บทที 5 ่ อินทิกรลตามเสั น้pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_05_1in1.pdf · บทที่ 5 อินทิกรลตามเสั

บทท 5 อนทกรลตามเสน

2301207 Calculus III 2561/1st

5 - 1

บทท 5

อนทกรลตามเสน

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา

ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร

คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย




5 - 2

5.1 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง

บทนยาม 5.1.1 ให f, g, h เปนฟงกชนคาจรง

บนชวง I = [a, b]

ฟงกชนซงกาหนดโดย r (t) = (f(t), g(t))

เรยกวา ฟงกชนคาเวกเตอร จากชวง I ไปยง 2R

ฟงกชนซงกาหนดโดย r(t) = (f(t), g(t), h(t))

เรยกวา ฟงกชนคาเวกเตอร จากชวง I ไปยง 3R

ตวอยาง r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 1



5 - 3

ตวอยาง r(t) = (1 + 2t, 2 - 3t, 3 + 6t) เมอ 0 t 1

ตวอยาง r(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมอ 0 t 2



5 - 4

ในกรณทวไป เมอ 1x , 2x , ... , nx เปนฟงกชนคาจรง

บนชวง I = [a, b] ฟงกชนซงกาหนดโดย

r(t) = ( 1x (t), 2x (t), ... , nx (t))

เรยกวา ฟงกชนคาเวกเตอร จากชวง I ไปยง nR

เสนโคงในปรภมสองมต และ ปรภมสามมต

ในปรภมสองมต กาหนด ฟงกชนคาเวกเตอร

r(t) = (x(t), y(t)) เมอ a t b

กราฟของความสมพนธ

C = {(x(t), y(t)) (x(t), y(t)) = r(t), a t b}

เรยกวา กราฟของการเคลอนท

r(t) = (x(t), y(t)) เมอ a t b

ในปรภมสามมต กาหนด ฟงกชนคาเวกเตอร

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) เมอ a t b

กราฟของความสมพนธ

C = {(x(t), y(t), z(t)) (x(t), y(t), z(t)) = r(t), a t b}

เรยกวา กราฟของการเคลอนท

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) เมอ a t b

r(a) เรยกวา จดเรมตน r

(b) เรยกวา จดสนสด



5 - 5

กราฟของการเคลอนท r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 4

คอ

โดยม จดเรมตน A(0, 0) และ จดสนสด B(4, 16)

กราฟของการเคลอนท r(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t)

เมอ 0 t 5 คอ

โดยมจดเรมตนท A(1, 2, 4) และ จดสนสดท B(6, 7, 14)

รปท 5.1.1

รปท 5.1.2



5 - 6

กราฟของการเคลอนท r(t) = (2 cos t, 2 sin t)

เมอ 0 t 2 คอ

โดยมจดเรมตน A(2, 0) และ จดสนสด B(2, 0)

และเปนการเคลอนททวนเขมนาฬกา

รปท 5.1.3



5 - 7

ขอตกลง

1. กราฟของการเคลอนท r(t) เรยกวา เสนโคง วถ

หรอ รอยทางเดนของการเคลอนท

ใชสญลกษณแทนกราฟของการเคลอนท r(t) ดวย C

2. สาหรบ การเคลอนท r(t) เมอ a t b

r(a) เรยกวา จดเรมตน r

(a) และ r

(b) เรยกวา จดสนสด

3. ถา r ตอเนองบน [a, b]

แลว r เปน วถตอเนอง (continous curve)

ถา วถ r มสมบตวา ทกคา 1t , 2t (a, b) และ 1t 2t

จะได 1r( 1t ) 2r

( 2t )

แลว r เปน วถเชงเดยว

4. ถา r ตอเนองบน [a, b] และ r

ตอเนองบน (a, b)

แลว r เปน วถเรยบ (smooth curve)

5. ถา r เปนวถตอเนองและเราสามารถแบง [a, b]

ออกเปนชวงยอยดวยจด 0t , 1t , ... , nt

โดยท a = 0t 1t 2t ... nt = b

และ r เปนวถเรยบบนแตละชวงยอย [ 1it , it ]

แลว r เปน วถเรยบเปนชวง ๆ (piecewise smooth curve)

6. กราฟของวถตอเนอง เรยกวา เสนโคงตอเนอง

กราฟของวถเรยบ เรยกวา เสนโคงเรยบ



5 - 8

7. กราฟของวถเรยบเปนชวงๆ

เรยกวา เสนโคงเรยบเปนชวงๆ

8. เสนโคง C ซงกาหนดดวยวถเชงเดยว r

เรยกวา เสนโคงเชงเดยว (simple curve)

9. ถา วถ r(t) บนชวง [a, b] มสมบต r

(a) = r

(b)

แลว r เปน วถปด

เพราะฉะนน วถปดคอ

วถซงมจดเรมตนและจดสนสดเปนจดเดยวกน

10. เสนโคง C ซงกาหนดดวยวถปด r เรยกวา เสนโคงปด

11. ถา วถ r เปน วถปด และ เปนวถเชงเดยว

แลว r เปน วถปดเชงเดยว

เพราะฉะนน วถปดเชงเดยวคอ

วถซงตดกนทจดเดยวเทานนคอจดปลายทงสอง

ตวอยาง

1C : r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 4

เปนเสนโคงเชงเดยว และ เปนเสนโคงเรยบ

2C : r(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t)

เมอ 0 t 5 เปนเสนโคงเรยบ

3C : r(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมอ 0 t 2

เปนเสนโคงปดเชงเดยว



5 - 9

4C : r(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมอ 0 t 4 เปนเสนโคงปด

เพราะวา r(0) = (2, 0) = r

(2)

เพราะฉะนน 4C ไมเปนเสนโคงเชงเดยว

12. เมอ C : r(t) บนชวง [a, b] จะได เสนโคง rC หรอ -C

คอเสนโคงทมจดเรมตนทจด r(b) เคลอนยอนกลบ

เสนโคง C จนมาถงจด r(a)

เพราะฉะนน -C เปนเสนโคงของวถ *r

ทนยามสตรโดย

*r

(t) = r(b + a - t) เมอ a t b

13. 1C : 1 r

(t) บนชวง [ 0t , 1t ]

2C : 2 r

(t) บนชวง [ 1t , 2t ]

:

iC : i r

(t) บนชวง [ 11t , it ]

:

nC : nr

(t) บนชวง [ 1nt , nt ]

โดยท 1 r

( 1t ) = 2 r

( 1t ), 2r

( 2t ) = 3r

( 2t ),

... , i r

( it ) = 1i r

( it ), ... , 1nr

( 1nt ) = nr

( 1 nt )

เสนโคง C = 1C + 2C + ... + nC

หรอในบางครงแทนดวย C = 1C 2C ... nC

คอ เสนโคง C ของวถ r(t) บนชวง [ 0t , nt ]

ทกาหนดโดย r

(t) = ir

(t) เมอ t [ 1it , it ]



5 - 10

ความยาวของสวนโคงของเสนโคง

ให r เปนวถเรยบ บนชวง (a, b)

และ C เปนเสนโคงซงกาหนดดวยวถ r

A = r(a) เปนจดเรมตน และ B = r

(b) เปนจดสนสด

ให L(a, b) แทนความยาวของสวนโคงจาก A ถง B

รปท 5.1.4

ให P = { 0t , 1t , 2t , ... , nt } เปนผลแบงกนของชวง [a, b]

เพราะฉะนน P แบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงยอย

ดวยจด 0t , 1t , 2t , ... , nt

โดยท a = 0t 1t 2t ... nt = b

และ kt = kt - 1kt ทก k = 1, 2, ... , n

ให kP มพกดเปน r( kt ) เมอ k = 0, 1, ... , n

เปนจดบนเสนโคง C

รปท 5.1.5



5 - 11

สาหรบ k = 1, 2, ... , n จะได

รปท 5.1.6

ความยาวสวนโคง C

n

1 k

ความยาวของสวนเสนตรง 1kP kP

ความยาวของสวนเสนตรง 1kP kP = k1k PP = kOP - 1kOP = r

( kt ) - r

( 1kt )

= 1kk

1kktt

)t(r)t(r

( kt - 1kt )

r ( *

kt ) ( kt - 1kt ) เมอ *kt [ 1kt , kt ]

เพราะฉะนน L(a, b)

n

1k

r ( *

kt ) ( kt - 1kt )

เมอ n มคาเพมขนอยางไมมขดจากด (n )

และ kt มคาเขาใกล 0 ทกคา k = 1, 2, ... , n

เราจะได ความยาวของสวนโคง C มคาเทากบ

n

lim

n

1 k

r ( *

kt ) ( kt - 1kt )



5 - 12

เพราะวา r ตอเนองบน (a, b)

เพราะฉะนน r (t) ตอเนองบน (a, b)

และ

n

lim

n

1 k

r ( *

kt ) ( kt - 1kt ) =

b t

at

r (t) dt

เพราะฉะนน L(a, b) =

b t

at

r (t) dt

ในทานองเดยวกน เมอ t [a, b]

และ C(t) เปนสวนของเสนโคง C ทมจดเรมตน A( r(a))

และ จดสนสด r(t)

ให S(t) = L(a, t)

= ความยาวของสวนโคง C(t)

เพราะฉะนน S(t) = t

a

r (u) du



5 - 13

ตวอยาง 5.1.1 จงหาความยาวของเสนโคง

1. 1C : r(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t) เมอ 0 t 5

2. 2C : r(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมอ 0 t 2

3. 3C : r(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) เมอ 0 t 2

วธทา 1. 1C : r(t) = (1 + t, 2 + t, 4 + 2t) เมอ 0 t 5

จะได r (t) = (1, 1, 2)

r (t) = 6

ความยาวของเสนโคง 1C = 5

0

r (t) dt =

5

0

6 dt = 5 6

2. 2C : r(t) = (2 cos t, 2 sin t) เมอ 0 t 2

จะได r (t) = (-2 sin t, 2 cos t)

r (t) = tcos4tsin4 22 = 2


0

r (t) dt =

2

0

2 dt = 4

3. 3C : r(t) = (4 cos t, 4 sin t, 3t) เมอ 0 t 2

จะได r (t) = (-4 sin t, 4 cos t, 3)

r (t) = 9tcos16tsin16 22 = 5


0

r (t) dt =

2

0

5 dt = 10



5 - 14

อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง

กาหนด C เปนเสนโคงซงกาหนดโดยฟงกชนคาเวกเตอร

r(t) เมอ a t b

ให r เปนวถเรยบ หรอ วถเรยบเปนชวงๆ

S เปนฟงกชนความยาวของเสนโคง

กาหนดโดย S(t) = t

a

r (u) du เมอ t [a, b]

ให f เปนฟงกชนคาจรง

ซงมโดเมนครอบคลมทกจดบนเสนโคง C

ให { it i = 0, 1, 2, ... , n} เปนผลแบงกนของ [a, b]

โดยท a = 0t 1t 2t ... nt = b

เลอก *it [ 1it , it ]

ถา n

lim

n

1 i

f( r( *

it ))(S( it ) - S( 1it )) มคา

แลว n

lim

n

1 i

f( r( *

it ))(S( it ) - S( 1it ))

เรยกวา อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง f บน C

และใชสญลกษณแทนดวย

C

f หรอ C

f dS หรอ r

f หรอ r

f dS



5 - 15

เพราะฉะนน C

f dS = n

lim

n

1i

f( r( *

it ))(S( it ) - S( 1it ))

= n

lim

n

1 i

f( r( *

it ))(1ii

1iitt

)t(S)t(S

)( it - 1it )

n

lim

n

1 i

f( r( *

it )) r ( *

it ) ( it - 1it )

= b

a

f( r(t)) r

(t) dt

หมายเหต

1. ถา f = 1 บน C แลว C

f dS = b

a

r (t) dt

ซงคอความยาวของเสนโคง C บนชวง [a, b]

2. ถา f เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนครอบคลมทกจดบน

1C และ 2C

แลว 2C 1C

f dS = 1C

f dS + 2C

f dS

3. ให 1f , 2f , ... , nf เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนครอบคลม

ทกจดบนเสนโคง C จะได

C

( 1k 1f + 2k 2f + ... + nk nf ) dS

= 1k C

1f dS + 2k C

2f dS + ... + nk C

nf dS



5 - 16

4. f เปนฟงกชนคาจรงซงมโดเมนครอบคลมทกจดบน

C : r(t) บนชวง [a, b]

จะได C

f dS

=

b t

a t

*r (t) dt เมอ

*r

(t) = r(b + a - t) เมอ a t b

=

b t

a t

r (b + a - t) dt

=

a u

b u

r (u) d(b + a - u) เมอ u = b + a - t

= -

a u

b u

r (u) du

= b

a

r (u) du

= C

f dS



5 - 17

ตวอยาง 5.1.2 กาหนดเสนโคง

C : r(t) = (4 cos t, 4 sin t) เมอ t [0, 2]

จงหาคาของ C

22 yx dS

วธทา f(x, y) = 22 yx

จาก r(t) = (4 cos t, 4 sin t)

จะได r (t) = (-4 sin t, 4 cos t)

r (t) = tcos16tsin16 22 = 4

C

f dS = 2

0

f( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

f(4 cos t, 4 sin t) (4) dt

= 2

0

tsin16tcos16 22 4 dt

= 2

0

16 dt

= 32



5 - 18

การคานวณโดยโปรแกรม GeoGebra



5 - 19

ตวอยาง 5.1.3 กาหนดเสนโคง

C : r(t) = (5 cos t, 5 sin t, 12t) เมอ t [0, ]


( 2x + 2y + 2z ) dS

วธทา f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z

จาก r(t) = (5 cos t, 5 sin t, 12t)

จะได r (t) = (-5 sin t, 5 cos t, 12)

และ r (t) = 144tcos25tsin25 22

= 14425

= 13

C

f dS =

0

f( r(t)) r

(t) dt

=

0

f(5 cos t, 5 sin t, 12t) 13 dt

= 13

0

(25 tcos2 + 25 tsin2 + 144 2t ) dt

= 13

0

(25 + 144 2t ) dt

= 13 [ 25t + 48 3t ] 0t t

= 13(25 + 48 3 )



5 - 20




5 - 21

ตวอยาง 5.1.4 กาแพงของโรงงานมฐานอยบนระนาบ XY

โดยทฐานของกาแพงอยบนแนวเสนพาราโบลา y = 4 - 2x

จากจด (0, 4) ถง (2, 0)

ทจด (x, y) บนแนวฐานของกาแพงมความสงของกาแพง

มความสงเทากบ x จงหาพนทผวของกาแพง

(สมมตกาแพงไมมความหนา และ คดพนทผวเพยงดานเดยว)

วธทา

รปท 5.1.7

เสนโคงพาราโบลา y = 4 - 2x จากจด (0, 4) ถง (2, 0)

มกราฟดงรปท 5.1.7

ให C เปนเสนโคงของฐานกาแพง มวถ

r(t) = (t, 4 - 2t ) เมอ 0 t 2

ทจด (x, y) บนเสนโคง C มคาความสงเทากบ x



5 - 22

เพราะฉะนนเรากาหนดให f(x, y) = x

r(t) = (t, 4 - 2t )

r (t) = (1, -2t)

และ r (t) = 2t41

C

f dS = 2

0

f( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

f(t, 4 - 2t ) 2t41 dt

= 2

0

t 2t41 dt

= [ 121 (1 + 4 2t ) 2

3 ]

0t 2t

= 121 (17 17 - 1)



5 - 23




5 - 24

วถทสมมลกน

เสนโคงในปรภมสองมต และ ปรภมสามมต

วถ 1 r

และ 2 r

ทตางกน อาจมกราฟเปนเสนโคงเดยวกน

ตวอยางเชน 1r

(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 1

2r

(t) = ( 2t , 4t ) เมอ 0 t 1

1 r

และ 2 r

มกราฟเปนสวนหนงของพาราโบลา y = 2x

จดเรมตน (0, 0) จดสนสด (1, 1) เหมอนกน

บทนยาม

วถ 1 r

และ 2 r

ทตางกน แตมกราฟเปนเสนโคงเดยวกน

เรยกวา วถทสมมลกน



5 - 25

บทนยาม 5.1.1 1 r

เปนวถตอเนองบนชวงปด [a, b]

และ u : [c, d] [a, b] เปนฟงกชนทวถงซงมอนพนธ

และ u 0 บนชวง [c, d]

2 r

เปนวถทกาหนดโดย 2r

(t) = 1r

(u(t)) บนชวง [c, d]

จะได 1 r

และ 2 r

เปน วถทสมมลกน

ให 1C เปนเสนโคงกาหนดโดย 1r

และ 2C เปนเสนโคงกาหนดโดย 2r

ถา u(t) 0 บนชวง [c, d]

แลว กราฟของ 1C และ 2C มทศทางเดยวกน

ถา u(t) 0 บนชวง [c, d]

แลว กราฟของ 1C และ 2C มทศทางตรงกนขาม



5 - 26

ตวอยาง

1 r

(t) = (cos t, sin t, t) เมอ 0 t 2

2 r

(t) = (cos(2 - t), sin(2 - t), 2 - t) เมอ 0 t 2

ม u(t) = 2 - t จะได 2 r

(t) = 1r

(u(t))

เพราะฉะนน 1 r

และ 2 r

เปนวถทสมมลกน



5 - 27

ตวอยาง 1C : 1 r

(t) = (t, t) เมอ 0 t 1

2C : 2 r

(t) = (t - 1, t - 1) เมอ 1 t 2

กราฟ 1C และ 2C เปนสวนเสนตรงระหวาง

จด (0, 0) และ (1, 1)

เพราะวาม u(t) = t - 1

และ 1 r

(u(t)) = (t - 1, t - 1) = 2r

(t)


และ 2 r


เพราะวา u(t) = 1 0 บนชวง [1, 2]

เพราะฉะนน 1C และ 2C มทศทางเดยวกน

ตวอยาง 1C : 1 r

(t) = (cos t, sin t) เมอ 0 t 2

2C : 2 r

(t) = (sin t, cos t) เมอ -2

3 t 2

กราฟ 1C และ 2C เปนวงกลมมจดศนยกลางทจด (0, 0)

และมรศมเทากบ 1

เพราะวา ม u(t) = 2 - t

และ 1 r

(u(t)) = (cos(2 - t), sin(

2 - t))

= (sin t, cos t)

= 2 r

(t)


และ 2 r


เพราะวา u(t) = -1 0 บนชวง [-2

3 , 2 ]

เพราะฉะนน 1C และ 2C มทศทางตรงกนขาม



5 - 28

ตวอยาง 5.1.5 กาหนดให

1 r

เปนวถเชงเดยวและเปนวถตอเนองบนชวงปด [a, b]

และ 2r

เปนวถเชงเดยวและเปนวถตอเนองบนชวงปด [c, d]

และ 1 r

, 2 r


จงแสดงวา 1 r

f dS = 2 r

f dS

วธทา 1r เปนวถตอเนองบนชวงปด [a, b]

u : [c, d] [a, b] ซงมอนพนธ และ u 0 บนชวง [c, d]

2 r

(t) = 1 r


กรณท 1. 1 r

และ 2 r

เปนวถทสมมลกนและมทศทางเดยวกน

เพราะฉะนน u(t) 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = a, u(d) = b

2 r

f dS =

d t

ct

f( 2 r

(t)) 2r (t) dt

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) u(t) dt

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) u(t) dt

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) u(t) dt

(เพราะวา u(t) 0 บนชวง [c, d])



5 - 29

แทนคา w = u(t) บนชวง [c, d]

เพราะฉะนน dw = u(t) dt และ

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1 r (u(t)) u(t) dt

=

u(d) w

u(c) w

f( 1r

(w)) 1r (w) dw

=

b w

a w

f( 1 r

(w)) 1 r (w) dw

= 1 r

f dS


f dS = 1 r

f dS

กรณท 2. 1 r

และ 2 r

เปนวถทสมมลกนและมทศทางตรงกนขาม

เพราะฉะนน u(t) 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = b, u(d) = a

2 r

f dS =

d t

ct

f( 2 r

(t)) 2r (t) dt

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) u(t) dt

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) u(t) dt



5 - 30

=

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1r (u(t)) (-u(t)) dt

(เพราะวา u(t) 0 บนชวง [c, d])


เพราะฉะนน dw = u(t) dt และ

d t

c t

f( 1 r

(u(t))) 1 r (u(t)) (-u(t)) dt

= -

u(d) w

u(c) w

f( 1 r

(w)) 1r (w) dw

= -

a w

b w

f( 1 r

(w)) 1r (w) dw

=

b w

a w

f( 1 r

(w)) 1 r (w) dw

= 1 r

f dS

เพราะฉะนน 2r

f dS = 1r

f dS



5 - 31

ประโยชนของอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาจรง

กาหนดให วตถมรปทรงเปนเสนโคง C ซงกาหนดโดย r(t)

f(x, y, z) เปนฟงกชนความหนาแนน

(มวล ตอ ความยาวหนงหนวย) ทจด (x, y, z) ใด ๆ

จะได

1. มวลของ C คอ M = C

f dS

2. นาหนกของ C คอ W = C

g f dS

เมอ g เปนแรงโนมถวงหรอแรงดงดดของโลก

3. โมเมนตของ C รอบระนาบ XY คอ xyM = C

z f dS

โมเมนตของ C รอบระนาบ XZ คอ xzM = C

y f dS

โมเมนตของ C รอบระนาบ YZ คอ yzM = C

x f dS

4. โมเมนตของความเฉอยของ C รอบแกน X คอ

xI = C

( 2y + 2z ) f dS

โมเมนตของความเฉอยของ C รอบแกน Y คอ

yI = C

( 2x + 2z ) f dS

โมเมนตของความเฉอยของ C รอบแกน Z คอ

zI = C

( 2x + 2y ) f dS



5 - 32

5. พกดของจดศนยถวงของ C คอ (x , y, z)

เมอ x = M

Myz, y =

MMxz และ z =

M

Mxy

6. โมเมนตของความเฉอยของ C รอบเสนตรง L คอ

LI = C

2d f dS

เมอ d เปนระยะจากจด (x, y, z) ไปยงเสนตรง L

ตวอยาง 5.1.6 กาหนดลวดมรปรางเปนเสนโคง

C : r(t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t) เมอ t [0, 2]

ถาฟงกชนความหนาแนนของลวดเสนนคอ

f(x, y, z) = z 22 yx จงหามวลของลวดเสนน

วธทา จาก r(t) = (3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t)

จะได r (t) = (-6 sin 2t, 6 cos 2t, 8)

r (t) = 64t2cos36t2sin36 22 = 10

มวลของเสนลวดคอ C

f dS = 2

0

f( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

f(3 cos 2t, 3 sin 2t, 8t) 10 dt

= 2

0

8t t2cos9t2sin9 22 10 dt = 2

0

8t(3)10 dt

= 2

0

240t dt = 480 2



5 - 33

ตวอยาง 5.1.7 ลวดเสนหนงมรปรางเปนเสนโคง

C : r(t) = (2t, 3t, 6t) เมอ t [0, 1]

ถาฟงกชนความหนาแนนของเสนลวดคอ

f(x, y, z) = xy + yz + zx จงหา

1. มวลของลวด

2. โมเมนตของเสนลวดรอบระนาบ XY, XZ, YZ

3. จดศนยถวงของลวด

วธทา จาก r(t) = (2t, 3t, 6t)

จะได r (t) = (2, 3, 6)

และ r (t) = 222 632 = 7

f( r(t)) = f(2t, 3t, 6t)

= (2t)(3t) + (3t)(6t) + (6t)(2t)

= 36 2t

มวลของเสนลวดเทากบ

C

f dS = 1

0

f( r(t)) r

(t) dt

= 1

0

(36 2t )(7) dt

= 252 [ 3t3

] 0 t 1 t

= 84



5 - 34

โมเมนตของ C รอบระนาบ XY คอ xyM = C

z f dS

= 1

0

(6t) f( r(t)) r (t) dt

= 1

0

(6t)(252 2t ) dt

= 1512 1

0

3t dt

= 378

โมเมนตของ C รอบระนาบ XZ คอ

xzM = C

y f dS

= 1

0

(3t) f( r(t)) r

(t) dt

= 1

0

(3t)(252 2t ) dt

= 756 1

0

3t dt

= 189



5 - 35

โมเมนตของ C รอบระนาบ YZ คอ

yzM = C

x f dS

= 1

0

(2t) f( r(t)) r

(t) dt

= 1

0

(2t)(252 2t ) dt

= 504 1

0

3t dt

= 126

เพราะวา x = M

Myz =

84126

y = M

Mxz = 84

189

z = M

Mxy =

84378

เพราะฉะนน พกดของจดศนยถวงของ C คอ (84

126 , 84

189 , 84378 )



5 - 36

5.2 อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร

ให r(t) เมอ a t b เปนวถเรยบหรอวถเรยบเปนชวง ๆ

และ r เปนวถเชงเดยว

C เปนกราฟของ r ดงรปท 5.2.1

F เปนฟงกชนคาเวกเตอร และเปนฟงกชนตอเนองบน C

และมพสยเปนสบเซตของ nR

รปท 5.2.1

ให P = { 0t , 1t , 2t , ... , nt } เปนผลแบงกนของชวง [a, b]

เพราะฉะนน P แบงชวง [a, b] ออกเปน n ชวงยอย

ดวยจด 0t , 1t , 2t , ... , nt

โดยท a = 0t 1t 2t ... nt = b

และ kt = kt - 1kt ทก k = 1, 2, ... , n

ให kP มพกดเปน r( kt )

เมอ k = 0, 1, ... , n เปนจดบนเสนโคง C

เพราะฉะนน kP = r( kt )

เปนจดบนเสนโคง C ทก k = 0, 1, 2, ... , n ดงรปท 5.2.2



5 - 37

รปท 5.2.2

ถา n

lim

n

1 k

(F( r( *

kt )) r ( *

kt ))( kt - 1kt ) มคา

แลว n

lim

n

1 k

(F( r( *

kt )) r ( *

kt ))( kt - 1kt )

เรยกวา

อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร F บนเสนโคง C

หรอ อนทกรลตามเสนของ F บนวถ r

ใชสญลกษณแทนดวย C

F d r

หรอ

r

F d r

หรอ B

A

F d r

เมอ A = r

(a) และ B = r

(b)

การหาคาของ C

F d r

สามารถทาไดดงน

C

F d r

=

b

a

F( r(t)) r

(t) dt



5 - 38

ตวอยาง 5.2.1 กาหนดให F(x, y) = ( 2x , xy)

และ C : r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 1


F d r

วธทา

รปท 5.2.3

C

F d r

=

1

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 1

0

F(t, 2t ) (1, 2t) dt

= 1

0

( 2t , 3t ) (1, 2t) dt

= 1

0

( 2t + 2 4t ) dt

= [ 3t3

+ 5t2 5

] 0t 1t

= 31 +

52

= 1511



5 - 39

ตวอยาง 5.2.2 กาหนดให F(x, y, z) = (xy, yz, zx)

และ C : r(t) = (t, 3t, 2t) เมอ 0 t 1


F d r

วธทา

รปท 5.2.4

C

F d r

=

1

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 1

0

F(t, 3t, 2t) (1, 3, 2) dt

= 1

0

((t)(3t), (3t)(2t), (2t)(t)) (1, 3, 2) dt

= 1

0

(3 2t , 6 2t , 2 2t ) (1, 3, 2) dt

= 1

0

(3 2t + 18 2t + 4 2t ) dt

= 1

0

25 2t dt

= [ 3t25 3

] 0 t 1 t

= 325



5 - 40

งาน

การหางานทไดจากแรง F ในการเคลอนวตถจากจด r

(a)

ไปยงจด r(b) ตามเสนโคง C : r

(t) เมอ a t b

และ C เปนวถเรยบหรอวถเรยบเปนชวง ๆ

และ r เปนวถเชงเดยว

ในทานองเดยวกนกบการหาคาอนทกรลตามเสน

ของฟงกชนคาเวกเตอรขางตน

รปท 5.2.5

ในชวงเวลา [ 1kt , kt ]

ระยะทางของการเคลอนทจาก 1kP ไปยง kP ตามสวนโคง C

= r( kt ) - r

( 1kt )

= 1kk

1kktt

)t(r)t(r

( kt - 1kt )

r ( *

kt ) ( kt - 1kt ) เมอ *kt [ 1kt , kt ]



5 - 41

r( *

kt ) เปนจดบนเสนโคงในชวงเวลา [ 1kt , kt ]

F( r( *

kt )) เปนคาของฟงกชนคาเวกเตอรทจด r( *

kt )

ku เปนเวกเตอรหนวยสมผสเสนโคง C ทจด r( *

kt )

k เปนมมท F( r( *

kt )) ทากบเวกเตอร ku

Proj(F( r( *

kt ))) เปนภาพฉายเวกเตอร F( r( *

kt ))

บนเวกเตอร ku

เพราะฉะนน Proj(F( r( *

kt ))) = ภาพฉายสเกลาร F

( r( *

kt )) บนเวกเตอร ku

= ||u||

u))t(r(F

k

k*k

= (F( r( *

kt ))) ku = (F

( r( *

kt ))) ku cos( k )

= (F( r( *

kt ))) (1) cos( k )

= (F( r( *

kt ))) cos( k )

เพราะฉะนน งานในชวงเวลา [ 1kt , kt ]

= ขนาดของแรง ระยะทาง ( เปนการคณของตวเลข)

ขนาดของแรงในทศทางของการเคลอนท

(ระยะจาก r( 1kt ) ไปยง r

( kt ))

= ขนาดของแรงในทศทางของการเคลอนท

( r( kt ) - r

( 1kt ) )



5 - 42

= ขนาดของแรงในทศทางของการเคลอนท

( 1kk

1kktt

)t(r)t(r

( kt - 1kt ))

ขนาดของแรงในทศทางของการเคลอนท

( r ( *

kt ) ( kt - 1kt )) เมอ *kt [ 1kt , kt ]

= (ภาพฉายสเกลาร F( r( *

kt )) บนเวกเตอร ku )

( r ( *

kt ) ( kt - 1kt ))

= Proj(F( r( *

kt ))) ( r ( *

kt ) ( kt - 1kt ))

= (F( r( *

kt ))) cos( k ) ( r ( *

kt ) ( kt - 1kt ))

= ( (F( r( *

kt ))) r ( *

kt ) cos( k ))( kt - 1kt ))

= (F( r( *

kt )) r ( *

kt )) ( kt - 1kt ))

เพราะฉะนน

งานทงหมด

n

1 k

(F( r( *

kt )) r ( *

kt ))( kt - 1kt )

เมอ n มคาเพมขนอยางไมมขดจากด (n )

และ kt มคาเขาใกล 0 ทกคา k = 1, 2, ... , n จะได

งานทงหมด = n

lim

n

1 k

(F( r( *

kt )) r ( *

kt ))( kt - 1kt )

ในกรณทลมตลเขาจะได งานทงหมด = C

F d r



5 - 43

ตวอยาง 5.2.3 จงหางานซงเกดจากการเคลอนวตถ

ตามเสนโคง C : r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 2

ดวยแรง F(x, y) = (2x 3y , 3 2x 2y )

วธทา

รปท 5.2.6

งาน = C

F d r

= 2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

F(t, 2t ) ((t), ( 2t )) dt

= 2

0

(2 7t , 3 6t ) (1, 2t) dt

= 2

0

(2 7t + 6 7t ) dt

= 2

0

8 7t dt = [ 8t ] 0t2t

= 256



5 - 44

ตวอยาง 5.2.4 จงหางานซงเกดจากการเคลอนวตถดวยแรง

F(x, y, z) = ( 2x , 2y , 2z ) ไปตามเสนโคง C

ซงกาหนดดวยวถ r(t) = (cos t, sin t, t)

โดยเคลอนทจากจด (1, 0, 0) ไปยงจด (1, 0, 2)

วธทา r(t) = (cos t, sin t, t)

เพราะวา จดเรมตน r(0) = (1, 0, 0)

และ จดสนสด r(2) = (1, 0, 2)

เพราะฉะนน ชวงเวลาของการเคลอนทคอ [0, 2]

รปท 5.2.7



5 - 45

เพราะฉะนน งาน = C

F d r

= 2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

F(cos t, sin t, t) ((cos t), (sin t), (t))) dt

= 2

0

( 2cos t, 2sin t, 2t ) (-sin t, cos t, 1) dt

= 2

0

(- 2cos t sin t + tsin2 cos t + 2t ) dt

= 2

0

(- 2cos t sin t) dt + 2

0

( tsin2 cos t) dt + 2

0

2t dt

= 2

0

2cos t d(cos t) + 2

0

tsin2 d(sin t) + 2

0

2t dt

= [ 3

tcos3 ]

0t2t

+ [

3tsin3 ]

0t2t

+ [

3t3

] 0t2t

= (31 -

31) + (0 - 0) + (

38 3 - 0)

= 3

8 3



5 - 46

การหาคาโดยโปรแกรม GeoGebra



5 - 47

สมบตของอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร

1. F และ G

เปนฟงกชนคาเวกเตอร และ C : r

(t)

เมอ a t b จะได

C

( 1k F + 2k G

) d r

= 1k

C

F d r

+ 2k

C

G

d r

2. 1C และ 2C เปนเสนโคง

จะได 2C 1C

F d r

=

1C

F d r

+

2C

F d r

3. 1 r

และ 2 r


3.1 ถา 1r

และ 2 r

มทศทางเดยวกน

แลว 1 r

F d 1r

=

2r

F d 2r

3.2 ถา 1r

และ 2r

มทศทางตรงกนขาม

แลว 1 r

F d 1r

= -

2r

F d 2r

บทพสจน 1 r

เปนวถตอเนองบนชวง [a, b]

u : [c, d] [a, b] ซงมอนพนธ

และ u 0 บนชวง [c, d]

และ 2 r

(t) = 1 r




5 - 48

3.1 1 r

และ 2r

มทศทางเดยวกน

เพราะฉะนน u(t) 0 บนชวง [c, d]

และ u(c) = a, u(d) = b

2

r

F d 2 r

=

d t

c t

F( 2r

(t)) 2r (t) dt

=

d t

c t

F( 1 r

(u(t))) ( 1r (u(t)) u(t)) dt

=

d t

c t

(F( 1 r

(u(t))) 1r (u(t))) u(t) dt


เพราะฉะนน dw = u(t) dt และจะได

d t

c t

(F( 1 r

(u(t))) 1 r (u(t))) u(t) dt

=

u(d) w

u(c) w

F( 1 r

(w)) 1r (w) dw

=

b w

a w

F( 1 r

(w)) 1 r (w) dw

= 1 r

F d 1 r


F d 1 r

=

2r

F d 2r



5 - 49

3.2 1 r

และ 2r

มทศทางตรงกนขาม

เพราะฉะนน u(t) 0 บนชวง [c, d] และ u(c) = b, u(d) = a

2

r

F d 2 r

=

d t

c t

F( 2r

(t)) 2r (t) dt

=

d t

c t

F( 1 r

(u(t))) ( 1r (u(t)) u(t)) dt

=

d t

c t

(F( 1 r

(u(t))) 1r (u(t))) u(t) dt


เพราะฉะนน dw = u(t) dt และจะได

d t

c t

(F( 1 r

(u(t))) 1 r (u(t))) u(t) dt

=

u(d) w

u(c) w

F( 1 r

(w)) 1r (w) dw

=

a w

b w

F( 1 r

(w)) 1 r (w) dw

= -

b w

a w

F( 1r

(w)) 1r (w) dw

= - 1 r

F d 1 r


F d 1 r

= -

2r

F d 2r



5 - 50

รปแบบอน ๆ ของอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร

ในปรภมสองมต

C : r(t) = (x(t), y(t))

เมอ x(t), y(t) เปนฟงกชนคาจรงบนชวง [a, b]

F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

เมอ P(x, y) ,Q(x, y) เปนฟงกชนคาจรงนยามบน C

C

F d r

=

b

a

F( r(t)) r

(t) dt

= b

a

F((x(t), y(t))) ((x(t), y(t))) dt

= b

a

(P(x(t), y(t)), Q(x(t), y(t))) ((x(t), y(t))) dt

= b

a

(P(x(t), y(t)) x(t) + Q(x(t), y(t)) y(t)) dt

= b

a

P(x(t), y(t)) x(t) dt + b

a

Q(x(t), y(t)) y(t) dt

= b

a

P(x(t), y(t)) d x(t) + b

a

Q(x(t), y(t)) d y(t)

= C

P(x(t), y(t)) d x(t) + C




5 - 51

หมายเหต เราแทนสญลกษณ

C

P(x(t), y(t)) d x(t) + C


ดวย C

P dx + Q dy

เมอ C

P dx = b

a

P(x(t), y(t))dt

)t(dx dt

และ C

Q dy = b

a

Q(x(t), y(t))dt

)t(dy dt

ในปรภมสามมต

C : r(t) = (x(t), y(t), z(t))

เมอ x(t), y(t), z(t) เปนฟงกชนคาจรงบนชวง [a, b]

F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

เมอ P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

เปนฟงกชนคาจรงนยามบน C

C

F d r

=

b

a

F( r(t)) r

(t) dt



5 - 52

C

F d r

=

b

a

F( r(t)) r

(t) dt

= b

a

F((x(t), y(t), z(t))) ((x(t), y(t), z(t))) dt

= b

a

(P(x(t), y(t), z(t)), Q(x(t), y(t), z(t))

, R(x(t), y(t), z(t))) ((x(t), y(t), z(t))) dt

= b

a

(P(x(t), y(t), z(t)) x(t) + Q(x(t), y(t), z(t)) y(t)

+ R(x(t), y(t), z(t)) z(t)) dt

= b

a

P(x(t), y(t), z(t)) x(t) dt + b

a

Q(x(t), y(t), z(t)) y(t) dt

+ b

a

R(x(t), y(t), z(t)) z(t) dt

= b

a

P(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + b

a

Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ b

a

R(x(t), y(t), z(t)) d z(t)

= C

P(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + C

Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ C

R(x(t), y(t), z(t)) d z(t)



5 - 53

ขอตกลง เราแทนสญลกษณ

C

P(x(t), y(t), z(t)) d x(t) + C

Q(x(t), y(t), z(t)) d y(t)

+ C

R(x(t), y(t), z(t)) d z(t)

ดวย C

P dx + Q dy + R dz

เมอ C

P dx = b

a

P(x(t), y(t), z(t))dt

)t(dx dt

C

Q dy = b

a

Q(x(t), y(t), z(t))dt

)t(dy dt

และ C

R dz = b

a

R(x(t), y(t), z(t))dt

)t(dz dt

ในทานองเดยวกน

ถา r = ( 1x , 2x , ... , nx )

เมอ ix เปนฟงกชนคาจรง บนชวง [a, b]

โดยท i = 1, 2, ... , n

และ F = ( 1f , 2f , ... , nf )

เมอ if เปนฟงกชนคาจรงนยามบนเสนโคง C

โดยท i = 1, 2, ... , n

จะได C

F d r

=

C1f d 1x +

C2f d 2x + ... +

Cnf d nx



5 - 54

ตวอยาง 5.2.5 จงหาคาอนทกรลตามเสน

iC

2x 2y dx - 2xy dy โดยท i = 1, 2 เมอกาหนด

1. 1C : r(t) = (t, 4t) เมอ 0 t 1

2. 2C เปนสวนของพาราโบลา y = 4 2x เมอ 0 x 1

วธทา 1. 1C : r(t) = (t, 4t) เมอ 0 t 1

1C เปนเสนตรง

จากจด (0, 0)

ถงจด (1, 4)

เพราะวา r(t) = (t, 4t)

เพราะฉะนน x(t) = t, y(t) = 4t และ dtdx = 1,

dtdy

= 4

1C

2x 2y dx - 2xy dy

= 1

0

( 2t )(16 2t ) d(t) - 1

0

2(t)(4t) d(4t)

= 1

0

( 2t )(16 2t ) dt - 1

0

2(t)(4t) 4 dt

= 16 1

0

4t dt - 32 1

0

2t dt

= 16 [ 5t5

]0 t 1 t

- 32 [

3t3

]0t 1t

= 16(

51 ) - 32(

31) = -

15112

รปท 5.2.8



5 - 55


2C

2x 2y dx - 2xy dy

= 2C

2x (16 4x ) dx - 2x(4 2x ) d(4 2x )

= 2C

(16 6x ) dx - 8 3x (8x) dx

= 1

0

(16 6x - 64 4x ) dx = [ 7x16 7

- 5x64 5

] 0 x 1 x

= 7

16 - 5

64 = -35

368


การคานวณคา 1C

2x 2y dx - 2xy dy ในพจนของตวแปร x

1C : r(t) = (t, 4t) เมอ 0 t 1

คอเสนตรง y = 4x เมอ 0 x 1

1C

2x 2y dx - 2xy dy =

1 x

0x

( 2x )(16 2x ) dx - 2x(4x) d(4x)

=

1 x

0 x

16 4x dx - 32 2x dx

= 16

1 x

0 x

4x dx - 32

1 x

0x

2x dx

= 16(51 ) - 32(

31)

= -15

112



5 - 56


2x 2y dx - 2xy dy ในพจนของตวแปร t

2C เปนสวนของพาราโบลา y = 4 2x เมอ 0 x 1

มวถ r(t) = (t, 4 2t ) เมอ 0 t 1

2C

2x 2y dx - 2xy dy

= 2C

( 2t (16 4t )) dt - 2t(4 2t ) d(4 2t )

= 2C

(16 6t ) dt - 8 3t (8t) dt

= 1

0

(16 6t - 64 4t ) dt

= [ 7t16 7

- 5t64 5

]0t 1t

= 7

16 - 5

64

= -35

368

ขอสงเกต 1. การหาคา iC

2x 2y dx - 2xy dy

เราสามารถคานวณโดยใชตวแปรเสรม t, x หรอ y กได

2. 1C และ 2C เปนเสนโคงทมจดเรมตนทจด (0, 0)

และ จดสนสดทจด (1, 4) เหมอนกน แตคาของ

1C

2x 2y dx - 2xy dy 2C

2x 2y dx - 2xy dy



5 - 57


iC

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยท i = 1, 2 เมอกาหนด

1. 1C : r(t) = (t, 6t) เมอ 0 t 2


วธทา

รปท 5.2.9

1. 1C : r(t) = (t, 6t) เมอ 0 t 2

เพราะวา r(t) = (t, 6t)

เพราะฉะนน x(t) = t, y(t) = 6t

1C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= 2

0

(4t + 36 2t ) d(t) + 2

0

(2t(6t) + 3) d(6t)

= 2

0

(4t + 36 2t )(1) dt + 2

0

(12 2t + 3)(6) dt



5 - 58

= 2

0

(4t + 36 2t ) dt + 2

0

(72 2t + 18) dt

= [ 2 2t + 12 3t ] 0t 2t

+ [ 24 3t + 18t ]

0 t 2 t

= (8 + 96) + (192 + 36)

= 332


2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= 2C

(4x + 9 4x ) dx + (2x(3 2x ) + 3) d(3 2x )

= 2C

(4x + 9 4x ) dx + (6 3x + 3)(6x) dx

= 2C

(4x + 9 4x ) dx + (36 4x + 18x) dx

= 2

0

(4x + 9 4x + 36 4x + 18x) dx

= 2

0

(22x + 45 4x ) dx

= [ 11 2x + 9 5x ] 0x 2x

= 44 + 288

= 332



5 - 59



(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยพจารณาในพจนของตวแปร x

เสนโคง 1C : r(t) = (t, 6t) เมอ 0 t 2

คอเสนตรง y = 6x เมอ 0 x 2

1C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= 1C

(4x + 36 2x ) dx + (2x(6x) + 3) d(6x)

= 1C

(4x + 36 2x ) dx + (12 2x + 3) 6 dx

= 1C

(4x + 36 2x ) dx + (72 2x + 18) dx

= 2

0

(18 + 4x + 108 2x ) dx

= [ 18x + 2 2x + 36 3x ] 0x 2x

= 36 + 8 + 288

= 332



5 - 60


(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

โดยพจารณาในพจนของตวแปร t

เสนโคง 2C : y = 3 2x เมอ 0 x 2

คอเสนโคงทมวถเปน r(t) = (t, 3 2t ) เมอ 0 t 2

2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= 2C

(4t + 9 4t ) dt + (2t(3 2t ) + 3) d(3 2t )

= 2C

(4t + 9 4t ) dt + (6 3t + 3)(6t) dt

= 2C

(4t + 9 4t ) dt + (36 4t + 18t) dt

= 2

0

(4t + 9 4t + 36 4t + 18t) dt

= 2

0

(22t + 45 4t ) dt

= [ 11 2t + 9 5t ] 0t 2t

= 44 + 288 = 332

ขอสงเกต 1C และ 2C เปนเสนโคงทตางกน

แตคาของ 1C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy

= 2C

(4x + 2y ) dx + (2xy + 3) dy



5 - 61


iC

2y dx + 2x dy + 3 dz

โดยท i = 1, 2 เมอกาหนด

1. 1C : 1 r

(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมอ 0 t 2

2. 2C เปนสวนของเสนตรง

จากจด (2, 0, 0) ไปยงจด (2, 0, 2)

วธทา

รปท 5.2.10

1. 1C : 1 r

(t) = (2 cos t, 2 sin t, t) เมอ 0 t 2

1C


= 1C

2(2 sin t) d(2 cos t) + 2(2 cos t) d(2 sin t) + 3 d(t)

= 1C

4 sin t(-2 sin t) dt + 4 cos t(2 cos t) dt + 3 dt

= 1C

-8 2sin t dt + 8 2cos t dt + 3 dt



5 - 62

= 1C

(8( 2cos t - 2sin t) + 3) dt

= 1C

(8 cos 2t + 3) dt

= 2

0

(8 cos 2t + 3) dt

= [ 4 sin 2t + 3t ] 0t 2t

= 6

2. 2C เปนสวนของเสนตรง

จากจด (2, 0, 0) ไปยงจด (2, 0, 2)

เพราะฉะนน 2C มวถเปน 2r

(t) = (2, 0, t) เมอ 0 t 2

2C


= 2C

2(0) d(2) + 2(2) d(0) + 3 d(t)

= 2C

3 dt

= 2

0

3 dt = [ 3t ] 0t 2t

= 6

ขอสงเกต 1C

2y dx + 2x dy + 3 dz = 2C


แตการคานวณคาบนเสนโคง 2C ทาไดงายกวาการคานวณบน

เสนโคง 1C



5 - 63


iC

2x dx + 2z dy + dz โดยท i = 1, 2 เมอกาหนด

1. 1C : 1 r

(t) = (t, 2t , 4t ) เมอ 0 t 1

2. 2C : 2 r

(t) = (t, t, t) เมอ 0 t 1

วธทา

รปท 5.2.11

1. 1C : 1 r

(t) = (t, 2t , 4t ) เมอ 0 t 1

1C

2x dx + 2z dy + dz

= 1C

( 2t ) d(t) + 2 4t d( 2t ) + d( 4t )

= 1C

2t dt + 2 4t (2t dt) + 4 3t dt

= 1C

( 2t + 4 5t + 4 3t ) dt

= 1

0

( 2t + 4 5t + 4 3t ) dt = [ 3t3

+ 6t4 6

+ 4t ] 0 t 1 t

= 2



5 - 64

2. 2C : 2 r

(t) = (t, t, t) เมอ 0 t 1

2C

2x dx + 2z dy + dz

= 2C

( 2t ) d(t) + 2t d(t) + d(t)

= 2C

( 2t + 2t + 1) dt

= 1

0

( 2t + 2t + 1) dt

= [ 3t3

+ 2t + t ] 0 t 1 t

= 37

ขอสงเกต 1C และ 2C เปนเสนโคงทม

จดเรมตน (0, 0, 0) และ จดสนสด (1, 1, 1) เหมอนกน

แตคาของ 1C

2x dx + 2z dy + dz 2C

2x dx + 2z dy + dz



5 - 65

5.3 อนทกรลตามเสนเปนอสระจากวถ

อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร F บนเสนโคง 1C และ

2C ทมจดเรมตนจดเดยวกน และมจดสนสดจดเดยวกน

อาจมคา 1C

F d r

,

2C

F d r

เทากน หรอ ไมเทากน เชน

จากตวอยาง 5.2.6 1C

F d 1r

=

2C

F d 2r


F d 1r

=

2C

F d 2r


F d 1r

2C

F d 2r


F d 1r

2C

F d 2r

ในหวขอ 5.3 น เราจงศกษาเกยวกบเงอนไขตาง ๆ ททาให

อนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร F

จากจดเรมตน A ไปยงจดสนสด B มคาเทากน

โดยไมขนกบวถจาก A ไป B

ผลจากอนทกรลตามเสนของฟงกชนคาเวกเตอร F

จากจดเรมตน A ไปยงจดสนสด B มคาเทากน

โดยไมขนกบวถจาก A ไป B

จะทาใหเราสามารถเลอกวถทคานวณคาอนทกรลไดงาย

มาชวยในการหาคา C

F d r



5 - 66

ตวอยาง 5.3.1 จงหาคาของอนทกรลตามเสนของฟงกชน

F(x, y) = (2y, x) จากจด A(0, 0) ไปยงจด B(2, 4)

ตามเสนโคง iC เมอ i = 1, 2, 3 ทกาหนดตอไปน

1. 1C : r(t) = (t, 2t) เมอ 0 t 2

2. 2C : r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 2

3. 3C : r(t) = (

4t3

, 2t) เมอ 0 t 2

วธทา

รปท 5.3.1

1. 1C : r(t) = (t, 2t) เมอ 0 t 2

1C

F d r

=

2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

F(t, 2t) ((t), (2t)) dt

= 2

0

(4t, t) (1, 2) dt = 2

0

(4t + 2t) dt

= 2

0

6t dt = [ 3 2t ] 0t2t

= 12



5 - 67

2. 2C : r(t) = (t, 2t ) เมอ 0 t 2

2C

F d r

=

2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

F(t, 2t ) ((t), ( 2t )) dt

= 2

0

(2 2t , t) (1, 2t) dt

= 2

0

4 2t dt = [ 3t4 3

]0t 2t

=

332

3. 3C : r(t) = (

4t3

, t) เมอ 0 t 2

3C

F d r

=

2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

F(

4t3

, t) ((4t3

), (t)) dt

= 2

0

(4t, 4t3

) (4t3 2

, 1) dt = 2

0

(3 3t + 2t3

) dt

= 2

02t7 3

dt = [ 8t7 4

]0 t 2 t

= 14

ขอสงเกต จากตวอยางนจะเหนวา C

F d r

บนเสนโคงทง 3 เสนมคาตางกน



5 - 68

ตวอยาง 5.3.2 จงหาคาของอนทกรลตามเสนของฟงกชน

F(x, y) = ( 2y + 3 2x , 2xy)

จากจด A(-1, 0) ไปยงจด B(1, 0)

ตามเสนโคง iC เมอ i = 1, 2, 3 ทกาหนดตอไปน

1. 1C : r(t) = (t, 0) เมอ -1 t 1

2. 2C : r(t) = (-cos t, sin t) เมอ 0 t

3. 3C : r(t) = (t, 2( 2t - 1)) เมอ -1 t 1

วธทา

รปท 5.3.2

1. 1C : r(t) = (t, 0) เมอ -1 t 1

1C

F d r

=

1

1

F( r(t)) r

(t) dt

=

1

1

F(t, 0) ((t), (0)) dt

=

1

1

(3 2t , 0) (1, 0) dt =

1

1

3 2t dt

= [ 3t ] 1 t

1 t

= 2



5 - 69

2. 2C : r(t) = (-cos t, sin t) เมอ 0 t

2C

F d r

=

0

F( r(t)) r

(t) dt

=

0

F(-cos t, sin t) ((-cos t), (sin t)) dt

=

0

( 2sin t + 3 2cos t, -2 cos t sin t) (sin t, cos t) dt

=

0

( 3sin t + 3 2cos t sin t - 2 2cos t sin t) dt

=

0

sin t ( 2sin t + 3 2cos t - 2 2cos t) dt

=

0

sin t ( 2sin t + 2cos t) dt

=

0

sin t dt

= [ -cos t ] 0 t t

= -(-1 - 1)

= 2



5 - 70

3. 3C : r(t) = (t, 2( 2t - 1)) เมอ -1 t 1

3C

F d r

=

1

1

F( r(t)) r

(t) dt

=

1

1

F(t, 2( 2t - 1)) ((t), (2( 2t - 1))) dt

=

1

1

((2( 2t - 1))2 + 3 2t , 2t(2( 2t - 1))) (1, 4t) dt

=

1

1

(4 4t - 5 2t + 4, 4 3t - 4t) (1, 4t) dt

=

1

1

(4 4t - 5 2t + 4)(1) + (4 3t - 4t)(4t) dt

=

1

1

(4 4t - 5 2t + 4 + 16 4t - 16 2t ) dt

=

1

1

(20 4t - 21 2t + 4) dt = [ 4 5t - 7 3t + 4t ] 1t

1t

= (4 - 7 + 4) - (-4 + 7 - 4) = 2

ขอสงเกต จากตวอยางนจะเหนวา C

F d r

บนเสนโคงทง 3

เสนมคาเทากน ในกรณทเราร วาคาของ C

F d r

เปนคาท

เทากนบนทกเสนโคง C เรากควรจะเลอกเสนโคง 1C มาชวยใน

การคานวณคา C

F d r

ซงคานวณไดงายกวา



5 - 71

เนอหาทเราจะศกษาตอไปคอ

มเงอนไขอะไรบางทจะทาให C

F d r

มคาเทากน

บนทกเสนโคงซงมจดเรมตน A และจดสนสด B

และในกรณท C

F d r

มคาเทากนทกวถจากจด A ไปจด B

เราจะเรยกวา

อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถจากจด A ถงจด B

จากตวอยาง 5.3.2 จะเหนวา ฟงกชน F มผลให

อนทกรลตามเสนบน 1C , 2C , 3C มคาเทากน

ตอไปเราจะกลาวถงเงอนไขหรอสมบตของฟงกชน

ททาใหอนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ

บทนยาม 5.3.1 ให S เปนเซตเปดใน nR

เรากลาววา S เปน เซตเปดทเชอมโยงได กตอเมอ

สาหรบจดสองจด A, B ใน S จะมวถใน S

ทมจดเรมตนทจด A และ จดสนสดทจด B

จากบทนยาม 5.3.1 จะเหนไดวา S จะเปนเซตเปดทเชอมโยงได

ถา S เปนเซตเปด และ ทกคของจด A, B

ใน S มเสนโคงเรยบ C จากจด A ไปยงจด B

โดยทเสนโคง C อยภายใน S ทงเสน



5 - 72

ตวอยาง

1S = {(x, y) 2x + 2y 4}

เพราะวา ทกจด A, B ใน 1S จะมวถ C ใน 1S


เพราะฉะนน 1S เซตเปดทเชอมโยงได

2S = {(x, y) 1 2x + 2y , -2 x 2 และ -2 y 2}

เพราะวา ทกจด A, B ใน 2S จะมวถ C ใน 2S


เพราะฉะนน 2S เซตเปดทเชอมโยงได

รปท 5.3.3

รปท 5.3.4



5 - 73

3S = {(x, y) 2x + 2y 1 หรอ (x - 4)2 + 2y 4}

เพราะวา มบางจด A, B ใน 3S ทไมมวถใน 3S


เพราะฉะนน 3S ไมเปนเซตเปดทเชอมโยงได

บทนยาม 5.3.2 S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน nR

และ F : S nR เปนฟงกชนทตอเนองบน S

1. A, B เปนจดอยใน S

ถา อนทกรลตามเสนของ F บนวถใดกตามทม

จดเรมตนทจด A และ จดสนสดทจด B มคาคงตว

แลว เรากลาววา

อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถจากจด A ถงจด B

2. ถา ทกคของจด A, B ใน S อนทกรลตามเสน

ของ F เปนอสระจากวถจากจด A ถงจด B

แลว อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

รปท 5.3.5



5 - 74

บทนยาม 5.3.3 ให S เปนเซตเปดใน nR ,

F : S nR เปนฟงกชนคาเวกเตอรทตอเนองบน S

ฟงกชนศกย ของ F คอ ฟงกชนคาจรง : S R

ซงมสมบตวา เปนฟงกชนซงมอนพนธบน S และ = F

เราเรยกฟงกชน F ทมฟงกชนศกยวา ฟงกชนเกรเดยนต

ตวอยางเชน

1. F(x, y) = (2x, 2y) บนโดเมน 2R

มฟงกชน (x, y) = 2x + 2y ทเปนฟงกชนซงมอนพนธบน

2R

และ (x, y) = (x

, y)

= (2x, 2y)

= F(x, y)

เพราะฉะนน F(x, y) = (2x, 2y) เปนฟงกชนเกรเดยนต

2. F(x, y, z) = (yz, xz, xy) บนโดเมน 3R

มฟงกชน (x, y, z) = xyz ทเปนฟงกชนซงมอนพนธบน 3R

และ (x, y, z) = (x

, y,

z)

= (yz, xz, xy)

= F(x, y, z)

เพราะฉะนน F(x, y, z) = (yz, xz, xy) เปนฟงกชนเกรเดยนต



5 - 75

หมายเหต ถา 1 และ 2 เปนฟงกชนศกยของ F

แลว จะได 1 = F = 2

เพราะฉะนน 1 และ 2 จะตางกนดวยคาคงตว

นนคอ 1 = 2 + c เมอ c เปนคาคงตว


ถา เปนฟงกชนศกยของ F

แลว + c จะเปนฟงกชนศกยของ F ดวย

ทฤษฎบท 5.3.1

(ทฤษฎบทหลกมลสาหรบอนทกรลตามเสน บททหนง)

กาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน nR

และ F : S nR เปนฟงกชนตอเนองแลว

ถา อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

A เปนจดใน S และ : S R เปนฟงกชนคาจรง

นยามโดย (X) = X

A

F d r

จะได เปนฟงกชนทมอนพนธบน S

และ (X) = F(X) ทก X S

เพราะฉะนน X

A

F d r

= F(X) ทก X S



5 - 76

บทพสจน เพองายตอการทาความเขาใจ

จงขอแสดงขอพสจนในปรภมสองมต ดงน

กาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงได

และ F = P i

+ Q j

เมอ P, Q เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร

และ อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

A( 0x , 0y ) เปนจดใน S

ให X(x, y) เปนจดใน S

เพราะวา S เปนเซตเปด เพราะฉะนน ม 0

ททาให B(X ; ) = {(u, v) 22 )yv()xu( } S

การแสดงวา x (

C

F d r

) = P

เลอก ( *x , y) B(X ; ) โดยท *x x

รปท 5.3.6



5 - 77

ให 1C : 1 r

(t) เปนเสนโคงจากจด A ไปยงจด ( *x , y)

2C : 2 r

(t) = (t, y) เมอ *x t x เปนสวนของเสนตรง

จาก ( *x , y) ไปยงจด X(x, y)

C = 1C + 2C

C

F d r

=

1C

F d 1r

+

2C

F d 2r

= )y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

เพราะวา อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S


F d r

จงมไดคาเดยว

เพราะวา คาของ )y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

ขนอยกบคาของ x, y

เพราะฉะนน เราจงสามารถนยามสตรฟงกชน

(x, y) = )y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r



5 - 78

ซงจะได

x (x, y) =

x (

)y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2 r

)

= x (

)y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1 r

) +

x (

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

)

= 0 + x (

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

)

(เพราะวา )y ,*x(

)0y ,0x(

F d 1r

เปนฟงกชนของ y เทานน)

=x (

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2 r

)

เพราะวา )y ,x(

)y ,*x(

F d 2 r

=

)y ,x(

)y ,*x(

F( 2r

(t)) 2r (t) dt

= )y ,x(

)y ,*x(

(P( 2 r

(t)), Q( 2r

(t))) 2r (t) dt

= )y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) ((t), (y)) dt

(เพราะวา 2C : 2r

(t) = (t, y) เมอ *x t x)



5 - 79

= )y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) (1, 0) dt

= )y ,x(

)y ,*x(

(P(t, y), Q(t, y)) (1, 0) dt

=

x t

*x t

(P(t, y)(1) + Q(t, y)(0)) dt

=

x t

*x t

P(t, y) dt

=

x t

*x t

g(t) dt (ให g(t) = P(t, y))

เพราะฉะนน x (

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

)

= x (

x t

*x t

g(t) dt)

= dxd (

x t

*x t

g(t) dt) (

x t

*xt

g(t) dt เปนฟงกชนของ x)

= g(x) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสบททหนง)

= P(x, y)

เพราะฉะนน x (

C

F d r

) = P(x, y)



5 - 80

การแสดงวา y (

C

F d r

) = Q

เลอก (x, *y ) B(X ; ) โดยท *y y

รปท 5.3.7

ให 1C : 1 r

(t) เปนเสนโคงจากจด A ไปยงจด (x, *y )

2C : 2 r

(t) = (x, t) เมอ *y t y เปนสวนของเสนตรง

จาก (x, *y ) ไปยงจด X(x, y)

C = 1C + 2C

C

F d r

=

1C

F d 1r

+

2C

F d 2r

= )*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2r

เพราะวา อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S


F d r

จงมไดคาเดยว

เพราะวา คาของ )*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2r

ขนอยกบคาของ x, y



5 - 81

เพราะฉะนน เราจงสามารถนยามสตรฟงกชน

(x, y) = )*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1 r

+

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2r

ซงจะได C

F d r

= (x, y) และ

y (x, y) =

y (

)*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1r

+

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2 r

)

= y (

)*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1 r

) +

y (

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2r

)

= 0 + y (

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2r

)

(เพราะวา )*y ,x(

)0y ,0x(

F d 1r

เปนฟงกชนของ x เทานน)

= y (

)y ,x(

)*y ,x(

F d 2 r

)

เพราะวา )y ,x(

)*y ,x(

F d 2 r

=

)y ,x(

)*y ,x(

F( 2r

(t)) 2r (t) dt

= )y ,x(

)*y ,x(

(P( 2 r

(t)), Q( 2r

(t))) 2r (t) dt



5 - 82

= )y ,x(

)*y ,x(

(P(x, t), Q(x, t)) ((x), (t)) dt

(เพราะวา 2C : 2r

(t) = (x, t) เมอ *y t y)

= )y ,x(

)*y ,x(

(P(x, t), Q(x, t)) (0, 1) dt

=

y t

*y t

(P(x, t)(0) + Q(x, t)(1)) dt =

y t

*y t

Q(x, t) dt

=

y t

*y t

h(t) dt (ให h(t) = Q(x, t))

เพราะฉะนน y (

)y ,x(

)y ,*x(

F d 2r

) =

y (

y t

*y t

h(t) dt)

= dyd (

y t

*y t

h(t) dt) (

x t

*xt

h(t) dt เปนฟงกชนของ y)

= h(y) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสบททหนง)

= Q(x, y)


C

F d r

) = Q(x, y)

เพราะฉะนน (x, y) = ( C

F d r

)

= (x (

C

F d r

),

y (

C

F d r

))

= (P(x, y), Q(x, y)) = F(x, y)



5 - 83

จากทกลาวมาทงหมดขางตนสรปไดวาในปรภมสองมต

เมอกาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงได

และ F : S 2R เปนฟงกชนตอเนอง

โดยท F(x, y) = P(x, y) i

+ Q(x, y) j

เมอ P, Q เปนฟงกชนคาจรงของสองตวแปร


เมอ A เปนจดใน S ฟงกชน : S R

เปนฟงกชนคาจรง นยามโดย (x, y) = )y ,x(

A

F d r


และ )y ,x(

A

F d r

= F(x, y) ทก X(x, y) S

และ (x, y) = F(x, y) ทก X(x, y) S



5 - 84

ในทานองเดยวกน สาหรบปรภมสามมต

S เปนเซตเปดทเชอมโยงได

และ F : S 3R เปนฟงกชนตอเนอง โดยท

F(x, y, z) = P(x, y, z) i

+ Q(x, y, z) j

+ R(x, y, z)k

เมอ P, Q, R เปนฟงกชนคาจรงของสามตวแปร


เมอ A เปนจดใน S ฟงกชน : S R

เปนฟงกชนคาจรง นยามโดย (x, y, z) = )z ,y ,x(

A

F d r


และ )z ,y ,x(

A

F d r

= F(x, y, z) ทก X(x, y, z) S

และ (x, y, z) = F(x, y, z) ทก X(x, y, z) S

หมายเหต ในทานองเดยวกน สาหรบปรภม nR

จะได A เปนจดใน S และ : S R เปนฟงกชนคาจรง

นยามโดย (X) = X

A

F d r


และ (X) = F(X) ทก X S

และ X

A

F d r

= F(X) ทก X S



5 - 85


(ทฤษฎบทหลกมลสาหรบอนทกรลตามเสนบททสอง)

กาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน nR

ถา F : S nR เปนฟงกชนตอเนอง

โดยมฟงกชนศกย : S R

มสมบตวา เปนฟงกชนทมอนพนธบน S และ = F

แลว อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

และ B

A

F d r

= (B) - (A) ทกจด A, B ใน S

บทพสจน เพองายตอการทาความเขาใจ จงขอแสดงขอพสจนใน

ปรภมสองมตกอนดงน

ให A, B เปนจดใน S

เพราะวา S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน 2R

เพราะฉะนนม C : r(t) = (x(t), y(t))

เปนวถเรยบเชงเดยว a t b โดยท r(a) = A และ r

(b) = B

C

d r =

b

a

( r(t)) d r

(t)

= b

a

( r(t)) r

(t) dt

= b

a

(x(t), y(t)) r (x(t), y(t)) dt



5 - 86

= b

a

(x(t), y(t)) r (x(t), y(t)) dt

= b

a

(x (x(t), y(t)),

y (x(t), y(t))) (

dtd x(t),

dtd y(t)) dt

= b

a

(x (x(t), y(t))

dtd x(t) +

y (x(t), y(t))

dtd y(t)) dt

= b

adtd (x(t), y(t)) dt

= b

a

(dtd g(t)) dt (ให g(t) = (x(t), y(t)))

= [ g(t) ] a t b t

(โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสบททสอง)

= [ (x(t), y(t)) ] a t b t

= (x(b), y(b)) - (x(a), y(a))

= ( r(b)) - ( r

(a))

= (B) - (A)



5 - 87

การพสจนในปรภมสามมต ให A, B เปนจดใน S

เพราะวา S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน 3R เพราะฉะนน

ม C : r(t) = (x, y, z) เปนวถเรยบเชงเดยว a t b

โดยท r(a) = A และ r

(b) = B และ x, y, z เปนฟงกชนของ t


d r =

b

a

( r(t)) d r

(t)

= b

a

( r(t)) r

(t) dt = b

a

(x, y, z) (x, y, z) dt

= b

a

(x, y, z) (x, y, z) dt

= b

a

(x (x,y,z),

y (x,y,z),

z (x,y,z)) (

dtdx ,

dtdy

,dtdz )dt

= b

a

(x (x, y, z)

dtdx

+

y (x, y, z)

dtdy

+

z (x, y, z)

dtdz ) dt

= b

a

(dtd (x, y, z)) dt

= b

a

(dtd g(t)) dt (ให g(t) = (x, y, z) = (x(t), y(t), z(t)))

= [ g(t) ]a t b t


= [ (x, y, z) ]a t b t

= (x(b), y(b), z(b)) - (x(a), y(a), z(a))

= ( r(b)) - ( r

(a)) = (B) - (A)



5 - 88

การพสจนในปรภม nR ให A, B เปนจดใน S

เพราะวา S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน nR

เพราะฉะนนม C : r(t) เปนวถเรยบเชงเดยว a t b

โดยท r(a) = A และ r

(b) = B

C

d r =

b

a

( r(t)) d r

(t)

= b

a

( r(t)) r

(t) dt

= b

adtd ( r

(t)) dt

= b

a

(dtd g(t)) dt (ให g(t) = ( r

(t)))


= [ g(t) ]a t b t

= [ ( r(t)) ]

a t b t

(เพราะวา g(t) = ( r

(t)))

= ( r(b)) - ( r

(a))

= (B) - (A)



5 - 89

จากทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสน ทงบททหนง และ

บททสอง เหนไดวา ถา F เปนฟงกชนซงมฟงกชนศกย ใน S

แลว การหาคาอนทกรลตามเสน B

A

F d r

จะขนกบจด A และ

จด B เทานน ไมขนกบวถระหวาง A และ B

นนคอ อนทกรลตามเสนเปนอสระจากวถ

สรป การหาคาอนทกรลตามเสน C

F d r

เมอ C : r(t) ในชวง [a, b] อาจเลอกทาได 3 วธ

วธท 1. ใชการอนทเกรตในพจนของตวแปร t

ตามวธของหวขอ 5.2 C

F d r

=

b

a

F( r(t)) r

(t) dt

วธท 2. หาฟงกชนศกย ของ F (ในกรณท F

เปนฟงกชนเกร

เดยนต) ใช ทฤษฎบทหลกมลของอนทกรลตามเสน บททสอง

C

F d r

= ( r

(b)) - ( r

(a))

วธท 3. ในกรณทอนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ

และ หาฟงกชนศกย ไมได ใหเลอกเสนโคง 1C ทมสตรงาย

กวา และหาคา 1C

F d r

แทน

C

F d r

แลวจงสรปวา C

F d r

มคาเทากบ

1C

F d r



5 - 90

ตวอยาง 5.3.3 จงหาคาของ C

F d r

เมอกาหนดให F(x, y) = (y + 2, x + 3)

และ C : r(t) = (3 cos t, 4 sin t) เมอ 0 t

2

วธทา

รปท 5.3.8

วธท 1. ใชการอนทเกรตในพจนของตวแปร t

ตามวธของหวขอ 5.2

C

F d r

=

2

0

F( r(t)) r

(t) dt

=

2

0

F((3 cos t, 4 sin t)) ((3 cos t), (4 sin t)) dt

=

2

0

(4 sin t + 2, 3 cos t + 3) (-3 sin t, 4 cos t) dt

=

2

0

(4 sin t + 2)(-3 sin t) + (3 cos t + 3)(4 cos t) dt



5 - 91

=

2

0

(-12 2sin t - 6 sin t + 12 2cos t + 12 cos t) dt

=

2

0

(12( 2cos t - 2sin t) - 6 sin t + 12 cos t) dt

=

2

0

(12 cos 2t - 6 sin t + 12 cos t) dt

= [ 6 sin 2t + 6 cos t + 12 sin t ] 0t2

t

= (0 + 0 + 12) - (0 + 6 + 0) = 6

วธท 2. เพราะวามฟงกชน (x, y) = xy + 2x + 3y ททาให

(x, y) = (x (xy + 2x + 3y),

y (xy + 2x + 3y))

= (y + 2, x + 3)

= F(x, y)

เพราะฉะนน F เปนฟงกชนเกรเดยนต


F d r

= ( r

(b)) - ( r

(a))

= ( r(

2)) - ( r

(0))

= (0, 4) - (3, 0)

= 12 - 6

= 6



5 - 92

วธท 3. สมมตวา อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ

และ หาฟงกชนศกย ไมได

เลอก 1C : 1 r

(t) = (3 - 3t, 4t) เมอ 0 t 1

รปท 5.3.9

เพราะวา อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ จากจด

A(3, 0) ไปยงจด B(0, 4) เพราะฉะนน

C

F d r

=

1C

F d r

=

1

0

F( 1r

(t)) 1r (t) dt

= 1

0

F(3 - 3t, 4t) ((3 - 3t), (4t)) dt

= 1

0

(4t + 2, 3 - 3t +3) (-3, 4) dt

= 1

0

(4t + 2, 6 - 3t) (-3, 4) dt

= 1

0

(-12t - 6 + 24 - 12t) dt = 1

0

(-24t + 18) dt

= [ -12 2t + 18t ] 0 t 1 t

= -12 + 18 = 6



5 - 93

ขอสงเกต 1. การหาคา C

F d r

หากทาไดทง 3 วธขางตน

จะเหนวา วธท 2. มความสะดวกกวา วธท 1.

2. การคานวณใน วธท 1. อาจจะมความยงยากในเรองของการ

อนทเกรต

3. การคานวณใน วธท 2. ตองมการตรวจสอบวา F

เปนฟงกชนเกรเดยนต และ ตองหา ฟงกชนศกย

ขอตกลง

1. สญลกษณทใชแทนอนทกรลตามเสนของ F บนวถปด r

คอ

r" F

d r

หรอ

C" F

d r

โดยททศทางการเคลอนททวนเขมนาฬกา

2. หากตองการเนนทศทางการเคลอนทจะระบทศทางของวถโดย

การเขยนลกศรทบวงกลมบนสญลกษณอนทกรล " เพอแสดง

ทศทางของการอนทเกรตดงน

2.1

r$ F d r

หรอ

C$ F d r

เปนอนทกรลตามเสนบนวถปด ทศทางทวนเขมนาฬกา

2.2

r% F d r

หรอ

C% F d r

เปนอนทกรลตามเสนบนวถปด ทศทางตามเขมนาฬกา



5 - 94

ทฤษฎบท 5.3.3 กาหนดให F เปนฟงกชนคาเวกเตอรทม

ความตอเนองบน S ซงเปนเซตเปดทเชอมโยงได

และเปนสบเซตของ nR จะไดขอความตอไปนสมมลกน

1. อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

2. F เปนฟงกขนเกรเดยนตบน S

3. อนทกรลตามเสนของ F บนวถปดใน S มคาเปนศนย

บทพสจน (1) (2) เปนผลมาจากทฤษฎบท 5.3.1

หมายเหต ผลจากทฤษฎบท 5.3.1 และ ทฤษฎบท 5.3.2

จะได (2) (1) ดวย

(2) (3) สมมต F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

ให C : r(t) บนชวง [a, b] เปนเสนโคงปด

มจดเรมตนทจด A และจดสนสดทจด B

เพราะฉะนน A = r(a) = r

(b) = B

เพราะวา F เปนฟงกชนเกรเดยนต

เพราะฉะนน มฟงกชนศกย ททาให = F

และ C$ F d r

=

B

A

F d r

= (B) - (A)

= (B) - (B) (เพราะวา A = r(a) = r

(b) = B)

= 0



5 - 95


อนทกรลตามเสนของ F บนวถปด C ใน S มคาเปนศนย

(3) (1) ให A, B เปนจดใน S

ให 1C : 1 r

: [a, b] S และ 2C : 2r

: [c, d] S

เปนวถใดๆ ใน S ทมจดเรมตนทจด A

และ จดสนสดทจด B ดงรปท 5.3.10 (ก)


(a) = 2 r

(c) = A และ 1r

(b) = 2 r

(d) = B

รปท 5.3.10 (ก) รปท 5.3.10 (ข)

ให C เปนเสนโคงทกาหนดโดยวถ 1C + (- 2C )

เพราะฉะนน C เปนวถท เรมตนทจด A = 1r

(a) = 2 r

(c)

ตามวถ 1C จนถงจด B = 1r

(b) = 2r

(d)

ตอจากนนจงเคลอนทยอนกลบในทศทาง 2C

จนมาสนสดทจด A ดงรปท 3.5.10 (ข)



5 - 96

เพราะฉะนน C เปนเสนโคงปด โดยมวถ r(t) ทกาหนดโดย

r(t) =

cdbtb)tdb(2

r

bta)t(1

r

เมอ

เมอ

เพราะฉะนน C = 1C + (- 2C )

เพราะฉะนน C$ F d r

=

C ( C )1 2 $ F d r

= 1C

F d 1r

+

2C

F d 2r

= 1C

F d 1r

-

2C

F d 2r

เพราะวา C เปนเสนโคงปด

เพราะฉะนน C$ F d r

= 0

เพราะฉะนน 1C

F d 1r

-

2C

F d 2r

= 0


F d 1r

=

2C

F d 2 r

เพราะฉะนน อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

เพราะฉะนน (3) (1)

จากทพสจนมาขางตนสรปไดวา (1) (2) (3) (1)

เพราะฉะนน ขอความ (1), (2) และ (3) สมมลกน



5 - 97


F d r

เมอกาหนดให F(x, y, z) = (yz, xz, xy)

และ เสนโคง C ซงกาหนดดวยวถ r(t) = (4 cos t, 3 sin t, 4t)

จากจด (2 2 , 2

3 , ) ไปยงจด (-2 2 , 2

3 , 3)

วธทา r(t) = (4 cos t, 3 sin t, 4t)

ให A เปนจด (2 2 , 2

3 , )

และ B เปนจด (-2 2 , 2

3 , 3)

เพราะวา r(

4) = (2 2 ,

23 , )

และ r(

43) = (-2 2 ,

23 , 3)

เพราะฉะนน ชวงเวลาของการเคลอนทคอ [4 ,

43 ]

รปท 5.2.11



5 - 98

เลอก (x, y, z) = xyz

เพราะวา (x, y, z) = (xyz)

= (x (xyz),

y (xyz),

z (xyz))

= (yz, xz, xy)

= F(x, y, z)


เพราะฉะนน อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ และ

C

F d r

=

B

A

F d r

= (B) - (A)

= (-2 2 , 2

3 , 3) - (2 2 , 2

3 , )

= (-2 2 )(2

3 )(3) - (2 2 )(2

3 )()

= -18 - 6

= -24



5 - 99


2y2xye dx + 2xy

2xye dy

เมอเสนโคง C เปนสวนโคง xy = 8

จากจด (1, 8) ไปยงจด (4, 2)

วธทา ให A(1, 8) เปนจดเรมตน และ B(4, 2) เปนจดสนสด

รปท 5.3.12

เลอก (x, y) = 2xye

เพราะวา (x, y) = (2xye )

= (x (

2xye ), y (

2xye ))

= ( 2y2xye , 2xy

2xye ) = F(x, y)


เพราะฉะนน อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ และ

C

F d r

=

B

A

F d r

= (B) - (A)

= (4, 2) - (1, 8)

= 16e - 64e



5 - 100

หมายเหต จากตวอยาง 5.3.3 และ ตวอยาง 5.3.4 ตองมการ

เลอกฟงกชนศกย ใหเหมาะสมกบ F ซงความร เกยวกบคา

อนพนธรวมทเรยนมาจากแคลคลส 2 จะชวยในการเลอกฟงกชน

ศกย ได ตวอยางเชน

1. เพราะวา d( 4x + 3 3x 4y + 5y )

= (4 3x + 9 2x 4y ) dx + (12 3x 3y + 5 4y ) dy

เพราะฉะนน (x, y) = 4x + 3 3x 4y + 5y เปนฟงกชน

ศกยของ F(x, y) = (4 3x + 9 2x 4y , 12 3x 3y + 5 4y )

2. เพราะวา d(4xy+ 2y 4z )

= (4y) dx + (4x + 2y 4z ) dy + (4 2y 3z ) dz

เพราะฉะนน (x, y, z) = 4xy+ 2y 4z เปนฟงกชนศกย

ของ F(x, y, z) = (4y, 4x + 2y 4z , 4 2y 3z )

จากทกลาวมาขางตน หากเราสามารถเลอกฟงกชนศกย

ไดโดยงาย จะคานวณคา C

F d r

งายขน

แตโดยทวไปฟงกชน F ทเราตองการอนทเกรตตามเสน

อาจจะเปนฟงกชนเกรเดยนหรอไมกได

ดงนนเราจะศกษาเงอนไขทเกยวของกบฟงกชนเกรเดยน

เพอชวยในการหาฟงกชนศกย ตอไป

ทฤษฎบทตอไปนจะแสดงเงอนไขทจาเปนทจะทาใหฟงกชน

F เปนฟงกชนเกรเดยนต



5 - 101

ทฤษฎบท 5.3.4 กาหนดให F : S 2R เปนฟงกชน

ทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปดทเชอมโยงได S ใน 2R

โดยท F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

ถา F

เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S แลว

y P(x, y) =

x Q(x, y)

บทพสจน

ให F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

โดยท F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

เพราะฉะนน มฟงกชนคาจรง : S R ซง = F บน S

เพราะฉะนน (x, y) = (x (x, y),

y (x, y))

= F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

เพราะฉะนน x (x, y) = P(x, y)

และ y (x, y) = Q(x, y) ... (*)

y (

x (x, y)) =

y P(x, y)

และ x (

y (x, y)) =

x Q(x, y)

เพราะวา y (

x (x, y)) และ

x (

y (x, y)) ตอเนองบน S


x (x, y)) =

x (

y (x, y))

เพราะฉะนน y P(x, y) =

x Q(x, y)



5 - 102

หมายเหต ผลของทฤษฎบทท 5.3.4

จะได F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

ถา y P(x, y)

x Q(x, y) แลว F

ไมเปนฟงกชนเกรเดยนต

ตวอยางเชน F(x, y) = (2x + 5y, 3x + 2y)

P(x, y) = 2x + 5y, y P(x, y) = 5

Q(x, y) = 3x + 2y, x Q(x, y) = 3

เพราะฉะนน y P(x, y)

x Q(x, y)

เพราะฉะนน F(x, y) = (2x + 5y, 3x + 2y)

ไมเปนฟงกชนเกรเดยนต

สาหรบ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y)) ทมสมบต

y P(x, y) =

x Q(x, y)

เราสามารถใชแนวคดเกยวกบการหาผลเฉลยของสมการ

เชงอนพนธแบบแมนตรงชวยหาฟงกชนศกย ของ F

ในกรณท F เปนฟงกชนเกรเดยนตไดดงตอไปน

สาหรบการหา (x, y) อาจทาไดโดยอาศยเงอนไข (*)

จากทฤษฎบท 5.3.4



5 - 103

แบบท 1. จาก x (x, y) = P(x, y)

เพราะวาในการหา x (x, y) ถอวา y เปนคาคงตว

เพราะฉะนน การอนทเกรต P(x, y) เทยบกบ x

คาคงตวทไดตองเปนฟงกชนของ y


(x, y) = P(x, y) dx + h(y) ... (1)

เพราะวา Q(x, y) = y (x, y)

= y ( P(x, y) dx + h(y))

= y ( P(x, y) dx) +

y h(y)

จดรปสมการหาพจน y h(y)

เพราะฉะนน h(y) = y h(y) dy + K เมอ K เปนคาคงตว

ซงเมอได h(y) แลวนาไปแทนใน (1) จะได (x, y)

แบบท 2. จาก y (x, y) = Q(x, y)

เพราะวาในการหา y (x, y) ถอวา x เปนคาคงตว

เพราะฉะนน การอนทเกรต Q(x, y) เทยบกบ y

คาคงตวทไดตองเปนฟงกชนของ x

เพราะฉะนน (x, y) = Q(x, y) dx + g(x) ... (2)



5 - 104

เพราะวา P(x, y) = x (x, y)

= x ( Q(x, y) dx + g(x))

= x ( Q(x, y) dx) +

x g(x)

จดรปสมการหาพจน x g(x)

เพราะฉะนน g(x) = x g(x) dx + K เมอ K เปนคาคงตว

ซงเมอได g(x) แลวนาไปแทนใน (2) จะได (x, y)

แบบท 3.

3.1 จาก x (x, y) = P(x, y)

(x, y) = P(x, y) dx ... (1)

3.2 จาก y (x, y) = Q(x, y)

(x, y) = Q(x, y) dy ... (2)

3.3 เลอก (x, y) จากเงอนไข (1) และ (2)

โดยพจารณา จากพจนทซาเอามาตวเดยว

พจนทไมซาใน (1) และ (2) เอามาหมด

3.4 ยนยนความถกตองดวยการหา

(x, y) = (x (x, y),

y (x, y))

ตองเทากบ F(x, y)



5 - 105

ตวอยาง 5.3.6 จงหาคาของ

C

(3 2x y + 2xy) dx + ( 3x + 2x + 2y) dy

เมอ C : r(t) = ( 3

2t , 1 + 3

1t + 3

2t ) เมอ 1 t 8

วธทา C : r(t) = ( 3

2t , 1 + 3

1t + 3

2t ) เมอ 1 t 8

มจดเรมตน A(1, 3) และ จดสนสด B(4, 7)

ให F(x, y) = (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y)

เพราะฉะนน P(x, y) = 3 2x y + 2xy

และ Q(x, y) = 3x + 2x + 2y

yP (x, y) = 3 2x + 2x

และ xQ

(x, y) = 3 2x + 2x

ดงนน yP (x, y) =

xQ

(x, y)

การหา (x, y)

จาก x

(x, y) = P(x, y) = 3 2x y + 2xy

จะได (x, y) = (3 2x y + 2xy) dx

= 3x y + 2x y + h(y) ... (1)

แต y(x, y) = Q(x, y)

= 3x + 2x + 2y

ดงนน 3x + 2x + h(y) = 3x + 2x + 2y



5 - 106

จะได h(y) = 2y

เพราะฉะนน h(y) = 2y dy = 2y + K

แทน h(y) ใน (1) จะได (x, y) = 3x y + 2x y + 2y + K

เลอก (x, y) = 3x y + 2x y + 2y

จะได (x, y) = (x (x, y),

y (x, y))

= (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y) = F(x, y)


F d r

เปนอสระจากวถ


F d r

= (B) - (A) = (4, 7) - (1,

3)

= (448 + 112 + 49) - (3 + 3 + 9) = 609 - 15 = 594


C

(3 2x y + 2xy) dx + ( 3x + 2x + 2y) dy = 594

หมายเหต การหา (x, y) แบบท 3.

(x, y) = P(x, y) dx

= (3 2x y + 2xy) dx = 3x y + 2x y

(x, y) = Q(x, y) dx

= ( 3x + 2x + 2y) dy =

3x y + 2x y + 2xy

เพราะฉะนน เลอก (x, y) = 3x y + 2x y + 2xy

จะได (x, y) = (x (x, y),

y (x, y))

= (3 2x y + 2xy, 3x + 2x + 2y)



5 - 107

ทฤษฎบท 5.3.5 กาหนดให F : S 3R เปนฟงกชน

ทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปดทเชอมโยงได S ใน 3R

โดยท F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

ถา F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S แลว

y P(x, y, z) =

x Q(x, y, z)

z P(x, y, z) =

x R(x, y, z)

และ z Q(x, y, z) =

y R(x, y, z)

บทพสจน ให F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

โดยท F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))


เพราะฉะนน (x, y, z)

= (x (x, y, z),

y (x, y, z),

z (x, y, z))

= F(x, y, z)

= (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))

เพราะฉะนน x (x, y, z) = P(x, y, z) ... (1)

y (x, y, z) = Q(x, y, z) ... (2)

z (x, y, z) = R(x, y, z) ... (3)



5 - 108

จาก (1) จะได

y (

x (x, y, z)) =

y P(x, y, z) ... (4)

และ z (

x (x, y, z)) =

z P(x, y, z) ... (4)


x (

y (x, y, z)) =

x Q(x, y, z) ... (5)

และ z (

y (x, y, z)) =

z Q(x, y, z) ... (5)


x (

z (x, y, z)) =

x R(x, y, z) ... (6)

และ y (

z (x, y, z)) =

y R(x, y, z) ... (6)

เพราะวา y (

x (x, y, z)) และ

x (

y (x, y, z))

เปนฟงกชนตอเนองบน S


x (x, y, z)) =

x (

y (x, y, z))

จาก (4) และ (5) จะได y P(x, y) =

x Q(x, y)

เพราะวา z (

x (x, y, z)) และ

x (

z (x, y, z))


เพราะฉะนน z (

x (x, y, z)) =

x (

z (x, y, z))

จาก (4) และ (6) จะได z P(x, y, z) =

x R(x, y, z)



5 - 109

เพราะวา z (

y (x, y, z)) และ

y (

z (x, y, z))


เพราะฉะนน z (

y (x, y, z)) =

y (

z (x, y, z))

จาก (5) และ (6) จะได z Q(x, y, z) =

y R(x, y, z)

สรป ถา F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

แลว y P(x, y, z) =

x Q(x, y, z)

z P(x, y, z) =

x R(x, y, z)


y R(x, y, z)

หมายเหต ผลจาก ทฤษฎบท 3.5.5 จะได

สาหรบฟงกชน F = ( 1f , 2f , 3f )

ถา iD jf jD if สาหรบบางคา i และ j

แลว F จะไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบน S



5 - 110

ตวอยาง 5.3.7 กาหนด

F(x, y, z) = (3 2x + 2xy + 2z,

3x + 2y + 4z, x + y + 2 3z )

เปนฟงกชนนยามบน 3R

จงแสดงวา F ไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบนเซตใดๆ ทเปนสบ

เซตของ 3R

วธทา ให S เปนเซตเปดใดๆ ซงเปนสบเซตของ 3R และ

F(x, y, z) = (3 2x + 2xy + 2z,

3x + 2y + 4z, x + y + 2 3z )

ให 1f (x, y, z) = 3 2x + 2xy + 2z

2f (x, y, z) = 3x + 2y + 4z

1D 2f (x, y, z) = 3 2x

2D 1f (x, y, z) = 2x

เพราะฉะนน 1D 2f 2D 1f

เพราะฉะนน F ไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบนเซตเปดใดๆ

ทเปนสบเซตของ 2R



5 - 111

การหาฟงกชนศกยของฟงกชน F ใน 3R

จากเงอนไข y P(x, y, z) =

x Q(x, y, z)

z P(x, y, z) =

x R(x, y, z)


y R(x, y, z)

การหา (x, y, z) ในกรณท F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

ให F = (P, Q, R) และ เปนฟงกชนศกยของ F

เพราะฉะนน = F

เพราะฉะนน x

(x, y, z) = P(x, y, z) ... (1)

y(x, y, z) = Q(x, y, z) ... (2)

z(x, y, z) = R(x, y, z) ... (3)

แบบท 1. การหา (x, y, z) มขนตอนดงน

ขนท 1. หา (x, y, z) จาก (1) หรอ (2) หรอ (3)

โดยการอนทเกรต

(หมายเหต ควรเลอกเงอนไขทสามารถอนทเกรตไดงาย)

สมมตหา (x, y, z) จาก (1)

เพราะวาในการหา x

(x, y, z) ถอวา y, z เปนคาคงตว

เพราะฉะนน การอนทเกรต P(x, y, z) เทยบกบ x

คาคงตวทไดตองเปนฟงกชนของ y, z



5 - 112


(x, y, z) = P(x, y, z) dx + g(y, z) ... (4)

เมอ g(y, z) เปนคาคงตว ในพจนของตวแปร y, z

ขนท 2. เพราะวา (x, y, z) ไดมาจากการอนทเกรตเทยบกบ x

เราจงหาอนพนธของ

P(x, y, z) dx + g(y, z) เทยบกบ y หรอ z

สมมตเราเลอก

y (x, y, z) =

y ( P(x, y, z) dx + g(y, z))

เพราะฉะนน Q(x, y, z) = y ( P(x, y, z) dx) +

y g(y, z)

จดรปสมการเพอหาพจน y g(y, z)

ขนท 3. เพราะวาการหา y g(y, z) ถอวา z เปนคาคงตว

เพราะฉะนน การอนทเกรต y g(y, z) เทยบกบ y

คาคงตวทไดตองเปนฟงกชนของ z

เพราะฉะนน g(y, z) = y g(y, z) dy + h(z)

แทนคา g(y, z) ใน (4) จะได (x, y, z)

= P(x, y, z) dx + y g(y, z) dy + h(z) ... (5)



5 - 113

ขนท 4. หา z (x, y, z)

= z ( P(x, y, z) dx + y

g(y, z) dy + h(z))


z (x, y, z) =

z ( P(x, y, z) dx)

+ z ( y

g(y, z) dy) + z h(z)

R(x, y, z) = z ( P(x, y, z) dx)

+ z ( y

g(y, z) dy) + z h(z)

จดรปสมการเพอหาพจน z h(z)

เพราะฉะนน h(z) = z h(z) dz + K เมอ K เปนคาคงตว

แลวแทนคาใน (5)

จากทง 4 ขนตอนขางตนจะได

(x, y, z)

= P(x, y, z) dx + y g(y, z) dy + z

h(z) + K



5 - 114

แบบท 2. การหา (x, y, z) มขนตอนดงน

3.1 จาก x (x, y, z) = P(x, y, z)

(x, y, z) = P(x, y, z) dx ... (1)

3.2 จาก y (x, y, z) = Q(x, y, z)

(x, y, z) = Q(x, y, z) dy ... (2)

3.3 จาก z (x, y, z) = R(x, y, z)

(x, y, z) = R(x, y, z) dz ... (3)

3.4 เลอก (x, y, 3) จากเงอนไข (1) และ (2) และ (3)

โดยพจารณา จากพจนทซาเอามาตวเดยว

พจนทไมซาใน (1), (2) และ (3) เอามาหมด

3.5 ยนยนความถกตองดวยการหา

(x, y, z) = (x (x, y),

y (x, y),

z (x, y, z))

ตองเทากบ F(x, y, z)



5 - 115


F d r

เมอกาหนด

F(x, y, z) = (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)

และ C : r(t) = (1 + t + t, 2 + 3t + 2t , 6 + 3 t + 2t )

เมอ 0 t 1

วธทา

F(x, y, z) = (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)

P = 3yz + 2y + 5z

Q = 3xz + 2x + 3z

R = 3xy + 5x + 3y

y P = 3z + 2 และ

z P = 3y + 5

x Q = 3z + 2 และ

z Q = 3x + 3

x R = 3y + 5 และ

y R = 3x + 3

เพราะฉะนน y P =

x Q,

z P =

x R,

y R =

z Q

เพราะฉะนน F(x, y, z) สอดคลองเงอนไขทจาเปนของฟงกชน

เกรเดยนต



5 - 116

การหา (x, y, z) มขนตอนดงน

ขนท 1. (x, y, z) = (3yz + 2y + 5z) dx + g(y, z)

= 3xyz + 2yx + 5zx + g(y, z) ... (1)

ขนท 2. y (x, y, z) =

y (3xyz + 2yx + 5zx + g(y, z))

เพราะฉะนน Q = y (3xyz + 2yx + 5zx) +

y g(y, z)

3xz + 2x + 3z = 3xz + 2x + 0 + y g(y, z)

y g(y, z) = 3z

ขนท 3. g(y, z) = y g(y, z) dy + h(z)

= 3z dy + h(z) = 3zy + h(z)

แทนคา g(y, z) ใน (1) จะได

(x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + h(z)

ขนท 4. z (x, y, z) =

z (3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + h(z))

R = 3xy + 5x + 3y + z h(z)

3xy + 5x + 3y = 3xy + 5x + 3y + z h(z)

z h(z) = 0

เพราะฉะนน h(z) = z h(z) dz = 0 dz

= K เมอ K เปนคาคงตว


(x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy + K



5 - 117

เลอก (x, y, z) = 3xyz + 2xy + 3yz + 5xz จะได = F


และ อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถ

เพราะวา C : r(t) = (1 + t + t, 2 + 3t +

2t , 6 + 3 t +

2t )

เมอ 0 t 1

มจดเรมตนทจด (1, 2, 6) และจดสนสดทจด B(3, 6, 8)


F d r

= (3, 6, 8) - (1, 2, 6)

= 732 - 106 = 626

หมายเหต การหา (x, y, z) แบบท 2. มขนตอนดงน

3.1 (x, y, z) = P(x, y, z) dx = (3yz + 2y + 5z) dx

= 3xyz + 2yx + 5zx ... (1)

3.2 (x, y, z) = Q(x, y, z) dy = (3xz + 2x + 3z) dy

= 3xyz + 2yx + 3yz ... (2)

3.3 (x, y, z) = R(x, y, z) dz = (3xy + 5x + 3y) dz

= 3xyz + 5xz + 3yz ... (3)

3.4 เลอก (x, y, z) = 3xyz + 2yx + 5zx + 3zy

3.5 (x, y, z) = (x (x, y),

y (x, y),

z (x, y, z))

= (3yz + 2y + 5z, 3xz + 2x + 3z, 3xy + 5x + 3y)

= F(x, y, z)



5 - 118

เพอความสะดวกสาหรบกรณทวไป

ผลจากทฤษฎบท 5.3.5 จะได สาหรบ F : S 3R

ทเปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปดทเชอมโยงได

S ใน 3R โดยท

F( 1x , 2x , 3x )

= ( 1f ( 1x , 2x , 3x ), 2f ( 1x , 2x , 3x ), 3f ( 1x , 2x , 3x ))

ถา F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S แลว

2D 1f = 2x

1f = 1x

2f = 1D 2f

3D 1f = 3x

1f = 1x

3f = 1D 3f

3D 2f = 3x

2f = 2x

3f = 2D 3f

เพราะฉะนน iD jf ( 1x , 2x , 3x ) = jD if ( 1x , 2x , 3x )

ทกคา i, j = 1, 2, 3 และ ทกคา ( 1x , 2x , 3x ) S



5 - 119

ทฤษฎบท 5.3.6 กาหนดให F = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S nR

เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปดทเชอมโยงได S

ใน nR

ถา F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

แลว iD jf (X) = jD if (X) ทกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X S

บทพสจน ให F = ( 1f , 2f , ... , nf )

เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S


เพราะฉะนน iD = if เมอ i = 1, 2, ... , n

โดยการหาอนพนธยอยเทยบกบ jx ทงสองขาง

จะได jD iD = jD if

เพราะฉะนน ijD = jD if

ในทานองเดยวกนจะได jiD = iD jf

เพราะวา ijD และ jiD ตอเนองบน S

เพราะฉะนน ijD = jiD บน S

เพราะฉะนน iD jf (X) = jD if (X)

ทกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X S



5 - 120

การหาฟงกชนศกยของฟงกชน F ใน nR

ในกรณท F เปนฟงกชนเกรเดยนต

พจารณา C

F d r

=

b

a

( 1f dtdx1 + 2f

dtdx2 + ... + nf

dtdxn )

เมอ C : r(t) ; a t b

สมมต เปนฟงกชนศกยของ F

เพราะฉะนน = F ซงจะได

ix

= if ทก i = 1, 2, ... , n

เพราะฉะนน 1f dtdx1 + 2f

dtdx2 + ... + nf

dtdxn

= 1x

dtdx1 +

2x

dtdx2 + ... +

nx

dtdxn

= dtd

เพราะฉะนน 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx = d

เพราะฉะนน คาเชงอนพนธรวมของฟงกชน คอ

1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

และ C

1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx = (b) - (a)



5 - 121


1. สาหรบฟงกชน F : S nR โดยท F

= ( 1f , 2f , ... , nf )

เรากลาววา 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

เปน คาเชงอนพนธแมนตรง

ถา มฟงกชน : S R ซง

d = 1f d 1x + 2f d 2x + ... + nf d nx

แลว F จะเปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

และ ฟงกชนศกยของ F คอ + c เมอ c เปนคาคงตว

2. ผลจาก ทฤษฎบท 3.5.6 จะได

สาหรบฟงกชน F = ( 1f , 2f , ... , nf )

ถา iD jf jD if สาหรบบางคา i และ j

แลว F จะไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

3. บทกลบของทฤษฎบท 5.3.4 ทฤษฎบท 5.3.5

และ ทฤษฎบท 5.3.6 ไมจรง



5 - 122

ตวอยาง 5.3.8 กาหนดให S = 2R - {(0, 0)}

และ F = ( 1f , 2f ) : S 2R

นยามโดย F(x, y) = ( 1f (x, y), 2f (x, y))

เมอ 1f (x, y) = 22 yx

y

และ 2f (x, y) = 22 yx

x

จงแสดงวา 1. 1D 2f = 2D 1f

2. F ไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

วธทา เมอ (x, y) (0, 0)

1. 1D 2f (x, y) = x (

22 yxx

)

= 222

222

)yx(

x2)yx(

= 222

22

)yx(

xy

2D 1f (x, y) = y (

22 yx

y

)

= 22

222

)yx(

y2)yx(

= 222

22

)yx(

xy

เพราะฉะนน 1D 2f (x, y) = 2D 1f (x, y) บน S



5 - 123

2. ให C : r(t) = (cos t, sin t) , 0 t 2

ซงมกราฟเปนวงกลมมจดศนยกลางทจด (0, 0)

และ มรศมเทากบ เพราะฉะนน C เปนเสนโคงปด

C

F d r

=

2

0

F( r(t)) r

(t) dt

= 2

0

(-sin t, cos t) . (-sin t, cos t) dt

= 2

0

( tsin2 + 2cos t) dt

= 2

0

1 dt

= 2

เพราะฉะนน มเสนโคงปด C ท C$ F

d r

0

โดยทฤษฎบท 5.3.2

สรปไดวา F ไมเปนฟงกชนเกรเดยนตบน S



5 - 124

เนองจากการหาคา C

F d r

โดยใชฟงกชนศกย ของ F

มความสะดวกในการหาคา C

F d r

ดงนนเราจงสนใจเงอนไขของเซต S ททาให

F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S กตอเมอ iD jf (X) = jD if (X)

ทกคา i, j = 1, 2, ... , n และ X S

เชนกรณท S เปนแผนสเหลยมผนผาดงทฤษฎบท 5.3.7

ทฤษฎบท 5.3.7 ให F : S 2R

เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนอง บน S

เมอ S = (a, b) (c, d) และ F(x, y) = (P(x, y), Q(x, y))

ถา y P(x, y) =

x Q(x, y) แลว F

จะมฟงกชนศกยบน S

บทพสจน ให ( 0x , 0y ) S

กาหนดให (x, y) = x

0x

P(t, y) dt + y

0y

Q( 0x , t) dt

เพราะฉะนน x (x, y) =

x (

x

0x

P(t, y) dt + y

0y

Q( 0x , t) dt)

= x (

x

0x

P(t, y) dt) + x (

y

0y

Q( 0x , t) dt)



5 - 125

= x (

x

0x

P(t, y) dt) + 0

(เพราะวา y

0y

Q( 0x , t) dt เปนฟงกชนของ y)

= P(x, y) (โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสบททหนง)

y (x, y) =

y (

x

0x

P(t, y) dt + y

0y

Q( 0x , t) dt)

= y (

x

0x

P(t, y) dt) + y (

y

0y

Q( 0x , t) dt)

= y (

x

0x

P(t, y) dt) + Q( 0x , y)

(โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลสบททหนง)

= x

0xy P(t, y) dt + Q( 0x , y)

= x

0xx Q(t, y) dt + Q( 0x , y) (เพราะวา

y P =

x Q)

= Q(x, y) - Q( 0x , y) + Q( 0x , y)

= Q(x, y)

เพราะฉะนน = F

เพราะฉะนน F มฟงกชนศกยบน S



5 - 126

หมายเหต ผลของทฤษฎบทท 5.3.7

จะได สาหรบ F : S 2R

ทเปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบน S

เมอ S = ( 1a , 1b ) ( 2a , 2b )

และ F( 1x , 2x ) = ( 1f ( 1x , 2x ), 2f ( 1x , 2x ))

ถา 2D 1f = 1D 2f แลว F จะมฟงกชนศกยบน S

ในทานองเดยวกน

สาหรบกรณทวไปจะไดผลดงทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 5.3.8 ถา F = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S nR

เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบน S

เมอ S = ( 1a , 1b ) ( 2a , 2b ) ... ( na , nb )

และ iD jf (X) = jD if (X)

ทก X S และ ทก i, j = 1, 2, ... , n

แลว F จะมฟงกชนศกยบน S

จากขอสงเกตวาสองจด A, B ใดๆ ใน S = (a, b) (c, d)

จะได สวนของเสนตรง AB ตองอยใน S ดวย

บทนยาม

เซต S ใน nR ทมสมบตวา สองจด A, B ใด ๆ ใน S

สวนของเสนตรง AB ตองอยใน S เราเรยกวา เซตนน



5 - 127

ตวอยาง 1. S = {(x, y) 16x2

+ 9

y2 1}

รปท 5.3.13

เพราะวา สองจด A, B ใดๆ ใน S จะได สวนของเสนตรง AB

อยใน S เพราะฉะนน S เปนเซตนน

ตวอยาง 2. S = {(x, y) 4 2x + 2y 16}

รปท 5.3.14

เพราะวา A(-3, 0) และ B(3, 0) เปนจดใน S แตสวนของ

เสนตรง AB ไมอยใน S เพราะฉะนน S ไมเปนเซตนน


ถา F = ( 1f , 2f , ... , nf ) : S nR

เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตนน S

และ iD jf (X) = jD if (X)

ทก X S และ ทก i, j = 1, 2, ... , n

แลว F จะมฟงกชนศกยบน S



5 - 128

บทนยาม 5.3.4 ให S เปนเซตเปดใน 3R , F : S 3R

เปนฟงกชนคาเวกเตอรทตอเนองบน S

ถา F = ( 1f , 2f , 3f ) มอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปด S

แลว เวกเตอร

(yf3

- zf2

) i + (

zf1

- xf3

) j + (

xf2

- yf1

)k

เรยกวา เคอรล ของฟงกชน F

เขยนแทนดวย curl F หรอ F

ตวอยาง F(x, y, z) = (xyz, x + 2y + 3z, xy + 2z )

ม 1f (x, y, z) = xyz

2f (x, y, z) = x + 2y + 3z

3f (x, y, z) = xy + 2z

(yf3

- zf2

) i = (x - 3) i

(zf1

- xf3

) j = (xy - y) j

(xf2

- yf1

)k = (1 - xz)k

เพราะฉะนน F

= (yf3

- zf2

) i + (

zf1

- xf3

) j + (

xf2

- yf1

)k

= (x - 3) i + (xy - y) j

+ (1 - xz)k



5 - 129

การคานวณคา

fffzyx

kji

321

ในรปแบบคลายการหาคากาหนด

จะได

fffzyx

kji

321

= (-1) 11 ( i)

ffzy 32

+ (-1) 21 ( j)

ffzx 31

+ (-1) 31 (k)

ffyx 21

= ( i)

ffzy 32

- ( j)

ffzx 31

+ (k)

ffyx 21

= ( i)(

yf3

- zf2

) - ( j)(

xf3

- zf1

) + (k)(

xf2

- yf1

)

= ( i)(

yf3

- zf2

) + ( j)(

zf1

- xf3

) + (k)(

xf2

- yf1

)

= (yf3

- zf2

) i + (

zf1

- xf3

) j + (

xf2

- yf1

)k

เพราะฉะนน F มโครงสรางของสตรตรงกบ

fffzyx

kji

321

เพราะฉะนนเราสามารถหาเคอรล F

โดยใชสตร F =

fffzyx

kji

321



5 - 130

ตวอยาง F(x, y, z) = (2 2x z, 3 2y z, x + 2y + 3z)

ม 1f (x, y, z) = 2 2x z

2f (x, y, z) = 3 2y z

3f (x, y, z) = x + 2y + 3z

เพราะฉะนน F =

zyxzyzx

zyx

kji

22

= ( i)

z3y2xzy3

zy 2

- ( j)

z3y2xzx2zx

2

+ (k)

xy3zx2

yx 22

= ( i)(2 - 3 2y ) - ( j

)(1 - 2 2x ) + (k

)(3 2y - 0)

= (2 - 3 2y ) i - (1 - 2 2x ) j

+ (3 2y )k

= (2 - 3 2y ) i + (2 2x - 1) j

+ (3 2y )k

จากทฤษฎบท 5.3.3 และ ทฤษฎบท 5.3.9 จะสรปไดวา


ถา F : S 3R เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนอง

บนเซตนน S แลว ขอความตอไปนสมมลกน

1. อนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน S

2. F เปนฟงกชนเกรเดยนตบน S

3. curl F = F

= 0 บน S



5 - 131

ตวอยาง 5.3.9

กาหนด S เปนเซตนนซงเปนสบเซตของ 2R - {(0, 0)}

และ F(x, y) = (

22 yx

y

, 22 yx

x

)

จงแสดงวา C$ F

d r

= 0 เมอ C เปนเสนโคงปดใด ๆ ใน S

วธทา ให 1f (x, y) = 22 yx

y

และ 2f (x, y) = 22 yx

x

เพราะฉะนน F(x, y) = ( 1f (x, y), 2f (x, y))

จากตวอยาง 5.3.8 จะได 1D 2f (x, y) = 2D 1f (x, y)

เมอ (x, y) (0, 0)

เพราะวา S เปนเซตนนซงเปนสบเซตของ 2R - {(0, 0)}

เพราะฉะนน 1D 2f = 2D 1f บน S


เพราะฉะนน C$ F

d r

= 0 ทกเสนโคงปด C ใน S

หมายเหต ในการตรวจสอบฟงกชนเกรเดยนต และ

การหาฟงกชนศกย ตองพจารณาทงฟงกชน F และเซต S

เพราะฉะนนหากจะกลาววา F เปนฟงกชนเกรเดยนต

จะตองระบเซต S ดวย ดงนนในกรณทมไดระบเซต S

หรอ โดเมนของ F

จะถอวาเซต S เปนเซตทใหญทสดสามารถหาคา F ได



5 - 132

ตวอยาง 5.3.10 จงแสดงวา

(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

เปนผลตางอนพทธแมนตรง และหาคาของ

6) 3, (2,

3) 2, (1,

(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

วธทา เลอก (x, y, z) = xyz + x + 2y + 4z

จะได d = x

dx + ydy +

zdz

= (yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

เพราะฉะนน (yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

เปนผลตางอนพทธแมนตรง

เพราะฉะนน F(x, y, z) = (yz + 1, xz + 2, xy + 4)

เปนฟงกชนเกรเดยนต ทม เปนฟงกชนศกย


6) 3, (2,

3) 2, (1,

(yz + 1) dx + (xz + 2) dy + (xy + 4) dz

= (2, 3, 6) - (1, 2, 3)

= 68 - 23

= 45



5 - 133

ตวอยาง 5.3.11 จงหาฟงกชนศกยของฟงกชน

F(x, y, z) = (y + z + yz xyze , x - z + xz xyze , x - y + xy xyze )

และหาคา 1) 0, (3,

0) 2, (1,

(y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy

+ (x - y + xy xyze ) dz

วธทา เลอก (x, y, z) = xy + xz - yz + xyze

จะได d = x

dx + ydy +

zdz

= (y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy


เพราะฉะนน (x, y, z)

= (y + z + yz xyze , x - z + xz xyze , x - y + xy xyze )

เพราะฉะนน ฟงกชนศกยของ F

คอ (x, y, z) = xy + xz - yz + xyze

เพราะฉะนน 1) 0, (3,

0) 2, (1,

(y + z + yz xyze ) dx + (x - z + xz xyze ) dy


= (3, 0, 1) - (1, 2, 0)

= 4 - 3

= 1



5 - 134


F(x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)

จงตรวจสอบวา F เปนฟงกชนเกรเดยนตหรอไม

ถาเปนจงหาฟงกชนศกยของ F

วธทา ให 1f (x, y, z) = 2y + 6z + 2

2f (x, y, z) = 2x + 3z + 3

3f (x, y, z) = 3y + 6x + 4

เพราะฉะนน F(x, y, z) = ( 1f (x, y, z), 2f (x, y, z), 3f (x, y, z))

และ curl F = F

=

fffzyx

kji

321

= ( i)(

yf3

- zf2

) - ( j)(

xf3

- zf1

) + (k)(

xf2

- yf1

)

= ( i)(3 - 3) - ( j

)(6 - 6) + (k

)(2 - 2)

= 0

โดยทฤษฎบท 5.3.10 จะได

F(x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)

เปนฟงกชนเกรเดยนต

การหา (x, y, z)

จาก (x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)

ขนท 1. (x, y, z) = (2y + 6z + 2) dx + g(y, z)

= 2yx + 6zx + 2x + g(y, z) ... (1)



5 - 135

ขนท 2. y (x, y, z) =

y (2yx + 6zx + 2x + g(y, z))

เพราะฉะนน 2f (x,y,z) = y (2yx + 6zx + 2x) +

y g(y,z)

2x + 3z + 3 = 2x + y g(y, z)

y g(y, z) = 3z + 3

ขนท 3. g(y, z) = y g(y, z) dy + h(z)

= (3z + 3) dy + h(z) = 3zy + 3y + h(z)

แทนคา g(y, z) ใน (1) จะได

(x, y, z) = 2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + h(z)

ขนท 4. z (x,y,z) =

z (2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + h(z))

3f = 6x + 3y + z h(z)

3y + 6x + 4 = 6x + 3y + z h(z)

z h(z) = 4

เพราะฉะนน h(z) = z h(z) dz = 4 dz

= 4z + K เมอ K เปนคาคงตว


(x, y, z) = 2yx + 6zx + 2x + 3zy + 3y + 4z + K

เพราะฉะนนเลอก (x, y, z) = 2xy + 3yz + 6xz + 2x + 3y + 4z

เปนฟงกชนศกย

หมายเหต ลองหา (x, y, z) โดยใชแบบท 2.



5 - 136


F(x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)

1. จงหาคา C

F d r

เมอ C : r(t) = (4 cos t, 4 sin t, 8t) บนชวง 0 t

2

2. จงหาคา C$ F

d r

เมอ C คอวงร

16x2

+ 25y2

= 1, z = 0

วธทา 1. จากตวอยาง 5.3.12 จะได

F(x, y, z) = (2y + 6z + 2, 2x + 3z + 3, 3y + 6x + 4)

เปนฟงกชนเกรเดยนตบน 3R โดยม ฟงกชนศกย

(x, y, z) = 2xy + 3yz + 6xz + 2x + 3y + 4z

เพราะฉะนนอนทกรลตามเสนของ F เปนอสระจากวถใน 3R

เพราะวาเสนโคง C : r(t) = (4 cos t,4 sin t,8t) บน 0 t

2

มจดเรมตนทจด A(4, 0, 0) และจดสนสดทจด B(0, 4, 4)


F d r

= (4, 0, 0) - (0, 4, 4)

= (0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0) - (0 + 48 + 0 + 0 + 12 + 16)

= -4 - 64

2. เพราะวา วงร C : 16x2

+ 25y2

= 1, z = 0

เปนเสนโคงปด และ F เปนฟงกชนเกรเดยนต

เพราะฉะนน C$ F

d r

= 0



5 - 137

5.4 ทฤษฎบทของกรน

ในปรภมสองมตจะเหนไดวา สาหรบบรเวณ R บนระนาบ XY

ทมขอบ จะเหนไดวาขอบของบรเวณ R เปนเสนโคง

ในทางกลบกน หาก C เปนเสนโคงปด กจะไดบรเวณท

ลอมรอบดวยเสนโคงปดจะเปนบรเวณบนระนาบ XY

ดงรปท 5.4.1

รปท 5.4.1

ในบทท 4 เราไดศกษาเกยวกบ

อนทกรลสองชนบนบรเวณ R ในระนาบ XY และ

ในบทท 5 เราไดศกษาเกยวกบอนทกรลบนเสนโคงปดมาแลว

ในหวขอ 5.4 น เราจะศกษาเกยวกบความสมพนธระหวาง

อนทกรลสองชนบนบรเวณ R ในระนาบ XY (R

)

กบอนทกรลตามเสนโคง C ซงลอมรอบบรเวณ R ( C$ )



5 - 138

ขอตกลง เสนโคงปดทเราศกษาในหวขอนหมายถงเสนโคงปดท

มทศทางทวนเขมนาฬกา

ตวอยาง 5.4.1 กาหนดให P(x, y), Q(x, y) เปนฟงกชนทม

อนพนธอยางตอเนองบน R เมอ

R = [a, b] [c, d] โดยม C เปนเสนรอบวงของบรเวณ R

จงแสดงวา C$ P dx + Q dy =

R

(xQ

- yP ) dA

วธทา

รปท 5.4.2

ให C = 1C + 2C + 3C + 4C เมอ

1C : y = c และ a x b จากจด (a, c) ไปยงจด (b, c)

2C : x = b และ c y d จากจด (b, c) ไปยงจด (b, d)

3C : y = d และ a x b จากจด (b, d) ไปยงจด (a, d)

4C : x = a และ c y d จากจด (a, d) ไปยงจด (a, c)



5 - 139

R

xQ

dA = d

cb

axQ

dx dy

= d

c

( b

axQ

dx) dy

= d

c

(Q(b, y) - Q(a, y)) dy

(โดยทฤษฎบทหลกมลของแคลคลส บททสอง)

= d

c

Q(b, y) dy - d

c

Q(a, y) dy

= d

c

Q(b, y) dy + c

d

Q(a, y) dy

= 2C

Q dy + 4C

Q dy

เพราะวาบนสวนของเสนตรง 1C และ 3C

จะไดคาของ y เปนคาคงตว


Q dy = 0 และ 3C

Q dy = 0

เพราะฉะนน R

xQ

dA

= 1C

Q dy + 2C

Q dy + 3C

Q dy + 4C

Q dy

= C$ Q dy ... (1)



5 - 140

R

yP dA =

b

ad

cyP dy dx =

b

a

(d

cyP dy) dx

= b

a

(P(x, d) - P(x, c)) dx

= b

a

P(x, d) dx - b

a

P(x, c) dx

= - 3C

P dx - 1C

P dx

เพราะวาบนสวนของเสนตรง 2C และ 4C

จะไดคาของ x เปนคาคงตว


P dx = 0, 4C

P dx = x


yP dA

= - 1C

P dx - 2C

P dx - 3C

P dx - 4C

P dx

= - C$ P dx ... (2)

จาก (1) และ (2) จะได

R

xQ

dA - R

yP dA =

C$ Q dy +

C$ P dx


(xQ

- yP ) dA =

C$ P dx + Q dy



5 - 141

จากตวอยาง 5.4.1 จะเหนวาอนทกรลสองชนบนบรเวณ R ใน

ระนาบ XY มความสมพนธกบ อนทกรลบนเสนโคงปด C สงท

เราศกษาตอไปคอ กรณทบรเวณ R มรปอน ๆ ดงตวอยางในรป

ท 5.4.3 ความสมพนธ

R

(xQ

- yP ) dA =

C$ P dx + Q dy จะยงเปนจรงหรอไม

รปท 5.4.3

บทนยาม 5.4.1 กาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน 2R

S เปน บรเวณเชอมโยงเชงเดยว กตอเมอ

บรเวณภายในของทกเสนโคงปดเชงเดยวใน S เปนสบเซตของ S



5 - 142

รปท 5.4.4 (ก) รปท 5.4.4 (ข) รปท 5.4.4 (ค)

ในรปท 5.3.4 (ก) เพราะวา บรเวณภายในของทกเสนโคงปด

เชงเดยว C ใน S เปนสบเซตของ S

เพราะฉะนน S เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว

ในรปท 5.3.4 (ข) เพราะวา บรเวณภายในของทกเสนโคงปด

เชงเดยว C ใน S เปนสบเซตของ S

เพราะฉะนน S เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว

ในรปท 5.3.4 (ค) เพราะวามเสนโคงปด 1C ทบรเวณภายใน

ของเสนโคง 1C ไมเปนสบเซตของ S

เพราะฉะนน S ไมเปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว

ตวอยางอน ๆ เชน บรเวณสเหลยมผนผา (a, b) (c, d)

บรเวณภายใน วงกลม หรอ วงร {(x, y) 2

2

ax +

2

2

b

y 1}

หมายเหต ถา S เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว

แลว ภายใน S จะไมมชองโหวเลย



5 - 143

บทนยาม 5.4.2 กาหนดให S เปนเซตเปดทเชอมโยงไดใน 2R

S เปน บรเวณเชอมโยงหลายเชง

กตอเมอ มเสนโคงปดเชงเดยวใน S ทบรเวณภายในเสนโคงปด

นนไมเปนสบเซตของ S

รปท 5.4.5 (ก) รปท 5.4.5 (ข) รปท 5.4.5 (ค)

รปท 5.4.5 (ก) S เปนบรเวณเชอมโยงเชงเดยว

รปท 5.4.5 (ข) และ (ค) S เปนบรเวณเชอมโยงหลายเชง

หรอบรเวณทมชองโหวภายใน


(ทฤษฎบทของกรนสาหรบบรเวณเชอมโยงเชงเดยว)

ให D เปนเซตเปดใน 2R และ C เปนเสนโคงเรยบเปนชวงๆ

และเปนเสนโคงปดเชงเดยวใน D

P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบน R จะได

C$ P dx + Q dy =

R

(xQ

- yP ) dA

เมอ R เปนบรเวณซงเปนยเนยนของ C

และบรเวณภายใน C โดยทอนทกรลตามเสนบน C

กระทาในทศทางทวนเขมนาฬกา



5 - 144

บทพสจน ให บรเวณ R สามารถกาหนดเงอนไขได 2 แบบคอ

แบบท 1. R = {(x, y) a x b ; 1g (x) y 2g (x)}

ดงรปท 5.4.6 (ก)

เมอ 1g , 2g ตอเนองบน [a, b]

และอนพนธของ 1g , 2g ตอเนองบน (a, b)

แบบท 2. R = {(x, y) c y d ; 1h (y) x 2h (y)}

ดงรปท 5.4.6 (ข)

เมอ 1h , 2h ตอเนองบน [c, d]

และอนพนธของ 1h , 2h ตอเนองบน (c, d)

รปท 5.4.6 (ก) รปท 5.4.6 (ข)



5 - 145

การหาความสมพนธของคา R

yP dA และ

C$ P(x, y) dx

โดยพจารณา R ตามรปแบบท 1.

เมอ C = 1C + 2C ในทศทางทวนเขมนาฬกา ซงกาหนดโดย

1C เปนเสนโคง y = 1g (x) และ a x b จากจด A ไปยงจด B

2C เปนเสนโคง y = 2g (x) และ a x b จากจด B ไปยงจด A


รปท 5.4.7

C$ P(x, y) dx =

1C

P(x, y) dx + 2C

P(x, y) dx

= b

a

P(x, 1g (x)) dx + a

b

P(x, 2g (x)) dx

= b

a

P(x, 1g (x)) dx - b

a

P(x, 2g (x)) dx ... (1)



5 - 146

พจารณา R

yP dA

เมอ R = {(x, y) a x b ; 1g (x) y 2g (x)}

R

yP dA =

b

a

)x(2g

)x(1gyP dy dx

= b

a

[ P(x, y) ])x(gy

)x(gy

2

1

dx

= b

a

[ P(x, 2g (x)) - P(x, 1g (x)) ] dx

= -b

a

P(x, 1g (x)) dx + b

a

P(x, 2g (x)) dx ... (2)


C$ P(x, y) dx = -

RyP dA ... (3)



5 - 147

การหาความสมพนธของคา R

xQ

dA และ C$ Q(x, y) dy

โดยพจารณา R ตามรปแบบท 2.

เมอ C = 1C + 2C ในทศทางทวนเขมนาฬกา ซงกาหนดโดย

1C เปนเสนโคง x = 1h (y) และ c y d จากจด A ไปยงจด B

2C เปนเสนโคง x = 2h (y) และ c y d จากจด B ไปยงจด A


รปท 5.4.8

C$ Q(x, y) dy =

1C

Q(x, y) dy + 2C

Q(x, y) dy

= d

c

Q( 2h (y), y) dy + c

d

Q( 1h (y), y) dy

= d

c

Q( 2h (y), y) dy - d

c

Q( 1h (y), y) dy ... (4)



5 - 148

พจารณา R

xQ

dA

เมอ R = {(x, y) c y d ; 1h (y) x 2h (y)}

จะได R

xQ

dA = d

c

)x(2h

)x(1hxQ

dx dy

= d

c

( )x(2h

)x(1hxQ

dx) dy

= d

c

[ Q(x, y) ] )y(hx

)y(hx

2

1

dy

= d

c

[ Q( 2h (y), y) - Q( 1h (y), y) ] dy

= d

c

Q( 2h (y), y) dy - d

c

Q( 1h (y), y) dy ... (5)

จาก (4) และ (5)

จะได C$ Q(x, y) dy =

RxQ

dA ... (6)


C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

R

(xQ

- yP ) dA



5 - 149

หมายเหต มบรเวณหลายลกษณะทสามารถกาหนดเงอนไข

ไดในรปแบบท 1. และ รปแบบท 2.

ตวอยางอนๆ เชน

รปท 5.4.9 (ก) รปท 5.4.9 (ข)

รปท 5.4.9 (ค) รปท 5.4.9 (ง)

บรเวณ R ตาง ๆ ในรปท 5.4.9

สามารถกาหนดเงอนไขได 2 แบบดวย


C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy =

R

(xQ

- yP ) dA

เปนจรง สาหรบ R ดงรปท 5.4.9



5 - 150

ในกรณท R = 1R 2R ... nR

โดยท iR เขยนเปนบรเวณ แบบท 1. และ แบบท 2.

ดงรปท 5.4.9 หรอเปนบรเวณสเหลยมผนผา ตวอยางเชน

รปท 5.4.10

ให iC เปนเสนโคงทปดลอม iR และมทศทางทวนเขมนาฬกา

จะได

C i

$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy = iR

(xQ

- yP ) dA เปนจรง

เพราะวา iC และ jC ทมสวนของเสนตรงรวมกน

สวนของเสนตรงนนตองมทศทางตรงขาม

เพราะฉะนน C =

n

1 iiC



5 - 151


(xQ

- yP ) dA =

n

1i

iR

(xQ

- yP ) dA

=

n

1 i C i

$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

=

n

1 iiC

P(x, y) dx + Q(x, y) dy

= C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

หมายเหต จากทฤษฎบทของกรน

R

(xQ

- yP ) dA =

C$ P dx + Q dy

เมอ C เปนเสนรอบรปของ R ทศทางทวนเขมนาฬกา

ถา yP =

xQ

แลว xQ

- yP = 0


(xQ

- yP ) dA = 0

เพราะฉะนน C$ P dx + Q dy = 0


ถา yP =

xQ

แลว อนทกรลตามเสนของฟงกชน F = (P, Q)

บนวถปดมคาเปนศนย



5 - 152

ดงนนเราสามารถขยายเงอนไขของ ทฤษฎบท 5.3.9

จากเซตนนมาเปนเซตทเชอมโยงเชงเดยวได

ทฤษฎบท 5.4.2 กาหนดให F = (P, Q) เปนฟงกชน

ทมอนพนธอยางตอเนองบน S

ซงเปนเซตเปดทเชอมโยงเชงเดยวใน 2R จะได

F เปนฟงกชนเกรเดยนต กตอเมอ

yP =

xQ

บน S



5 - 153

ตวอยาง 5.4.2 จงใชทฤษฎบทของกรนหาคาอนทกรล

C$ (

2x - 4 2y + 4) dx - 8xy dy

เมอ C เปนรปวงร 16x2

+ 9

y2 = 1 ในทศทางทวนเขมนาฬกา

วธทา ให P(x, y) = 2x - 4 2y + 4 และ Q(x, y) = -8xy

เพราะฉะนน yP = -8y และ

xQ

= -8y

เพราะฉะนน P(x, y) = 2x - 4 2y + 4 และ Q(x, y) = -8xy

มอนพนธอยางตอเนองบน R

รปท 5.4.11

ให R เปนบรเวณภายในวงร 16x2

+ 9

y2 = 1 รวมเสนโคง C

โดยทฤษฎบทของกรนจะได

C$ (

2x - 4 2y + 4) dx - 8xy dy = R

(xQ

- yP ) dA

= R

(-8y - (-8y)) dA

= R

0 dA = 0



5 - 154

ตวอยาง 5.4.3 อนภาคหนงเคลอนทตามเสนรอบวง

ของวงกลม 2x + 2y = 16 ในทศทางทวนเขมนาฬกา

ดวยแรง F(x, y) = (x + 3 sin x - 2 3y , 2y + 4 cos y + 2 3x )

จงใชทฤษฎบทของกรน หางานทเกดจากการเคลอนอนภาคน

วธทา C เปนวงกลม 2x + 2y = 16 ทศทางทวนเขมนาฬกา

R เปนบรเวณภายในวงกลม 2x + 2y = 16 รวมเสนโคง C

รปท 5.4.12

ให W แทนงานทเกดจากการเคลอนอนภาคไปบนวงกลม C

ในทศทางทวนเขมนาฬกา


W = C$ (x + 3 sin x - 2 3y ) dx + (2y + 4 cos y + 2 3x ) dy

ให P(x, y) = x + 3 sin x - 2 3y

และ Q(x, y) = 2y + 4 cos y + 2 3x

เพราะฉะนน yP = -6 2y และ

xQ

= 6 2x



5 - 155

เพราะฉะนน P(x, y) = x + 3 sin x - 2 3y

และ Q(x, y) = 2y + 4 cos y + 2 3x

มอนพนธอยางตอเนองบน R

W = C$ (x + 3 sin x - 2 3y ) dx + (2y + 4 cos y + 2 3x ) dy

= R

(xQ

- yP ) dA (โดยทฤษฎบทของกรน)

= R

[ 6 2x + 6 2y ] dA

= 6 R

( 2x + 2y ) dA

เปลยนตวแปร เปนระบบพกดเชงขว x = r cos , y = r sin

จะได 0 r 4 และ 0 2

เพราะฉะนน W = 6 2

04

0

( 2r ) r dr d

= 6 2

0

[ 4r4

] 0 r 4 r

d

= 6 2

0

64 d

= 6(128 )

= 768



5 - 156

ตวอยาง 5.4.4

ทฤษฎบท ให C เปนเสนโคงปดเชงเดยว ใน 2R ทศทางทวน

เขมนาฬกา R เปนบรเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดวย

จะได 1. พนทของบรเวณ R มคาเทากบ C$ -y dx

2. พนทของบรเวณ R มคาเทากบ C$ x dy

3. พนทของบรเวณ R มคาเทากบ 21 C$ -y dx + x dy

วธทา พนทของบรเวณ R = คอ R

(1) dA

จากทฤษฎบทของกรน C$ P dx + Q dy =

R

(xQ

- yP ) dA

1. เลอก P(x, y) = -y และ Q(x, y) = 0

เพราะฉะนน P(x, y), Q(x, y) มอนพนธอยางตอเนองบน R

และ yP = -1,

xQ

= 0

เพราะฉะนน C$ -y dx =

C$ -y dx + (0) dy

= C$ P dx + Q dy =

R

(xQ

- yP ) dA

= R

((0 - (-1)) dA = R

(1) dA = พนทของ R

เพราะฉะนน พนทของ R = C$ -y dx ... (1)



5 - 157

2. เลอก P(x, y) = 0 และ Q(x, y) = x

เพราะฉะนน P(x, y), Q(x, y) มอนพนธอยางตอเนองบน R

และ yP = 0,

xQ

= 1

เพราะฉะนน C$ x dy =

C$ (0) dx + x dy

= C$ P dx + Q dy

= R

(xQ

- yP ) dA

= R

(1 - 0) dA

= R

(1) dA

= พนทของ R

เพราะฉะนน พนทของ R = C$ x dy ... (2)

3. พนทของ R = 21(พนทของ R + พนทของ R)

= 21 (

C$ -y dx +

C$ x dy) (จาก (1) และ (2))

= 21 C$ -y dx + x dy



5 - 158

ตวอยาง 5.4.5 จงใชทฤษฎบทของกรนหาพนท

1. บรเวณปดลอมดวยเสนโคง C : r(t) = (k 3cos t, k 3sin t)

เมอ 0 t 2, k เปนจานวนจรง

2. บรเวณปดลอมดวยวงร 2

2

a

x + 2

2

b

y = 1

วธทา

รปท 5.4.13 (ก) รปท 5.4.13 (ข)

1. C : r(t) = (k 3cos t, k 3sin t) เมอ เมอ 0 t 2

R เปนบรเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดงรปท 5.4.13 (ก)



5 - 159

เพราะฉะนน พนทของ R = 21 C$ -y dx + x dy

= 21 (

2

0

-(k 3sin t) d(k 3cos t) + 2

0

(k 3cos t) d(k 3sin t))

= 2

k2 (

2

0

-( 3sin t) d( 3cos t) + 2

0

( 3cos t) d( 3sin t))

= 2

k2 (

2

0

-( 3sin t)(-3 2cos t sin t) dt

+ 2

0

( 3cos t)(3 2sin t cos t) dt)

= 2k3 2

2

0

( 4sin t 2cos t + 4cos t 2sin t) dt

= 2k3 2

2

0

2sin t 2cos t ( 2sin t + 2cos t) dt

= 2k3 2

2

0

2sin t 2cos t) dt

= 8k3 2

2

0

2sin 2t dt

= 16k3 2

2

0

(1 - cos 4t) dt

= 16k3 2

[ t - 4

t4sin ] 0t2t

=

8k3 2



5 - 160

หมายเหต เพราะวาสตรการหาพนทนสตเลอกได 3 แบบขางตน

การเลอกทเหมาะสมจะทาใหการอนทเกรตงายลง

เชนหากนสตเลอกใชสตร

พนทของ R = C$ x dy

= 2

0

k 3cos t d(k 3sin t)

= 2

0

k 3cos t 3k 2sin t cos t dt

= 3 2k 2

0

4cos t 2sin t dt

= 3 2k 2

0

4cos t (1 - 2cos t) dt

= 3 2k 2

0

( 4cos t - 6cos t) dt

จะได 8

k3 2 เหมอนกน

แตเทคนคการอนทเกรตจะยากกวาขางตน



5 - 161

2. ให C เปนเสนโคงปดลอมดวยวงร 2

2

ax +

2

2

b

y = 1

ทศทางทวนเขมนาฬกา

เพราะฉะนน C เปนเสนโคงปดเชงเดยวทศทางทวนเขมนาฬกา

R เปนบรเวณภายใน C รวมเสนโคง C ดวย

ดงรปท 5.4.13 (ข)

เพราะฉะนน พนทของ R = C$ -y dx

เพราะวาสมการวงรคอ 2

2

ax +

2

2

b

y = 1

เพราะฉะนนวถ C คอ r(t) = (a cos t, b sin t) เมอ 0 t 2

เพราะวา บนเสนโคง C จะได x = a cos t, y = b sin t

และ dtdx = -a sin t

เพราะฉะนน พนทของวงร = C$ -y dx

= 2

0

(-b sin t)(-a sin t) dt

= ab 2

0

tsin2 dt

= ab 2

02

t2cos1 dt

= ab [ 2t -

4t2sin ]

0t2t

= ab



5 - 162

ตวอยาง 5.4.6 ในการเคลอนวตถดวยแรง

F(x, y) = (3x - 4y + 12, 6x + 2y + 5)

ไปตามเสนโคงรปวงร 25x2

+ 16y2

= 1 ทศทางทวนเขมนาฬกา

จงใชทฤษฎบทของกรนหางานทได

วธทา ให W = งานทไดจากการเคลอนวตถดวยแรง

F(x, y) = (3x - 4y + 12, 6x + 2y + 5)

ไปตามวงร 25x2

+ 16y2

= 1

เพราะฉะนน W = C (3x - 4y + 12) dx + (6x + 2y + 5) dy

เมอ C เปนวงร 25x2

+ 16y2

= 1 ทศทางทวนเขมนาฬกา

ให P(x, y) = 3x - 4y + 12 และ Q(x, y) = 6x + 2y + 5

W = C$ F

d r

= C$ (3x - 4y + 12) dx + (6x + 2y + 5) dy

= C$ P(x, y) dx + Q(x, y) dy

= R

(xQ

- yP ) dA =

R

(6 - (-4)) dA

= 10 R

1 dA = 10(พนทของวงร 25x2

+ 16y2

= 1)

= 10((5)(4)) = 200



5 - 163

ตวอยาง 5.4.7 กาหนดให 1C เปนเสนโคงปดรปวงร

16x2

+ 9

y2 = 1 ทศทางทวนเขมนาฬกา

และ 2C เปนเสนโคงปดรปวงกลม (x - 1)2 + 2y = 1


ให R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C

และบรเวณภายในของ 1C ซงไมอยภายใน 2C

จงแสดงวา

R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy

เมอ P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนอง

บนเซตเปดครอบคลม R

วธทา R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C

และบรเวณภายในของ 1C ซงไมอยภายใน 2C เมอ

1C เปนเสนโคงปดรปวงร 16x2

+ 9

y2 = 1


2C เปนเสนโคงปดรปวงกลม (x - 1)2 + 2y = 1




5 - 164

มภาพดงรปท 5.4.14 (ก)

รปท 5.4.14 (ก) รปท 5.4.14 (ข)

ในรปท 5.4.14 (ข)

ให 1K เปนสวนของเสนตรงจากจด D(4, 0) ไปยงจด E(2, 0)

2K เปนสวนของเสนตรงจากจด O(0, 0) ไปยงจด H(-4, 0)

a1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด H ไปยงจด D

b1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด D ไปยงจด H

a2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจด E ไปยงจด O

b2C เปนสวนของเสนโคง 2C จากจด O ไปยงจด E

ให *1C = 1K + a2C + 2K + a1C

และ *2C = - 1K + b1C + (- 2K ) + b2C

เพราะฉะนน *1C และ *

2C เปนเสนโคงปดเรยบเชงเดยว




5 - 165

ให 1R เปนบรเวณภายในของ *1C และรวมดวยจดบนเสนโคง

*1C

2R เปนบรเวณภายในของ *2C และรวมดวยจดบนเสนโคง

*2C

โดยทฤษฎบทของกรน จะได

1R

(xQ

- yP ) dA =

C*1

$ P dx + Q dy

= K1 + C2a + K2 + C1a

$ P dx + Q dy

= 1K

P dx + Q dy + a2C

P dx + Q dy + 2K

P dx + Q dy

+ a1C

P dx + Q dy ... (1)

2R

(xQ

- yP ) dA =

C*2

$ P dx + Q dy

= -K1 + C1b + (-K2) + C2b

$ P dx + Q dy

= 1K

P dx + Q dy + b1C

P dx + Q dy + 2K

P dx + Q dy

+ b2C

P dx + Q dy ... (2)

เพราะวา 1K

P dx + Q dy + 1K

P dx + Q dy = 0

และ 2K

P dx + Q dy + 2K

P dx + Q dy = 0



5 - 166

เพราะฉะนน จาก (1) และ (2) จะได

1R

(xQ

- yP ) dA +

2R

(xQ

- yP ) dA

= a1C

P dx + Q dy + b1C

P dx + Q dy + a2C

P dx + Q dy

+ b2C

P dx + Q dy

= b1C a1C

P dx + Q dy + b2C a2C

P dx + Q dy

= C 1

$ P dx + Q dy + -C 2

$ P dx + Q dy

= C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy

เพราะวา R

(xQ

- yP ) dA

= 1R

(xQ

- yP ) dA +

2R

(xQ

- yP ) dA


(xQ

- yP ) dA

= C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy

โดยใชแนวคดแบบเดยวกบตวอยาง 5.4.7

เราสามารถพสจนทฤษฎบท 5.4.3 ได



5 - 167

ทฤษฎบท 5.4.3 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชงเดยวและเปน

เสนโคงเรยบเปนชวง ๆ และ 1C 2C =

และ บรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2C เปนสบเซตของบรเวณ

ปดลอมดวยเสนโคง 1C

R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C และบรเวณภายในของ 1C

ซงไมอยภายใน 2C

ให P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปด

S ซงครอบคลม R (นนคอ R S)

จะได R

(xQ

-

yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy -

C 2

$ P dx + Q dy



5 - 168

บทพสจน

รปท 5.4.15 (ก) รปท 5.4.15 (ข)

รปท 5.4.15 (ก) แสดงภาพของเสนโคง 1C , 2C และ บรเวณ R

รปท 5.4.15 (ข) 1K เปนสวนของเสนตรงจากจด D ไปยงจด E

2K เปนสวนของเสนตรงจากจด O ไปยงจด H

a1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด H ไปยงจด D

b1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด D ไปยงจด H



ให *1C = 1K + a2C + 2K + a1C

และ *2C = - 1K + b1C + (- 2K ) + b2C






5 - 169

ให


*1C


*2C

โดยทฤษฎบทของกรน

(ใชการจดรปเหมอนกบตวอยาง 5.4.7) จะได

R

(xQ

- yP ) dA

= C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy

หมายเหต ผลของทฤษฎบท 5.4.3 ในกรณท xQ

= yP

จะได C 1

$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy

เพราะฉะนนในการหาคา C 1

$ P dx + Q dy

เราสามารถเลอกเสนโคง 2C ททาให C 2

$ P dx + Q dy

คานวณไดงายกวา ชวยในการหาคา C 1

$ P dx + Q dy



5 - 170

ตวอยาง 5.4.8 จงหาคา C 1

$ 222 )yx(x

dx + 222 )yx(

y

dy

เมอ 1C เปนวงร 16x2

+ 9

y2 = 1 ในทศทางทวนเขมนาฬกา

วธทา ให P(x, y) = 222 )yx(

x

และ Q(x, y) = 222 )yx(

y


C 1

$ 222 )yx(x

dx + 222 )yx(

y

dy =

C 1

$ P dx + Q dy

รปท 5.4.16 (ก) รปท 5.4.16 (ข)

จากขอสงเกตวา C 1

$ P dx + Q dy บนวงร

16x2

+ 9

y2 = 1

จะมความยากของการอนทเกรต

เราจงใชผลของทฤษฎบท 5.4.3 มาชวยหาคาโดย

การอนทเกรตบนเสนโคงปดทมวถงายกวา



5 - 171

เพราะวา yP =

322 )yx(

xy4

และ xQ

= 322 )yx(

xy4

และ P, Q ไมนยามทจด (0, 0)

เลอก 2C เปนเสนโคงปดรปวงกลม 2x + 2y = 1


(หมายเหต การเลอกแบบนจะไดใชประโยชนของ

2x + 2y = 1 ดวย)

เพราะฉะนน 2C : 2 r

(t) = (cos t, sin t) เมอ 0 t 2


ซงไมอยภายใน 2C เพราะฉะนน (0, 0) ไมอยใน R

เพราะฉะนน P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนอง

บนเซต R โดยทฤษฎบท 5.4.3 จะได

R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy


xQ


(xQ

- yP ) dA = 0 ซงจะได

C 1

$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy

= C 2

$ 222 )yx(x

dx + C 2

$ 222 )yx(

y

dy



5 - 172

= C 2

$ 2)1(x dx +

C 2

$ 2)1(

y dy

(เพราะวา (x, y) อยบนวงกลม 2x + 2y = 1)

= C 2

$ x dx + C 2

$ y dy

= 2

0

cos t d(cos t) + 2

0

sin t d(sin t)

(เพราะวา (x, y ) อยบน 2C )

= [ 2

tcos2 ]

0 t 2 t

+ [

2tsin2 ]

0t 2t

= 0

ในกรณทวไปสาหรบเสนโคงปด 1C และ 2C ในปรภมสองมต

สงทเราสนใจขณะนคอ

ในกรณท yP =

xQ

บนบรเวณทครอบคลม 1C และ 2C

ยกเวนทจด A

และ A เปนจดในบรเวณทลอมรอบดวย 1C และ 2C

คาของ C 1

$ P dx + Q dy และ C 2

$ P dx + Q dy

จะเกยวของกนอยางไร



5 - 173

โดยไมสญเสยสาระสาคญของกรณทวไป

เราสามารถสมมตให 2C เลกกวา 1C

เพราะฉะนนจะเกดผลได 2 แบบ คอ

1. 2C อยภายในบรเวณทปดลอมดวย 1C

2. 2C มสวนตดกบ 1C

กรณท 1. 2C อยภายในบรเวณทปดลอมดวย 1C


รปท 5.4.17

ให R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C


จากทฤษฎบท 5.4.3 จะได

R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy


xQ


(xQ

- yP ) dA = 0

เพราะฉะนน C 1

$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy



5 - 174

กรณท 2. 2C มสวนตดกบ 1C ดงรปท 5.4.18 (ก)

รปท 5.4.18 (ก) รปท 5.4.18 (ข)

ให 3C เปนเสนโคงปดทลอมรอบจด A

และอยทงในบรเวณภายในของ 1C และ 2C

ดงรปท 5.4.18 (ข)

รปท 5.4.19 (ก) รปท 5.4.19 (ข)

จากรป 5.4.19 (ก)

ให 1R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C




5 - 175


1R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy - C 3

$ P dx + Q dy


xQ

เพราะฉะนน 1R

(xQ

- yP ) dA = 0


$ P dx + Q dy = C 3

$ P dx + Q dy

จากรป 5.4.19 (ข) ให 2R เปนบรเวณซงประกอบดวย 2C



2R

(xQ

- yP ) dA =

C 2

$ P dx + Q dy - C 3

$ P dx + Q dy


xQ

เพราะฉะนน 2R

(xQ

- yP ) dA = 0


$ P dx + Q dy = C 3

$ P dx + Q dy


$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy



5 - 176

จากทกลาวมาขางตนสรปเปนทฤษฎบท 5.4.4 ดงน

ทฤษฎบท 5.4.4 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชงเดยวซงเปน

เสนโคงเรยบเปนชวง ๆ

ให P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปด S

ซงครอบคลม R เปนบรเวณซงครอบคลม บรเวณภายในของ 1C

และ บรเวณภายในของ 2C

P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองบนเซตเปด S ซง

ครอบคลม R ยกเวนทจด A

ถา yP =

xQ

แลว C 1

$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy



5 - 177

ผลของทฤษฎบท 5.4.4 จะไดขอสรปทสาคญดงน

ทฤษฎบท 5.4.5 C เปนเสนโคงปดเชงเดยวซงเปนเสนโคง

เรยบเปนชวง ๆ P, Q เปนฟงกชน ซง yP =

xQ

คาของ C$ P dx + Q dy มไดเพยง 2 คาเทานน

คอ 0 หรอคาคงตว k

เมอ P และ Q เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนอง

บนเซตเปด S ซงครอบคลม R ยกเวนทจด A

บทพสจน ให R เปนบรเวณซงครอบคลมบรเวณภายใน

ของเสนโคงปด C และจดบน C

กรณท 1. จด A ไมอยในบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง C


xQ

เพราะฉะนน F = (P, Q) เปนฟงกชนเกรเดยนต

เพราะวา C เปนเสนโคงปด

เพราะฉะนน C$ P dx + Q dy = 0

กรณท 2. จด A อยในบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง C

เพราะวา เสนโคง 1C , 2C ใด ๆ ทเปนเสนโคงปดเชงเดยว

ซงเปนเสนโคงเรยบเปนชวง ๆ



5 - 178

ผลจากทฤษฎบทท 5.4.4 จะได

C 1

$ P dx + Q dy = C 2

$ P dx + Q dy

ให k เปนคาคงตว และมคาเทากบ C 1

P dx + Q dy

เพราะวา C เปนเสนโคงทมจด A อยในบรเวณทปดลอมดวยเสน

โคง C

เพราะฉะนน C$ P dx + Q dy =

C 1

$ P dx + Q dy = k

สรป ถา yP =

xQ

แลว

C$ P dx + Q dy เพยง 2 คาเทานน

คอ 0 หรอคาคงตว k



5 - 179

ตวอยาง 5.4.9 จงหาคาของ C$ 22 yx

y

dx + 22 yx

x

dy

เมอ C เปนเสนโคงปดเชงเดยวใน 2R ในทศทางทวนเขมนาฬกา

วธทา ให P(x, y) = 22 yx

y

และ Q(x, y) = 22 yx

x

เพราะฉะนน C$ 22 yx

y

dx + 22 yx

x

dy = C$ P dx + Q dy

เพราะวา P, Q หาคาไมไดทจด (0, 0)

เลอกให จด A คอจด (0, 0)


บน 2R ยกเวนทจด A(0, 0)


222

22

)yx(

yx

และ xQ

= 222

22

)yx(

yx

เพราะฉะนน yP =

xQ

กรณท 1. C เปนเสนโคงปดซงไมม (0, 0)

อยในบรเวณภายใน C

ผลจากกรณท 1. ในการพสจน ทฤษฎบทท 5.4.5 จะได

C$ P dx + Q dy = 0


y

dx + 22 yx

x

dy = 0



5 - 180

กรณท 2. ถา C เปนเสนโคงปดทม (0, 0)

อยในบรเวณภายใน C

C$ P dx + Q dy = k อนทเกรตในทศทางทวนเขมนาฬกา

การหาคา k เราเลอก 1C เปนวงกลม 2x + 2y = 1


C 1

$ P dx + Q dy = C 1

$ 22 yx

y

dx + 22 yx

x

dy

= C 1

$ 1y

dx + 1x dy (เพราะวา 2x + 2y = 1)

= C 1

$ -y dx + x dy

= 2(พนทของวงกลม 1C )

= 2


y

dx + 22 yx

x

dy = 2

จากทงสองกรณสรปไดวา

C$ 22 yx

y

dx + 22 yx

x

dy = 0 หรอ 2



5 - 181

จากทฤษฎบท 5.4.3 เราไดวา

ถา 1C , 2C เปนเสนโคงปดเชงเดยวซงเปน

เสนโคงเรยบเปนชวง ๆ และ 1C 2C =

และ บรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2C เปนสบเซตของบรเวณปด

ลอมดวยเสนโคง 1C


ซงไมอยภายใน 2C


ซงครอบคลม R จะได

R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy



5 - 182

ตวอยาง 5.4.10 จงหาคา C$

23

22 )yx(

x

dx +

23

22 )yx(

y

dy

เมอ C เปนเสนโคง x + y = 2 ทศทางทวนเขมนาฬกา

วธทา

รปท 5.4.22 (ก) รปท 5.4.22 (ข)

วธทา เสนโคง C ประกอบดวยสวนของเสนตรง

x + y =2, x - y = 2, -x + y = 2 และ -x - y = 2

ดงรปท 5.4.22 (ก)

ให P(x, y) =

23

22 )yx(

x

และ Q(x, y) =

23

22 )yx(

y


C$

23

22 )yx(

x

dx +

23

22 )yx(

y

dy = C$ P dx + Q dy

เพราะวา P, Q หาคาไมไดทจด (0, 0)


บน 2R ยกเวนทจด A(0, 0)



5 - 183


25

22 )yx(

xy3

และ

xQ

=

25

22 )yx(

xy3

เพราะฉะนน yP =

xQ

เพราะฉะนน คาอนทกรลตามเสนโคงปดรอบจด (0, 0)

จะมคาเทากนทกเสนโคงปด

เพราะวาการหาคาอนทกรลบน C ตองทาการแจงเปน

4 กรณยอย

เพราะฉะนนเราเลอกเสนโคงปด 1C

เปนวงกลม 2x + 2y = 1 ดงรปท 5.4.22 (ข)

(หมายเหต การเลอก 1C เปนวงกลม 2x + 2y = 1 จะไดใช

ประโยชนของคา 2x + 2y = 1 ทาใหการอนทเกรตงายลง)

เพราะฉะนน C$

23

22 )yx(

x

dx +

23

22 )yx(

y

dy

= C 1

$ 23

22 )yx(

x

dx +

23

22 )yx(

y

dy

= C 1

$ x dx + y dy

= 2

0

cos t d(cos t) + sin t d(sin t)

= [ 2

tcos2 +

2tsin2 ]

0t 2t

= [

21 ]

0 t 2 t

= 21 -

21 = 0



5 - 184

ในกรณทบรเวณ R มชองโหวภายในมากขน

กอนทจะสรปเปนกรณทวไป เราจะศกษาจากกรณตวอยางเชน

1C , 2C , 3C เปนเสนโคงปดเชงเดยว

ซงเปนเสนโคงเรยบเปนชวง ๆ

1C 2C = และ 1C 3C = และ 2C 3C =

2C อยในบรเวณภายในของ 1C

3C อยในบรเวณภายในของ 1C

2C อยในบรเวณภายนอกของ 3C

3C อยในบรเวณภายนอกของ 2C

ซงจะได บรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 2C

เปนสบเซตของบรเวณปดลอมดวยเสนโคง 1C

และ บรเวณทปดลอมดวยเสนโคง 3C เปนสบเซตของบรเวณปด

ลอมดวยเสนโคง 1C


ซงไมอยภายใน 2C และ 3C


ซงครอบคลม R แลว คาของ R

(xQ

- yP ) dA

จะเกยวของอยางไรกบคาของ

C 1

$ P dx + Q dy, C 2

$ P dx + Q dy, C 3

$ P dx + Q dy



5 - 185

จากเงอนไขของ R, 1C , 2C , 3C

อธบายไดดวยรปท 5.4.20 (ก)

รปท 5.4.20 (ก) รปท 5.4.20 (ข)

ในทานองเดยวกนกบการพสจน ทฤษฎบท 5.4.3

รปท 5.4.20 (ข)

1K เปนสวนของเสนตรงจากจด D ไปยงจด E

2K เปนสวนของเสนตรงจากจด O ไปยงจด H

3K เปนเสนตรงจากจด I ไปยงจด J

a1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด J ไปยงจด D

b1C เปนสวนของเสนโคง 1C จากจด D ไปยงจด J



a3C เปนสวนของเสนโคง 3C จากจด H ไปยงจด I

b3C เปนสวนของเสนโคง 3C จากจด I ไปยงจด H



5 - 186

ให *1C = 1K + a2C + 2K + a3C + 3K + a1C

*2C = - 1K + b1C + (- 3K ) + b3C + (- 2K ) + b2C





*1C


*2C

โดยทฤษฎบทของกรน

(ใชการจดรปเหมอนกบตวอยาง 5.4.7) จะได

R

(xQ

- yP ) dA

= C 1

$ P dx + Q dy - C 2

$ P dx + Q dy - C 3

$ P dx + Q dy

= C 1

$ P dx + Q dy -

3

2 k

C k

$ P dx + Q dy



5 - 187

กรณทวไปของขอสรปขางตนคอ


(ทฤษฎบทของกรนสาหรบบรเวณแบบเชอมโยงหลายเชง)

กาหนดให 1C , 2C , ... , nC เปนเสนโคงปดเชงเดยว

ซงเรยบเปนชวง ๆ ทศทางทวนเขมนาฬกา

และมสมบตดงน

1. iC jC = ถา i j

2. iC อยในบรเวณภายในของ 1C ทก i = 2, 3, ... , n

3. iC อยในบรเวณภายนอกของ jC ทก i 1, j 1 ถา i j

ให R เปนบรเวณซงประกอบดวย 1C และบรเวณภายในของ 1C

ซงไมอยภายใน 2C , 3C , ... , nC


ซงครอบคลม R จะได

R

(xQ

- yP ) dA =

C 1

$ P dx + Q dy -

n

2k

C k

$ P dx + Q dy

บทพสจน ภาพของ 1C , 2C , ... , nC และ R

เปนดงรปท 5.4.21 (ก)



5 - 188

รปท 5.4.21 (ก) รปท 5.4.21 (ข)

กาหนดเสนโคงตาง ๆ ดงรปท 5.4.21 (ข)

ให *1C = 1K + a2C + 2K + a3C + 3K + ... nK + a1C

*2C = - 1K + b1C + (- nK ) + ... + (- 2K ) + b2C





*1C


*2C

โดยทฤษฎบทของกรน จะได R

(xQ

- yP ) dA

=

C

1

$ P dx + Q dy -

C

2

$ P dx + Q dy - ... -

C

n

$ P dx + Q dy

= C 1

$ P dx + Q dy -

n

2 k

C k

$ P dx + Q dy

Documents

บทที 5 ่ อินทิกรลตามเสั น้pioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301207/cal3_61_1st_ch_05_1in1.pdf · บทที่ 5 อินทิกรลตามเสั