1 Funkcije Vise Varijabli

7/24/2019 1 Funkcije Vise Varijabli

1/67

Matematika

Tin Perkov, Mandi Orlic

ak. god. 2014/15.
http://find/


2/67

Uvodne informacije

e-mail: [email protected], [email protected]
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://find/


3/67

Uvodne informacije


konzultacije: cetvrtkom u 10:00, 1. kat, soba 202
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://goforward/http://find/http://goback/


4/67

Uvodne informacije


konzultacije: cetvrtkom u 10:00, 1. kat, soba 202 predavanja i vjezbe: subotom od 9:15 u VP
http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_3/[email protected]://find/http://goback/


5/67

Pravila

nema uvjeta za izlazak na kolokvije i ispit
http://find/


6/67

Pravila


dva kolokvija (ukupno najvise 100 bodova)
http://find/http://goback/


7/67

Pravila



oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova


8/67

Pravila



oslobodenje od pismenog: najmanje 40 bodova zavrsni ispit (usmeni)


9/67

Pravila




ispit: pismeni i usmeni
http://find/


10/67

Pravila




ispit: pismeni i usmeni

ne postoji mogucnost oslobodenja od usmenog
http://find/


11/67

Literatura

Svi materijali su na internet-stranicama kolegija:https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematika
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/http://goback/


12/67

Literatura


skripta: S. Suljagic Matematika II
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/http://goback/


13/67

Literatura



repetitorij: sadrzi formule i smije se koristiti na kolokvijima iispitima
https://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttps://moj.tvz.hr/studijspecgra/predmet/Matematikahttp://find/


14/67

Literatura




zadaci za kolokvije i ispite


15/67

Literatura




zadaci za kolokvije i ispite

Na istim stranicama objavljuju se i vazne obavijesti (rezultati

kolokvija i pismenih ispita, termini usmenih i sl.)


16/67

Sadrzaj kolegija

funkcije vise varijabli
http://find/


17/67

Sadrzaj kolegija


parcijalne derivacije

S
http://find/


18/67

Sadrzaj kolegija


parcijalne derivacije prvi kolokvij (17. 1. 2015. u 9:15)

S d j k l ij
http://find/


19/67

Sadrzaj kolegija



visestruki integrali

S d j k l ij
http://find/


20/67

Sadrzaj kolegija




drugi kolokvij (14. 2. u 9:15)

S d j k l ij


21/67

Sadrzaj kolegija





zavrsni ispit (21. 2. u 9:15)

S d j k l ij


22/67

Sadrzaj kolegija





zavrsni ispit (21. 2. u 9:15) ispitni rokovi (prvi rok: 24. 2. u 17:00)

S d j k l gij
http://find/


23/67

Sadrzaj kolegija






Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja.

Sadrzaj kolegija
http://find/


24/67

Sadrzaj kolegija






Kolokviji i zavrsni ispit odrzavaju se u terminima predavanja. Nadan prvog kolokvija, poslije kolokvija i pauze nastavlja se s

nastavom.

Sadrzaj kolegija
http://find/


25/67

Sadrzaj kolegija







nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima.

Sadrzaj kolegija
http://find/


26/67

Sadrzaj kolegija







nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu.

Sadrzaj kolegija
http://goforward/http://find/http://goback/


27/67

Sadrzaj kolegija







nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu. Ispit trebate odjaviti akoodustanete prije isteka roka za odjavu.

Sadrzaj kolegija


28/67

Sadrzaj kolegija







nastavom. Ispiti se odrzavaju u ispitnim rokovima. Ispit trebate navrijeme prijaviti na studomatu. Ispit trebate odjaviti akoodustanete prije isteka roka za odjavu. Studenti koji poloze zavrsniispit trebaju prijaviti ispit na prvom roku kako bi im ocjena moglabiti unesena u sustav.

Plan za danas


29/67

Plan za danas


Plan za danas


30/67

Plan za danas


prirodna domena

Plan za danas


31/67

Plan za danas


prirodna domena graf funkcije i nivo-linije

Funkcije vise varijabli
http://find/


32/67


Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S.

http://find/


33/67

j j b

Funkcija f :S S svakom elementu x nepraznog skupa Spridruzuje tocno jedan element f(x) skupa S. Kazemo da je:

S domena,

S kodomena,

xvarijabla,

f(x) vrijednost funkcije.

http://find/


34/67

j j


S domena,

S kodomena,

xvarijabla,


Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.

http://find/


35/67

j j


S domena,

S kodomena,

xvarijabla,


Realna funkcija jedne realne varijable je f :S R, gdje je S R.Umjesto toga cesto kratko kazemo funkcija jedne varijable,podrazumijevajuci da promatramo samo realne funkcije s realnimvarijablama.

http://find/


36/67

j j


S domena,

S kodomena,

xvarijabla,



Primjeri

Funkcija f(x) =x2 je f : R R.

http://find/


37/67


S domena,

S kodomena,

xvarijabla,



Primjeri

Funkcija f(x) =x2 je f : R R. Funkcija f(x) =

x je f : [0, R.

http://find/


38/67

Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}

http://find/


39/67

Funkcija od dvije varijable je f :S R, gdje jeS R2 = R R = {(x, y) :x, y R}, tj. R2 je skup svihuredenih parova realnih brojeva, koje prikazujemo u koordinatnomsustavu u ravnini.

http://find/


40/67


Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R.

http://find/


41/67


Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R. Funkcija f(x, y) =xy je f : R2 R.

http://find/


42/67


Primjeri Funkcija f(x, y) =x+y je f : R2 R. Funkcija f(x, y) =xy je f : R2 R. Funkcija f(x) =

xy je

f : {(x, y) R2 :x, y 0 ili x, y 0} R.

Prirodna domena
http://find/


43/67

Prirodna domena funkcije f je najveca moguca domena, tj. skupsvih uredenih parova realnih brojeva (x, y) za koje je f(x, y)

takoder realan broj.

Prirodna domena
http://find/


44/67


takoder realan broj. Mozemo je prikazati kao podskup ravnine.

Prirodna domena
http://find/


45/67



Zadaci:Skicirajte prirodnu domenu sljedecih funkcija.

1. f(x, y) =

2x

y2

Prirodna domena
http://find/


46/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

Prirodna domena


47/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

3. f(x, y) = arcsin(2x y)

Prirodna domena


48/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =

16 25y2 x2

Prirodna domena
http://find/


49/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =

16 25y2 x2

5. f(x, y) =

(x2 +y2

4)(16

x2

y2)

Prirodna domena
http://find/


50/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =

16 25y2 x2

5. f(x, y) =

(x2 +y2

4)(16

x2

y2)

6. f(x, y) = ln 5x

ln 2y

Prirodna domena
http://find/


51/67




1. f(x, y) =

2x

y2

2. f(x, y) = ln(x2 +y)

3. f(x, y) = arcsin(2x y)4. f(x, y) =

16 25y2 x2

5. f(x, y) =

(x2 +y2

4)(16

x2

y2)

6. f(x, y) = ln 5x

ln 2y

7. f(x, y) = ln(7x+ 6y) +

4 y2

Graf funkcije i nivo-linije


52/67

Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}.

http://find/


53/67

Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}. Njegovi elementi su uredene trojkerealnih brojeva, pa ga prikazujemo kao plohu u prostoru (dok je

graf funkcije jedne varijable krivulja u ravnini).

http://find/


54/67

Graf funkcijeod dvije varijable f :S R je skup{(x, y, f(x, y)) : (x, y) S}. Njegovi elementi su uredene trojkerealnih brojeva, pa ga prikazujemo kao plohu u prostoru (dok je

graf funkcije jedne varijable krivulja u ravnini).Zadatak:

8. Skicirajte graf funkcije f(x, y) =x2 +y2.

http://find/


55/67

Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini.

http://find/


56/67

Drugi nacin grafickog prikazivanja funkcija od dvije varijable jeskiciranje nivo-linija u ravnini. Nivo-linija je skup tocaka domene u

kojima funkcija ima istu vrijednost.

http://find/


57/67



Primjer

http://find/


58/67



Primjer

Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije

http://find/


59/67



Primjer

Izohipse, izobare i sl. su nivo-linije, npr. izohipsa 100 je skup svihtocaka u kojima je nadmorska visina 100m.

http://find/


60/67



Primjer


Zadaci:Skicirajte nivo-linije za vrijednosti 0, 1, 2,1 i2 sljedecihfunkcija.

9. f(x, y) =x2

y2

http://find/


61/67



Primjer



9. f(x, y) =x2

y2

10. f(x, y) = 2x y


fi f
http://find/


62/67



Primjer



9. f(x, y) =x2

y2

10. f(x, y) = 2x y11. f(x, y) =x2 +y2


D i i fik ik i j f k ij d d ij ij bl j
http://find/


63/67



Primjer



9. f(x, y) =x2

y2

10. f(x, y) = 2x y11. f(x, y) =x2 +y2

12. f(x, y) =

4x2 + 25y2

Preporuke za samostalni rad
http://find/


64/67

Procitati:

repetitorij, str. 35. o funkcijama vise varijabli, str. 17-19. ofunkcijama jedne varijable, na str. 13. pregled jednadzbi pravcai krivulja drugog reda, te na str. 15. pregled ploha drugog reda

http://find/


65/67

Procitati:


skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjeri 1.6, 1.8. i

1.9, te rijeseni zadatak 4.

http://find/


66/67

Procitati:




Rijesiti:

zadaci za kolokvije i ispite, 1-14.

http://find/


67/67

Procitati:




Rijesiti:

zadaci za kolokvije i ispite, 1-14.

skripta, podnaslov Funkcije vise varijabli, primjer 1.7. i rijesenizadatak 3. Najprije ih pokusajte samostalno rijesiti, a tekonda procitajte rjesenja.
http://find/

Documents

1 Funkcije Vise Varijabli