Upload
others
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
1
บทท 3 ปรภมสามมต
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
2
3.1 พกดฉากในปรภมสามมต การบอกตาแหนงของจดในปรภมสามมตวธ เราใชทอางองเปนเสนตรงสามเสน (เรยกวา แกน X แกน Y และแกน Z) ซงตดและตงฉากซงกนและกนทจด O เราเรยกแกนทงสามวา แกนพกดฉาก เรยกจด O วา จดกาเนด เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Y วา ระนาบ XY เรยกระนาบทผานแกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ และเรยกระนาบทงสามวา ระนาบพกดฉาก ดงรปท 3.1.1
รปท 3.1.1
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
3
ระนาบพกดฉากจะตงฉากซงกนและกน และแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวน เรยกวา อฐภาค ดงรปท 3.1.2
รปท 3.1.2
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
4
การเลอกทศทางทเปนบวกบนแกนพกดฉาก เรานยมใช กฎมอขวา กลาวคอ ถาเราวางมอขวาโดยใหนวหวแมมอ นวช และนวกลาง อยในลกษณะตงฉากซงกนและกน ให น วหวแมมอ ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน X น วช ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Y และ น วกลาง ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Z ระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทกลาวมานจะเปนบวก และระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทตรงขามกบทกลาวมานเปนลบ ตวอยางดงรปท 3.1.3 เราจะใชแบบหนงแบบใดกไดตามความเหมาะสม
รปท 3.1.3
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
5
ให P เปนจดในปรภมสามมต เราจะบอกตาแหนงของจด P ดวยลาดบของสามจานวนจรง (x, y, z) เราเรยก x, y และ z วา สวนประกอบท 1, 2 และ 3 ของ (x, y, z) ตามลาดบ และเรยก (x, y, z) วาพกดฉาก ของจด P ซงเราจะหาสวนประกอบทงสามไดดงน
รปท 3.1.4 รปท 3.1.4 แสดงจด P ในปรภมสามมต จากจด P ลากเสนขนานกบแกน Z พบระนาบ XY ทจด Q ระยะ PQ = z จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน Y พบแกน X ทจด A ระยะ OA = x จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน X พบแกน Y ทจด B ระยะ OB = y
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
6
รปท 3.1.4 ขอสงเกต 1. จด Q คอ ภาพฉายของจด P บนระนาบ XY และพกดของ Q คอ (x, y, 0) 2. จด A(x, 0, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน X จด B(0, y, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Y จด C(0, 0, z) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Z หมายเหต เราใชสญลกษณ 3R แทนเซตของลาดบของสามจานวนจรง หรอเซตของจดในปรภมสามมต
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
7
ตวอยาง 3.1.1 จงเขยนกราฟในปรภมสามมต แสดงตาแหนงของจด 1. P(5, 8, 7) 2. Q(–4, 6, –6) 3. S(–6, –9, –8) 4. T(4, –4, 4) วธทา 1. การแสดงตาแหนงของจด P(5, 8, 7) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก เปนระยะทาง 5 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก เปนระยะทาง 8 หนวย จากจด B ไปยงจด P ขนานกบแกน Z ทางดานบวก เปนระยะทาง 7 หนวย
รปท 3.1.5
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
8
2. การแสดงตาแหนงของจด Q(–4, 6, –6) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก เปนระยะทาง 6 หนวย จากจด B ไปยงจด Q ขนานกบแกน Z ทางดานลบ เปนระยะทาง 6 หนวย
รปท 3.1.6
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
9
3. การแสดงตาแหนงของจด S(–6, –9, –8) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ เปนระยะทาง 6 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ เปนระยะทาง 9 หนวย จากจด B ไปยงจด S ขนานกบแกน Z ทางดานลบ เปนระยะทาง 8 หนวย
รปท 3.1.7
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
10
4. การแสดงตาแหนงของจด T(4, –4, 4) จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ เปนระยะทาง 4 หนวย จากจด B ไปยงจด T ขนานกบแกน Z ทางดานบวก เปนระยะทาง 4 หนวย
รปท 3.1.8
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
11
3.2 เวกเตอรในปรภมสามมต 3.2.1 ความหมายของเวกเตอรในปรภมสามมต เวกเตอร คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง เราใชสวนของเสนตรงทเชอมโยงระหวางจดสองจด และ มหวลกศรกากบแทนเวกเตอร
ใหความยาวของสวนของเสนตรงแทนขนาด และ หวลกศรบอกทศทางของเวกเตอร
เราใชสญลกษณ PQ แทนสวนของเสนตรงทมทศทาง หรอ เวกเตอรทม P เปนจดเรมตน และ Q เปนจดสนสด มทศทางจากจด P ไปยงจด Q ใชสญลกษณ || PQ || แทนความยาวของ PQ หรอขนาดของ PQ เวกเตอรสองเวกเตอร เทากน กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และ มทศทางเดยวกน
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
12
รปท 3.2.1 เวกเตอรตางๆ ทเทากน ซงในบรรดาเวกเตอรเหลานจะมอยเวกเตอรหนงเสมอทมจดเรมตนเปนจดกาเนด
เพราะฉะนน เราแทนเวกเตอรในปรภมสามมตไดดวย สวนของเสนตรงทมทศทางโดยมจดเรมตนเปนจดกาเนด ในรปท 3.2.1 เวกเตอรเหลาน ถอวาคอ OA เพราะวา บรรดาสวนของเสนตรงทมทศทางเหลาน ตางมจดเรมตนทกาหนดไวแนนอนคอ จดกาเนด เพราะฉะนนเราบอกแตละสวนของเสนตรงทมทศทางเชนนไดดวยจดปลายของเวกเตอร ขอตกลง เราใชสญลกษณ A แทน OA
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
13
ขอตกลง สาหรบจด P ใดๆ ใน 3R เราจะใชสญลกษณ P เขยนแทน OP เพราะวาเราแทนจดใน 3R ดวยลาดบของสามจานวนจรง เชน ถา P มพกดฉากเปน (x, y, z) เรากแทน P ไดดวย เราจงอาจใช (x, y, z) แทน P กได
บทนยาม 3.2.1 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R เราเรยก 1a , 2a , 3a วา สวนประกอบ ของ A ตามแกน X แกน Y และแกน Z ตามลาดบ
รปท 3.2.2 โดยใชความสมพนธของดาน ของรปสามเหลยมมมฉาก OPQ และ OAQ จะไดวา ความยาวของ OA คอ 2
322
21 aaa ++
เพราะฉะนน || A || = 23
22
21 aaa ++
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
14
บทนยาม 3.2.2 เราเรยกเวกเตอรทมสวนประกอบทกตวเปนศนยวา เวกเตอรศนย เขยนแทนดวยสญลกษณ O เพราะฉะนน O = (0, 0, 0) บทนยาม 3.2.3 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) ≠ O เปนเวกเตอรททามม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ทางดานบวกตามลาดบ โดยท α, β, γ มคาตงแต 0 ถง π เราเรยก α, β, γ วา มมแสดงทศทางของ A และเรยก cos α, cos β, cos γ วา โคไซนแสดงทศทางของ A
รปท 3.2.3 รปท 3.2.3 แสดง A ซงมมมแสดงทศทางเปน α, β, γ พจารณารปสามเหลยม OAM จะเหนวา AMO เปนมมฉาก เพราะฉะนน cos γ =
||||
||||
OAOM =
|||| Aa3
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
15
รปท 3.2.3 ลาก AP และ AQ จากรปสามเหลยมมมฉาก OAP และ OAQ จะไดวา cos α =
|||| Aa1
และ cos β = |||| A
a2
เพราะฉะนน cos α = |||| A
a1
cos β = |||| A
a2
cos γ = |||| A
a3 และ α2cos + β2cos + γ2cos = 1
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
16
ตวอยาง 3.2.1 กาหนดให A = (–1, 2 , 1) จงหาขนาดและมมแสดงทศทางของ A วธทา || A || = 222 1)2()1( ++− = 4 = 2 ให A ทามม α, β, γ กบแกน X, แกน Y, แกน Z ทางดานบวกตามลาดบ เราจะได cos α =
|||| Aa1 = – 2
1 เพราะฉะนน α = 32π
cos β = |||| A
a2 = 22 เพราะฉะนน β = 4
π
cos γ = |||| A
a3 = 21 เพราะฉะนน γ = 3
π
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
17
3.2.2 พชคณตเวกเตอร บทนยาม 3.2.4 ให A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ k ∈ R 1. A = B กตอเมอ 1a = 1b , 2a = 2b และ 3a = 3b 2. การบวกเวกเตอร A + B = ( 1a + 1b , 2a + 2b , 3a + 3b ) 3. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร kA = (k 1a , k 2a , k 3a ) หมายเหต 1. ถา D = A + B แลว D จะแทนดวยสวนของเสนตรงทมทศทาง ซงเปนเสนทแยง มมของรปสเหลยมดานขนานทม A และ B เปนดานประชด
รปท 3.2.4 2. ถา D = kA แลว D จะเปนเวกเตอรซงขนานกบ A โดย มทศทางเดยวกบ A เมอ k > 0 และ มทศทางตรงขามกบ A เมอ k < 0 และ || kA || = | k | || A || ในกรณท k = –1 เราเรยก (–1)A วา นเสธ ของ A และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ –A บทนยาม 3.2.5 A – B = A + (–B)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
18
ตวอยาง 3.2.2 กาหนดให A = (2, –1, 3) และ B = (1, 2, –1) จงหา 2A – B วธทา 2A– B = 2(2, –1, 3) – (1, 2, –1) = (4, –2, 6) + (–1, –2, 1) = (4 – 1, –2 – 2, 6 + 1) = (3, –4, 7)
ขอสงเกต AB = B – A
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
19
สมบตของการบวกเวกเตอรและการคณเวกเตอรดวยสเกลาร
ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ c, k ∈ R จะไดวา 1. A + B = B + A 2. (A + B) + C = A + (B + C) 3. A + O = A 4. A + (–A) = O 5. (ck)A = c(kA) = k(cA) 6. c(A + B) = cA + cB 7. (c + k)A = cA + kA 8. 1A = A 9. 0A = O
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
20
3.2.3 เวกเตอรหนวย บทนยาม 3.2.6 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา เวกเตอรหนวย ให A เปนเวกเตอรใน 3R ซง A ≠ O จะเหนไดวา |||| A
A เปนเวกเตอรทมทศทางเดยวกบ A
และมขนาดเปน || |||| AA || = |||| A
1 || A || = 1
เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ A คอ |||| AA
และ เวกเตอรหนวยในทศทางตรงขามกบ A คอ – |||| AA
ตวอยาง 3.2.3 ให A(1, 2, –1) และ B(2, 4, 1) เปนจดใน
3R จงหาเวกเตอรหนวยในทศทางของ AB วธทา AB = B – A = (2, 4, 1) – (1, 2, –1) = (1, 2, 2) || AB || = 222 221 ++ = 9 = 3 เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ AB คอ
|||| ABAB = 3
)2 ,2 ,1(
= (31 , 3
2 , 32)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
21
เวกเตอรหนวยในทศทางบวก ของแกน X แกน Y และแกน Z
เวกเตอรหนวยทสาคญคอ เวกเตอรหนวยในทศทางบวกของแกน X แกน Y และแกน Z และเราจะเขยนแทนดวยสญลกษณ i , j , k ตามลาดบ กลาวคอ เราให i = (1, 0, 0) j = (0, 1, 0) k = (0, 0, 1) ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R เราจะไดวา A = ( 1a , 2a , 3a ) = ( 1a , 0, 0) + (0, 2a , 0) + (0, 0, 3a ) = 1a (1, 0, 0) + 2a (0, 1, 0) + 3a (0, 0, 1) = 1a i + 2a j + 3a k ตวอยางเชน (2, 3, 6) = 2 i + 3 j + 6k (–3, 6, –12) = –3 i + 6 j – 12k (0, 3, –1) = 3 j – k
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
22
3.2.4 ผลคณเชงสเกลาร บทนยาม 3.2.7 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน
3R ผลคณเชงสเกลาร ของ A และ B เขยนแทนดวยสญลกษณ A ⋅B มคาดงน A ⋅B = 1a 1b + 2a 2b + 3a 3b
สมบตเกยวกบผลคณเชงสเกลาร มดงน ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา 1. A ⋅B = B⋅A 2. A ⋅(B + C) = A ⋅B + A ⋅C 3. k(A ⋅B) = (kA)⋅B = A ⋅(kB) 4. A ⋅A = || A ||2 ≥ 0 และ A ⋅A = 0 กตอเมอ A = O 5. ถา A ≠ O, B ≠ O และ θ เปนมมระหวาง A กบ B จะไดวา A ⋅B = || A || || B || cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π
หมายเหต ในกรณท θ = 2π เราจะกลาววา A ตงฉาก กบ B
ผลจากขอ 5. จะไดวา A ⋅B = 0 กตอเมอ A ตงฉากกบ B
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
23
ตวอยาง 3.2.4 ให A(1, 2, 0), B(0, 4, 2) และ C(3, 2, –2) เปนจดมมของรปสามเหลยม ABC จงหา CAB วธทา
รปท 3.2.5 CAB เปนมมระหวาง AB กบ AC
AB = B – A = (0, 4, 2) – (1, 2, 0) = (–1, 2, 2) AC = C – A = (3, 2, –2) – (1, 2, 0) = (2, 0, –2) || AB || = 222 22)1( ++− = 9 = 3 || AC || = 222 )2(02 −++ = 8 = 2 2 AB⋅AC = (–1, 2, 2)⋅(2, 0, –2) = –1(2) + 2(0) + 2(–2) = –6 เพราะวา AB⋅AC = || AB || || AC || cos CAB เพราะฉะนน cos CAB =
|||| |||| ACABACAB ⋅
= )22)(3(
6−
= –2
1 เพราะฉะนน CAB = 4
3π
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
24
ตวอยาง 3.2.5 ให A = (1, 2, –1), B = (2, 1, 4) และ C = (3, –2, 1) จงหาวาเวกเตอรคใดทตงฉากกน วธทา โดยใชเหตผลวา X ตงฉากกบ Y กตอเมอ X ⋅Y = 0
เพราะวา A ⋅B = (1, 2, –1)⋅(2, 1, 4) = 2 + 2 – 4 = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ B
เพราะวา A ⋅C = (1, 2, –1)⋅(3, –2, 1) = 3 – 4 – 1 = –2 ≠ 0 เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ C
เพราะวา B⋅C = (2, 1, 4)⋅(3, –2, 1) = 6 – 2 + 4 = 8 ≠ 0 เพราะฉะนน B ไมตงฉากกบ C
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
25
บทนยาม 3.2.8 ให A ≠ O, B ≠ O และ θ เปนมมระหวาง A กบ B ลากเสนตรงจากจด A มาตงฉากกบ OB ทจด C รปท 3.2.6 (ก) รปท 3.2.6 (ข) C เรยกวา ภาพฉายเวกเตอร ของ A บน B ใชสญลกษณแทนดวย BA และ || A || cos θ เรยกวา ภาพฉายสเกลารของ A บน B
เพราะวา A ⋅B = || A || || B || cos θ เพราะฉะนน || A || cos θ = |||| B
BA ⋅
เพราะฉะนน ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| BBA ⋅
และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ 2|||| BBA ⋅ B
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
26
ตวอยาง 3.2.6 ให A = (2, 1, 4) และ B = (2, 3, 6) จงหา ภาพฉายสเกลาร และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B วธทา A ⋅B = (2, 1, 4)⋅(2, 3, 6) = 4 + 3 + 24 = 31 || B || = 3694 ++ = 7 ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| B
BA ⋅ = 731
ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ BA = 2|||| B
BA ⋅ B
= 2731(2, 3, 6)
= ( 4962 , 49
93 , 49186)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
27
3.2.5 ผลคณเชงเวกเตอร บทนยาม 3.2.9 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน 3R ผลคณเชงเวกเตอร ของ A และ B แทนดวยสญลกษณ A × B มคาดงน A × B = ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b )
สมบตเกยวกบผลคณเชงเวกเตอร ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา 1. A × B = –(B × A ) 2. k(A × B) = (kA ) × B = A × (kB) 3. A × (B + C) = (A × B) + (A × C) 4. A × B = O กตอเมอม k ∈ R ททาให A = kB หรอ B = kA (เพราะฉะนน A ขนานกบ B) 5. A ⋅(A × B) = 0 และ B⋅(A × B) = 0 เพราะฉะนน A × B ตงฉากกบ A และ B
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
28
ในกรณท A ไมขนานกบ B จะไดวาทศทางของ A × B จะเปนไปตามกฎมอขวา กลาวคอ ถา เราวางมอในลกษณะทให นวหวแมมอชไปตาม A และ นวชชไปตาม B แลว นวกลางซงวางใหตงฉากกบนวหวแมมอและนวช นวกลางจะชไปในทศทางของ A × B
รปท 3.2.7 6. || A × B || = || A || || B || sin θ เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B และ 0 ≤ θ ≤ π
7. || A × B || = พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดาน ประชดเปน A และ B
รปท 3.2.8
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
29
การหาคา A × B โดยใช determinant ทบทวนสตร determinant
ให M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
zyxtsrcba
จะไดวา zyxtsrcba
= zyts a – zx
tr b + yxsr c
= (sz – ty)a – (rz – tx)b + (ry – sx)c
ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b )
bbbaaakji
321321 = bb
aa
3232 i – bb
aa
3131 j + bb
aa
2121 k
= ( 2a 3b – 3a 2b ) i – ( 1a 3b – 3a 1b ) j + ( 1a 2b – 2a 1b )k = ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b ) = A × B
เพราะฉะนน A × B = bbbaaakji
321321
2. ถา C ตงฉากกบ A และ C ตงฉากกบ B แลว C ขนานกบ A × B
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
30
ตวอยาง 3.2.7 จงหาพนทของรปสามเหลยมทมจดมมเปน A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) และ C(1, 3, –2) วธทา
รปท 3.2.9 เพราะวา AB = B – A = (1, –1, 2) AC = C – A = (–1, 2, –1)
เพราะฉะนน AB × AC = 12 12 11 k j i
−−
−
= 12 2 1 −
− i – 112 1 −− j + 2 1
11 −− k
= (1 – 4) i – (–1 + 2) j + (2 – 1)k = –3 i – j + k เพราะวา พนทของ Δ ABC = 2
1 พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประชด เปน AB และ AC พนทของ Δ ABC = 2
1 || AB × AC ||
= 21)1()3( 222 +−+−
= 211 ตารางหนวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
31
3.2.6 ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร บทนยาม 3.2.10 ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร A , B, C คอ A ⋅B× C และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ [A B C]
หมายเหต ให A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ C = ( 1c , 2c , 3c ) B × C = ( 2b 3c – 3b 2c , 3b 1c – 1b 3c , 1b 2c – 2b 1c ) A ⋅B × C = ( 2b 3c – 3b 2c ) 1a – ( 1b 3c – 3b 1c ) 2a + ( 1b 2c – 2b 1c ) 3a = cc
bb
3232
1a – ccbb
3131
2a + ccbb
2121
3a
= cccbbbaaa
321321321
เพราะฉะนน A ⋅B × C = cccbbbaaa
321321321
หมายเหต A ⋅B×C = B⋅C×A = C⋅A×B = B×C⋅A = C×A ⋅B = A×B⋅C
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
32
ความหมายทางเรขาคณตของ | [A B C] | | [A B C] | = ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน ซงมดานประชดเปน A , B และ C
รปท 3.2.10 ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน = พนทฐาน × สง = || B × C || h = || B × C || || A || | cos θ | เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B × C = | B × C⋅A | = | A ⋅B × C | = | [A B C] |
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
33
ตวอยาง 3.2.8 กาหนดให A = i + j – k , B = 2 i + j และ C = j + 2k จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานทมดานประชดเปน A , B และ C วธทา
A ⋅B × C = 2 100 12111
−
= 2101 (1) – 20
02 (1) + 1012 (–1)
= (2 – 0)(1) – (4 – 0)(1) + (2 – 0)(–1) = 2 – 4 – 2 = –4 เพราะฉะนน ปรมาตร = | A ⋅B × C | = 4 ลกบาศกหนวย การคานวณผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร ดวย MATHCAD
111−
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
210
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
012
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
×⎡⎢⎢⎣
⎤⎥⎥⎦
⋅ 4−=
120
111
1−
02
⎛⎜⎜⎝
⎞⎟⎟⎠
4−→
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
34
3.2.7 การรวมเชงเสน และ อสระเชงเสน บทนยาม 3.2.11 กาหนดให 1V , 2V , ... , nV เปนเวกเตอร
1c , 2c , ... , nc เปนจานวนจรง เวกเตอร V = 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV เรยกวา การรวมเชงเสน ของ 1V , 2V , ... , nV ตวอยางเชน 1. 4 i + 5 j + 6k เปนการรวมเชงเสนของ i , j , k 2. 4(1, 1, 1) + 5(1, 1, 0) + 2(1, 2, 3) = (11, 13, 10) (11, 13, 10) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 1, 1), (1, 1, 0) และ (1, 2, 3)
ตวอยาง 3.2.9 จงแสดงวา (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 0), (1, 1, 0) และ (1, 1, 1) วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (5, 2, 1) (a + b + c, b + c, c) = (5, 2, 1) เพราะฉะนน a + b + c = 5 b + c = 2 c = 1 เพราะฉะนน c = 1, b = 1 และ a = 3 เพราะฉะนน (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 0), (1, 1, 0) และ (1, 1, 1)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
35
ตวอยาง 3.2.10 จงพจารณาวา (2, –1, 4) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1) หรอไม วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท (2, –1, 4) = a(1, 0, 1) + b(1, –1, 2) + c(0, 1, –1) (2, –1, 4) = (a + b, –b + c, a + 2b – c) เพราะฉะนน a + b = 2 ... (1) –b + c = –1 ... (2) a + 2b – c = 4 ... (3) (2) + (3) ; a + b = 3 ... (4) (4) – (1) ; 0 = 1 ซงเปนไปไมได เพราะฉะนน (2, –1, 4) ไมเปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
36
บทนยาม 3.2.12 เวกเตอร 1V , 2V , ... , nV เปนอสระเชงเสน กตอเมอ ถา 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV = O แลว 1c = 2c = ... = nc = 0 ตวอยาง
1 (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม เพราะวา ถา 1c (1, 0, 0) = (0, 0, 0) ( 1c , 0, 0) = (0, 0, 0) แลว 1c = 0 เพราะฉะนน (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน
2 (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม เพราะวา ถา 1c (5, 0, 0) + 2c (0, 4, 0) = (0, 0, 0) (5 1c , 4 2c , 0) = (0, 0, 0) 5 1c = 0 และ 4 2c = 0 แลว 1c = 0 และ 2c = 0 เพราะฉะนน (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
37
ตวอยาง 3.2.11 จงพจารณาวา (2, 1, 0), (1, 2, 0) และ (0, 0, 3) เปนอสระเชงเสน หรอไม วธทา สมมต a(2, 1, 0) + b(1, 2, 0) + c(0, 0, 3) = (0, 0, 0) (2a + b, a + 2b, 3c) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน 2a + b = 0 ... (1) a + 2b = 0 ... (2) 3c = 0 ... (3) จาก (3) ; c = 0 2 × (1) ; 4a + 2 b = 0 ... (4) (4) – (2) ; 3a = 0 a = 0 จาก (1) ; b = –2a = 0 เพราะฉะนน a = b = c = 0 เพราะฉะนน (2, 1, 0), (1, 2, 0) และ (0, 0, 3) เปนอสระเชงเสน
ขอควรจา ถา ม a, b, c ไมเปนศนยพรอมกนททาให a 1V + b 2V + c 3V = O แลว 1V , 2V , 3V ไมเปนอสระเชงเสน
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
38
ตวอยาง 3.2.12 จงพจารณาวา (3, 2, –5), (2, 6, –1) และ (–1, 0, 2) เปนอสระเชงเสน หรอไม วธทา สมมต a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0) (3a + 2b – c, 2a + 6b, –5a – b + 2c) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน 3a + 2b – c = 0 ... (1) 2a + 6b = 0 ... (2) –5a – b + 2c = 0 ... (3) 2 × (1) ; 6a + 4b – 2c = 0 ... (4) (3) + (4) ; a + 3b = 0 ... (5) 2 × (5) ; 2a + 6b = 0 ซงเหมอน (2) จาก (5) ; b = –3
1a ... (6) จาก (1) ; c = 3a + 2(–3
1a) = 37a
ให a = t เมอ t ∈ R จะได b = –31 t และ c = 3
7 t แสดงวาม a ≠ 0, b ≠ 0 และ c ≠ 0 ททาให a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0) เพราะฉะนน (3, 2, –5), (2, 6, –1) และ (–1, 0, 2) ไมเปนอสระเชงเสน หมายเหต จากสมการ (6) นสตสามารถเลอก a = 3 แลวจะได b = –1, c = 7 กเพยงพอ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
39
3.3 เสนตรงใน 3R 3.3.1 สมการของเสนตรง บทนยาม 3.3.1 ให 0P เปนจดใน 3R และ A ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให
PP0 ขนานกบ A วา เสนตรงทผานจด 0P และขนานกบ A และ เรยก A วา เวกเตอรแสดงทศทาง ของเสนตรง
รปท 3.3.1 ขอสงเกต ถา A เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L แลว เวกเตอรใดๆ ทไมใชเวกเตอรศนย ซงขนานกบ A เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ดวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
40
การหาสมการเสนตรง เสนตรง L ซงผานจด 0P และม A เปนเวกเตอรแสดงทศทาง ให P เปนจดใดๆ บนเสนตรง L เพราะฉะนน PP0 ขนานกบ A เพราะฉะนน จะม t ∈ R ททาให PP0 = tA P – 0P = tA P = 0P + tA ... (3.3.1) ใหจด P(x, y, z) และ 0P ( 0x , 0y , 0z ) และ A = (a, b, c) สมการ (3.3.1) จะเขยนไดเปน (x, y, z) = ( 0x , 0y , 0z ) + t(a, b, c) ... (3.3.2) เราเรยกสมการ (3.3.1) หรอ (3.3.2) วา สมการเวกเตอร ของเสนตรง L สมการ (3.3.2) เราอาจแยกเขยนสมการสาหรบแตละสวนประกอบไดเปน
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=
+=
+=
ctzz
btyy
atxx
0
0
0
... (3.3.3)
เราเรยกสมการ (3.3.3) วา สมการองตวแปรเสรม ของเสนตรง L
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
41
จากสมการ (3.3.3) สาหรบคา a, b, c ถาไมมคาใดเปนศนยเลย เราไดวา t = a
xx 0− , t = byy 0− , t = c
zz 0−
เพราะฉะนน axx 0− = b
yy 0− = czz 0− ... (3.3.4)
เราเรยกสมการ (3.3.4) วา สมการสมมาตร ของเสนตรง L
หมายเหต ในกรณทมคาหนงใน a, b, c เปนศนย เชน a = 0 จากสมการ (3.3.3) เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน x = 0x , b
yy 0− = czz 0−
ในกรณทมสองคาใน a, b, c เปนศนย เชน a = 0, b = 0 เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน x = 0x , y = 0y , z = 0z + tc
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
42
ตวอยาง 3.3.1 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม และสมการสมมาตรของเสนตรง L ทผานจด
0P (1, 0, –2) และ ขนานกบ A = (2, –1, 3) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนเสนตรง L สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด
0P (1, 0, –2) และขนานกบ A = (2, –1, 3) คอ P = 0P + tA หรอ (x, y, z) = (1, 0, –2) + t(2, –1, 3) เมอ t ∈ R สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ x = 1 + 2t y = –t z = –2 + 3t และสมการสมมาตรของเสนตรง L คอ 2
1x − = 1y
− = 3
2z +
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
43
ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรมและสมการสมมาตรของเสนตรง L ผานจด 1P (–2, 1, 3) และ 2P (1, 2, 1) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน L เพราะวาจด 1P และ 2P อยบนเสนตรง L เพราะฉะนน 21PP เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L และ
21PP = 2P – 1P = (1, 2, 1) – (–2, 1, 3) = (3, 1, –2)
สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด 1P (–2, 1, 3) และ 2P (1, 2, 1) คอ P = 1P + t 21PP หรอ (x, y, z) = (–2, 1, 3) + t(3, 1, –2) เมอ t ∈ R
สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ x = –2 + 3t y = 1 + t z = 3 – 2t และ สมการสมมาตรของเสนตรง L คอ 3
2x + = 11y − = 2
3z−−
หมายเหต สมการของเสนตรงในตวอยาง 3.3.2 อาจจะเขยนเปนแบบอนได เชน P = 2P + t 21PP
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
44
3.3.2 จดกบเสนตรง จด P(x, y, z) จะอยบนเสนตรง กตอเมอ พกด (x, y, z) ของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง เพราะฉะนนการตรวจสอบวาจด P(x, y, z) อยบนเสนตรง L หรอไม จงสามารถตรวจสอบโดยการแทนคา x, y, z ลงในสมการของเสนตรง L วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไม
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
45
ตวอยาง 3.3.3 จงพจารณาวาจด P(1, –2, 3) อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม 1. 1L : x = 3 – t, y = 2 – 4t, z = 3 + t 2. 2L : 2
1x + = 35y + = z – 2
วธทา 1. แทนคา x = 1, y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง 1L จะได 1 = 3 – t ... (1)
–2 = 2 – 4t ... (2) 3 = 3 + t ... (3) จาก (1) ได t = 2 ... (4) จาก (2) ได t = 1 ... (5) และ จาก (3) ได t = 0 จะเหนวาทงสามสมการใหคา t ขดแยงกน จงไมมคา t ใดๆ ททาให (1) , (2) , (3) เปนจรง แสดงวาพกดของจด P ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรง 1L เพราะฉะนน จด P ไมอยบนเสนตรง 1L หมายเหต พบวา (4), (5) ขดแยงกนกสรปผลไดแลว 2. แทนคา x = 1 , y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง 2L จะได 2
11+ = 352 +− = 3 – 2
หรอ 1 = 1 = 1 ซงเปนจรง แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง 2L เพราะฉะนน จด P อยบนเสนตรง 2L
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
46
ตวอยาง 3.3.4 จงพจารณาวาจด A(2, 1, 0), B(3, 0, 2) และ C(1, 2, 3) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม วธทา AB = B – A = (1, –1, 2) เพราะฉะนน สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด A และ B คอ 1
2x − = 11y
−− = 2
z แทนคา x = 1, y = 2, z = 3 ของพกดจด C ในสมการของเสนตรงน จะได 1
21− = 112
−− = 2
3 หรอ –1 = –1 = 2
3 ซงไมเปนจรง แสดงวา พกดของจด C ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรงทผานจด A และ B เพราะฉะนน จด C ไมอยบนเสนตรงน เพราะฉะนน จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน
หมายเหต ถา AB และ AC ไมขนานกน แลว จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน
เพราะฉะนน การแสดงวา จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน ตรวจสอบวา AB และ AC ไมขนานกน กเพยงพอ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
47
ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง คอ ความยาวของเสนตงฉากจากจดไปยงเสนตรง และจดบนเสนตรงทอยหางจากจดดงกลาวนอยทสดเราเรยกวา จดเชงเสนตงฉาก สมมตให L เปนเสนตรงทผานจด 0P และม A เปนเวกเตอรแสดงทศทาง ให B เปนจดใดๆ ทอยนอกเสนตรง L สมมตวา M เปนจดบนเสนตรง L ซง BM ตงฉากกบเสนตรง L เพราะฉะนน จด M เปน จดเชงตงฉาก การหาความยาวของ BM และพกดของจด M
รปท 3.3.2 จากรปท 3.3.2 พจารณา ΔB 0P M ให θ เปนมมระหวาง BP0 กบ MP0 เราจะไดวา sin θ = ฉาก
ขาม = ||||||||
BPBM
0
|| BM || = || BP0 || sin θ ... (1)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
48
เพราะวา MP0 ขนานกบ A เพราะฉะนน θ เปนมมระหวาง BP0 กบ A
จาก (1) จะได || BM || = |||||||| ||||
AsinAB0P θ
= ||||||||
AAB0P ×
เพราะฉะนนความยาวของ BM = ||||||||
AAB0P ×
การหาพกดของจด M เพราะวา M อยบนเสนตรง L เพราะฉะนนจะม t ∈ R ททาให M = 0P + tA ... (3.3.5) เพราะวา BM = M – B เพราะฉะนน BM = 0P + tA – B BM ⋅A = ( 0P + tA – B)⋅A = ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 ... (2) เพราะวา BM ⊥ MP0 เพราะฉะนน BM ⊥ A เพราะฉะนน BM ⋅A = 0 จาก (2) จะได ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 = 0 t = 2
0|||| A
A)PB( ⋅−
แทนคา t ในสมการ (3.3.5) จะได M = 0P + [ 20|||| A
A)PB( ⋅− ] A
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
49
ตวอยาง 3.3.5 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด B(2, 1, –1) บนเสนตรง L : 4
5x − = 2 – y = 34z −
พรอมทงหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L วธทา จากสมการเสนตรง L: 4
5x − = 2 – y = 34z −
หรอ 45x − = 1
2y−− = 3
4z − แสดงวา เสนตรง L ผานจด 0P (5, 2, 4) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (4, –1, 3) ให M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง L M = 0P + [ 2
0|||| A
A)PB( ⋅− ]A
= (5, 2, 4) + [ ( )222 3)1(4
)3,1,4()4,2,5()1,1,2(+−+
−⋅−− ](4, –1, 3)
= (5, 2, 4) – (4, –1, 3) = (1, 3, 1) การหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L
ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง = ||||||||
AAB0P ×
BP0 = B – 0P = (2, 1, –1) – (5, 2, 4) = (–3, –1, –5)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
50
BP0 × A = 3 14 513k j i
−
−−−
= 3151 −
−− i – 3453 −− j + 14
13 −−− k
= –8 i – 11 j + 7k || BP0 × A || = 222 7)11()8( +−+− = 234 = 3 26 || A || = 222 3)1(4 +−+ = 26 เพราะฉะนน ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L
= ||||||||
AAB0P ×
= 26263
= 3 หนวย
หมายเหต หา || BM || จะงายกวา และ ไดระยะทางเทากน BM = M – B = (1, 3, 1) – (2, 1, –1) = (–1, 2, 2) เพราะฉะนน || BM || = 222 22)1( ++− = 9 = 3
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
51
3.3.3 การตดกนของเสนตรง ในปรภมสองมต เสนตรงสองเสน หากไมตดกน กตองขนานกน อยางใดอยางหนงเทานน แตในปรภมสามมต เสนตรง 1L และเสนตรง 2L มความเปนไปไดดงตอไปน 1. ตดกน (รปท 3.3.3 (ก)) 2. ไมตดกน โดยจาแนกเปน 2.1 ไมตดกน และ ไมขนานกน (รปท 3.3.3 (ข)) 2.2 ไมตดกน และ ขนานกน (รปท 3.3.3 (ค)) รปท 3.3.3 (ก) รปท 3.3.3 (ข) รปท 3.3.3 (ค)
คาเตอน ในการหาจดตด เสนตรง 1L และเสนตรง 2L ตองใชตวแปรเสรมคนละตวกน
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
52
ตวอยาง 3.3.6 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน 1L : x = 2 + s, y = 4 – s, z = 3 + 2s และ 2L : x = 1 – t, y = 9 + 3t, z = 2 + t จงแสดงวา 1L กบ 2L ไมตดกน วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P จดหนงซงอยทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนนคา 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการ 1L และ 2L เพราะฉะนน ตองม 0s และ 0t ทาใหสมการตอไปนเปนจรง
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=
−=
+=
s 3z
s 4y
s 2x
00
00
00
... (1)
และ
⎪⎭
⎪⎬⎫
+=
+=
+=
t 2z
3t 9 y
t 1x
00
00
00
... (2)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
53
จาก (1) กบ (2) เราได 2 + 0s = 1 – 0t 4 – 0s = 9 + 3 0t 3 + 2 0s = 2 + 0t หรอ 0s + 0t = –1 ... (3) – 0s – 3 0t = 5 ... (4) 2 0s – 0t = –1 ... (5) จาก (3) และ (4) หาคา 0s และ 0t จะได 0s = 1 และ 0t = –2
เมอได 0s = 1 และ 0t = –2 แลวตองตรวจสอบกบสมการทเหลอ ในทน คอสมการ (5) แทนคา 0s และ 0t ใน (5) ได 4 = –1 ซงเปนไปไมได แสดงวาไมมคา 0s และ 0t ททาใหคา
0x , 0y , 0z สอดคลองกบสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 1L ไมตดกบ 2L คาแนะนา การหาคา 0s และ 0t เลอกจากสมการ (3), (4), (5) กได เพราะฉะนนควรเลอกจากคของสมการทคดเลขงาย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
54
ตวอยาง 3.3.7 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน 1L : 2 – x = 3 – y = 2
1z − และ 2L : 3
x7 − = y = z – 1 จงพจารณาวา 1L และ 2L ตดกนหรอไม ถาตดกนจงหาจดตด วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P จดหนง ซงอยทงบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 2 – 0x = 3 – 0y = 2
1z0 − ... (1)
และ 3x7 0− = 0y = 0z – 1 ... (2)
จาก (1) เราได 2 – 0x = 3 – 0y หรอ – 0x + 0y = 1 ... (3) จาก (2) เราได 3
x7 0− = 0y หรอ 0x + 3 0y = 7 ... (4) จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y จะได 0x = 1 และ 0y = 2 ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ทไดตรวจสอบกบสมการทเหลอ วาไดคา z ตวเดยวกนหรอไม แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะไดคา 0z ทเทากนคอ 0z = 3 แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (1, 2, 3)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
55
3.3.4 มมระหวางเสนตรงสองเสน บทนยาม 3.3.2 มมระหวางเสนตรงสองเสน คอ มมระหวางเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสอง
รปท 3.3.4
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
56
ตวอยาง 3.3.8.1 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอกาหนด 1L : 2x – 1 = y = 3
z1− 2L : 4
x = y – 1 = z วธทา เสนตรง 1L มสมการเปน 2x – 1 = y = 3
z1−
หรอ 21
21x −
= 1y = 3
1z−−
เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (
21 , 1, –3)
จากสมการของ 2L จะไดวา เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (4, 1, 1) เพราะวา 1A ⋅ 2A = (
21 , 1, –3)⋅(4, 1, 1)
= 2 + 1 – 3 = 0 เพราะฉะนน 1A ตงฉากกบ 2A เพราะฉะนน มมระหวาง 1A กบ 2A คอ 2
π เพราะฉะนน มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L คอ 2
π
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
57
ตวอยาง 3.3.8.2 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอกาหนด 1L : x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s 2L : x = –3t, y = 2 + 4t, z = –1 + 5t วธทา เสนตรง 1L มสมการเปน x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s หรอ x = 2 + s, y = 1 + 2s, z = 2
1 + 2s เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 2) จากสมการของ 2L จะไดวา เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (–3, 4, 5) ให θ เปนมมระหวาง 1A กบ 2A cos θ = |||| |||| 21
21AA
AA ⋅
= 222222 54)3(221
)5,4,3()2,2,1(
++−++
−⋅
= )25(3
15
= 2
1 เพราะฉะนน θ = arccos(
21 ) = 4
π เพราะฉะนน มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 4
π
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
58
หมายเหต 1. ในกรณทมมระหวางเสนตรงสองเสน คอ 2
π เชน ตวอยาง 3.3.8 ขอ 1. เราจะกลาววา 1L ตงฉาก กบ 2L 2. ในตวอยาง 3.3.8 ขอ 2. ถาเราใชเวกเตอรแสดงทศทาง ของ 2L คอ 2A = (3, –4, –5) เราจะไดวา มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 4
3π โดยทวไป ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทาง ของเสน ตรง 1L กบ 2L แลว มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L กคอ θ หรอ π – θ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
59
ตวอยาง 3.3.9 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x – 1 = 2
3y−− = –z
พรอมทงหาจดตดดวย วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน x – 1 = 2
3y−− = –z
เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, –1) สมมตเสนตรงทงสองตดกนทจด M(a, b, c) ให 2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) ซงตดและตงฉากกบ 1L ทจด M(a, b, c) เพราะวา จด B และ M อยบน 2L เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ BM = M – B = (a – 1, b + 1, c – 2) เพราะวา 1L ตงฉากกบ 2L เพราะฉะนน 1A ⋅BM = 0 (1, – 2, –1) ⋅ (a – 1, b + 1, c – 2) = 0 (a – 1) – 2(b + 1) – (c – 2) = 0 a – 2b – c = 1 ... (1)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
60
เพราะวาจด M อยบน 1L เพราะฉะนน พกดของจด M ยอมสอดคลองกบสมการของ 1L เพราะฉะนน a – 1 = 2
3b−− = – c
จะไดวา a – 1 = – c และ 23b
−− = – c
หรอ a = 1 – c และ b = 2c + 3 ... (2) แทนคา a, b ใน (1) ได (1 – c) – 2(2c + 3) – c = 1 –5 – 6c = 1 c = –1 แทนคา c ใน (2) ได a = 2 และ b = 1 เพราะฉะนน พกดของจดตดคอ (2, 1, –1)
2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2) และมเวกเตอรแสดงทศทาง BM = (1, 2, – 3) เพราะฉะนนเสนตรง 2L มสมการเปน x – 1 = 2
1y + = 32z
−−
หมายเหต ตวอยาง 3.3.9 อาจจะทาไดอกวธหนง เพราะวาจด M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง 1L เพราะฉะนน เราสามารถหาจด M ไดโดยใชสตร M = 0P + [ 2
0|||| A
A)PB( ⋅− ]A
และ หาสมการของ 2L ทผานจด B และ M ได
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
61
3.3.5 การขนานกนของเสนตรง เสนตรงสองเสนจะขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงทงสองขนานกน ตวอยาง 3.3.10 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด (2, 1, –2) และขนานกบเสนตรงทมสมการเปน x + 1 = 4
1y2 − = 3z4 −
วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน x + 1 = 4
1y2 − = 3z4 −
หรอ 11x + = 2
21y −
= 34z
−−
เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, –3) ให 2L เปนเสนตรงทผานจด (2, 1, –2) และขนานกบ 1L เพราะวา 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ขนานกบ 1A แสดงวา 1A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ดวย เพราะฉะนน 2L มสมการเปน x – 2 = 2
1y − = 32z
−+
หมายเหต 1. ถา เสนตรงสองเสนใน 3R ไมขนานกน แลว เสนตรงทงสองไมจาเปนตองตดกน เชน ในตวอยาง 3.3.6 2. มมระหวางเสนตรงทขนานกน คอ 0 หรอ π
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
62
3.3.6 การไขวตางระนาบของเสนตรง เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ กตอเมอ เราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยในระนาบเดยวกนได การจะพจารณาวาเสนตรงใดๆ สองเสนเปนเสนไขวตางระนาบหรอไม ทาไดโดยแสดงใหเหนวาเสนตรงทงสอง ไมตดกน และ ไมขนานกน
รปท 3.3.5
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
63
ตวอยาง 3.3.11.1 จงพจารณาวาเสนตรง 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน 1L : 2x – 1 = 2 – y = 3z 2L : 3
x2 − = 6y = 2
z1− วธทา จากสมการของ 1L 2x – 1 = 2 – y = 3z
หรอ 21
21x −
= 12y
−− =
31z
จะไดวา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (21 , –1, 3
1) จากสมการของ 2L 3
x2 − = 6y = 2
z1− หรอ 3
2x−− = 6
y = 21z
−−
จะไดวา 2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 6, –2) จะเหนวา 2A = –6 1A แสดงวา 1A ขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนน 1L และ 2L ไมเปนเสนไขวตางระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
64
ตวอยาง 3.3.11.2 จงพจารณาวา 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน 1L : x = 2
y = z – 1 และ 2L : 21x + = y – 1 = 3
2z + วธทา เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 1) เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (2, 1, 3) เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P อยบน 1L และ 2L ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z สอดคลองทงสมการของ 1L และ 2L เพราะฉะนน 0x = 2
y0 = 0z – 1 ... (1)
และ 21x0 + = 0y – 1 = 3
2z0 + ... (2)
จาก (1) ; 0x = 2y0 หรอ 2 0x – 0y = 0 ... (3)
จาก (2) ; 21x0 + = 0y – 1 หรอ 0x – 2 0y = –3 ... (4)
จาก (3) และ (4) จะได 0x = 1 และ 0y = 2 ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ตรวจสอบวาใหคา z เดยวกนหรอไม แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะได 0z = 2 และ 0z = 1 ตามลาดบ ซงเปนไปไมได แสดงวา 1L ไมตดกบ 2L เพราะฉะนน 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
65
3.3.7 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน บทนยาม 3.3.3 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน คอ ระยะทางทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง ในการหาระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน จะพจารณาโดยการแยกเปน 2 กรณ คอ 1. เสนตรงทงสองขนานกน 2. เสนตรงทงสองไมขนานกน ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน ให 1L และ 2L เปนเสนตรงสองเสนทขนานกน ซงผานจด 1P และ 2P ตามลาดบ ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L คอ ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L หรอระยะทางจากจด 2P ไปยง 1L
รปท 3.3.6
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
66
ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน ให 1L และ 2L เปนเสนตรงทไมขนานกน โดยท 1L ผานจด 1P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A และ 2L ผานจด 2P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A
รปท 3.3.7 ให 1Q และ 2Q เปนจดปลายของสวนของเสนตรงทตงฉาก กบ 1L และ 2L โดยท 1Q อยบน 1L และ 2Q อยบน 2L จะไดวา || 21QQ || เปนระยะทางระหวาง 1L กบ 2L เพราะวา 1L ไมขนานกบ 2L เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1A × 2A ≠ O เพราะวา 21QQ ตงฉากกบทง 1A และ 2A เพราะฉะนน 21QQ ขนานกบ 1A × 2A
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
67
รปท 3.3.7 จากรปท 3.3.7 || 21QQ || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 21PP บน 1A × 2A เพราะฉะนน
ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||
21
2121AA
)AA(PP×
×⋅
หมายเหต ในกรณท 1L ตดกบ 2L จะไดวา ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L เปนศนย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
68
ตวอยาง 3.3.12.1 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1L กบ 2L เมอ 1L และ 2L มสมการเปน
1L : x = 1 + s, y = 2 – 2s, z = –1 + 2s 2L : x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = –2t วธทา
1L ผานจด 1P (1, 2, –1) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, 2)
2L ผานจด 2P (2, 1, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–1, 2, –2) เพราะฉะนน 1A = – 2A เพราะฉะนน 1A ขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L
= ||||||||
2
212A
APP ×
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
69
12PP = 1P – 2P = (1, 2, –1) – (2, 1, 0) = (–1, 1, –1) 12PP × 2A
= 221111k ji
−−−−
= 221 1 −
− i – 211 1 −−
−− j + 2111 −
− k = (–2 + 2) i – (2 – 1) j + (–2 + 1)k = – j – k || 12PP × 2A || = 22 )1()1( −+− = 2 || 2A || = 222 )2(2)1( −++− = 9 = 3 เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L
= ||||||||
2
212A
APP ×
= 32 หนวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
70
ตวอยาง 3.3.12.2 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง 1L : 2
1x − = – y = 2z
− และ 2L : 3
x−
= 21y − = z
วธทา 1L ผานจด 1P (1, 0, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (2, –1, –2)
2L ผานจด 2P (0, 1, 0) และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 2, 1) เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L
แสดงวา ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||
21
2121AA
)AA(PP×
×⋅
21PP = 2P – 1P = (0, 1, 0) – (1, 0, 0) = (–1, 1, 0)
1A × 2A = 1 2 3212 k j i
−
−−
= 1 2 21 −− i – 1 3
22 −− j + 2 3
12 −− k
= (–1 + 4) i – (2 – 6) j + (4 – 3)k = 3 i + 4 j + k
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
71
|| 1A × 2A || = 222 143 ++ = 26 | 21PP ⋅( 1A × 2A ) | = | (–1, 1, 0)⋅(3, 4, 1) | = | –3 + 4 + 0 | = 1 เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L มคา
= ||||||
21
2121AA
)AA(PP×
×⋅
= 261 หนวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
72
03.4 ระนาบใน 3R 3.4.1 สมการของระนาบ บทนยาม 3.4.1 ให 0P เปนจดใน 3R และ N ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให PP0 ตงฉากกบ N วา ระนาบทผานจด 0P และตงฉากกบเวกเตอร N และเรยก N วา เวกเตอรแนวฉาก ของระนาบ
รปท 3.4.1 รปท 3.4.1 แสดงกราฟของระนาบทผานจด 0P และตงฉากกบเวกเตอร N ขอสงเกต ถา N เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M แลว เวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยซงขนานกบ N เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M ดวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
73
การหาสมการของระนาบ M ซงผานจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) และม N(a, b, c) เปนเวกเตอรแนวฉาก ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบ M เพราะฉะนน PP0 ตงฉากกบ N เพราะฉะนน PP0 ⋅N = 0 (P – 0P )⋅N = 0 ... (3.4.1) P ⋅N = 0P ⋅N ((x, y, z) – ( 0x , 0y , 0z ))⋅(a, b, c) = 0 ... (3.4.2) เราเรยกสมการ (3.4.1) หรอ (3.4.2) วา สมการเวกเตอร ของระนาบ M จากสมการ (3.4.2) เราจะได (x – 0x , y – 0y , z – 0z )⋅(a, b, c) = 0 a(x – 0x ) + b(y – 0y ) + c(z – 0z ) = 0 ... (3.4.3) ax + by + cz = a 0x + b 0y + c 0z ax + by + cz = d ... (3.4.4) เมอ d = a 0x + b 0y + c 0z = 0P ⋅N เราจะเรยกสมการ (3.4.3) หรอ (3.4.4) วา สมการคารทเซยน ของระนาบ M ขอสงเกต สมประสทธของ x, y, z ในสมการ (3.4.4) คอ สวนประกอบของเวกเตอรแนวฉากของระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
74
ตวอยาง 3.4.1 จงหาสมการเวกเตอรและสมการคารทเซยนของระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบน M สมการเวกเตอรของระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3) คอ (P – 0P )⋅N = 0 หรอ ((x, y, z) – (1, 2, –3))⋅(2, –1, 3) = 0 และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ 2(x – 1) – (y – 2) + 3(z + 3) = 0 หรอ 2x – y + 3z = –9
ขอตกลง โดยทวไปแลวเมอกลาวถงสมการของระนาบ เราจะหมายถงสมการคารทเซยนของระนาบในรป ax + by + cz = d
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
75
ตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการของระนาบ M ผานจด 0P (1, –2, 3), 1P (2, 1, 1) และ 2P (2, –2, 2) วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบ M เพราะวา 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ M เพราะฉะนน 10PP และ 20PP ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน 10PP × 20PP ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน N ขนานกบ 10PP × 20PP
10PP × 20PP = ( 1P – 0P ) × ( 2P – 0P ) = (1, 3, –2) × (1, 0, –1)
= 1 01231k ji
−−
= 1023 −
− i – 1121 −
− j + 0131 k
= –3 i – j – 3k เลอก N = (–3, –1, –3) เพราะวาระนาบผานจด 0P (1, –2, 3) เพราะฉะนน ระนาบมสมการเปน –3(x – 1) – (y + 2) – 3(z – 3) = 0 หรอ 3x + y + 3z = 10
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
76
3.4.2 การเขยนกราฟของระนาบ กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 0 คอระนาบ XY
รปท 3.4.2 กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 4 เปนระนาบทขนานกบระนาบ XY และ ผานจด P(0, 0, 4)
รปท 3.4.3
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
77
ตวอยาง 3.4.3 จงเขยนกราฟของระนาบ 2x + y + 3z = 6 ในอฐภาคท 1 วธทา หาจดตดของระนาบกบแกนพกดฉากทงสาม แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 3 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ A(3, 0, 0) แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 6 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ B(0, 6, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 2 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Z คอ C(0, 0, 2) โยงจด 3 จดทเกดจากแกนพกดฉากตดกบระนาบ จะไดรปสามเหลยมรปหนงซงเปนสวนหนงของระนาบทตองการ
รปท 3.4.4
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
78
ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบ x – y + 2z = 0 วธทา แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได z = 0 แสดงวาระนาบผานจดกาเนด พจารณารอยตดของระนาบนกบระนาบ XY , YZ เราจะไดวา ระนาบนตดระนาบ XY (คอระนาบ z = 0) ตามแนวเสนตรง x – y = 0, z = 0 และ ตดกบระนาบ YZ (คอระนาบ x = 0) ตามแนวเสนตรง –y + 2z = 0, x = 0 เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอ ระนาบทผานเสนตรงทงสองน
รปท 3.4.5
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
79
ตวอยาง 3.4.5 จงเขยนกราฟของระนาบ x + 2y = 2 วธทา แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 2 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ (2, 0, 0) แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 1 เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ (0, 1, 0) แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได 0 = 2 ซงเปนไปไมได แสดงวา ระนาบไมตดกบแกน Z พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง x + 2y = 2, z = 0 ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง x = 2, y = 0 ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง y = 1, x = 0 เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอระนาบทผานเสนตรงทงสามน
รปท 3.4.6
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
80
3.4.3 จดกบระนาบ จดใดๆ จะอยบนระนาบ กตอเมอ พกดของจดนนสอดคลองกบสมการของระนาบ
ตวอยางท 3.4.6 จงพจารณาวา จด P(1, 2, –1) และ Q(2, 3, 1) อยบนระนาบทมสมการเปน x – 2y – 4z = 1 หรอไม วธทา แทน x = 1, y = 2, z = –1 ในสมการของระนาบ จะได 1 – 2(2) – 4(–1) = 1 1 = 1 ซงเปนจรง แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของระนาบ เพราะฉะนนจด P อยบนระนาบ แทน x = 2, y = 3, z = 1 ในสมการของระนาบ จะได 2 – 2(3) – 4(1) = 1 –8 = 1 ซงไมเปนจรง แสดงวาพกดของจด Q ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ เพราะฉะนน จด Q ไมอยบนระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
81
ตวอยาง 3.4.7 จงพจารณาวา 0P (1, 2, –1), 1P (2, 0, 1), 2P (3, 4, 1) และ 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม วธทา ให M เปนระนาบทผานจด 0P , 1P และ 2P 10PP = 1P – 0P = (2, 0, 1) – (1, 2, –1) = (1, –2, 2) 20PP = 2P – 0P = (3, 4, 1) – (1, 2, –1) = (2, 2, 2) เพราะวา 10PP × 20PP
= 22 2221kj i
−
= 22 22 − i – 22
21 j + 2 221 − k
= –8 i + 2 j + 6k เพราะฉะนน M เปนระนาบทผานจด 0P และมเวกเตอรแนวฉาก 10PP × 20PP สมการระนาบ M จะมสมการเปน –8(x – 1) + 2(y – 2) + 6(z + 1) = 0 –8x + 2y + 6z = –10 4x – y – 3z = 5
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
82
การตรวจสอบวา 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบ M แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ M จะได 4(1) – 2 – 3(3) = 5 –7 = 5 ซงไมเปนจรง แสดงวาพกดของ 3P ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ M เพราะฉะนนจด 3P ไมอยบนระนาบ M สรป จด 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน หมายเหต 1. ถา 30PP ⋅( 10PP × 20PP ) ≠ 0 แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน
2. ถา PPPPPP
30
20
10 ≠ 0
แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
83
ถาจดไมอยบนระนาบ เราหา ระยะทางระหวางจดกบระนาบ ได โดยเรานยาม ระยะทางระหวางจดกบระนาบ วา คอ ระยะทางตงฉากจากจดไปยงระนาบ
ให M : ax + by + cz = d และ 1P ( 1x , 1y , 1z ) เปนระนาบทมสมการเวกเตอรเปน (P – 1P )⋅N = 0 เพราะฉะนน M เปนระนาบทผาน 1P ม N เปนเวกเตอรแนวฉาก ให 0P เปนจดทมไดอยบนระนาบ M การลากเสนตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M เราใชเวกเตอรแนวฉากของระนาบเปนหลกในการลากเสนตงฉาก กลาวคอ ลากเสนตรงผานจด 0P ขนานกบ N พบกบระนาบ M ทจด Q เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
84
ระยะทางตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M คอ || QP0 || ซงคอระยะทางจากจด 0P ไปยงระนาบ M (จด Q จะเปนจดบนระนาบ M ซงอยใกลจด 0P มากทสด) รปท 3.4.7 (ก) รปท 3.4.7 (ข) จากรปท 3.4.7 (ข) จะไดวา || QP0 || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 01PP บน N
= ||||||
NNPP 01 ⋅
= ||||||
NN)PP( 10 ⋅−
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
85
เพราะวา M เปนระนาบทมสมการเปน ax + by + cz = d ซงผานจด 1P ( 1x , 1y , 1z ) เพราะฉะนน a 1x + b 1y + c 1z = d ... (1) และระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (a, b, c) ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทไมไดอยบนระนาบ M เราจะไดวา || QP0 || = ||||
||N
N)PP( 10 ⋅−
= 222101010
cba
)c ,b ,a()zz ,yy ,xx( || ++
⋅−−−
= 222
111000
cba
)czbyax(czbyax || ++
++−++
= 222
000
cba
dczbyax ||
++
−++ (จาก (1))
เพราะฉะนน ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) กบระนาบ M คอ
D = 222
000
cba
dczbyax
++
−++
หมายเหต ในกรณทจด 0P อยบนระนาบ M ระยะทางระหวางจด 0P กบระนาบ M เปนศนย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
86
ตวอยาง 3.4.8 จงหาระยะทางระหวาง จด 0P (4, 3, –1) กบระนาบ 2x – y – 2z = 1 วธทา ให D เปนระยะทางระหวางจด 0P (4, 3, –1) กบระนาบ 2x – y – 2z = 1 เพราะฉะนน D =
222 )2()1(2
|1)1(23)4(2|
−+−+
−−−−
= 36
= 2 หนวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
87
ตวอยาง 3.4.9 จงหาจดบนระนาบ M : 2x + y – 3z = –10 ซงอยใกลจด 0P (4, 2, 2) มากทสด วธทา ระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –3) ให Q( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทตองการ เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N เพราะฉะนน ม t ∈ R ททาให QP0 = tN Q – 0P = tN ( 0x , 0y , 0z ) – (4, 2, 2) = t(2, 1, –3) ( 0x – 4, 0y – 2, 0z – 2) = (2t, t, –3t) จะได 0x – 4 = 2t, 0y – 2 = t, 0z – 2 = –3t หรอ 0x = 4 + 2t, 0y = 2 + t, 0z = 2 – 3t ... (1) การหาคา t เพราะวา Q( 0x , 0y , 0z ) อยบนระนาบ 2x + y – 3z = –10 เพราะฉะนน 2 0x + 0y – 3 0z = –10 ... (2) จาก (1) แทนคา 0x , 0y , 0z ใน (2) จะได 2(4 + 2t) + (2 + t) – 3(2 – 3t) = –10 14t = –14 t = –1 แทนคา t = –1 ใน (1) จะได 0x = 2, 0y = 1, 0z = 5 เพราะฉะนน จดทตองการคอ (2, 1, 5)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
88
3.4.4 ความสมพนธระหวางเสนตรงกบระนาบ เสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 กรณ ดงน 1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนเพยงจดเดยว ในกรณนเรากลาววา เสนตรงตดกบระนาบ และ เรยกจดรวมกนนวา จดตด ดงรปท 3.4.8 2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด ในกรณน เสนตรงยอมตองอยในระนาบทงเสน ดงรปท 3.4.9 3. เสนตรงกบระนาบไมมจดรวมกนเลย ดงรปท 3.4.10 รปท 3.4.8 รปท 3.4.9 รปท 3.4.10 หากเสนตรงกบระนาบมความสมพนธกนในกรณท 2 หรอ 3 เรากลาววา เสนตรงขนานกบระนาบ หมายเหต เสนตรงจะขนานกบระนาบ กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
89
ตวอยาง 3.4.10.1 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม เสนตรง L : P = (1, 2, 3) + t(2, 1, –3) กบ ระนาบ M : x + 4y + 2z = 5 วธทา ให Q มพกดเปน (1, 2, 3) เสนตรง L ผานจด Q(1, 2, 3) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (2, 1, –3) จากสมการของระนาบ M จะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (1, 4, 2) เพราะวา A ⋅N = (2, 1, –3)⋅(1, 4, 2) = 2(1) + 1(4) – 3(2) = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ จะได 1 + 4(2) + 2(3) = 5 15 = 5 ซงไมเปนจรง แสดงวาจด Q ไมอยบนระนาบ แสดงวา เสนตรงขนานกบระนาบแตไมอยในระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
90
ตวอยาง 3.4.10.2 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบทกาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม เสนตรง L : x – 1 = 2
3y + = z กบ ระนาบ M : 2x – y + z = 7 วธทา ให Q มพกดเปน (1, –3, 0) เสนตรง L ผานจด Q(1, –3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 2, 1) M : 2x – y + z = 7 มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 1) เพราะวา A ⋅N = (1, 2, 1)⋅(2, –1, 1) = 1(2) + 2(–1) + 1(1) = 1 ≠ 0 เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ เพราะฉะนน เสนตรงตดกบระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
91
ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรงกบระนาบ เพราะฉะนน พกดของจด 0P ตองสอดคลองกบสมการของเสนตรง L และสมการของระนาบ M เพราะฉะนน 0x – 1 = 2
3y0 + = 0z ... (1) และ 2 0x – 0y + 0z = 7 ... (2) จาก (1) เราได 0y = 2 0x – 5 และ 0z = 0x – 1 ... (3) แทน (3) ใน (2) ได 2 0x – (2 0x – 5) + ( 0x – 1) = 7 0x + 4 = 7 0x = 3 แทนคา 0x = 3 ใน (3) ได 0y = 1 และ 0z = 2 เพราะฉะนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (3, 1, 2)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
92
ตวอยาง 3.4.11 กาหนดเสนตรง L : x = y – 1 = 2z
และจด Q(1, 3, –1) ซงมไดอยบนเสนตรง L จงหาสมการของระนาบ M ทผานเสนตรง L และจด Q วธทา L ผานจด 0P (0, 1, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 1, 2) จด Q ไมอยบน L เราจะหาสมการของระนาบทผาน L และจด Q การหาเวกเตอรแนวฉาก N ของระนาบ M
รปท 3.4.11 เพราะวา L อยในระนาบ เพราะฉะนน L ขนานกบระนาบ M เพราะฉะนน A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะวาจด 0P และ Q อยบนระนาบ เพราะฉะนน QP0 ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน A × QP0 ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนน N = A × QP0 เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
93
QP0 = Q – 0P = (1, 3, –1) – (0, 1, 0) = (1, 2, –1) N = A × QP0
= 1212 11k ji
−
= 122 1 − i – 11
2 1 − j + 2111 k
= –5 i + 3 j + k ระนาบ M ผานจด Q(1, 3, –1) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (–5, 3, 1) มสมการเปน –5(x – 1) + 3(y – 3) + (z + 1) = 0 หรอ –5x + 3y + z = 3
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
94
ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด Q(2, –3, 1) และขนานกบเสนตรง 1L : x – 1 = 2
y = z และ 2L : 2
x = y = 3z
วธทา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, 1) 2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (2, 1, 3) เพราะวา 1L และ 2L ขนานกบระนาบ เพราะฉะนน 1A และ 2A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ แสดงวา 1A × 2A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ เราจะไดวา N = 1A × 2A เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอรหนงของระนาบ
N = 312121kji
= 3112 i – 32
11 j + 1221 k
= 5 i – j – 3k เพราะฉะนน ระนาบ M ผานจด Q(2, –3, 1) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (5, –1, –3) มสมการเปน 5(x – 2) – (y + 3) – 3(z – 1) = 0 หรอ 5x – y – 3z = 10
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
95
บทนยาม 3.4.2 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ทามม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เราจะกลาววา มมระหวางเสนตรง L กบระนาบ M คอ | 2
π – θ |
รปท 3.4.12 หมายเหต 1. ถา มมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 0 แลว เสนตรงขนานกบระนาบ 2. ถามมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 2
π แลว เสนตรงตงฉากกบระนาบ
เพราะฉะนน เสนตรงตงฉากกบระนาบ กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
96
ตวอยาง 3.4.13 จงหามมระหวาง เสนตรง 5
x = 21y
−− = 5
z กบระนาบ 2x + y – 7z = 1 วธทา เสนตรงมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (5, –2, 5) และระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –7) ให θ เปนมมระหวาง A กบ N cos θ = |||| |||| NA
NA ⋅
= 222222 )7(125)2(5
)7,1,2()5,2,5(
−+++−+
−⋅−
= 545435210 −−
= –5427
= – 21
เพราะฉะนน θ = arccos(– 21) = 3
2π เพราะฉะนน มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ | 2
π – 32π | = 6
π
จาไดกด –1 ≤ x ≤ 1 – 2
π ≤ arcsin x ≤ 2π
0 ≤ arccos x ≤ π arcsin(–x) = – arcsin x arccos(–x) = π – arccos x
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
97
ตวอยาง 3.4.14 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด Q(3, –6, 3) และตงฉากกบเสนตรง L L : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1) พรอมทงหาจดตดของเสนตรงกบระนาบ วธทา เสนตรง L มเวกเตอรแสดงทศทาง A = (3, –1, 1) เพราะวาเสนตรง L ตงฉากกบระนาบ M เพราะฉะนน A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ เพราะฉะนน A เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M เพราะฉะนนระนาบ M ผานจด Q(3, –6, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก A = (3, –1, 1) มสมการเปน 3(x – 3) – (y + 6) + (z – 3) = 0 หรอ 3x – y + z = 18
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
98
ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรง L กบระนาบ M เพราะฉะนน จดนยอมสอดคลองกบสมการเสนตรง L และสมการของระนาบ M เราจงไดวาม t ∈ R ซง ( 0x , 0y , 0z ) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1) ... (1) และ 3 0x – 0y + 0z = 18 ... (2)
จาก (1) เราได ⎪⎭
⎪⎬
⎫
+=
−=
+=
t1 zt y
t32 x
0
0
0
... (3)
แทน (3) ใน (2) ได 3(2 + 3t) – (–t) + (1 + t) = 18 11t + 7 = 18 t = 1 แทนคา t = 1 ใน (3) จะไดจดตดคอ (5, –1, 2)
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
99
บทนยาม ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ ระยะทางตงฉากระหวางเสนตรงกบระนาบ ในกรณทเสนตรงตดกบระนาบ ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบจะเปนศนย ในกรณทเสนตรงขนานกบระนาบ ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ ระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนเสนตรงกบระนาบ
ตวอยาง 3.4.15 จงหาระยะทางระหวาง เสนตรง 2
1x − = y = 32z + กบระนาบ x + y – z = 9
วธทา เสนตรงผานจด Q(1, 0, – 2) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (2, 1, 3) ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (1, 1, –1) เพราะวา A ⋅N = (2, 1, 3)⋅(1, 1, –1) = 2 + 1 – 3 = 0 เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ เพราะฉะนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบกคอ ระยะทางระหวางจด Q กบระนาบซงเทากบ
222 )1(11
|9)2(01|
−++
−−−+ = 3
|6| − = 2 3 หนวย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
100
3.4.5 การขนานกนของระนาบ ระนาบสองระนาบขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกน ตวอยาง 3.4.16 จงหาสมการของระนาบ 1M ซงขนานกบระนาบ 2M : 2x – 3y + 4z = 1 และผานจด (1, –2, 3) วธทา
2M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4) เพราะวา 1M ขนานกบ 2M เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากของ 1M ขนานกบ N เพราะฉะนน N เปนเวกเตอรแนวฉากของ 1M เพราะฉะนน 1M เปนระนาบทผานจด (1, – 2, 3) และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4) มสมการเปน 2(x – 1) – 3(y + 2) + 4(z – 3) = 0 หรอ 2x – 3y + 4z = 20
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
101
หมายเหต สมการของระนาบทขนานกบระนาบ ax + by + cz = 1d เราจะเขยนไดในรป ax + by + cz = 2d
ขอสงเกต เราอาจหาสมการของ 1M ในตวอยาง 3.4.16 ไดดงน เพราะวา 1M ขนานกบ 2M เพราะฉะนน 1M มสมการเปน 2x – 3y + 4z = d เพราะวา 1M ผานจด (1, –2, 3) เพราะฉะนน 2(1) – 3(–2) + 4(3) = d เพราะฉะนน d = 20 เพราะฉะนน สมการของระนาบ 1M คอ 2x – 3y + 4z = 20
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
102
ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ การหา ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ ซงกคอ ระยะทางตงฉากระหวางระนาบทงสอง ระยะทางระหวางระนาบทขนานกน คอ การหาระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนระนาบหนงกบอกระนาบหนง
ให 1M และ 2M เปนระนาบทขนานกน โดยท 1M มสมการเปน ax + by + cz = 1d และ 2M มสมการเปน ax + by + cz = 2d ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดใน 1M และ D เปนระยะทางระหวาง 1M กบ 2M D = ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) กบระนาบ 2M =
2222000
cba
dczbyax ||++
−++
เพราะวา 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบน 1M เพราะฉะนน a 0x + b 0y + c 0z = 1d เพราะฉะนน D =
22221
cba
dd ||++
−
เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1M กบ 2M = 222
21
cba
dd ||++
−
หมายเหต ในกรณทระนาบสองระนาบไมขนานกน เราจะไดวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเปนศนย
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
103
ตวอยาง 3.4.17 จงหาระยะทางระหวางระนาบ x – 2y + 2z = 1 กบระนาบ x – 2y + 2z = 7 วธทา เพราะวา ระนาบ x – 2y + 2z = 1 และ x – 2y + 2z = 7 มเวกเตอรแนวฉากเหมอนกน คอ (1, –2, 2) เพราะฉะนน ระนาบทงสองขนานกน ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง เพราะฉะนน D =
22221
cba
dd ||++
−
= 222 2)2(1
71 ||+−+
−
= 36
= 2 หนวย จาไดกด A = ( 1a , 2a , ... , na ), B = ( 1b , 2b , ... , nb ) A ขนานกบ B กตอเมอ 1a : 1b = 2a : 2b = ... = na : nb เพราะฉะนน ถา ม ia : ib ≠ ja : jb แลว A ไมขนานกบ B
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
104
ตวอยาง 3.4.18 จงหาสมการของระนาบทขนานกบ ระนาบ x + 2 y – z = 1 และระยะทางระหวางระนาบเทากบ 3 หนวย วธทา เพราะวาระนาบทตองการขนานกบระนาบ x + 2 y – z = 1 เพราะฉะนน ระนาบทตองการมสมการเปน x + 2 y – z = d เพราะวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 3 หนวย เพราะฉะนน 3 =
222 )1()2(1
1d ||−++
−
จะไดวา | d – 1 | = 6 เพราะฉะนน d = 7, – 5 แสดงวา ระนาบทตองการมสมการเปน x + 2 y – z = 7 หรอ x + 2 y – z = –5
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
105
3.4.6 การตดกนของระนาบ ระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน การพจารณาวาระนาบคใดๆ ตดกนหรอไม จงทาไดโดยการพจารณาวา เวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสองขนานกนหรอไม ในกรณทระนาบตดกน รอยตดยอมเปนเสนตรง
รปท 3.4.13
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
106
ตวอยาง 3.4.19 กาหนดสมการของระนาบ 1M กบ 2M 1M : 2x – y + z = 1 2M : x + y – 2z = 5 จงพจารณาวา ระนาบทงสองตดกนหรอไม ถาตดกน จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทเปนรอยตดนน วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, –1, 1) 2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (1, 1, –2) เพราะวา 1
2 ≠ 11−
เพราะฉะนน 1N ไมขนานกน 2N เพราะฉะนน 1M ตดกบ 2M ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ 1M กบ 2M เพราะวา L อยใน 1M และ 2M เพราะฉะนน L ขนานกบ 1M และ 2M แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L เพราะฉะนน 1N × 2N ขนานกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L เพราะฉะนน A = 1N × 2N เปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
107
และ A = 21 11 12k j i
−
−
= 21 1 1 −
− i – 211 2 − j + 1 1
12 − k = i + 5 j + 3k แทนคา z = 0 ในสมการของ 1M และ 2M จะได 2x – y = 1 ... (1) และ x + y = 5 ... (2) (1) + (2) ได 3x = 6 x = 2 แทนคา x = 2 ใน (2) ได y = 3 แสดงวา จด (2, 3, 0) อยบน 1M และ 2M เพราะฉะนน จด (2, 3, 0) อยบน L เพราะฉะนน L เปนเสนตรงทผานจด (2, 3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 5, 3) มสมการสมมาตรเปน x – 2 = 5
3y − = 3z
บทท 3 ปรภมสามมต
ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559
108
3.4.7 มมระหวางระนาบสองระนาบ บทนยาม 3.4.3 มมระหวางระนาบสองระนาบ คอ มมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง
ตวอยาง 3.4.20 จงหามมระหวางระนาบ 1M : 2x + y + 2z = 0 กบ 2M : 5x – 3y + 4z = 1
วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, 1, 2) และ 2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (5, –3, 4) ให θ เปนมมระหวาง 1N กบ 2N cos θ = |||| |||| 21
21NN
NN ⋅
= 222222 4)3(5212
)4,3,5()2,1,2(
+−+++
−⋅
= )25)(3(
15 = 2
1
เพราะฉะนน θ = arccos(2
1 ) = 4π
เพราะฉะนน มมระหวาง 1M กบ 2M คอ 4π
หมายเหต 1. ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของสองระนาบ แลว มมระหวางระนาบสองระนาบคอ θ หรอ π – θ 2. ถา มมระหวางระนาบสองระนาบคอ 2
π แลว ระนาบทงสอง ตงฉาก กน 3. มมระหวางระนาบทขนานกน คอ 0 หรอ π