin4

0

sinr cosr 10

0r dzdrd = 32

คาตอบแบบฝกหด 4.5 1. 1.1 V = 3

16 ลกบาศกหนวย 1.2 M = 1532 2. 2.1 zI = 15

8192 2.2 xyI = 932768

3. 3.1 zI = 15k1024 3.2 yzI = 15

k512 3.3 0I = 5k512

4. 4.1 xyM = 81k4 4.2 yzM = 0 4.3 xzM = 0 4.4 M = 18k, (0, 0, 8

9 ) 5. 5.1 M = 3

k8 5.2 xI = 7k8 5.3 yI = 315

k1312 5.4 zI = 45k184

6. 6.1 M = 24 6.2 xyI = 80

6.3 yzI = 64 6.4 xzI = 64

6.5 0I = 1607

7. 7.1 M = 6 7.2 xyM = 96

11 7.3 yzM = 359 7.4 xzM = 35

9 7.5 (35

54 , 35

54 , 1611 )

8. 8.1 V = 45 ลกบาศกหนวย 8.2 M = 24

125 8.3 zI = 40197 8.4 xyI = 15

436

9. 9.1 V = 16 ลกบาศกหนวย 9.2 M = 364 9.3 xyM = 3

256 9.4 zI = 3128

10. 10.1 V = 4 ลกบาศกหนวย 10.2 M = (8 2)

20 10.3 yzM = 142 2

525 10.4 xzI = (64 11 2)756

Documents

4 - 1 4 - 2 4.1 สมมติเราเปล ี่ยนตัวแปร ...pioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_04...บทท 4 อ นท กรลของฟ