x y พ้ืนผิวในปร ิภูมิสามมิติ x2 y2pioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_01_4in1.pdf · บทที่ 1 พ้ืนผิวในปร

บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต

2301207 Calculus III 2561/1st

1 - 1

บทท 1

พ นผวในปรภมสามมต

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย




1 - 2

ทบทวนความร ม. ปลาย ปรภมสองมต 3x + 4y = 12 มกราฟเปนเสนตรง y = 2x มกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 16 มกราฟเปนวงกลม

4x2 + 25

y2 = 1 มกราฟเปนวงร

16x2 - 25

y2 = 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ทบทวนความร CALCULUS II ปรภมสามมต (x, y, z) = (1, 2, 3) + (4, 2, 7)t มกราฟเปนเสนตรง 2x + 3y + 6z = 24 มกราฟเปนระนาบ



1 - 3

พนผวทรงกลม

Program : GeoGebra

Program : Maxima



1 - 4

พนผวอานมา ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด Hyperbolic paraboloid

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 5

พนผวอลลปตกพาราโบลอยด, Elliptics paraboloid, Paraboloid

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 6

พนผว Cone, กรวย, กรวยอลลปตก

Program : GeoGebra

Program : Matlab



1 - 7

พนผวอลลปซอยด, ellipsoid

Program : Maxima

Program : GeoGebra Online



1 - 8

พนผวทรงกระบอก

Program : Maxima

Program : GeoGebra Onlin



1 - 9

พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว elliptic hyperboloid of one sheet

Program : Matlab




1 - 10

พนผวอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนด 2 ชน elliptic hyperboloid of 2 sheet

Program : Matlab




1 - 11

บทนยามของพ นผว พนผว คอ เซตของจด (x, y, z) ซงสอดคลองสมการ F(x, y, z) = 0 เมอ F เปนฟงกชนตอเนอง

ตวอยาง 2x + 3y + 6z = 24 เปน พ นผว ชนดหนง F(x, y, z) = 2x + 3y + 6z - 24 = 0

ในบทนเราเรยนเกยวกบสมการในรปสมการกาลงสอง ซงมรปทวไปเปน A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน

ตวอยาง 2x + 3y + 6z = 24 เปนพนผว ระนาบ

2x + 2y + 2z - 25 = 0 เปนพนผว ทรงกลม 2x + 2y + 2z - 2x + 4y + 6z - 13 = 0

เปนพนผว ทรงกลม



1 - 12

1.2 พ นผวทเกดจากการหมน หมายถง พนผวทเกดจากการหมน เสนโคง ทกาหนดใหในระนาบรอบเสนตรงทกาหนดใหซงอยในระนาบเดยวกนกบเสนโคง โดยจะเรยกเสนตรงทกาหนดให วา แกนหมน ตวอยาง 1. ทรงกระบอกกลม เกดจากการหมนเสนตรง รอบเสนตรงทขนานกน 2. กรวยกลม เกดจากการหมนเสนตรงรอบเสนตรงทตดกน 3. ทรงกลม เกดจากการหมนครงวงกลมรอบเสนผานศนยกลาง



1 - 13

การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน

รปท 1.2.2 ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน

ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z)

ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข 1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C



1 - 14

ตวอยาง 1 จงหาสมการพนผวทเกดจากการหมน เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c) รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c) แบบท 1 ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจากการหมน ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P และตงฉากกบเสนตรง L ซงเปนแกนหมน ทจด Q และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ขนท 3. หาความสมพนธของ x, y, z ใชเงอนไข 1. QP = 'QP 2. จด P(x, y, z) เปนจดบนเสนโคง C ตองสอดคลองสมการของเสนโคง C



1 - 15

จาก (1) จะได QP = 'QP (x, y, z) – (x, b, c) = (x', y', z') – (x, b, c) เพราะวา P, P' อยบนระนาบ M เดยวกน เพราะฉะนน x' = x (x, y, z) – (x, b, c) = (x, y', z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน y' = f(x') = f(x) (x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), z') – (x, b, c) เพราะวา P' อยบนระนาบ z = c เพราะฉะนน z' = c (x, y, z) – (x, b, c) = (x, f(x), c) – (x, b, c) (0, y – b, z – c) = (0, f(x) – b, 0)

(0, y – b, z – c) 2 = (0, f(x) – b, 0) 2 เพราะฉะนนสมการพนผวคอ

2(y b) + 2(z c) = 2(f (x) b)



1 - 16

แบบท 2 เสนโคง y = f(x), z = c (บนระนาบ z = c) รอบเสนตรง y = b, z = c (บนระนาบ z = c) รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ a เปนจานวนจรงใด ๆ พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด (a, b, c) และมรศม = f(a) – b จงมสมการเปน 2(y b) + 2(z c) = 2(f (a) b) , x = a เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ เพราะฉะนนสมการพนผวคอ

2(y b) + 2(z c) = 2(f (x) b)



1 - 17

ตวอยาง 1.2.1 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0 รอบแกน Z วธทา

รปท 1.2.3 กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคงพาราโบลา z = 2y , x = 0 และ แกนหมนคอ แกน Z

การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก การหมนเสนโคง C รอบแกน Z

ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P และตงฉากกบแกน Z ทจด Q และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกดเปน (0, 0, z) และ z = z และ x = 0 เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z)



1 - 18

ขนท 3.

เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, y, 0) = (0, y, 0) (x, y, 0) 2 = (0, y, 0) 2 2x + 2y = (y)2 ... (1) เพราะวาจด P(0, y, z) อยบนเสนโคง C และ สมการเสนโคง C คอ พาราโบลา z = (y)2, x = 0 เพราะฉะนน จาก (1) จะได 2x + 2y = z เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Z มสมการเปน z = 2x + 2y



1 - 19

แบบท 2 รอยตดกบระนาบ z = c เปนวงกลมเมอ c เปนจานวนจรงใด ๆ พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ z = c จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, 0, c) และมรศม r = y = c = c จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (y 0) r ,z c

2 2x y c,z c เพราะวา z = c เปนจานวนจรงใด ๆ เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 2 2x y z



1 - 20

ตวอยาง 1.2.2 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน

เสนโคง 9y2

+ 4z2 = 1, x = 0 รอบแกน Y

วธทา

รปท 1.2.4 กาหนดเสนโคง C คอ เสนโคง 9

y2 + 4

z2 = 1, x = 0 และ แกนหมนคอ แกน Y การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก การหมนเสนโคง C รอบแกน Y ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P และตงฉากกบแกน Y ทจด Q ... (*) และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) ... (**) จาก (*) จะได จด Q มพกดเปน (0, y, 0) และ y = y ขนท 3. จด Q มพกดเปน (0, y, 0) เพราะวา P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน x = 0



1 - 21

เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (0, y, z) เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (x, 0, z) = (0, 0, z) (x, 0, z) 2 = (0, 0, z) 2 2x + 2z = (z)2 4

1( 2x + 2z ) = 41(z)2 ... (1)

เพราะวาจด P อยบนเสนโคง C เพราะฉะนน 9

y2 +

4)z( 2 = 1

จาก (1) จะได 41( 2x + 2z ) = 1 - 9

y2

เพราะฉะนน 4

x 2 + 9y2

+ 4

z2 = 1 เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน Y มสมการเปน

4x 2 + 9

y2 +

4z2 = 1



1 - 22

แบบท 2 รอยตดกบระนาบ y = b เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ y = b จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(0, b, 0)

และมรศม r = g(b) เมอ 22 g(b)b 19 4

จงมสมการเปน 2 2 2(x 0) (z 0) r , y b 2 2 2x z g(b) , y b

22 2 g(b)x z , y b4 4 4 22 2 bx z 1 , y b4 4 9

22 2bx z 1, y b4 9 4 เพราะวา y = b เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2bx z 14 9 4



1 - 23

ตวอยาง 1.2.3 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมน

เสนโคง 4x2 - 9

y2 = 1, z = 0 รอบแกน X

วธทา

รปท 1.2.5 เสนโคง C คอ เสนโคง 4

x2 - 9y2

= 1, z = 0 และ แกนหมนคอ แกน X การหาสมการของพ นผวทเกดจากการหมน ขนท 1. ให P(x, y, z) เปนจดบนพนผวทเกดจาก การหมนเสนโคง C รอบแกน X ขนท 2. ตดพนผวดวยระนาบ M ซงผานจด P และตงฉากกบแกน X ทจด Q และ ตดเสนโคง C ทจด P(x, y, z) เพราะฉะนนจด Q มพกด (x, 0, 0) และ x = x และ z = 0 เพราะฉะนนจด P มพกดเปน (x, y, 0)



1 - 24

ขนท 3. เพราะวา QP = 'QP เพราะฉะนน (0, y, z) = (0, y, 0) (0, y, z) 2 = (0, y, 0) 2 2y + 2z = (y)2 ... (1) เพราะวาจด P(x, y, 0) อยบนเสนโคง C

เพราะฉะนน 4

x 2 - 9)y( 2 = 1

จาก (1) จะได 91 ( 2y + 2z ) =

4x 2 - 1

4

x 2 - 9y2

- 9z2 = 1

เพราะฉะนนพนผวทเกดจากการหมนเสนโคง C รอบแกน X มสมการเปน

4x 2 - 9

y2 -

9z2 = 1



1 - 25

แบบท 2 รอยตดกบระนาบ x = a เปนวงกลมเมอ b เปนจานวนจรงใด ๆ พจารณารอยตดของผวดงกลาวกบระนาบ x = a จะเหนวารอยตดเปนวงกลมทมจดศนยกลางทจด Q(a, 0, 0)

และมรศม r = f(a) เมอ 22 f (a)a 14 9

จงมสมการเปน 2 2 2(y 0) (z 0) r ,x a 2 2 2y z f (a) , x a 2 22y f (a)z ,x a9 9 9 2 22y az 1,x a9 9 4

22 2ya z 14 4 9 เพราะวา x = a เปนจานวนจรงใด ๆ

เพราะฉะนนสมการพนผวคอ 22 2yx z 14 4 9



1 - 26

1.3 การพจารณาลกษณะของพ นผวจากสมการ ในหวขอนเราจะศกษาปญหาเกยวกบการเขยนรปของพนผวจากสมการทกาหนดให โดยพจารณาลกษณะทสาคญของพนผว คอ จดตดแกน ขอบเขตของตวแปร รอยตดของพ นผวดวยระนาบ และ การมสมมาตรของพ นผว

จดตดแกน ให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว

ถา f(x, 0, 0) = 0 แลว (x, 0, 0) เปนจดตดแกน X ถา f(0, y, 0) = 0 แลว (0, y, 0) เปนจดตดแกน Y ถา f(0, 0, z) = 0 แลว (0, 0, z) เปนจดตดแกน Z

ตวอยาง ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 มจดตดแกน X คอ (5, 0, 0), (-5, 0, 0) มจดตดแกน Y คอ (0, 5, 0), (0, -5, 0) และ มจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5), (0, 0, -5)



1 - 27

ตวอยาง 1.3.1 จงหาจดตดแกนของพนผว (x + 1)2 + (y - 1)2 + (z - 2)2 = 16 วธทา ให f(x, y, z) = (x + 1)2+ (y - 1)2+ (z - 2)2- 16 สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได (x + 1)2 + 1 + 4 - 16 = 0 (x + 1)2 = 11 x = -1 - 11, -1 + 11 เพราะฉะนน (-1 - 11, 0, 0), (-1 + 11, 0, 0) เปนจดตดแกน X

สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 1 + (y - 1)2 + 4 - 16 = 0 (y - 1)2 = 11 y = 1 - 11, 1 + 11 เพราะฉะนน (0, 1 - 11, 0), (0, 1 + 11, 0) เปนจดตดแกน Y สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได 1 + 1 + (z - 2)2 - 16 = 0 (z - 2)2 = 14 z = 2 - 14 , 2 + 14 เพราะฉะนน (0, 0, 2 - 14 ), (0, 0, 2 + 14 ) เปนจดตดแกน Z



1 - 28

ตวอยาง 1.3.2 จงหาจดตดแกนของพนผว z = 2x + 2y วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - z สมมต f(x, 0, 0) = 0 2x = 0 x = 0 เพราะฉะนน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน X ในทานองเดยวกน (0, 0, 0) เปนจดตดแกน Y, แกน Z

ตวอยาง 1.3.3 จงหาจดตดแกนของพนผว 2x + 2y - 2z = 4 วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 2z - 4 สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x - 4 = 0 x = -2, 2 เพราะฉะนน (-2, 0, 0), (2, 0, 0) เปนจดตดแกน X สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y - 4 = 0 y = -2, 2 เพราะฉะนน (0, -2, 0), (0, 2, 0) เปนจดตดแกน Y สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได - 2z - 4 = 0 2z = -4 เปนไปไมได เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Z



1 - 29

ขอบเขตของตวแปร การหาขอบเขตของตวแปร x, y, z ของพนผว f(x, y, z) = 0 ทาโดยพจารณาคาทเปนไปไดของ x, y, z ตวอยางเชน ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 จะได ขอบเขตของตวแปรคอ -5 x 5, -5 y 5, -5 z 5 โดยทวไปจะกลาววา ขอบเขตของ x คอ { x ม y, z R ททาให f(x, y, z) = 0 } ขอบเขตของ y คอ { y ม x, z R ททาให f(x, y, z) = 0 } ขอบเขตของ z คอ { z ม x, y R ททาให f(x, y, z) = 0 }



1 - 30

ตวอยาง 1.3.4 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว 2x + 2y - 2z = 4 วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได x = 22 zy4 เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก y = 2 และ z = x จะได 2x + 4 - 2x = 4 เพราะฉะนน จด (x, 2, x) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )

การหาขอบเขตของตวแปร y จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได y = 22 zx4 เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก x = 2 และ z = y จะได 4 + 2y - 2y = 4 เพราะฉะนน จด (2, y, y) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )

การหาขอบเขตของตวแปร z จาก 2x + 2y - 2z = 4 จะได z = 4yx 22 เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก x = z และ y = 2 จะได 2z + 4 - 2z = 4 เพราะฉะนน จด (z, 2, z) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )



1 - 31

ตวอยาง 1.3.5 จงหาขอบเขตของตวแปรของพนผว z = 2x + 2y วธทา การหาขอบเขตของตวแปร x จาก z = 2x + 2y จะได x = 2yz เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 2x จะได 2x = 2x + 20 เพราะฉะนน จด (x, 0, 2x ) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, ) การหาขอบเขตของตวแปร y จาก z = 2x + 2y จะได y = 2xz เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก x = 0 และ z = 2y จะได 2y = 20 + 2y เพราะฉะนน จด (0, y, 2y ) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, ) การหาขอบเขตของตวแปร z จาก z = 2x + 2y จะเหนวา z 0 เพราะวา ทกจานวนจรง z 0 เราเลอก x = z และ y = 0 จะได z = ( z )2 + 20 เพราะฉะนน จด ( z , 0, z) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [0, )



1 - 32

รอยตดของพ นผวกบระนาบ พนผว f(x, y, z) = 0 เมอ แทนคา x = 0x จะได f( 0x , y, z) = 0, x = 0x เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ x = 0x ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ x = 0x ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4 เมอแทนคา x = 3 จะได 2y + 2z = 16 เพราะฉะนน รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ x = 3 มสมการเปน 2y + 2z = 16, x = 3 และ มกราฟเปนวงกลม โดยมจดศนยกลางอยทจด (3, 0, 0) และรศมเทากบ 4



1 - 33

พนผว f(x, y, z) = 0 เมอ แทนคา y = 0y จะได f(x, 0y , z) = 0, y = 0y เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ y = 0y ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ y = 0y

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4 เมอแทนคา y = 2 จะได 2z = 4x เพราะฉะนน รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ y = 2 มสมการเปน 2z = 4x, y = 2 และมกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (0, 2, 0)

พนผว f(x, y, z) = 0 เมอ แทนคา z = 0z จะได f(x, y, 0z ) = 0, z = 0z เปนสมการของรอยตดของพนผวกบระนาบ z = 0z ซงเราจะเรยกวา รอยตดบนระนาบ z = 0z

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 4x + 4 เมอแทนคา z = 0 จะได 2y = 4x + 4 เพราะฉะนน รอยตดของพนผว 2y + 2z = 4x + 4 กบระนาบ z = 0 มสมการเปน 2y = 4x + 4, z = 0 และ มกราฟเปนพาราโบลา จดยอดอยทจด (-1, 0, 0)



1 - 34

ตวอยาง 1.3.6 กาหนดสมการของพนผวเปน 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 1. จงหาขอบเขตของตวแปร 2. จงพจารณารอยตดบนระนาบ YZ และ XZ 3. จงพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง 4. จงเขยนกราฟของพนผว วธทา 1. การหาขอบเขตของตวแปร x จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 จะได x = 3

1 z12y16144 2 เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก y = 0 และ z = 4

3 2x - 12 จะได 9 2x + 16(0)2 - 12( 4

3 2x - 12) - 144 = 9 2x + 0 - 9 2x + 144 - 144 = 0 เพราะฉะนน จด (x, 0, 4

3 2x - 12) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )



1 - 35

การหาขอบเขตของตวแปร y จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 จะได y = 4

1 z12x9144 2 เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ เลอก x = 0 และ z = 3

4 2y - 12 จะได 9(0)2 + 16 2y - 12( 3

4 2y - 12) - 144 = 0 + 16 2y - 16 2y + 144 - 144 = 0 เพราะฉะนน จด (0, y, 3

4 2y - 12) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )

การหาขอบเขตของตวแปร z จาก 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 จะได z = 12

1 (9 2x + 16 2y - 144) เพราะวา 9 2x + 16 2y 0 เพราะฉะนน 9 2x + 16 2y - 144 -144 จะได z = 12

1 (9 2x + 16 2y - 144) -12 สาหรบ z -12 เลอก x = 0 และ y = 4

1 z12144 จะได 9(0)2 + 16( 4

1 z12144 )2 - 12z - 144 = 0 + 144 + 12z - 12z - 144 = 0 เพราะฉะนน จด (0, 4

1 z12144 , z) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ [-12, )



1 - 36

2. การพจารณารอยตดบนระนาบ YZ แทนคา x = 0 ในสมการของพนผวจะได 16 2y - 12z - 144 = 0 16 2y = 12(z + 12) 2y = 4

3(z + 12) เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ x = 0 มสมการเปน 2y = 4

3(z + 12), x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา การพจารณารอยตดบนระนาบ XZ แทนคา y = 0 ในสมการของพนผวจะได 9 2x - 12z - 144 = 0 9 2x = 12(z + 12) 2x = 3

4(z + 12) เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มสมการเปน

2x = 34(z + 12), y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

การพจารณารอยตดบนระนาบ XY แทนคา z = 0 ในสมการของพนผวจะได 9 2x + 16 2y - 12(0) - 144 = 0 9 2x + 16 2y = 144 เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มสมการเปนวงร



1 - 37

3. การพจารณารอยตดบนระนาบ z = k เมอ k R ให z = k เมอ k เปนจานวนจรง เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ z = k มสมการเปน 9 2x + 16 2y = 12k + 144 = 0, z = k กรณท 1. k -12 ไมมรอยตด กรณท 2. k = -12 จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, -12) จดเดยวเทานน กรณท 3. k -12 จะไดรอยตดเปนวงร จดศนยกลางอยทจด (0, 0, k) และวงรจะมขนาดใหญขนเมอ k มคาเพมขน 4. กราฟของพนผว 9 2x + 16 2y - 12z - 144 = 0 คอ รปท 1.3.1 หมายเหต จากตวอยาง 1.3.6 เราสามารถบอกขอบเขตของตวแปร z ไดจากการพจารณารอยตดบนระนาบ z = k



1 - 38



1 - 39

การมสมมาตรแบบตาง ๆ ของพ นผว การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบระนาบ XY, YZ, XZ

กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S

1. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, y, -z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY หรอไม สามารถทาไดโดย

แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, y, -z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, y, -z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XY พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ XY พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบระนาบ XY



1 - 40

2. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ ตวอยาง พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ YZ พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบระนาบ YZ พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบระนาบ YZ

3. พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลว จด (x, -y, z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบระนาบ XZ พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบระนาบ XZ พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบระนาบ XZ



1 - 41

การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบแกน X, Y, Z กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S 1. พนผว S มสมมาตรกบแกน X กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (x, -y, -z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (x, -y, -z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(x, -y, -z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน X ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x มสมมาตรกบแกน X พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน X พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน X



1 - 42

2. พนผว S มสมมาตรกบแกน Y กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, y, -z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, y, -z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, y, -z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Y ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Y พนผว 9 2x - 2z = 16y มสมมาตรกบแกน Y พนผว 2x + 2y = z ไมมสมมาตรกบแกน Y

3. พนผว S มสมมาตรกบแกน Z กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบแกน Z ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบแกน Z พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบแกน Z พนผว 2x + 2y = z มสมมาตรกบแกน Z



1 - 43

การตรวจสอบวาพ นผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) กาหนดให f(x, y, z) = 0 เปนสมการของพนผว S พนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) กตอเมอ ถา จด (x, y, z) อยบน S แลวจด (-x, -y, -z) อยบน S เพราะฉะนนการตรวจสอบวาพนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) หรอไม สามารถทาไดโดย แทน (x, y, z) ในสมการ f(x, y, z) = 0 ดวย (-x, -y, -z) ถาสมการไมเปลยนแปลง กลาวคอไดวา f(-x, -y, -z) = 0 จะสรปไดวาพนผว S มสมมาตรกบจด (0, 0, 0) ตวอยาง พนผว 2y + 2z = 12 - 4x ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0) พนผว 9 2x - 2z = 16y ไมมสมมาตรกบจด (0, 0, 0) พนผว 2x + 2y + 2z = 16 มสมมาตรกบจด (0, 0, 0)



1 - 44

ตวอยาง 1.3.7 จงพจารณาการมสมมาตรกบ แกนพกดของพนผว 2x + 2y - 4z - 12 = 0 วธทา จากสมการของพนผว คอ 2x + 2y - 4z - 12 = 0 ให f(x, y, z) = 2x + 2y - 4z - 12 = 0 เพราะวา f(x, -y, -z) = 2x + (-y)2 - 4(-z) - 12 = 2x + 2 2y + 4z - 12 f(x, y, z) เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน X

เพราะวา f(-x, y, -z) = (-x)2 + 2y - 4(-z) - 12 = 2x + 2y + 4z - 12 f(x, y, z) เพราะฉะนน พนผวไมมสมมาตรกบแกน Y

เพราะวา f(-x, -y, z) = (-x)2 + (-y)2 - 4z - 12 = 2x + 2y - 4z - 12 = f(x, y, z) เพราะฉะนน พนผวมสมมาตรกบแกน Z



1 - 45

ตวอยาง 1.3.8 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน

4x2 +

36y2

+ 16z2 = 1

1. จงหาจดตดแกน 2. จงหาขอบเขตของตวแปร 3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ 4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ 5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง 6. จงเขยนกราฟของพนผว

วธทา ให f(x, y, z) = 4x2 +

36y2

+ 16z2 - 1 = 0

1. การหาจดตดแกน สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 4 จะได x = -2, 2 เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0)

สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = 36 จะได y = -6, 6 เพราะฉะนนจดตดแกน Y คอ (0, 6, 0) และ (0, -6, 0)

สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได 2z = 16 จะได z = -4, 4 เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 4) และ (0, 0, -4)



1 - 46

2. การหาขอบเขตของตวแปร

เพราะวา 1 - 4x2 =

36y2

+ 16z2 0 เพราะฉะนน 4

x2 1 เพราะฉะนน x [-2, 2] เพราะวา สาหรบจานวนจรง x [-2, 2] เลอก y = 6

4x1

2 และ z = 0

จะได 4x2 + 36

1 (64

x12

)2 + 16)0( 2

= 4x2 + 1 - 4

x2 = 1

เพราะฉะนน จด (x, 64

x12

, 0) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ [-2, 2]

เพราะวา 1 - 36y2

= 4x2 + 16

z2 0 เพราะฉะนน 36y2

1 เพราะฉะนน y [-6, 6] เพราะวา สาหรบจานวนจรง y [-6, 6]

เลอก x = 236y1

2 และ z = 0

จะได 41(2

36y1

2 )2 +

36y2

+ 16)0( 2

= 1 - 36y2

+ 36y2

= 1

เพราะฉะนน จด (236y1

2 , y, 0) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-6, 6]



1 - 47

เพราะวา 1 - 16z2 = 4

x2 + 36y2

0 เพราะฉะนน 16z2 1

เพราะฉะนน z [-4, 4] เพราะวา สาหรบจานวนจรง z [-4, 4] เลอก x = 2

16z1

2 และ y = 0

จะได 41(2

16z1

2 )2 +

36)0( 2

+ 16z2 = 1 - 16

z2 + 16z2 = 1

เพราะฉะนน จด (216z1

2 , 0, z) อยบนพนผว

เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ [-4, 4] 3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ

เพราะวา f(x, y, -z) = 4x2 +

36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 4x2 +

36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 4x2 +

36y2

+ 16z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ



1 - 48

4. พจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ

แทนคา x = 0 จะได 36y2

+ 16z2 = 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนวงร แทนคา y = 0 จะได 4

x2 + 16z2 = 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร

แทนคา z = 0 จะได 4

x2 + 36y2

= 1 เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนวงร 5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง

มสมการเปน 36y2

+ 16z2 = 1 - 4

k2 , x = k

กรณท 1. k 2 จะไดรอยตดเปนวงร กรณท 2. k = 2 จะไดรอยตดเปนจด (2, 0, 0) และ (-2, 0, 0) กรณท 3. k 2 ไมมรอยตด



1 - 49

รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง มสมการเปน

4x 2 +

16z2 = 1 - 36

k2 , y = k

กรณท 1. k 6 จะไดรอยตดเปนวงร กรณท 2. k = 6 จะไดรอยตดเปนจด (0, 6, 0) และ (0, -6, 0) กรณท 3. k 6 ไมมรอยตด รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง

มสมการเปน 4

x 2 + 36y2

= 1 - 16k2 , z = k

กรณท 1. k 4 จะไดรอยตดเปนวงร กรณท 2. k = 4 จะไดรอยตดเปนจด (0, 0, 4) และ (0, 0, -4) กรณท 3. k 4 ไมมรอยตด



1 - 50

6. การเขยนกราฟของพ นผว อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงจะเหนวา รอยตดเรมจากจด (0, 0, -4) และ เมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสด เมอ k = 0 จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0, 0, 4) จากการพจารณาขางตน จะได

กราฟของพนผว 4x2 +

36y2

+ 16z2 = 1 คอ

รปท 1.3.4 หมายเหต พนผวนเรยกวา อลลปซอยด



1 - 51

ตวอยาง 1.3.9 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน 9

x2 - 2y + 25z2 = 1

1. จงหาจดตดแกน 2. จงหาขอบเขตของตวแปร 3. จงพจารณาการมสมมาตร กบระนาบ XY, YZ, XZ 4. จงพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ 5. จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง 6. จงเขยนกราฟของพนผว วธทา ให f(x, y, z) = 9

x2 - 2y + 25z2 - 1 = 0 ... (1)

1. การหาจดตดแกน สมมต f(x, 0, 0) = 0 จะได 2x = 9 จะได x = -3, 3 เพราะฉะนนจดตดแกน X คอ (-3, 0, 0) และ (3, 0, 0)

สมมต f(0, y, 0) = 0 จะได 2y = -1 ซงเปนไปไมได เพราะฉะนนพนผวไมตดแกน Y

สมมต f(0, 0, z) = 0 จะได 2z = 25 จะได z = -5, 5 เพราะฉะนนจดตดแกน Z คอ (0, 0, 5) และ (0, 0, -5)



1 - 52

2. การหาขอบเขตของตวแปร จาก (1) จะได x = 3

25zy1

22 เพราะวา เมอ x เปนจานวนจรงใด ๆ เลอก y = 3

x และ z = 5 จะได 9

x2 - 9

x2 + 1 = 1 เพราะฉะนน จด (x, 3

x , 5) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร x คอ (-, )

จาก (1) จะได y = 125z

9x 22

เพราะวา เมอ y เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก x = 3y และ z = 5 จะได 2y - 2y + 1 = 1 เพราะฉะนน จด (3y, y, 5) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร y คอ (-, )

จาก (1) จะได z = 5 22y

9x1

เพราะวา เมอ z เปนจานวนจรงใด ๆ เราสามารถเลอก x = 3 และ y = 5

z

จะได 1 - 25z2 + 25

z2 = 1 เพราะฉะนน จด (3, 5

z , z) อยบนพนผว เพราะฉะนนขอบเขตของตวแปร z คอ (-, )



1 - 53

3. การพจารณาสมมาตรของพนผวกบระนาบ XY, YZ, XZ เพราะวา f(x, y, -z) = 9

x2 - 2y + 25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XY

เพราะวา f(-x, y, z) = 9x2 - 2y +

25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ YZ

เพราะวา f(x, -y, z) = 9x2 - 2y +

25z2 - 1 = 0

เพราะฉะนน พนผว S มสมมาตรกบระนาบ XZ 4. การพจารณารอยตดบนระนาบ XY, YZ และ XZ แทนคา x = 0 จะได - 2y + 25

z2 = 1 เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ YZ มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

แทนคา y = 0 จะได 9x2 + 25

z2 = 1 เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XZ มกราฟเปนวงร

แทนคา z = 0 จะได 9x2 - 2y = 1

เพราะฉะนนรอยตดบนระนาบ XY มกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 54

5. การพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k เปนจานวนจรง มสมการเปน - 2y +

25z2 = 1 - 9

k2 , x = k

กรณท 1. k 3 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม แกนตามขวางขนานกบแกน Z กรณท 2. k = 3 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน กรณท 3. k 3 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม แกนตามขวางขนานกบแกน Y

รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k เปนจานวนจรง มสมการเปน

9x 2 + 25

z2 = 1 + 2k , y = k เพราะฉะนนรอยตดเปนวงรทกคา k รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k เปนจานวนจรง มสมการเปน

9x 2 - 2y = 1 - 25

k2 , z = k

กรณท 1. k 5 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม แกนตามขวางขนานกบแกน X กรณท 2. k = 5 จะไดรอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน กรณท 3. k 5 จะไดรอยตดเปนไฮเพอรโบลาทม แกนตามขวางขนานกบแกน Y



1 - 55

6. การเขยนกราฟของพ นผว อาจพจารณาจากรอยตดบนระนาบ y = k ซงไดรอยตดเปนวงรและขนาดของวงรแปรเปลยนตามคาของ k โดย วงรมขนาดเลกทสดเมอ k = 0 และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากดเมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด จากการพจารณาขางตนจะได กราฟของพนผว 9

x2 - 2y + 25z2 = 1 คอ

รปท 1.3.5 หมายเหต พนผวนเรยกวา อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว



1 - 56

1.4 พ นผวควอดรก เรขาคณตวเคราะหเบองตนในปรภมสองมต y = mx + c หรอ ax + by + c = 0 มกราฟเปนเสนตรง y = a 2x + bx + c, x = a 2y + by + c มกราฟเปนพาราโบลา

2x + 2y = 2r มกราฟเปนวงกลม

22

ax + 2

2

by = 1 หรอ 2

2

ay + 2

2

bx = 1 มกราฟเปนวงร

22

ax - 2

2

by = 1 หรอ 2

2

ay - 2

2

bx = 1 มกราฟเปนไฮเพอรโบลา

ในหวขอนเราจะศกษาลกษณะของกราฟของ สมการกาลงสองของสามตวแปร x, y, z ซงมรปทวไปเปน A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 ... (1) เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน ถากราฟของสมการนเปนพนผว แลว เรยกวา พ นผวควอดรก พนผวควอดรกทสาคญคอ อลลปซอยด อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน กรวยอลลปตก อลลปตกพาราโบลอยด และ ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด



1 - 57

การขจดพจน Gx + Hy + Kz ออกจากสมการ A 2x + B 2y + C 2z + Gx + Hy + Kz + L = 0 เมอ A, B, C ไมเปนศนยพรอมกน ใชการยายจดกาเนด ดวยการจดรปแบบกาลงสองสมบรณ ตวอยาง การขจดพจน x, y, z กาลงหนงออกจากสมการ 2x + 2y + 2z + 4x + 8y + 4 = 0 จดรปแบบกาลงสองสมบรณไดเปน (x + 2)2 + (y + 4)2 + (z)2 = 16 แทนคา x = x + 2, y = y + 4 และ z = z จะไดสมการใหมเปน (x)2 + (y)2 + (z)2 = 16 ซงมกราฟเปน อลลปซอยด จากแนวคดของการเปลยนตวแปรขางตนเราจงศกษาลกษณะของกราฟของสมการกาลงสองของ สามตวแปร x, y, z ในรปอยางงายตอไปน 1. A 2x + B 2y + C 2z + D = 0 2. A 2x + B 2y + Cz = 0 3. A 2x + C 2z + By = 0 4. B 2y + C 2z + Ax = 0



1 - 58

1.4.1 อลลปซอยด คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปน A 2x + B 2y + C 2z = D เมอ A, B, C, D 0

หรอ 22

ax + 2

2

by + 2

2

cz = 1 เมอ a, b, c 0

จดตดแกน จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, b, 0) จดตดแกน Z คอ (0, 0, c) สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ

รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 22

ax + 2

2

by = 1, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ เปนวงร 2

2

by + 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนวงร 22

ax + 2

2

cz = 1, y = 0



1 - 59

รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k

เมอ k a รอยตดเปนวงร 2

2

by + 2

2

cz = 1 - 2

2

ak , x = k

เมอ k = a รอยตดเปนจด (k, 0, 0) เมอ k a ไมมรอยตด

รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k b รอยตดเปนวงร 2

2

ax + 2

2

cz = 1 - 2

2

bk , y = k

เมอ k = b รอยตดเปนจด (0, k, 0) เมอ k b ไมมรอยตด

รอยตดบนระนาบ z = k

เมอ k c รอยตดเปนวงร 22

ax + 2

2

by = 1 - 2

2

ck , z = k

เมอ k = c ไดรอยตดเปนจด (0, 0, k) เมอ k c ไมมรอยตด

ขอบเขตของตวแปร ขอบเขตของ x คอ [-a, a] ขอบเขตของ y คอ [-b, b] ขอบเขตของ z คอ [-c, c]



1 - 60

แนวคดในการเขยนกราฟ พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจากจด (0, 0, -c) และเมอ k มคาเพมขน รอยตดจะเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนเรอย ๆ จนมขนาดใหญทสดเมอ k = 0 จากนนขนาดของวงรจะเลกลงเรอย ๆ จนกลายเปนจด (0,0,c) กราฟของอลลปซอยด

รปท 1.4.1

หมายเหต 1. อลลปซอยด 22

ax + 2

2

by + 2

2

cz = 1

มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)

2. 2

2

a)hx( +

2

2

b)ky( + 2

2

c)z( = 1

อลลปซอยดมจดศนยกลางอยทจด (h, k, ) 3. ถา a = b หรอ b = c หรอ c = a คใดคหนง แลว กราฟจะเปนอลลปซอยดทเกดจากการหมน 4. ถา a = b = c แลว กราฟจะเปนทรงกลม รศม a



1 - 61

1.4.2 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว คอ พนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 1

2. A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ 22

ax - 2

2

by + 2

2

cz = 1

3. -A 2x + B 2y + C 2z = D หรอ - 22

ax + 2

2

by + 2

2

cz = 1

เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0

สาหรบสมการ 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 1

มลกษณะทสาคญของพนผวดงน จดตดแกน จดตดแกน X คอ ( a, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, b, 0) จดตดแกน Z ไมม สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม



1 - 62

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ

รอยตดบนระนาบ XY เปนวงร 22

ax + 2

2

by = 1, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา 22

ax - 2

2

cz = 1, y = 0

รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k เมอ k a

รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = 1 - 2

2

ak , x = k

เมอ k = a รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน รอยตดบนระนาบ y = k เมอ k b รอยตดเปนไฮเพอรโบลา 2

2

ax - 2

2

cz = 1 - 2

2

bk , y = k

เมอ k = b รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน

รอยตดบนระนาบ z = k เปนวงร 22

ax + 2

2

by = 1 + 2

2

ck , z = k

ขอบเขตของตวแปร ขอบเขตของ x คอ (-, ) ขอบเขตของ y คอ (-, ) ขอบเขตของ z คอ (-, )



1 - 63

แนวคดในการเขยนกราฟ พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k ซงไดรอยตดเปนวงร ขนาดของวงรจะแปรเปลยนตามคาของ k โดยวงรจะมขนาดเลกทสดเมอ k = 0 และ วงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากดเมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

รปท 1.4.2 หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว

22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 1 มจดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0)

2

2

a)hx( +

2

2

b)ky( - 2

2

c)z( = 1

จดศนยกลางอยทจด (h, k, )

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 64

1.4.3 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x - B 2y - C 2z = D หรอ 22

ax - 2

2

by - 2

2

cz = 1

2. -A 2x + B 2y - C 2z = D หรอ - 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 1

3. -A 2x - B 2y + C 2z = D หรอ - 22

ax - 2

2

by + 2

2

cz = 1

เมอ A, B, C, D 0 หรอ a, b, c 0

สมการ - 22

ax - 2

2

by + 2

2

cz = 1 มลกษณะสาคญของพนผวดงน

จดตดแกน จดตดแกน X ไมม จดตดแกน Y ไมม จดตดแกน Z คอจด (0, 0, c)

สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ รอยตดบนระนาบ XY ไมม

รอยตดบนระนาบ YZ เปนไฮเพอรโบลา - 2

2

by + 2

2

cz = 1, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนไฮเพอรโบลา - 22

ax + 2

2

cz = 1, y = 0



1 - 65


เปนไฮเพอรโบลา - 2

2

by + 2

2

cz = 1 + 2

2

ak , x = k ทกคา k

รอยตดบนระนาบ y = k เปนไฮเพอรโบลา - 2

2

ax + 2

2

cz = 1 + 2

2

bk , y = k ทกคา k

รอยตดบนระนาบ z = k เมอ k c ไมมรอยตด เมอ k c

รอยตดเปนวงร 22

ax + 2

2

by = 2

2

ck - 1, z = k ทกคา k

เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, k)

ขอบเขตของตวแปร ขอบเขตของ x คอ (-, ) ขอบเขตของ y คอ (-, ) ขอบเขตของ z คอ (-, -c] [c, )



1 - 66

แนวคดในการเขยนกราฟ พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k เมอ k = c รอยตดเปนจด (0, 0, c) และ (0, 0, -c) เมอ k c รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

รปท 1.4.3 หมายเหต 1. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน

- 22

ax - 2

2

by + 2

2


-2

2

a)hx( -

2

2

b)ky( + 2

2

c)z( = 1

มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )

2. ถา a = b แลว กราฟของสมการ - 22

ax - 2

2

by +

2

2

cz = 1

เปนไฮเพอรโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 67

1.4.4 กรวยอลลปตก คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายแบบใดแบบหนงตอไปน

1. A 2x + B 2y - C 2z = 0 หรอ 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 0

2. A 2x - B 2y + C 2z = 0 หรอ 22

ax - 2

2

by + 2

2

cz = 0

3. -A 2x + B 2y + C 2z = 0 หรอ - 22

ax + 2

2

by + 2

2

cz = 0

เมอ A, B, C 0 หรอ a, b, c 0

สมการ 22

ax + 2

2

by - 2

2

cz = 0 มลกษณะทสาคญของพนผวดงน

จดตดแกน จดตดแกน X คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0) สมมาตร กราฟมสมมาตรกบจดกาเนด กราฟมสมมาตรกบแกนพกดทงสาม กราฟมสมมาตรกบระนาบพกดทงสาม



1 - 68

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0) รอยตดบนระนาบ YZ เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด


2

by - 2

2

cz = 0, x = 0 หรอ y = c

b z, x = 0

รอยตดบนระนาบ XZ เปนเสนตรงสองเสนซงตดกนทจดกาเนด มสมการเปน 2

2

ax - 2

2

cz = 0, y = 0 หรอ z = a

c x, y = 0


เปนไฮเพอรโบลา 2

2

by - 2

2

cz = - 2

2

ak , x = k ทกคา k 0

รอยตดบนระนาบ y = k เปนไฮเพอรโบลา 2

2

ax - 2

2

cz = - 2

2

bk , y = k ทกคา k 0


เปนวงร 22

ax + 2

2

by = 2

2

ck , z = k ทกคา k 0




1 - 69

แนวคดในการเขยนกราฟพ นผว พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k เมอ k = 0 รอยตดเปนจด (0, 0, 0) เมอ k 0 รอยตดเปนวงร ซงวงรจะมขนาดใหญขนอยางไมมขดจากด เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด กราฟของกรวยอลลปตก

รปท 1.4.4 หมายเหต 1. กรวยอลลปตก

22

ax + 2

2

by - 2

2


2

2

a)hx( +

2

2

b)ky( - 2

2

c)z( = 0

มจดศนยกลางอยทจด (h, k, )


ax + 2

2

by - 2

2

cz = 0

จะเปนกรวยกลมซงเปนพนผวทเกดจากการหมน เสนตรงทผานจดกาเนดรอบแกน Z



1 - 70

1.4.5 อลลปตกพาราโบลอยด คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน 1. A 2x + B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0

หรอ 22

ax + 2

2

by = cz เมอ a, b 0 และ c 0

2. A 2x + C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0 หรอ 2

2

ax + 2

2

cz = by เมอ a, c 0 และ b 0

3. B 2y + C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0

หรอ 2

2

by + 2

2

cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0


ax + 2

2


มลกษณะทสาคญของพนผวดงน จดตดแกน จดตดแกน X คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0) สมมาตร กราฟมสมมาตรกบแกน Z กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ



1 - 71

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ รอยตดบนระนาบ XY เปนจด (0, 0, 0) รอยตดบนระนาบ YZ เปนพาราโบลา 2y = 2b cz, x = 0 รอยตดบนระนาบ XZ เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0

รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k เปนพาราโบลา 2y = 2b c(z -

22

cak ), x = k ทกคา k

รอยตดบนระนาบ y = k เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z -

cbk

22 ), y = k ทกคา k


เปนวงร 22

ax + 2

2

by = ck, z = k ทกคา k 0

ขอบเขตของตวแปร ขอบเขตของ x คอ (-, ) ขอบเขตของ y คอ (-, ) ขอบเขตของ z คอ [0, )



1 - 72

แนวคดในการเขยนกราฟ พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k จะเหนวารอยตดเรมจากจด (0, 0, 0) และ เมอ k มคาเพมขนอยางไมมขดจากด รอยตดจะเปนวงรทมขนาดใหญอยางไมมขดจากด กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด

รปท 1.4.5 หมายเหต 1. จด O(0, 0, 0) เรยกวา จดยอด

ของอลลปตกพาราโบลอยด 22

ax + 2

2

by = cz

(h, k, ) เปนจดยอด ของ 2

2

a)hx( +

2

2

b)ky( = c(z - )

เมอ c 0

2. กราฟของ 22

ax + 2

2

by = cz เมอ c 0 เปนอลลปตกพารา

โบลอยด ควาลง มจดยอด (0, 0, 0) เปนจดสงสดของกราฟ


ax + 2

2

by = cz

จะเปนพาราโบลอยดทเกดจากการหมนเสนโคงรอบแกน Z



1 - 73

1.4.6 ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด คอพนผวซงมสมการในรปอยางงายเปนแบบใดแบบหนงตอไปน 1. A 2x - B 2y = Cz เมอ A, B 0 และ C 0

หรอ 22

ax - 2

2


2. A 2x - C 2z = By เมอ A, C 0 และ B 0 หรอ 2

2

ax - 2

2

cz = by เมอ a, c 0 และ b 0

3. B 2y - C 2z = Ax เมอ B, C 0 และ A 0

หรอ 2

2

by - 2

2

cz = ax เมอ b, c 0 และ a 0


ax - 2

2


มลกษณะทสาคญของพนผวดงน จดตดแกน จดตดแกน X คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Y คอ (0, 0, 0) จดตดแกน Z คอ (0, 0, 0) สมมาตร กราฟมสมมาตรกบแกน Z กราฟมสมมาตรกบระนาบ YZ และ ระนาบ XZ



1 - 74

รอยตดบนระนาบ XY, YZ, XZ รอยตดบนระนาบ XY เปนเสนตรงสองเสนตดกนทจด (0, 0, 0)


ax - 2

2

by = 0, z = 0 หรอ y = a

b x, z = 0

รอยตดบนระนาบ YZ เปนพาราโบลา 2y = - 2b cz, x = 0 รอยตดบนระนาบ XZ เปนพาราโบลา 2x = 2a cz, y = 0 รอยตดบนระนาบ x = k, y = k, z = k เมอ k เปนจานวนจรง รอยตดบนระนาบ x = k เปนพาราโบลา 2y = - 2b c(z -

cak22 ), x = k ทกคา k

รอยตดบนระนาบ y = k เปนพาราโบลา 2x = 2a c(z +

cbk

22 ), y = k ทกคา k


เปนไฮเพอรโบลา 22

ax - 2

2

by = ck, z = k ทกคา k 0




1 - 75

แนวคดในการเขยนกราฟ พจารณาจากรอยตดบนระนาบ z = k เมอ k = 0 รอยตดเปนเสนตรงสองเสนตดกน เมอ k 0 รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน Y เมอ k 0 รอยตดจะเปนไฮเพอรโบลาทมแกนตามขวางขนานกบแกน X กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

รปท 1.4.6

หมายเหต 1. กราฟของสมการ 22

ax - 2

2

by = cz เมอ c 0

คลายอานมาครอมบนแกน Y จงนยมเรยก ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด วา พ นผวอานมา จด (0, 0, 0) เรยกวา จดอานมา

สมการเปน 2

2

a)hx( -

2

2

b)ky( = c(z - ) เมอ c 0

เปนพนผวอานมา มจดอานมาอยทจด (h, k, )

2. กราฟของสมการ 22

ax - 2

2

by = cz เมอ c 0

คลายอานมาครอมบนแกน X



1 - 76

ตวอยาง 1.4.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน

1. 16x 2 -

25y2

+ 9z2 = 0 2. 175 2x + 112 2y + 400z = 0

วธทา 1. 16x 2 -

25y2

+ 9

z2 = 0 เปนสมการของกรวยอลลปตก

รปท 1.4.7 รอยตดบนระนาบ y = 5 เปนวงร

16x 2 + 9

z2 = 1, y = 5 2. จาก 175 2x + 112 2y + 400z = 0

2800 หารตลอด ; 16x 2 +

25y2

+ 7z = 0

16x 2 +

25y2

= -7z

เปนสมการของ อลลปตกพาราโบลอยด รปท 1.4.8

รอยตดบนระนาบ z = -7 เปนวงร 16x 2 +

25y2

= 1, z = -7



1 - 77

ตวอยาง 1.4.2 กาหนดสมการของพนผวเปน 16 2x + 9 2y + 12z - 96 = 0 1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว วธทา จาก 16 2x + 9 2y + 12z - 196 = 0 จะได 16 2x + 9 2y = -12(z - 8) ซงเปนสมการของอลลปตกพาราโบลอยด สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ 16 2x + 9 2y + 12(-4) - 96 = 0 , z = -4 16 2x + 9 2y = 144 , z = -4

9

x 2 + 16y2

= 1 , z = -4 ซงมกราฟเปนวงร สมการของรอยตดบนระนาบ y = 2 คอ 16 2x + 9(2)2 + 12z - 96 = 0, y = 2 16 2x + 12z = 60, y = 2 2x = - 4

3(z - 5), y = 2 ซงมกราฟเปนพาราโบลา



1 - 78

กราฟของอลลปตกพาราโบลอยด ซงแสดงรอยตดบนระนาบ z = -4 และ y = 2 คอ

รปท 1.4.9



1 - 79

ตวอยาง 1.4.3 กาหนดสมการของพนผวเปน 225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0 1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว วธทา จาก 225 2x - 400 2y + 144 2z + 3600 = 0

จะได 16x 2 -

9y2

+ 25z2 + 1 = 0

-16x 2 +

9y2

- 25z2 = 1

ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน สมการของรอยตดบนระนาบ y = 3 2 คอ -

16x 2 + 9

18 - 25z2 = 1 , y = 3 2

16x 2 +

25z2 = 1 , y = 3 2

ซงมกราฟเปนวงร สมการของรอยตดบนระนาบ z = 5 2 คอ

-16x 2 +

9y2

- 2550 = 1 , z = 5 2

9

y2 -

16x 2 = 3 , z = 5 2

27y2

- 48x 2 = 1 , z = 5 2

ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 80

กราฟอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดสองชน ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 3 2 และ z = 5 2 คอ

รปท 1.4.10



1 - 81

ตวอยาง 1.4.4 กาหนดสมการของพนผวเปน 50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0 1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว วธทา จาก 50 2x - 25 2y + 8 2z - 400 = 0

จะได 8

x 2 - 16y2

+ 50z2 = 1

ซงเปนสมการของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว สมการของรอยตดบนระนาบ y = 4 คอ

8x 2 - 16

16 + 50z2 = 1 , y = 4

16x 2 +

100z2 = 1 , y = 4

ซงมกราฟเปนวงร

สมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 คอ 8

x 2 - 16y2

= 1, z = 0 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 82

กราฟของอลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว ซงแสดงรอยตดบนระนาบ y = 4 และ z = 0 คอ

รปท 1.4.11



1 - 83

ตวอยาง 1.4.5 กาหนดสมการของพนผวเปน 25 2x - 4 2y + 25z = 0 1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 2. จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว วธทา จาก 25 2x - 4 2y + 25z = 0

จะได 4

x 2 - 25y2

= - 4z

ซงเปนสมการของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด (พนผวอานมา)

สมการของรอยตดบนระนาบ x = 0 คอ 2y = 4

25z, x = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

สมการของรอยตดบนระนาบ y = 0 คอ 2x = -z, y = 0 ซงมกราฟเปนพาราโบลา

สมการของรอยตดบนระนาบ z = 4 คอ

25y2

- 4

x 2 = 1, z = 4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา

สมการของรอยตดบนระนาบ z = -4 คอ

4

x 2 - 25y2

= 1, z = -4 ซงมกราฟเปนไฮเพอรโบลา



1 - 84

กราฟของไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด ซงแสดงรอยตด บนระนาบ x = 0, y = 0, z = 4 และ z = -4 คอ

รปท 1.4.12



1 - 85

อลลปซอยด

อลลปตกไฮเพอรโบลอยด

ชนดชนเดยว อลลปตกไฮเพอรโบลอยด

ขนดสองชน

กรวยอลลปตก



1 - 86

อลลปตกพาราโบลอยด

ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด

บทท 1 พ นผวในปรภมสามมต 1 - 87

แบบฝกหด 1.2 จงหาสมการของพนผวทเกดจากการหมนเสนโคงในระนาบ รอบแกนพกด ทกาหนดให 1. 3z + 4y = 12 , x = 0 รอบแกน Y

2. 2y = 3(x – 2) , z = 0 รอบแกน X 3. y = 4 z , x = 0 รอบแกน Z 4. 2x + 2z = 25 , y = 0 รอบแกน X

5. 16 2y + 9 2z = 144 , x = 0 รอบแกน Y 6. 16 2x + 2z = 16 , y = 0 รอบแกน Z

7. 16x2 + 25

y2 = 1 , z = 0 รอบแกน Y

8. 4x2 – 9

y2 = 1 , z = 0 รอบแกน X

9. (y – 4) 2 = 12(x – 2) , z = 0 รอบแกน Y

10. 4 2x – 2y = 1 , z = 0 รอบแกน Y

เฉลยแบบฝกหด 1.2 1. 9 2x – 16 2y + 9 2z + 96y – 144 = 0 2. 2y + 2z – 3x + 6 = 0

3. 2x + 2y – 16z = 0 4. 2x + 2y + 2z = 25 5. 9 2x + 16 2y + 9 2z = 144 6. 16 2x + 16 2y + 2z = 16

7. 25 2x + 16 2y + 25 2z = 400 8. 9 2x – 4 2y – 4 2z = 36 9. 144 2x + 144 2z = ((y – 4) 2 + 24) 2 10. 4 2x – 2y + 4 2z = 1


แบบฝกหด 1.3

จงพจารณาลกษณะของพนผวจากสมการทกาหนดให (1) จงหาจดตดแกน (2) จงหาขอบเขตของตวแปร (3) จงพจารณาการมสมมาตรของพนผวเทยบกบระนาบพกดฉาก แกนพกดฉาก และจดกาเนด (4) จงพจารณารอยตดบนระนาบพกดฉาก (5) จงพจารณารอยตดบนระนาบ x = k, y = k และ z = k เมอ k เปนจานวนจรง (6) จงเขยนกราฟของพนผว 1. 4 2x + 9 2y + 16 2z - 144 = 0 2. 2x - 2y + 4 2z - 4 = 0 3. 2x + 2y - z = 0 4. 2x + 2y + 8z = 0

5. 2x + 2y - 4y = 0 6. 2x + 2y - 2z = 0


แบบฝกหด 1.4 1. จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผวตอไปน 1.1 2x + 2y + 2z + 2z = 0 1.2 2y + 2z – x – 4 = 0 1.3 2x + 4 2y – 8z – 16 = 0 1.4 2x – 2y + 2z + 2x + 2y + 4z = 0 1.5 2 2x – 2y – 2z + 4x + 2y + 4z = 0 1.6 25 2x – 2y + 144 2z + 2y – 1 = 0 1.7 2x – 2 2y + 2x + 4y – z + 2= 0 1.8 2x + 2y – 2 2z + 4x + 4y = 0 1.9 4 2x + 9 2y + 2z – 8x + 2 = 0

1.10 4)1x( 2 – 9

)2y( 2 – 16)1z( 2 = 1

1.11 16)2x( 2 + 9

)1y( 2 – 25)1z( 2 = 0

1.12 2x + 2y + 3 2z – 2x + 4y – 6z = 3

2. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 + 9

y2 – 2z2 = 1

2.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 2.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = – 6 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว

3. กาหนดสมการของพนผวเปน 4x2 + 9

y2 + 36z2 = 1

3.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 3.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z = 0 และ z = 3 2 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว

4. กาหนดสมการของพนผวเปน 2x + 4y2 = 2

z 4.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 4.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ x = 1, y = 0 และ z = 8 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว

5. กาหนดสมการของพนผวเปน 16 2x + 4 2y – 2z = 0 5.1 จงบอกชอและเขยนกราฟของพนผว 5.2 จงหาสมการของรอยตดบนระนาบ z= 8 และ y = 3 พรอมทงเขยนกราฟของรอยตดบนกราฟของพนผว


เฉลยแบบฝกหด 1.4 1. 1.1อลลปซอยด 1.2อลลปตกพาราโบลอยด 1.3อลลปตกพาราโบลอยด 1.4 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว 1.5อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดชนเดยว 1.6กรวยอลลปตก 1.7ไฮเพอรโบลกพาราโบลอยด 1.8 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว 1.9อลลปซอยด 1.10 อลลปตกไฮเพอรโบลอยดขนดสองชน 1.11 กรวยอลลปตก 1.12 อลลปซอยด 2. อลลปตกไฮเพอรโบลอยดชนดชนเดยว 3. อลลปซอยด 4. อลลปตกพาราโบลอยด 5.กรวยอลลปตก

Documents

x y พ้ืนผิวในปร ิภูมิสามมิติ x2 y2pioneer.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_01_4in1.pdf · บทที่ 1 พ้ืนผิวในปร