พหุนามเทย เลอร และ อนุกรมเทย เลอรpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301266/Sheet_2551_2nd/2551_2nd... · พหุนามเทย

Taylor series

เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics

1

พหุนามเทยเลอร และ อนุกรมเทยเลอร

บทนิยาม ให f เปนฟงกชัน ซึ่งมีอนุพันธท่ีจุด x = a ถึงอันดับที่ nเรากลาววา nP (x) เปนพหุนามเทยเลอรดีกรี n ของ f กระจายรอบจุด x = a ก็ตอเม่ือ

nP (x) = f(a) + f ′(a)(x – a) + !21 f ′′(a)(x – a) 2 + !3

1 f ′′′(a)(x – a) 3 + ... + !n1 )n(f (a)(x – a) n

ในกรณีท่ี a = 0 เราอาจเรียกพหุนามเทยเลอรวา พหุนามแมคลอริน ของ f กระจายในกาํลังของ xตัวอยาง f(x) = 2 + 3x + 5 2x - 12 3x

1. จงหา พหุนามเทยเลอรดีกรี 3 ของ f กระจายรอบจุด x = 12. จงหา q(x) ท่ีทําให q(x - 1) = p(x)แนวคิด 1. f(x) = 2 + 3x + 5 2x - 12 3x f(1) = -2

f′(x) = 3 + 10x - 36 2x f′(1) = -23f′′(x) = 10 - 72x f′′(1) = -62f′′′(x) = -72 f′′′(1) = -72f′′′′(x) = 0

เพราะฉะนั้น พหุนามเทยเลอรดีกรี 3 รอบจุด x = 1 คือ

f(1) + !1)1(p′ (x - 1) + !2

)1(p ′′ (x - 1) 2 + !3)1(p ′′′ (x - 1) 3

= -2 + !123− (x - 1) + !2

62− (x - 1) 2 + !372− (x - 1) 3

= -2 - 23(x - 1) - 31(x - 1) 2 - 12(x - 1) 3

2. เลือก q(x) = -2 - 23x - 31 2x - 12 3x

ORIGIN 0:=

p x( ) 2 3 x⋅+ 5 x2⋅+ 12 x3⋅−:=

p x( ) 2 3 x⋅+ 5 x2⋅ 12 x3⋅−+→ a0 p x( ) substitute x 1, 2−→:=

xp x( )d

d3 10 x⋅ 36 x2⋅−+→ a1

xp x( )d

dsubstitute x 1, 23−→:=

2xp x( )d

d

210 72 x⋅−→ a2 2x

p x( )d

d

2substitute x 1, 62−→:=

3xp x( )d

d

372−→ a3 3x

p x( )d

d

3substitute x 1, 72−→:=

p x( ) series x 1, 4, 2− 23 x 1−( )⋅− 31 x 1−( )2⋅− 12 x 1−( )3⋅−→

Page 1 of 21

Taylor series


2

ตัวอยาง 2.3.2 กําหนดให f(x) = sin x จงหา )x(P5 กระจายรอบจุด x = 0วิธีทาํ f(x) = sin x ; f(0) = 0

f ′(x) = cos x ; f ′(0) = 1 f ′′(x) = –sin x ; f ′′(0) = 0 f ′′′(x) = –cos x ; f ′′′(0) = –1

)4(f (x) = sin x ; )4(f (0) = 0)5(f (x) = cos x ; )5(f (0) = 1

จะได 5P (x) = f(0) + f ′(0)x + !2

1 f ′′(0) 2x + !31 f ′′′(0) 3x + !4

1 )4(f (0) 4x + !51 )5(f (0) 5x

= 0 + x + 0 – !31 3x + 0 + !5

1 5x

= x – !31 3x + !5

1 5x

sin x( ) series x 0, 1, 0→

sin x( ) series x 0, 2, 1 x⋅→

sin x( ) series x 0, 3, 1 x⋅→

sin x( ) series x 0, 4, 1 x⋅16

x3⋅−→


x3⋅−→


x3⋅−1

120x5⋅+→


x3⋅−1

120x5⋅+→


x3⋅−1

120x5⋅

15040

x7⋅−+→

Page 2 of 21

Taylor series


3

P3 x( ) 1 x⋅16

x3⋅−:=

P5 x( ) 1 x⋅16

x3⋅−1

120x5⋅+:=

P7 x( ) 1 x⋅16

x3⋅−1

120x5⋅+

15040

x7⋅−:=

2 1 0 1 2

1

0.5

0.5

1

sin(x)Taylor degree 3Taylor degree 5Taylor degree 7

sin x( )

P3 x( )

P5 x( )

P7 x( )

x

Page 3 of 21

Taylor series


4

ตัวอยาง 2.3.3 จงหาพหุนามเทยเลอรดีกรี 4 ของ f(x) = ln x กระจายรอบจุด x = 1วิธีทาํ f(x) = ln x ; f(1) = 0

f ′(x) = x1 ; f ′(1) = 1

f ′′(x) = 2x1− ; f ′′(1) = –1

f ′′′(x) = 2 3x− = 3x2 ; f ′′′(1) = 2

)4(f (x) = –2⋅3 4x− = - 4x!3 ; )4(f (1) = –3!

ดังนั้น 4P (x)= f(1) + f ′(1)(x – 1) + !2

1 f ′′(1)(x – 1) 2 + !31 f ′′′(1)(x – 1) 3 + !4

1 )4(f (1)(x – 1) 4

= 0 + (x – 1) – !21 (x – 1) 2 + !3

2 (x – 1) 3 – !4!3 (x – 1) 4

= (x – 1) – 21 (x – 1) 2 + 3

1 (x – 1) 3 – 41 (x – 1) 4

ln x( ) series x 1, 2, 1 x 1−( )⋅→

ln x( ) series x 1, 3, 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−→

ln x( ) series x 1, 4, 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−13

x 1−( )3⋅+→

ln x( ) series x 1, 5, 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−13

x 1−( )3⋅14

x 1−( )4⋅−+→

ln x( ) series x 1, 6, 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−13

x 1−( )3⋅14

x 1−( )4⋅−+15

x 1−( )5⋅+→

Page 4 of 21

Taylor series


5

P2 x( ) 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−:=

P3 x( ) 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−13

x 1−( )3⋅+:=

P4 x( ) 1 x 1−( )⋅12

x 1−( )2⋅−13

x 1−( )3⋅+14

x 1−( )4⋅−:=

0 0.5 1 1.5 2

1

0.5

0.5

1

ln(x)Taylor degree 2Taylor degree 3Taylor degree 4

ln x( )

P2 x( )

P3 x( )

P4 x( )

x

Page 5 of 21

Taylor series


6

ตัวอยาง 2.3.4 กําหนดให f(x) = 3 1x2 −

จงหาพหุนามเทยเลอรดีกรี 3 ของ f กระจายรอบจุด x = 1

วิธีทาํ f(x) = 3 1x2 − = (2x – 1) 31

; f(1) = 1

f ′(x) = 31 (2x – 1) 3

2 −(2) = 3

2 (2x – 1) 32 −

; f ′(1) = 32

f ′′(x) = – 94 (2x – 1) 3

5 −(2) = – 9

8 (2x – 1) 35 −

; f ′′(1) = – 98

f ′′′(x) = 2740 (2x – 1) 3

8 −(2) = 27

80 (2x – 1) 38 −

; f ′′′(1) = 2780

)4(f (x) = – 81640 (2x – 1) 3

11 −(2) = – 81

1280

311

)1x2(

1

−

จะได 3P (x) = f(1) + f ′(1)(x – 1) + !21 f ′′(1)(x – 1) 2 + !3

1 f ′′′(1)(x – 1) 3

= 1 + 32 (x – 1) – 9

4 (x – 1) 2 + 8140 (x – 1) 3

2 x⋅ 1−( )

13 series x 1, 1, 1 O x 1−( )+→

2 x⋅ 1−( )

13 series x 1, 2, 1

23

x 1−( )⋅+ O x 1−( )2⎡⎣ ⎤⎦+→

2 x⋅ 1−( )

13 series x 1, 3, 1

23

x 1−( )⋅49

x 1−( )2⋅−+ O x 1−( )3⎡⎣ ⎤⎦+→

2 x⋅ 1−( )

13 series x 1, 4, 1

23

x 1−( )⋅49

x 1−( )2⋅−+4081

x 1−( )3⋅+ O x 1−( )4⎡⎣ ⎤⎦+→

Page 6 of 21

Taylor series


7

แบบฝกหัด1. จงหาพหุนามเทยเลอรของฟงกชันตอไปนี้ตามท่ีกําหนดให รอบจุด a ซึ่งกําหนดให

1.1 f(x) = sin x ; 9P (x) ; a = 01.2 f(x) = cos x ; 8P (x) ; a = 01.3 f(x) = ln(1 + x) ; 6P (x) ; a = 01.4 f(x) = x1+ ; 5P (x) ; a = 4

1.5 f(x) = 2x

e− ; 6P (x) ; a = 0

1.6 f(x) = 2x ln x ; 4P (x) ; a = 51.7 f(x) = 4 3x + 5 2x – 2x + 1 ; 3P (x) ; a = 21.8 f(x) = ln(cos x) ; 3P (x) ; a = 3

π

Page 7 of 21

Fourier series


1

อนุกรมฟูเรียร

บทนิยาม f(x) เปนฟงกชันเปนคาบ ก็ตอเม่ือ มีจํานวนจริงบวก L ท่ีทําให f(x + 2L) = f(x) สําหรับทุก xและเรียก 2L วา คาบ (period) ของ f(x)การเขียนกราฟของฟงกชันเปนคาบตัวอยาง กราฟของ f(x) = x

ตัวอยาง กราฟของฟงกชันเปนคาบ f(x) = x เม่ือ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x)แบบที่ 1.

Definition of f(x) = x f x( ) x:=

15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71

6.28

6.28

f x( )

x

f1 x( ) xreturn π− x≤ π≤if

x x 2 π⋅−← x π>if

x x 2 π⋅+← x π−<if

x π−< x π>∨while

f1 x( )

:=

15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71

3.14

3.14

f1 x( )

x

Page 8 of 21

Fourier series


2

แบบที่ 2.

แบบที่ 2.

Definition of period function Type II

f2 x( )


x x 2 π⋅+← x π−<if


x

:=

15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71

3.14

3.14

f2 x( )

x

Definition of period function Type III

f3 x( ) x π− x≤ π≤if

f3 x 2 π⋅−( ) x π>if

f3 x 2 π⋅+( ) x π−<if

:=

15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71

3.14

3.14

f3 x( )

x

Page 9 of 21

Fourier series


3

ตัวอยาง f(x) = ⎩⎨⎧

π<<≤<π−

x0 ,20x ,1 และ f(x + 2π) = f(x)

ตัวอยาง f(x) = 4 - 2x , -2 ≤ x ≤ 2 และ f(x + 4) = f(x)

f x( )


x x 2 π⋅+← x π−<if


1 π− x< 0≤if

2 0 x< π<if

:=

9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42

321

123

f x( )

x

f x( )

x x 4−← x 2>if

x x 4+← x 2−<if

x 2−< x 2>∨while

4 x2− 2− x≤ 2≤if

:=

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

f x( )

x

Page 10 of 21

Fourier series


4

ตัวอยาง f(x) = ⎩⎨⎧

<<<<−

1x0 ,x0x1 ,3 และ f(x + 2) = f(x)

อนุกรมฟูเรียรของฟงกชันที่มีคาบ 2πฟงกชันเปนคาบ f(x) มีคาบเทากับ 2π

อนุกรมฟูเรียร ของ ฟงกชัน f(x) คือ 2a0 + ∑

∞

=1 n na cos nx + nb sin nx

เม่ือ 0a = π1 ∫

π

π−f(x) dx

na = π1 ∫

π

π−f(x) cos nx dx n = 1, 2, ...

nb = π1 ∫

π

π−f(x) sin nx dx n = 1, 2, ...

0a , na , nb เรียกวา สัมประสิทธิ์ฟูเรียร (Fourier coefficients) ของ f(x)

f x( )

x x 2−← x 1>if

x x 2+← x 1−<if


3 1− x< 0≤if

x 0 x< 1<if

:=

4 3 2 1 0 1 2 3 4

1

2

3

4

f x( )

x

Page 11 of 21

Fourier series


5

ตัวอยาง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชันซึ่งนิยามโดยf(x) = x เม่ือ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2) = f(x)

วิธีทาํ 0dx x 1a0 =π

= ∫π

π−

0 nx dxcos xπ1a

π

πn == ∫

−

=π

= ∫π

π− dx nxsinx 1bn n

)1(2 nncos2 1n+−=π−=

อนุกรมฟูเรียรของ f(x) คือ ∑∞

=

+−

1n

1nnxsinn

)1( 2 = } 4

x4sin3

x3sin2

x2sinx{sin2 L+−+−

Enter a function that is periodic on intervalf x( ) x:=

Compute Fourier coefficients n 1 20..:=

a01π π−

π

xf x( )⌠⎮⌡

d⋅:=

an1π π−

π

xf x( ) cos n x⋅( )⋅⌠⎮⌡

d⋅:=

bn1π π−

π

xf x( ) sin n x⋅( )⋅⌠⎮⌡

d⋅:=

Computed Fourier series

Fouries x m,( )a02

1

m

n

an cos n x⋅( )⋅ bn sin n x⋅( )⋅+( )∑=

+:=

Define function that is periodic on interval

f x( )


x x 2 π⋅+← x π−<if


x

:=

Page 12 of 21

Fourier series


6

Plot of Fourier polynomial and original function:

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

4

f x( )Fouries x 1,( )

x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

4


x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

4


x

6.28 3.14 0 3.14 6.28

4

4


x

Page 13 of 21

Fourier series


7

ตัวอยาง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชันซึ่งนิยามโดย f(x) = ⎩⎨⎧

π<<≤<π−

x0 ,20x ,1 และ f(x + 2π) = f(x)

วิธีทาํ 3 dx 2 dx 1 1a0

00 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

π= ∫∫

π

π−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

π= ∫∫

π

π− 0

0n dx nxcos2 dx nxcos 1a 0 nxsin

n2nxsin

n1 1

0

0=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

π=

π

π−, K ,3 ,2 ,1n =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

π= ∫∫

π

π− 0

0n dx nxsin2 dx nxsin 1b ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

π=

π

π− nxcos

n2 nxcos

n1 1

0

0

π−−=

ππ−= n

)1(1 nncos1 n

, K ,3 ,2 ,1n =

อนุกรมฟูเรียรของ f(x) คือ ∑∞

=

−−π

+1n

nnxsin

n)1(1 1

23 = } 5

x5sin3

x3sin1

xsin{223 L+++

π+

Enter a function that is periodic on intervalf x( ) 1 π− x< 0≤if

2 0 x< π<if

:=


a01π π−

π

xf x( )⌠⎮⌡

d⋅:=

an1π π−

π

xf x( ) cos n x⋅( )⋅⌠⎮⌡

d⋅:=

bn1π π−

π

xf x( ) sin n x⋅( )⋅⌠⎮⌡

d⋅:=


Fouries x m,( )a02

1

m

n

an cos n x⋅( )⋅ bn sin n x⋅( )⋅+( )∑=

+:=

Page 14 of 21

Fourier series


8


f x( )


x x 2 π⋅+← x π−<if


1 π− x< 0≤if

2 0 x< π<if

:=


12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57

1

2

3


x

12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57

1

2

3


x

12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57

1

2

3


x

Page 15 of 21

Fourier series


9

อนุกรมฟูเรียรของฟงกชันที่มีคาบ 2Lให f(x) เปนฟงกชันที่มีคาบเทากับ 2L

อนุกรมฟูเรียรของ f(x) บนชวง [-L, L] คือ ∑∞

=

π+π+1n

nn0 )L

xnsinbLxncosa( 2

a

เม่ือ K ,2 ,1 ,0n ,dx Lxncos)x(f L

1aL

Ln =π= ∫

−

K ,3 ,2 ,1n ,dx Lxnsin)x(f L

1bL

Ln =π= ∫

−

ตัวอยาง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชัน f(x) = 4 - 2x , -2 ≤ x ≤ 2 และ f(x + 4) = f(x)

วิธีทาํ3

163

xx421 dx )x4(

21dx )x(f

21 a

2

2

32

2

22

20 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−==

−−−∫∫

dx 2xncos)x(f

21 a

2

2n ∫

−

π= ∫−

π−=2

2

2 dx 2xncos)x4(

21

2

2 2

xnsinn8

21

−

ππ

= 2

233

222 2

xnsinn16

nx2

2xncos

nx8

21

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ π⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

π−

π+π

π−

22

1n

22 n)1(16 ncos

n16

π

−=π

π−=

+, K ,3 ,2 ,1n =

0 dx2

nππsin f(x)21 b

2

2n == ∫

−, K ,3 ,2 ,1n =

อนุกรมฟูเรียรของ f(x) คือ ) 2x4cos

41

2x3cos

31

2x2cos

21

2x(cos16

38

2222 L+π−π+π−ππ

+

Compute Fourier coefficients L 2:=

Enter a function that is periodic on interval f x( ) 4 x2−:=


a01L L−

Lxf x( )

⌠⎮⌡

d⋅:=

an1L

L−

L

xf x( ) cosn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

bn1L

L−

L

xf x( ) sinn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Page 16 of 21

Fourier series


10


Fouries x m,( )a0

21

m

n

an cosn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ bn sinn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎠∑

=

+:=


f x( )

x x 4−← x 2>if

x x 4+← x 2−<if


4 x2−

:=


6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

2

4

6


x

6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6

2

4

6


x

Page 17 of 21

Fourier series


11

ตัวอยาง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชัน f(x) = ⎩⎨⎧

<<<<−

1x0 ,x0x1 ,3 และ f(x + 2) = f(x)

วิธีทาํ 27

2x]x3[ dx x dx 3 a

1

0

201

1

0

0

10 =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

−−∫∫

∫∫ π+π=−

1

0

0

1n dx xncosx dx xncos3 a

1

022

0

1 nxncos

nxnsinx xnsinn

3⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ππ+

ππ+π

π=

−

22

n

22 n1)1(

n1ncos

π

−−=π−π= , K ,3 ,2 ,1n =

∫∫ π+π=−

1

0

0

1n dx xnsinx dx xnsin3 b

1

022

0

1 nxnsin

nxncosx xncosn

3⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

ππ+

ππ−+π

π−=

−

π−+−=

ππ+−= n

)1(23 nncos23 n

, K ,3 ,2 ,1n =

อนุกรมฟูเรียรของ f(x) คือ

∑∞

= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡π

π−−

+ππ

−−+

1n

n

22

nxnsin

n3)1(2xncos

n1)1(

47 = ) x5cos

51x3cos

31x(cos2

47

222 L+π+π+ππ

+

) x5sin51x3sin3

1x(sin5 L+π+π+ππ

−

) x6sin61x4sin4

1x2sin21(1 L+π+π+π

π−

Compute Fourier coefficients L 1:=

Enter a function that is periodic on interval f x( ) 3 1− x< 0≤if

x 0 x< 1<if

:=


a01L L−

Lxf x( )

⌠⎮⌡

d⋅:=

an1L

L−

L


L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

bn1L

L−

L


L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅:=

Page 18 of 21

Fourier series


12


Fouries x m,( )a02

1

m

n

an cosn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ bn sinn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎠∑

=

+:=


f x( )

x x 2−← x 1>if

x x 2+← x 1−<if


3 1− x< 0≤if

x 0 x< 1<if

:=

Plot of Fourier polynomial and original function: x 4− 4− 0.001+, 4..:=

4 3 2 1 0 1 2 3 41

1234


x

4 3 2 1 0 1 2 3 41

1234


x

Page 19 of 21

Fourier series


13

Program Computing Fourier Coefficients

Enter a function that is periodic on interval:

f x( )

x x 2−← x 1>if

x x 2+← x 1−<if


3 1− x< 0≤if

x 0 x< 1<if

:=

Enter positive endpoint of periodic interval: L 1:=

Order of Fourier series approximation: N 10:=

Program to compute Fourier coefficients: ORIGIN 0:=

FC f N, L,( ) R 0⟨ ⟩1

2 L⋅ L−

Lxf x( )

⌠⎮⌡

d⋅

0

⎛⎜⎜⎜⎝

⎞

⎟

⎠

←

R n⟨ ⟩

1L

L−

L


L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅

1L

L−

L


L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅⌠⎮⎮⌡

d⋅

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

←

n 1 N..∈for

RT

:=

Computed Fourier coefficients:

coeff FC f N, L,( ):= A coeff 0⟨ ⟩:= B coeff 1⟨ ⟩:=

Page 20 of 21

Fourier series


14

แบบฝกหัดจงเขียนกราฟของ f(x) และ ประมาณกราฟของ f(x) ดวยอนุกรมฟูเรียร (กําหนด n = 2, 5, 10)1. f(x) = 2x เม่ือ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x)2. f(x) = sin x เม่ือ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x)3. f(x) =

⎩⎨⎧

π<<≤<π−

x0 ,x0x ,1 และ f(x + 2π) = f(x)

4. f(x) = ⎩⎨⎧

π<<<<π−

x0 ),xcos(0x ),xsin( และ f(x + 2π) = f(x)

5. f(x) = 2x , -1 ≤ x ≤ 1 และ f(x + 2) = f(x)

6. f(x) = ⎩⎨⎧

<<<<−

2x0 ,x0x2 ,1

2 และ f(x + 4) = f(x)

Computed Fourier coefficients:

res FC f N, L,( ):= A res 0⟨ ⟩:= B res 1⟨ ⟩:=

Nth Fourier polynomial:p x( )

A0

21

N

n

An cosn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅ Bn sinn π⋅ x⋅

L⎛⎜⎝

⎞⎠

⋅+⎛⎜⎝

⎞⎠∑

=

+:=

Plot of Fourier polynomial and original function:g x( ) 1− π− x≤ 0≤if

1 0 x≤ π<if

g x 2 π⋅+( ) x π−<if

g x 2 π⋅−( ) x π>if

:=x 2− π⋅ 2− π⋅ 0.001+, 2 π⋅..:=

6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28

2

2

Periodic function Nth Fourier polynomial

g x( )p x( )

x

Page 21 of 21

Documents

พหุนามเทย เลอร และ อนุกรมเทย เลอรpioneer.netserv.chula.ac.th/~tdumrong/2301266/Sheet_2551_2nd/2551_2nd... · พหุนามเทย