Sveučilište u Zagrebu

Fakultet organizacije i Informatike

Tema br. 30:

Kriteriji konvergencije redova

I

U Varaždinu, 15. 05. 2010. Rajčević Luka, G22

UVOD

Kriteriji konvergencije redova I.

(a) Definirajte pojam reda i pojam konvergencije reda.

(b) Pojasnite D’Alambertov kriterij konvergencije redova i kriterije uspoređivanja.

(c) Navedite dokaz jednog od kriterija.

(d) Koristeći neki od navedenih kriterija konvergencije redova ispitajte konvergenciju

sljedećih redova:

i.

,

ii.

,

iii.

,

a redove zapišite bez upotrebe notacije.

(a) Definirajte pojam reda i pojam konvergencije reda.

Najjednostavnije definicije reda su npr. “Suma članova geometrijskog niza poznata je pod

nazivom geometrijski red.”, ili “Red je beskonačna suma, tj. suma beskonačno mnogo

članova.”

Definicija 1. Od članova nekog beskonačnog niza možemo formalno formirati zbroj

Taj zbroj zovemo beskonačni red, dok zbrojeve

…

zovemo parcijalnim sumama reda.

Konvergencija reda definira se pomoću niza parcijalnih suma.

Definicija 2. Red konvergira ako konvergira niz parcijalnih suma. Ako je red konvergentan,

suma reda jednaka je limesu niza parcijalnih suma,

Još koristimo izraze: red je konvergentan, niz je zbrojiv ili sumabilan.

Da bi red bio konvergentan mora zadovoljavati nužan uvjet konvergencije

ali sam taj uvjet nije dovoljan dokaz da je red konvergentan.

(b) Pojasnite D’Alambertov kriterij konvergencije redova i kriterije uspoređivanja.

D’Alambertov kriterij:

Ako za red

počevši od nekog n-tog člana nadalje vrijedi da je

, gdje je , onda red

konvergira.

Suprotno ovome, ako je taj kvocijent od nekog n-tog člana nadalje veći od , onda red

divergira. Zato uzimamo da postoji

Red je tada konvergentan za , a divergentan za . Ako je , tada nema odluke o

divergentnosti i konvergentnosti.

Kriterij uspoređivanja:

I.

Ako imamo dva reda

i ako oba ta reda imaju pozitivne članove , te ako od nekog n nadalje

vrijedi , tada iz konvergencije reda slijedi konvergencija reda . Ako je pak

red divergentan, tada je divergentan i red . Pritom red nazivamo

majoranta, a red nazivamo minoranta.

Dakle, iz ovoga možemo zaključiti sljedeće:

I. Ako majoranta konvergira, konvergira i minoranta,

II. Ako minoranta divergira, divergira i majoranta.

II.

Ako imamo dva reda i kriterij konvergencije:

Tada vrijedi

(a) Ako je , tada oba reda ili konvergiraju ili divergiraju.

(b) Ako je , i ako red divergira, tada red divergira.

(c) Ako je , i red konvergira, tada i red konvergira.

(d) Ako je , i red konvergira, tada red konvergira.

(e) Ako je , i red divergira, tada red divergira.

(c) Navedite dokaz jednog od kriterija.

Dokaz D’Alambertova kriterija:

Za neki red ,

D’Alambertov kriterij se dobiva na temelju promatranja majorante i minorante. Nejednadžba

D’Alambertova kriterija

, može se zapisati u obliku , pa se

za različite vrijednosti n po redu dobiva:

ili postepeno uvrštavajući:

Prema tome je red

majoranta reda . Uz uvjet (A) red je konvergentan. Analogno se zaključuje u

slučaju kad je ispunjen uvjet

, i tada je red (B) minoranta reda koja je

divergentna, pa je i sam red divergentan.

(d) Koristeći neki od navedenih kriterija konvergencije redova ispitajte konvergenciju

sljedećih redova:

I.

Zapisano bez sigma notacije:

Ispitivanje konvergencije D+Alambertovim kriterijem:

Imamo da je

, a

. Prema D’Alambertovu kriteriju računamo

pa stoga imamo:

Dakle, dobili smo rezultat

, stoga red konvergira.

II.

Zapisano bez sigma notacije:

Ispitivanje konvergencije ovog primjera pomoću D’Alambertovog kriterija nam daje rezultat

1, stoga nije moguće odrediti konvergira li red pomoću tog kriterija. Za određivanje ćemo

koristiti osnovni tj. nužni uvjet konvergencije i ispitati jeli red konvergentan.

Nužan uvjet konvergencije:

Dakle, imamo sljedeće:

Ovo je neodređeni oblik limesa, što znači da red ne zadovoljava nužni uvjet konvergencije, te

ga to čini divergentnim.

III.

,

Bez sigma notacije:

Provjera konvergentnosti D’Alambertovim postupkom:

Imamo da je

, a

.

Zatim imamo:

Rezultat je pa je red konvergentan.

ZAKLJUČAK:

Ispitati konvergenciju reda znači pokušati odrediti je li taj red zbrojiv (sumabilan), tj. je li

moguće zbrajanjem svih njegovih članova (iako ih ima beskonačno mnogo) dobiti konačan

broj. Kroz povijest se puno matematičara bavilo tom temom, pa se da naslutiti da tema nije

bezazlena i da je nadasve zanimljiva. Baš kao što je bila i meni osobno.

LITERATURA:

1. Bronštejn, Musiol, Muhlig, Semendjajev: Matematički priručnik, Golden Marketing,

Tehnička knjiga 2001. Zagreb.

2. D. Blanuša: Viša matematika I. dio, prvi svezak, Tehnička knjiga 1963. Zagreb.

3. B. Divjak, T. Hunjak: Matematika za informatičare, TIVA tiskara 2004. Varaždin.

4. Kriteriji konvergencije reda, članak dostupan 15.05. 2010. na

web.math.hr/nastava/analiza/files/ch3_2.pdf

5. Kriteriji konvergencije, dostupno 15.05. 2010. na

http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node135.html#sec:krit

6. Series – Convergence/Divergence , dostupno 15.05. 2010. na

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcII/ConvergenceOfSeries.aspx