9-1 9 9-2 9 บทที่ 9 9.1 (Laplace Transform) …pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301312/file_sheet_2555_2nd/...บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ

บทที่ 9การแปลงลาปลาซ

9-1


The Laplace Transformation

ภาคฤดูรอน ปการศึกษา 2550


9-2

9.1 ผลการแปลงลาปลาซ (Laplace Transform)บทนิยามที่ 9.1.1

)t(f เปนฟงกชันคาจริงที่นิยามบนชวง ),0[ ∞

และ S เปนเซตที่ ∫∞

−

0

st dt )t(fe ลูเขาทุกคา Ss∈

Ss ,dt )t(fe )s(F0

st ∈= ∫∞

−

เรียกวา ผลการแปลงลาปลาซ (Laplace transform) ของ )t(f

ขอตกลง จะเขียนแทน )s(F ดวย L{ )t(f }(s) หรือ L{ )t(f }

=)s)}(t(f{L Ss,dt)t(fe0

st ∈∫∞

−

=)s)}(t(f{L )s(F

)s(F)}t(f{L =

)s(F}f{L =

F}f{L =


9-3

ตัวอยางที่ 9.1.1 จงหา L{ )t(f } เมื่อ 1)t(f =

วิธีทาํ L{1}(s) ∫∞

− ⋅=0

st dt1e

∫ −∞→

=T

0

stT

dtelim

T

0

st

T selim ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−

∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

−

∞→ se

selim

0sT

T

ถา 0s < ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−

∞→ se

selim

0sT

T หาคาลิมิตไมได

ถา 0s = ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−

∞→ se

selim

0sT

T หาคาลิมิตไมได

ถา 0s > s1

se

selim

0sT

T =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−

∞→

เพราะฉะนั้น L{1}(s) s1= เมื่อ 0s >


9-4

ตัวอยางที่ 9.1.2 จงหา L{ )t(f } เมื่อ ate)t(f =

และ a เปนคาคงตัว

วิธีทาํ L{ ate }(s) ∫∞

−=0

atst dtee

∫ −∞→

=T

0

t)sa(T

dtelim

T

0

t)sa(

T saelim ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−

=−

∞→ sae

saelim

0T)sa(

T

ถา as ≤ เราไมสามารถหาคาของลิมิตไดถา as > จะหาคาลิมิตไดเปน

L{ ate }(s) sa10−

−=

L{ ate }(s) as

1−

= เมื่อ as >

เพราะฉะนั้นเขียนโดยยอ L{ ate } as

1−

= เมื่อ as >

2301312 Differential equations 2555 2nd Page 1 of 19


9-5

ตัวอยางที่ 9.1.3 จงหา L{ btsin } เมื่อ b เปนคาคงตัว

วิธีทาํ L{ btsin } ∫∫ −∞→

∞− ==

T

0

st T0

st dt btsine limdt btsine

T0

st T

]btsineD1[ lim −

∞→=

T0

st T

]btsinsD

1e[ lim−

= −∞→

T022

st T

]btsinsD

1)sD(e[ lim−

+= −∞→

T022

st T

]btsinsb

1)sD(e[ lim−−

+= −∞→

T

022st

T)btsinsbtcosb(

bse lim ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ++

−=−

∞→

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+++

+−=

−

∞→ 2222sT

T bsb)bTsinsbTcosb(

bse lim

22 bsb0+

+= เมื่อ 0s >

เพราะฉะนั้น L{ btsin } 22 bs

b+

= เมื่อ 0s >


9-6

ตัวอยางที่ 9.1.5 จงหา L{ nt } เมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวก

วิธีทาํ L{ nt } ∫∞

−=0

nst dt te

∫∞

−−∞−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=0

1nst

0

stndttes

nset

สําหรับ 0s > และ 0n > จะได 0set

0

stn=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−∞−

เพราะวา ∫∞

−−− =0

1nst1n dtte}t{L

เพราะฉะนั้น L{ nt } sn= L{ 1nt − }, 0s >

s1}1{L =

2s1

s1

s1}1{Ls

1}t{L ===

322

s)1)(2()

s1(s

2}t{Ls2}t{L ===

4323

s!3)

s)1)(2((s

3}t{Ls3}t{L ===

5434

s!4)

s!3(s

4}t{Ls4}t{L ===

ทฤษฎีบท สําหรับ n ที่เปนจํานวนเต็มบวก จะไดวาL{ nt }

1ns!n+

= , 0s >


9-7

ตัวอยางที่ 9.1.6 จงหา L{ )t(f } เมื่อ ⎩⎨⎧

><<= 3t ,t

3t0 ,2)t(f

วิธีทาํ L{ )t(f } ∫∞

−=0

st dt)t(fe

∫∫∞

−− +=3

st3

0

st dttedt2e

∞−−−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=32

stst3

0

st

se

set

se2 สําหรับ 0s >

s32

s3s3 es1e

s300

s2e

s2 −−− ++−−+−=

s32

s3 es1e

s1

s2 −− ++=

2

s3

se)1s(

s2 −+

+=


9-8

9.2 การมีจริงของผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงลาปลาซผกผัน

เงื่อนไขตางๆ ที่จะทําให ∫∞

−

0

st dt )t(fe หาคาได

บทนิยามที่ 9.2.1 ฟงกชัน )t(f ตอเนื่องเปนชวง (piecewisecontinuous) บน ]b,a[

ก็ตอเมื่อ สามารถแบงชวง ]b,a[ ออกเปนชวงยอย n ชวงยอยไดซึ่งในแตละชวงยอย ]d,c[

(1) )t(f ตอเนื่องภายในชวงเปด )d,c( และ(2) สําหรับ c และ d ซึ่งเปนจุดปลายของชวงยอยและเปนจุดที่ฟงกชัน )t(f ไมตอเนื่องนั้นจะตองหาลิมิตขวา )t(flim

c t +→ และ ลิมิตซาย )t(flim

d t −→ ได



9-9

บทนิยามที่ 9.2.2 ฟงกชัน )t(f เปน อันดับเลขชี้กาํลัง(f is of exponential order)ถามีคาคงตัว α และคาคงตัวบวก M และ 0t ที่ทําให tMe |)t(f| α≤ สําหรับทุกๆ 0tt ≥

และจะเขียนแทนดวย )e(O)t(f tα=

หมายเหตุ การที่ฟงกชัน )t(f เปนอันดับเลขชี้กําลังหมายความวา เราไมสนใจคาของฟงกชันสําหรับคา t กอนหนา 0t

แตเมื่อคา t มาถึงและมากกวา 0t ไปแลวคาของฟงกชัน )t(f ตองอยูระหวาง tMeα− กับ tMeα


9-10

ทฤษฎีบท ถา |)t(f|elim tt

α−∞→

= K สําหรับบางคาคงตัว α

แลว )e(O)t(f tα=

ตัวอยางที่ 9.2.1 จงแสดงวา t3

e)t(ft2

+= เปนอันดับเลขชี้กําลัง

วิธีทาํ ให 2=α จะได

t3

eelim|)t(f|elimt2t2

tt

t +⋅= −

∞→α−

∞→

t3

eelimt2t2

t +⋅= −

∞→

0t31lim

t

=

+=

∞→

เพราะฉะนั้น t3

e)t(ft2

+= เปนอันดับเลขชี้กําลัง

ตัวอยางที่ 9.2.3 จงแสดงวา nt)t(f = เปนอันดับเลขชี้กําลังเมื่อ n เปนจํานวนเต็มบวกวิธีทาํ ให α เปนคาคงตัวบวกใดๆ จะได

tn

tnt

t etlim |t|elimα∞→

α−∞→

=

โดยใชกฎของโลปตาล n ครั้งจะได0

e!nlim

entlim

etlim

tn tt1n

ttn

t=

α==

α=

α∞→α

−

∞→α∞→L

เพราะฉะนั้น )e(Ot tn α= สําหรับคาคงตัวบวก α ใดๆ


9-11

ทฤษฎีบท(2) ถา ∞=α−

∞→ |)t(f|elim t

t สําหรับทุกคาคงตัว α

แลว )t(f ไมเปนอันดับเลขชี้กําลัง

ตัวอยางที่ 9.2.2 จงแสดงวา 2te)t(g =

ไมเปนอันดับเลขชี้กําลังวิธีทาํ ให α เปนคาคงตัวใดๆ จะได

2ttt

tt

eelim|)t(g|elim α−∞→

α−∞→

=

)t(tt

elim α−∞→

=

สังเกตวา ไมวาคาของ α จะเปนบวกหรือลบจะไดวา 0t >α− เสมอเมื่อ ∞→t ซึ่งจะทําใหไดวา

∞=α−∞→

)t(t t

elim

เพราะฉะนั้น 2te)t(g = ไมเปนอันดับเลขชี้กําลัง


9-12

ทฤษฎีบทที่สาํคัญในเรื่องผลการแปลงลาปลาซ

ทฤษฎีบทที่ 9.2.1ทฤษฎีบทการมีจริงของผลการแปลงลาปลาซ

ถา )t(f เปนฟงกชันซึ่ง ∫∞

−

0

st dt )t(fe หาคาได 0t0 >∀

และ )e(O)t(f tα= สําหรับบางคาคงตัว αแลว L{ )t(f } หาได เมื่อ α>s

ทฤษฎีบทที่ 9.2.2ถา )t(f มีความตอเนื่องเปนชวงบน ]T,0[ ใดๆ ที่ 0T >

และ )e(O)t(f tα= สําหรับบางคาคงตัว αแลว L{ )t(f } หาไดเสมอ เมื่อ α>s

ทฤษฎีบทที่ 9.2.3ถา )t(f มีความตอเนื่องเปนชวงบน ]T,0[ ใดๆ ที่ 0T >

และ )e(O)t(f tα= สําหรับบางคาคงตัว αและ )s(F = L{ )t(f }แลว 0)s(Flim

s=

∞→

บทแทรก ถา 0)s(Flims

≠∞→

แลวไมมี f(t) ที่ทําให L{ )t(f } = F(s)



9-13

บทนิยามที่ 9.2.3 ฟงกชัน )t(f จะเรียกวาเปนฟงกชันของชั้นเอ ( )t(f is a function of class A45๔45๔)ถา(1) )t(f เปนฟงกชัน

ที่มีความตอเนื่องเปนชวงบน ]T,0[ ใดๆ ที่ 0T >

และ(2) )e(O)t(f tα= สําหรับบางคาคงตัว α

ทฤษฎีบทที่ 9.2.4ถา )t(f เปนฟงกชันของชั้นเอ แลว L{ )t(f } มีจริง

ทฤษฎีบทที่ 9.2.5 ให )t(f เปนฟงกชันของชั้นเอและ )s(F = L{ )t(f } แลว 0)s(Flim

s=

∞→


9-14

ตัวอยางที่ 9.2.4 จงหาผลการแปลงลาปลาซของ 21

t)t(f−

=

วิธีทาํ เพราะวา 0telim 21

t0t

=−

∞→เพราะฉะนั้น )t(f เปนอันดับเลขชี้กําลัง

เพราะฉะนั้น L{ 21

t− } มีจริง

เพราะฉะนั้น สําหรับ 0s > จะได

L{ 21

t− } ∫

∞ −−=0

21 st dt te

โดยการเปลี่ยนตัวแปร 2xst = จะไดวา

L{ 21

t− } ∫

∞−−

=0

2x21

dxe s2 , 0s >

เพราะวา π=∫∞

−21dxe

0

2x

เพราะฉะนั้น L{ 21

t− } 2

121

)s(21s2 π=π⋅=

− , 0s >


9-15

ทฤษฎีบท L{ xt } ,s

)1x(1x+

+Γ= 1x ,0s −>>

พิสูจน จากสูตร ,du ue )x(0

1xu∫∞

−−=Γ 0x >

∫∞

−=+Γ0

xu du ue )1x(

∫∞

−=0

xst dt s)st(e (แทนคา stu = สําหรับ 0s > )

∫∞

−+=0

xst1x dt te s

}t{Ls x1x+= เมื่อ 01x >+

เพราะฉะนั้นL{ xt } 1xs

)1x(++Γ= เมื่อ 01x >+

สูตรเกี่ยวกับผลการแปลงลาปลาซ

1. s)t( 21

π=Γ−

2. 1xx

s)1x(}t{L

++Γ=

3. 1n1nn

s!n

s)1n(}t{L

++=+Γ=


9-16

ตัวอยาง จงหาผลการแปลงลาปลาซ L{ 23

t }

วิธีทาํ L{ 23

t } 12

3s

)123(

+

+Γ=

25

s

)121(2

3 +Γ=

25

s

)21(2

123 Γ⋅

=

25

s4

3 π=



9-17

ผลการแปลงลาปลาซผกผัน

ผลการแปลงลาปลาซผกผันที่สาํคัญ1. L 1}

s1{1 =−

2. L at1 e}as

1{ =−

−

3. L btsin}bs

b{22

1 =+

− L btsinb1}

bs1{ 22

1 =+

−

4. L btcos}bs

s{22

1 =+

−

6. L n1n

1 t}s

!n{ =+

− L !nt}

s1{

n1n

1 =+

−


9-18

ขอสังเกต

⎩⎨⎧

>=

=0te0t3)t(f t1

⎩⎨⎧

>=

=0te0t1)t(f t2

}f{L1s1}f{L 21 =−

= แต 21 ff ≠

ทฤษฎีบทที่ 9.2.6ถา )t(f และ )t(g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องเปนชวงบน ]T,0[ ใดๆ ที่ 0T >

และ )}t(g{L)}t(f{L = เมื่อ 0ss > สําหรับบางคาคงตัว 0s

แลว )t(g)t(f 00 = เมื่อ 0t เปนจุดในชวง ),0[ ∞

ซึ่ง )t(f และ )t(g มีความตอเนื่อง

หมายเหตุ ถา )t(f และ )t(g มีความตอเนื่องตลอดชวง ),0[ ∞

แลว )t(f = )t(g สําหรับทุกคา 0t ≥


9-19

ตัวอยาง

⎩⎨⎧

><<= 3t ,t

3t0 ,2)t(f1

⎩⎨⎧

≥<<= 3t ,t

3t0 ,2)t(f2

)t(f)t(f 21 ≠ เมื่อ 3t =

L{ )t(f1 } = L{ )t(f2 } = 0s ,s

e)1s(s2

2

s3>

++

−

เพราะวาเราทราบวา สําหรับทุกคา 0t ≥ L{ t2e− } = 2s

1+

และ )t(f = t2e− เปนฟงกชันตอเนื่องบน ),0[ ∞

เพราะฉะนั้น )t(f = t2e− เปนฟงกชันตอเนื่องเพียงฟงกชันเดียวเทานั้นที่มีผลการแปลงลาปลาซเทากับ 2s

1+


9-20

9.3 สมบัติบางประการของผลการแปลงลาปลาซ9.3.1 สมบัติเชิงเสน (Linearity)

ทฤษฎีบทที่ 9.3.1การแปลงลาปลาซเปนการดําเนินการเชิงเสน (linear operation)ถา L{ )t(f }, L{ )t(g } หาคาได เมื่อ α>s , β>s ตามลําดับแลว L{ )t(bg)t(af + } = aL{ )t(f } + bL{ )t(g } ∀ a, bเมื่อ } ,max{s βα>

ทฤษฎีบท b ,a เปนคาคงตัวใดๆ1. ถา )s(F)}t(f{L = และ )s(G)}t(g{L =

แลว L )}s(bG)s(aF{1 +− = aL{f(t)} + bL{g(t)}หรือ2. L )}s(bG)s(aF{1 +− = aL )}s(F{1− + bL )}s(G{1−

ตัวอยาง จงหา L{ t34 + }วิธีทาํ L{ t34 + } }t3{L}4{L +=

}t{L3}1{L4 +=

)s1(3)s

1(4 2+= )s1(s3s4

++=

=++− })s1(s

3s4{L 1 )}s1(3)s

1(4{L 21 +−

)}s1{(L3)}s

1{(4 21−+= )t(3)1(4 += = t34 +



9-21

ตัวอยางที่ 9.3.2 จงหา L{ t3cos2t4t35 2 −++ }วิธีทาํ }t3cos2t4t35{L 2 −++

}t3{cosL2}t{L4}t{L3}5{L 221

−++=

22323 3s

s2s

!24

s

)23(

3s15

+⋅−⋅+

Γ⋅+⋅= , 0s >

9ss2

s8

s2

3s5

2323 +

−+π+= , 0s >

ตัวอยางที่ 9.3.3 จงหา }t2cost3{sinL

วิธีทาํ ]}t)23sin(t)23[sin(21{L}t2cost3{sinL −++=

}]t{sinL}t5{sinL[21 +=

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

+=

1s1

25s5

21

22

)1s)(25s(30s6

21

222

+++=

)1s)(25s(15s322

2

+++= , 0s >


9-22

ตัวอยาง จงหา })1s(s4{L 1−

−

วิธีทาํ })1s(s4{L 1−

− })1s(s1{L4 1−

= −

)}s1

1s1{(L4 1 −−

= −

})s1{L}1s

1{L(4 11 −− −−

=

)1e(4 t −=

4e4 t −=

ตัวอยางที่ 9.3.4 จงหา )}s(F{L 1− เมื่อ )4s)(2s(

2s3s2)s(F2

2

+++−=

วิธีทาํ 4sCBs

2sA

)4s)(2s(2s3s2

222

+++

+=

+++−

)2s)(CBs()4s(A2s3s2 22 ++++=+−

)C2A4(Css)BA( 2 ++++=เพราะฉะนั้น 2BA =+ , 3C −= และ 2C2A4 =+

เพราะฉะนั้น 2A = , 0B = และ 3C −=

เพราะฉะนั้น 4s

32s

2 )4s)(2s(

2s3s2 )s(F22

2

+−

+=

+++−=

}4s

32s

2{ L{F(s)} L 211

+−

+= −−

}4s

2{L23}

2s1{L2

211

+−

+= −−

t2sin23e2 t2 −= −


9-23

9.3.2 สมบัติการเลื่อน (Shifting)ทฤษฎีบทที่ 9.3.2ทฤษฎีบทการเลื่อนบทที่หนึ่ง (first shifting theorem)ถา )s(F)}t(f{L = เมื่อ α>s , a เปนคาคงตัวแลว )as(F)}t(fe{L at −= } เมื่อ α+> as

ตัวอยางที่ 9.3.5 จงหา L{ 5t2 te− }วิธีทาํ เพราะวา

65

s!5}t{L =

เพราะฉะนั้น 6

5t2)2s(

!5}te{L+

=−

ตัวอยางที่ 9.3.6 จงหา L{ t3cose t5 }วิธีทาํ เพราะวา

9ss}t3{cosL

2 +=

เพราะฉะนั้น 9)5s(

5s}t3cose{L2

t5+−

−=

ตัวอยางที่ 9.3.7 จงหา L }13s6s

2{ 21

+−−

วิธีทาํ }13s6s

2{L 21

+−− }

4)3s(2{L 2

1+−

= −

เพราะวา 22 2s

2}t2{sinL+

=

เพราะฉะนั้น t2sine}4)3s(

2{L t32

1 =+−

−


9-24


s{2

1+−

−

วิธีทาํ 49s6s

s13s6s

s22 ++−

=+−

4)3s(s

2 +−=

4)3s(

34)3s(

3s22 +−

++−

−=

เพราะฉะนั้น }13s6s

s{L2

1+−

−

}2)3s(

2{L23}

2)3s(3s{L 22

122

1+−

++−

−= −−

เพราะวา22 2s

s}t2{cosL+

=

และ 22 2s

2}t2{sinL+

=

เพราะฉะนั้น22

t32)3s(

3s}t2cose{L+−

−=

22t3

2)3s(2}t2sine{L

+−=

เพราะฉะนั้น }13s6s

s{L2

1+−

−

}2)3s(

2{L23}

2)3s(3s{L 22

122

1+−

++−

−= −−

t2sine23t2cose t3t3 +=



9-25


7{2

1+−

−

วิธีทาํ เพราะวา 22 )1s(

71s2s

7−

=+−

เพราะฉะนั้น })1s(

7{L}1s2s

7{L2

12

1−

=+−

−−

เพราะวา 2s1}t{L =

และ 2

t)1s(

1}te{L−

=

เพราะฉะนั้น })1s(

1{7}1s2s

7{ 21

21

−=

+−−− L L

tte7 =


9-26

9.3.3 สมบัติการคูณดวย nt (Multiplication by nt )ทฤษฎีบทที่ 9.3.3 ถา L{ )t(f } = )s(F

แลว L{ )t(ft n } = )s(Fdsd)1(

nnn− , K ,3 ,2 ,1n =

ประโยชนจากสูตร L{ )t(ft n } = )s(Fdsd)1(

nnn− เชน

1. )t(ft)1()}s(Fdsd{L nn

nn1 −=− )t(f)t( n−=

2. nn

2210 tatataa)t(P ++++= L

)t(f)t(P))}s(F)(D(P{L 1 −=−

)s(F)D(P)}t(f)t(P{L −=

ตัวอยาง tt)t)(1)t(()}s1)(1D{(L 322

21 +=+−=+−

3. เพราะวา 22 bs

b}bt{sinL+

=

และ 22222 )bs(

bs2 )bs

b(dsd }btsint{L

+=

+−=

เพราะฉะนั้น btsinb2t

)bs(sL

2221 =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

4. เพราะวา 22 bs

s}bt{cosL+

=

เพราะฉะนั้น 222

2222 )bs(

bs )bs

s(dsd }btcost{L

+−=

+−=

และ btcost)bs(

bsL222

221 =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−


9-27

ตัวอยางที่ 9.3.9 จงหา L{ t4cost 2 }วิธีทาํ จาก

16ss}t4{cosL

2 +=

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

+−=

16ss

dsd)1(}t4cost{L

22222

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++−=

222

)16s(16s

dsd

323

)16s(s96s2

+−= , 0s >

ตัวอยางที่ 9.3.10 จงหา L{ t23et }วิธีทาํ จาก

2s1}e{L t2−

=

)2s

1(dsd)1(}et{L

333t23

−−=

4)2s(6

−=

หรือจาก 4

3s

!3}t{L =

43t2t23

)2s(6 }te{L }et{L

−==


9-28

ตัวอยางที่ 9.3.11 จงหา }tsin)t2t34{(L 2++

วิธีทาํ จาก 1s

1}t{sinL2 +

=

จะได 1s

1)D2D34(}tsin)t2t34{(L2

22+

+−=++

)1s

1(D2)1s

1(D31s

142

222 +

++

−+

⋅=

))1s(

s2(D2)1s(

s61s

422222 +

−++

++

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

++

+=

322

222 )1s(1s34

)1s(s6

1s4



9-29

ตัวอยาง จงหา L )}s251{ln( 2

1 +−

วิธีทาํ )s251(ln F(s) L{f(t)} 2+==

)s251ln(ds

d)1(F(s)dsd)1(L{tf(t)} 2+−=−=

)s251(ds

d

s251

1)1( 22

++

−=

)s50(

25ss)1( 32

2 −+

−=

)25s(s50

2 +=

)25s

ss1(2 2 +

−=

เพราะฉะนั้น }]25s

s{L}s1{[L2tf(t) 2

11+

−= −− )t5cos1(2 −=

เพราะฉะนั้น )t5cos1(t2)t(f −=

ตัวอยางที่ 9.3.12 จงหา L )}sc1{ln(

221 +−

วิธีทาํ ให )sc1ln( )s(F )}t(f{L

22

+==

จะได )s(Fdsd)1()}t(tf{L −=

)cs(sc2

222

+= )

css

s1(2

22 +−=

เพราะฉะนั้น }]cs

s{L}s1{L[2)t(tf

2211

+−= −− )ctcos1(2 −=

เพราะฉะนั้น )ctcos1(t2)t(f −=


9-30

ตัวอยางที่ 9.3.13 จงหาคาของ ∫∞

−

0

t2 dt tsinte

วิธีทาํ เพราะวา ∫∞

−==0

st dt)tsint( e)s(Ft}(s)sinL{t

เพราะฉะนั้น )2(Fdt)tsint(edttsinte0

t2

0

t2 == ∫∫∞

−∞

−

เพราะวา 1s

1}t{sinL2 +

=

เพราะฉะนั้น 222 )1(ss2)

1s1(ds

d)1(t}sinL{tF(s)+

=+

−==

254

)12()2(2)2(F 22 =

+=

เพราะฉะนั้น 254)2(Fdttsinte

0

t2 ==∫∞

−


9-31

9.3.4 ผลการแปลงลาปลาซของอนุพันธของฟงกชันทฤษฎีบทที่ 9.3.4ถา )t(f , ),t(f ),t(f ),t(f )1n( −′′′ K

เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง ),0[ ∞ และเปนอันดับเลขชี้กําลังและถา )t(f )n( เปนฟงกชันของชั้นเอแลวจะไดวา )}t(f{L )n(

)}t(f{L )n( = )0(fs)0(fs)}t(f{Ls 2n1nn L−′−− −−

)0(f)0(sf )1n()2n( −− −−L

ตัวอยางเชน )0f(sL{f(t)}(t)}fL{ −=′

)0(f)0sf(L{f(t)}s(t)}fL{ 2 ′−−=′′

)0(f)0(fs)0f(sL{f(t)}s(t)}fL{ 23 ′′−′−−=′′′

ตัวอยางที่ 9.3.14 จงหา L{ tcos2 }วิธีทาํ เพราะวา )t2cos1(

21tcos2 +=

เพราะฉะนั้น }t2{cosL21}1{L

21}t{cosL 2 +=

)4s(2s

s21

2 ++=

)4s(s2s

22

++=


9-32

ตัวอยางที่ 9.3.15 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน 4)0(y ,2)0(y ,0y5y2y −=′==+′+′′

วิธีทาํ ให )s(Y}y{L =

0}y5y2y{L =+′+′′

0}y{L5}y{L2}y{L =+′+′′

0)s(Y5)}0(y)s(sY{2)}0(y)0(sy)s(Ys{ 2 =+−+′−−แทนคา 4)0(y ,2)0(y −=′=

0s2)s(Y)5s2s( 2 =−++

เพราะฉะนั้น 5s2s

s2)s(Y2 ++

=

4)1s(s22 ++

=

2222 2)1s(2

2)1s()1s(2

++−

++

+=

เพราะฉะนั้นt2sinet2cose2 )}s(Y{L )t(y tt1 −−− −==



9-33

ตัวอยางที่ 9.3.14 22)4(y,2)4(yt2yy −=π′π=π=+′′

วิธีทาํ ให }y{L)s(Y = เพราะวา }t2{L}y{L}y{L =+′′

2

2s2)s(Y)0(y)0(sy)s(Ys =+′−−

เพราะฉะนั้น )0(y1s

1)0(y1s

s)1s(s

2)s(Y2222

′+

++

++

=

)0(y1s

1)0(y1s

s)1s

1s1(2

2222′

++

++

+−=

ให )0(yA = และ )0(yB ′=

เพราะฉะนั้น }B1s

1A1s

s)1s

1s1(2{L)t(y 2222

1+

++

++

−= −

}1s

1{BL}1s

s{AL}1s

1{L}s2{L)t(y 2

12

12

12

1+

++

++

−= −−−−

tsinBtcosAtsint2)t(y ++−=

tsin)2B(tcosAt2)t(y −++=

เพราะวา 2)4(y π=π เพราะฉะนั้น 2

)2B(2

A22

−++π=π

2BA =+เพราะวา tcos)2B(tsinAt2)t(y −+−=′

และ 22)4(y −=π′ เพราะฉะนั้น 2

)2B(2

A222 −+−=−

2

)2(B2

A2 −+−=−

0BA =+−ดังนั้น 1A = และ 1B = เพราะฉะนั้น tsintcost2)t(y −+=


9-34

9.3.5 ผลการแปลงลาปลาซของปริพันธทฤษฎีบทที่ 9.3.5 ถา )s(F)}t(f{L =

แลว ∫∫ −=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ a

0

t

adx )x(f

s1)s(F

s1dx )x(f L

ขอควรจาํ เมื่อ 0a = จะได )s(Fs1dx )x(f L

t

0=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫

ตัวอยางที่ 9.3.15 จงหา ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫t

0dx x2sinx L

วิธีทาํ4s

2}t2{sinL2 +

=

222 )4s(s4)

4s2(

dsd}t2sint{L

+=

+−=

22

t

0 )4s(4}t2sint{L

s1dx x2sinx L

+==

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫

ตัวอยางที่ 9.3.16 จงหา })1s(s

1{L2

1+

−

วิธีทาํ ให 1s

1)s(F)}t(f{L2 +

== เพราะฉะนั้น tsin)t(f =

เพราะฉะนั้น )s(Fs1

)1s(s1

2=

+ ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

= ∫t

0dx xsin L

}tcos1{L −=

เพราะฉะนั้น tcos1})1s(s

1{L 21 −=

+−


9-35

9.3.6 ผลการแปลงลาปลาซของ t)t(f

ทฤษฎีบทที่ 9.3.6ถา )s(F)}t(f{L = และ t

)t(flim0t +→

หาคาได

แลว ∫∞

=s

dr )r(F }t

)t(f{L

สูตร tf(t)} F(r) dr{L

s

1 =∫∞

−

ตัวอยางที่ 9.3.17 จงหา }t

tsin{L

วิธีทาํ เพราะวา 1s

1}t{sinL2 +

=

และ 1t

tsinlim0 t

=+→

เพราะฉะนั้น ∫∞

+=

s2 dr

1r1}t

tsinL{ ∞= s]r[arctan sarctan2 −π=

= arccots ( 2kcotarckarctan π=+Q

s1arctan=


−

0

t dt t

tsine

วิธีทาํ 4]s1[arctan}t

tsin{dtttsine 1s1s

0

t π=== ==

∞−∫ L


9-36


0dt

ttsin

วิธีทาํ ∫∫∞∞

=0

t0

0 dtt

tsin e dtttsin

}ttsin L{ 0s==

0ss]arctan2π [ =−= 2

π =

ตัวอยางที่ 9.3.20 จงหา })1s(

s{L22

1+

−

วิธีทาํ ให 22 )1s(

s )s(F )}t(f{L+

==

เพราะฉะนั้น ∫∞

=s

dr )r(F }t

)t(f{L

∫∞

+=

s22

dr )1r(

r

∞

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+−=

s2 )1r(21

)1s(212 +

=

เพราะฉะนั้น tsin21}

)1s(21{t

)t(f2

1 L =+

= −

เพราะฉะนั้น tsint21)t(f}

)1s(s{ 22

1 L ==+

−



9-37

9.4 ผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันพิเศษบางชนิด9.4.1 ฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย(unit step function or Heaviside step function)บทนิยามที่ 9.4.1 ฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยนิยามโดย

⎩⎨⎧

><= 0t ,1

0t ,0)t(H

ให a และ b เปนคาคงตัวที่มากกวาหรือเทากับศูนย จะไดวา

⎩⎨⎧

>−<−=− 0at,1

0at,0)at(H

⎩⎨⎧

><= at,1

at,0

⎩⎨⎧

>−<−=− 0)at(, b1

0)at(, b0a)]H[b(t

⎩⎨⎧

>−<−= 0a, t1

0a, t0

⎩⎨⎧

><= at,1

at,0

)at(H −=

กราฟของ )at(H −


9-38

⎩⎨⎧

>−<−=− 0t, a1

0t, a0t)H(a

⎩⎨⎧

><= t, a1

t, a0

⎩⎨⎧

><= at,0

at,1

⎩⎨⎧

>−<−=− 0)ta(, b1

0t), b(a0t)]H[b(a

⎩⎨⎧

>−<−= 0t, a1

0t, a0

⎩⎨⎧

><= t, a1

t, a0

⎩⎨⎧

><= at,0

at,1

)ta(H −=

กราฟของ )at(H − และ )ta(H −


9-39

ทฤษฎีบทที่ 9.4.1 ases1)}at(H{L −=− , 0a ≥

พิสูจน ∫∞

− −=−0

st dt )at(He )}at(H{L

∫∞

−=a

st dt e

∞−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=a

sts

e

ases1 −= , 0s >

ทฤษฎีบท a)H(t}se{L

as1 −=−− , 0a ≥

ตัวอยาง จงหา }se{L

s41 −−

วิธีทาํ }se{L

s41 −− )4t(H −=

⎩⎨⎧

><=−= 4t ,1

4t ,0)4t(H

ตัวอยางที่ 9.4.5 จงหา )}e3e(s1{L s5s21 −−− −

วิธีทาํ }s

e{L3}s

e{L)}s(F{Ls51s211 −−−−− −=

)5t(H3)2t(H −−−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−<<<<

=5t ,25t2 ,12t0 ,0


9-40

สมบัติของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวย



9-41

ตัวอยางที่ 9.4.1 จงเขียนฟงกชัน ⎩⎨⎧

><<= 1t ,2

1t0 ,t)t(f2

ในรูปของฟงกชันขั้นบันไดหนึ่งหนวยวิธีทาํ1. บนชวง (0 1) 2t)t(f =

2. บนชวง (1,∞) 2t ตองหายไป และ 2 เขามาแทนการทําให 2t หายไปทําไดโดยการลบทิ้งดวย )t)(1t(H 2−

การนํา 2 เขามาทําไดดวยการบวก )2)(1t(H −

เพราะฉะนั้น ⎩⎨⎧

><<= 1t ,2

1t0 ,t)t(f2

)2)(1t(H)t)(1t(Ht 22 −+−−=

)2t)(1t(Ht 22 +−−=

ตัวอยาง ⎪⎩

⎪⎨⎧

><<

<<=

5t ,t5t2 ,t

2t0 ,4)t(f

2

)tt)(5t(H)t1)(2t(H1)t(f 2+−−++−+−=

ตัวอยาง ⎪⎩

⎪⎨⎧

><<

<<=

7t ,tsin7t4 ,t

4t0 ,tcos)t(f

)tsint)(7t(H)ttcos)(4t(Htcos)t(f +−−++−−+=


9-42

ทฤษฎีบทที่ 9.4.2 ถา )s(F)}t(f{L =

แลว F(s)eL{f(t)}ea)}a)f(tL{H(t asas −− ==−−

ทฤษฎีบท a)a)f(tH(t})s(F{eL as1 −−=−−

การพิสูจน ∫∞

− −−=−−0

st dt )at(f)at(He )}at(f)at(H{L

∫∞

− −=a

st dt )at(fe

∫∞

+−=0

)ax(s dx )x(fe (เปลี่ยนตัวแปร atx −= )

∫∞

−−=0

sxas dx )x(fe e )s(Fe as−=

ตัวอยางที่ 9.4.4 จงหา )}t(f{L เมื่อ ⎪⎩

⎪⎨⎧

>−<<<<

=7t ,17t4 ,34t0 ,2

)t(f

วิธีทาํ )73)(7t(H)12)(4t(H2)t(f +−−++−−+=

)7t(H4)4t(H2)t(f −−−+=

)}7t(H{L4)}4t(H{L}2{L)}t(f{L −−−+=

)}1)(7L{H(t4)}1)(4L{H(t}2L{ −−−+=

}1L{e4}1L{e}2L{ s7s4 −− −+=

)s1(e4)s

1(e}2L{ s7s4 −− −+=

se4s

es2 s7s4 −−

−+= )e4e2(s1 s7s4 −− −+=


9-43

ทฤษฎีบทที่ 9.4.2 ถา )s(F)}t(f{L =

แลว L{f(t)}ea)}a)f(tL{H(t as−=−−

ทฤษฎีบทที่ 9.4.3 )}at(f{Le)}t(f)at(H{L as +=− −

ตัวอยางที่ 9.4.6 จงหา )}t(f{L เมื่อ f(t) ⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<<=

1t ,1

1t0 ,t

วิธีทาํ )1t)(1t(Ht)t(f +−−+=

)1t()1t(Ht −⋅−−=

)}1t()1t(H{L}t{L)}t(f{L −⋅−−=

}1)1t(L{eL{t} s1 −+−= ⋅−

t}(L{eL{t} s1⋅−−=

2s

2 s1e

s1 −−=

)e1(s1 s2

−−=


9-44

ตัวอยางที่ 9.4.7

จงหา )}t(f{L เมื่อ ⎪⎩

⎪⎨⎧

><<

<<=

5t ,t5t3 ,6

3t0 ,tcos)t(f

2

วิธีทาํ tcos)t(f =

)6)(3t(Htcos)3t(H −+−−2t)5t(H)6)(5t(H −+−−

)t6)(5t(H)6tcos)(3t(Htcos)t(f 2+−−++−−+=

)t6)(5t(H)6tcos)(3t(Htcos)t(f 2+−−++−−+=

)t6)(5t(H)6t)(cos3t(Htcos 2−−−−−−=

L{f(t)}

)}6tcos()3L{H(tt}cosL{ −⋅−−= )}t6()5t(H{L 2−⋅−−

})5(t6L{e}6)3(tcosL{et}cosL{ 2s5s3 +−−−+−= −−

}63sintsin3cost{cosLe}t{cosL s3 −−−= −

)}25t10t(6{Le 2s5 ++−− −

)s6

1s3sin

1s3coss(e

1ss

22s3

2 −+

−+

−+

= − )s25

s10

s2

s6(e 23

s5 −−−− −

s523

s3s322

e)s

19s10

s2(e

s6e

1s3sin3coss

1ss −−− ++++

+−−

+=



9-45

ตัวอยางที่ 9.4.8 จงหา }1s

e{Ls31

−

−− เมื่อ 1s

e)s(Fs3

−=

−

วิธีทาํ ให 1s

1)s(F−

= จะได t1 e)}s(F{L)t(f == −

)}s(Fe{L}1s

e{L s31s31 −−−− =−

)3t(f)3t(H −−=3te)3t(H −−=

⎩⎨⎧

><<

= − 3t ,e3t0 ,0

3t


π

− dt tcose t4

วิธีทาํ ∫∞

π

− dttcose t4 ∫∫∞

π

−π

− += dttcos)1(edttcos)0(e t4

0

t4

∫∫∞

π

−π

− π−+π−= dttcos)t(Hedttcos)t(He t4

0

t4

∫∞

− π−=0

t4 dttcos)t(He

4s)}tcos()t(H{L =π−=

4ss )}]t{cos(Le[ =

π− π+=

4ss )}]t{cos(Le[ =

π−−=

4s2s ]

1sse[ =

π−

+−= π−−= 4e

174


9-46

โจทยแบบฝกหัดเพิ่มเติ่ม จงหาผลการแปลงลาปลาซของ1. f(t) = (1 + t + 2t ) t4e

2. f(t) = t te sin t3. f(t) = t sin(4t)4. f(t) = sin(t)cos(2t)5. f(x) = t2e− cos(3t)6. f(t) = sin2(2t)

เฉลยดวยโปรแกรม Mathcad

t2 t+ 1+( ) e4 t⋅⋅ laplace t,2

s 4−( )31

s 4−( )2+

1s 4−( )

+→

t et⋅ sin t( )⋅ laplace t,2

s 1−( )2 1+⎡⎣ ⎤⎦2

s 1−( )⋅→

sin 4 t⋅( ) t⋅ laplace t,8

s2 16+( )2s⋅→

sin t( ) cos 2 t⋅( )⋅ laplace t,3

2 s2 9+( )⋅

1

2 s2 1+( )⋅−→

e 2− t⋅ cos 3 t⋅( )⋅ laplace t,s 2+( )

s 2+( )2 9+⎡⎣ ⎤⎦→

sin 2 t⋅( )( )2 laplace t,1

2 s⋅12

s

s2 16+( )⋅−→


9-47

โจทยแบบฝกหัดเพิ่มเติมจงหาผลการแปลงลาปลาซผกผันของ1. F(s) =

)1s(s1

4 +2. F(s) =

1ss

4 −

3. F(s) = 4s4s

1s2 +−

− 4. F(s) = 1s)2s(

4

2

−

−

5. F(s) = )4s)(1s(

122 −+

6. F(s) = 32 )1s(1+

เฉลยดวยโปรแกรม Mathcad

1

s4 s 1+( )⋅invlaplace s,

16

t3⋅12

t2⋅− t 1−+ exp t−( )+→

s

s4 1−invlaplace s,

14

exp t( )⋅14

exp t−( )⋅12

cos t( )⋅−+→

s 1−

s2 4 s⋅− 4+invlaplace s, t exp 2 t⋅( )⋅ exp 2 t⋅( )+→

s 2−( )2

s4 1−invlaplace s,

14

exp t( )⋅94

exp t−( )⋅− 2 cos t( )⋅32

sin t( )⋅−+→

1

s2 1+( ) s2 4−( )⋅invlaplace s,

120

exp 2 t⋅( )⋅120

exp 2− t⋅( )⋅−15

sin t( )⋅−→

1

s2 1+( )3invlaplace s,

1−8

t2⋅ sin t( )⋅38

t⋅ cos t( )⋅−38

sin t( )⋅+→


9-48

โจทยแบบฝกหัดเพิ่มเติ่มจงหาผลการแปลงลาปลาซและผลการแปลงผกผันของ1. L{t sin(4t)}(s)2. L{t te sin t cos t}(s)3. L{ 4t t4e }(s)

4. 1L− { 222

)4s(s+

}(t)

5. 1L− { 22 )4s(s−

}(t)

เฉลยดวยโปรแกรม MathematicaIn[10]:= LaplaceTransform@t∗Sin@4∗ tD, t, sDOut[10]=

8 sH16 + s2L2

In[18]:= LaplaceTransform@t∗Exp@tD∗ Cos@tD∗Sin@tD, t, sDOut[18]=

2 H−1 + sLH5 − 2 s + s2L2

In[19]:= LaplaceTransform@t^4∗ Exp@4∗tD, t, sDOut[19]=

24H−4 + sL5

In[22]:= InverseLaplaceTransform@Hs^2Lê HHs^2 + 4L^2L, s, tDOut[22]=

14 H2 t Cos@2 tD + Sin@2 tDL

In[24]:= InverseLaplaceTransform@sêHHs^ 2 − 4L^ 2L, s, tDOut[24]=

18 Ą−2 t H−1 + Ą4 tL t



9-49

โจทยแบบฝกหัดเพิ่มเติ่ม1. L{ 2t sint}(s) 2. L{tcos(2t)}(s)3. 1L− { 22 )9s(

1+

}(t) 4. 1L− {2s2s

1s2 ++

+ }(t)

เฉลยดวยโปรแกรม Maple> with(inttrans):> laplace((t^2)*sin(t), t, s);

2 ( )− + 1 3 s2

( ) + s2 13

> laplace(t*cos(2*t), t, s);− + 4 s2

( ) + s2 42

> invlaplace(1/(s^2+9)^2,s,t);

− 154

( )sin 3 t118

t ( )cos 3 t

> invlaplace((s+1)/(s^2+2*s+2),s,t);e

( )−t( )cos t

โจทยแบบฝกหัดเพิ่มเติ่ม1. L{ 2t + 2t te + sint}(s) 2. 1L− { 22 )2s2s(

1++

}(t)

เฉลยดวยโปรแกรม Matlab>> laplace(t^2 + 2*t*exp(t) +sin(t))ans = 2/s^3+2/(s-1)^2+1/(s^2+1)>> ilaplace(1/(s^2+2*s+2)^2)ans = -1/2*exp(-t)*t*cos(t)+1/2*exp(-t)*sin(t)


9-50

9.4.3 ฟงกชันแรงดลหนึ่งหนวย(unit impulse function or Dirac delta function)ฟงกชันทางคณิตศาสตรที่ใชแทนความหมายของแรงมหาศาลซึ่งกระทํากับวุตถุในเวลาสั้นๆ

แรงของลูกปนวิ่งชนเปาแรงขณะที่ตะปูถูกตีดวยฆอนลูกตุมปนจั่นที่ตอกเสาเข็ม

ให )t(f เปนแรงที่กระทําตอวัตถุในชวงเวลา ε+≤≤ 00 ttt

I เปน แรงดล (impulse) ของแรง f(t)

นิยามโดย I ∫ε+

=0t

0tdt )t(f

เราสนใจเฉพาะแรงที่ทําใหเกิดแรงดลที่มีขนาดหนึ่งหนวยในกรณีนี้ เราพิจารณาฟงกชัน

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε+∉ε+∈

ε=−δε ]t,t[t ,0]t,t[t ,1

)tt(00

000 เมื่อ ε มีคานอยๆ

ฟงกชัน )tt( 0−δε จะมีคาเปนคาคงตัวขนาดใหญมากบนชวงสั้นๆ ของ 0tt ≥ และ

I 1 1 dt1 dt )tt( 0t

0t

0t

0t0 =ε⋅

ε=

ε=−δ= ∫∫

ε+ε+

εε

ดังนั้น แรงขนาด )tt( 0−δε กอใหเกิดแรงดลขนาดหนึ่งหนวย


9-51

บทนิยามที่ 9.4.3 ฟงกชัน )tt( 0−δ

นิยามโดย )tt(lim)tt( 00 0 −δ=−δ ε→εเรียกวา ฟงกชันแรงดลหนึ่งหนวย(unit impulse function or Dirac delta function)


9-52

ทฤษฎีบท )t(fdt )tt()t(f 00 =−δ∫∞

∞−

ขอพิสูจน

เนื่องจาก ∫∫ε+∞

∞−ε

⋅=−δ0t

0t0 dt 1)t(f dt )tt()t(f

โดยกฎของคากลางสําหรับปริพันธจะไดวามี ξ ซึ่ง ε+≤ξ≤ 00 tt

และ

)(f )(f dt 1)t(f 0t

0tξ=

εξ

⋅ε=ε

⋅∫ε+

เมื่อ 0→ε จะได 0t→ξ

)t(fdt )tt()t(f 00 =−δ∫∞

∞−



9-53

ผลการแปลงลาปลาซของฟงกชันแรงดลหนึ่งหนวย )tt( 0−δs0t

0 e)}tL{δ{δ −=−

⎪⎩

⎪⎨⎧

ε+∉ε+∈

ε=−δε ]t,t[t ,0]t,t[t ,1

)tt(00

000

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ε+>

ε+<<ε

<<

=−δε

0

00

0

0tt0

ttt1tt00

)tt(

)t(t(H1)tt(H10)tt( 000 ε+−ε

−−ε

+=−δε

))}t(t(H)tt(H{1)tt( 000 ε+−−−ε

=−δε

เพราะฉะนั้น ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −

ε=−δ

ε+−−ε

s)0t(s0t0 ee

s1)}tt({L

se1e

ss0tε

−⋅=ε−−

เพราะฉะนั้น )}tt({Llim)}tt({L 00 0 −δ=−δ ε→ε

se1elim

ss0t

0 ε−⋅=

ε−−

→εใชหลักเกณฑโลปตาล (l’Hopital’s rule)เพราะฉะนั้น s

0

s0t0 elime)}tt({L ε−

→ε

−=−δ s0te−

=

แทนคา 0t0 = จะได1)}t({L =δ


9-54

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน)3t(y4y −δ=+′′ เมื่อ 1)0(y)0(y =′=

วิธีทาํ ให )}t(y{L)s(Y =

)}3t({L}y{L4}y{L −δ=+′′s32 e)s(Y4))0(y)0(sy)s(Ys( −=+′−−

แทนคา 1)0(y)0(y =′= จะได s32 e)s(Y4)1s)s(Ys( −=+−−

s32 e1s)s(Y)4s( −++=+

4se

4s1

4ss)s(Y

2

s3

22 ++

++

+=

−

เพราะฉะนั้น

}4s

e4s

14s

s{L)t(y2

s3

221

++

++

+=

−−

)3t(2sin)3t(H21t2sin

21t2cos −−++=


9-55

9.5 ทฤษฎีบทสังวัตนาการ (Convolution Theorem)

บทนิยามที่ 9.5.1 ให )t(f และ )t(g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องเปนชวงบนชวง ]T,0[ ใดๆ และเปนอันดับเลขชี้กําลังสังวัตนาการ (convolution) ของ )t(f และ )t(g

เขียนแทนดวย )t(g*)t(f หรือ )t)(g*f(

นิยามโดย ∫ −=t

0du )ut(g)u(f )t(g*)t(f

ขอสังเกต f*gg*f =

ทฤษฎีบทที่ 9.5.1 ทฤษฎีบทสังวัตนาการให )t(f และ )t(g เปนฟงกชันที่มีความตอเนื่องเปนชวงบนชวง ]T,0[ ใดๆ และเปนอันดับเลขชี้กําลังถา )s(F)}t(f{L = และ )s(G)}t(g{L =

แลว )s(G)s(F)}t)(g*f{(L =

หมายเหตุ กรณีพิเศษเมื่อ 1g ≡ จะได )s(Fs1dx )x(f L

t

0=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧∫

ทฤษฎีบท )t(g*)t(f)}s(G)s(F{L 1 =−


9-56

ตัวอยางที่ 9.5.1 จงหาสังวัตนาการของ te และ tsin

วิธีทาํ แบบที่ 1. ∫ −=t

0

ut du )utsin(e tsin*e

∫ −+−=t

0

ut0

u du )utcos(e )]utsin(e[

∫ −−−+−=t

0

ut0

u du )utsin(e )]utcos(e[tsin

tsin*etcosetsin tt −−+−= )tcostsine(

21tsin*e tt −−=

แบบที่ 2. ให ∫ −==t

0

ut du)utsin(etsin*u)t(f

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−= ∫t

0

u du )utsin(e L)}t(f{L

}tsin*e{L t=

t}sinL{}L{et ⋅=

1s1

1s1

2 +⋅

−=

เพราะฉะนั้น ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−= −

)1s)(1s(1L)t(f

21

}1s

s1s

11s

1{L21

221

+−

+−

−= −

)tcostsine(21 t −−=



9-57

ตัวอยาง จงหา ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

)3(ss1L 2

1

วิธีทาํ เพราะวา t}s1{L2

1 =− และ t31 e}3s1{ =−

−L

เพราะฉะนั้นt3

21 t*e

)3(ss1L =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

∫ −=t

0

u)(t3 du ue

∫ −=t

0

u3t3 duuee

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= ∫ −−

t

0

u3t0

u3t3dueue3

e

t

0

u3u3t3

3eue3

e⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

−−

)1t3e(31 t32 −−=

)1t3e(91 t3 −−=


9-58

ตัวอยาง จงหา ⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

)3(ss1L 2

1

3sC

sB

sA

)3(ss1

22 −++=

−

)3(ssCs)3s(B)3s(As

2

2

−

+−+−=

2Cs)3s(B)3s(As1 +−+−=

s = 0 ; 31B −=

s = 3 ; 91C =

ส.ป.ส. 2x ; A + C = 0

91A −=

}3s91

s31

s91

{L})3(ss

1{L 21

21

−+

−+

−=

−−−

}3s91

{L}s

31

{L}s91

{L 12

11−

+−

+−

= −−−

t3e91t3

191 +−−=

)1t3e(91 t3 −−=


9-59


⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−

)as(s1L

21

วิธีทาํ เพราะวา t}s1{L2

1 =− และ at1 e}as

1{L =−

−

เพราะฉะนั้นat

21 e*t

)as(s1 =

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−L

∫ −=t

0

)ut(a duue

∫ −=t

0

auat du ue e

[ ]⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= ∫ −−

t

0

aut0

auatdu e ue

ae

t

0

auauat

aeue

ae

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

−−

)1ate(a1 at2

−−=


9-60


⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−

221

)4s(s2L

วิธีทาํ 22 )4s(s2

+ แยกเปนผลบวกของเศษสวนยอยไมได

แบบที่ 1. ใชทฤษฎีผลประสานทฤษฎีบทสังวัตนาการ (Convolution Theorem)เพราะวา t2cos}

4ss{L

21 =

+−

และ t2sin}4s

2{L2

1 =+

−

เพราะฉะนั้น )}4s

2)(4s

s{(L)4(s

s2L 221

221

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−

}4s

2{}*L4s

s{L 21

21

++= −−

t2sin*t2cos=

∫ −=t

0dx )xt(2sinx2cos

∫ −=t

0dx }t2cosx2sinx2cost2{sinx2cos

∫∫ −=t

0

t

0

2 dx x2sinx2cos t2cosdx )x2(cos t2sin

∫∫ −+=t

0

t

0dx x4sin

2t2cosdx )x4cos1(

2t2sin



9-61

[ ] [ ]t

0

t

0 4x4cos

2t2cos

4x4sinx

2t2sin ++=

t2cos81t4cost2cos

81t4sint2sin

81t2sint

21 −++=

t2cos81)t2t4cos(

81t2sint

21 −−+=

t2sint21=

แบบที่ 2. เพราะวาตัวหาร 22 )4s(s2

+ เปนกําลังสอง

คาดวาจะมาจากการหาอนุพันธของ 4s

12 +

เพราะวา 2222

2 )4s(s2)s2()4s)(1()

4s1(ds

d+

−=+−=+

−

เพราะฉะนั้น )4s

1(dsd

)4s(s2

222 +−=

+

)}4s

1(dsd{L}

)4s(s2{L 2

122

1+

−=+

−−

))}4s

2(21(ds

d{L 21

+−= −

))}4s

2((dsd{L2

12

1+

−= −

t2sint21=

ใชสูตร )s)}(t(f{Ldsd)}t(tf{L −=

)t(tf)}s)}(t(f{Ldsd{L 1 =−−


9-62

9.6 การหาผลเฉลยโดยใชผลการแปลงลาปลาซ


9-63

ตัวอยาง 0x5x2x =+′+′′ เมื่อ 2)0(x = , 4)0(x −=′

วิธีทาํ 1. แทนคา }x{L)s(X =

2. หาผลการแปลงลาปลาซของทุกพจนเปลี่ยนสมการในเทอมของ x เปนสมการในเทอมของ X, sเพราะฉะนั้น 0}x5x2x{L =+′+′′

0}x{L5}x{L2}x{L =+′+′′

0)s(X5)}0(x)s(sX{2)}0(x)0(sx)s(Xs{ 2 =+−+′−−แทนคา 2)0(x = และ 4)0(x −=′ จะได

0)s(X5}2)s(sX{2}4s2)s(Xs{ 2 =+−++−3. จัดรูปหา X(s)

0s2)s(X}5s2s{ 2 =−++

5s2s

s2)s(X 2 ++=

22 2)1s(s2

++=

2222 2)1s(2

2)1s(

)1s(2 ++

−++

+=

4. หา x(t) จากผลการแปลงผกผัน )}s(X{L)t(x 1−=

}2)1s(

22)1s(

)1s(2 {L)t(x 22221

++−

++

+= −

}2)1s(

2{L}2)1s(

)1s(2{L 221

221

++−

++

+= −−

)t2sint2cos2(e t −= −


9-64

ตัวอยางที่ 9.6.3 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตนt2cosy4y =+′′ โดยที่ 1)0(y = และ 6)0(y −=′

วิธีทาํ1. สมมติ )s(Y)}t(y{L =

2. แปลงสมการL{y ′′ } + 4 L{y} = L{ t2cos }

4s

s)s(Y4)}0(y)0(sy)s(Ys{2

2

+=+′−−

แทนคา 1)0(y = และ 6)0(y −=′ จะได

4ss6s)s(Y)4s(

22

+=+−+

3. จัดรูปหา Y(s)เพราะฉะนั้น

4s6

4ss

)4s(s)s(Y

2222 +−

++

+=

4s

234s

s)4s

2(dsd)1(

41

222 +−

++

+−=

}t2sin3t2cost2sint41{L −+=

4. แปลงกลับ )}s(Y{L)t(y 1−=

เพราะฉะนั้น t2sin3t2cost2sint41)t(y −+=



9-65

ตัวอยางที่ 9.6.4 จงหาผลเฉลยของขอปญหาคาเริ่มตน

0)0(y ; 1t,0

1t0,1y2dt

dy =⎪⎩

⎪⎨⎧

>

<<=−

วิธีทาํ )1t(H)t(Hy2y −−=−′

1. ให )s(Y = L{ )t(y }2. )}1t(H)t(H{L}y2y{L −−=−′

s1e

s1)s(Y2)]0(y)s(sY[ s1 ⋅−=−− ⋅−

s1e

s1)s(Y)2s( s ⋅−=− −

3. )2s(s

1e)2s(s

1)s(Y s−

⋅−−

= −

)s1

2s1(

2e)

s1

2s1(

21 s

−−

−−−

=−

4. )}s(Y{L)t(y 1−=

)}s1

2s1(2

e)s1

2s1(2

1{Ls1 −

−−−

−=

−−

( )}s1e{L}2s

1e{L}s1{L}2s

1{L21 s1s111 −−−−−− +

−−−

−=

( )}s1e{L}2s

1e{L}s1{L}2s

1{L21 s1s111 −−−−−− +

−−−

−=

( ))1t(He)1t(H1e21 )1t(2t2 −−−−−= −

( ))1t(He)1t(H)t(He21 )1t(2t2 −−−−−= −

}1e){1t(H21)}t(He{2

1 )1t(2t2 −−−−= −


9-66

ตัวอยางที่ 9.6.5 จงหาผลเฉลยของสมการ )t(fy4y =+′′

เมื่อ ⎩⎨⎧

≥<≤= 1t ,t

1t0 ,1)t(f และ 1)0(y)0(y =′=

วิธีทาํ ⎩⎨⎧

≥<≤= 1t ,t

1t0 ,1)t(f

)1t(tH)1t(H1 −+−−=

)1t(H)1t(1 −−+=1. ให )}t(y{L)s(Y =

2. แปลงสมการ )}t(f{L}y4y{L =+′′

)}1t(H)1t{(L}1{L}y{L4}y{L −−+=+′′

2

s2

se

s1)s(Y4)}0(y)0(sy)s(Ys{

−+=+′−−

แทนคา 1)0(y)0(y =′=

3. หาสูตร Y(s)

2

s2

se

s11s)s(Y)4s(

−+=−−+

1sse

s1)s(Y)4s( 2

s2 +++=+−

4s1

4ss

)4s(se

)4s(s1)s(Y

2222

s

2 ++

++

++

+=

−


9-67

4s1

4ss

)4s(se

)4s(s1)s(Y

2222

s

2 ++

++

++

+=

−

เพราะวา )4s

ss1(

41

)4s(s1

22 +−=

+

และ )4s

1s1(

41

)4s(s1

2222 +−=

+เพราะฉะนั้น

)4s

221

s1(e

41

4s2

21

4ss

43

s1

41)s(Y

22s

22 +−+

++

++= −

4. แปลงกลับ )}s(Y{L)t(y 1−=

}4s

2{L21}

4ss{L4

3}s1{L4

12

12

11+

++

+= −−−

)}4s

221

s1(e{L4

122

s1+

−+ −−

)]1t(2sin21)1t)[(1t(H

41t2sin

21t2cos

43

41 −−−−+++=

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−−−+++

<≤++=

1t )],1t(2sin21)1t[(

41t2sin

21t2cos

43

41

1t0 ,t2sin21t2cos

43

41

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−+++

<≤++=

1t ,t2sin)2cos81

21(t2cos)2sin

81

43(t

41

1t0 ,t2sin21t2cos

43

41


9-68

ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของปญหาคาเริ่มตน)3t(y4y −δ=+′′ เมื่อ 1)0(y)0(y =′=

วิธีทาํ1. ให )}t(y{L)s(Y =

2. แปลงสมการ)}3t({L}y{L4}y{L −δ=+′′

s32 e)s(Y4)}0(y)0(sy)s(Ys{ −=+′−−แทนคา 1)0(y)0(y =′=

3. หาสูตร Y(s)

4se

4s1

4ss)s(Y

2

s3

22 ++

++

+=

−

4. แปลงกลับ

}4s

e4s

14s

s{L)t(y2

s3

221

++

++

+=

−−

)3t(2sin)3t(H21t2sin

21t2cos −−++=



9-69

ตัวอยางที่ 9.6.6 จงหาผลเฉลยของสมการ tey8y2y =−′+′′

เมื่อกําหนดให 1)0(y = และ 4)0(y =′

วิธี1. ให )s(Y)}t(y{L =

2. แปลงสมการ }e{L}y8{L}y{L2}y{L t=−′+′′

1s

1)s(Y8)}0(y)s(sY{2)}0(y)0(sy)s(Ys{ 2−

=−−+′−−

แทนคา 1)0(y = และ 4)0(y =′

3. หาสูตร Y(s) 6s

1s1)s(Y)8s2s( 2 ++−

=−+

)8s2s)(1s(5s5s)s(Y

2

2

−+−−+=

)4s(10

3)2s(2

3)1s(5

1+

−−

+−

−=

4. แปลงกลับ})4s(10

3)2s(2

3)1s(5

1{L)t(y 1+

−−

+−

−= −

}4s

1{L103}

2s1{L

23}

1s1{L

51)t(y 111

+−

−+

−−= −−−

t4t2t e103e

23e

51 −−+−=


9-70

9.7 การหาผลเฉลยระบบสมการเชิงอนุพันธโดยใชผลการแปลงลาปลาซตัวอยางที่ 9.7.1 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ

0y5x)D2D( 2 =++

0y)2D(Dx =−−เมื่อ 0)0(x ,0)0(x =′= และ 1)0(y =

วิธีทาํขั้นที่ 1. ให )}t(x{L)s(X = และ )}t(y{L)s(Y =

ขั้นที่ 2. หาผลการแปลงลาปลาซของระบบสมการจากสมการ 0y5x)D2D( 2 =++

0}y5x)D2D{(L 2 =++

0}y{L5}Dx{L2}xD{L 2 =++

0)s(Y5)0(x2)s(sX2)0(x)0(sx)s(Xs2 =+−+′−− 0)s(Y5)s(X)2s(s =++ ...(*)

จากสมการ 0y)2D(Dx =−−

0}y)2D(Dx{L =−−

0}y{L2}Dy{L}Dx{L =+−

0)s(Y2)0(y)s(sY)0(x)s(sX =++−− 1)s(Y)2s()s(sX −=−− ..(**)


9-71

ขั้นที่ 3. หา )s(X และ )s(Y จากระบบสมการ 0)s(Y5)s(X)2s(s =++ ........(*) 1)s(Y)2s()s(sX −=−− .....(**)

โดยกฎของแครมเมอร

)2s(s

5)2s(s

)2s(150

)s(X

−−+

−−−=

s5)2s)(2s(s5

−−+−=

)1s(s

52 +

−= 1s

s5s5 2 +

+−=

และ )2s(s

5)2s(s

1s0)2s(s

)s(Y

−−+

−+

=

)1s(s

)2s(s2 +−

+−=

1s2

1ss

22 ++

+=

ขั้นที่ 4. หา x(t) และ y(t) โดยผลการแปลงลาปลาซผกผัน tcos55}

1ss{L5}

s1{L5)}s(X{L)t(x

2111 +−=

++−== −−−

)}s(Y{L)t(y 1−=

tsin2tcos}1s

1{L2}1s

s{L 21

21 +=

++

+= −−


9-72

ตัวอยางที่ 9.7.2 จงหาผลเฉลยของระบบสมการเชิงอนุพันธ tsiny)2D(x)1D( =++−

tcos Dyx)1D( =++ เมื่อ 0)0(x = , 21)0(y −=

วิธีทาํ ขั้นที่ 1. ให )}t(x{L)s(X = และ )}t(y{L)s(Y =

ขั้นที่ 2. หาผลการแปลงลาปลาซของระบบสมการ tsiny)2D(x)1D( =++−

}t{sinL}y)2D(x)1D{(L =++−

}t{sinL}y{L2}Dy{L}x{L}Dx{L =++−

1s1)s(Y2)0(y)s(sY)s(X)0(x)s(sX

2 +=+−+−−

21

1s1)s(Y)2s()s(X)1s( 2 −+

=++−

)1s(2

1s)s(Y)2s()s(X)1s( 22

+−−=++− ...(*)

จากสมการ tcos Dyx)1D( =++

}t{cosL }Dyx)1D{(L =++

}t{cosL}Dy{L}x{L}Dx{L =++

1s

s)0(y)s(sY)s(X)0(x)s(sX2 +

=−++−

21

1ss)s(sY)s(X)1s( 2 −+

=++

)1s(21s2s)s(sY)s(X)1s( 2

2

++−−=++ ......(**)



9-73

ขั้นที่ 3. หา )s(X และ )s(Y จากระบบสมการ

)1s(21s)s(Y)2s()s(X)1s( 2

2

+−−=++− .....(*)

)1s(21s2s)s(sY)s(X)1s( 2

2

++−−=++ ...(**)

โดยกฎของแครมเมอร s1s

2s1s

s

)1s(21s2s

2s)1s(2

1s

)s(X2

2

22

++−

++−−

++

−−

=

)]1s)(2s()1s(s)[1s(2

)1s2s)(2s()ss(2

23

++−−+

+−++−−=

)1s)(1s2(21s

2 ++−=

1s1

101

1ss

103

21s

1103

22 ++

++

+−=

ขั้นที่ 4. หา x(t) โดยผลการแปลงลาปลาซผกผัน)}s(X{L)t(x 1−=

}1s

1{L101}

1ss{L

103}

21s

1{L103

21

211

++

++

+−= −−−

)tsintcos3(101e

103 2

t++−=

−


9-74

s1s2s1s

)1s(21s2s1s

)1s(21s1s

)s(Y2

2

22

++−

++−−+

+−−−

=

)]1s)(2s()1s(s)[1s(2

)1s)(1s()1s2s)(1s(2

22

++−−+

−+++−−−=

)1s)(1s2(ss2

2

++−−=

1ss

51

1s1

53

21s

1103

22 +−

++

+−=

ขั้นที่ 4. หา x(t) และ y(t) โดยผลการแปลงลาปลาซผกผัน)}s(X{L)t(x 1−=

}1s

1{L101}

1ss{L

103}

21s

1{L103

21

211

++

++

+−= −−−

)tsintcos3(101e

103 2

t++−=

−

)}s(Y{L)t(y 1−=

}1s

s{L51}

1s1{L

53}

21s

1{L103

21

211

+−

++

+−= −−−

)tcostsin3(51e

103 2

t−+−=

−


9-75

ตารางผลการแปลงลาปลาซ)t(f )s(F

1s1

K ,3 ,2 ,1n ,t n = 1ns!n+

1x ,t x −>1xs

)1x(++Γ

ate as1−

btsin 22 bsb+

btcos 22 bss+

btsinh 22 bsb−

btcosh 22 bss−

btsint 222 )bs(sb2

+

btcost222

22

)bs(bs

+−

1. ∫ −=t

0du )ut(g)u(f )t(g*)t(f

2 ถา )s(F)}t(f{L = และ )s(G)}t(g{L =

แลว )s(G)s(F)}t)(g*f{(L =


9-76

ตารางผลการแปลงลาปลาซ)t(f )s(F

)t(feat )as(F −

)t(ft n)s(F

dsd)1(

n

nn−

t)t(f

∫∞

sdr )r(F

∫t

0dx )x(f s

)s(F

)at(H − ases1 −

)at(H)at(f −− )s(Fe as−

)at( −δ ase−

)t(f ′ )0(f)s(sF −

)t(f ′′ )0(f)0(sf)s(Fs2 ′−−


Documents

9-1 9 9-2 9 บทที่ 9 9.1 (Laplace Transform) …pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301312/file_sheet_2555_2nd/...บทที่ 9 การแปลงลาปลาซ