Embed Size (px)
Citation preview
Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Ana Pejic
Tipovi konvergencije nizova slucajnih varijabli
Zavrsni rad
Osijek, 2011.
Sveuciliste J.J. Strossmayera u OsijekuOdjel za matematiku
Preddiplomski studij matematike
Ana Pejic
Tipovi konvergencije nizova slucajnih varijabli
Zavrsni rad
Voditeljica: Prof. dr. sc. Mirta Bensic
Suvoditelj: Doc. dr. sc. Nenad Suvak
Osijek, 2011.
Sazetak
Ovaj rad obuhvaca teoriju cetiri tipa konvergencije nizova slucajnih varijabli. Opisane susljedece konvergencije: konvergencija po distribuciji, po vjerojatnosti, konvergencija u sred-njem reda p te konvergencija gotovo sigurno.
Svaki tip konvergencije pomno je obraden, a dane su i definicije nekih vaznijih poj-mova koji se vezu uz nju. Takoder, iskazani su i brojni teoremi, propozicije i korolari, kojiomogucuju ispitivanje konvergencije, a neki od njih su i dokazani. Primjeri, koji su navedeniuz svaki tip konvergencije, ilustriraju primjenu danih definicija, teorema i ostalih tvrdnji.
Poseban naglasak stavljen je na veze medu tipovima konvergencija. Njihove medusobneveze otkrivaju jacinu pojedinog tipa konvergencije, a sve to popraceno je ilustrativnim pri-mjerima. Veze su prikazane i graficki sto omogucava vizualizaciju veza medu tipovima ko-nvergencija nizova slucajnih varijabli.
Kljucne rijeci: konvergencija, distribucija, vjerojatnost, konvergencija u srednjem reda p,konvergencija gotovo sigurno, centralni granicni teorem, teorem Slutskog.
Summary
This work includes theory of four types of convergence of sequences of random variables. Thefollowing convergence are described: convergence in distribution, convergence in probability,convergence in pth-order mean and almost sure convergence.
Each type of convergence is carefully described, and definitions of some important termsthat are associated with it. Also, many theorems, propositions and corollas are presented,which allow testing of convergence of sequence of random variables, separately for each typeof convergence. Some theorems, and other claims, are proved. Examples, which are listedwith each type of convergence, illustrate the application of definitions, theorems and otherclaims.
Relationships among types of convergence are very important so they are especiallydescribed. Their interaction reveals the strength of each type of convergence. All that is ac-companied by illustrative examples. In particular, relationships among types of convergenceare shown graphically.
Key words: convergence, distribution, probability, convergence in pth-order mean, almostsure convergence, the central limit theorem, Slutsky’s theorem.
i
Sadrzaj
Sazetak i
Summary i
Uvod 2
1 Osnove o nizovima slucajnih varijabli 3
2 Konvergencija po distribuciji 52.1 Asimptotska distribucija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2 Konvergencija po distribuciji neprekidne transformirane slucajne varijable . . 92.3 Centralni granicni teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3 Konvergencija po vjerojatnosti 133.1 Konvergencija po vjerojatnosti neprekidne transformirane slucajne varijable . 143.2 Slabi zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4 Konvergencija u srednjem reda p 164.1 Konvergencija u srednjem reda dva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 Konvergencija gotovo sigurno 185.1 Konvergencija gotovo sigurno neprekidne transformirane slucajne varijable . 215.2 Jaki zakoni velikih brojeva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6 Veze izmedu razlicitih tipova konvergencije nizova slucajnih varijabli 236.1 Veza konvergencije po vjerojatnosti i konvergencije po distribuciji . . . . . . 236.2 Veza konvergencije u srednjem reda p, konvergencije po vjerojatnosti i konver-
gencije po distribuciji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.3 Veza konvergencije u srednjem reda 2 i konvergencije u srednjem reda 1 . . . 276.4 Veza konvergencije gotovo sigurno i konvergencije po vjerojatnosti . . . . . . 286.5 Ispitane veze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1
Uvod
Jedna od osnovnih tema u teoriji vjerojatnosti su nizovi slucajnih varijabli. Najzanimljivijakomponenta pri proucavanju nizova je njihovo asimptotsko ponasanje.
Razliciti nacini mjerenja udaljenosti izmedu dvije slucajne varijable, dovode do pojaverazlicitih tipova konvergencija. Pri tome se postavlja pitanje koliko su slucajne varijable
”blizu” jedna drugoj. Postoje cetiri osnovna tipa konvergencije nizova slucajnih varijabli, a
to su:
1. konvergencija po distribuciji,
2. konvergencija po vjerojatnosti,
3. konvergencija u srednjem reda p,
4. konvergencija s vjerojatnoscu 1 (ili gotovo sigurno).
Konvergencija po distribuciji i gotovo sigurno su najvazniji i najkorisniji tipovi konver-gencije. Konvergencija po vjerojatnosti je vazna za slabi zakon velikih brojeva, dok sekonvergencije u srednjem reda dva i jedan koriste za uspostavljanje konvergencije momenta.
Prvo poglavlje donosi definicije nuzne za samo razumijevanje pojma niza te stvara osnovuza daljnja ispitivanja njihova ponasanja.
U poglavljima 2 do 5, svaka od navedenih konvergencija poblize je opisana kroz brojnedefinicije, teoreme, propozicije i ostale tvrdnje.
Mnogobrojni primjeri pokazuju sto se dobije ispitivanjem nekog niza slucajnih varijabli,odnosno
”otkrivaju” ponasanje nizova slucajnih varijabli.
Sesto poglavlje obuhvaca medusobne veze svih tipova konvergencije. Pokazano je koja jekonvergencija
”jaca”, tj. koja slijedi iz koje.
Time je omoguceno brze ispitivanje konvergencije niza slucajnih varijabli ispitivajucijedan tip konvergencije, a onda primjenom neke tvrdnje dobiti odgovor za trazni tip konver-gencije.
Time se dolazi do svrhe ovoga rada, a to je ispitati navedene tipove konvergencija nizovaslucajnih varijabli na konkretnim primjerima te koristeci brojne matematicke tvrdnje utvrditinjihove medusobne veze.
A sve to nalazi veliku primjenu u statistici i stohastickim procesima. Stoga je poznavanjeteorije vjerojatnosti i njena primjena neophodna u modelima realnog svijeta.
2
1 Osnove o nizovima slucajnih varijabli
Ispitivanje konvergencije nizova slucajnih varijabli zahtjeva poznavanje nekih pojomova ve-zanih uz nizove. Stoga prije samog ispitivanja, navedeno je nekoliko definicija koje ce sekasnije pokazati od velike pomoci kako bi se objasnile neke zakonitosti ponasanja nizova.
Definicija 1.1. Neka je (Ω,F , P ) vjerojatnosni prostor, (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varija-bli. Kazemo da je niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) definiran na vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P ), ako su sve slucajne varijable Xn koje pripadaju nizu (Xn, n ∈ N) funkcije s Ω naR.
Definicija 1.2. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli na istom vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P ). Oznacimo s FXn(x) funkciju distribucije opceg clana niza (Xn, n ∈ N). Kazemoda je (Xn, n ∈ N) niz jednako distribuiranih slucajnih varijabli, ako bilo koja dva clana nizaimaju jednaku funkciju distribucije, tj. ako vrijedi
∀x ∈ R ∀i, j ∈ N FXi(x) = FXj
(x).
Definicija 1.3. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli definiran na vjerojatnosnomprostoru (Ω,F , P ). Kazemo da je (Xn, n ∈ N) niz nezavisnih slucajnih varijabli, ako jesvaki konacan podskup od (Xn, n ∈ N) skup medusobno nezavisnih slucajnih varijabli.
Definicija 1.3 govori o nizu nezavisnih slucajnih varijabli, a kada su slucajne varijablemedusobno nezavisne dano je sljedecom definicijom.
Definicija 1.4. Neka su X1, . . . , Xn slucajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P )s pripadnim funkcijama distribucije FX1 , . . . , FXn. Oznacimo s X slucajan vektor cije sukomponente X1, . . . , Xn. Kazemo da su slucajne varijable X1, . . . , Xn medusobno nezavisneako vrijedi
FX(x1, . . . , xn) =n∏i=1
FXi(xi).
Definicija 1.5. Kazemo da je (Xn, n ∈ N) niz nezavisnih i jednako distribuiranih slucajnihvarijabli (njd), ako vrijedi:
1. X1, X2, . . . su medusobno nezavisne,
2. X1, X2, . . . su jednako distribuirane.
Sljedecim primjerom dan je jedan primjer niza slucajnih varijabli, i to niza s normalnomrazdiobom.
Primjer 1.1. Neka su X1, X2, . . . , Xn njd slucajne varijable s distribucijom N (µ, σ2), Xi
predstavlja prijedene kilometre po litri goriva i-tog automobila odredenog tipa. Promotrimoniz slucajnih varijabli Y1, Y2, . . . pri cemu je
Yn =1
n
n∑i=1
Xi, n ∈ N.
n-ti element niza predstavlja prosjecni broj kilometara po litri od n automobila koji su testi-rani, Yn ∼ N (µ, σ
2
n).
Slucajna varijabla Yn je dobivena kao prosjek n nezavisnih i jednako distribuiranih slucajnihvarijabli te stoga ima normalnu distribuciju s ocekivanjem µ i varijancom σ2
n. Tvrdnja slijedi
iz teorema 1.1 zamjenom µi = µ, σi2 = σ2 te ai = 1
n(i = 1, . . . , n).
3
Teorem 1.1. Ako su X1, . . . , Xn medusobno nezavisne slucajne varijable takve da jeXi ∼ N (µi, σi
2) (i = 1, . . . , n), a1, . . . , an ∈ R, tada je linearna kombinacija
n∑i=1
aiXi ∼ N
(n∑i=1
ai µi,
n∑i=1
ai2σi
2
).
Vrijednosti ocekivanja i varijance slucajne varijable Yn mogu se dobiti i koristenjemsljedeca dva teorema.
Teorem 1.2. Ako su X1, . . . , Xn slucajne varijable na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ) cija
ocekivanja postoje i ak ∈ R, k = 1, . . . , n tada i slucajna varijablan∑k=1
akXk ima ocekivanje
i vrijedi
E
[n∑k=1
akXk
]=
n∑k=1
ak E [Xk] .
Teorem 1.3. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable takve da ∀k ∈ 1, . . . , npostoji V ar (Xk), te neka su a1, . . . , an ∈ R. Tada vrijedi
V ar
(n∑k=1
akXk
)=
n∑k=1
a2k V ar (Xk) .
Dakle, koristenjem danih teorema dobiva se:
E [Yn] = E
[1
n
n∑i=1
Xi
]= (linearnost ocekivanja, tm. 1.2 )
=1
n
n∑i=1
E [Xi] = (jednako distribuirane SV)
=1
n· n · µ = µ
V ar (Yn) = V ar
(1
n
n∑i=1
Xi
)= (svojstvo varijance V ar(aX + b) = a2 V ar(X), tm. 1.3)
=1
n2
n∑i=1
V ar (Xi) = (jednako distribuirane SV)
=1
n2· n · σ2 =
σ2
n
4
2 Konvergencija po distribuciji
Koncept konvergencije po distribuciji bazira se na intuiciji da su dvije slucnajne varijable
”blizu“ jedna drugoj ako su njihove funkcije distribucije blizu jedna drugoj.
Iako se govori o konvergenciji niza slucajnih varijabli po distribuciji, to zapravo oznacavakonvergenciju funkcija distribucije, a ne slucajnih varijabli.
Polazi se od pitanja da li niz funkcija distribucije koje su pridruzene slucajnim varijablamaniza (Xn, n ∈ N) konvergira prema granicnoj funkciji distribucije.
Konvergencija po distribuciji moze se okarakterizirati i kao konvergencija niza funkcijagustoce.
Korisnost ovog koncepta lezi u mogucnosti odredivanja odgovarajuce aproksimacije funk-cije distribucije ili funkcije gustoce niza njd slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) kada je n
”dovoljno velik” (
”dovoljno velik” znaci da je funkcija distribucije ili funkcija gustoce od
(Xn, n ∈ N) blizu granicne funkcije distribucije ili gustoce ). Takve aproksimacije su vrlokorisne u slucaju da je tesko odrediti funkciju distribucije ili gustoce za (Xn, n ∈ N) ili je snjima tesko raditi, dok je granicne funkcije distribucije i gustoce lakse odrediti i analizirati.
Kada se govori o konvergenciji niza govori se zapravo o nekoj granicnoj vrijednosti, agranicna vrijednost u ovom slucaju je granicna funkcija distribucije. Stoga, prije no stobude dana definicija same konvergencije, definicija 2.1 kazuje sto je to granicna funkcijadistribucije niza slucajnih varijabli.
Definicija 2.1. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli i (FXn , n ∈ N) odgovarajuciniz funkcija distribucije pridruzen slucajnim varijablama danog niza. Ako postoji funkcijadistribucije FX takva da vrijedi
limn→∞
FXn(x) = FX(x) x ∈ C(FX),
pri cemu je C(FX) skup svih tocaka neprekidnosti funkcije FX , tada FX zovemo granicnafunkcija distribucije niza (Xn, n ∈ N).
Napomena 2.1. Prema [4], skup [C(FX)]c je najvise prebrojiv skup sto je dano sljedecompropozicijom.
Propozicija 2.1. Skup svih tocaka prekida funkcije distribucije je najvise prebrojiv skup.
Definicija 2.2. Neka slucajna varijabla X ima funkciju distribucije F . Kazemo da niz(Xn, n ∈ N) konvergira po distribuciji prema slucajnoj varijabli X ako je
limn→∞
FXn(x) = FX(x) ∀x ∈ C(FX).
To oznacavamo(d) lim
nXn = X ili Xn
d−→ X(n→∞).
Moze se primjetiti da ako Xnd−→ X i Xn
d−→ Y onda su X i Y jednako distribuirane,tj. FX = FY .
Primjer 2.1 prikazuje jedno ispitivanje konvergencije po distribuciji niza slucajnih varijablina danom intervalu 〈0, 1〉. Ispitivanjem je utvrdeno da niz slucajnih varijabli konvergira podistribuciji prema slucajnoj varijabli X s eksponencijalnom razdiobom i parametrom λ = 1.
5
Primjer 2.1. Neka je dan niz nezavisnih slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) na intervalu 〈0, 1〉s funkcijom distribucije
FX(x) = 1−(
1− x
n
)n, 0 < x ≤ n.
Treba ispitati konvergenciju po distribuciji niza slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N).
Rjesenje.Kada n→∞, za svaki x > 0 ⇒
limn→∞
(1−
(1− x
n
)n) (2.1)= 1− e−x
vrijedi: limn→∞
(1 +
c
n
)nb= ecb (2.1)
FXn(x) −→ 1− e−x tj. FXn(x) −→ FX(x) = 1− e−x
Xnd−→ X ∼ E(1).
Primjer 2.2. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli na intervalu 〈0,∞〉 s funkcijomdistribucije
FXn(x) =
(x
1+x
)n, ako je x > 0
0 , inace.
Treba ispitati konvergenciju po distribuciji danog niza.
Rjesenje.
Kako jex
1 + x< 1 tada se dobiva lim
n→∞FXn(x) = 0 ∀x.
Ispitivanje pokazuje da dobiveni rezultat nije granicna funkcija distribucije danog niza jerse ne priblizava jedinici kako n→∞.
Ako se u primjeru 2.2 umjesto danog niza (Xn, n ∈ N), promatra niz slucajnih varijabli
(Yn, n ∈ N), pri cemu je Yn =Xn
n, na itervalu 〈0,∞〉 tada granicna funkcija distribucije
postoji. Primjer 2.3 upravo to i potvrduje.
Primjer 2.3. Neka je (Yn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli na itervalu 〈0,∞〉, pri cemu je
Yn =Xn
n. Tada je funkcija distribucije dana s
FYn(y) = P (Yn ≤ y) = P
(Xn
n≤ y
)= P (Xn ≤ ny) = FXn(ny) =
(ny
1+ny
)n, ako je y > 0
0 , inace.
Rjesenje.
6
Koristeci poznati limes (2.1), str. 6, dobiva se
limn→∞
FYn(y) = limn→∞
(ny
1 + ny
)n, y > 0
= limn→∞
(ny + 1− 1
1 + ny
)n, y > 0
= limn→∞
(1− 1
1 + ny
)n, y > 0
= e−1y , y > 0
Dakle, granicna distribucija niza zadanog na ovaj nacin postoji.
Kada Xnd−→ X za jako velik n, tada funkcija distribucije slucajne varijable Xn je sve
blize svojoj granicnoj funkciji distribucije, odnosno funkciji distribucije od X. Slicno vrijedi
i za funkciju gustoce. Ako Xnd−→ X i ako niz pripadnih funkcija gustoce (fn, n ∈ N)
konvergira ka granicnoj gustoci, tada kako se n povecava, funkcija gustoce od Xn je sve blizegranicnoj gustoci od X.
Definicija 2.2 dopusta i sljedecu situaciju. Moguce je da je X = c, odnosno X moze bitidegenerirana slucajna varijabla za koju vrijedi P (X = c) = 1. Ako je granicna funkcija dis-tribucije pridruzena degeneriranoj slucajnoj varijabli, tada niz slucajnih varijabli konvergira
po distribuciji prema konstanti. Pri tome se koristi notacija Xnd−→ c.
2.1 Asimptotska distribucija
U najopcenitijem smislu pojam”asimptotska distribucija” oznacava sljedece:
asimptotska distribucija za slucajnu varijablu Xn u nizu (Xn, n ∈ N) je bilo koja distribucijakoja daje aproksimaciju prave distribucije slucajne varijable Xn za veliki n.
Definiranje asimptotske distribucije za slucajnu varijablu, koja se promatra, je vrlo ko-risno, a nekada i neophodno, kada je pravu distribuciju slucajne varijable vrlo tesko ilinemoguce izvesti.
Granicna distribucija moze biti interpretirana kao aproksimacija distribucije slucajne va-rijable Xn za veliki n. Stoga, ako niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) ima granicnu distribu-ciju, tada se granicna distribucija moze promatrati kao asimptotska distribucija za slucajnuvarijablu Xn.
Svrha uvodenja asimptotske distribucije, prema [3], je generalizirati koncept aproksimi-ranja distribucija za veliki n ukljucujuci i slucajeve, bilo da niz (Xn, n ∈ N) nema granicnudistribuciju ili da je ona degenerirana.
Kada je niz slucanjih varijabli asimptotski distribuiran dano je sljedecom definicijom.
Definicija 2.1.1. Neka je niz slucajnih varijabli (Zn, n ∈ N) definiran kao Zn = g(Xn, θn),gdje je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli koji konvergira po distribuciji slucajnoj varijabliX, a (θn, n ∈ N) niz brojeva. Tada kazemo da je niz (Zn, n ∈ N) asimptotski distribuirankao niz (g(X, θn), n ∈ N) i to oznacavamo s Zn
a∼ g(X, θn).
7
Sljedecim primjerom 2.1.1 pokazano je ispitivanje asimptotske distribucije jedne slucajnevarijable. U tom ispitivanju koristi se karakteristicna funkcija te ce prije navodenja primjerabiti dana njezina definicija i svojstva nuzna za razumjevanje primjera i daljnjih dokaza.
Definicija 2.1.2. Neka je FX funkcija distribucije slucajne varijable X. Karakteristicnafunkcija od X (odnosno FX) je funkcija ϕX : R→ C definirana izrazom
ϕX(t) =
∞∫−∞
eitx dFX(x) =
∞∫−∞
cos(tx) dFX(x) + i
∞∫−∞
sin(tx) dFX(x).
Napomena 2.1.1. Prema [4], vrijedi sljedece:
1. ϕX(t) = E[eitX
], t ∈ R
2. za ∀t ∈ R funkcija x 7→ eitx je neprekidna i |eitx| ≤ 1 te je funkcija ϕX dobro definirana.
Za neprekidnu slucajnu varijablu X s funkcijom gustoce fX vrijedi
ϕX(t) =
∞∫−∞
eitx fX(x) dx , t ∈ R
, a za diskretnu slucajnu varijablu X sa slikom R(X) = x1, x2, . . . i pripadnim nizomvjerojatnosti (pk, k ∈ N), pri cemu je P (X = xk) = pk , k ∈ N, vrijedi
ϕX(t) =∑
xk∈R(X)
eitxk pk , t ∈ R.
Propozicija 2.1.1. Za karakteristicnu funkciju ϕ : R→ C slucajne varijable X vrijedi:
a) |ϕ(t)| ≤ |ϕ(0)| = 1
b) ϕ(−t) = ϕ(t)
c) ϕ(t) je uniformno neprekidna funkcija na R.
Teorem 2.1.1. Neka su X1, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable i S =n∑k=1
Xk.
Tada je ϕS(t) =n∏k=1
ϕXk(t).
Teorem 2.1.2. Ako je X slucajna varijabla, a, b ∈ R i Y = aX + b tada jeϕY (t) = ϕaX+b(t) = eibt ϕX(at).
Primjer 2.1.1. Neka je Xn ∼ B(n, λ
n
), λ > 0. Treba ispitati asimptotsku distribuciju od
Xn
n.Rjesenje.
ϕXn(t) =(peit + q
)n,pri cemu je q = 1− p
=
(λ
neit +
(1− λ
n
))n=
(λ
n
(eit − 1
)+ 1
)n−→ eλ(e
it−1)
8
=⇒ Xnd−→ P(λ) ∼ Y
Xnd−→ Y
Zn =Xn
n
a∼ Y
n.
Iz definicije 2.2 slijedi da ako je slucajna varijabla Zn definirana kao funkcija g(Xn, θn)
neke slucajne varijable Xn, za koju vrijedi Xnd−→ X, i da X nije degenerirana, tada je
asimptotska distribucija za Zn dana s distribucijom koja je povezana s istom funkcijom kojaje primijenjena na slucajnu varijablu X, g(X, θn). Tada je problem odredivanja asimptotskedistribucije ekvivalentan s problemom odredivanja distribucija funkcija s varijablom X, posto
je Zn = g(Xn, θn) i Xnd−→ X ⇒ Zn
a∼ g(X, θn).
2.2 Konvergencija po distribuciji neprekidne transformirane slu-cajne varijable
Sada ce biti pokazano kako odrediti granicnu distribuciju transformirane slucajne varijable,
g(Xn), gdje je (Xn, n ∈ N) niz za koji vrijedi Xnd−→ X.
Iduci teorem je bitan prilikom odredivanja konvergencije po distribuciji transformiraneslucajne varijable.
Teorem 2.2.1. Neka Xnd−→ X i neka je slucajna varijabla g(X) definirana preko funkcije
g(x). Nadalje, neka je g(x) Borelova funkcija na R i neprekidna na skupu D tako da je
PX(D) = 1 (tj. D je skup PX1-vjerojatnosti 1). Tada g(Xn)
d−→ g(X).
Dakle, ako Xnd−→ X, granicna distribucija od g(Xn) je dana distribucijom od g(X) ako
je g neprekidna s vjerojatnoscu 1.To znaci da kompozicija funkcije g (koja zadovoljava prethodno navedena svojstva) i
slucajne varijable Xn ne ovisi o drugim parametrima. To je prikazano i iducim primjerom.
Primjer 2.2.1.g(xn) = 4 + xn je dozvoljeno
g(xn, n) =√nxn + 5n nije dozvoljeno.
Najveca razlika ovog tip konvergencije u odnosu na ostale je sto slucajne varijable ne mo-raju biti definirane na istom vjerojatnosnom prostoru. Uz to, konvergencija po distribuciji jenajslabiji tip konvergencije, ali i jedan od najvaznijih tipova. Centralni granicni teorem, je-dan od osnovnih teorema vjerojatnosti, je teorem o konvergenciji po distribuciji. U sljedecempodpoglavlju dan je centralni granicni teorem te je poblize opisana njegova tematika.
2.3 Centralni granicni teoremi
U teoriji vjerojatnosti, centralni granicni teoremi odreduju uvijete pod kojima ce distribucijasume slucajnih varijabli biti aproksimirana normalnom distribucijom.
Koliko je vazan centralni granicni teorem govori i cinjenica da on daje odgovor na pitanjezasto napon suma, koji se moze izmjeriti na krajevima vodica, ima normalnu razdiobu,odnosno veliku primjenu nalazi u ispitivanju kvalitete komunikacijskih mreza.
1PX : B(R)→ [0, 1], PX je vjerojatnosna mjera na B(R) koju nazivamo zakon razdiobe od X.
9
Promatran je centralni granicni teorem samo za niz (Xn, n ∈ N) u slucaju da su slucajnevarijable nezavisne i jednako distribuirane.
Slabi zakoni velikih brojeva, kao i jaki zakoni velikih brojeva nisu korisni u aproksimacijidistribucije (standardiziranih) suma slucajnih varijabli te se stoga koristi granicni centralniteorem. Najjednostavniji centralni granicni teorem (CGT) je Lindberg-Levy CGT, danteoremom 2.3.1.
Teorem 2.3.1. (Lindberg-Levy CGT) Neka je (Xn, n ∈ N) niz nezavisnih jednako distribu-iranih slucajnih varijabli s ocekivanjem E[Xi] = µ i varijancom V ar(Xi) = σ2 ∈ 〈0,∞〉 ∀i.Tada vrijedi
(√nσ)−1
(n∑i=1
Xi − nµ
)=
√n(Xn − µ
)σ
d−→ Z ∼ N (0, 1).
Dokaz.
Neka je Zi =Xi − µσ
, pri cemu je E[Zi] = 0, V ar(Zi) = 1.
1√n
n∑i=1
Zi =1√n
n∑i=1
Xi − µσ
=1√nσ
( n∑i=1
Xi︸ ︷︷ ︸nXn
−nµ)
=√nXn − µσ
= Yn
ϕYn(t) =n∏i=1
ϕZi
(t√n
)= ϕn
(t√n
),gdje je ϕ(t) karakteristicna funkcija od
Xi − µσ
.
limn→∞
ϕYn(t) = limn→∞
ϕn(
t√n
)=?
⇒ ln limn→∞
ϕn(
t√n
)= lim
n→∞ln ϕn
(t√n
)= lim
n→∞n ln ϕ
(t√n
)
= limn→∞
ln ϕ(
t√n
)1n
= limn→∞
ln E[ei t√
nZi
]1n
L′H= lim
n→∞
1
E
[ei t√
nZi
]E [eitZi1√n · itZi
(−1
2n−
32
)]− 1n2
= limn→∞
1
ϕ(
t√n
) (it · 1
2
√n E
[Zi e
itZi1√n
])
= limn→∞
1
ϕ(
t√n
)︸ ︷︷ ︸
=1
limn→∞
it E[Zi e
itZi1√n
]2 1√
n
L′H= lim
n→∞
it E[Zi e
itZi1√n · itZi
(−1
2n−
32
)]2(−1
2n−
32
)
10
lin. oc.= n lim
n→∞
it(−1
2n−
32
)E[Zi e
itZi1√n · itZi
]2(−1
2n−
32
)
= limn→∞
=−1︷︸︸︷i2 t2
=1︷ ︸︸ ︷E[Z2i e
itZi1√n
]2
= −t2
2
ϕYn(t) −→ e−t2
2 sto je karakteristicna funkcija od Z ∼ N (0, 1)
Lindbeg-Levyjev CGT nije teorem aproksimacije. To znaci da on ne tvrdi koliko”velik”
n treba biti prilikom odredivanja normalne distribucije da se aproksimira distribucija od
(√nσ)−1
(n∑i=1
Xi − nµ
). Lindbeg-Levyjev CGT povlaci da se bilo koji pokus iz realnog
svijeta, ciji konacan ishod moze biti tretiran kao rezultat sumacije ili prosjeka ishoda vecegbroja nezavisnih jednako distribuiranih slucajnih varijabli, koje imaju konacno matematickoocekivanje i varijancu, moze promatrati kroz pribliznu normalnu distribuciju.
Na primjer, ukupan broj ostecenih predmeta koji su proizvedeni na nekoj proizvodnojtraci mogu se promatrati kao priblizno normalno distribuirani sve dok su pretpostavke onezavisnoj i jednakoj distribuciji ocuvane.
Sljedeci primjer ilustrira primjenu Lindberg-Levyjeva CGT-a.
Primjer 2.3.1. Aproksimacija za binomnu distribuciju preko normalne distribucije.Neka je (Xn, n ∈ N)niz njd Bernoullijevih slucajnih varijabli, tj.
Xi ∼(
0 11− p p
)p ∈ 〈0, 1〉
Oznacimo s q = 1− p.Neka se n puta nezavisno ponavlja pokus. Time se dobiva slucajna varijabla
Yn =n∑i=1
Xi ∼ B(n, p).
Prema CGT slijedi:√nXn − p√
pq
d−→ Z ∼ N (0, 1)
Yn = nXn =n∑i=1
Xi
√nXn − p√
pq=nXn − np√
npq
d−→ Z ∼ N (0, 1)
Yn − np√npq
d−→ Z ∼ N (0, 1)
=⇒ Yna∼ N (np, npq).
11
Na taj nacin je diskretna binomna distribucija aproksimirana neprekidnom normalnomdistribucijom. Aproksimacija se moze poboljsati, posebno kada n nije dovoljno velik, i toradeci korekciju za neprekidnost. Tada je svaki ishod, x, u dosegu diskretne slucajne varijablepovezan s intervalom dogadaja [x-0.5, x+0.5] kao bazom2 za potrebe odredivanja vjerojatnostipreko asimptotske normalne distribucije.
Na primjer, ako je n = 40, p = 0.5 te x = 20 tada je µ = np = 20 i σ2 = npq = 10dobiva se normalna distribucija N (20, 10).
Tada je
P (X = 20) ≈∫ 20.5
19.5
N (20, 10) ≈ 0.1272
a vjerojatnost dobivena preko binomne distribucije iznosi
P (X = 20) =
(40
20
)(1
2
)40
= 0.1254
Koliko velik n treba biti da bi aproksimacija, koristenjem asimptotske distribucije, biladobra ovisi o karakteristikama prave distribucije danog niza slucajnih varijabli. Primjeraradi, ako je p = 0.5 i n = 1000 gornja granica za aproksimaciju P (Xn ≤ c) preko standardnenormalne distribucije je 0.025, odnosno 0.005.
Glavna primjena centralnog granicnog teorema je odrediti pribliznu distribuciju u slucajuda je prava distribucija nepoznata ili je s njom tesko dalje raditi.
Primjer 2.3.2. Neka su X1, X2, . . . , Xn nezavisne slucajne varijable pri cemu je
Xi ∼ U(0, 1), i neka je Yn =n∑i=1
Xi.
E[Xi](∗)=
1
2V ar(Xi)
(∗∗)=
1
12
za uniformnu distribuciju na [a, b] a < b vrijedi (∗)E[X] =a+ b
2(∗∗)V ar(X) =
(b− a)2
12
Time se dobiva da je
Yn ∼ N(n
2,n
12
).
Primjera radi, ako je n = 12 tada se dobiva
Y12 − 6 ∼ N (0, 1)
a ta aproksimacija je toliko dobra da se cesto koristi u simulaciji standardnih normalnihslucajnih brojeva u racunalnim programima.
Postoje dvije modifikacije navedenog CGT za sumu njd slucajnih varijabli. U prvojmodifikaciji radi se s tezinskom sumom njd slucajnih varijabli, a u drugoj (poznati LyapunovCGT) sa sumom nezavisnih, ali ne nuzno i jednako distribuiranim slucajnim varijablama kojeimaju konacan treci moment. No, kako ti centralni granicni teoremi ovdje nisu kljucni necebiti navedeni.
2duljina baze je jedna jedinica
12
3 Konvergencija po vjerojatnosti
Konvergencija po vjerojatnosti u osnovi znaci da vjerojatnost da |Xn−X| prelazi odredenu,strogo pozitivnu vrijednost konvergira u nulu.
Prije uvodenja definicije opisan je put do nje.Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli definiran na vjerojatnosnom prostoru (Ω,F , P ),
X slucajna varijabla te ε > 0.Promatra se vjerojatnost oblika P (|Xn −X| ≥ ε).Xn je daleko od X kada je |Xn −X| ≥ ε pa je stoga P (|Xn −X| ≥ ε) vjerojatnost da je
Xn daleko od X.Ako (Xn, n ∈ N) konvergira prema X, tada P (|Xn −X| ≥ ε) postaje sve manja kako n
raste, odnosno ta vjerojatnost tezi u nulu.To je sazeto u sljedecoj definiciji.
Definicija 3.1. Kazemo da niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) na vjerojatnosnom prostoru(Ω,F , P ), konvergira po vjerojatnosti prema slucajnoj varijabli X, ako za svaki ε > 0 vrijedi
limn→∞
P|Xn −X| ≥ ε = 0.
To oznacavamo s(p) lim
nXn = X ili Xn
p−→ X.
Napomena 3.1. Prema [4] taj limes postoji i jedinstven je. Ta tvrdnja slijedi iz sljedecepropozicije.
Propozicija 3.1. Ako je (p) limnXn = X i (p) lim
nXn = Y, tada je PX 6= Y = 0.
Dokaz.
X 6= Y = ω : X(ω) 6= Y (ω) =∞⋃k=1
ω : |X(ω)− Y (ω)| ≥ 1
k
.
Imamo
P
ω : |X(ω)− Y (ω)| ≥ 1
k
≤ P
ω : |Xn(ω)−X(ω)| ≥ 1
2k
+ P
|X(ω)− Y (ω)| ≥ 1
2k
n ∈ N.
U nejednakosti prijedemo na limes po n i dobivamo
P
ω : |X(ω)− Y (ω)| ≥ 1
k
= 0 k ∈ N.
Tvrdnja propozicije slijedi iz svojstva vjerojatnosti, subaditivnost vjerojatnosti:
An ∈ F , n ∈ N⇒ P
(∞⋃n=1
An
)≤
∞∑n=1
P (An) .
Sljedecim primjerom ilustrirano je ispitivanje konvergencije po vjerojatnosti.
13
Primjer 3.1. Neka je X diskretna slucajna varijabla cija je slika R(X) = 0, 1 i funkcijagustoce
fX(x) =
13, ako je x = 0
23, ako je x = 1
0 , inace.
Promatramo niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) koji je generiran s Xn =(1 + 1
n
)X. Treba
pokazati da niz (Xn, n ∈ N) konvergira po vjerojatnosti prema slucajnoj varijabli X.Rjesenje:
Neka je ε > 0.
|Xn −X| =∣∣∣∣(1 +
1
n
)X −X
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 1nX∣∣∣∣ =
1
n|X|
•X = 0
P (X = 0) =2
3
⇒ |Xn −X| =1
nX = 0
⇒ |Xn −X| < ε(3.1)
•X = 1
P (X = 1) =1
3
⇒ |Xn −X| =1
nX =
1
n
⇒ |Xn −X| < ε ako je1
n< ε
(3.2)
(3.1) i (3.2) ⇒
P (|Xn −X| < ε) =
23, ako je n ≤ 1
ε
1 , ako je n > 1ε
Iz svojstva vjerojatnosti (vjerojatnost suprotnog dogadaja) dobiva se:
P (|Xn −X| > ε) = 1− P (|Xn −X| < ε) =
13, ako je n ≤ 1
ε
0 , ako je n > 1ε.
ε je proizvoljan pa ako se na dobivenu vjerojatnost djeluje limesom kada n → ∞ dobivase:
limn→∞
P (|Xn −X| > ε) = 0 ∀ε > 0.
3.1 Konvergencija po vjerojatnosti neprekidne transformirane slu-cajne varijable
Teorem 3.1.1. Neka Xnp−→ X i neka je slucajna varijabla g(X) definirana funkcijom g(x).
Nadalje, neka je g(x) Borelova funkcija na R i neprekidna na skupu D tako da je PX(D) = 1
(tj. D je skup PX-vjerojatnosti 1). Tada g(Xn)p−→ g(X) (⇔ p lim g(Xn) = g(p limXn)).
14
Dani teorem moze pojednostaviti trazenje granicne vrijednosti slozenije transformiraneslucajne varijable, a posebno kada konvergira prema konstanti.
Upravo takav slucaj dan je sljedecim primjerom.
Primjer 3.1.1. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli takav da Xnp−→ 3. Nadalje,
neka je Yn = g(Xn) = ln(Xn) + (Xn)12 .
Tada se koristenjem teorema 3.1.1 dobiva:
p limYn = p lim g(Xn) = g(p limXn) = ln(p limXn) + (p limXn)12
= ln(3) + (3)12 = 2.8307
3.2 Slabi zakoni velikih brojeva
Postoje dva vazna zakona velikih brojeva, a to su slabi zakon velikih brojeva i jaki zakonvelikih brojeva. Razlika medu njima ocituje se kroz tip konvergencije koji se koristi. Slabizakoni obuhvacaju upravo ovaj tip konvergencije.
Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli ciji je opci clan dan s Xn =1
n
n∑i=1
Xi, Xi opci
clan niza (Xn, n ∈ N).(Xn, n ∈ N) je niz ciji je opci clan dan kao prosjek n clanova niza (Xn, n ∈ N).Rezultat konvergencije niza (Xn, n ∈ N) koji koristi koncept konvergencije po vjero-
jatnosti odnosi se na slabi zakon velikih brojeva (SZVB), tj. Xnp−→ µ ,E[Xi] = µ ili
Xn − µ→ 0.Odnosno, ∀ε > 0 lim
n→∞P (|Xn − µ| > ε) = 0.
Isto tako, rezultat konvergencije dobiven koristeci konvergenciju gotovo sigurno odnosise na jaki zakon velikih brojeva (JZVB) sto ce biti opisano u posebnom podpoglavlju.
Slabi zakoni velikih brojeva mogu se promatrati za dva slucaja:
1. ako su slucajne varijable niza (Xn, n ∈ N) njd te
2. ako slucajne varijable danog niza nisu nuzno nezavisne.
Ako se promatra prvi slucaj, onda je najpoznatiji takav zakon Khinchinov SZVB.
Teorem 3.2.1. (Khinchinov SZVB) Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd slucajnih varijabli te
E[Xi] = µ <∞. Tada Xnp−→ µ.
Primjenom danog teorema dolazi se do sljedeceg rezultata u promatranom nizu.
Primjer 3.2.1. Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd slucajnih varijabli, Xi Bernoullijeva slucajnavarijabla, p ∈ 〈0, 1〉.
Kako je E[Xi] = 1 · p+ 0 · (1− p) = p tada prema teoremu 3.2.1 vrijedi Xnp−→ p.
Dakle, ako je p = 0.7 onda je Xnp−→ 0.7.
15
4 Konvergencija u srednjem reda p
Definicija 4.1. Neka je 1 ≤ p < ∞. Prostor svih slucajnih varijabli X takvih da E[|X|p]postoji i konacan je, oznacavamo s Lp ili Lp(Ω,F , P ) i to je Banachov prostor.
Ako je slucajna varijabla X integrabilna pise se X ∈ L1(Ω,F , P ).
Definicija 4.2. Neka je 1 ≤ p < ∞, i neka je Xn, X ∈ Lp(Ω,F , P )(n ∈ N). Kazemo daniz (Xn, n ∈ N) konvergira u srednjem reda p prema X, ako vrijedi
limn→∞
E[|Xn −X|p] = 0.
To oznacavamo s
(mp) limnXn = X ili Xn
mp
−→ X (n→∞).
Konvergencija u srednjem reda p interpretira se na sljedeci nacin:p-ti apsolutni moment razlike Xn i X konvergira u nulu za dovoljno velik n.
Postoje dva slucaja konvergencije u srednjem reda p koja se najcesce promatraju, a to su:
• za p = 1 kaze se da Xn konvergira u srednjem reda jedan prema X,
• za p = 2 kaze se da Xn konvergira u srednjem reda dva (ili kvadratnom) prema X.
Ako je 1 ≤ s < p tada konvergencija u srednjem reda p implicira konvergenciju u srednjemreda s. Iz te tvrdnje slijedi da konvergencija u srednjem reda dva povlaci konvergenciju usrednjem reda jedan sto ce kasnije biti i pokazano.
Ovaj tip konvergencije tocnije receno predstavlja”tehnicki” tip konvergencije. Radi se s
nizom realnih brojeva jer jedan broj predstavlja jednu slucajnu varijablu te se provjerava jeli taj niz konvergentan.
Formalno, to izgleda ovako:ako lim
n→∞E[ |Xn − a|p ] = 0, a ∈ R, tada niz (Xn, n ∈ N) konvergira u srednjem reda p
prema a.
4.1 Konvergencija u srednjem reda dva
Konvergencija u srednjem reda 2 polazi od pitanja da li za neku slucajnu varijablu X, nizmatematickih ocekivanja (E [(Xn −X)2] , n ∈ N) konvergira u nulu kada n→∞.
E [(Xn −X)2] interpretira se kao ocekivana kvadratna razlika ishoda slucajnih varijabliXn i X.
Konvergenciju u srednjem reda 2 oznacavamo s
(m2) limnXn = X ili Xn
m2
−→ X (n→∞) ili XnL2
−→ X (n→∞).
XnL2
−→ X (n → ∞) oznacava da je to konvergencija u Lp prostoru L2 jer se zahtjevada su niz (Xn, n ∈ N) i X dva puta integrabilne.
16
Primjer 4.1.1. Neka je dan niz nezavisnih slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) s funkcijamagustoce
fXn(x) =
n√2e− n√
2x, ako je x ≥ 0
0 , ako je x < 0∀n ∈ N.
Treba ispitati konvergenciju u srednjem reda 2 prema 0.
Rjesenje.
Xn ∼ E(n√2
), n ∈ N −→ FXn(x) =
1− e−
n√2x, ako je x ≥ 0
0 , ako je x < 0
limn→∞
E[(Xn − 0)2
] ?= 0, tj. lim
n→∞E[X2n
] ?= 0
E [Xn] =
√2
nV ar(Xn) =
2
n2
=⇒ E[X2n
]= V ar(Xn) + (E[Xn])2 =
2
n2+
2
n2=
4
n2
limn→∞
E[X2n
]= lim
n→∞
4
n2= 0 =⇒ Xn
m2
−→ 0 (n→∞)
17
5 Konvergencija gotovo sigurno
Definicija 5.1. Kazemo da niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N), definiran na vjerojatnosnomprostoru (Ω,F , P ), konvergira gotovo sigurno prema slucajnoj varijabli X ako je
P(ω ∈ Ω : X(ω) = lim
n→∞Xn(ω)
)= 1.
To oznacavamo s
(g.s.) limnXn = X ili Xn
g.s.−→ X (n→∞).
Napomena 5.1. Takav limes je (g.s.) jedinstven, tj. ako (Xn, n ∈ N) konvergira prema Xi X ′, tada je X = X ′ (g.s.).
Tvrdnja da neki dogadaj ima vjerojatnost 1 je najjaca tvrdnja u teoriji vjerojatnosti, atime je i konvergencija s vjerojatnoscu 1 najjaci tip konvergencije. Stoga, cesto se koristi inaziv jaka konvergencija.
Iz definicije 5.1 slijedi da dogadaji za koje Xn ne konvergira prema X imaju vjerojatnost0.
Ako se u definiciji 5.1, granicna slucajna varijabla X zamijeni konstantom c, tada se piseXn
g.s.−→ c. U statistici se cesto pojavljuje konvergencija prema konstanti, a tada je slucajnavarijabla Xn neki procjenitelj odredenog parametra kao sto je g(θ).
Sljedece tvrdnje su vrlo korisne u rjesavanju problema konvergencije s vjerojatnoscu 1.
Teorem 5.1. Neka je (Xn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli za koji vrijedi
∞∑n=1
P (|Xn −X| ≥ ε) <∞ ∀ε > 0.
Tada Xng.s.−→ X (n→∞).
Dokaz.
Kako je∞∑n=1
P (|Xn −X| ≥ ε) <∞ ⇒ limn→∞
P (|Xn −X| ≥ ε) = 0 ,tj.
Xnp−→ X (n→∞).
Neka je ε > 0. Promotrimo
P (|Xn −X| ≥ ε ,za neki m ≥ n) = P
(∞⋃m=n
|Xm −X| ≥ ε
)subad. vj
≤∞∑m=n
P (|Xm −X| ≥ ε)︸ ︷︷ ︸−→0 kada n→∞
⇒ P (ω ∈ Ω : |Xm(ω)−X(ω)| ≥ ε ,za neki m ≥ n) −→ 0 ,n→∞
Ekvivalentna tvrdnja za konvergenciju gotovo sigurno je:
18
P (|Xm −X| ≥ ε ,∀m ≥ n) ≤ P (|Xm −X| ≥ ε ,za neki m ≥ n)
≤∞∑m=n
P (|Xm −X| ≥ ε) −→ 0 kada n→∞.
⇒ limn→∞
P (|Xm −X| ≥ ε ,∀m ≥ n) = 0 ∀ε > 0
limn→∞
P (|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n) = 1 ∀ε > 0
Sada treba pokazati:
Xng.s.−→ X ⇔ lim
n→∞P (|Xm −X| > ε ,∀m ≥ n) = 1 ∀ε > 0.
Ako vrijedi da Xng.s.−→ X tada na skupu vjerojatnosti jedan ∀ε > 0 vrijedi:
|Xm(ω)−X(ω)| < ε ∀n ≥ n0.ω ∈ Ω : lim
n→∞Xn(ω) = X(ω)
= Xn → X =
=⋂ε>0
∞⋃m=n
ω ∈ Ω : |Xm(ω)−X(ω)| < ε ,∀m ≥ n
P (Xn → X) = P (⋂ε>0
∞⋃m=n
|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n) = (neprek. vjer. u odnosu na padajucu fam. dog.)
= limε>0
P
(∞⋃m=n
|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n
)= (neprek. vjer. u odnosu na rastucu fam. dog.)
= limε>0
limn→∞
P (|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n)
• Pretpostavimo da je desna strana jednaka 1, tj.limε>0
limn→∞
P (|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n) = 1 ⇒ tada je i P (Xn → X) = 1 , tj.
Xng.s.−→ X (n→∞).
• Pretpostavimo da je lijeva strana jednaka 1, tj. P (Xn → X) = 1 (n→∞).
1 = P (Xn → X) ≤ P
(∞⋃m=n
|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n
)= lim
n→∞P (|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n)
⇒ limn→∞
P (|Xm −X| < ε ,∀m ≥ n) = 1
Propozicija 5.1. Neka je (εn, n ∈ N) opadajuci niz pozitivnih realnih brojeva takvih da je
limn→∞
εn = 0. Ako je∞∑n=1
P (|Xn − X| ≥ εn) < ∞, tada niz (Xn, n ∈ N) slucajnih varijabli
konvergira gotovo sigurno prema slucajnoj varijabli X.
19
Sljedeci primjer ilustrira ispitivanje konvergencije gotovo sigurno, a njime je pokazano daXn
g.s.−→ 1 (n→∞).
Primjer 5.1. Treba ispitati konvergenciju gotovo sigurno prema jedinici niza slucajnih va-rijabli (Xn, n ∈ N) s funkcijom gustoce
fXn(x) =
nxn−1 , ako je x ∈ 〈0, 1〉0 , inace
.
Rjesenje.
∞∑n=1
P (|Xn−X| ≥ εn) <∞ =⇒ Xng.s.−→ X (n→∞) ; X =
(1
1
)tj. P (X = 1) = 1
∞∑n=1
P (|Xn −X| ≥ εn)?<∞
P (|Xn − 1| ≥ ε) = 1− P (|Xn − 1| < ε) = 1− P (−ε < Xn − 1 < ε)(5.1)= 1− P (1− ε < Xn < 1 + ε)
= 1− P (Xn < 1 + ε) + P (Xn < 1− ε)= 1− P (Xn ≤ 1 + ε) + P (Xn ≤ 1− ε) ,X je neprekidna SV
= 1− FXn(1 + ε) + FXn(1− ε) = (∗)
P (1− ε < Xn < 1 + ε) =
1+ε∫1−ε
fn(x) dx =
1+ε∫−∞
fn(x) dx−1−ε∫−∞
fn(x) dx
= P (Xn ≤ 1 + ε)− P (Xn ≤ 1− ε)
(5.1)
FXn(x) =?
1. x ∈ 〈−∞, 0] FXn(x) = 0
2. x ∈ 〈0, 1〉 FXn(x) =
x∫−∞
f(x) dx =
x∫0
nxn−1 dx = nxn
n
∣∣∣∣x0
= xn
3. x ∈ [1,∞〉 FXn(x) =
x∫−∞
fn(x) dx =
1∫0
nxn−1 dx = nx
n
∣∣∣∣10
= 1n = 1
=⇒ FXn(x) =
0 , ako je x ∈ 〈−∞, 0]xn , ako je x ∈ 〈0, 1〉1 , ako je x ∈ [1,∞〉
(∗) = 1− 1 +
(1− ε)n , ε ∈ 〈0, 1〉0 , ε ≥ 1
=
(1− ε)n , ε ∈ 〈0, 1〉0 , ε ≥ 1
20
•za ε ≥ 1 je P (|Xn − 1| ≥ ε) = 0 ⇒∞∑n=1
P (|Xn − 1| ≥ ε) <∞
•za ε ∈ 〈0, 1〉 je P (|Xn − 1| ≥ ε) = (1− ε)n
=⇒∞∑n=1
(1− ε)n =1− ε
1− (1− ε)=
1− εε
<∞
⇒ ∀ε > 0∞∑n=1
P (|Xn − 1| ≥ ε) <∞ ⇒ Xng.s.−→ 1 (n→∞)
I na kraju se navodi teorem koji daje nuzan i dovoljan uvjet za postojanje ovog tipakonvergencije.
Teorem 5.2. (Cauchyjev kriterij za konvergenciju gotovo sigurno) Niz slucajnih varijabli(Xn, n ∈ N) konvergira gotovo sigurno prema nekoj slucajnoj varijabli (po mogucnosti dege-neriranoj) ako i samo ako
limn→∞
P (maxm>n|Xm −Xn| < ε) = 1 ,∀ε > 0.
Dakle, za postojanje ovog tipa konvergencije, nuzno je i dovoljno, da udaljenost ishodan-tog izraza u slucajnom nizu i ostalim sljedecim izrazima iza tog n-tog, bude proizvoljnomala s vjerojatnoscu koja se priblizava jedinici kada n→∞.
5.1 Konvergencija gotovo sigurno neprekidne transformirane slu-cajne varijable
Teorem 5.1.1. Neka Xng.s.−→ X i neka je slucajna varijabla g(X) definirana funkcijom g(x).
Nadalje, neka je g(x) Borelova funkcija na R i neprekidna na skupu D tako da je PX(D) = 1
(tj. D je skup PX-vjerojatnosti 1). Tada g(Xn)g.s.−→ g(X).
Dokaz.Neka Xn
g.s.−→ X, i neka je ω ∈ Ω takav da Xn(ω) −→ X(ω).∀ω ∈ Ω zbog neprekidnosti funkcije g vrijedi:
g(X(ω)) = g( limn→∞
Xn(ω)) = limn→∞
g(Xn(ω)) tj. g(Xn(ω)) −→ g(X(ω))
Kako jeω ∈ Ω : lim
n→∞Xn(ω) = X
skup vjerojatnosti 1 , a na tom skupu vrijedi
g(Xn(ω)) −→ g(X(ω)) ⇒ g(Xn(ω))g.s.−→ g(X(ω)).
5.2 Jaki zakoni velikih brojeva
Jaki zakon velikih brojeva (JZVB) tvrdi da Xng.s.−→ µ, pri cemu je E[Xi] = µ ,∀ i ili
Xn − µg.s.−→ 0 (n → ∞), tj. P ( lim
n→∞Xn = µ) = 1. Naziv jaki zakon dobio je zbog
21
konvergencije gotovo sigurno koja se naziva i jaka konvergencija, a povlaci konvergenciju povjerojatnosti poznatu i kao slabu konvergenciju.
Kao i SZVB, tako i JZVB moze se promatrati za slucaj da su slucajne varijable niza(Xn, n ∈ N) njd te da to ne vrijedi. Navodi se JZVB samo za slucaj da su slucajne varijabledanog niza nezavisne i jednako distribuirane.
Najvazniji takav zakon je Kolmogorovljev zakon koji postoji posebno za slucaj da vari-janca slucajne varijable postoji te zakon u kojem to nije nuzno.
Teorem 5.2.1. (Kolmogorovljev JZVB: varijanca postoji) Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd
slucajnih varijabli takvih da je E[Xi] = µ i V ar(Xi) = σ2 <∞. Tada Xng.s.−→ µ.
Primjer 5.2.1. Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd slucajnih varijabli s eksponencijalnom razdi-obom, tj Xi ∼ E
(1θ
), θ ≤ c <∞.
E[Xi] = µ =11θ
= θ V ar(Xi) = σ2 =11θ2
= θ2 ≤ c2 <∞, ∀ i.
Tada prema teoremu 5.2.1 Xng.s.−→ θ.
Postojanje varijance nije nuzno za JZVB te je u sljedecem teoremu dan nuzan i dovoljanuvjet za JZVB.
Teorem 5.2.2. (Kolmogorovljev JZVB) Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd slucajnih varijabli.
Uvijet E[Xi] = µ <∞ je nuzan i dovoljan da Xng.s.−→ µ.
Primjer 5.2.2. Neka je (Xn, n ∈ N) niz njd slucajnih varijabli s funkcijom gustoce
f(x) =
2x−3 , ako je x ∈ 〈1,∞〉0 , inace.
• E[Xi] =
∞∫1
x ·(2x−3
)dx = 2
∞∫1
x−2 dx = 2x−1
−1
∣∣∣∣∞1
= −(−2) = 2
• E[X2i
]=
∞∫1
x2 ·(2x−3
)dx = 2
∞∫1
x−1 dx = 2 lnx
∣∣∣∣∞1
=∞
Dakle, varijanca od X ne postoji te se iz Kolmogorovljeva jakog zakona velikih brojevadobiva Xn
g.s.−→ 2.
22
6 Veze izmedu razlicitih tipova konvergencije nizova
slucajnih varijabli
6.1 Veza konvergencije po vjerojatnosti i konvergencije po distri-buciji
Teorem 6.1.1. Neka je ((Xn, Yn), n ∈ N) niz uredenih parova slucajnih matrica dimenzije
(m× k) za koje vrijedi Xnd−→ X i (Xn − Yn)
p−→ [0]. Tada Ynd−→ X.
Korolar 6.1.1.Yn
p−→ Y =⇒ Ynd−→ Y.
Dokaz.Slijedi iz teorema 6.1.1 ako stavimo Xn = X = Y ∀n.
Primjer 6.1.1. Neka je (Yn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli definiran sYn =
(2 + 1
n
)X + 3, X ∼ N (1, 2).
Iz definicije za konvergenciju po vjerojatnosti dobiva se:
p limYn = p lim
(2 +
1
n
)X + p lim(3) = 2X + 3 ∼ N (5, 8)
Po korolaru 6.1.1 slijedi da Ynd−→ N (5, 8).
Postoji jedan specijalan slucaj koji je dan sljedecim teoremom, a ukazuje na to da korolar6.1.1, generalno gledajuci nije istinit.
Teorem 6.1.2.
Ynd−→ c ⇐⇒ Yn
p−→ c , pri cemu je c konstanta.
Dokaz.Neka je
Fc(x) =
0 , ako je x < c1 , ako je x ≥ c
∀x u kojem je Fc(x) neprekidna vrijedi FXn(x) −→ Fc ∀x 6= c.
0 ≤ P (|Xn − c| ≥ ε) = P (Xn ≤ c− ε) + P (Xn > c+ ε)
(∗)≤ FXn(c− ε) +
(1− FXn
(c+
ε
2
))
(∗) =
ε ≥ ε
2
c+ ε ≥ c+ ε2
P (Xn ≥ c+ ε) ≤ P(Xn ≥ c+ ε
2
)Kada se na tu nejednakost djeluje limesom kada n→∞ dobiva se
= Fc(c− ε) + Fc(c+ ε) = 0 + (1− 1) = 0.
23
Dakle, u slucaju konvergencije prema konstanti, zapisi konvergencije po vjerojatnostii po distribuciji su ekvivalentni. Inace, konvergencija po vjerojatnosti je mnogo jaci tipkonvergencije u odnosu na konvergenciju po distribuciji.
Neki vazni rezultati konvergencije po distribuciji dani su tzv. teorem Slutskog.
Teorem 6.1.3. (Teorem Slutskog) Neka je Xnd−→ X i Yn
d−→ c. Tada vrijedi:
a) Xn + Ynd−→ X + c , n→∞
b) YnXnd−→ cX , n→∞
c)Xn
Yn
d−→ X
c, ako je c 6= 0, n→∞.
Dokaz.
a) Neka je x tocka takva da je (x− c) tocka neprekidnosti funkcije distribucije FX i neka jeε > 0 tako da su (x− c− ε) i (x− c+ ε) takoder tocke neprekidnosti od FX .Treba pokazati lim
n→∞FXn+Yn(x) = FX+c(x) ∀x u kojem je FX+c neprekidna.
FXn+Yn(x) = P (Xn + Yn ≤ x) = P (Xn + Yn ≤ x, |Yn − c| < ε)
+ P (Xn + Yn ≤ x, |Yn − c| ≥ ε)(6.1)
P (Xn + Yn ≤ x, |Yn − c| < ε) =
= P (ω ∈ Ω : Xn(ω) + Yn(ω) ≤ x, |Yn(x)− c| < ε)= P (ω ∈ Ω : Xn(ω) + Yn(ω) ≤ x ∩ ω ∈ Ω : |Yn(x)− c| < ε)= P (ω ∈ Ω : Xn(ω) + Yn(ω) ≤ x ∩ ω ∈ Ω : Yn(x) ∈ 〈c− ε, c+ ε〉)Xn(ω) ∈ 〈x− c− ε, x− c+ ε〉 ⊂ 〈−∞, x− c+ ε]
≤ P (Xn(ω) ≤ x− c+ ε)
Slicno se dobiva P (Xn + Yn ≤ x, |Yn − c| ≥ ε) ≤ P (|Yn − c| ≥ ε).Time se dobiva: (6.1) ≤ P (Xn ≤ x−c+ε)+P (|Yn−c| ≥ ε) = FXn(x−c+ε)+P (|Yn−c| ≥ ε).Vrijedi:
lim supn→∞
FXn+Yn(x) ≤ lim supn→∞
FXn(x− c+ ε)︸ ︷︷ ︸FX(x−c+ε)
+ lim supn→∞
P (|Yn − c| ≥ ε)︸ ︷︷ ︸=0
⇒ lim supn→∞
FXn+Yn(x) ≤ FX(x− x+ ε)
• Slicno se dobiva i:
P (Xn ≤ x− c− ε) ≤ P (Xn + Yn ≤ c) + P (|Yn − c| ≥ ε).
lim infn→∞
FX(x− c− ε) ≤ lim infn→∞
FXn+Yn(x) + lim infn→∞
P (|Yn − c| ≥ ε)
FX(x− c− ε) ≤ lim infn→∞
FXn+Yn(x) + 0
FX(x− c− ε) ≤ lim infn→∞
FXn+Yn(x) ≤ lim supn→∞
FXn+Yn(x) ≤ FX(x− c+ ε)
⇒ (x− c) je takoder tocka neprekidnosti od FX i
limn→∞
FXn+Yn(x) = FX(x− c) = P (X ≤ x− c) = P (X + c ≤ x) = FX+c(x)
24
b) Na slican nacin kao u djelu a) dokazuje se i ova tvrdnja teorema, ali da bi dokaz bio malojednostavniji dodana je sljedeca pretpostavka.
Bez smanjenja opcenitosti neka je c = 0. (Da bi se to pokazalo dovoljno je promatratijedan slucaj, pri tome treba primjetiti da vrijedi Xn Yn = Xn(Yn − c) + cXn. Kako
cXnd→ cX zakljucak slijedi iz dijela a) ako se pokaze da Xn(Yn − c)
p→ 0. Onda zbogkorolara 6.1.1 slijedi tvrdnja teorema.)
Treba pokazati da Xn Ynp→ 0.
Neka je ε > 0 i M > 0. Time se dobiva:
P (|Xn Yn| > ε) = P
(|Xn Yn| > ε, |Yn| ≤
1
M
)+ P
(|Xn Yn| > ε, |Yn| >
1
M
)≤ P
(|Xn Yn| > ε, |Yn| ≤
1
M
)+ P
(|Yn| >
1
M
)≤ P (|Xn > εM |) + P
(|Yn| >
1
M
).
Kako Ynp→ 0, P
(|Yn| >
1
M
)→ 0 , (n→∞) ∀M > 0.
Neka su ε i M takvi da su (εM) i (−εM) tocke neprekidnosti funkcije distribucije od X.Tada P (|Xn| > εM) → P (|X| > εM) i limes je proizvoljno blizu 0, ako je M dovoljno
velik.
6.2 Veza konvergencije u srednjem reda p, konvergencije po vje-rojatnosti i konvergencije po distribuciji
Sljedeci teorem povezuje konvergenciju u srednjem reda 2 s konvergencijom po vjerojatnostii po distribuciji. Prije no sto bude dan taj teorem, biti ce iskazana i dokazana Markovljevanejednakost pomocu koje se dokazuje navedeni teorem.
Teorem 6.2.1. (Markovljeva nejednakost) Neka je X slucajna varijabla na vjerojatnosnomprostoru (Ω,F , P ) i g : R(X)→ R nenegativna funkcija takva da E[g(x)] <∞. Tada ∀ε > 0vrijedi
P (g(X) ≥ ε) ≤ E[g(X)]
ε.
Dokaz.Neka je IA(ω) indikator slucajna varijabla,
IA(ω) =
1 , ako je ω ∈ A0 , ako je ω 6∈ A ,A ⊂ Ω.
IA : Ω→ R je slucajna varijabla s tablicom distribucije
IA =
(0 1
1− p p
)p ∈ 〈0, 1〉.
Uocimo da vrijedi:
25
1. p = P (IA = 1) = P (ω ∈ Ω : IA(ω) = 1) = P (ω ∈ Ω : ω ∈ A) = P (A)
2. E[IA] = 0 · (1− p) + 1 · p = p
=⇒ P (A) = p = E[IA].
E[g(X)] = E[g(X) · Iω∈Ω : g(X)≥ε(ω) + g(X) · Iω∈Ω : g(X)<ε(ω)]
= E[g(X) · Ig(X)≥ε] + E[g(X) < ε]︸ ︷︷ ︸≥0
≥ E[g(X) · Ig(X)≥ε]
≥ E[ε · Ig(X)≥ε]
= ε · E[Ig(X)≥ε]
= ε · P (ω ∈ Ω : g(X) ≥ ε)= ε · P (g(X) ≥ ε)
=⇒ E[g(X)]
ε≥ P (g(X) ≥ ε)
P (g(X) ≥ ε) ≤ E[g(X)]
ε∀ε > 0.
Teorem 6.2.2.
Ynm2
−→ Y =⇒ Ynp−→ Y =⇒ Yn
d−→ Y.
Dokaz.
Neka je (Yn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli, i neka Ynm2
−→ Y . Promatramo (Yn − Y )2,nenegativnu slucajnu varijablu i neka je ε > 0.
Iz Markovljeve nejednakosti dobiva se:
P ((Yn − Y )2 ≥ ε2) ≤ E[(Yn − Y )2]
ε2.
P (|Yn − Y | ≥ ε) ≤ E[(Yn − Y )2]
ε2
Iz pretpostavke i definicije konvergencije u srednjem reda 2, E[(Yn − Y )2] −→ 0 slijedilimn→∞
P (|Yn − Y | ≥ ε) −→ 0 ∀ε > 0.
Dakle, p limYn = Y , tj. Ynp−→ Y .
Konvergencija po distribuciji, Ynd−→ Y , slijedi iz korolara 6.1.1.
Prethodni teorem 6.2.2 upucuje na zakljucak da je konvergencija u srednjem reda 2 do-voljan uvjet za preostale dvije konvergencije, konvergenciju po vjerojatnosti i po distribuciji.
Sljedeci primjer pokazuje kako konvergencija u srednjem reda 2 nije nuzan uvjet za ko-nvergenciju po vjerojatnosti te za konvergenciju po distribuciji.
Dakle, konvergencija po vjerojatnosti, ali i po distribuciji, ne povlaci konvergeciju usrednjem reda 2.
26
Primjer 6.2.1. Treba pokazati da ako Ynp−→ Y i/ili Yn
d−→ Y ; Ynm2
−→ Y .Neka je (Yn, n ∈ N) niz slucajnih varijabli takav da P (Yn = 0) = 1− 1
n2 i P (Yn = n) = 1n2 .
Rjesenje.Iz danoga se dobiva
limn→∞
P (Yn = 1) = 1 pa je p limYn = 0 i Ynd−→ 0.
No, E[(Yn − 0)2] = 0
(1− 1
n2
)+ n2
(1
n2
)= 1 ∀n pa Yn
m2
6−→ Y .
Sve prethodno navedene tvrdnje mogu se kratko sazeti u jednu, da je konvergencijau srednjem reda 2 mnogo jaci tip konvergencije i od konvergencije po vjerojatnosti i odkonvergencije po distribuciji.
6.3 Veza konvergencije u srednjem reda 2 i konvergencije u sre-dnjem reda 1
Kao sto je vec navedeno u podpoglavlju 4.1, konvergencija u srednjem kvadratnom povlacikonvergenciju u srednjem reda 1, a to potvrduju i sljedece dvije matematicke tvrdnje.
Propozicija 6.3.1. Ako Xnm2
−→ X onda Xnm1
−→ X.
Dokaz.U dokazu se koristi Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky nejednakost koja je u teoriji vjerojat-
nosti dana s:[E[ |XY | ] ]2 ≤ E[X2] · E[Y 2] (6.2)
Koristeci Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky nejednakost dobiva se
[E[ |Xn −X| ] ]2 ≤ E[|Xn −X|2
]= E
[(Xn −X)2
]/√.
⇒ |E[ |Xn −X| ] |︸ ︷︷ ︸≥0 ( |Xn −X| je neneg. SV)
≤√E [ (Xn −X)2 ]
E[ |Xn −X| ] ≤√E [ (Xn −X)2 ]
pa prema pretpostavci propozicije E[ |Xn −X| ] −→ 0.
Teorem 6.3.1. Ako Xnm2
−→ X i Ynm2
−→ Y onda Xn Ynm1
−→ X Y .
Dokaz.Dokaz se provodi koristeci Cauchy-Schwarz-Bunyakovsky nejednakost danu s (6.2) i ne-
jednakost Minkowskog koja u teoriji vjerojatnosti glasi
[E[ |X + Y |p ]]1p ≤ [E[ |X|p ]]
1p + [E[ |Y |p ] ]
1p , pri cemu je 1 ≤ p <∞.
27
E[ |Xn Yn −X Y | ] = E[ |(Xn Yn −Xn Y ) + (Xn Y −X Y )| ]≤ E[ |Xn Yn −Xn Y | ] + E[ |Xn Y −X Y | ]= E[ |Xn (Yn − Y ) ] + E[ |Y (Xn −X)| ]= |E[ |Xn (Yn − Y ) ] + E[ |Y (Xn −X)| ] |(6.2)
≤√E [X2
n] E [(Yn − Y )2] + E [Y 2] E [(Xn −X)2]
≤√E [X2
n] E [(Yn − Y )2] +√E [Y 2] E [(Xn −X)2]
Kako Xnm2
−→ X i Y ∈ L2 drugi dio dobivenog izraza konvergira u nulu (n → ∞). Za
prvi dio dobivenog izraza, uz Ynm2
−→ Y treba dodati i da Xnm2
−→ X iz cega se dobiva daE [X2
n] −→ E [X2] te slijedi tvrdnja.
6.4 Veza konvergencije gotovo sigurno i konvergencije po vjero-jatnosti
Teorem 6.4.1 daje vezu dviju konvergencija, konvergencije gotovo sigurno i konvergencije povjerojatnosti.
Teorem 6.4.1.Xn
g.s−→ X =⇒ Xnp−→ X.
Dokaz.
Neka Xng.s−→ X. Treba pokazati da Xn
g.s−→ X ⇒ limn→∞
P
(∞⋃k=n
|Xn −X| ≥ ε
)= 0.
Neka je ε > 0.
Definiramo skupove An(ε) = |Xn −X| ≥ ε ⊆ Ω i A(ε) =∞⋂n=1
∞⋃k=n
Ak(ε).(∞⋃k=n
Ak(ε), n ∈ N
)je padajuca familija skupova.
⇒ A(ε) je presjek te familije skupova.
Iz svojstva neprekidnosti vjerojatnosti u odnosu na padajucu familiju dogadaja dobiva se:
P (A(ε)) = limn→∞
P
(∞⋃k=n
Ak(ε)
)
= limn→∞
P
(∞⋃k=n
|Xk −X| ≥ ε
)
To znaci da treba pokazati Xng.s−→ X onda je P (A(ε)) = 0 ∀ε > 0.
Neka je D = ω ∈ Ω : Xn(ω) 6−→ X(ω) za n→∞ , P (D) = 0.
28
D =⋃ε>0
A(ε)
P (D) = 0 ⇒ P (A(ε)) = 0 ∀ε > 0.
Time se dobiva:
∀n ∈ N |Xn −X| ≥ ε ⊆∞⋃k=n
|Xk −X| ≥ ε
P (|Xn −X| ≥ ε) −→ 0 za n→∞ i ∀ε > 0
Napomena 6.4.1. Konvergencija gotovo sigurno ne povlaci konvergenciju u srednjem reda2, a jaca je od konvergencije po vjerojatnosti te konvergencije po distribuciji.
6.5 Ispitane veze
U prethodnih nekoliko podpoglavlja navedeno je dosta vazih i vrlo jakih matematickih tvrdnjikoje opisuju medusobne veze svih tipova konvergencija nizova slucajnih varijabli. Prije nosto te veze budu prikazane graficki, na jednom primjeru pokazat ce se kako ispitivanje svacetiri tipa konvergencije nizova slucajnih varijabli provesti koristenjem upravo tih tvrdnji.
Prilikom ispitivanja konvergencije gotovo sigurno naveden je primjer 5.1, str. 20, koji cesada biti ponovno iskoristen kako bi se pokazala primjena svega navedenog.
Primjer 6.5.1. Treba ispitati sve tipove konvergencija prema jedinici niza slucajnih varijabli(Xn, n ∈ N) s funkcijom gustoce
fXn(x) =
nxn−1 , ako je x ∈ 〈0, 1〉0 , inace
.
Rjesenje.Kako je konvergencija gotovo sigurno danog niza vec ispitana na stranici 20, sada ce bitiispitana konvergencija za ostale tipove.
Prilikom ispitivanja konvergencije gotovo sigurno dobiven je sljedeci rezultat:
Xng.s.−→ 1 (n→∞).
tm. 6.4.1=⇒ Xn
p−→ 1 (n→∞)kor. 6.1.1
=⇒ Xnd−→ 1 (n→∞)
Konvergenciju u srednjem reda 2 ne povlaci niti jedna od ispitanih konvergencija stogace biti ispitana posebno.
Treba ispitati vrijedi li limn→∞
E[|Xn − 1|2
]= 0.
E[|Xn − 1|2
]= E
[(Xn − 1)2
]= E
[X2n − 2Xn + 1
]= E
[X2n
]− 2E[Xn] + 1
29
• E[Xn] =
∞∫−∞
xfn(x) dx =
1∫0
nxn dx = nxn+1
n+ 1
∣∣∣∣10
=n
n+ 1(1− 0) =
n
n+ 1
• E[X2n
]=
∞∫−∞
x2fn(x) dx =
1∫0
nxn+1dx = nxn+2
n+ 2
∣∣∣∣10
=n
n+ 2
limn→∞
E[|Xn − 1|2
]= lim
n→∞
(n
n+ 2− 2
n
n+ 1+ 1
)= lim
n→∞
n
n+ 2− 2 lim
n→∞
n
n+ 1+ 1
= 1− 2 · 1 + 1 = 0
=⇒ Xnm2
−→ 1 (n→∞)
Kako prema propoziciji 6.3.1, konvergencija u srednjem reda 2 povlaci konvergenciju u
srednjem reda 1, dobiva se Xnm1
−→ 1 (n→∞).
Primjerom 6.5.1 pokazano je da niz slucajnih varijabli (Xn, n ∈ N) s funkcijom gustocefXn(x), konvergira u jedinicu po svim ispitivanjima konvergencije.
Sve veze medu tipovima konvergencije mogu se prikazati i graficki sto omogucuje dobruvizualizaciju o njihovoj jacini. Upravo takav prikaz dan je na slici 6.5.1.
Xng.s.−→ Xw
Xnp−→ X
=⇒⇐=
(X=c)
Xnd−→ X
~wXn
mp
−→ X
Slika 6.5.1 Graficki prikaz veza tipovakonvergencija nizova slucajnih varijabli.
30
Literatura
[1] L. J. Bain, M. Engelhardt, Introduction to probability and Mathematical Statistics, Secondedition, Brooks/cole, Belmont, 1992.
[2] A. F. Karr, Probability, Spinger-Verlag, New York, 1993.
[3] R. C. Mittelhammer, Mathematical Statistics for Economics and Business, Springer-Verlag, New York, 1996.
[4] N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Skolska knjiga, Zagreb, 1986.
[5] M. Bensic, Tipovi konvergencije niza slucajnih varijabli, predavanja, Odjel za matema-tiku, Osijek, 2011.
[6] N. Suvak, Konvergencija nizova slucajnih varijabli, vjezbe, Odjel za matematiku, Osijek,2011.
[7] N. Suvak, Vazne nejednakosti, predavanja, Odjel za matematiku, Osijek, 2011.
[8] H. Chen, Convergence Concepts, National Taiwan University,http://www.math.ntu.edu.tw/∼hchen/teaching/StatInference/notes/lecture38.pdf,30.07.2011.
[9] D. R. Hunter, Strong Convergence, Penn State Eberly College of Science,http://www.stat.psu.edu/∼dhunter/asymp/lectures/ANGELchpt03.pdf,04.08.2011.
[10] L. Simon, T. Hammel, Sums of Independent Normal Ran-dom Variables, Penn State Eberly College of Science,https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/172, 09.09.2011.
[11] M. Taboga, Lectrures on Probability, Statistics and Econometrics,http://www.statlect.com/asythe.htm, 30.07.2011.
[12] A. Young, Worked examples 5, Convergence in distribution, Imperial College, Lon-don, http://www.imperial.ac.uk/∼ayoung/m2s1/Convergencedistribution.PDF,30.07.2011.
31
