บทที่ 5 บทนิยาม ให f, g, h เป นฟ ชงกั ...pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301203/sheet_book/...5 - 5 บทท อ 5 นท กรลตามเส

บทที่ 5 อินทิกรัลตามเสน5 - 1

บทที่ 5อินทิกรัลตามเสน

รองศาสตราจารย ดํารงค ทิพยโยธาภาควิชาคณิตศาสตร คณะวิทยาศาสตร จุฬาลงกรณมหาวิทยาลัย


5.1 อินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาจริงบทนิยาม 5.1.1 ให f, g, h เปนฟงกชันคาจริงบนชวง I = [a, b]ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย rv(t) = (f(t), g(t))เรียกวา ฟงกชันคาเวกเตอร จากชวง I ไปยัง 2R

ฟงกชันซึ่งกําหนดโดย rv(t) = (f(t), g(t), h(t))เรียกวา ฟงกชันคาเวกเตอร จากชวง I ไปยัง 3R

ตัวอยาง rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1rv(t) = (1 + 2t, 2 - 3t, 3 + 6t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1rv(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π

ในกรณีทั่วไป เมื่อ 1x , 2x , ... , nx เปนฟงกชันคาจริงบนชวง I = [a, b] ฟงกชันซึ่งกําหนดโดยrv(t) = ( 1x (t), 2x (t), ... , nx (t))เรียกวา ฟงกชันคาเวกเตอร จากชวง I ไปยัง nR


เสนโคงในปริภูมิสองมิติ และ ปริภูมิสามมิติในปริภูมิสองมิติ กําหนด ฟงกชันคาเวกเตอรrv(t) = (x(t), y(t)) เมื่อ a ≤ t ≤ bกราฟของความสัมพันธC = {(x(t), y(t)) | (x(t), y(t)) = rv(t), a ≤ t ≤ b}เรียกวา กราฟของการเคลื่อนที่rv(t) = (x(t), y(t)) เมื่อ a ≤ t ≤ b

ในปริภูมิสามมิติ กําหนด ฟงกชันคาเวกเตอรrv(t) = (x(t), y(t), z(t)) เมื่อ a ≤ t ≤ bกราฟของความสัมพันธC = {(x(t), y(t), z(t)) | (x(t), y(t), z(t)) = rv(t), a ≤ t ≤ b}เรียกวา กราฟของการเคลื่อนที่rv(t) = (x(t), y(t), z(t)) เมื่อ a ≤ t ≤ brv(a) เรียกวา จุดเริ่มตน rv(b) เรียกวา จุดสิ้นสุด

กราฟของการเคลื่อนที่ rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4คือ

โดยมี จุดเริ่มตน A(0, 0) และ จุดสิ้นสุด B(4, 16)

รูปที่ 5.1.1


กราฟของการเคลื่อนที่ rv(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t)เมื่อ 0 ≤ t ≤ 5 คือ

โดยมีจุดเริ่มตนที่ A(1, 2, 4) และ จุดสิ้นสุดที่ B(6, 7, 14)

กราฟของการเคลื่อนที่ rv(t) = (2 cos t, 2 sin t)เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π คือ

โดยมีจุดเริ่มตน A(2, 0) และ จุดสิ้นสุด B(2, 0)และเปนการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา



Page 1 of 53

09/06/2008


ขอตกลง1. กราฟของการเคลื่อนที่ rv(t) เรียกวา เสนโคง วิถี

หรือ รอยทางเดินของการเคลื่อนที่ใชสัญลักษณแทนกราฟของการเคลื่อนที่ rv(t) ดวย C

2. สําหรับ การเคลื่อนที่ rv(t) เมื่อ a ≤ t ≤ brv(a) เรียกวา จุดเริ่มตน rv(a) และ rv(b) เรียกวา จุดสิ้นสุด

3. ถา rv ตอเนื่องบน [a, b]แลว rr เปน วิถีตอเนื่อง (continous curve)ถา วิถี rv มีสมบัติวา ทุกคา 1t , 2t ∈ (a, b) และ 1t ≠ 2t

จะได 1rv ( 1t ) ≠ 2r

v ( 2t )แลว rv เปน วิถีเชิงเดียว

4. ถา rv ตอเนื่องบน [a, b] และ rr ′ ตอเนื่องบน (a, b)แลว rr เปน วิถีเรียบ (smooth curve)

5. ถา rv เปนวิถีตอเนื่องและเราสามารถแบง [a, b]ออกเปนชวงยอยดวยจุด 0t , 1t , ... , nt

โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < nt = bและ rr เปนวิถีเรียบบนแตละชวงยอย [ 1it − , it ]แลว rv เปน วิถีเรียบเปนชวง ๆ (piecewise smooth curve)

6. กราฟของวิถีตอเนื่อง เรียกวา เสนโคงตอเนื่องกราฟของวิถีเรียบ เรียกวา เสนโคงเรียบ


7. กราฟของวิถีเรียบเปนชวงๆเรียกวา เสนโคงเรียบเปนชวงๆ

8. เสนโคง C ซึ่งกําหนดดวยวิถีเชิงเดียว rr

เรียกวา เสนโคงเชิงเดียว (simple curve)9. ถา วิถี rv (t) บนชวง [a, b] มีสมบัติ rv (a) = rv (b)

แลว rv เปน วิถีปดเพราะฉะนั้น วิถีปดคือวิถีซึ่งมีจุดเริ่มตนและจุดสิ้นสุดเปนจุดเดียวกัน

10. เสนโคง C ซึ่งกําหนดดวยวิถีปด rr เรียกวา เสนโคงปด11. ถา วิถี rv เปน วิถีปด และ เปนวิถีเชิงเดียว

แลว rv เปน วิถีปดเชิงเดียวเพราะฉะนั้น วิถีปดเชิงเดียวคือวิถีซึ่งตัดกันที่จุดเดียวเทานั้นคือจุดปลายทั้งสอง

ตัวอยาง1C : rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4

เปนเสนโคงเชิงเดียว และ เปนเสนโคงเรียบ2C : rv(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t)

เมื่อ 0 ≤ t ≤ 5 เปนเสนโคงเรียบ3C : rv(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π

เปนเสนโคงปดเชิงเดียว


4C : rv(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 4π เปนเสนโคงปดเพราะวา rv(0) = (2, 0) = rv(2π)เพราะฉะนั้น 4C ไมเปนเสนโคงเชิงเดียว12. เมื่อ C : rv (t) บนชวง [a, b] จะได เสนโคง rC v− หรือ -Cคือเสนโคงที่มีจุดเริ่มตนที่จุด rr(b) เคลื่อนยอนกลับเสนโคง C จนมาถึงจุด rr(a)เพราะฉะนั้น -C เปนเสนโคงของวิถี *rv ที่นิยามสูตรโดย

*rv (t) = rv (b + a - t) เมื่อ a ≤ t ≤ b13. 1C : 1 r

v (t) บนชวง [ 0t , 1t ]2C : 2 r

v (t) บนชวง [ 1t , 2t ]:

iC : i rv (t) บนชวง [ 1 1t − , it ]

:nC : nr

v (t) บนชวง [ 1 nt − , nt ]โดยที่ 1r

v ( 1t ) = 2 rv ( 1t ), 2 r

v ( 2t ) = 3 rv ( 2t ),

... , i rv ( it ) = 1i r +

v ( it ), ... , 1nr −v ( 1 nt − ) = nr

v ( 1 nt − )เสนโคง C = 1C + 2C + ... + nC

หรือในบางครั้งแทนดวย C = 1C ∪ 2C ∪ ... ∪ nC

คือ เสนโคง C ของวิถี rv(t) บนชวง [ 0t , nt ]ที่กําหนดโดย rv (t) = i r

v (t) เมื่อ t ∈ [ 1 it − , it ]


ความยาวของสวนโคงของเสนโคง ให rv เปนวิถีเรียบ บนชวง (a, b)และ C เปนเสนโคงซึ่งกําหนดดวยวิถี rr

A = rv (a) เปนจุดเริ่มตน และ B = rr(b) เปนจุดสิ้นสุดให L(a, b) แทนความยาวของสวนโคงจาก A ถึง B

รูปที่ 5.1.4ให P = { 0t , 1t , 2t , ... , nt } เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]เพราะฉะนั้น P แบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0t , 1t , 2t , ... , nt

โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < nt = bและ ∆ kt = kt - 1kt − ทุก k = 1, 2, ... , nให kP มีพิกัดเปน rv ( kt ) เมื่อ k = 0, 1, ... , nเปนจุดบนเสนโคง C


Page 2 of 53

09/06/2008


สําหรับ k = 1, 2, ... , n จะได


ความยาวสวนโคง C ≈ ∑=

n

1 kความยาวของสวนเสนตรง 1kP − kP

ความยาวของสวนเสนตรง 1kP − kP = || k1k PP − ||= || kOP - 1kOP − ||= || rv( kt ) - rv( 1kt − ) ||= ||

1kk1kk

tt)t(r)t(r

−−

−− vv

|| ( kt - 1kt − )

≈ || rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − ) เมื่อ *

kt ∈ [ 1kt − , kt ]

เพราะฉะนั้น L(a, b) ≈ ∑=

n

1 k|| rv ′( *

kt ) || ( kt - 1kt − )

เมื่อ n มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด (n → ∞)และ ∆ kt มีคาเขาใกล 0 ทุกคา k = 1, 2, ... , nเราจะได ความยาวของสวนโคง C มีคาเทากับ

∞→n

lim ∑=

n

1 k|| rv ′( *

kt ) || ( kt - 1kt − )


เพราะวา rv ′ ตอเนื่องบน (a, b)เพราะฉะนั้น || rv ′(t) || ตอเนื่องบน (a, b)และ

∞→nlim ∑

=

n

1 k|| rv ′( *

kt ) || ( kt - 1kt − ) = ∫=

=

b t

a t || rv ′(t) || dt

เพราะฉะนั้น L(a, b) = ∫=

=

b t

a t || rv ′(t) || dt

ในทํานองเดียวกัน เมื่อ t ∈ [a, b]และ C(t) เปนสวนของเสนโคง C ที่มีจุดเริ่มตน A( rv(a))และ จุดสิ้นสุด rv(t)ให S(t) = L(a, t)

= ความยาวของสวนโคง C(t)

เพราะฉะนั้น S(t) = ∫t

a|| rv ′(u) || du


ตัวอยาง 5.1.1 จงหาความยาวของเสนโคง1. 1C : rv(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 52. 2C : rv(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π3. 3C : rv(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πวิธีทาํ 1. 1C : rv(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 5จะได rv ′(t) = (1, 1, 2)

|| rv ′(t) || = 6

ความยาวของเสนโคง 1C = ∫5

0|| rv ′(t) || dt = ∫

5

06 dt = 5 6

2. 2C : rv(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πจะได rv ′(t) = (-2 sin t, 2 cos t)

|| rv ′(t) || = tcos4tsin4 22 + = 2

ความยาวของเสนโคง 2C = ∫π2

0|| rv ′(t) || dt = ∫

π2

02 dt = 4π

3. 3C : rv(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πจะได rv ′(t) = (-4 sin t, 4 cos t, 3)

|| rv ′(t) || = 9tcos16tsin16 22 ++ = 5

ความยาวของเสนโคง 3C = ∫π2

0|| rv ′(t) || dt = ∫

π2

05 dt = 10π


อินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาจริง

กําหนด C เปนเสนโคงซึ่งกําหนดโดยฟงกชันคาเวกเตอรrv(t) เมื่อ a ≤ t ≤ bให rv เปนวิถีเรียบ หรือ วิถีเรียบเปนชวงๆS เปนฟงกชันความยาวของเสนโคง

กําหนดโดย S(t) = ∫t

a|| rv ′(u) || du เมื่อ t ∈ [a, b]

ให f เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุมทุกจุดบนเสนโคง Cให { it | i = 0, 1, 2, ... , n} เปนผลแบงก้ันของ [a, b]โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < nt = bเลือก *

it ∈ [ 1it − , it ]

ถา ∞→ n

lim ∑=

n

1 if( rv ( *

it ))(S( it ) - S( 1it − )) มีคา

แลว ∞→ n

lim ∑=

n

1 if( rv ( *

it ))(S( it ) - S( 1it − ))

เรียกวา อินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาจริง f บน Cและใชสัญลักษณแทนดวย∫C

f หรือ ∫C

f dS หรือ ∫rv

f หรือ ∫rv

f dS

Page 3 of 53

09/06/2008


เพราะฉะนั้น ∫C

f dS= ∞→ n

lim ∑=

n

1 if( rr ( *

it ))(S( it ) - S( 1it − ))

= ∞→ n

lim ∑=

n

1 if( rr ( *

it ))(1ii

1iitt

)t(S)t(S−−

−− )( it - 1it − )

≈ ∞→ n

lim ∑=

n

1 if( rr ( *

it )) || rr ′( *it ) || ( it - 1it − )

= ∫b

af( rr (t)) || rr ′(t) || dt

หมายเหตุ

1. ถา f = 1 บน C แลว ∫C

f dS = ∫b

a|| rr ′(t) || dt

ซึ่งคือความยาวของเสนโคง C บนชวง [a, b]2. ถา f เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุมทุกจุดบน

1C และ 2C

แลว ∫+ 2C 1C

f dS = ∫1C

f dS + ∫2C

f dS

3. ให 1f , 2f , ... , nf เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุมทุกจุดบนเสนโคง C จะได∫C

( 1k 1f + 2k 2f + ... + nk nf ) dS

= 1k ∫C

1f dS + 2k ∫C

2f dS + ... + nk ∫C

nf dS


4. f เปนฟงกชันคาจริงซึ่งมีโดเมนครอบคลุมทุกจุดบนC : rr(t) บนชวง [a, b] จะได ∫

−Cf dS

= ∫=

=

b t

a t || *rv ′(t) || dt เมื่อ *rv (t) = rr(b + a - t) เมื่อ a ≤ t ≤ b

= ∫=

=

b t

a t || rv ′(b + a - t) || dt

= ∫=

=

a u

b u|| rv ′(u) || d(b + a - u) เมื่อ u = b + a - t

= - ∫=

=

a u

b u|| rv ′(u) || du

= ∫b

a|| rv ′(u) || du

= ∫C

f dS


ตัวอยาง 5.1.2 กําหนดเสนโคงC : rv(t) = (4 cos t, 4 sin t) เมื่อ t ∈ [0, 2π]จงหาคาของ ∫

C

22 yx + dS

วิธีทาํ f(x, y) = 22 yx +

จาก rv(t) = (4 cos t, 4 sin t)จะได rv ′(t) = (-4 sin t, 4 cos t) || rv ′(t) || = tcos16tsin16 22 + = 4

∫C

f dS = ∫π2

0f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫π2

0f(4 cos t, 4 sin t) (4) dt

= ∫π2

0tsin16tcos16 22 + 4 dt

= ∫π2

016 dt

= 32 π


ตัวอยาง 5.1.3 กําหนดเสนโคงC : rr (t) = (5 cos t, 5 sin t, 12t) เมื่อ t ∈ [0, π]จงหาคาของ ∫

C( 2x + 2y + 2z ) dS

วิธีทาํ f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z

จาก rv (t) = (5 cos t, 5 sin t, 12t)จะได rv ′(t) = (-5 sin t, 5 cos t, 12)และ || rv ′(t) || = 144tcos25tsin25 22 ++

= 14425+ = 13

∫C

f dS = ∫π

0f( rv (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫π

0f(5 cos t, 5 sin t, 12t) 13 dt

= 13 ∫π

0(25 tcos2 + 25 tsin2 + 144 2t ) dt

= 13 ∫π

0(25 + 144 2t ) dt

= 13 [ 25t + 48 3t ] 0 t t =π=

= 13(25π + 48 3π )

Page 4 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.1.4 กําแพงของโรงงานมีฐานอยูบนระนาบ XYโดยที่ฐานของกําแพงอยูบนแนวเสนพาราโบลา y = 4 - 2x

จากจุด (0, 4) ถึง (2, 0)ที่จุด (x, y) บนแนวฐานของกําแพงมีความสูงของกําแพงมีความสูงเทากับ x จงหาพื้นที่ผิวของกําแพง(สมมติกําแพงไมมีความหนา และ คิดพื้นที่ผิวเพียงดานเดียว)วิธีทาํ

รูปที่ 5.1.7เสนโคงพาราโบลา y = 4 - 2x จากจุด (0, 4) ถึง (2, 0)มีกราฟดังรูปที่ 5.1.7ให C เปนเสนโคงของฐานกําแพง มีวิถีrr (t) = (t, 4 - 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2ที่จุด (x, y) บนเสนโคง C มีคาความสูงเทากับ x


เพราะฉะนั้นเรากําหนดให f(x, y) = x rv (t) = (t, 4 - 2t ) rv ′(t) = (1, -2t)

และ || rv ′(t) || = 2t41+

∫C

f dS = ∫2

0f( rv (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫2

0f(t, 4 - 2t ) 2t41+ dt = ∫

2

0t 2t41+ dt

= [ 121 (1 + 4 2t ) 2

3 ] 0 t

2 t == = 12

1 (17 17 - 1)

วิถีที่สมมูลกันเสนโคงในปริภูมิสองมิติ และ ปริภูมิสามมิติวิถี 1 r

v และ 2 rv ที่ตางกัน อาจมีกราฟเปนเสนโคงเดียวกัน

ตัวอยางเชน 1 rv (t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

2 rv (t) = ( 2t , 4t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

1 rv และ 2 r

v มีกราฟเปนสวนหนึ่งของพาราโบลา y = 2x

จุดเริ่มตน (0, 0) จุดสิ้นสุด (1, 1) เหมือนกันวิถี 1 r

v และ 2 rv ที่ตางกัน แตมีกราฟเปนเสนโคงเดียวกัน

เรียกวา วิถีที่สมมูลกัน


บทนิยาม 5.1.1 1 rv เปนวิถีตอเนื่องบนชวงปด [a, b]

และ u : [c, d] → [a, b] เปนฟงกชันทั่วถึงซึ่งมีอนุพันธและ u′ ≠ 0 บนชวง [c, d]

2 rv เปนวิถีที่กําหนดโดย 2 r

v (t) = 1 rv (u(t)) บนชวง [c, d]

จะได 1 rv และ 2 r

v เปน วิถีที่สมมูลกันให 1C เปนเสนโคงกําหนดโดย 1 r

v

และ 2C เปนเสนโคงกําหนดโดย 2 rv

ถา u′(t) > 0 บนชวง [c, d]แลว กราฟของ 1C และ 2C มีทิศทางเดียวกันถา u′(t) < 0 บนชวง [c, d]แลว กราฟของ 1C และ 2C มีทิศทางตรงกันขาม

ตัวอยาง1 rv (t) = (cos t, sin t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π

2 rv (t) = (cos(2π - t), sin(2π - t), 2π - t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πมี u(t) = 2π - t จะได 2 r

v (t) = 1 rv (u(t))

เพราะฉะนั้น 1 rv และ 2 r

v เปนวิถีที่สมมูลกัน


ตัวอยาง 1C : 1 rv (t) = (t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

2C : 2 rv (t) = (t - 1, t - 1) เมื่อ 1 ≤ t ≤ 2

กราฟ 1C และ 2C เปนสวนเสนตรงระหวางจุด (0, 0) และ (1, 1)เพราะวามี u(t) = t - 1และ 1 r

v (u(t)) = (t - 1, t - 1) = 2 rv (t)


v เปนวิถีที่สมมูลกันเพราะวา u′(t) = 1 > 0 บนชวง [1, 2]เพราะฉะนั้น 1C และ 2C มีทิศทางเดียวกัน

ตัวอยาง 1C : 1 rv (t) = (cos t, sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π

2C : 2 rv (t) = (sin t, cos t) เมื่อ - 2

3π ≤ t ≤ 2π

กราฟ 1C และ 2C เปนวงกลมมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0)และมีรัศมีเทากับ 1เพราะวา มี u(t) = 2

π - tและ 1 r

v (u(t)) = (cos( 2π - t), sin( 2

π - t))= (sin t, cos t)= 2 rv (t)


v เปนวิถีที่สมมูลกันเพราะวา u′(t) = -1 < 0 บนชวง [- 2

3π , 2π ]

เพราะฉะนั้น 1C และ 2C มีทิศทางตรงกันขาม

Page 5 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.1.5 กําหนดให1 rv เปนวิถีเชิงเดียวและเปนวิถีตอเนื่องบนชวงปด [a, b]และ 2r

v เปนวิถีเชิงเดียวและเปนวิถีตอเนื่องบนชวงปด [c, d]และ 1 r

v , 2 rv เปนวิถีที่สมมูลกัน

จงแสดงวา ∫1 rv

f dS = ∫2rv

f dS

วิธีทาํ 1rv เปนวิถีตอเนื่องบนชวงปด [a, b]

u : [c, d] → [a, b] ซึ่งมีอนุพันธ และ u′ ≠ 0 บนชวง [c, d] 2 rv (t) = 1 r

v (u(t)) บนชวง [c, d]

กรณีที่ 1. 1rv และ 2 r

v เปนวิถีที่สมมูลกันและมีทิศทางเดียวกันเพราะฉะนั้น u′(t) > 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = a, u(d) = b

∫2 rv

f dS = ∫=

=

d t

c t f( 2 rv (t)) || 2 r

v ′(t) || dt

= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) u′(t) || dt

= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || | u′(t) | dt

= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || u′(t) dt

(เพราะวา u′(t) > 0 บนชวง [c, d])


แทนคา w = u(t) บนชวง [c, d]เพราะฉะนั้น dw = u′(t) dt และ

∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || u′(t) dt

= ∫=

=

u(d) w

u(c) wf( 1 rv (w)) || 1 r

v ′(w) || dw

= ∫=

=

b w

a wf( 1 rv (w)) || 1 r

v ′(w) || dw

= ∫1 rv

f dS

เพราะฉะนั้น ∫2 rv

f dS = ∫1 rv

f dS

กรณีที่ 2. 1 rv

และ 2 rv เปนวิถีที่สมมูลกันและมีทิศทางตรงกันขาม

เพราะฉะนั้น u′(t) < 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = b, u(d) = a

∫2 r

vf dS = ∫

=

=

d t

c t f( 2 rv (t)) || 2 r

v ′(t) || dt

= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) u′(t) || dt

= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || | u′(t) | dt


= ∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || (-u′(t)) dt

(เพราะวา u′(t) < 0 บนชวง [c, d])แทนคา w = u(t) บนชวง [c, d]เพราะฉะนั้น dw = u′(t) dt และ

∫=

=

d t

c t f( 1 rv (u(t))) || 1 r

v ′(u(t)) || (-u′(t)) dt

= - ∫=

=

u(d) w

u(c) wf( 1 rv (w)) || 1 r

v ′(w) || dw

= - ∫=

=

a w

b wf( 1 rv (w)) || 1 r

v ′(w) || dw

= ∫=

=

b w

a wf( 1 rv (w)) || 1 r

v ′(w) || dw

= ∫1 rv

f dS


f dS = ∫1 rv

f dS


ประโยชนของอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาจริง

กําหนดให วัตถุมีรูปทรงเปนเสนโคง C ซึ่งกําหนดโดย rv(t)f(x, y, z) เปนฟงกชันความหนาแนน(มวล ตอ ความยาวหนึ่งหนวย) ที่จุด (x, y, z) ใด ๆจะได1. มวลของ C คือ M = ∫

Cf dS

2. น้ําหนักของ C คือ W = ∫C

g f dS

เมื่อ g เปนแรงโนมถวงหรือแรงดึงดูดของโลก3. โมเมนตของ C รอบระนาบ XY คือ xyM = ∫

Cz f dS

โมเมนตของ C รอบระนาบ XZ คือ xzM = ∫C

y f dS

โมเมนตของ C รอบระนาบ YZ คือ yzM = ∫C

x f dS

4. โมเมนตของความเฉื่อยของ C รอบแกน X คือ xI = ∫

C( 2y + 2z ) f dS

โมเมนตของความเฉื่อยของ C รอบแกน Y คือ yI = ∫

C( 2x + 2z ) f dS

โมเมนตของความเฉื่อยของ C รอบแกน Z คือ zI = ∫

C( 2x + 2y ) f dS

Page 6 of 53

09/06/2008


5. พิกัดของจุดศูนยถวงของ C คือ (x , y, z)เมื่อ x = M

Myz , y = MMxz และ z = M

Mxy

6. โมเมนตของความเฉื่อยของ C รอบเสนตรง L คือ LI = ∫

C

2d f dS

เมื่อ d เปนระยะจากจุด (x, y, z) ไปยังเสนตรง L

ตัวอยาง 5.1.6 กําหนดลวดมีรูปรางเปนเสนโคงC : rv(t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t) เมื่อ t ∈ [0, 2π]ถาฟงกชันความหนาแนนของลวดเสนนี้คือf(x, y, z) = z 22 yx + จงหามวลของลวดเสนนี้วิธีทาํ จาก rv(t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t)จะได rv ′(t) = (-6 sin 2t, 6 cos 2t, 8) || rv ′(t) || = 64t2cos36t2sin36 22 ++ = 10

มวลของเสนลวดคือ ∫C

f dS = ∫π2

0f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫π2

0f(3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t) 10 dt

= ∫π2

08t t2cos9t2sin9 22 + 10 dt = ∫

π2

08t(3)10 dt

= ∫π2

0240t dt = = 480 2π


ตัวอยาง 5.1.7 ลวดเสนหนึ่งมีรูปรางเปนเสนโคงC : rr (t) = (2t, 3t, 6t) เมื่อ t ∈ [0, 1]ถาฟงกชันความหนาแนนของเสนลวดคือf(x, y, z) = xy + yz + zx จงหา

1. มวลของลวด2. โมเมนตของเสนลวดรอบระนาบ XY, XZ, YZ3. จุดศูนยถวงของลวด

วิธีทาํ จาก rv(t) = (2t, 3t, 6t)จะได rv ′(t) = (2, 3, 6)และ || rv ′(t) || = 222 632 ++ = 7

f( rv(t)) = f(2t, 3t, 6t)= (2t)(3t) + (3t)(6t) + (6t)(2t)= 36 2t

มวลของเสนลวดเทากับ

∫C

f dS = ∫1

0f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫1

0(36 2t )(7) dt

= 252 [ 3t3 ] 0 t

1 t ==

= 84


โมเมนตของ C รอบระนาบ XY คือ xyM = ∫C

z f dS

= ∫1

0(6t) f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫1

0(6t)(252 2t ) dt

= 1512 ∫1

0

3t dt

= 378โมเมนตของ C รอบระนาบ XZ คือ

xzM = ∫C

y f dS

= ∫1

0(3t) f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫1

0(3t)(252 2t ) dt

= 756 ∫1

0

3t dt

= 189


โมเมนตของ C รอบระนาบ YZ คือyzM = ∫

Cx f dS

= ∫1

0(2t) f( rr (t)) || rr ′(t) || dt

= ∫1

0(2t)(252 2t ) dt

= 504 ∫1

0

3t dt

= 126เพราะวา x = M

Myz = 84126

y = MMxz = 84

189

z = MMxy = 84

378

เพราะฉะนั้น พิกัดของจุดศูนยถวงของ Cคือ ( 84

126 , 84189 , 84

378 )

Page 7 of 53

09/06/2008


แบบฝกหัด 5.11. จงหาความยาวของเสนโคงตอไปนี้

1.1 C : rv (t) = (cos 4t, sin 4t) บนชวง [0, 4π ] 1.2 C : rv (t) = ( 2t , 2

3 2t , 3 2t ) บนชวง [1, 4]1.3 C : rv (t) = (cos t, sin t, t) บนชวง [0, 8π]

1.4 C : rv (t) = (1 + 18 32

t , 4 + 6 32

t , 36 + 9 32

t ) บนชวง [1, 8]2. จงหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫

C

f dS เม่ือกําหนด f และ rv ดังตอไปนี้

2.1 f(x, y) = x + 2y C : rv (t) = (1 + 12t, 2 + 5t) บนชวง [0, 2]

2.2 f(x, y) = yx15 3 C เปนสวนของเสนกราฟพาราโบลา y = 2

x2 จากจุด (0, 0) ถึงจุด (2, 2)

2.3 f(x, y) = 2

2

y1

xy

+

+ C เปนสวนของเสนกราฟพาราโบลา x = 2y2

จากจุด (2, 2) ถึงจุด (0, 0)

2.4 f(x, y) = 2x – y C เปนสวนของวงกลมมีจุดศูนยกลางท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี 2 ในจตุภาคท่ีหนึ่งจากจุด (0, 2) ถึง ( 2 , 2 )

2.5 f(x, y) = 2x + 3y C เปนสวนของวงกลมมีจุดศูนยกลางท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี 2ในจตุภาคที่หนึ่งและสองจากจุด (2, 0) ถึง (–2, 0)

2.6 f(x, y, z) = x + 2y + 3z C : rv (t) = (t, 1 – t, 0) บนชวง [0, 1]2.7 f(x, y, z) = xy + yz + zx C : rv (t) = (2t, t, 2 – 2t) บนชวง [0, 1]2.8 f(x, y, z) = 6xyz C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 2, 3) ไปยังจุด (–5, –1, 1)2.9 f(x, y, z) = 222 zyx

zyx++

++ และ a, b เปนจํานวนจริง โดยที่ a < b

C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (2a, 3a, 6a) ไปยังจุด (2(b + a), 3(b + a), 6(b + a))2.10 f(x, y, z) = 22 yx

x+

C : rv (t) = (5 cos t, 5 sin t, 12t) บนชวง [0, 2π ]

3. กําหนด f(x, y) = 2x 3y จงหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫C

f dS เม่ือกําหนด C ตอไปนี้

3.1 C : rv (t) = (cos t, sin t) บนชวง [0, 2π ] 3.2 C : rv (t) = (cos 2t, sin 2t) บนชวง [0, 4

π ]3.3 C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 0) ไปยังจุด (0, 1)

4. กําหนด f(x, y, z) = 22 yx + จงหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫C

f dS เม่ือกําหนด C ตอไปนี้

4.1 C : rv (t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) บนชวง [0, 2π]4.2 C : rv (t) = (4 cos(2π – t), 4 sin(2π – t), 3(2π – t)) บนชวง [0, 2π]4.3 C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (0, 0, 0) ไปยังจุด (2π, 0, 0)4.4 C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (2π, 0, 0) ไปยังจุด (0, 0, 0)

5. จงพิจารณาวาวิถีท่ีกําหนดใหตอไปนี้เปนวิถีท่ีสมมูลกันหรือไม5.1 1C : 1 r

v (t) = (cos t, sin t) บนชวง [0, 2π ] 2C : 2 r

v (t) = (cos 2t, sin 2t) บนชวง [0, 4π ]

3C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 0) ไปยังจุด (0, 1)5.2 1C : 1 r

v (t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) บนชวง [0, 2π]2C : 2 r

v (t) = (4 cos(2π – t), 4 sin(2π – t), 3(2π – t)) บนชวง [0, 2π]3C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 0, 0) ไปยังจุด (2π, 0, 0)4C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (2π, 0, 0) ไปยังจุด (1, 0, 0)

6. จงหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫+ 2C 1C

(2x – y + 3 2z ) dS เม่ือกําหนด

1C : 1 rv (t) = (t, 2t , 0) บนชวง [0, 1] และ 2C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 1, 0) ไปยัง (1, 1, 1)

Page 8 of 53

09/06/2008

บทที่ 5 อินทิกรัลตามเสน5 - 307. จงหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫

++ 3C 2C 1C

( 2x + 2y + 2z ) dS เม่ือกําหนด

1C : 1 rv (t) = (0, 0, t) บนชวง [0, 1], 2C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (0, 0, 1) ไปยังจุด (0, 1, 1)

และ 3C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (0, 1, 1) ไปยังจุด (1, 1, 1)

8. ลวดเสนหนึ่งมีรูปรางเปนเสนโคง x = 4y2

, z = 0 มีจุดปลายที่จุด (0, 0, 0) และ (1, 2, 0)ถาฟงกชันความหนาแนนของเสนลวดคือ f(x, y, z) = 15 x1+

จงหา 8.1 มวลของลวด 8.2 โมเมนตของเสนลวดรอบระนาบ XY, XZ, YZ8.3 จุดศูนยถวงของลวด

9. ลวดเสนหนึ่งมีรูปรางเปนเสนโคง C : rv (t) = (1 + 2t, 3t, 3 + 6t) บนชวง [0, 1]ถาฟงกชันความหนาแนนของเสนลวดคือ f(x, y, z) = x + y + zจงหา 9.1 มวลของลวด 9.2 โมเมนตของเสนลวดรอบระนาบ XY, XZ, YZ

9.3 จุดศูนยถวงของลวด 9.4 โมเมนตของความเฉื่อยของเสนลวดรอบแกน X, Y, Z10. ลวดเสนหนึ่งมีรูปรางเปนเสนโคง C : rv (t) = (cos t, sin t, 2 2 t) บนชวง [0, 2

π ]

ถาฟงกชันความหนาแนนของเสนลวดคือ f(x, y, z) = 22 yx +

จงหา 10.1 มวลของลวด 10.2 โมเมนตของเสนลวดรอบระนาบ XY, XZ, YZ10.3 จุดศูนยถวงของลวด 10.4 โมเมนตของความเฉื่อยของเสนลวดรอบแกน X, Y, Z

11. รั้วบานมีฐานอยูบนระนาบ XY โดยที่ฐานของรั้วอยูบนแนวเสนพาราโบลา y = 1 – 2x จากจุด (0, 1) ถึง (1, 0)ท่ีจุด (x, y) บนแนวฐานของรั้วมีความสูงของรั้วเทากับ x จงหาพื้นที่ผิวของกําแพง (สมมติรั้วบานไมมีความหนาและ คิดพ้ืนที่ผิวเพียงดานเดียว)

12. กําแพงของสนามกีฬามีฐานอยูบนระนาบ XY โดยท่ีฐานของกําแพงอยูบนแนววงรี 16x2 + 9

y2 = 1

ท่ีจุด (x, y) บนแนวฐานของกําแพงมีความสูงของกําแพงมีความสูงเทากับ | x |จงหาพ้ืนที่ผิวของกําแพง (สมมติกําแพงไมมีความหนา และ คิดพ้ืนที่ผิวเพียงดานเดียว)

เฉลยแบบฝกหัด 5.11. 1.1 π 1.2 105 1.3 8 2 π 1.4 632. 2.1 702 2.2 50 5 – 10 2.3 5

18 2.4 –π + 2 + 2 2 2.5 242.6

23 2.7 5 2.8 21 2.9 7 ln( a

b ) 2.10 513

3. 3.1 152 3.2 15

2 3.3 602

4. 4.1 40π 4.2 40π 4.3 2 2π 4.4 2 2π

5. 5.1 1C , 2C เปนวิถีท่ีสมมูลกัน 1C , 3C ไมเปนวิถีท่ีสมมูลกัน5.2 1C , 2C เปนวิถีท่ีสมมูลกัน 3C , 4C เปนวิถีท่ีสมมูลกัน 1C , 4C ไมเปนวิถีท่ีสมมูลกัน

6. 122355 + 7. 4

8. 8.1 40 8.2 xyM = 0, yzM = 16, xzM = 45 8.3 ( 4016 , 40

45 , 0)9. 9.1 2

133 9.2 xyM = 2875 , yzM = 6

875 , xzM = 119 9.3 ( 57125 , 19

34 , 19125 )

9.4 xI = 413251 , yI = 3395, zI = 4

2387

10. 10.1 23π 10.2 xyM = 4

23 2π , yzM = 3, xzM = 310.3 (

π2 ,

π2 ,

2π ) 10.4 xI = 2

3π + 8 3π , yI = 23π + 8 3π , zI = 3π

11. 12155 − 12. 80

Page 9 of 53

09/06/2008


5.2 อินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอรให rv(t) เมื่อ a ≤ t ≤ b เปนวิถีเรียบหรือวิถีเรียบเปนชวง ๆและ rv เปนวิถีเชิงเดียวC เปนกราฟของ rv ดังรูปที่ 5.2.1Fv เปนฟงกชันคาเวกเตอร และเปนฟงกชันตอเนื่องบน Cและมีพิสัยเปนสับเซตของ nR

รูปที่ 5.2.1ให P = { 0t , 1t , 2t , ... , nt } เปนผลแบงก้ันของชวง [a, b]เพราะฉะนั้น P แบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงยอยดวยจุด 0t , 1t , 2t , ... , nt

โดยที่ a = 0t < 1t < 2t < ... < nt = bและ ∆ kt = kt - 1kt − ทุก k = 1, 2, ... , nให kP มีพิกัดเปน rv( kt )เมื่อ k = 0, 1, ... , n เปนจุดบนเสนโคง Cเพราะฉะนั้น kP = rv( kt )เปนจุดบนเสนโคง C ทุก k = 0, 1, 2, ... , n ดังรูปที่ 5.2.2



ถา∞→n

lim ∑=

n

1 k(Fv ( rv( *

kt )) ⋅ rv ′( *kt ))( kt - 1kt − ) มีคา

แลว∞→n

lim ∑=

n

1 k(Fv ( rv( *

kt )) ⋅ rv ′( *kt ))( kt - 1kt − )

เรียกวาอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอร F

v บนเสนโคง Cหรือ อินทิกรัลตามเสนของ F

v บนวิถี rv

ใชสัญลักษณแทนดวย ∫C

Fv ⋅ d rv หรือ ∫

rvFv ⋅ d rv

หรือ ∫B

AFv ⋅ d rv เมื่อ A = rv(a) และ B = rv(b)

การหาคาของ ∫C

Fv ⋅ d rv สามารถทําไดดังนี้

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b

aFv ( rv(t)) ⋅ rv ′(t) dt


ตัวอยาง 5.2.1 กําหนดให Fv (x, y) = ( 2x , xy)

และ C : rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1จงหาคาของ ∫

CFv ⋅ d rv

วิธีทาํ


∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

1

0Fv ( rv(t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫1

0Fv (t, 2t ) ⋅ (1, 2t) dt

= ∫1

0( 2t , 3t ) ⋅ (1, 2t) dt

= ∫1

0( 2t + 2 4t ) dt

= [ 3t3 + 5

t2 5 ] 0 t 1 t

==

= 31 + 5

2

= 1511


ตัวอยาง 5.2.2 กําหนดให Fv (x, y, z) = (xy, yz, zx)

และ C : rv(t) = (t, 3t, 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1จงหาคาของ ∫

CFv ⋅ d rv



∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

1


= ∫1

0Fv (t, 3t, 2t) ⋅ (1, 3, 2) dt

= ∫1

0((t)(3t), (3t)(2t), (2t)(t)) ⋅ (1, 3, 2) dt

= ∫1

0(3 2t , 6 2t , 2 2t ) ⋅ (1, 3, 2) dt

= ∫1

0(3 2t + 18 2t + 4 2t ) dt

= ∫1

025 2t dt

= [ 3t25 3 ] 0 t

1 t ==

= 325

Page 10 of 53

09/06/2008


งานการหางานที่ไดจากแรง F

v ในการเคลื่อนวัตถุจากจุด rv(a) ไปยังจุด rv(b) ตามเสนโคง C : rv(t) เมื่อ a ≤ t ≤ bและ C เปนวิถีเรียบหรือวิถีเรียบเปนชวง ๆและ rv เปนวิถีเชิงเดียวในทํานองเดียวกันกับการหาคาอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอรขางตน

รูปที่ 5.2.5ในชวงเวลา [ 1kt − , kt ]ระยะทางของการเคลื่อนที่จาก 1kP − ไปยัง kP ตามสวนโคง C

= || rv( kt ) - rr( 1kt − ) ||= ||

1kk1kk

tt)t(r)t(r

−−

−− vv

|| ( kt - 1kt − )

≈ || rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − ) เมื่อ *

kt ∈ [ 1kt − , kt ]


rv( *kt ) เปนจุดบนเสนโคงในชวงเวลา [ 1kt − , kt ]

Fv ( rr( *

kt )) เปนคาของฟงกชันคาเวกเตอรที่จุด rr( *kt )

kuv เปนเวกเตอรหนวยสัมผัสเสนโคง C ที่จุด rr( *kt )

kθ เปนมุมที่ Fv ( rr( *

kt )) ทํากับเวกเตอร kuv

Proj(Fv ( rv( *

kt ))) เปนภาพฉายเวกเตอร Fv ( rr( *

kt ))บนเวกเตอร kuv

เพราะฉะนั้น || Proj(Fv ( rv( *

kt ))) ||= ภาพฉายสเกลาร F

v ( rr( *kt )) บนเวกเตอร kuv

= | ||u||u))t(r(F

kk

*kv

vvv ⋅ |

= | (Fv ( rr( *

kt ))) ⋅ kuv |= || (F

v ( rr( *kt ))) || || kuv || cos( kθ )

= || (Fv ( rr( *

kt ))) || (1) cos( kθ )= || (F

v ( rr( *kt ))) || cos( kθ )

เพราะฉะนั้น งานในชวงเวลา [ 1kt − , kt ]= ขนาดของแรง × ระยะทาง ( × เปนการคูณของตัวเลข)≈ ขนาดของแรงในทิศทางของการเคลื่อนที่

× (ระยะจาก rv( 1kt − ) ไปยัง rv( kt ))= ขนาดของแรงในทิศทางของการเคลื่อนที่

× (|| rv( kt ) - rv( 1kt − ) ||)


= ขนาดของแรงในทิศทางของการเคลื่อนที่ × (||

1kk1kk

tt)t(r)t(r

−−

−− vv

|| ( kt - 1kt − ))≈ ขนาดของแรงในทิศทางของการเคลื่อนที่

× (|| rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − )) เมื่อ *

kt ∈ [ 1kt − , kt ]= (ภาพฉายสเกลาร F

v ( rr( *kt )) บนเวกเตอร kuv )

× (|| rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − ))

= || Proj(Fv ( rv( *

kt ))) || × (|| rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − ))

= || (Fv ( rv( *

kt ))) || cos( kθ ) × (|| rv ′( *kt ) || ( kt - 1kt − ))

= (|| (Fv ( rv( *

kt ))) || || rv ′( *kt ) || cos( kθ ))( kt - 1kt − ))

= (Fv ( rv( *

kt )) ⋅ rv ′( *kt )) ( kt - 1kt − ))

งานทั้งหมด ≈ ∑=

n

1k(Fv ( rv( *

kt )) ⋅ rv ′( *kt ))( kt - 1kt − )

เมื่อ n มีคาเพ่ิมขึ้นอยางไมมีขีดจํากัด (n → ∞)และ ∆ kt มีคาเขาใกล 0 ทุกคา k = 1, 2, ... , n จะได

งานทั้งหมด = ∞→n

lim ∑=

n

1k(Fv ( rv( *

kt )) ⋅ rv ′( *kt ))( kt - 1kt − )

ในกรณีที่ลิมิตลูเขาเพราะฉะนั้น งานทั้งหมด = ∫

CFv ⋅ d rv


ตัวอยาง 5.2.3 จงหางานซึ่งเกิดจากการเคลื่อนวัตถุตามเสนโคง C : rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2ดวยแรง F

v (x, y) = (2x 3y , 3 2x 2y )วิธีทาํ

รูปที่ 5.2.6งาน = ∫

CFv ⋅ d rv

= ∫2


= ∫2

0Fv (t, 2t ) ⋅ ((t)′, ( 2t )′) dt

= ∫2

0(2 7t , 3 6t ) ⋅ (1, 2t) dt

= ∫2

0(2 7t + 6 7t ) dt

= ∫2

08 7t dt = [ 8t ] 0t

2t== = 256

Page 11 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.2.4 จงหางานซึ่งเกิดจากการเคลื่อนวัตถุดวยแรง Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z ) ไปตามเสนโคง Cซึ่งกําหนดดวยวิถี rv(t) = (cos t, sin t, t)โดยเคลื่อนที่จากจุด (1, 0, 0) ไปยังจุด (1, 0, 2π)วิธีทาํ rv(t) = (cos t, sin t, t)เพราะวา จุดเริ่มตน rv(0) = (1, 0, 0)และ จุดสิ้นสุด rv(2π) = (1, 0, 2π)เพราะฉะนั้น ชวงเวลาของการเคลื่อนที่คือ [0, 2π]



เพราะฉะนั้น งาน = ∫C

Fv ⋅ d rv

= ∫π2


= ∫π2

0Fv (cos t, sin t, t) ⋅ ((cos t)′, (sin t)′, (t)′)) dt

= ∫π2

0( 2cos t, 2sin t, 2t ) ⋅ (-sin t, cos t, 1) dt

= ∫π2

0(- 2cos t sin t + tsin2 cos t + 2t ) dt

= ∫π2

0(- 2cos t sin t) dt + ∫

π2

0( tsin2 cos t) dt + ∫

π2

0

2t dt

= ∫π2

0

2cos t d(cos t) + ∫π2

0tsin2 d(sin t) + ∫

π2

0

2t dt

= [ 3tcos3 ] 0t

2t=

π= + [ 3tsin3 ] 0t

2t=

π= + [ 3t3 ] 0t

2t=

π=

= (31 - 3

1) + (0 - 0) + ( 38 3π - 0)

= 38 3π


สมบัติของอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอร1. F

v และ Gv เปนฟงกชันคาเวกเตอร และ C : rr (t)

เมื่อ a ≤ t ≤ b จะได∫C

( 1k Fv + 2k G

v ) ⋅ d rv = 1k ∫C

Fv ⋅ d rv + 2k ∫

CGv ⋅ d rv

2. 1C และ 2C เปนเสนโคงจะได ∫

+ 2C 1CFv ⋅ d rv = ∫

1CFv ⋅ d rv + ∫

2CFv ⋅ d rv

3. 1 rv และ 2 r

v เปนวิถีที่สมมูลกัน3.1 ถา 1 r

v และ 2 rv มีทิศทางเดียวกัน

แลว ∫1 rv

Fv ⋅ d 1 r

v = ∫2 rv

Fv ⋅ d 2 r

v

3.2 ถา 1 rv และ 2r

v มีทิศทางตรงกันขามแลว ∫

1 rv

Fv ⋅ d 1 r

v = - ∫2 rv

Fv ⋅ d 2 r

v

บทพิสูจน 1 rv เปนวิถีตอเนื่องบนชวง [a, b]

u : [c, d] → [a, b] ซึ่งมีอนุพันธและ u′ ≠ 0 บนชวง [c, d]และ 2 r

v (t) = 1 rv (u(t)) บนชวง [c, d]


3.1 1 rv และ 2 r

v มีทิศทางเดียวกันเพราะฉะนั้น u′(t) > 0 บนชวง [c, d]และ u(c) = a, u(d) = b

∫2

rvFv ⋅ d 2 r

v = ∫=

=

d t

c t Fv ( 2 rv (t)) ⋅ 2 r

v ′(t) dt

= ∫=

=

d t

c t Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ ( 1 r

v ′(u(t)) u′(t)) dt

= ∫=

=

d t

c t (Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ 1 r

v ′(u(t))) u′(t) dt

แทนคา w = u(t) บนชวง [c, d]เพราะฉะนั้น dw = u′(t) dt และจะได

∫=

=

d t

c t (Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ 1 r

v ′(u(t))) u′(t) dt

= ∫=

=

u(d) w

u(c) wFv ( 1 rv (w)) ⋅ 1 r

v ′(w) dw

= ∫=

=

b w

a wFv ( 1 rv (w)) ⋅ 1 r

v ′(w) dw

= ∫1 rv

Fv ⋅ d 1 r

v


Fv ⋅ d 1 r

v = ∫2 rv

Fv ⋅ d 2 r

v

Page 12 of 53

09/06/2008


3.2 1 rv และ 2 r

v มีทิศทางตรงกันขามเพราะฉะนั้น u′(t) < 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = b, u(d) = a

∫2

rvFv ⋅ d 2 r

v = ∫=

=

d t

c t Fv ( 2 rv (t)) ⋅ 2 r

v ′(t) dt

= ∫=

=

d t

c t Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ ( 1 r

v ′(u(t)) u′(t)) dt

= ∫=

=

d t

c t (Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ 1 r

v ′(u(t))) u′(t) dt

แทนคา w = u(t) บนชวง [c, d]เพราะฉะนั้น dw = u′(t) dt และจะได

∫=

=

d t

c t (Fv ( 1 rv (u(t))) ⋅ 1 r

v ′(u(t))) u′(t) dt

= ∫=

=

u(d) w

u(c) wFv ( 1 rv (w)) ⋅ 1 r

v ′(w) dw

= ∫=

=

a w

b wFv ( 1 rv (w)) ⋅ 1 r

v ′(w) dw

= - ∫=

=

b w

a wFv ( 1 rv (w)) ⋅ 1 r

v ′(w) dw

= - ∫1 rv

Fv ⋅ d 1 r

v

เพราะฉะนั้น ∫1rv

Fv ⋅ d 1 r

v = - ∫2 rv

Fv ⋅ d 2 r

v


รูปแบบอื่น ๆ ของอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอรในปริภูมิสองมิติC : rv (t) = (x(t), y(t))เมื่อ x(t), y(t) เปนฟงกชันคาจริงบนชวง [a, b]Fv (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))เมื่อ P(x, y) ,Q(x, y) เปนฟงกชันคาจริงนิยามบน C

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b

aFv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫b

aFv ((x(t), y(t))) ⋅ ((x′(t), y′(t))) dt

= ∫b

a(P(x(t), y(t)), Q(x(t), y(t))) ⋅ ((x′(t), y′(t))) dt

= ∫b

a(P(x(t), y(t)) x′(t) + Q(x(t), y(t)) y′(t)) dt

= ∫b

aP(x(t), y(t)) x′(t) dt + ∫

b

aQ(x(t), y(t)) y′(t) dt

= ∫b

aP(x(t), y(t)) d x(t) + ∫

b

aQ(x(t), y(t)) d y(t)

= ∫C

P(x(t), y(t)) d x(t) + ∫C

Q(x(t), y(t)) d y(t)


หมายเหตุ เราแทนสัญลักษณ∫C

P(x(t), y(t)) d x(t) + ∫C

Q(x(t), y(t)) d y(t)

ดวย ∫C

P dx + Q dy

เมื่อ ∫C

P dx = ∫b

aP(x(t), y(t)) dt

)t(dx dt

และ ∫C

Q dy = ∫b

aQ(x(t), y(t)) dt

)t(dy dt

ในปริภูมิสามมิติC : rv (t) = (x(t), y(t), z(t))เมื่อ x(t), y(t), z(t) เปนฟงกชันคาจริงบนชวง [a, b]Fv (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))เมื่อ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)เปนฟงกชันคาจริงนิยามบน C

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b



∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b


= ∫b

aFv ((x(t), y(t), z(t))) ⋅ ((x′(t), y′(t), z′(t))) dt

= ∫b

a(P(x(t), y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t))

, R(x(t), y(t), z(t))) ⋅ ((x′(t), y′(t), z′(t))) dt

= ∫b

a(P(x(t), y(t), z(t)) x′(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y′(t)

+ R(x(t), y(t), z(t)) z′(t)) dt

= ∫b

aP(x(t), y(t), z(t)) x′(t) dt + ∫

b

aQ(x(t), y(t), z(t)) y′(t) dt

+ ∫b

aR(x(t), y(t), z(t)) z′(t) dt

= ∫b

aP(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + ∫

b

aQ(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ ∫b

aR(x(t), y(t), z(t)) d z(t)

= ∫C

P(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + ∫C

Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ ∫C

R(x(t), y(t), z(t)) d z(t)

Page 13 of 53

09/06/2008


ขอตกลง เราแทนสัญลักษณ∫C

P(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + ∫C

Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ ∫C

R(x(t), y(t), z(t)) d z(t)

ดวย ∫C

P dx + Q dy + R dz

เมื่อ ∫C

P dx = ∫b

aP(x(t), y(t), z(t))

dt)t(dx dt

∫C

Q dy = ∫b

aQ(x(t), y(t), z(t))

dt)t(dy dt

และ ∫C

R dz = ∫b

aR(x(t), y(t), z(t))

dt)t(dz dt

ในทํานองเดียวกัน

ถา rv = ( 1x , 2x , ... , nx )เมื่อ ix เปนฟงกชันคาจริง บนชวง [a, b]โดยที่ i = 1, 2, ... , nและ F

v = ( 1f , 2f , ... , nf )เมื่อ if เปนฟงกชันคาจริงนิยามบนเสนโคง Cโดยที่ i = 1, 2, ... , nจะได ∫

CFv ⋅ d rv = ∫

C1f d 1x + ∫

C2f d 2x + ... + ∫

Cnf d nx


ตัวอยาง 5.2.5 จงหาคาอินทิกรัลตามเสน∫iC

2x 2y dx - 2xy dy โดยที่ i = 1, 2 เมื่อกําหนด

1. 1C : rv(t) = (t, 4t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 12. 2C เปนสวนของพาราโบลา y = 4 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1

วิธีทาํ 1. 1C : rv(t) = (t, 4t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 11C เปนเสนตรง

จากจุด (0, 0)ถึงจุด (1, 4)

เพราะวา rv(t) = (t, 4t)เพราะฉะนั้น x(t) = t, y(t) = 4t และ dt

dx = 1, dtdy = 4

∫1C

2x 2y dx - 2xy dy

= ∫1

0( 2t )(16 2t ) d(t) - ∫

1

02(t)(4t) d(4t)

= ∫1

0( 2t )(16 2t ) dt - ∫

1

02(t)(4t) 4 dt

= 16 ∫1

0

4t dt - 32 ∫1

0

2t dt

= 16 [ 5t5 ] 0 t

1 t == - 32 [ 3

t3 ] 0 t 1 t

== = 16(5

1 ) - 32(31) = - 15

112



2. 2C เปนสวนของพาราโบลา y = 4 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1∫2C

2x 2y dx - 2xy dy

= ∫2C

2x (16 4x ) dx - 2x(4 2x ) d(4 2x )

= ∫2C

(16 6x ) dx - 8 3x (8x) dx

= ∫1

0(16 6x - 64 4x ) dx = [ 7

x16 7 - 5x64 5 ] 0x

1x ==

= 716 - 5

64 = - 35368

หมายเหตุการคาํนวณคา ∫

1C

2x 2y dx - 2xy dy ในพจนของตัวแปร x

1C : rv(t) = (t, 4t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1คือเสนตรง y = 4x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1

∫1C

2x 2y dx - 2xy dy = ∫=

=

1 x

0 x ( 2x )(16 2x ) dx - 2x(4x) d(4x)

= ∫=

=

1 x

0 x 16 4x dx - 32 2x dx

= 16 ∫=

=

1 x

0 x

4x dx - 32 ∫=

=

1 x

0 x

2x dx

= 16(51 ) - 32(3

1)= - 15

112


การคาํนวณคา ∫2C

2x 2y dx - 2xy dy ในพจนของตัวแปร t

2C เปนสวนของพาราโบลา y = 4 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 1มีวิถี rv(t) = (t, 4 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1∫2C

2x 2y dx - 2xy dy

= ∫2C

( 2t (16 4t )) dt - 2t(4 2t ) d(4 2t )

= ∫2C

(16 6t ) dt - 8 3t (8t) dt

= ∫1

0(16 6t - 64 4t ) dt

= [ 7t16 7 - 5

t64 5 ] 0t 1t

==

= 716 - 5

64

= - 35368

ขอสังเกต 1. การหาคา ∫iC

2x 2y dx - 2xy dy

เราสามารถคํานวณโดยใชตัวแปรเสริม t, x หรือ y ก็ได2. 1C และ 2C เปนเสนโคงที่มีจุดเริ่มตนที่จุด (0, 0)

และ จุดสิ้นสุดที่จุด (1, 4) เหมือนกัน แตคาของ∫1C

2x 2y dx - 2xy dy ≠ ∫2C

2x 2y dx - 2xy dy

Page 14 of 53

09/06/2008



(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยที่ i = 1, 2 เมื่อกําหนด1. 1C : rv(t) = (t, 6t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 22. 2C เปนสวนของพาราโบลา y = 3 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2


รูปที่ 5.2.91. 1C : rv(t) = (t, 6t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2

เพราะวา rv(t) = (t, 6t)เพราะฉะนั้น x(t) = t, y(t) = 6t

∫1C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= ∫2

0(4t + 36 2t ) d(t) + ∫

2

0(2t(6t) + 3) d(6t)

= ∫2

0(4t + 36 2t )(1) dt + ∫

2

0(12 2t + 3)(6) dt


= ∫2

0(4t + 36 2t ) dt + ∫

2

0(72 2t + 18) dt

= [ 2 2t + 12 3t ] 0 t 2 t

== + [ 24 3t + 18t ] 0 t

2 t ==

= (8 + 96) + (192 + 36)= 332

2. 2C เปนสวนของพาราโบลา y = 3 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2∫2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= ∫2C

(4x + 9 4x ) dx + (2x(3 2x ) + 3) d(3 2x )

= ∫2C

(4x + 9 4x ) dx + (6 3x + 3)(6x) dx

= ∫2C

(4x + 9 4x ) dx + (36 4x + 18x) dx

= ∫2

0(4x + 9 4x + 36 4x + 18x) dx

= ∫2

0(22x + 45 4x ) dx

= [ 11 2x + 9 5x ] 0x 2x

==

= 44 + 288= 332


หมายเหตุการคํานวณคา ∫

1C(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยพิจารณาในพจนของตัวแปร xเสนโคง 1C : rv(t) = (t, 6t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2คือเสนตรง y = 6x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2∫1C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= ∫1C

(4x + 36 2x ) dx + (2x(6x) + 3) d(6x)

= ∫1C

(4x + 36 2x ) dx + (12 2x + 3) 6 dx

= ∫1C

(4x + 36 2x ) dx + (72 2x + 18) dx

= ∫2

0(18 + 4x + 108 2x ) dx

= [ 18x + 2 2x + 36 3x ] 0 x 2 x

==

= 36 + 8 + 288= 332


การคํานวณคา ∫2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยพิจารณาในพจนของตัวแปร tเสนโคง 2C : y = 3 2x เมื่อ 0 ≤ x ≤ 2คือเสนโคงที่มีวิถีเปน rv(t) = (t, 3 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2∫2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= ∫2C

(4t + 9 4t ) dt + (2t(3 2t ) + 3) d(3 2t )

= ∫2C

(4t + 9 4t ) dt + (6 3t + 3)(6t) dt

= ∫2C

(4t + 9 4t ) dt + (36 4t + 18t) dt

= ∫2

0(4t + 9 4t + 36 4t + 18t) dt

= ∫2

0(22t + 45 4t ) dt

= [ 11 2t + 9 5t ] 0 t 2 t

==

= 44 + 288 = 332

ขอสังเกต 1C และ 2C เปนเสนโคงที่ตางกันแตคาของ ∫

1C(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= ∫2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

Page 15 of 53

09/06/2008



2y dx + 2x dy + 3 dz

โดยที่ i = 1, 2 เมื่อกําหนด1. 1C : 1 r

v (t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π2. 2C เปนสวนของเสนตรง

จากจุด (2, 0, 0) ไปยังจุด (2, 0, 2π)วิธีทาํ

รูปที่ 5.2.101. 1C : 1r

v (t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π∫1C


= ∫1C

2(2 sin t) d(2 cos t) + 2(2 cos t) d(2 sin t) + 3 d(t)

= ∫1C

4 sin t(-2 sin t) dt + 4 cos t(2 cos t) dt + 3 dt

= ∫1C

-8 2sin t dt + 8 2cos t dt + 3 dt


= ∫1C

(8( 2cos t - 2sin t) + 3) dt

= ∫1C

(8 cos 2t + 3) dt

= ∫π2

0(8 cos 2t + 3) dt

= [ 4 sin 2t + 3t ] 0 t 2 t

=π= = 6π

2. 2C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (2, 0, 0) ไปยังจุด (2, 0, 2π)เพราะฉะนั้น 2C มีวิถีเปน 2 r

v (t) = (2, 0, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π∫2C


= ∫2C

2(0) d(2) + 2(2) d(0) + 3 d(t)

= ∫2C

3 dt

= ∫π2

03 dt = [ 3t ] 0 t

2 t =

π= = 6π

ขอสังเกต ∫1C

2y dx + 2x dy + 3 dz = ∫2C


แตการคํานวณคาบนเสนโคง 2C ทําไดงายกวาการคํานวณบนเสนโคง 1C



2x dx + 2z dy + dz โดยที่ i = 1, 2 เมื่อกําหนด

1. 1C : 1 rv (t) = (t, 2t , 4t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

2. 2C : 2 rv (t) = (t, t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1


รูปที่ 5.2.111. 1C : 1r

v (t) = (t, 2t , 4t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1 ∫

1C

2x dx + 2z dy + dz

= ∫1C

( 2t ) d(t) + 2 4t d( 2t ) + d( 4t )

= ∫1C

2t dt + 2 4t (2t dt) + 4 3t dt

= ∫1C

( 2t + 4 5t + 4 3t ) dt

= ∫1

0( 2t + 4 5t + 4 3t ) dt = [ 3

t3 + 6t4 6 + 4t ] 0 t

1 t ==

= 2


2. 2C : 2 rv (t) = (t, t, t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

∫2C

2x dx + 2z dy + dz

= ∫2C

( 2t ) d(t) + 2t d(t) + d(t)

= ∫2C

( 2t + 2t + 1) dt

= ∫1

0( 2t + 2t + 1) dt

= [ 3t3 + 2t + t ] 0 t

1 t ==

= 37

ขอสังเกต 1C และ 2C เปนเสนโคงที่มีจุดเริ่มตน (0, 0, 0) และ จุดสิ้นสุด (1, 1, 1) เหมือนกันแตคาของ ∫

1C

2x dx + 2z dy + dz ≠ ∫2C

2x dx + 2z dy + dz

Page 16 of 53

09/06/2008


แบบฝกหัด 5.2

จงหาอินทิกรัลตามเสน ∫C

Fv ⋅ d rv เม่ือกําหนด F

r และ rv ตอไปนี้

1. Fv (x, y) = ( 2x , xy) C : rv (t) = (t, 5t) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 1

2. Fv (x, y) = (2xy, 2x + 2y ) C : rv (t) = (cos t, sin t) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 2

π

3. Fv (x, y) = (5xy, x + y) C : rv (t) = (t, 3t ) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 2

4. Fv (x, y) = (2x, 3y)C เปนเสนโคงพาราโบลา y = 4 2x จากจุด (0, 0) ไปยังจุด (1, 4)

5. Fv (x, y) = (15x 2y , 6x + y)C เปนเสนโคงพาราโบลา (y – 1) 2 = x จากจุด (0, 1) ไปยังจุด (1, 2)

6. Fv (x, y, z) = (x, y, z)C : rv (t) = (cos t, sin t, t) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 2π

7. Fv (x, y, z) = ( 2x + 2y , 3yz, x +z)C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (2, 1, 3) ไปยังจุด (5, –3, 5)

8. Fv (x, y, z) = ( 2x + 2y , x + y, z)C : rv (t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 2π

9. Fv (x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z )C : rv (t) = (4t, 2t , 4t ) เม่ือ 0 ≤ t ≤ 1

10. Fv (x, y, z) = ( 2y 3z , 2xy 3z , 3x 2y 2z )C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (0, 0, 0) ไปยังจุด (1, 2, 4)

11. ∫C

(x + y) dx + (x – y) dy

เม่ือ C คือสวนของครึ่งวงกลมซึ่งมีจุดศูนยกลางท่ีจุด (0, 0) และมีรัศมี = 4จากจุด (4, 0) ไปยังจุด (0, 4) ในจตุภาคที่หนึ่ง

12. ∫C

( 2x + y) dx +(2x + 2y ) dy

C คือสวนของเสนโคง y = 2x + 2x + 3 ท่ีมีจุดเริ่มตน (0, 3) และ จุดสิ้นสุด (1, 6)13. ∫

C

(y + z) dx + (x + z) dy + (y + z) dz

เม่ือ C เปนเสนโคง y = 2x , z = x จากจุด (0, 0, 0) ไปยังจุด (1, 1, 1)14. ∫

C

2x dx + 2y dy + 2z dz

เม่ือ C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (4, 2, 3) ไปยังจุด(6, 5, 9)15. ∫

C

2x dx + (x + y) dy +(x + y + z) dz เม่ือ C = 1C + 2C โดยท่ี

1C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (1, 2, 4) ไปยังจุด (5, 8, 16)2C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (5, 8, 16) ไปยังจุด (6, 10, 18)

16. ∫C

yz dx + xz dy + xy dz เม่ือ C = 1C + 2C โดยที่

1C เปนเสนโคง (y – 1) 2 = 4x, z = 1 จากจุดเริ่มตน (0, 1, 1) และจุดสิ้นสุด (4, 5, 1)2C เปนสวนของเสนตรงจากจุด (4, 5, 1) ไปยังจุด (8, 11, 13)

Page 17 of 53

09/06/2008

บทที่ 5 อินทิกรัลตามเสน5 - 6017. อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเสนโคง C ดวยแรง F

r (x, y, z) =(yz, xz, xy)เม่ือ C เปนสวนของเสนตรงจากจุดเริ่มตน (0, 1, 1) และจุดสิ้นสุด (8, 11, 13)

18. อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเสนโคง y = 4 2x , z = x ดวยแรง Fr (x, y, z) = ( 2x , x + y, z)

จงหางานที่เกิดจากการเคลื่อนที่จากจุด (0, 0, 0) ไปยังจุด (2, 16, 2)19. จงหางานซึ่งเกิดจากแรง F

v (x, y, z) = (–x + y + z, x - y + z, x + y – z)

กระทํากับอนุภาคซึ่งเคลื่อนที่ไปรอบวงรี 16x2 + 9

y2 = 1, z = 1 จากจุด (4, 0, 1) ไปยังจุด (0, 3, 1)

ในจตุภาคที่หนึ่ง20. จงหางานซึ่งเกิดจากการเคลื่อนวัตถุดวยแรง F

v (x, y, z) = (y, x, 2z)ไปตามเสนโคง C ซึ่งกําหนดดวยวิถี20.1 rv (t) = (3 cos t, 3 sin t, t) ในชวงเวลา 0 ≤ t ≤ 2π20.2 rv (t) = (α cos t, α sin t, t) ในชวงเวลา 0 ≤ t ≤ 2π20.3 rv (t) = (α cos t, α sin t, kt) ในชวงเวลา 0 ≤ t ≤ 2π20.4 rv (t) = (α cos t, α sin t, kt) ในชวงเวลา 0 ≤ t ≤ 2nπเม่ือ α, k เปนจํานวนจริง และ n เปนจํานวนนับ

เฉลยแบบฝกหัด 5.2

1. 326 2. 3

1

3. 76 4. 255. 28 6. 2 2π

7. 117 8. 16π + 18 2π

9. 6 10. 25611. –16 12. 7113. 3 14. 115. 391 16. 114417. 1144 18. 15419. 2

5

20. 20.1 4 2π 20.2 4 2π

20.3 4 2π 2k 20.4 4 2π 2k 2n

Page 18 of 53

09/06/2008


5.3 อินทิกรัลตามเสนเปนอิสระจากวิถีอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอร F

v บนเสนโคง 1C และ2C ที่มีจุดเริ่มตนจุดเดียวกัน และมีจุดสิ้นสุดจุดเดียวกัน

อาจมีคา ∫1C

Fv ⋅ d rv , ∫

2CFv ⋅ d rv เทากัน หรือ ไมเทากัน เชน

จากตัวอยาง 5.2.6 ∫1C

Fv ⋅ d 1 r

v = ∫2C

Fv ⋅ d 2rv


Fv ⋅ d 1 r

v = ∫2C

Fv ⋅ d 2r

v


Fv ⋅ d 1 r

v ≠ ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v


Fv ⋅ d 1 r

v ≠ ∫2C

Fv ⋅ d 2rv

ในหัวขอ 5.3 นี้ เราจึงศึกษาเกี่ยวกับเงื่อนไขตาง ๆ ที่ทําใหอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอร F

v

จากจุดเริ่มตน A ไปยังจุดสิ้นสุด B มีคาเทากันโดยไมขึ้นกับวิถีจาก A ไป B

ผลจากอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันคาเวกเตอร Fv

จากจุดเริ่มตน A ไปยังจุดสิ้นสุด B มีคาเทากันโดยไมขึ้นกับวิถีจาก A ไป Bจะทําใหเราสามารถเลือกวิถีที่คํานวณคาอินทิกรัลไดงายมาชวยในการหาคา ∫

CFv ⋅ d rv


ตัวอยาง 5.3.1 จงหาคาของอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันFv (x, y) = (2y, x) จากจุด A(0, 0) ไปยังจุด B(2, 4)ตามเสนโคง iC เมื่อ i = 1, 2, 3 ที่กําหนดตอไปนี้

1. 1C : rv(t) = (t, 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 22. 2C : rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 23. 3C : rv(t) = ( 4

t3 , 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2วิธีทาํ

รูปที่ 5.3.11. 1C : rv(t) = (t, 2t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2

∫1C

Fv ⋅ d rv = ∫

2

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫2

0Fv (t, 2t) ⋅ ((t)′, (2t)′) dt

= ∫2

0(4t, t) ⋅ (1, 2) dt = ∫

2

0(4t + 2t) dt

= ∫2

06t dt = [ 3 2t ] 0t

2t== = 12


2. 2C : rv(t) = (t, 2t ) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2

∫2C

Fv ⋅ d rv = ∫

2

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫2

0Fv (t, 2t ) ⋅ ((t)′, ( 2t )′) dt

= ∫2

0(2 2t , t) ⋅ (1, 2t) dt

= ∫2

04 2t dt = [ 3

t4 3 ] 0 t 2 t

== = 3

32

3. 3C : rv(t) = ( 4t3 , t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2

∫3C

Fv ⋅ d rv = ∫

2

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫2

0Fv ( 4

t3 , t) ⋅ (( 4t3 )′, (t)′) dt

= ∫2

0(4t, 4

t3 ) ⋅ ( 4t3 2 , 1) dt = ∫

2

0(3 3t + 2

t3 ) dt

= ∫2

02t7 3 dt = [ 8

t7 4 ] 0 t 2 t

==

= 14

ขอสังเกต จากตัวอยางนี้จะเห็นวา ∫C

Fv ⋅ d rv

บนเสนโคงทั้ง 3 เสนมีคาตางกัน


ตัวอยาง 5.3.2 จงหาคาของอินทิกรัลตามเสนของฟงกชันFv (x, y) = ( 2y + 3 2x , 2xy)จากจุด A(-1, 0) ไปยังจุด B(1, 0)ตามเสนโคง iC เมื่อ i = 1, 2, 3 ที่กําหนดตอไปนี้

1. 1C : rv(t) = (t, 0) เมื่อ -1 ≤ t ≤ 12. 2C : rv(t) = (-cos t, sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ π3. 3C : rv(t) = (t, 2( 2t - 1)) เมื่อ -1 ≤ t ≤ 1


รูปที่ 5.3.21. 1C : rv(t) = (t, 0) เมื่อ -1 ≤ t ≤ 1

∫1C

Fv ⋅ d rv = ∫

−

1

1Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫−

1

1Fv (t, 0) ⋅ ((t)′, (0)′) dt

= ∫−

1

1(3 2t , 0) ⋅ (1, 0) dt = ∫

−

1

13 2t dt

= [ 3t ] 1 t 1 t −=

= = 2

Page 19 of 53

09/06/2008


2. 2C : rv(t) = (-cos t, sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ π

∫2C

Fv ⋅ d rv = ∫

π

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫π

0Fv (-cos t, sin t) ⋅ ((-cos t)′, (sin t)′) dt

= ∫π

0( 2sin t + 3 2cos t, -2 cos t sin t) ⋅ (sin t, cos t) dt

= ∫π

0( 3sin t + 3 2cos t sin t - 2 2cos t sin t) dt

= ∫π

0sin t ( 2sin t + 3 2cos t - 2 2cos t) dt

= ∫π

0sin t ( 2sin t + 2cos t) dt

= ∫π

0sin t dt

= [ -cos t ] 0 t t =π=

= -(-1 - 1)= 2


3. 3C : rv(t) = (t, 2( 2t - 1)) เมื่อ -1 ≤ t ≤ 1

∫3C

Fv ⋅ d rv = ∫

−

1

1Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫−

1

1Fv (t, 2( 2t - 1)) ⋅ ((t)′, (2( 2t - 1))′) dt

= ∫−

1

1((2( 2t - 1))2 + 3 2t , 2t(2( 2t - 1))) ⋅ (1, 4t) dt

= ∫−

1

1(4 4t - 5 2t + 4, 4 3t - 4t) ⋅ (1, 4t) dt

= ∫−

1

1(4 4t - 5 2t + 4)(1) + (4 3t - 4t)(4t) dt

= ∫−

1

1(4 4t - 5 2t + 4 + 16 4t - 16 2t ) dt

= ∫−

1

1(20 4t - 21 2t + 4) dt = [ 4 5t - 7 3t + 4t ] 1 t

1 t −=

=

= (4 - 7 + 4) - (-4 + 7 - 4) = 2

ขอสังเกต จากตัวอยางนี้จะเห็นวา ∫C

Fv ⋅ d rv บนเสนโคงทั้ง 3

เสนมีคาเทากัน ในกรณีที่เรารูวาคาของ ∫C

Fv ⋅ d rv เปนคาที่เทา

กันบนทุกเสนโคง C เราก็ควรจะเลือกเสนโคง 1C มาชวยในการคํานวณคา ∫

CFv ⋅ d rv ซึ่งคํานวณไดงายกวา


เนื้อหาที่เราจะศึกษาตอไปคือ

มีเงื่อนไขอะไรบางที่จะทําให ∫C

Fv ⋅ d rv มีคาเทากัน

บนทุกเสนโคงซึ่งมีจุดเริ่มตน A และจุดสิ้นสุด B

และในกรณีที่ ∫C

Fv ⋅ d rv มีคาเทากันทุกวิถีจากจุด A ไปจุด B

เราจะเรียกวาอินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีจากจุด A ถึงจุด Bจากตัวอยาง 5.3.2 จะเห็นวา ฟงกชัน F

v มีผลใหอินทิกรัลตามเสนบน 1C , 2C , 3C มีคาเทากันตอไปเราจะกลาวถึงเงื่อนไขหรือสมบัติของฟงกชันที่ทําใหอินทิกรัลตามเสนของ F

r เปนอิสระจากวิถี

บทนิยาม 5.3.1 ให S เปนเซตเปดใน nR

เรากลาววา S เปน เซตเปดที่เช่ือมโยงได ก็ตอเมื่อสําหรับจุดสองจุด A, B ใน S จะมีวิถีใน Sที่มีจุดเริ่มตนที่จุด A และ จุดสิ้นสุดที่จุด B

จากบทนิยาม 5.3.1 จะเห็นไดวา S จะเปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดถา S เปนเซตเปด และ ทุกคูของจุด A, Bใน S มีเสนโคงเรียบ C จากจุด A ไปยังจุด Bโดยที่เสนโคง C อยูภายใน S ทั้งเสน


ตัวอยาง

1S = {(x, y) | 2x + 2y < 4}

เพราะวา ทุกจุด A, B ใน 1S จะมีวิถี C ใน 1S

ที่มีจุดเริ่มตนที่จุด A และ จุดสิ้นสุดที่จุด Bเพราะฉะนั้น 1S เซตเปดที่เชื่อมโยงได

2S = {(x, y) | 1 < 2x + 2y , -2 < x < 2 และ -2 < y < 2}

เพราะวา ทุกจุด A, B ใน 2S จะมีวิถี C ใน 2S

ที่มีจุดเริ่มตนที่จุด A และ จุดสิ้นสุดที่จุด Bเพราะฉะนั้น 2S เซตเปดที่เชื่อมโยงได



Page 20 of 53

09/06/2008


3S = {(x, y) | 2x + 2y < 1 หรือ (x - 4)2 + 2y < 4}

เพราะวา มีบางจุด A, B ใน 3S ที่ไมมีวิถีใน 3S

ที่มีจุดเริ่มตนที่จุด A และ จุดสิ้นสุดที่จุด Bเพราะฉะนั้น 3S ไมเปนเซตเปดที่เชื่อมโยงได

บทนิยาม 5.3.2 S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน nR

และ Fv : S → nR เปนฟงกชันที่ตอเนื่องบน S

1. A, B เปนจุดอยูใน Sถา อินทิกรัลตามเสนของ F

v บนวิถีใดก็ตามที่มีจุดเริ่มตนที่จุด A และ จุดสิ้นสุดที่จุด B มีคาคงตัวแลว เรากลาววาอินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีจากจุด A ถึงจุด B

2. ถา ทุกคูของจุด A, B ใน S อินทิกรัลตามเสนของ F

r เปนอิสระจากวิถีจากจุด A ถึงจุด Bแลว อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีใน S



บทนิยาม 5.3.3 ให S เปนเซตเปดใน nR ,Fv : S → nR เปนฟงกชันคาเวกเตอรที่ตอเนื่องบน Sฟงกชันศักย ของ F

v คือ ฟงกชันคาจริง φ : S → Rซึ่งมีสมบัติวา φ เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธบน S และ ∇ φ = F

v

เราเรียกฟงกชัน Fv ที่มีฟงกชันศักยวา ฟงกชันเกรเดียนต

ตัวอยางเชน1. F

v (x, y) = (2x, 2y) บนโดเมน 2R

มีฟงกชัน φ(x, y) = 2x + 2y ที่เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธบน 2R

และ ∇ φ(x, y) = ( x∂φ∂ , y∂

φ∂ )= (2x, 2y)= Fv (x, y)

เพราะฉะนั้น Fv (x, y) = (2x, 2y) เปนฟงกชันเกรเดียนต

2. Fv (x, y, z) = (yz, xz, xy) บนโดเมน 3R

มีฟงกชัน φ(x, y, z) = xyz ที่เปนฟงกชันซึ่งมีอนุพันธบน 3R

และ ∇ φ(x, y, z) = ( x∂φ∂ , y∂

φ∂ , z∂φ∂ )

= (yz, xz, xy)= Fv (x, y, z)

เพราะฉะนั้น Fv (x, y, z) = (yz, xz, xy) เปนฟงกชันเกรเดียนต


หมายเหตุ ถา 1φ และ 2φ เปนฟงกชันศักยของ Fv

แลว จะได ∇ 1φ = Fv = ∇ 2φ

เพราะฉะนั้น 1φ และ 2φ จะตางกันดวยคาคงตัวนั่นคือ 1φ = 2φ + c เมื่อ c เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้นถา φ เปนฟงกชันศักยของ F

v

แลว φ + c จะเปนฟงกชันศักยของ Fv ดวย

ทฤษฎีบท 5.3.1(ทฤษฎีบทหลักมูลสาํหรับอินทิกรัลตามเสน บทที่หนึ่ง)กําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน nR

และ Fv : S → nR เปนฟงกชันตอเนื่องแลว

ถา อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S

A เปนจุดใน S และ φ : S → R เปนฟงกชันคาจริง

นิยามโดย φ(X) = ∫X

AFv ⋅ d rv

จะได φ เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบน Sและ ∇ φ(X) = F

v (X) ทุก X ∈ S

เพราะฉะนั้น ∇ ∫X

AFv ⋅ d rv = F



บทพิสูจน เพ่ืองายตอการทําความเขาใจจึงขอแสดงขอพิสูจนในปริภูมิสองมิติ ดังนี้กําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดและ F

v = P iv + Q j

v

เมื่อ P, Q เปนฟงกชันคาจริงของสองตัวแปรและ อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีใน SA( 0x , 0y ) เปนจุดใน Sให X(x, y) เปนจุดใน Sเพราะวา S เปนเซตเปด เพราะฉะนั้น มี δ > 0ที่ทําให B(X ; δ) = {(u, v) | 22 )yv()xu( −+− < δ} ⊆ Sการแสดงวา x∂

∂ ( ∫C

Fv ⋅ d rv) = P

เลือก ( *x , y) ∈ B(X ; δ) โดยที่ *x < x


Page 21 of 53

09/06/2008


ให 1C : 1 rv (t) เปนเสนโคงจากจุด A ไปยังจุด ( *x , y)

2C : 2 rv (t) = (t, y) เมื่อ *x ≤ t ≤ x เปนสวนของเสนตรง

จาก ( *x , y) ไปยังจุด X(x, y)C = 1C + 2C

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

1CFv ⋅ d 1 r

v + ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v

= ∫)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v

เพราะวา อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S


Fv ⋅ d rv จึงมีไดคาเดียว

เพราะวา คาของ ∫)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2rv

ขึ้นอยูกับคาของ x, yเพราะฉะนั้น เราจึงสามารถนิยามสูตรฟงกชัน

φ(x, y) = ∫)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v


ซึ่งจะได

x∂∂ φ(x, y) = x∂

∂ ( ∫)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

= x∂∂ ( ∫

)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v ) + x∂∂ ( ∫

)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

= 0 + x∂∂ ( ∫

)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

(เพราะวา ∫)y ,*x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v เปนฟงกชันของ y เทานั้น)

= x∂∂ ( ∫

)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

เพราะวา ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v = ∫)y ,x(

)y ,*x(

Fv ( 2 rv (t)) ⋅ 2 r

v ′(t) dt

= ∫)y ,x(

)y ,*x(

(P( 2 rv (t)), Q( 2 r

v (t))) ⋅ 2 rv ′(t) dt

= ∫)y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) ⋅ ((t)′, (y)′) dt

(เพราะวา 2C : 2 rv (t) = (t, y) เมื่อ *x ≤ t ≤ x)


= ∫)y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) ⋅ (1, 0) dt

= ∫)y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) ⋅ (1, 0) dt

= ∫=

=

x t

*x t

(P(t, y)(1) + Q(t, y)(0)) dt

= ∫=

=

x t

*x t

P(t, y) dt

= ∫=

=

x t

*x t

g(t) dt (ให g(t) = P(t, y))

เพราะฉะนั้น x∂∂ ( ∫

)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

= x∂∂ ( ∫

=

=

x t

*x t

g(t) dt)

= dxd ( ∫

=

=

x t

*x t

g(t) dt) ( ∫=

=

x t

*x t

g(t) dt เปนฟงกชันของ x)

= g(x) (โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบทที่หนึ่ง)= P(x, y)

เพราะฉะนั้น x∂∂ ( ∫

CFv ⋅ d rv) = P(x, y)


การแสดงวา y∂∂ ( ∫

CFv ⋅ d rv) = Q

เลือก (x, *y ) ∈ B(X ; δ) โดยที่ *y < y

รูปที่ 5.3.7ให 1C : 1 r

v (t) เปนเสนโคงจากจุด A ไปยังจุด (x, *y )2C : 2 r

v (t) = (x, t) เมื่อ *y ≤ t ≤ y เปนสวนของเสนตรงจาก (x, *y ) ไปยังจุด X(x, y)

C = 1C + 2C

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

1CFv ⋅ d 1 r

v + ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v

= ∫)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v

เพราะวา อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S


Fv ⋅ d rv จึงมีไดคาเดียว

เพราะวา คาของ ∫)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v

ขึ้นอยูกับคาของ x, y

Page 22 of 53

09/06/2008


เพราะฉะนั้น เราจึงสามารถนิยามสูตรฟงกชัน

φ(x, y) = ∫)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v

ซึ่งจะได ∫C

Fv ⋅ d rv = φ(x, y) และ

y∂∂ φ(x, y) = y∂

∂ ( ∫)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v + ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

= y∂∂ ( ∫

)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v ) + y∂∂ ( ∫

)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

= 0 + y∂∂ ( ∫

)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

(เพราะวา ∫)*y ,x(

)0y ,0x(Fv ⋅ d 1 r

v เปนฟงกชันของ x เทานั้น)

= y∂∂ ( ∫

)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v )

เพราะวา ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ⋅ d 2 r

v = ∫)y ,x(

)*y ,x(

Fv ( 2 rv (t)) ⋅ 2 r

v ′(t) dt

= ∫)y ,x(

)*y ,x(

(P( 2 rv (t)), Q( 2 r

v (t))) ⋅ 2 rv ′(t) dt


= ∫)y ,x(

)*y ,x(

(P(x, t), Q(x, t)) ⋅ ((x)′, (t)′) dt

(เพราะวา 2C : 2 rv (t) = (x, t) เมื่อ *y ≤ t ≤ y)

= ∫)y ,x(

)*y ,x(

(P(x, t), Q(x, t)) ⋅ (0, 1) dt

= ∫=

=

y t

*y t

(P(x, t)(0) + Q(x, t)(1)) dt = ∫=

=

y t

*y t

Q(x, t) dt

= ∫=

=

y t

*y t

h(t) dt (ให h(t) = Q(x, t))

เพราะฉะนั้น y∂∂ ( ∫

)y ,x(

)y ,*x(

Fv ⋅ d 2 r

v ) = y∂∂ ( ∫

=

=

y t

*y t

h(t) dt)

= dyd ( ∫

=

=

y t

*y t

h(t) dt) ( ∫=

=

x t

*x t

h(t) dt เปนฟงกชันของ y)

= h(y) (โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบทที่หนึ่ง)= Q(x, y)

เพราะฉะนั้น y∂∂ ( ∫

CFv ⋅ d rv) = Q(x, y)

เพราะฉะนั้น ∇ φ(x, y) = ∇ ( ∫C

Fv ⋅ d rv)

= ( x∂∂ ( ∫

CFv ⋅ d rv), y∂

∂ ( ∫C

Fv ⋅ d rv))

= (P(x, y), Q(x, y)) = Fv (x, y)


จากที่กลาวมาทั้งหมดขางตนสรุปไดวาในปริภูมิสองมิติเมื่อกําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดและ F

v : S → 2R เปนฟงกชันตอเนื่องโดยที่ F

v (x, y) = P(x, y) iv + Q(x, y) j

v

เมื่อ P, Q เปนฟงกชันคาจริงของสองตัวแปรและ อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีใน Sเมื่อ A เปนจุดใน S ฟงกชัน φ : S → R

เปนฟงกชันคาจริง นิยามโดย φ(x, y) = ∫)y ,x(

AFv ⋅ d rv

จะได φ เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบน S

และ ∇ ∫)y ,x(

AFv ⋅ d rv = F

v (x, y) ทุก X(x, y) ∈ S

และ ∇ φ(x, y) = Fv (x, y) ทุก X(x, y) ∈ S


ในทํานองเดียวกัน สําหรับปริภูมิสามมิติS เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดและ F

v : S → 3R เปนฟงกชันตอเนื่อง โดยที่Fv (x, y, z) = P(x, y, z) i

v + Q(x, y, z) jv + R(x, y, z)k

v

เมื่อ P, Q, R เปนฟงกชันคาจริงของสามตัวแปรและ อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีใน Sเมื่อ A เปนจุดใน S ฟงกชัน φ : S → R

เปนฟงกชันคาจริง นิยามโดย φ(x, y, z) = ∫)z ,y ,x(

AFv ⋅ d rv

จะได φ เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบน S

และ ∇ ∫)z ,y ,x(

AFv ⋅ d rv = F

v (x, y, z) ทุก X(x, y, z) ∈ S

และ ∇ φ(x, y, z) = Fv (x, y, z) ทุก X(x, y, z) ∈ S

หมายเหตุ ในทํานองเดียวกัน สําหรับปริภูมิ nR

จะได A เปนจุดใน S และ φ : S → R เปนฟงกชันคาจริง

นิยามโดย φ(X) = ∫X

AFv ⋅ d rv

จะได φ เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบน Sและ ∇ φ(X) = F


และ ∇ ∫X

AFv ⋅ d rv = F


Page 23 of 53

09/06/2008


ทฤษฎีบท 5.3.2(ทฤษฎีบทหลักมูลสาํหรับอินทิกรัลตามเสน บทที่สอง)กําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน nR

ถา Fv : S → nR เปนฟงกชันตอเนื่อง

โดยมีฟงกชันศักย φ : S → Rมีสมบัติวา φ เปนฟงกชันที่มีอนุพันธบน S และ ∇ φ = F

v

แลว อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S

และ ∫B

AFv ⋅ d rv = φ(B) - φ(A) ทุกจุด A, B เปนจุดใน S

บทพิสูจน เพ่ืองายตอการทําความเขาใจ จึงขอแสดงขอพิสูจนในปริภูมิสองมิติกอนดังนี้ให A, B เปนจุดใน Sเพราะวา S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน 2R

เพราะฉะนั้นมี C : rv(t) = (x(t), y(t))เปนวิถีเรียบเชิงเดียว a ≤ t ≤ b โดยที่ rv(a) = A และ rv(b) = B

∫C∇ φ ⋅ d rv = ∫

b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ d rv (t)

= ∫b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫b

a∇ φ(x(t), y(t)) ⋅ rv ′(x(t), y(t)) dt


= ∫b

a∇ φ(x(t), y(t)) ⋅ rv ′(x(t), y(t)) dt

= ∫b

a( x∂∂ φ(x(t), y(t)), y∂

∂ φ(x(t), y(t))) ⋅ (dtd x(t), dt

d y(t)) dt

= ∫b

a( x∂∂ φ(x(t), y(t))dt

d x(t) + y∂∂ φ(x(t), y(t))dt

d y(t)) dt

= ∫b

adtd φ(x(t), y(t)) dt

= ∫b

a(dt

d g(t)) dt (ให g(t) = φ(x(t), y(t)))

= [ g(t) ] a t b t

== (โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส บทที่สอง)

= [ φ(x(t), y(t)) ] a t b t

==

= φ(x(b), y(b)) - φ(x(a), y(a))= φ( rv(b)) - φ( rv(a))= φ(B) - φ(A)


การพิสูจนในปริภูมิสามมิติ ให A, B เปนจุดใน Sเพราะวา S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน 3R เพราะฉะนั้นมี C : rv(t) = (x, y, z) เปนวิถีเรียบเชิงเดียว a ≤ t ≤ bโดยที่ rv(a) = A และ rv(b) = B และ x, y, z เปนฟงกชันของ t

เพราะฉะนั้น ∫C∇ φ ⋅ d rv = ∫

b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ d rv (t)

= ∫b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt = ∫

b

a∇ φ(x, y, z) ⋅ (x, y, z)′ dt

= ∫b

a∇ φ(x, y, z) ⋅ (x′, y′, z′) dt

= ∫b

a( x∂∂ φ(x, y, z), y∂

∂ φ(x, y, z), z∂∂ φ(x, y, z)) ⋅ ( dt

dx , dtdy , dt

dz )dt

= ∫b

a( x∂∂ φ(x, y, z) dt

dx + y∂

∂ φ(x, y, z) dtdy

+ z∂∂ φ(x, y, z) dt

dz ) dt

= ∫b

a(dt

d φ(x, y, z)) dt

= ∫b

a(dt

d g(t)) dt (ให g(t) = φ(x, y, z) = φ(x(t), y(t), z(t)))

= [ g(t) ] at bt

== (โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส บทที่สอง)

= [ φ(x, y, z) ] a t b t

==

= φ(x(b), y(b), z(b)) - φ(x(a), y(a), z(a))= φ( rv(b)) - φ( rv(a)) = φ(B) - φ(A)


การพิสูจนในปริภูมิ nR ให A, B เปนจุดใน Sเพราะวา S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน nR

เพราะฉะนั้นมี C : rv(t) เปนวิถีเรียบเชิงเดียว a ≤ t ≤ bโดยที่ rv(a) = A และ rv(b) = B

∫C∇ φ ⋅ d rv = ∫

b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ d rv (t)

= ∫b

a∇ φ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫b

adtd φ( rv (t)) dt

= ∫b

a(dt

d g(t)) dt (ให g(t) = φ( rv (t)))

(โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส บทที่สอง)= [ g(t) ] a t

b t ==

= [ φ( rv (t)) ] a t b t

== (เพราะวา g(t) = φ( rv (t)))

= φ( rv(b)) - φ( rv(a))= φ(B) - φ(A)

Page 24 of 53

09/06/2008


จากทฤษฎีบทหลักมูลของอินทิกรัลตามเสน ทั้งบทที่หนึ่ง และบทที่สอง เห็นไดวา ถา F

v เปนฟงกชันซึ่งมีฟงกชันศักย φ ใน S

แลว การหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫B

AFv ⋅ d rv จะขึ้นกับจุด A และ

จุด B เทานั้น ไมขึ้นกับวิถีระหวาง A และ Bนั่นคือ อินทิกรัลตามเสนเปนอิสระจากวิถี

สรุป การหาคาอินทิกรัลตามเสน ∫C

Fv ⋅ d rv

เมื่อ C : rv(t) ในชวง [a, b] อาจเลือกทําได 3 วิธีวิธีที่ 1. ใชการอินทิเกรตในพจนของตัวแปร t

ตามวิธีของหัวขอ 5.2 ∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b


วิธีที่ 2. หาฟงกชันศักย φ ของ Fv (ในกรณีที่ F

v เปนฟงกชันเกรเดียนต) ใช ทฤษฎีบทหลักมูลของอินทิกรัลตามเสน บทที่สอง

∫C

Fv ⋅ d rv = φ( rv(b)) - φ( rv(a))

วิธีที่ 3. ในกรณีที่อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถี

และ หาฟงกชันศักย φ ไมได ใหเลือกเสนโคง 1C ที่มีสูตรงายกวา และหาคา ∫

1CFv ⋅ d rv แทน ∫

CFv ⋅ d rv

แลวจึงสรุปวา ∫C

Fv ⋅ d rv มีคาเทากับ ∫

1CFv ⋅ d rv


ตัวอยาง 5.3.3 จงหาคาของ ∫C

Fv ⋅ d rv

เมื่อกําหนดให Fv (x, y) = (y + 2, x + 3)

และ C : rv(t) = (3 cos t, 4 sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π


รูปที่ 5.3.8วิธีที่ 1. ใชการอินทิเกรตในพจนของตัวแปร tตามวิธีของหัวขอ 5.2

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

π2

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫π2

0Fv ((3 cos t, 4 sin t)) ⋅ ((3 cos t)′, (4 sin t)′) dt

= ∫π2

0(4 sin t + 2, 3 cos t + 3) ⋅ (-3 sin t, 4 cos t) dt

= ∫π2

0(4 sin t + 2)(-3 sin t) + (3 cos t + 3)(4 cos t) dt


= ∫π2

0(-12 2sin t - 6 sin t + 12 2cos t + 12 cos t) dt

= ∫π2

0(12( 2cos t - 2sin t) - 6 sin t + 12 cos t) dt

= ∫π2

0(12 cos 2t - 6 sin t + 12 cos t) dt

= [ 6 sin 2t + 6 cos t +12 sin t ] 0t2 t

=

π=

= (0 + 0 + 12) - (0 + 6 + 0) = 6

วิธีที่ 2. เพราะวามีฟงกชัน φ(x, y) = xy + 2x + 3y ที่ทําให∇ φ(x, y) = ( x∂

∂ (xy + 2x + 3y), y∂∂ (xy + 2x + 3y))

= (y + 2, x + 3)= Fv (x, y)

เพราะฉะนั้น Fv เปนฟงกชันเกรเดียนต


Fv ⋅ d rv = φ( rv(b)) - φ( rv(a))

= φ( rv( 2π)) - φ( rv(0))

= φ(0, 4) - φ(3, 0)= 12 - 6= 6


วิธีที่ 3. สมมติวา อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถี

และ หาฟงกชันศักย φ ไมไดเลือก 1C : 1 r

v (t) = (3 - 3t, 4t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1

รูปที่ 5.3.9เพราะวา อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถี จากจุดA(3, 0) ไปยังจุด B(0, 4) เพราะฉะนั้น

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

1CFv ⋅ d rv = ∫

1

0Fv ( 1 rv (t)) ⋅ 1 r

v ′(t) dt

= ∫1

0Fv (3 - 3t, 4t) ⋅ ((3 - 3t)′, (4t)′) dt

= ∫1

0(4t + 2, 3 - 3t +3) ⋅ (-3, 4) dt

= ∫1

0(4t + 2, 6 - 3t) ⋅ (-3, 4) dt

= ∫1

0(-12t - 6 + 24 - 12t) dt = ∫

1

0(-24t + 18) dt

= [ -12 2t + 18t ] 0 t 1 t

== = -12 + 18 = 6

Page 25 of 53

09/06/2008


ขอสังเกต 1. การหาคา ∫C

Fv ⋅ d rv หากทําไดทั้ง 3 วิธีขางตน

จะเห็นวา วิธีที่ 2. มีความสะดวกกวา วิธีที่ 1.2. การคํานวณใน วิธีที่ 1. อาจจะมีความยุงยากในเรื่องของการ

อินทิเกรต3. การคํานวณใน วิธีที่ 2. ตองมีการตรวจสอบวา F

v

เปนฟงกชันเกรเดียนต และ ตองหา ฟงกชันศักย φขอตกลง1. สัญลักษณที่ใชแทนอินทิกรัลตามเสนของ F

v บนวิถีปด rv คือ r"

Fv ⋅ d rv หรือ

C" F

v ⋅ d rv

โดยที่ทิศทางการเคลื่อนที่ทวนเข็มนาฬิกา2. หากตองการเนนทิศทางการเคลื่อนที่จะระบุทิศทางของวิถีโดยการเขียนลูกศรทับวงกลมบนสัญลักษณ

อินทิกรัล r"


C" F

v ⋅ d rv

เพ่ือแสดงทิศทางของการอินทิเกรต ดังนี้ r$


C$ F

v ⋅ d rv

เปนอินทิกรัลตามเสนบนวิถีปด ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา r$


C$ F

v ⋅ d rv

เปนอินทิกรัลตามเสนบนวิถีปด ทิศทางตามเข็มนาฬิกา


ทฤษฎีบท 5.3.3 กําหนดให Fv เปนฟงกชันคาเวกเตอรที่มี

ความตอเนื่องบน S ซึ่งเปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดและเปนสับเซตของ nR จะไดขอความตอไปนี้สมมูลกัน

1. อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S

2. Fv เปนฟงกขันเกรเดียนตบน S

3. อินทิกรัลตามเสนของ Fv บนวิถีปดใน S มีคาเปนศูนย

บทพิสูจน (1) ⇒ (2) เปนผลมาจากทฤษฎีบท 5.3.1หมายเหตุ ผลจากทฤษฎีบท 5.3.1 และ ทฤษฎีบท 5.3.2จะได (2) ⇒ (1) ดวย(2) ⇒ (3) สมมติ F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตบน Sให C : rv (t) บนชวง [a, b] เปนเสนโคงปดมีจุดเริ่มตนที่จุด A และจุดสิ้นสุดที่จุด Bเพราะฉะนั้น A = rv (a) = rv (b) = Bเพราะวา F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตเพราะฉะนั้น มีฟงกชันศักย φ ที่ทําให ∇ φ = F

v

และ C$ F

v ⋅ d rv = ∫B

AFv ⋅ d rv

= φ(B) - φ(A)= φ(B) - φ(B) (เพราะวา A = rv (a) = rv (b) = B)= 0


เพราะฉะนั้นอินทิกรัลตามเสนของ F

v บนวิถีปด C ใน S มีคาเปนศูนย(3) ⇒ (1) ให A, B เปนจุดใน Sให 1C : 1 r

v : [a, b] → S และ 2C : 2 rv : [c, d] → S

เปนวิถีใดๆ ใน S ที่มีจุดเริ่มตนที่จุด Aและ จุดสิ้นสุดที่จุด B ดังรูปที่ 5.3.10 (ก)เพราะฉะนั้น 1 r

v (a) = 2 rv (c) = A และ 1rv (b) = 2 r

v (d) = B

รูปที่ 5.3.10 (ก) รูปที่ 5.3.10 (ข)ให C เปนเสนโคงที่กําหนดโดยวิถี 1C + (- 2C )เพราะฉะนั้น C เปนวิถีที่ เริ่มตนที่จุด A = 1 r

v (a) = 2rv (c)ตามวิถี 1C จนถึงจุด B = 1 r

v (b) = 2 rv (d)

ตอจากนั้นจึงเคลื่อนที่ยอนกลับในทิศทาง 2C

จนมาสิ้นสุดที่จุด A ดังรูปที่ 3.5.10 (ข)


เพราะฉะนั้น C เปนเสนโคงปด โดยมีวิถี rv (t) ที่กําหนดโดย

rv (t) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−+≤≤−+

≤≤

cdbtb)tdb(2

r

bta)t(1

r

เม่ือ

เม่ือ

v

v

เพราะฉะนั้น C = 1C + (- 2C )เพราะฉะนั้น

C$ F

v ⋅ d rv = ∫−+ )2C(1C

Fv ⋅ d rv

= ∫1C

Fv ⋅ d 1 r

v + ∫− 2C

Fv ⋅ d 2 r

v

= ∫1C

Fv ⋅ d 1 r

v - ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v

เพราะวา C เปนเสนโคงปดเพราะฉะนั้น

C$ F

v ⋅ d rv = 0

เพราะฉะนั้น ∫1C

Fv ⋅ d 1 r

v - ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v = 0

เพราะฉะนั้น ∫1C

Fv ⋅ d 1 r

v = ∫2C

Fv ⋅ d 2 r

v

เพราะฉะนั้น อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S

เพราะฉะนั้น (3) ⇒ (1)จากที่พิสูจนมาขางตนสรุปไดวา (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (1)เพราะฉะนั้น ขอความ (1), (2) และ (3) สมมูลกัน

Page 26 of 53

09/06/2008



Fv ⋅ d rv

เมื่อกําหนดให Fv (x, y, z) = (yz, xz, xy)

และ เสนโคง C ซึ่งกําหนดดวยวิถี rv(t) = (4 cos t, 3 sin t, 4t) จากจุด (2 2 ,

23 , π) ไปยังจุด (-2 2 ,

23 , 3π)

วิธีทาํ rv(t) = (4 cos t, 3 sin t, 4t)ให A เปนจุด (2 2 ,

23 , π)

และ B เปนจุด (-2 2 , 2

3 , 3π)เพราะวา rv( 4

π) = (2 2 , 2

3 , π)และ rv( 4

3π) = (-2 2 , 2

3 , 3π)เพราะฉะนั้น ชวงเวลาของการเคลื่อนที่คือ [ 4

π , 43π ]

รูปที่ 5.2.11


เลือก φ(x, y, z) = xyzเพราะวา ∇ φ(x, y, z) = ∇ (xyz)

= ( x∂∂ (xyz), y∂

∂ (xyz), z∂∂ (xyz))

= (yz, xz, xy)= Fv (x, y, z)


เพราะฉะนั้น อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถี และ

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

B

AFv ⋅ d rv

= φ(B) - φ(A)= φ(-2 2 ,

23 , 3π) - φ(2 2 ,

23 , π)

= (-2 2 )(2

3 )(3π) - (2 2 )(2

3 )(π)= -18π - 6π= -24π



2y2xye dx + 2xy 2xye dy

เมื่อเสนโคง C เปนสวนโคง xy = 8จากจุด (1, 8) ไปยังจุด (4, 2)วิธีทาํ ให A(1, 8) เปนจุดเริ่มตน และ B(4, 2) เปนจุดสิ้นสุด

รูปที่ 5.3.12เลือก φ(x, y) = 2xye

เพราะวา ∇ φ(x, y) = ∇ ( 2xye )= ( x∂

∂ ( 2xye ), y∂∂ ( 2xye ))

= ( 2y2xye , 2xy 2xye ) = F

v (x, y)เพราะฉะนั้น F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตเพราะฉะนั้น อินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถี และ

∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

B

AFv ⋅ d rv = φ(B) - φ(A)

= φ(4, 2) - φ(1, 8)= 16e - 64e


หมายเหตุ จากตัวอยาง 5.3.3 และ ตัวอยาง 5.3.4 ตองมีการเลือกฟงกชันศักย φ ใหเหมาะสมกับ F

v ซึ่งความรูเก่ียวกับคาอนุพันธรวมที่เรียนมาจากแคลคูลัส 2 จะชวยในการเลือกฟงกชันศักย φ ได ตัวอยางเชน1. เพราะวา d( 4x + 3 3x 4y + 5y )

= (4 3x + 9 2x 4y ) dx + (12 3x 3y + 5 4y ) dyเพราะฉะนั้น φ(x, y) = 4x + 3 3x 4y + 5y เปนฟงกชันศักยของ F

v (x, y) = (4 3x + 9 2x 4y , 12 3x 3y + 5 4y )2. เพราะวา d(4xy+ 2y 4z )

= (4y) dx + (4x + 2y 4z ) dy + (4 2y 3z ) dzเพราะฉะนั้น φ(x, y, z) = 4xy+ 2y 4z เปนฟงกชันศักยของ F

v (x, y, z) = (4y, 4x + 2y 4z , 4 2y 3z )จากที่กลาวมาขางตน หากเราสามารถเลือกฟงกชันศักย φไดโดยงาย จะคํานวณคา ∫

CFv ⋅ d rv งายขึ้น

แตโดยทั่วไปฟงกชัน Fv ที่เราตองการอินทิเกรตตามเสน

อาจจะเปนฟงกชันเกรเดียนหรือไมก็ไดดังนั้นเราจะศึกษาเงื่อนไขที่เก่ียวของกับฟงกชันเกรเดียนเพ่ือชวยในการหาฟงกชันศักย φ ตอไปทฤษฎีบทตอไปนี้จะแสดงเงื่อนไขที่จําเปนที่จะทําใหฟงกชัน Fv เปนฟงกชันเกรเดียนต

Page 27 of 53

09/06/2008


ทฤษฎีบท 5.3.4 กําหนดให Fv : S → 2R เปนฟงกชัน

ที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดที่เชื่อมโยงได S ใน 2R

โดยที่ Fv (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

ถา Fv

เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S แลว y∂∂ P(x, y) = x∂

∂ Q(x, y)

บทพิสูจนให F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตบน Sโดยที่ F

v (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))เพราะฉะนั้น มีฟงกชันคาจริง φ : S → R ซึ่ง ∇ φ = F

v บน Sเพราะฉะนั้น ∇ φ(x, y) = ( x∂

∂ φ(x, y), y∂∂ φ(x, y))

= Fv (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

เพราะฉะนั้น x∂∂ φ(x, y) = P(x, y)

และ y∂∂ φ(x, y) = Q(x, y) ... (*)

y∂∂ ( x∂

∂ φ(x, y)) = y∂∂ P(x, y)

และ x∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y)) = x∂∂ Q(x, y)

เพราะวา y∂∂ ( x∂

∂ φ(x, y)) และ x∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y)) ตอเนื่องบน Sเพราะฉะนั้น y∂

∂ ( x∂∂ φ(x, y)) = x∂

∂ ( y∂∂ φ(x, y))

เพราะฉะนั้น y∂∂ P(x, y) = x∂

∂ Q(x, y)


หมายเหตุ ผลของทฤษฎีบทที่ 5.3.4จะได F

v (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))ถา y∂

∂ P(x, y) ≠ x∂∂ Q(x, y) แลว F

v ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตตัวอยางเชน F

v (x, y) = (2x + 5y, 3x + 2y)P(x, y) = 2x + 5y, y∂

∂ P(x, y) = 5Q(x, y) = 3x + 2y, x∂

∂ Q(x, y) = 3เพราะฉะนั้น y∂

∂ P(x, y) ≠ x∂∂ Q(x, y)

เพราะฉะนั้น Fv (x, y) = (2x + 5y, 3x + 2y)

ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตสําหรับ F

v (x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) ที่มีสมบัติ

y∂∂ P(x, y) = x∂

∂ Q(x, y)

เราสามารถใชแนวคิดเกี่ยวกับการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแบบแมนตรงชวยหาฟงกชันศักย φ ของ F

v

ในกรณีที่ Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตไดดังตอไปนี้

สําหรับการหา φ(x, y) อาจทําไดโดยอาศัยเงื่อนไข (*)จากทฤษฎีบท 5.3.4


แบบที่ 1. จาก x∂∂ φ(x, y) = P(x, y)

เพราะวาในการหา x∂∂ φ(x, y) ถือวา y เปนคาคงตัว

เพราะฉะนั้น การอินทิเกรต P(x, y) เทียบกับ xคาคงตัวที่ไดตองเปนฟงกชันของ yเพราะฉะนั้นφ(x, y) = ∫ P(x, y) dx + h(y) ... (1)เพราะวา Q(x, y) = y∂

∂ φ(x, y)= y∂

∂ (∫ P(x, y) dx + h(y))= y∂

∂ (∫ P(x, y) dx) + y∂∂ h(y)

จัดรูปสมการหาพจน y∂∂ h(y)

เพราะฉะนั้น h(y) = ∫ y∂∂ h(y) dy + K เมื่อ K เปนคาคงตัว

ซึ่งเมื่อได h(y) แลวนําไปแทนใน (1) จะได φ(x, y)

แบบที่ 2. จาก y∂∂ φ(x, y) = Q(x, y)

เพราะวาในการหา y∂∂ φ(x, y) ถือวา x เปนคาคงตัว

เพราะฉะนั้น การอินทิเกรต Q(x, y) เทียบกับ yคาคงตัวที่ไดตองเปนฟงกชันของ xเพราะฉะนั้น φ(x, y) = ∫ Q(x, y) dx + g(x) ... (2)


เพราะวา P(x, y) = x∂∂ φ(x, y)

= x∂∂ (∫ Q(x, y) dx + g(x))

= x∂∂ (∫ Q(x, y) dx) + x∂

∂ g(x)จัดรูปสมการหาพจน x∂

∂ g(x)เพราะฉะนั้น g(x) = ∫ x∂

∂ g(x) dx + K เมื่อ K เปนคาคงตัวซึ่งเมื่อได g(x) แลวนําไปแทนใน (2) จะได φ(x, y)

แบบที่ 3.3.1 จาก x∂

∂ φ(x, y) = P(x, y)φ(x, y) = ∫ P(x, y) dx ... (1)

3.2 จาก y∂∂ φ(x, y) = Q(x, y)

φ(x, y) = ∫ Q(x, y) dy ... (2)3.3 เลือก φ(x, y) จากเงื่อนไข (1) และ (2)

โดยพิจารณา จากพจนที่ซ้ําเอามาตัวเดียวพจนที่ไมซ้ําใน (1) และ (2) เอามาหมด

3.4 ยืนยันความถูกตองดวยการหา ∇ φ(x, y) = ( x∂

∂ φ(x, y), y∂∂ φ(x, y))

ตองเทากับ Fv (x, y)

Page 28 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.3.6 จงหาคาของ∫C

(3 2x y + 2xy) dx + ( 3x + 2x + 2y) dy

เมื่อ C : rv(t) = ( 32

t , 1 + 31

t + 32

t ) เมื่อ 1 ≤ t ≤ 8

วิธีทาํ C : rv(t) = ( 32

t , 1 + 31

t + 32

t ) เมื่อ 1 ≤ t ≤ 8มีจุดเริ่มตน A(1, 3) และ จุดสิ้นสุด B(4, 7)ให F

v (x, y) = (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y)เพราะฉะนั้น P(x, y) = 3 2x y + 2xyและ Q(x, y) = 3x + 2x + 2y

yP∂∂ (x, y) = 3 2x + 2x

และ xQ∂∂ (x, y) = 3 2x + 2x

ดังนั้น yP∂∂ (x, y) = x

Q∂∂ (x, y)

การหา φ(x, y)จาก x∂

φ∂ (x, y) = P(x, y) = 3 2x y + 2xyจะได φ(x, y) = ∫ (3 2x y + 2xy) dx

= 3x y + 2x y + h(y) ... (1)แต y∂

φ∂ (x, y) = Q(x, y)= 3x + 2x + 2y

ดังนั้น 3x + 2x + h′(y) = 3x + 2x + 2y


จะได h′(y) = 2yเพราะฉะนั้น h(y) = ∫ 2y dy = 2y + Kแทน h(y) ใน (1) จะได φ(x, y) = 3x y + 2x y + 2y + Kเลือก φ(x, y) = 3x y + 2x y + 2y

จะได ∇ φ(x, y) = ( x∂∂ φ(x, y), y∂

∂ φ(x, y)) = (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y) = F

v (x, y)เพราะฉะนั้น ∫

CFv ⋅ d rv เปนอิสระจากวิถี


Fv ⋅ d rv = φ(B) - φ(A) = φ(4, 7) - φ(1, 3)

= (448 + 112 + 49) - (3 + 3 + 9) = 609 - 15 = 594เพราะฉะนั้น∫C

(3 2x y + 2xy) dx + ( 3x + 2x + 2y) dy = 594

หมายเหตุ การหา φ(x, y) แบบที่ 3.φ(x, y) = ∫ P(x, y) dx

= ∫ (3 2x y + 2xy) dx = 3x y + 2x yφ(x, y) = ∫ Q(x, y) dx

= ∫ ( 3x + 2x + 2y) dy = 3x y + 2x y + 2y

เพราะฉะนั้น เลือก φ(x, y) = 3x y + 2x y + 2y

จะได ∇ φ(x, y) = ( x∂∂ φ(x, y), y∂

∂ φ(x, y))= (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y)


ทฤษฎีบท 5.3.5 กําหนดให Fv : S → 3R เปนฟงกชัน

ที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดที่เชื่อมโยงได S ใน 3R

โดยที่ Fv (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

ถา Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S แลว

y∂∂ P(x, y, z) = x∂

∂ Q(x, y, z)

z∂∂ P(x, y, z) = x∂

∂ R(x, y, z)และ z∂

∂ Q(x, y, z) = y∂∂ R(x, y, z)

บทพิสูจน ให Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

โดยที่ Fv (x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

เพราะฉะนั้น มีฟงกชันคาจริง φ : S → R ซึ่ง ∇ φ = Fv บน S

เพราะฉะนั้น ∇ φ(x, y, z)= ( x∂

∂ φ(x, y, z), y∂∂ φ(x, y, z), z∂

∂ φ(x, y, z))= Fv (x, y, z)

= (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))เพราะฉะนั้น x∂

∂ φ(x, y, z) = P(x, y, z) ... (1)

y∂∂ φ(x, y, z) = Q(x, y, z) ... (2)

z∂∂ φ(x, y, z) = R(x, y, z) ... (3)


จาก (1) จะได

y∂∂ ( x∂

∂ φ(x, y, z)) = y∂∂ P(x, y, z) ... (4)

และ z∂∂ ( x∂

∂ φ(x, y, z)) = z∂∂ P(x, y, z) ... (4)


x∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y, z)) = x∂∂ Q(x, y, z) ... (5)

และ z∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y, z)) = z∂∂ Q(x, y, z) ... (5)


x∂∂ ( z∂

∂ φ(x, y, z)) = x∂∂ R(x, y, z) ... (6)

และ y∂∂ ( z∂

∂ φ(x, y, z)) = y∂∂ R(x, y, z) ... (6)

เพราะวา y∂∂ ( x∂

∂ φ(x, y, z)) และ x∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y, z))เปนฟงกชันตอเนื่องบน Sเพราะฉะนั้น y∂

∂ ( x∂∂ φ(x, y, z)) = x∂

∂ ( y∂∂ φ(x, y, z))

จาก (4) และ (5) จะได y∂∂ P(x, y) = x∂

∂ Q(x, y)เพราะวา z∂

∂ ( x∂∂ φ(x, y, z)) และ x∂

∂ ( z∂∂ φ(x, y, z))

เปนฟงกชันตอเนื่องบน Sเพราะฉะนั้น z∂

∂ ( x∂∂ φ(x, y, z)) = x∂

∂ ( z∂∂ φ(x, y, z))

จาก (4) และ (6) จะได z∂∂ P(x, y, z) = x∂

∂ R(x, y, z)

Page 29 of 53

09/06/2008


เพราะวา z∂∂ ( y∂

∂ φ(x, y, z)) และ y∂∂ ( z∂

∂ φ(x, y, z))เปนฟงกชันตอเนื่องบน Sเพราะฉะนั้น z∂

∂ ( y∂∂ φ(x, y, z)) = y∂

∂ ( z∂∂ φ(x, y, z))

จาก (5) และ (6) จะได z∂∂ Q(x, y, z) = y∂

∂ R(x, y, z)สรุป ถา F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตบน Sแลว y∂

∂ P(x, y, z) = x∂∂ Q(x, y, z)

z∂∂ P(x, y, z) = x∂


∂ Q(x, y, z) = y∂∂ R(x, y, z)

หมายเหตุ ผลจาก ทฤษฎีบท 3.5.5 จะไดสําหรับฟงกชัน F

v = ( 1f , 2f , 3f )ถา iD jf ≠ jD if สําหรับบางคา i และ jแลว F

v จะไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบน S


ตัวอยาง 5.3.7 กําหนดFv (x, y, z) = (3 2x + 2xy + 2z, 3x + 2y + 4z, x + y + 2 3z )เปนฟงกชันนิยามบน 3R

จงแสดงวา Fv ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบนเซตใดๆ ที่เปนสับ

เซตของ 3R

วิธีทาํ ให S เปนเซตเปดใดๆ ซึ่งเปนสับเซตของ 3R และFv (x, y, z) = (3 2x + 2xy + 2z, 3x + 2y + 4z, x + y + 2 3z )ให 1f (x, y, z) = 3 2x + 2xy + 2z

2f (x, y, z) = 3x + 2y + 4z 1D 2f (x, y, z) = 3 2x

2D 1f (x, y, z) = 2xเพราะฉะนั้น 1D 2f ≠ 2D 1f

เพราะฉะนั้น Fv ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบนเซตเปดใดๆ

ที่เปนสับเซตของ 2R


การหาฟงกชันศักยของฟงกชัน Fv ใน 3R

จากเงื่อนไข y∂∂ P(x, y, z) = x∂

∂ Q(x, y, z)

z∂∂ P(x, y, z) = x∂


∂ Q(x, y, z) = y∂∂ R(x, y, z)

การหา φ(x, y, z) ในกรณีที่ Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

ให Fv = (P, Q, R) และ φ เปนฟงกชันศักยของ F

v

เพราะฉะนั้น ∇ φ = Fv

เพราะฉะนั้น x∂φ∂ (x, y, z) = P(x, y, z) ... (1)

y∂φ∂ (x, y, z) = Q(x, y, z) ... (2)

z∂φ∂ (x, y, z) = R(x, y, z) ... (3)

แบบที่ 1. การหา φ(x, y, z) มีขั้นตอนดังนี้

ขั้นที่ 1. หา φ(x, y, z) จาก (1) หรือ (2) หรือ (3)โดยการอินทิเกรต(หมายเหตุ ควรเลือกเงื่อนไขที่สามารถอินทิเกรตไดงาย)สมมติหา φ(x, y, z) จาก (1)เพราะวาในการหา x∂

φ∂ (x, y, z) ถือวา y, z เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น การอินทิเกรต P(x, y, z) เทียบกับ xคาคงตัวที่ไดตองเปนฟงกชันของ y, z


เพราะฉะนั้นφ(x, y, z) = ∫ P(x, y, z) dx + g(y, z) ... (4)เมื่อ g(y, z) เปนคาคงตัว ในพจนของตัวแปร y, z

ขั้นที่ 2. เพราะวา φ(x, y, z) ไดมาจากการอินทิเกรตเทียบกับ xเราจึงหาอนุพันธของ∫ P(x, y, z) dx + g(y, z) เทียบกับ y หรือ zสมมติเราเลือก

y∂∂ φ(x, y, z) = y∂

∂ (∫ P(x, y, z) dx + g(y, z))เพราะฉะนั้น Q(x, y, z) = y∂

∂ (∫ P(x, y, z) dx) + y∂∂ g(y, z)

จัดรูปสมการเพื่อหาพจน y∂∂ g(y, z)

ขั้นที่ 3. เพราะวาการหา y∂∂ g(y, z) ถือวา z เปนคาคงตัว

เพราะฉะนั้น การอินทิเกรต y∂∂ g(y, z) เทียบกับ y

คาคงตัวที่ไดตองเปนฟงกชันของ zเพราะฉะนั้น g(y, z) = ∫ y∂

∂ g(y, z) dy + h(z)แทนคา g(y, z) ใน (4) จะได φ(x, y, z)

= ∫ P(x, y, z) dx + ∫ y∂∂ g(y, z) dy + h(z) ... (5)

Page 30 of 53

09/06/2008


ขั้นที่ 4. หา z∂∂ φ(x, y, z)

= z∂∂ (∫ P(x, y, z) dx + ∫ y∂

∂ g(y, z) dy + h(z))เพราะฉะนั้น

z∂∂ φ(x, y, z) = z∂

∂ (∫ P(x, y, z) dx) + z∂

∂ (∫ y∂∂ g(y, z) dy) + z∂

∂ h(z)R(x, y, z) = z∂

∂ (∫ P(x, y, z) dx) + z∂

∂ (∫ y∂∂ g(y, z) dy) + z∂

∂ h(z)จัดรูปสมการเพื่อหาพจน z∂

∂ h(z)เพราะฉะนั้น h(z) = ∫ z∂

∂ h(z) dz + K เมื่อ K เปนคาคงตัวแลวแทนคาใน (5)จากทั้ง 4 ขั้นตอนขางตนจะได φ(x, y, z)

= ∫ P(x, y, z) dx + ∫ y∂∂ g(y, z) dy + ∫ z∂

∂ h(z) + K


แบบที่ 2. การหา φ(x, y, z) มีขั้นตอนดังนี้3.1 จาก x∂

∂ φ(x, y, z) = P(x, y, z)φ(x, y, z) = ∫ P(x, y, z) dx ... (1)

3.2 จาก y∂∂ φ(x, y, z) = Q(x, y, z)

φ(x, y, z) = ∫ Q(x, y, z) dy ... (2)3.3 จาก z∂

∂ φ(x, y, z) = R(x, y, z)φ(x, y, z) = ∫ R(x, y, z) dz ... (3)

3.4 เลือก φ(x, y, z) จากเงื่อนไข (1) และ (2) และ (3)โดยพิจารณา จากพจนที่ซ้ําเอามาตัวเดียวพจนที่ไมซ้ําใน (1), (2) และ (3) เอามาหมด

3.5 ยืนยันความถูกตองดวยการหา∇ φ(x, y, z) = ( x∂

∂ φ(x, y), y∂∂ φ(x, y), z∂

∂ φ(x, y, z))ตองเทากับ F

v (x, y, z)



Fv ⋅ d rv เมื่อกําหนด

Fv (x, y, z) = (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)และ C : rv(t) = (1 + t + t, 2 + 3t + 2t , 6 + 3 t + 2t )เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1วิธีทาํFv (x, y, z) = (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)

P = 3yz + 2y + 5zQ = 3xz + 2x + 3zR = 3xy + 5x + 3y

y∂∂ P = 3z + 2 และ z∂

∂ P = 3y + 5

x∂∂ Q = 3z + 2 และ z∂

∂ Q = 3x + 3

x∂∂ R = 3y + 5 และ y∂

∂ R = 3x + 3เพราะฉะนั้น y∂

∂ P = x∂∂ Q, z∂

∂ P = x∂∂ R, y∂

∂ R = z∂∂ Q

เพราะฉะนั้น Fv (x, y, z) สอดคลองเงื่อนไขที่จําเปนของฟงกชัน

เกรเดียนต


การหา φ(x, y, z) มีขั้นตอนดังนี้ขั้นที่ 1. φ(x, y, z) = ∫ (3yz + 2y + 5z) dx + g(y, z)

= 3xyz + 2yx + 5zx + g(y, z) ... (1)ขั้นที่ 2. y∂

∂ φ(x, y, z) = y∂∂ (3xyz + 2yx + 5zx + g(y, z))

เพราะฉะนั้น Q = y∂∂ (3xyz + 2yx + 5zx) + y∂

∂ g(y, z)3xz + 2x + 3z = 3xz + 2x + 0 + y∂

∂ g(y, z) y∂∂ g(y, z) = 3z

ขั้นที่ 3. g(y, z) = ∫ y∂∂ g(y, z) dy + h(z)

= ∫ 3z dy + h(z) = 3zy + h(z)แทนคา g(y, z) ใน (1) จะได φ(x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + h(z)ขั้นที่ 4. z∂

∂ φ(x, y, z) = z∂∂ (3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + h(z))

R = 3xy + 5x + 3y + z∂∂ h(z)

3xy + 5x + 3y = 3xy + 5x + 3y + z∂∂ h(z)

z∂∂ h(z) = 0

เพราะฉะนั้น h(z) = ∫ z∂∂ h(z) dz = ∫ 0 dz

= K เมื่อ K เปนคาคงตัวจากทั้ง 4 ขั้นตอนขางตนจะได

φ(x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + K

Page 31 of 53

09/06/2008


เลือก φ(x, y, z) = 3xyz + 2xy + 3yz + 5xz จะได ∇ φ = Fv


และ อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถี

เพราะวา C : rv(t) = (1 + t + t, 2 + 3t + 2t , 6 + 3 t + 2t )เมื่อ 0 ≤ t ≤ 1มีจุดเริ่มตนที่จุด (1, 2, 6) และจุดสิ้นสุดที่จุด B(3, 6, 8)เพราะฉะนั้น ∫

CFv ⋅ d rv = φ(3, 6, 8) - φ(1, 2, 6)

= 732 - 106 = 626

หมายเหตุ การหา φ(x, y, z) แบบที่ 2. มีขั้นตอนดังนี้3.1 φ(x, y, z) = ∫ P(x, y, z) dx = ∫ (3yz + 2y + 5z) dx

= 3xyz + 2yx + 5zx ... (1)3.2 φ(x, y, z) = ∫ Q(x, y, z) dy = ∫ (3xz + 2x + 3z) dy

= 3xyz + 2yx + 3yz ... (2)3.3 φ(x, y, z) = ∫ R(x, y, z) dz = ∫ (3xy + 5x + 3y) dz

= 3xyz + 5xz + 3yz ... (3)3.4 เลือก φ(x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy3.5 ∇ φ(x, y, z) = ( x∂

∂ φ(x, y), y∂∂ φ(x, y), z∂

∂ φ(x, y, z))= (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)= Fv (x, y, z)


เพ่ือความสะดวกสําหรับกรณีทั่วไปผลจากทฤษฎีบท 5.3.5 จะได สําหรับ F

v : S → 3R

ที่เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดS ใน 3R โดยที่Fv ( 1x , 2x , 3x )

= ( 1f ( 1x , 2x , 3x ), 2f ( 1x , 2x , 3x ), 3f ( 1x , 2x , 3x ))ถา F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S แลว2D 1f =

2x∂∂

1f = 1x∂∂

2f = 1D 2f

3D 1f = 3x∂∂

1f = 1x∂∂

3f = 1D 3f

3D 2f = 3x∂∂

2f = 2x∂∂

3f = 2D 3f

เพราะฉะนั้น iD jf ( 1x , 2x , 3x ) = jD if ( 1x , 2x , 3x )ทุกคา i, j = 1, 2, 3 และ ทุกคา ( 1x , 2x , 3x ) ∈ S


ทฤษฎีบท 5.3.6 กําหนดให Fv = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S → nR

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดที่เชื่อมโยงได Sใน nR

ถา Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

แลว iD jf (X) = jD if (X) ทุกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X ∈ S

บทพิสูจน ให Fv = ( 1f , 2f , ... , nf )

เปนฟงกชันเกรเดียนตบน Sเพราะฉะนั้น มีฟงกชันคาจริง φ : S → R ซึ่ง ∇φ = F

v บน Sเพราะฉะนั้น iD φ = if เมื่อ i = 1, 2, ... , nโดยการหาอนุพันธยอยเทียบกับ jx ทั้งสองขางจะได jD iD φ = jD if

เพราะฉะนั้น ijD φ = jD if

ในทํานองเดียวกันจะได jiD φ = iD jf

เพราะวา ijD φ และ jiD φ ตอเนื่องบน Sเพราะฉะนั้น ijD φ = jiD φ บน Sเพราะฉะนั้น iD jf (X) = jD if (X)ทุกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X ∈ S


การหาฟงกชันศักยของฟงกชัน Fv ใน nR

ในกรณีที่ Fv เปนฟงกชันเกรเดียนต

พิจารณา ∫C

Fv ⋅ d rv = ∫

b

a( 1f dt

dx1 + 2f dtdx2 + ... + nf dt

dxn )

เมื่อ C : rv(t) ; a ≤ t ≤ bสมมติ φ เปนฟงกชันศักยของ F

v

เพราะฉะนั้น ∇ φ = Fv ซึ่งจะได

ix∂φ∂ = if ทุก i = 1, 2, ... , n

เพราะฉะนั้น 1f dtdx1 + 2f dt

dx2 + ... + nf dtdxn

= 1x∂φ∂

dtdx1 +

2x∂φ∂

dtdx2 + ... +

nx∂φ∂

dtdxn

= dtd φ

เพราะฉะนั้น 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx = dφเพราะฉะนั้น คาเชิงอนุพันธรวมของฟงกชัน φ คือ

1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

และ ∫C

1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx = φ(b) - φ(a)

Page 32 of 53

09/06/2008


หมายเหตุ1. สําหรับฟงกชัน F

v : S → nR โดยที่ Fv = ( 1f , 2f , ... , nf )

เรากลาววา 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

เปน คาเชิงอนุพันธแมนตรงถา มีฟงกชัน φ : S → R ซึ่ง

dφ = 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

แลว Fv จะเปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

และ ฟงกชันศักยของ Fv คือ φ + c เมื่อ c เปนคาคงตัว

2. ผลจาก ทฤษฎีบท 3.5.6 จะไดสําหรับฟงกชัน F

v = ( 1f , 2f , ... , nf )ถา iD jf ≠ jD if สําหรับบางคา i และ jแลว F

v จะไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

3. บทกลับของทฤษฎีบท 5.3.4 ทฤษฎีบท 5.3.5และ ทฤษฎีบท 5.3.6 ไมจริง


ตัวอยาง 5.3.8 กําหนดให S = 2R - {(0, 0)}และ F

v = ( 1f , 2f ) : S → 2R

นิยามโดย Fv (x, y) = ( 1f (x, y), 2f (x, y))

เมื่อ 1f (x, y) = 22 yxy+− และ 2f (x, y) = 22 yx

x+

จงแสดงวา 1. 1D 2f = 2D 1f

2. Fv ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

วิธีทาํ เมื่อ (x, y) ≠ (0, 0)1. 1D 2f (x, y) = x∂

∂ ( 22 yxx+

)

= 222

222

)yx(x2)yx(

+−+

= 222

22

)yx(xy

+−

2D 1f (x, y) = y∂∂ ( 22 yx

y+− )

= 22

222

)yx(y2)yx(

+++−

= 222

22

)yx(xy

+−

เพราะฉะนั้น 1D 2f (x, y) = 2D 1f (x, y) บน S


2. ให C : rv(t) = (cos t, sin t) , 0 ≤ t ≤ 2πซึ่งมีกราฟเปนวงกลมมีจุดศูนยกลางที่จุด (0, 0)และ มีรัศมีเทากับ เพราะฉะนั้น C เปนเสนโคงปด

C" F

v ⋅ d rv = ∫π2

0Fv ( rv (t)) ⋅ rv ′(t) dt

= ∫π2

0(-sin t, cos t) . (-sin t, cos t) dt

= ∫π2

0( tsin2 + 2cos t) dt

= ∫π2

01 dt

= 2πเพราะฉะนั้น มีเสนโคงปด C ที่

C$ F

v ⋅ d rv ≠ 0

โดยทฤษฎีบท 5.3.2สรุปไดวา F

v ไมเปนฟงกชันเกรเดียนตบน S


เนื่องจากการหาคา ∫C

Fv ⋅ d rv โดยใชฟงกชันศักย φ ของ F

v

มีความสะดวกในการหาคา ∫C

Fv ⋅ d rv

ดังนั้นเราจึงสนใจเงื่อนไขของเซต S ที่ทําให

Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S ก็ตอเมื่อ iD jf (X) = jD if (X)ทุกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X ∈ S

เชนกรณีที่ S เปนแผนสี่เหลี่ยมผืนผาดังทฤษฎีบท 5.3.7

ทฤษฎีบท 5.3.7 ให Fv : S → 2R

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่อง บน Sเมื่อ S = (a, b) × (c, d) และ F

v (x, y) = (P(x, y), Q(x, y))ถา y∂

∂ P(x, y) = x∂∂ Q(x, y) แลว F

v จะมีฟงกชันศักยบน S

บทพิสูจน ให ( 0x , 0y ) ∈ S

กําหนดให φ(x, y) = ∫x

0xP(t, y) dt + ∫

y

0yQ( 0x , t) dt

เพราะฉะนั้น x∂∂ φ(x, y) = x∂

∂ ( ∫x

0xP(t, y) dt + ∫

y

0yQ( 0x , t) dt)

= x∂∂ ( ∫

x

0xP(t, y) dt) + x∂

∂ ( ∫y

0yQ( 0x , t) dt)

Page 33 of 53

09/06/2008


= x∂∂ ( ∫

x

0xP(t, y) dt) + 0

(เพราะวา ∫y

0yQ( 0x , t) dt เปนฟงกชันของ y)

= P(x, y) (โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบทที่หนึ่ง)

y∂∂ φ(x, y) = y∂

∂ ( ∫x

0xP(t, y) dt + ∫

y

0yQ( 0x , t) dt)

= y∂∂ ( ∫

x

0xP(t, y) dt) + y∂

∂ ( ∫y

0yQ( 0x , t) dt)

= y∂∂ ( ∫

x

0xP(t, y) dt) + Q( 0x , y)

(โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัสบทที่หนึ่ง)

= ∫x

0xy∂∂ P(t, y) dt + Q( 0x , y)

= ∫x

0xx∂∂ Q(t, y) dt + Q( 0x , y) (เพราะวา y∂

∂ P = x∂∂ Q)

= Q(x, y) - Q( 0x , y) + Q( 0x , y)= Q(x, y)

เพราะฉะนั้น ∇ φ = Fv

เพราะฉะนั้น Fv มีฟงกชันศักยบน S


หมายเหตุ ผลของทฤษฎีบทที่ 5.3.7จะได สําหรับ F

v : S → 2R

ที่เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน Sเมื่อ S = ( 1a , 1b ) × ( 2a , 2b )และ F

v ( 1x , 2x ) = ( 1f ( 1x , 2x ), 2f ( 1x , 2x ))ถา 2D 1f = 1D 2f แลว F

v จะมีฟงกชันศักยบน Sในทํานองเดียวกันสําหรับกรณีทั่วไปจะไดผลดังทฤษฎีบทตอไปนี้

ทฤษฎีบท 5.3.8 ถา Fv = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S → nR

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน Sเมื่อ S = ( 1a , 1b ) × ( 2a , 2b ) × ... × ( na , nb )และ iD jf (X) = jD if (X)ทุก X ∈ S และ ทุก i, j = 1, 2, ... , nแลว F

v จะมีฟงกชันศักยบน Sจากขอสังเกตวาสองจุด A, B ใดๆ ใน S = (a, b) × (c, d)จะได สวนของเสนตรง AB ตองอยูใน S ดวยบทนิยามเซต S ใน nR ที่มีสมบัติวา สองจุด A, B ใด ๆ ใน Sสวนของเสนตรง AB ตองอยูใน S เราเรียกวา เซตนูน


ตัวอยาง 1. S = {(x, y) | 16x2 + 9

y2 < 1}

รูปที่ 5.3.13เพราะวา สองจุด A, B ใดๆ ใน S จะได สวนของเสนตรง AB

อยูใน S เพราะฉะนั้น S เปนเซตนูนตัวอยาง 2. S = {(x, y) | 4 < 2x + 2y < 16}

รูปที่ 5.3.14เพราะวา A(-3, 0) และ B(3, 0) เปนจุดใน S แตสวนของเสนตรง AB ไมอยูใน S เพราะฉะนั้น S ไมเปนเซตนูนทฤษฎีบท 5.3.9ถา F

v = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S → nR

เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตนูน Sและ iD jf (X) = jD if (X)ทุก X ∈ S และ ทุก i, j = 1, 2, ... , nแลว F

v จะมีฟงกชันศักยบน S


บทนิยาม 5.3.4 ให S เปนเซตเปดใน 3R , Fv : S → 3R

เปนฟงกชันคาเวกเตอรที่ตอเนื่องบน Sถา F

v = ( 1f , 2f , 3f ) มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด Sแลว เวกเตอร

( yf3∂∂ - z

f2∂∂ ) i

v + ( zf1∂∂ - x

f3∂∂ ) j

v + ( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )k

v

เรียกวา เคอรล ของฟงกชัน Fv

เขียนแทนดวย curl Fv หรือ ∇ × F

v

ตัวอยาง Fv (x, y, z) = (xyz, x + 2y + 3z, xy + 2z )

มี 1f (x, y, z) = xyz2f (x, y, z) = x + 2y + 3z3f (x, y, z) = xy + 2z

( yf3∂∂ - z

f2∂∂ ) i

v = (x - 3) iv

( zf1∂∂ - x

f3∂∂ ) j

v = (xy - y) jv

( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )k

v = (1 - xz)kv

เพราะฉะนั้น ∇ × Fv

= ( yf3∂∂ - z

f2∂∂ ) i

v + ( zf1∂∂ - x

f3∂∂ ) j

v + ( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )k

v

= (x - 3) iv + (xy - y) j

v + (1 - xz)kv

Page 34 of 53

09/06/2008


การคํานวณคา

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

ในรูปแบบคลายการหาคากําหนด

จะได

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= (-1) 11+ ( iv)

ffzy 32

∂∂

∂∂

+ (-1) 21+ ( jv)

ffzx 31∂∂

∂∂

+ (-1) 31+ (kv )

ffyx 21

∂∂

∂∂

= ( iv)

ffzy 32

∂∂

∂∂

- ( jv)

ffzx 31∂∂

∂∂

+ (kv )

ffyx 21

∂∂

∂∂

= ( iv)( y

f3∂∂ - z

f2∂∂ ) - ( j

v)( xf3∂∂ - z

f1∂∂ ) + (k

v )( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )

= ( iv)( y

f3∂∂ - z

f2∂∂ ) + ( j

v)( zf1∂∂ - x

f3∂∂ ) + (k

v )( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )

= ( yf3∂∂ - z

f2∂∂ ) i

v + ( zf1∂∂ - x

f3∂∂ ) j

v + ( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )k

v

เพราะฉะนั้น ∇ × Fv มีโครงสรางของสูตรตรงกับ

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

เพราะฉะนั้นเราสามารถหาเคอรล Fv

โดยใชสูตร ∇ × Fv =

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv


ตัวอยาง Fv (x, y, z) = (2 2x z, 3 2y z, x + 2y + 3z)

มี 1f (x, y, z) = 2 2x z2f (x, y, z) = 3 2y z3f (x, y, z) = x + 2y + 3z

เพราะฉะนั้น ∇ × Fv =

zyxzyzxzyx

kji

22 ++∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= ( iv)

z3y2xzy3zy

2 ++∂∂

∂∂

- ( jv)

z3y2xzx2zx

2 ++∂∂

∂∂

+ (kv )

xy3zx2yx 22∂∂

∂∂

= ( iv)(2 - 3 2y ) - ( j

v)(1 - 2 2x ) + (kv )(3 2y - 0)

= (2 - 3 2y ) iv - (1 - 2 2x ) j

v + (3 2y )kv

= (2 - 3 2y ) iv + (2 2x - 1) j

v + (3 2y )kv

จากทฤษฎีบท 5.3.3 และ ทฤษฎีบท 5.3.9 จะสรุปไดวาทฤษฎีบท 5.3.10ถา F

v : S → 3R เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตนูน S แลว ขอความตอไปนี้สมมูลกัน

1. อินทิกรัลตามเสนของ Fv เปนอิสระจากวิถีใน S

2. Fv เปนฟงกชันเกรเดียนตบน S

3. curl Fv = ∇ × F

v = 0v บน S


ตัวอยาง 5.3.9กําหนด S เปนเซตนูนซึ่งเปนสับเซตของ 2R - {(0, 0)}และ F

v (x, y) = ( 22 yxy+− , 22 yx

x+

)

จงแสดงวา C$ F

v ⋅ d rv = 0 เมื่อ C เปนเสนโคงปดใด ๆ ใน S

วิธีทาํ ให 1f (x, y) = 22 yxy+−

และ 2f (x, y) = 22 yxx+

เพราะฉะนั้น Fv (x, y) = ( 1f (x, y), 2f (x, y))

จากตัวอยาง 5.3.8 จะได 1D 2f (x, y) = 2D 1f (x, y)เมื่อ (x, y) ≠ (0, 0)เพราะวา S เปนเซตนูนซึ่งเปนสับเซตของ 2R - {(0, 0)}เพราะฉะนั้น 1D 2f = 2D 1f บน Sเพราะฉะนั้น F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตเพราะฉะนั้น

C$ F

v ⋅ d rv = 0 ทุกเสนโคงปด C ใน S

หมายเหตุ ในการตรวจสอบฟงกชันเกรเดียนต และการหาฟงกชันศักย ตองพิจารณาทั้งฟงกชัน F

v และเซต Sเพราะฉะนั้นหากจะกลาววา F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตจะตองระบุเซต S ดวย ดังนั้นในกรณีที่มิไดระบุเซต Sหรือ โดเมนของ F

v

จะถือวาเซต S เปนเซตที่ใหญที่สุดสามารถหาคา Fv ได


ตัวอยาง 5.3.10 จงแสดงวา(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dzเปนผลตางอนุพัทธแมนตรง และหาคาของ

∫6) 3, (2,

3) 2, (1,(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

วิธีทาํ เลือก φ(x, y, z) = xyz + x + 2y + 4zจะได dφ = x∂

φ∂ dx + y∂φ∂ dy + z∂

φ∂ dz= (yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

เพราะฉะนั้น (yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dzเปนผลตางอนุพัทธแมนตรงเพราะฉะนั้น F

v (x, y, z) = (yz + 1, xz + 2, xy + 4)เปนฟงกชันเกรเดียนต ที่มี φ เปนฟงกชันศักยเพราะฉะนั้น

∫6) 3, (2,

3) 2, (1,(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

= φ(2, 3, 6) - φ(1, 2, 3)= 68 - 23= 45

Page 35 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.3.11 จงหาฟงกชันศักยของฟงกชันFv (x, y, z) = (y + z + yz xyze , x - z + xz xyze , x - y + xy xyze )

และหาคา ∫1) 0, (3,

0) 2, (1,(y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy

+ (x - y + xy xyze ) dzวิธีทาํ เลือก φ(x, y, z) = xy + xz - yz + xyze

จะได dφ = x∂φ∂ dx + y∂

φ∂ dy + z∂φ∂ dz

= (y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy + (x - y + xy xyze ) dz

เพราะฉะนั้น ∇ φ(x, y, z)= (y + z + yz xyze , x - z + xz xyze , x - y + xy xyze )

เพราะฉะนั้น ฟงกชันศักยของ Fv

คือ φ(x, y, z) = xy + xz - yz + xyze

เพราะฉะนั้น ∫1) 0, (3,

0) 2, (1,(y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy

+ (x - y + xy xyze ) dz= φ(3, 0, 1) - φ(1, 2, 0)= 4 - 3= 1


ตัวอยาง 5.3.12 กําหนดFv (x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)จงตรวจสอบวา F

v เปนฟงกชันเกรเดียนตหรือไมถาเปนจงหาฟงกชันศักยของ F

v

วิธีทาํ ให 1f (x, y, z) = 2y + 6z + 22f (x, y, z) = 2x + 3z + 33f (x, y, z) = 3y + 6x + 4

เพราะฉะนั้น Fv (x, y, z) = ( 1f (x, y, z), 2f (x, y, z), 3f (x, y, z))

และ curl Fv = ∇ × F

v =

fffzyx

kji

321

∂∂

∂∂

∂∂

vvv

= ( iv)( y

f3∂∂ - z

f2∂∂ ) - ( j

v)( xf3∂∂ - z

f1∂∂ ) + (k

v )( xf2∂∂ - y

f1∂∂ )

= ( iv)(3 - 3) - ( j

v)(6 - 6) + (kv )(2 - 2)

= 0v

โดยทฤษฎีบท 5.3.10 จะไดFv (x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)เปนฟงกชันเกรเดียนตการหา φ(x, y, z)จาก ∇ φ(x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)ขั้นที่ 1. φ(x, y, z) = ∫ (2y + 6z + 2) dx + g(y, z)

= 2yx + 6zx + 2x + g(y, z) ... (1)


ขั้นที่ 2. y∂∂ φ(x, y, z) = y∂

∂ (2yx + 6zx + 2x + g(y, z))เพราะฉะนั้น 2f (x, y, z) = y∂

∂ (2yx + 6zx + 2x) + y∂∂ g(y, z)

2x + 3z + 3 = 2x + y∂∂ g(y, z)

y∂∂ g(y, z) = 3z + 3

ขั้นที่ 3. g(y, z) = ∫ y∂∂ g(y, z) dy + h(z)

= ∫ (3z + 3) dy + h(z) = 3zy + 3y + h(z)แทนคา g(y, z) ใน (1) จะได φ(x, y, z) = 2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + h(z)ขั้นที่ 4. z∂

∂ φ(x, y, z) = z∂∂ (2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + h(z))

3f = 6x + 3y + z∂∂ h(z)

3y + 6x + 4 = 6x + 3y + z∂∂ h(z)

z∂∂ h(z) = 4

เพราะฉะนั้น h(z) = ∫ z∂∂ h(z) dz = ∫ 4 dz

= 4z + K เมื่อ K เปนคาคงตัวจากทั้ง 4 ขั้นตอนขางตนจะได φ(x, y, z) = 2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + 4z + Kเพราะฉะนั้นเลือก φ(x, y, z) = 2xy + 3yz + 6xz + 2x + 3y + 4zเปนฟงกชันศักยหมายเหตุ ลองหา φ(x, y, z) โดยใชแบบที่ 2.


ตัวอยาง 5.3.13 กําหนดFv (x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)1. จงหาคา ∫

CFv ⋅ d rv

เมื่อ C : rv(t) = (4 cos t, 4 sin t, 8t) บนชวง 0 ≤ t ≤ 2π

2. จงหาคา C$ F

v ⋅ d rv เมื่อ C คือวงรี 16x2 + 25

y2 = 1, z = 0

วิธีทาํ 1. จากตัวอยาง 5.3.12 จะไดFv (x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)เปนฟงกชันเกรเดียนตบน 3R โดยมี ฟงกชันศักยφ(x, y, z) = 2xy + 3yz + 6xz + 2x + 3y + 4zเพราะฉะนั้นอินทิกรัลตามเสนของ F

v เปนอิสระจากวิถีใน 3R

เพราะวาเสนโคง C : rv(t) = (4 cos t, 4 sin t, 8t) บนชวง 0 ≤ t ≤ 2

π

มีจุดเริ่มตนที่จุด A(4, 0, 0) และจุดสิ้นสุดที่จุด B(0, 4, 4π)เพราะฉะนั้น ∫

CFv ⋅ d rv = φ(4, 0, 0) - φ(0, 4, 4π)

= (0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0) - (0 + 48π + 0 + 0 + 12 + 16π)= -4 - 64π

2. เพราะวา วงรี C : 16x2 + 25

y2 = 1, z = 0

เปนเสนโคงปด และ Fv เปนฟงกชันเกรเดียนต

เพราะฉะนั้น C$ F

v ⋅ d rv = 0

Page 36 of 53

09/06/2008


แบบฝกหัด 5.3

จงพิจารณาวาฟงกชัน Fv ท่ีกําหนดใหเปนฟงกชันเกรเดียนตหรือไม

1. Fv (x, y) = (2x + 2y, 3 2y + 2x) 2. F

v (x, y) = ((xy + 1) xye , 2x xye + x)3. F

v (x, y) = (xy cos(xy) + sin(xy), cos(xy) 2x ) 4. Fv (x, y) = ( 2y + 8xy, 2xy + 4 2x )

5. Fv (x, y) = (2x xye , 3x xye ) 6. F

v (x, y) = (2x 2y2xe , 2y 2xe )

7. Fv (x, y) = (cos(x + y), sin(x + y)) 8. F

v (x, y, z) = (y 2z + 2y, x 2z + 2x, 2xyz)9. F

v (x, y, z) = (y + xyz, x + y + z, 2x y) 10. Fv (x, y, z) = (6y + 3z, 6x + 2z, 3x + 2y)

11. Fv (x, y, z) = (y yze , x yze + xyz yze , x 2y yze ) 12. F

v (x, y, z) = (y yze , x yze , z yze )13. F

v (x, y, z) = (2xz + 3y , 3x 2y + 2y 2z , 2x + 2 2y z)14. F

v (x, y, z) = ( 2y + 2z , 2xy + 2yz, 2y + 2xz) 15. Fv (x, y, z) = (x + y, x – y, 2y + 2xz)

จงหาฟงกชันศักยของฟงกชันเกรเดียนต Fv ตอไปนี้

16. Fv (x, y) = (4 3x 3y + 2xy + 4, 3 4x 2y + 2x ) 17. F

v (x, y) = ((1 + x 2y ) 2xye , 2 2x y 2xye )

18. Fv (x, y) = (2 cos(2x + 3y), 3 cos(2x + 3y)) 19. F

v (x, y) = ( 22 yxx2+

, 22 yxy2+

)

20. Fv (x, y, z) = (y sin z, x sin z, xy cos z)

21. Fv (x, y, z) = (2x 3y 4z + 2y, 3 2x 2y 4z + 2x + 3z, 4 2x 3y 3z + 3y)

22. Fv (x, y, z) = (2x yze , 2x z yze , 2x y yze ) 23. F

v (x, y, z) = (y + 2, x + z ye , ye + 6z)24. F

v (x, y, z) = (2x + yz, 2y + xz, xy)25. F

v (x, y, z) = (2x + 4y + 5z, 4x + 2y + 6z, 5x + 6y + 2z)

จงแสดงวาอินทิกรัลตามเสนที่กําหนดใหในแตละขอเปนอิสระจากวิถี และ จงหาคาของอินทิกรัล

26. ∫12) (5,

4) (3,

(2xy dx + 2x dy) 27. ∫5) (2,

2) (1,

(4y + 3 2x 2y ) dx + (4x + 2 3x y) dy

28. ∫

ππ )4 , 2(

0) (0,

(cos x – sin(x + y)) dx – sin(x + y) dy 29. ∫5) (2,

4) (1,

(2x + 3y ) dx + (3x 2y + 2) dy

30. ∫8) (0,

0) (2,

( ye + y xe ) dx + (x ye + xe ) dy 31. ∫3) 4, (2,

2) 1, (1,

(2x + 4yz) dx + 4xz dy + 4xy dz

32. ∫8) 0, (4,

4) 1, (0,

sin y dx + x cos y dy + dz 33. ∫4) 3, (2,

1) 1, (0,

2x dx + (1 + 3 2y ) dy + 2z dz

34. ∫3) 2, (4,

0) 0, (1,

(2x + 2z ) dx + 3 2y 2z dy + (2z 3y + 2xz) dz 35. ∫2) 4, (1,

2) 1, (1,

3yz dx + 3xz dy + 3xy dz

จงหาคาของอินทิกรัลตามเสนที่กําหนดใหตอไปนี้

36 C$ (x dx + y dy) เม่ือ C เปนวงกลมมีจุดศูนยกลางท่ีจุด (3, 4) และ รัศมีเทากับ 5 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

37. ∫C

2x 3y dx + 3 2x 2y dy เม่ือ C เปนเสนโคงพาราโบลา y = 2x + x + 1 จากจุด (1, 3) ไปยังจุด (–1, 1)

Page 37 of 53

09/06/2008

บทที่ 5 อินทิกรัลตามเสน5 - 13438. ∫

C

(2x + 3y) dx + (3x – 2y) dy เม่ือ C เปนเสนโคงพาราโบลา x = 2y – 2y + 2 จากจุด (2, 2) ไปยังจุด (10, 4)

39. ∫C

(2x – 4) dx + (2y + 3) dy เม่ือ C เปนเสนโคง xy = 4 จากจุด (4, 1) ไปยังจุด (2, 2)

40. C$ ( 2x + 4) dx + ( 2y – 4) dy เม่ือ C เปนวงรี 4

x2 + 9y2

= 1 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

41. ∫C

y 3z dx + x 3z dy + 3xy 2z dz

เม่ือ C : rv (t) = (sin t, cos t, 1 + t) จากจุด (0, 1, 1) ไปยังจุด (2

1 , 2

1 , 1 + 4π )

42. ∫C

(2xz + 2y ) dx + (2xy + 2z ) dy + (2yz + 2x ) dz

เม่ือ C : rv (t) = (1 + t, 2t , 2 + 2t ) จากจุด (1, 0, 2) ไปยังจุด (3, 4, 6)43. ∫

C

2y dx + (2x + 6yz) dy + 3 2y dz

เม่ือ C เปนรอยตัดของระนาบ x + 2y = 6 และ x + z = 3 จากจุด (0, 3, 3) ไปยังจุด (4, 1, –1)44. ∫

C

(y cos(πx) – πxy sin(πx)) dx + x cos(πx) dy

เม่ือ C เปนรอยตัดของ x = 2y – 2, z = 4 จากจุด (–2, 0, 4) ไปยังจุด (2, 2, 4)

เฉลยแบบฝกหัด 5.3

1. φ(x, y) = 2x + 3y + 2xy 2. ไมเปน3. φ(x, y) = x sin(xy) 4. φ(x, y) = x 2y + 4 2x y

5. ไมเปน 6. φ(x, y) = 2y2xe

7. ไมเปน 8. φ(x, y, z) = xy 2z + 2xy9. ไมเปน 10. φ(x, y, z) = 6xy + 3xz + 2yz11. φ(x, y, z) = xy yze 12. ไมเปน13. φ(x, y, z) = 2x z + 3y x + 2y 2z 14. φ(x, y, z) = x 2y + 2y z + x 2z

15. ไมเปน 16. φ(x, y) = 4x 3y + 2x y + 4x

17. φ(x, y) = x 2xye 18. φ(x, y) = sin(2x + 3y)19. φ(x, y) = ln( 2x + 2y ) 20. φ(x, y, z) = xy sin z21. φ(x, y, z) = 2x 3y 4z + 2xy + 3yz 22. φ(x, y, z) = 2x yze

23. φ(x, y, z) = xy + 2x + 3 2z + z ye 24. φ(x, y, z) = 2x + 2y + xyz25. φ(x, y, z) = 2x + 2y + 2z + 4xy + 6yz + 5xz26. 264 27. 228 28. –

21 29. 191

30. 6 31. 91 32. 4 33. 4734. 123 35. 18 36 0 37. –2638. 192 39. 2 40. 0 41. 2

1 (1 + 4π ) 3

42. 244 43. –76 44. 4

Page 38 of 53

09/06/2008


5.4 ทฤษฎีบทของกรีนในปริภูมิสองมิติจะเห็นไดวา สําหรับบริเวณ R บนระนาบ XYที่มีขอบ จะเห็นไดวาขอบของบริเวณ R เปนเสนโคงในทางกลับกัน หาก C เปนเสนโคงปด ก็จะไดบริเวณที่ลอมรอบดวยเสนโคงปดจะเปนบริเวณบนระนาบ XYดังรูปที่ 5.4.1

รูปที่ 5.4.1ในบทที่ 4 เราไดศึกษาเกี่ยวกับอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณ R ในระนาบ XY และในบทที่ 5 เราไดศึกษาเกี่ยวกับอินทิกรัลบนเสนโคงปดมาแลวในหวัขอ 5.4 นี้ เราจะศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณ R ในระนาบ XY (∫∫

R)

กับอินทิกรัลตามเสนโคง C ซึ่งลอมรอบบริเวณ R ( C$ )


ขอตกลง เสนโคงปดที่เราศึกษาในหัวขอนี้หมายถึงเสนโคงปดที่มีทิศทางทวนเข็มนาฬิกาตัวอยาง 5.4.1 กําหนดให P(x, y), Q(x, y) เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน R เมื่อR = [a, b] × [c, d] โดยมี C เปนเสนรอบวงของบริเวณ Rจงแสดงวา

C$ P dx + Q dy = ∫∫

R(

xQ∂∂ -

yP∂∂ ) dA


รูปที่ 5.4.2ให C = 1C + 2C + 3C + 4C เมื่อ

1C : y = c และ a ≤ x ≤ b จากจุด (a, c) ไปยังจุด (b, c)2C : x = b และ c ≤ y ≤ d จากจุด (b, c) ไปยังจุด (b, d)3C : y = d และ a ≤ x ≤ b จากจุด (b, d) ไปยังจุด (a, d)4C : x = a และ c ≤ y ≤ d จากจุด (a, d) ไปยังจุด (a, c)


∫∫R

xQ∂∂ dA = ∫

d

c∫b

axQ∂∂ dx dy

= ∫d

c( ∫

b

axQ∂∂ dx) dy

= ∫d

c(Q(b, y) - Q(a, y)) dy

(โดยทฤษฎีบทหลักมูลของแคลคูลัส บทที่สอง)

= ∫d

cQ(b, y) dy - ∫

d

cQ(a, y) dy

= ∫d

cQ(b, y) dy + ∫

c

dQ(a, y) dy

= ∫2C

Q dy + ∫4C

Q dy

เพราะวาบนสวนของเสนตรง 1C และ 3C

จะไดคาของ y เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น ∫

1CQ dy = 0 และ ∫

3CQ dy = 0

เพราะฉะนั้น ∫∫R

xQ∂∂ dA

= ∫1C

Q dy + ∫2C

Q dy + ∫3C

Q dy + ∫4C

Q dy

= C$ Q dy ... (1)


∫∫R

yP∂∂ dA = ∫

b

a∫d

cyP∂∂ dy dx

= ∫b

a(∫

d

cyP∂∂ dy) dx

= ∫b

a(P(x, d) - P(x, c)) dx

= ∫b

aP(x, d) dx - ∫

b

aP(x, c) dx

= - ∫3C

P dx - ∫1C

P dx

เพราะวาบนสวนของเสนตรง 2C และ 4C

จะไดคาของ x เปนคาคงตัวเพราะฉะนั้น ∫

2CP dx = 0, ∫

4CP dx = x


yP∂∂ dA

= - ∫1C

P dx - ∫2C

P dx - ∫3C

P dx - ∫4C

P dx

= - C$ P dx ... (2)

จาก (1) และ (2) จะได∫∫R

xQ∂∂ dA - ∫∫

RyP∂∂ dA =

C$ Q dy +

C$ P dx


( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C$ P dx + Q dy

Page 39 of 53

09/06/2008


จากตัวอยาง 5.4.1 จะเห็นวาอินทิกรัลสองชั้นบนบริเวณ R ในระนาบ XY มีความสัมพันธกับ อินทิกรัลบนเสนโคงปด C สิ่งที่เราศึกษาตอไปคือ กรณีที่บริเวณ R มีรูปอื่น ๆ ดังตัวอยางในรูปที่ 5.4.3 ความสัมพันธ

∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C$ P dx + Q dy จะยังเปนจริงหรือไม


บทนิยาม 5.4.1 กําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน 2R

S เปน บริเวณเช่ือมโยงเชิงเดียว ก็ตอเมื่อบริเวณภายในของทุกเสนโคงปดเชิงเดียวใน S เปนสับเซตของ S


รูปที่ 5.4.4 (ก) รูปที่ 5.4.4 (ข) รูปที่ 5.4.4 (ค)ในรูปที่ 5.3.4 (ก) เพราะวา บริเวณภายในของทุกเสนโคงปดเชิงเดียว C ใน S เปนสับเซตของ Sเพราะฉะนั้น S เปนบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดียว

ในรูปที่ 5.3.4 (ข) เพราะวา บริเวณภายในของทุกเสนโคงปดเชิงเดียว C ใน S เปนสับเซตของ Sเพราะฉะนั้น S เปนบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดียว

ในรูปที่ 5.3.4 (ค) เพราะวามีเสนโคงปด 1C ที่บริเวณภายในของเสนโคง 1C ไมเปนสับเซตของ Sเพราะฉะนั้น S ไมเปนบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดียว

ตัวอยางอ่ืน ๆ เชนบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา (a, b) × (c, d)บริเวณภายใน วงกลม หรือ วงรี {(x, y) | 2

2

ax + 2

2

by < 1}

หมายเหตุ ถา S เปนบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดียวแลว ภายใน S จะไมมีชองโหวเลย


บทนิยาม 5.4.2 กําหนดให S เปนเซตเปดที่เชื่อมโยงไดใน 2R

S เปน บริเวณเช่ือมโยงหลายเชิงก็ตอเมื่อ มีเสนโคงปดเชิงเดียวใน S ที่บริเวณภายในเสนโคงปดนั้นไมเปนสับเซตของ S

รูปที่ 5.4.5 (ก) รูปที่ 5.4.5 (ข) รูปที่ 5.4.5 (ค)รูปที่ 5.4.5 (ก) S เปนบริเวณเชื่อมโยงเชิงเดียวรูปที่ 5.4.5 (ข) และ (ค) S เปนบริเวณเชื่อมโยงหลายเชิง

หรือบริเวณที่มีชองโหวภายใน

ทฤษฎีบท 5.4.1(ทฤษฎีบทของกรีนสาํหรับบริเวณเช่ือมโยงเชิงเดียว)ให D เปนเซตเปดใน 2R และ C เปนเสนโคงเรียบเปนชวงๆและเปนเสนโคงปดเชิงเดียวใน DP และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน R จะได

C$ P dx + Q dy = ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

เมื่อ R เปนบริเวณซึ่งเปนยูเนี่ยนของ Cและบริเวณภายใน C โดยที่อินทิกรัลตามเสนบน Cกระทําในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา


บทพิสูจน ให บริเวณ R สามารถกําหนดเงื่อนไขได 2 แบบคือ

แบบที่ 1. R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b ; 1g (x) ≤ y ≤ 2g (x)}ดังรูปที่ 5.4.6 (ก)เมื่อ 1g , 2g ตอเนื่องบน [a, b]และอนุพันธของ 1g , 2g ตอเนื่องบน (a, b)

แบบที่ 2. R = {(x, y) | c ≤ y ≤ d ; 1h (y) ≤ x ≤ 2h (y)}ดังรูปที่ 5.4.6 (ข)เมื่อ 1h , 2h ตอเนื่องบน [c, d]และอนุพันธของ 1h , 2h ตอเนื่องบน (c, d)

รูปที่ 5.4.6 (ก) รูปที่ 5.4.6 (ข)

Page 40 of 53

09/06/2008


การหาความสัมพันธของคา ∫∫R

yP∂∂ dA และ

C$ P(x, y) dx

โดยพิจารณา R ตามรูปแบบที่ 1.เมื่อ C = 1C + 2C ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งกําหนดโดย

1C เปนเสนโคง y = 1g (x) และ a ≤ x ≤ b จากจุด A ไปยังจุด B2C เปนเสนโคง y = 2g (x) และ a ≤ x ≤ b จากจุด B ไปยังจุด A

ดังรูปที่ 5.4.7


C$ P(x, y) dx = ∫

1CP(x, y) dx + ∫

2CP(x, y) dx

= ∫b

aP(x, 1g (x)) dx + ∫

a

bP(x, 2g (x)) dx

= ∫b

aP(x, 1g (x)) dx - ∫

b

aP(x, 2g (x)) dx ... (1)


พิจารณา ∫∫R

yP∂∂ dA

เมื่อ R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b ; 1g (x) ≤ y ≤ 2g (x)}

∫∫R

yP∂∂ dA = ∫

b

a∫

)x(2g

)x(1gyP∂∂ dy dx

= ∫b

a[ P(x, y) ]

)x(gy)x(gy

2

1== dx

= ∫b

a[ P(x, 2g (x)) - P(x, 1g (x)) ] dx

= -∫b

aP(x, 1g (x)) dx + ∫

b

aP(x, 2g (x)) dx ... (2)

จาก (1) และ (2) จะได C$ P(x, y) dx = -∫∫

RyP∂∂ dA ... (3)


การหาความสัมพันธของคา ∫∫R

xQ∂∂ dA และ

C$ Q(x, y) dy

โดยพิจารณา R ตามรูปแบบที่ 2.เมื่อ C = 1C + 2C ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งกําหนดโดย

1C เปนเสนโคง x = 1h (y) และ c ≤ y ≤ d จากจุด A ไปยังจุด B2C เปนเสนโคง x = 2h (y) และ c ≤ y ≤ d จากจุด B ไปยังจุด A



C$ Q(x, y) dy = ∫

1CQ(x, y) dy + ∫

2CQ(x, y) dy

= ∫d

cQ( 2h (y), y) dy + ∫

c

dQ( 1h (y), y) dy

= ∫d

cQ( 2h (y), y) dy - ∫

d

cQ( 1h (y), y) dy ... (4)


พิจารณา ∫∫R

xQ∂∂ dA

เมื่อ R = {(x, y) | c ≤ y ≤ d ; 1h (y) ≤ x ≤ 2h (y)}

จะได ∫∫R

xQ∂∂ dA = ∫

d

c∫

)x(2h

)x(1hxQ∂∂ dx dy

= ∫d

c( ∫

)x(2h

)x(1hxQ∂∂ dx) dy

= ∫d

c[ Q(x, y) ]

)y(hx)y(hx

2

1== dy

= ∫d

c[ Q( 2h (y), y) - Q( 1h (y), y) ] dy

= ∫d

cQ( 2h (y), y) dy - ∫

d

cQ( 1h (y), y) dy ... (5)

จาก (4) และ (5)จะได

C$ Q(x, y) dy = ∫∫

RxQ∂∂ dA ... (6)

จาก (3) และ (6) จะได C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

Page 41 of 53

09/06/2008


หมายเหตุ มีบริเวณหลายลักษณะที่สามารถกําหนดเงื่อนไขไดในรูปแบบที่ 1. และ รูปแบบที่ 2.ตัวอยางอ่ืนๆ เชน

รูปที่ 5.4.9 (ก) รูปที่ 5.4.9 (ข)

รูปที่ 5.4.9 (ค) รูปที่ 5.4.9 (ง)บริเวณ R ตาง ๆ ในรูปที่ 5.4.9สามารถกําหนดเงื่อนไขได 2 แบบดวยเพราะฉะนั้น C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

เปนจริง สําหรับ R ดังรูปที่ 5.4.9


ในกรณีที่ R = 1R ∪ 2R ∪ ... ∪ nR

โดยที่ iR เขียนเปนบริเวณ แบบที่ 1. และ แบบที่ 2.ดังรูปที่ 5.4.9 หรือเปนบริเวณสี่เหลี่ยมผืนผา ตัวอยางเชน

รูปที่ 5.4.10ให iC เปนเสนโคงที่ปดลอม iR และมีทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจะได C i$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = ∫∫

iR( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA เปนจริง

เพราะวา iC และ jC ที่มีสวนของเสนตรงรวมกันสวนของเสนตรงนั้นตองมีทิศทางตรงขาม

เพราะฉะนั้น C = ∑=

n

1 iiC



( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA = ∑

=

n

1 i∫∫

iR( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∑=

n

1 i C i$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

= ∑=

∫n

1 iiC

P(x, y) dx + Q(x, y) dy

= C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

หมายเหตุ จากทฤษฎีบทของกรีน∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C$ P dx + Q dy

เมื่อ C เปนเสนรอบรูปของ R ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาถา y

P∂∂ = x

Q∂∂ แลว x

Q∂∂ - y

P∂∂ = 0


( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA = 0

เพราะฉะนั้น C$ P dx + Q dy = 0

เพราะฉะนั้นถา y

P∂∂ = x

Q∂∂ แลว อินทิกรัลตามเสนของฟงกชัน F

v = (P, Q)บนวิถีปดมีคาเปนศูนย


ดังนั้นเราสามารถขยายเงื่อนไขของ ทฤษฎีบท 5.3.9จากเซตนูนมาเปนเซตที่เชื่อมโยงเชิงเดียวได

ทฤษฎีบท 5.4.2 กําหนดให Fv = (P, Q) เปนฟงกชัน

ที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน Sซึ่งเปนเซตเปดที่เชื่อมโยงเชิงเดียวใน 2R จะไดFv เปนฟงกชันเกรเดียนต ก็ตอเมื่อ y

P∂∂ = x

Q∂∂ บน S

Page 42 of 53

09/06/2008


ตัวอยาง 5.4.2 จงใชทฤษฎีบทของกรีนหาคาอินทิกรัล

C$ ( 2x - 4 2y + 4) dx - 8xy dy

เมื่อ C เปนรูปวงรี 16x2 + 9

y2 = 1 ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

วิธีทาํ ให P(x, y) = 2x - 4 2y + 4 และ Q(x, y) = -8xyเพราะฉะนั้น y

P∂∂ = -8y และ x

Q∂∂ = -8y

เพราะฉะนั้น P(x, y) = 2x - 4 2y + 4 และ Q(x, y) = -8xyมีอนุพันธอยางตอเนื่องบน R

รูปที่ 5.4.11ให R เปนบริเวณภายในวงรี 16

x2 + 9y2

= 1 รวมเสนโคง Cโดยทฤษฎีบทของกรีนจะได C$ ( 2x - 4 2y + 4) dx - 8xy dy = ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∫∫R

(-8y - (-8y)) dA

= ∫∫R

0 dA = 0


ตัวอยาง 5.4.3 อนุภาคหนึ่งเคลื่อนที่ตามเสนรอบวงของวงกลม 2x + 2y = 16 ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาดวยแรง F

v (x, y) = (x + 3 sin x - 2 3y , 2y + 4 cos y + 2 3x )จงใชทฤษฎีบทของกรีน หางานที่เกิดจากการเคลื่อนอนุภาคนี้วิธีทาํ C เปนวงกลม 2x + 2y = 16 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาR เปนบริเวณภายในวงกลม 2x + 2y = 16 รวมเสนโคง C

รูปที่ 5.4.12ให W แทนงานที่เกิดจากการเคลื่อนอนุภาคไปบนวงกลม Cในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเพราะฉะนั้นW =

C$ (x + 3 sin x - 2 3y ) dx + (2y + 4 cos y + 2 3x ) dy

ให P(x, y) = x + 3 sin x - 2 3y

และ Q(x, y) = 2y + 4 cos y + 2 3x

เพราะฉะนั้น yP∂∂ = -6 2y และ x

Q∂∂ = 6 2x


เพราะฉะนั้น P(x, y) = x + 3 sin x - 2 3y

และ Q(x, y) = 2y + 4 cos y + 2 3x

มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน RW =

C$ (x + 3 sin x - 2 3y ) dx + (2y + 4 cos y + 2 3x ) dy

= ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA (โดยทฤษฎีบทของกรีน)

= ∫∫R

[ 6 2x + 6 2y ] dA

= 6∫∫R

( 2x + 2y ) dA

เปลี่ยนตัวแปร เปนระบบพิกัดเชิงขั้ว x = r cos θ, y = r sin θ

จะได 0 ≤ r ≤ 4 และ 0 ≤ θ ≤ 2π

เพราะฉะนั้น W = 6 ∫π2

0∫4

0( 2r ) r dr dθ

= 6 ∫π2

0[ 4

r4 ] 0 r 4 r

== dθ

= 6 ∫π2

064 dθ

= 6(128 π)= 768 π


ตัวอยาง 5.4.4ทฤษฎีบท ให C เปนเสนโคงปดเชิงเดียว ใน 2R ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา R เปนบริเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดวยจะได 1. พ้ืนที่ของบริเวณ R มีคาเทากับ

C$ -y dx

2. พ้ืนที่ของบริเวณ R มีคาเทากับ C$ x dy

3. พ้ืนที่ของบริเวณ R มีคาเทากับ 21

C$ -y dx + x dy

วิธีทาํ พ้ืนที่ของบริเวณ R = คือ ∫∫R

(1) dA

จากทฤษฎีบทของกรีน C$ P dx + Q dy = ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

1. เลือก P(x, y) = -y และ Q(x, y) = 0เพราะฉะนั้น P(x, y), Q(x, y) มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน Rและ y

P∂∂ = -1, x

Q∂∂ = 0

เพราะฉะนั้น C$ -y dx =

C$ -y dx + (0) dy

= C$ P dx + Q dy

= ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∫∫R

((0 - (-1)) dA = ∫∫R

(1) dA = พ้ืนที่ของ R

เพราะฉะนั้น พ้ืนที่ของ R = C$ -y dx ... (1)

Page 43 of 53

09/06/2008


2. เลือก P(x, y) = 0 และ Q(x, y) = xเพราะฉะนั้น P(x, y), Q(x, y) มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน Rและ y

P∂∂ = 0, x

Q∂∂ = 1

เพราะฉะนั้น C$ x dy =

C$ (0) dx + x dy

= C$ P dx + Q dy

= ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∫∫R

(1 - 0) dA

= ∫∫R

(1) dA

= พ้ืนที่ของ Rเพราะฉะนั้น พ้ืนที่ของ R =

C$ x dy ... (2)

3. พ้ืนที่ของ R = 21(พ้ืนที่ของ R + พ้ืนที่ของ R)

= 21 (

C$ -y dx +

C$ x dy) (จาก (1) และ (2))

= 21

C$ -y dx + x dy


ตัวอยาง 5.4.5 จงใชทฤษฎีบทของกรีนหาพื้นที่1. บริเวณปดลอมดวยเสนโคง C : rv(t) = (k 3cos t, k 3sin t)เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2π, k เปนจํานวนจริง

2. บริเวณปดลอมดวยวงรี 2

2

ax +

2

2

b

y = 1


รูปที่ 5.4.13 (ก)รูปที่ 5.4.13 (ข)1. C : rv(t) = (k 3cos t, k 3sin t) เมื่อ เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πR เปนบริเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดังรูปที่ 5.4.13 (ก)


เพราะฉะนั้น พ้ืนที่ของ R = 21

C$ -y dx + x dy

= 21 ( ∫

π2

0-(k 3sin t) d(k 3cos t) + ∫

π2

0(k 3cos t) d(k 3sin t))

= 2k2 ( ∫

π2

0-( 3sin t) d( 3cos t) + ∫

π2

0( 3cos t) d( 3sin t))

= 2k2 ( ∫

π2

0-( 3sin t)(-3 2cos t sin t) dt

+ ∫π2

0( 3cos t)(3 2sin t cos t) dt)

= 2k3 2 ∫

π2

0( 4sin t 2cos t + 4cos t 2sin t) dt

= 2k3 2 ∫

π2

0

2sin t 2cos t ( 2sin t + 2cos t) dt

= 2k3 2 ∫

π2

0

2sin t 2cos t) dt

= 8k3 2 ∫

π2

0

2sin 2t dt

= 16k3 2 ∫

π2

0(1 - cos 4t) dt

= 16k3 2 [ t - 4

t4sin ] 0 t2 t

=π= = 8

k3 2π


หมายเหตุ เพราะวาสูตรการหาพื้นที่นิสิตเลือกได 3 แบบขางตนการเลือกที่เหมาะสมจะทําใหการอินทิเกรตงายลงเชนหากนิสิตเลือกใชสูตรพ้ืนที่ของ R =

C$ x dy

= ∫π2

0k 3cos t d(k 3sin t)

= ∫π2

0k 3cos t 3k 2sin t cos t dt

= 3 2k ∫π2

0

4cos t 2sin t dt

= 3 2k ∫π2

0

4cos t (1 - 2cos t) dt

= 3 2k ∫π2

0( 4cos t - 6cos t) dt

จะได 8k3 2π เหมือนกัน

แตเทคนิคการอินทิเกรตจะยากกวาขางตน

Page 44 of 53

09/06/2008


2. ให C เปนเสนโคงปดลอมดวยวงรี 22

ax + 2

2

by = 1

ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาเพราะฉะนั้น C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวทิศทางทวนเข็มนาฬิกาR เปนบริเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดวยดังรูปที่ 5.4.13 (ข)เพราะฉะนั้น พ้ืนที่ของ R =

C$ -y dx

เพราะวาสมการวงรีคือ 22

ax + 2

2

by = 1

เพราะฉะนั้นวิถี C คือ rv(t) = (a cos t, b sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πเพราะวา บนเสนโคง C จะได x = a cos t, y = b sin tและ dt

dx = -a sin tเพราะฉะนั้น พ้ืนที่ของวงรี =

C$ -y dx

= ∫π2

0(-b sin t)(-a sin t) dt

= ab ∫π2

0tsin2 dt

= ab ∫π2

02

t2cos1− dt

= ab [ 2t - 4

t2sin ] 0 t2 t

=π=

= πab


ตัวอยาง 5.4.6 ในการเคลื่อนวัตถุดวยแรงFv (x, y) = (3x - 4y + 12, 6x + 2y + 5)ไปตามเสนโคงรูปวงรี 25

x2 + 16y2

= 1 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาจงใชทฤษฎีบทของกรีนหางานที่ไดวิธีทาํ ให W = งานที่ไดจากการเคลื่อนวัตถุดวยแรงFv (x, y) = (3x - 4y + 12, 6x + 2y + 5)ไปตามวงรี 25

x2 + 16y2

= 1เพราะฉะนั้น W =

C$ (3x - 4y + 12) dx + (6x + 2y + 5) dy

เมื่อ C เปนวงรี 25x2 + 16

y2 = 1 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

ให P(x, y) = 3x - 4y + 12 และ Q(x, y) = 6x + 2y + 5W =

C$ F

v ⋅ d rv

= C$ (3x - 4y + 12) dx + (6x + 2y + 5) dy

= C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

= ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA = ∫∫

R(6 - (-4)) dA

= 10 ∫∫R

1 dA

= 10(พ้ืนที่ของวงรี 25x2 + 16

y2 = 1)

= 10((5)(4)π) = 200 π


ตัวอยาง 5.4.7 กําหนดให 1C เปนเสนโคงปดรูปวงรี

16x2 + 9

y2 = 1 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

และ 2C เปนเสนโคงปดรูปวงกลม (x - 1)2 + 2y = 1ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาให R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C

และบริเวณภายในของ 1C ซึ่งไมอยูภายใน 2C

จงแสดงวา∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy

เมื่อ P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดครอบคลุม Rวิธีทาํ R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C

และบริเวณภายในของ 1C ซึ่งไมอยูภายใน 2C เมื่อ

1C เปนเสนโคงปดรูปวงรี 16x2 + 9

y2 = 1

ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา2C เปนเสนโคงปดรูปวงกลม (x - 1)2 + 2y = 1

ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา


มีภาพดังรูปที่ 5.4.14 (ก)

รูปที่ 5.4.14 (ก) รูปที่ 5.4.14 (ข)ในรูปที่ 5.4.14 (ข)ให 1K เปนสวนของเสนตรงจากจุด D(4, 0) ไปยังจุด E(2, 0) 2K เปนสวนของเสนตรงจากจุด O(0, 0) ไปยังจุด H(-4, 0) a1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด H ไปยังจุด D b1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด D ไปยังจุด H a2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด E ไปยังจุด O b2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด O ไปยังจุด Eให *

1C = 1K + a2C + 2K + a1C

และ *2C = - 1K + b1C + (- 2K ) + b2C

เพราะฉะนั้น *1C และ *

2C เปนเสนโคงปดเรียบเชิงเดียวทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

Page 45 of 53

09/06/2008


ให 1R เปนบริเวณภายในของ *1C และรวมดวยจุดบนเสนโคง *

1C

2R เปนบริเวณภายในของ *2C และรวมดวยจุดบนเสนโคง *

2C

โดยทฤษฎีบทของกรีน จะได ∫∫

1R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C*1$ P dx + Q dy

= K1 + C2a + K2 + C1a

% P dx + Q dy

= ∫1K

P dx + Q dy + ∫a2CP dx + Q dy + ∫

2KP dx + Q dy

+ ∫a1C

P dx + Q dy ... (1)

∫∫2R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C*2$ P dx + Q dy

= -K1 + C1b + (-K2) + C2b

% P dx + Q dy

= ∫− 1K

P dx + Q dy + ∫b1C

P dx + Q dy + ∫− 2K

P dx + Q dy

+ ∫b2CP dx + Q dy ... (2)

เพราะวา ∫1K

P dx + Q dy + ∫− 1K

P dx + Q dy = 0

และ ∫2K

P dx + Q dy + ∫− 2K

P dx + Q dy = 0


เพราะฉะนั้น จาก (1) และ (2) จะได∫∫

1R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA + ∫∫

2R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∫a1C

P dx + Q dy + ∫b1C

P dx + Q dy + ∫a2CP dx + Q dy

+ ∫b2CP dx + Q dy

= ∫+ b1C a1C

P dx + Q dy + ∫+ b2C a2C

P dx + Q dy

= C 1$ P dx + Q dy +

-C 2$ P dx + Q dy

= C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy

เพราะวา ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= ∫∫1R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA + ∫∫

2R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA


( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy

โดยใชแนวคิดแบบเดียวกับตัวอยาง 5.4.7เราสามารถพิสูจนทฤษฎีบท 5.4.3 ได


ทฤษฎีบท 5.4.3 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวและเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆ และ 1C ∩ 2C = ∅และ บริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง 2C เปนสับเซตของบริเวณปดลอมดวยเสนโคง 1C

R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C และบริเวณภายในของ 1C

ซึ่งไมอยูภายใน 2C

ให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปดS ซึ่งครอบคลุม R (นั่นคือ R ⊆ S)จะได ∫∫

R( x

Q∂∂

- yP∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy


บทพิสูจน

รูปที่ 5.4.15 (ก) รูปที่ 5.4.15 (ข)รูปที่ 5.4.15 (ก) แสดงภาพของเสนโคง 1C , 2C และ บริเวณ Rรูปที ่5.4.15 (ข) 1K เปนสวนของเสนตรงจากจุด D ไปยังจุด E

2K เปนสวนของเสนตรงจากจุด O ไปยังจุด Ha1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด H ไปยังจุด Db1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด D ไปยังจุด Ha2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด E ไปยังจุด Ob2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด O ไปยังจุด E

ให *1C = 1K + a2C + 2K + a1C

และ *2C = - 1K + b1C + (- 2K ) + b2C


2C เปนเสนโคงปดเรียบเชิงเดียวทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

Page 46 of 53

09/06/2008


ให1R เปนบริเวณภายในของ *

1C และรวมดวยจุดบนเสนโคง *1C


2C

โดยทฤษฎีบทของกรีน(ใชการจัดรูปเหมือนกับตัวอยาง 5.4.7) จะได∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy

หมายเหตุ ผลของทฤษฎีบท 5.4.3 ในกรณีที่ xQ∂∂ = y

P∂∂

จะได C 1$ P dx + Q dy =

C 2$ P dx + Q dy

เพราะฉะนั้นในการหาคา C 1$ P dx + Q dy

เราสามารถเลือกเสนโคง 2C ที่ทําให C 2$ P dx + Q dy

คํานวณไดงายกวา ชวยในการหาคา C 1$ P dx + Q dy


ตัวอยาง 5.4.8 จงหาคา C 1$ 222 )yx(

x+

dx + 222 )yx(y+

dy

เมื่อ 1C เปนวงรี 16x2 +

9y2

= 1 ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาวิธีทาํ ให P(x, y) = 222 )yx(

x+

และ Q(x, y) = 222 )yx(y+

เพราะฉะนั้น C 1$ 222 )yx(

x+

dx + 222 )yx(y+

dy = C 1$ P dx + Q dy

รูปที่ 5.4.16 (ก) รูปที่ 5.4.16 (ข)จากขอสังเกตวา

C 1$ P dx + Q dy บนวงรี 16

x2 + 9

y2 = 1

จะมีความยากของการอินทิเกรตเราจึงใชผลของทฤษฎีบท 5.4.3 มาชวยหาคาโดยการอินทิเกรตบนเสนโคงปดที่มีวิถีงายกวา


เพราะวา yP∂∂ = 322 )yx(

xy4+

− และ xQ∂∂ = 322 )yx(

xy4+

−

และ P, Q ไมนิยามที่จุด (0, 0)เลือก 2C เปนเสนโคงปดรูปวงกลม 2x + 2y = 1ทิศทางทวนเข็มนาฬิกา(หมายเหตุ การเลือกแบบนี้จะไดใชประโยชนของ

2x + 2y = 1 ดวย)เพราะฉะนั้น 2C : 2 r

v (t) = (cos t, sin t) เมื่อ 0 ≤ t ≤ 2πR เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C และบริเวณภายในของ 1C

ซึ่งไมอยูภายใน 2C เพราะฉะนั้น (0, 0) ไมอยูใน Rเพราะฉะนั้น P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซต R โดยทฤษฎีบท 5.4.3 จะได∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy

เพราะวา yP∂∂ = x

Q∂∂


( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA = 0 ซึ่งจะได

C 1$ P dx + Q dy =

C 2$ P dx + Q dy

= C 2$ 222 )yx(

x+

dx + C 2$ 222 )yx(

y+

dy


= C 2$ 2)1(

x dx + C 2$ 2)1(

y dy

(เพราะวา (x, y) อยูบนวงกลม 2x + 2y = 1)=

C 2$ x dx +

C 2$ y dy

= ∫π2

0cos t d(cos t) + ∫

π2

0sin t d(sin t)

(เพราะวา (x, y ) อยูบน 2C )= [ 2

tcos2 ] 0 t 2 t

=π= + [ 2

tsin2 ] 0 t 2 t

=π=

= 0

ในกรณีทั่วไปสําหรับเสนโคงปด 1C และ 2C ในปริภูมิสองมิติสิ่งที่เราสนใจขณะนี้คือในกรณีที่ y

P∂∂ = x

Q∂∂ บนบริเวณที่ครอบคลุม 1C และ 2C

ยกเวนที่จุด Aและ A เปนจุดในบริเวณที่ลอมรอบดวย 1C และ 2C

คาของ C 1$ P dx + Q dy และ

C 2$ P dx + Q dy

จะเกี่ยวของกันอยางไร

Page 47 of 53

09/06/2008


โดยไมสูญเสียสาระสําคัญของกรณีทั่วไปเราสามารถสมมติให 2C เล็กกวา 1C

เพราะฉะนั้นจะเกิดผลได 2 แบบ คือ1. 2C อยูภายในบริเวณที่ปดลอมดวย 1C

2. 2C มีสวนตัดกับ 1C

กรณีที่ 1. 2C อยูภายในบริเวณที่ปดลอมดวย 1C


รูปที่ 5.4.17ให R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C


จากทฤษฎีบท 5.4.3 จะได∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy


Q∂∂ เพราะฉะนั้น ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA = 0

เพราะฉะนั้น C 1$ P dx + Q dy =

C 2$ P dx + Q dy


กรณีที่ 2. 2C มีสวนตัดกับ 1C ดังรูปที่ 5.4.18 (ก)

รูปที่ 5.4.18 (ก) รูปที่ 5.4.18 (ข)ให 3C เปนเสนโคงปดที่ลอมรอบจุด Aและอยูทั้งในบริเวณภายในของ 1C และ 2C

ดังรูปที่ 5.4.18 (ข)

รูปที่ 5.4.19 (ก) รูปที่ 5.4.19 (ข)จากรูป 5.4.19 (ก)ให 1R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C



จากทฤษฎีบท 5.4.3 จะได∫∫

1R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 3$ P dx + Q dy



1R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA = 0


C 3$ P dx + Q dy

จากรูป 5.4.19 (ข) ให 2R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 2C


จากทฤษฎีบท 5.4.3 จะได∫∫

2R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 2$ P dx + Q dy -

C 3$ P dx + Q dy



2R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA = 0

เพราะฉะนั้น C 2$ P dx + Q dy = ∫

3CP dx + Q dy


C 2$ P dx + Q dy


จากที่กลาวมาขางตนสรุปเปนทฤษฎีบท 5.4.4 ดังนี้

ทฤษฎีบท 5.4.4 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด Sซึ่งครอบคลุม R เปนบริเวณซึ่งครอบคลุม บริเวณภายในของ 1C

และ บริเวณภายในของ 2C

P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด S ซึ่งครอบคลุม R ยกเวนที่จุด Aถา y

P∂∂ = x

Q∂∂

แลว C 1$ P dx + Q dy =

C 2$ P dx + Q dy

Page 48 of 53

09/06/2008


ผลของทฤษฎีบท 5.4.4 จะไดขอสรุปที่สําคัญดังนี้ทฤษฎีบท 5.4.5 C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆ P, Q เปนฟงกชัน ซึ่ง y

P∂∂ = x

Q∂∂

คาของ C$ P dx + Q dy มีไดเพียง 2 คาเทานั้น

คือ 0 หรือคาคงตัว kเมื่อ P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด S ซึ่งครอบคลุม R ยกเวนที่จุด A

บทพิสูจน ให R เปนบริเวณซึ่งครอบคลุมบริเวณภายในของเสนโคงปด C และจุดบน Cกรณีที่ 1. จุด A ไมอยูในบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง C


Q∂∂

เพราะฉะนั้น Fv = (P, Q) เปนฟงกชันเกรเดียนต

เพราะวา C เปนเสนโคงปดเพราะฉะนั้น

C$ P dx + Q dy = 0

กรณีที่ 2. จุด A อยูในบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง Cเพราะวา เสนโคง 1C , 2C ใด ๆ ที่เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆ


ผลจากทฤษฎีบทที่ 5.4.4 จะได C 1$ P dx + Q dy =

C 2$ P dx + Q dy

ให k เปนคาคงตัว และมีคาเทากับ C 1$ P dx + Q dy

เพราะวา C เปนเสนโคงที่มีจุด A อยูในบริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง Cเพราะฉะนั้น

C$ P dx + Q dy =

C 1$ P dx + Q dy = k

สรุป ถา yP∂∂ =

xQ∂∂ แลว

C$ P dx + Q dy เพียง 2 คาเทานั้น

คือ 0 หรือคาคงตัว k


ตัวอยาง 5.4.9 จงหาคาของ C$ 22 yx

y+− dx + 22 yx

x+

dy

เมื่อ C เปนเสนโคังปดเชิงเดียวใน 2R ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกาวิธีทาํ ให P(x, y) = 22 yx

y+− และ Q(x, y) = 22 yx

x+

เพราะฉะนั้น C$ 22 yx

y+− dx + 22 yx

x+

dy = C$ P dx + Q dy

เพราะวา P, Q หาคาไมไดที่จุด (0, 0)เลือกให จุด A คือจุด (0, 0)เพราะฉะนั้น P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน 2R ยกเวนที่จุด A(0, 0)เพราะวา y

P∂∂ = 222

22

)yx(yx

++− และ x

Q∂∂ = 222

22

)yx(yx

++−

เพราะฉะนั้น yP∂∂ = x

Q∂∂

กรณีที่ 1. C เปนเสนโคงปดซึ่งไมมี (0, 0)อยูในบริเวณภายใน Cผลจากกรณีที่ 1. ในการพิสูจน ทฤษฎีบทที่ 5.4.5 จะได C$ P dx + Q dy = 0


y+− dx + 22 yx

x+

dy = 0


กรณีที่ 2. ถา C เปนเสนโคงปดที่มี (0, 0)อยูในบริเวณภายใน C C$ P dx + Q dy = k อินทิเกรตในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

การหาคา k เราเลือก 1C เปนวงกลม 2x + 2y = 1เพราะฉะนั้น

C 1$ P dx + Q dy =

C 1$ 22 yx

y+− dx + 22 yx

x+

dy

= C 1$ 1

y− dx + 1x dy (เพราะวา 2x + 2y = 1)

= C 1$ -y dx + x dy

= 2(พ้ืนที่ของวงกลม 1C )= 2π


y+− dx + 22 yx

x+

dy = 2π

จากทั้งสองกรณีสรุปไดวา C$ 22 yx

y+− dx + 22 yx

x+

dy = 0 หรือ 2π

Page 49 of 53

09/06/2008


จากทฤษฎีบท 5.4.3 เราไดวาถา 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆ และ 1C ∩ 2C = ∅และ บริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง 2C เปนสับเซตของบริเวณปดลอมดวยเสนโคง 1C


ซึ่งไมอยูภายใน 2C

ให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด Sซึ่งครอบคลุม R จะได∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy


ตัวอยาง 5.4.10 จงหาคา C$

23

22 )yx(

x

+

dx + 23

22 )yx(

y

+

dy

เมื่อ C เปนเสนโคง | x | + | y | = 2 ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาวิธีทาํ

รูปที่ 5.4.22 (ก) รูปที่ 5.4.22 (ข)วิธีทาํ เสนโคง C ประกอบดวยสวนของเสนตรงx + y =2, x - y = 2, -x + y = 2 และ -x - y = 2ดังรูปที่ 5.4.22 (ก)ให P(x, y) =

23

22 )yx(

x

+

และ Q(x, y) = 23

22 )yx(

y

+

เพราะฉะนั้น C$

23

22 )yx(

x

+

dx + 23

22 )yx(

y

+

dy = C$ P dx + Q dy

เพราะวา P, Q หาคาไมไดที่จุด (0, 0)เพราะฉะนั้น P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบน 2R ยกเวนที่จุด A(0, 0)


เพราะวา yP∂∂ =

25

22 )yx(

xy3

+

− และ xQ∂∂ =

25

22 )yx(

xy3

+

−

เพราะฉะนั้น yP∂∂ = x

Q∂∂

เพราะฉะนั้น คาอินทิกรัลตามเสนโคงปดรอบจุด (0, 0)จะมีคาเทากันทุกเสนโคงปดเพราะวาการหาคาอินทิกรัลบน C ตองทําการแจงเปน4 กรณียอยเพราะฉะนั้นเราเลือกเสนโคงปด 1C

เปนวงกลม 2x + 2y = 1 ดังรูปที่ 5.4.22 (ข)(หมายเหตุ การเลือก 1C เปนวงกลม 2x + 2y = 1 จะไดใชประโยชนของคา 2x + 2y = 1 ทําใหการอินทิเกรตงายลง)เพราะฉะนั้น

C$

23

22 )yx(

x

+

dx + 23

22 )yx(

y

+

dy

= C 1$

23

22 )yx(

x

+

dx + 23

22 )yx(

y

+

dy

= C 1$ x dx + y dy

= ∫π2

0cos t d(cos t) + sin t d(sin t)

= [ 2tcos2 + 2

tsin2 ] 0 t 2 t

=π= = [ 2

1 ] 0 t 2 t

=π=

= 21 - 2

1 = 0


ในกรณีที่บริเวณ R มีชองโหวภายในมากขึ้นกอนที่จะสรุปเปนกรณีทั่วไป เราจะศึกษาจากกรณีตัวอยางเชน

1C , 2C , 3C เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเปนเสนโคงเรียบเปนชวง ๆ

1C ∩ 2C = ∅ และ 1C ∩ 3C = ∅ และ 2C ∩ 3C = ∅2C อยูในบริเวณภายในของ 1C

3C อยูในบริเวณภายในของ 1C

2C อยูในบริเวณภายนอกของ 3C

3C อยูในบริเวณภายนอกของ 2C

ซึ่งจะได บริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง 2C

เปนสับเซตของบริเวณปดลอมดวยเสนโคง 1C

และ บริเวณที่ปดลอมดวยเสนโคง 3C เปนสับเซตของบริเวณปดลอมดวยเสนโคง 1C


ซึ่งไมอยูภายใน 2C และ 3C

ให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด Sซึ่งครอบคลุม R แลว คาของ ∫∫

R( x

Q∂∂ - y

P∂∂ ) dA

จะเกี่ยวของอยางไรกับคาของ

C 1$ P dx + Q dy,

C 2$ P dx + Q dy,

C 3$ P dx + Q dy

Page 50 of 53

09/06/2008


จากเงื่อนไขของ R, 1C , 2C , 3C

อธิบายไดดวยรูปที่ 5.4.20 (ก)

รูปที่ 5.4.20 (ก) รูปที่ 5.4.20 (ข)ในทํานองเดียวกันกับการพิสูจน ทฤษฎีบท 5.4.3รูปที่ 5.4.20 (ข)

1K เปนสวนของเสนตรงจากจุด D ไปยังจุด E2K เปนสวนของเสนตรงจากจุด O ไปยังจุด H3K เปนเสนตรงจากจุด I ไปยังจุด Ja1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด J ไปยังจุด Db1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจุด D ไปยังจุด Ja2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด E ไปยังจุด Ob2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจุด O ไปยังจุด Ea3C เปนสวนของเสนโคง 3C จากจุด H ไปยังจุด Ib3C เปนสวนของเสนโคง 3C จากจุด I ไปยังจุด H


ให *1C = 1K + a2C + 2K + a3C + 3K + a1C*2C = - 1K + b1C + (- 3K ) + b3C + (- 2K ) + b2C


2C เปนเสนโคงปดเรียบเชิงเดียวทิศทางทวนเข็มนาฬิกาให 1R เปนบริเวณภายในของ *



2C

โดยทฤษฎีบทของกรีน(ใชการจัดรูปเหมือนกับตัวอยาง 5.4.7) จะได∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy -

C 3$ P dx + Q dy

= C 1$ P dx + Q dy - ∑

=

3

2 k C k$ P dx + Q dy


กรณีทั่วไปของขอสรุปขางตนคือ

ทฤษฎีบท 5.4.6(ทฤษฎีบทของกรีนสําหรับบริเวณแบบเชื่อมโยงหลายเชิง)กําหนดให 1C , 2C , ... , nC เปนเสนโคงปดเชิงเดียวซึ่งเรียบเปนชวง ๆ ทิศทางทวนเข็มนาฬิกาและมีสมบัติดังนี้1. iC ∩ jC = ∅ ถา i ≠ j2. iC อยูในบริเวณภายในของ 1C ทุก i = 2, 3, ... , n3. iC อยูในบริเวณภายนอกของ jC ทุก i > 1, j > 1 ถา i ≠ jให R เปนบริเวณซึ่งประกอบดวย 1C และบริเวณภายในของ 1C

ซึ่งไมอยูภายใน 2C , 3C , ... , nC

ให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่องบนเซตเปด Sซึ่งครอบคลุม R จะได

∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA =

C 1$ P dx + Q dy - ∑

=

n


บทพิสูจน ภาพของ 1C , 2C , ... , nC และ Rเปนดังรูปที่ 5.4.21 (ก)


รูปที่ 5.4.21 (ก) รูปที่ 5.4.21 (ข)กําหนดเสนโคงตาง ๆ ดังรูปที่ 5.4.21 (ข)ให *

1C = 1K + a2C + 2K + a3C + 3K + ... nK + a1C*2C = - 1K + b1C + (- nK ) + ... + (- 2K ) + b2C


2C เปนเสนโคงปดเรียบเชิงเดียวทิศทางทวนเข็มนาฬิกาให 1R เปนบริเวณภายในของ *



2C

โดยทฤษฎีบทของกรีน จะได ∫∫R

( xQ∂∂ - y

P∂∂ ) dA

= C 1$ P dx + Q dy -

C 2$ P dx + Q dy - ... -

C n$ P dx + Q dy

= C 1$ P dx + Q dy - ∑

=

n


Page 51 of 53

09/06/2008


แบบฝกหัด 5.4จงใชทฤษฎีบทของกรีนคํานวณคาของอินทิกรัลตามเสนโคงท่ีกําหนดให ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

1.C$ (2y + xe ) dx + (–3x + ye ) dy เม่ือ C เปนวงกลม 2x + 2y = 4

2.C$ ( 2y + 4x ) dx + ( 2x + 4y ) dy เม่ือ C เปนครึ่งวงกลม 2x + 2y = 9 และ y ≥ 0

3.C$ x 2y dx + ( 2x – 2y ) dy เม่ือ C เปนสี่เหลี่ยมซึ่งมีจุดตอไปนี้เปนจุดยอด (–2, 2), (0, 2), (0, 4), (–2, 4)

4.C$ (sin x + xy) dx + ( ye + x + 2x ) dy

เม่ือ C เปนสี่เหลี่ยมซึ่งมีจุดตอไปนี้เปนจุดยอด (0, 0), (2, 0), (2, 2), (0, 2)5.

C$ ( 2xe + 2 2y + y) dx + ( 2ye + 2x + 2x) dy

เม่ือ C เปนสามเหลี่ยมที่มีจุด (0, 0), (3, 0) และ (0, 3) เปนจุดยอด6.

C$ ( xe + 2y + 3y) dx + (ln y + 3x + 2x) dy

เม่ือ C เปนสามเหลี่ยมที่มีจุด (0, –4), (4, 0) และ (0, 4) เปนจุดยอด7.

C$ (5 2x + 2y xe – 4y) dx + (2 xe + ye + 2y ) dy เม่ือ C เปนวงกลม (x – 1) 2 + 2y = 1

8.C$ (4 2x ) dx + ( 2x + 2 2y ) dy เม่ือ C เปนวงกลม (x – 2) 2 + 2y = 4

9.C$ ( 2x y) dx + (x + 2y ) dy เม่ือ C เปนสี่เหลี่ยมซึ่งมีจุดตอไปนี้เปนจุดยอด (1, 1), (–1, 1), (–1, –1), (1, –1)

10.C$ (x 3y + xe ) dx + ( 2x + 2y) dy เม่ือ C เปนเสนโคงปด ท่ีประกอบดวย 2x – 2y = 1 และ เสนตรง x = 2

11.C$ (–8 3y ) dx + (–16 3x ) dy เม่ือ C เปนเสนโคงปด 4| x | + | y | = 1

12.C$ (– 3x – 3y ) dx + ( 3x – 3y ) dy เม่ือ C เปนวงกลม 2x + 2y = 1

13.C$ (3 2x 3y – 2x – 3y) dx + (x 2y + 3 3x 2y + 2x) dy เม่ือ C เปนวงกลม 2x + 2y = 4

14.C$ (–4 2x y) dx + (4x 2y ) dy เม่ือ C เปนสามเหลี่ยมที่มีจุด (0, 0), (1, 2) และ (0, 2) เปนจุดยอด

15.C$ ( x3e – 2 2y ) dx + (sin y – 2x ) dy เม่ือ C เปนสามเหลี่ยมที่มีจุด (–4, 0), (4, 0) และ (0, 4) เปนจุดยอด

16.C$ ( 22 yx

y+

− ) dx + ( 22 yxx+

) dy เม่ือ C : rv (t) = (5 3cos t, 5 3sin t) บนชวง [0, 2π]

17.C$ (

23

22 )yx(

x

+

) dx + (23

22 )yx(

y

+

) dy เม่ือ C เปนเสนรอบวงของวงรี 25)3x( 2− + 16

y2 = 1

18.C$ (

25

22 )yx(

x

+

) dx + (25

22 )yx(

y

+

) dy เม่ือ C เปนเสนโคงปด | x | + | y | = 4

19.C$ (arctan x

y ) dx + (ln( 2x + 2y ) dy

เม่ือ C เปนเสนรอบวงของวงแหวนปดลอมดวย 2x + 2y = 4, 2x + 2y = 16, y ≥ 0 และ y ≤ x

Page 52 of 53

09/06/2008


20.C$ ( 222

2

)yx(yx

+) dx + ( 222

3

)yx(x+− ) dy

เม่ือ C เปนสามเหลี่ยมที่มีจุด (0, 4), (–4, –4) และ (4, –4) เปนจุดยอด21.

C$ ( 22 y)1x(

y+−

− ) dx + ( 22 y)1x(1x+−

− ) dy เม่ือ C : rv (t) = (5 3cos t, 5 3sin t) บนชวง [0, 2π]

22.C$ ( 22 y)1x(

y+−

− ) dx + ( 22 y)1x(1x+−

− ) dy

เม่ือ C : rv (t) = (5 5cos t, 5 5sin t) บนชวง [0, 2π] และจงหาพื้นที่ปดลอมดวยเสนโคง C

23.C$ ( 44

3

yxx+

) dx + ( 44

3

yxy+

) dy เม่ือ C เปนวงกลม 2x + 2y = 16

24. ให P และ Q เปนฟงกชันที่มีอนุพันธอยางตอเนื่อง และ yP∂∂ = x

Q∂∂ ยกเวนที่จุด (0, 3) (0, –1) (0, –3) (3, 0)

ให C เปนเสนรอบวงของสี่เหลี่ยมที่มีจุดยอด (4, 0), (0, 4), (–4, 0), (0, –4)1C เปนวงกลม 2x + (y – 3) 2 = 4

1

2C เปนวงกลม 2x + 2y = 43C เปนวงกลม 2x + (y + 1) 2 = 4

1

4C เปนวงกลม 2x + (y + 3) 2 = 41

5C เปนวงกลม (x – 3) 2 + 2y = 41

C1$ P dx + Q dy = 7,

C2$ P dx + Q dy = 5

C4$ P dx + Q dy = 3,

C5$ P dx + Q dy = 9

จงหา 24.1 C3$ P dx + Q dy

24.2 C$ P dx + Q dy

เฉลยแบบฝกหัด 5.41. –20π 2. – 3

4 3. 16 4. 85. – 2

9 6. 112 7. 4π 8. 16π

9. 38 10. 5

32 11. 47 12. 2

3π

13. 24π 14. 326 15. 128 16. 2π

17. 0 18. 0 19. 2 20. –π21. 2π 22. 2π และ พ้ืนที่ปดลอมดวยเสนโคง C =

128375π 23. 0

24. 24.1 C3$ P dx + Q dy =

C2$ P dx + Q dy = 5

24.2 C$ P dx + Q dy =

C1$ +

C2$ +

C4$ +

C5$ = 24

Page 53 of 53

09/06/2008

Documents

บทที่ 5 บทนิยาม ให f, g, h เป นฟ ชงกั ...pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301203/sheet_book/...5 - 5 บทท อ 5 นท กรลตามเส