FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI

Rozarija Jak²i¢

15. travnja 2013.

1

UVOD U FUNKCIJE DVIJU

VARIJABLI

Obra�uje se pojam funkcije dviju varijabli i njene domene. Uvodi se pojam grafafunkcije dviju varijabli, te se daju primjeri nekih ploha drugog reda.

Motivacija

U matematici, �zici, (i u svakodnevnom ºivotu), realne funkcije jedne varijablenisu dovoljne za opisivanje razli£itih prirodnih pojava. Na primjer, u geometrijiobujam valjka ovisi i o polumjeru osnovice i o pripadnoj visini, u �zici kineti£kaenergija tijela koje se giba ovisi o njegovoj masi i o brzini kojom se giba, kamatestambenog kredita ovise o glavnici i roku otplate, i sli£no. Takve se veze opisujufunkcijama s dvije varijable, a njihove geometrijske predodºbe su grafovi funkcija.

Potrebno predznanje

Potrebno je poznavati pojmove vezane za funkcije jedne varijable, te svojstvai grafove elementarnih funkcija. Tako�er, da bi odredili domenu funkcije dvijuvarijabli treba poznavati domene elementarnih funkcija, te Kartezijev produktskupova. Za predo£avanje grafa funkcije dviju varijabli treba poznavati koordi-natni sustav u prostoru.

3

1.1. Pojam funkcije dviju varijabli

Euklidski prostori

Kartezijev produkt skupova X1, X2, . . . , Xn je skup svih mogu¢ih ure�enih parovatakvih da je prva komponenta iz skupa X1, druga komponenta iz skupa X2, ...,n-ta komponenta iz skupa Xn. To zapisujemo kao

X1 ×X2 × · · · ×Xn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ Xi, i = 1, . . . , n}.

Ako su svi skupovi jednaki, tj. X1 = X2 = · · · = Xn = X, onda koristimo oznakuXn za njihov Kartezijev produkt. Ako jos vrijedi i Xi = R za i = 1, 2, ..., n, ondakoristimo oznaku

Rn = {(x1, x2, . . . , xn) : xi ∈ R, i = 1, . . . , n}.

Dakle, to£ka T ∈ Rn jednozna£no predstavlja ure�enu n-torku realnih brojeva(x1, x2, . . . , xn) koju zovemo koordinatama te to£ke, i obrnuto. Uobi£ajeno je ko-ristiti oznaku T = T (x1, x2, . . . , xn), ili jednostavnije T = (x1, x2, . . . , xn).

Neka su S = (x1, x2, . . . , xn) i T = (y1, y2, . . . , yn) proizvoljne to£ke iz Rn.

∗ Kaºemo da su to£ke S i T jednake ako su im odgovaraju¢e koordinatejednake, tj. ako je x1 = y1, x2 = y2, ..., xn = yn i pi²emo S = T . Uprotivnom su to£ke razli£ite, ²to ozna£avamo sa S 6= T .

∗ Udaljenost me�u to£kama S i T ra£unamo po formuli

d(S, T ) =√

(y1 − x1)2 + (y2 − x2)2 + · · ·+ (yn − xn)2. (1.1)

Skup Rn u kojem udaljenost me�u to£kama ra£unamo po formuli (1.1) zovemon-dimenzionalni euklidski prostor i ozna£avamo sa En.

PRIMJERI EUKLIDSKIH PROSTORA:

• Jednodimenzionalni euklidski prostor R1 = R = {x : x ∈ R}.Gra�£ki prikaz je realni pravac. Svaka to£ka skupa R jednozna£no je odre�enato£kom na pravcu i obrnuto:

Udaljenost to£aka T1 = (x1) i T2 = (x2) iz R se ra£una prema formuli

d(T1, T2) =√

(x2 − x1)2 = |x2 − x1|. (1.2)

• Dvodimenzionalni euklidski prostor R2 = R× R = {(x, y) : x, y ∈ R}.Gra�£ki prikaz je ravnina s pravokutnim koordinatnim sustavom. Svaka to£karavnine jednozna£no je odre�ena svojim koordinatama, tj. ure�enim parom izskupa R2, i obrnuto:

Udaljenost to£aka T1 = (x1, y1) i T2 = (x2, y2) iz R2 se ra£una prema formuli

d(T1, T2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. (1.3)

• Trodimenzionalni euklidski prostor R3 = {(x, y, z) : x, y, z ∈ R}.Gra�£ki prikaz je prostor s uvedenim pravokutnim koordinatnim sustavom. Svakato£ka prostora jednozna£no je odre�ena ure�enom trojkom iz skupa R3, tj. svojimkoordinatama, i obrnuto:

Udaljenost to£aka T1 = (x1, y1, z1) i T2 = (x2, y2, z2) iz R3 se ra£una premaformuli

d(T1, T2) =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2. (1.4)

Domena i zadavanje funkcija dviju varijabli

Ako neka veli£ina z ovisi o dvjema nezavisnim veli£inama x i y, onda je pravilo f tezavisnosti funkcija dviju varijabli. Tu funkcijsku zavisnost pi²emo kao

z = f(x, y).

. Kaºemo da je f funkcija dviju varijabli. x i y se zovu argumenti ili nezavisne varijable

funkcije, a z je zavisna varijabla ili vrijednost funkcije.

Podru£je de�nicije ili domena D(f) funkcije f je skup svih ure�enih parova (a, b)gdje a ide skupom vrijednosti koje postiºe veli£ina x, a b ide skupom vrijednosti kojepostiºe veli£ina y za koje postoji z ∈ R takav da je z = f(a, b). Dakle D(f) je podskupkoordinatne ravnine, tj. D(f) ⊂ R× R. Ako je Y = f(D), onda za skup Y kaºemo daje skup vrijednosti funkcije f.

Ako podru£je de�nicije nije posebno zadano, smatra se da je podru£je de�nicijemaksimalni podskup od R2 za £ije elemente pravilo f ima smisla i zovemo ga prirodno

podru£je de�nicije funkcije f ili prirodna domena.

Primjer 1.1. Ako su x i y duljine stranica pravokutnika, a z njegova povr²ina, onda

su te tri veli£ine povezane pravilom z = xy.

Zna£i, tu je z = f(x, y) = xy, a domena funkcije f je prvi kvadrant koordinatne ravnine

(x > 0, y > 0) jer duljine stranica pravokutnika mogu biti bilo koji pozitivni brojevi.

S druge strane, u tu funkciju moºemo uvrstiti bilo koji ure�eni par realnih brojeva, ali

oni onda vi²e nemaju geometrijsko zna£enje, jer ne postoji pravokutnik kojem je duljina

stranica negativna.

Zaklju£ujemo: podru£je de�nicije funkcije f koja predstavlja povr²inu pravokutnika je

prvi kvadrant ({(x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0}), a prirodno podru£je de�nicije funkcije

f(x, y) = xy je £itav R2.

ZADAVANJE FUNKCIJE DVIJU VARIJABLIFunkcija dvije varijable, sli£no kao i funkcija jedne varijable, moºe se zadati na vi²ena£ina:

1. Analiti£ki, tj. pomo¢u jedne ili vi²e formula.Npr. f(x, y) = ln(x+ y), D(f) = {(x, y) ∈ R2 : y > −x}

2. Pomo¢u tablice. Ovo je mogu¢e samo ako je D(f) kona£an skup. Npr.

x y z1 2 34 5 67 8 9

Ova tablica pokazuje da se radi o funkciji s podru£jem de�nicije {(1, 2), (4, 5), (7, 8)}i sa skupom vrijednosti funkcije {3, 6, 9} tako da je f(1, 2) = 3, f(4, 5) = 6 if(7, 8) = 9.

Graf funkcije dviju varijabli

Prisjetimo se, graf funkcije jedne varijable je krivulja u prostoru odre�ena jednadºbomy = f(x).Npr. f(x) = sinx, D(f) = R

Analogno tome, graf funkcije dviju varijabli je ploha u prostoru odre�ena jednadº-bom z = f(x, y). Prirodno uzimamo da su koordinate u prostoru redom x, y, z i jed-nadºba z = f(x, y) govori nam da tre¢a koordinata z ovisi o prvim dvjema (x, y).

Primjer 1.2. Graf funkcije f(x, y) =sin(x2 + y2)

x2 + y2, £ija je prirodna domena D(f) =

{(x, y) ∈ R2 : (x, y) 6= (0, 0)}, je ploha u prostoru s jednadºbom z =sin(x2 + y2)

x2 + y2:

Treba uo£iti jednostavnu, ali vrlo vaºnu vezu izme�u grafa i podru£ja de�nicijefunkcije:

∗ kod funkcija jedne varijable, projekcija grafa y = f(x) na x-os je upravo domenafunkcije f , i iznad svake to£ke domene postoji to£no jedna to£ka grafa-krivulje(za svaki x iz domene ta je to£ka upravo (x, f(x)));

∗ kod funkcija dviju varijabli, projekcija grafa z = f(x, y) na xy-ravninu je upravodomena funkcije f , i iznad svake to£ke domene postoji to£no jedna grafa-plohe(za svaku to£ku (x, y) iz domene ta je to£ka upravo (x, y, f(x, y))).

1.2. Plohe drugog reda

U prostoru se mogu na jednostavan na£in zadati brojni skupovi to£aka. Jednostavnose zadaju neke plohe tako da zadamo jednadºbu F (x, y, z) = 0 koju moraju zadovoljavatikoordinate onih to£aka koje grade tu plohu. Me�u jednostavnije od tih ploha spadajutzv. plohe drugog reda. Njihove jednadºbe su opisane polinomima drugog stupnja uvarijablama x, y i z.

Elipsoid

To je ploha zadana jednadºbomx2

a2+y2

b2+z2

c2= 1. Njeni presjeci s koordinatnim

ravninama su elipse. Pozitivne konstante a, b, c zovu se poluosi elipsoida.

Kuglina ploha

Kao specijalan slu£aj elipsoida za a = b = c = R dobivamo kuglinu plohu (sferu)radijusa R sa sredi²tem u ishodi²tu, £ija je jednadºba x2 + y2 + z2 = R2.Geometrijski smisao jednadºbe sfere leºi u £injenici da kuglinu plohu (sferu) £ine sveto£ke iz prostora koje su jednako udaljene (za R) od sredi²ta te sfere (u gornjem slu£ajuod ishodi²ta).Dakle, jednadºba sfere radijusa R sa sredi²tem u to£ki (x0, y0, z0) jednaka je

(x− x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = R2.

Hiperboloid

To je ploha drugog reda £iji je presjekom s nekom od koordinatnih ravnina hiperbola.Razlikujemo jednoplo²ni i dvoplo²ni hiperboloid. Jednadºba jednoplo²nog hiperboloidadobije se iz jednadºbe elipsoida ako se to£no jedan od £lanova s lijeve strane uzme s

predznakom minus (-). Npr.x2

a2+y2

b2− z2

c2= 1.

Jednadºbu dvoplo²nog hiperboloida dobijemo ako dva £lana lijeve strane u jednadºbi

elipsoida uzmemo s predznakom minus. Npr.x2

a2− y2

b2− z2

c2= 1.

Paraboloid

Postoje tako�er i dva tipa paraboloida: elipti£ki paraboloid i hiperbolni paraboloid, uovisnosti o tome kakav je presjek paraboloida s nekom od koordinatnih ravnina.Jednadºba elipti£kog paraboloida je z = ax2 + by2, gdje je a · b > 0.

Presjeci ove plohe s koordinatnim ravninama XOZ i Y OZ jesu parabole, a presjeci(ako postoje) s ravninama paralelnim s XOY koordinatnom ravninom jesu elipse.

Jednadºba hiperbolnog paraboloida (sedlaste plohe) je z = ax2+by2, gdje je a·b < 0.

Presjeci ove plohe s koordinatnim ravninama XOZ i Y OZ jesu parabole, a presjek sravninom paralelnom s XOY koordinatnom ravninom je hiperbola.

Cilindri£ne i stoºaste plohe

Valjkaste (cilindri£ne) plohe s jednadºbom baze F (x, y) = 0 u XOY -ravnini iizvodnicama (pravcima kroz bazu) paralelnim s osi z imaju jednadºbu F (x, y) = 0.Karakteristi£no je da u njihovoj jednadºbi nema varijable z.Npr. kruºni valjak s polumjerom R ima jednadºbu x2 + y2 = R2.

Analogno, valjkaste plohe s jednadºbom baze F (y, z) = 0 u Y OZ-ravnini i izvod-nicama kroz bazu paralelnim s osi x imaju jednadºbu F (y, z) = 0, odnosno u njihovojjednadºbi nema varijable x. Tako�er, valjkaste plohe s jednadºbom baze F (x, z) = 0 uXOZ-ravnini i izvodnicama kroz bazu paralelnim s osi y imaju jednadºbu F (x, z) = 0,odnosno u njihovoj jednadºbi nema varijable y.

Stoºaste (konusne) plohe. Jednadºba stoºaste plohe dobije se ako se lijeva strana

jednadºbe hiperboloida izjedna£i s nulom. Npr.x2

a2+y2

b2− z2

c2= 0.

Lako se vidi da su presjeci ove plohe sa ravninama paralelnim XOY koordinatnojravnini elipse, a presjek s XOZ-ravninom je par pravaca koji se sijeku u ishodi²tu. Istotako, i presjek stoºaste plohe s XOZ koordinatnom ravninom je par pravaca koji sesijeku u ishosi²tu.

2

DIFERENCIJALNI RA�UN

FUNKCIJA DVIJU VARIJABLI

Na osnovi pojma derivacije jedne varijable uvodi se pojam parcijalnih derivacija funkcijadviju varijabli. Tako�er se obra�uju parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcijadviju varijabli, te parcijalne derivacije vi²eg reda.

Motivacija

Ovisno o kontekstu, izri£aj i smisao de�nicije derivacije moºe biti razli£it. U ogromnojve¢ini primjena u prirodnim, tehni£kim i dru²tvenim znanostima smisao parcijalnih de-rivacija je sljede¢i: Parcijalne derivacije opisuje brzinu promjene funkcije u odnosu napromjenu nezavisnih varijabli (argumenata funkcije). Parcijalnim deriviranjem funk-cije dobivaju se druge funkcije istih argumenata koje imaju ²iroku primjenu u svimznanstvenim i mnogim drugim podru£jima. Tako npr. u �zici, ako volumen gledamokao funkciju tlaka i temperature, onda promjenu volumena s promjenom tlaka uz kons-tantnu temperaturu dobivamo parcijalnim deriviranjem volumena po prvoj varijabli(tlaku) - izobarna promjena volumena, a promjenu volumena s promjenom temperatureuz konstantni tlak dobivamo parcijalnim deriviranjem volumena po drugoj varijabli(temperaturi) - izotermna promjena volumena.

Potrebno predznanje

Potrebno je prisjetiti se ra£unanja limesa funkcije u to£ki. Tako�er, treba poznavatidiferencijalni ra£un realnih funkcija jedne realne varijable, tj. treba znati de�niciju de-rivacije funkcije jedne varijable, derivacije elementarnih funkcija, te pravila deriviranja.

13

2.1. De�nicija parcijalnih derivacija

Neka je z = f(x, y) funkcija dviju varijabli, te neka je T (x0, y0) to£ka iz njenedomene, T ∈ D(f). Ako jednu od varijabli �ksiramo, npr. y = y0, a x ostavimopromjenljiv, tada funkcija z = f(x, y0) postaje funkcija samo jedne varijable x, tj.

f1(x) = f(x, y0),

pa moºemo promatrati derivaciju funkcije f1(x) u to£ki x0:

f ′1(x0) = lim∆x→0

f1(x0 + ∆x)− f1(x0)

∆x= lim

∆x→0

f(x0 + ∆x, y0)− f(x0, y0)

∆x.

Ako ova grani£na vrijednost postoji, ozna£ava se simbolom f ′x(x0, y0) i zove se parcijalnaderivacija funkcije z = f(x, y) po varijabli x u to£ki T (x0, y0).

Na analogan na£in de�niramo parcijalnu derivaciju funkcije z = f(x, y) po varijabli

y u to£ki T (x0, y0):

f ′y(x0, y0) = lim∆y→0

f(x0, y0 + ∆y)− f(x0, y0)

∆y.

Ako funkcija z = f(x, y) ima parcijalne derivacije u svakoj to£ki (x, y) iz svojedomene, onda su parcijalne derivacije te funkcije po varijablama x i y nove funkcijekoje zovemo parcijalne derivacije funkcije po varijabli x, odnosno y, i ra£unamo ih kao

f ′x(x, y) = lim∆x→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

∆x,

odnosno

f ′y(x, y) = lim∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y.

Alternativne oznake koje se koriste za parcijalnu derivaciju funkcije z = f(x, y) povarijabli x, f ′x(x, y), su redom:

∂z

∂x(£itaj: "parcijalno de z po de x" ili "parcijalno z po x"),

∂f(x, y)

∂x,∂

∂xf(x, y), z′x(x, y), z′x, zx.

Analogne oznake se koriste i za parcijalnu derivaciju f ′y(x, y).

Primjer 2.1. Na�imo f ′x(1, 2) i f ′y(1, 2) za funkciju f(x, y) = 2x+ xy.

Rje²enje: Iz de�nicije parcijalne derivacije funkcije po varijabli x u to£ki T (x0, y0)imamo:

f ′x(1, 2) = lim∆x→0

f(1 + ∆x, 2)− f(1, 2)

∆x= lim

∆x→0

2 · (1 + ∆x) + (1 + ∆x) · 2− (2 · 1 + 1 · 2)

∆x

= lim∆x→0

2 + 2∆x+ 2 + 2∆x− 2− 2

∆x= lim

∆x→0

4∆x

∆x= 4.

Analogno:

f ′y(1, 2) = lim∆y→0

f(1, 2 + ∆y)− f(1, 2)

∆y= lim

∆y→0

2 · 1 + 1 · (2 + ∆y)− (2 · 1 + 1 · 2)

∆y

= lim∆y→0

2 + 2 + ∆y − 2− 2

∆y= lim

∆y→0

∆y

∆y= 1.

Primjer 2.2. Na�imo parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = 2x+ xy.

Rje²enje: Iz de�nicije parcijalne derivacije funkcije po varijabli x imamo:

f ′x(x, y) = lim∆x→0

f(x+ ∆x, y)− f(x, y)

∆x= lim

∆x→0

2 · (x+ ∆x) + (x+ ∆x) · y − (2 · x+ x · y)

∆x

= lim∆x→0

2x+ 2∆x+ xy + y∆x− 2x− xy∆x

= lim∆x→0

(2 + y)∆x

∆x= 2 + y.

Analogno:

f ′y(x, y) = lim∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y= lim

∆y→0

2 · x+ x · (y + ∆y)− (2 · x+ x · y)

∆y

= lim∆y→0

2x+ xy + x∆y − 2x− xy∆y

= lim∆y→0

x∆y

∆y= x.

Moºemo primijetiti da smo do rezultata f ′x(x, y) = 2 + y i f ′y(x, y) = x lako moglido¢i i kori²tenjem pravila za deriviranje funkcija jedne varijable, i to na sljede¢i na£in:

∗ ako deriviramo po varijabli x, onda varijablu y trebamo gledati kao konstantu;

∗ ako deriviramo po varijabli y, onda varijablu x trebamo gledati kao konstantu.

2.2. Parcijalne derivacije vi²eg reda

Vidjeli smo da su parcijalne derivacije f ′x(x, y) i f ′y(x, y) funkcije z = f(x, y) opetfunkcije koje ovise o varijablama x i y, pa se i njih tako�er moºe derivirati po vari-jablama x i y. Na taj na£in dolazimo do parcijalnih derivacija drugog reda funkcije

z = f(x, y).

Imamo sljede¢e £etiri mogu¢nosti:

∗ ako parcijalnu derivaciju po varijabli x funkcije z = f(x, y) parcijalno deriviramopo x-u dobivamo drugu parcijalnu derivaciju funkcije z = f(x, y) po varijabli x:

∂

∂x(f ′x(x, y)) = fxx(x, y) = zxx(x, y) = zxx =

∂2z

∂x2=∂2f(x, y)

∂x2=∂2f

∂x2(x, y);

("parcijalno de dva ze po de x kvadrat")

∗ ako parcijalnu derivaciju po varijabli y funkcije z = f(x, y) parcijalno deriviramopo y-u dobivamo drugu parcijalnu derivaciju funkcije z = f(x, y) po varijabli y:

∂

∂y(f ′y(x, y)) = fyy(x, y) = zyy(x, y) = zyy =

∂2z

∂y2=∂2f(x, y)

∂y2=∂2f

∂y2(x, y);

("parcijalno de dva ze po de y kvadrat")

∗ ako parcijalnu derivaciju po varijabli x funkcije z = f(x, y) parcijalno deriviramopo y-u dobivamo mje²ovitu parcijalnu derivaciju drugog reda funkcije z = f(x, y):

∂

∂y(f ′x(x, y)) = fxy(x, y) = zxy(x, y) = zxy =

∂2z

∂y∂x=∂2f(x, y)

∂y∂x=

∂2f

∂y∂x(x, y);

("parcijalno de dva ze po de y de x")

∗ ako parcijalnu derivaciju po varijabli y funkcije z = f(x, y) parcijalno deriviramopo x-u dobivamo mje²ovitu parcijalnu derivaciju drugog reda funkcije z = f(x, y):

∂

∂x(f ′y(x, y)) = fyx(x, y) = zyx(x, y) = zyx =

∂2z

∂x∂y=∂2f(x, y)

∂x∂y=

∂2f

∂x∂y(x, y);

("parcijalno de dva ze po de x de y")

Primjer 2.3. Odredimo druge parcijalne derivacije funkcije f(x, y) = x3 + 3x2y − y3.

Rje²enje: Do drugih parcijalnih derivacija funkcije z = f(x, y) dolazimo derivi-ranjem prvih parcijalnih derivacija po varijablama x i y, ²to zna£i da prvo trebamoodrediti prve parcijalne derivacije:

f ′x(x, y) =∂

∂xf(x, y) =

∂

∂x(x3 + 3x2y − y3) = 3x2 + 6xy

.f ′y(x, y) =∂

∂yf(x, y) =

∂

∂y(x3 + 3x2y − y3) = 3x2 − 3y2.

Sad moºemo odrediti druge parcijalne derivacije funkcije z = f(x, y):

fxx(x, y) =∂

∂xf ′x(x, y) =

∂

∂x(3x2 + 6xy) = 6x+ 6y

fyy(x, y) =∂

∂yf ′y(x, y) =

∂

∂x(3x2 − 3y2) = −6y

fxy(x, y) =∂

∂yf ′x(x, y) =

∂

∂y(3x2 + 6xy) = 6x

fyx(x, y) =∂

∂xf ′y(x, y) =

∂

∂x(3x2 − 3y2) = 6x.

Napomena: Primijetimo da za mje²ovite parcijalne derivacija drugog reda funkcije izprethodnog primjera vrijedi fxy(x, y) = fyx(x, y).To vrijedi i op¢enito, a ne samo u ovom primjeru (uz neke prirodne uvjete). Ta £injenicaje poznata kao Schwarzov teorem.

Schwarzov teorem.

Neka je f : D → R funkcija dviju varijabli. Ako su njene mje²ovite parcijalne derivacijedrugog reda fxy(x, y) i fyx(x, y) neprekidne na D ⊆ R2 onda vrijedi

fxy(x, y) = fyx(x, y).

Ovaj teorem nam zapravo govori da kod mje²ovitih parcijalnih derivacija drugogreda redoslijed deriviranja nije bitan. To vrijedi za ve¢inu funkcija s kojima se susre-¢emo u tehni£koj praksi.

Ako su funkcije fxx(x, y), fxy(x, y) i fyy(x, y) derivabilne, daljnjim deriviranjemdolazimo do parcijalnih derivacija tre¢eg reda funkcije z = f(x, y). Ukupno imamo23 = 8 mogu¢nosti (svaku od tri parcijalne derivacije drugog reda moºemo derivirati povarijabli x i po varijabli y), ali zbog Schwarzovog teorema vidimo da zapravo postoje3 + 1 = 4 me�usobno razli£ite derivacije tre¢eg reda funkcije z = f(x, y).

Analogno se dobivaju parcijalne derivacije reda ve¢eg ili jednakog £etiri.

2.3. Parcijalne derivacije implicitno zadanih funkcija

�esto u praksi nailazimo na funkcije kod kojih nije mogu¢e eksplicitno izraziti funk-cijsko pravilo u terminima obiju varijabli. Npr. kod funkcije f(x, y) zadane jednadºbomx2 + f(x, y) sin(xyf(x, y)) = 0 nije mogu¢e eksplicitno izraziti f(x, y) kao funkciju u

varijablama x i y. U takvim izrazima ozna£imo z := f(x, y), pa gornji izraz poprimaoblik x2 + z sin(xyz) = 0. Sada ovaj izraz moºemo gledati kao funkciju F (x, y, z) trivarijable x, y i z, iako je jasno da je z ovdje zapravo funkcija u varijablama x i y.

Dakle, kaºemo da je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno ako je dana jednadºbakoja sadrºi varijable x, y i z, pa se iz nje z odre�uje rje²avanjem jednadºbe po x i y.Prebace li se svi £lanovi jednadºbe na lijevu stranu, ona poprima oblik F (x, y, z) = 0,tj. F (x, y, z(x, y)) = 0, gdje je z = z(x, y) = f(x, y).

Neka je funkcija z = z(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0 i neka jezadana to£ka T (x0, y0, z0). Pretpostavimo da su parcijalne derivacije funkcije F (x, y, z)neprekidne i da vrijedi F (x0, y0, z0) = 0.Ako je F ′

z(x0, y0, z0) 6= 0, onda vrijedi z(x0, y0) = z0, i parcijalne derivacije funkcijez = z(x, y) ra£unamo kao:

z′x(x, y) = −F′x(x, y, z)

F ′z(x, y, z)

, z′y(x, y) = −F ′y(x, y, z)

F ′z(x, y, z)

.

Primjer 2.4. Funkcija z = z(x, y) zadana je implicitno jednadºbom x3z + yz2 = 2.Odredimo parcijalne derivacije te funkcije.

Rje²enje: Prvo trebamo de�nirati funkciju F (x, y, z) na na£in da u jednadºbi kojomje implicitno zadana funkcija z = z(x, y) sve prebacimo na lijevu stranu i to proglasimofunkcijom F (x, y, z):

F (x, y, z) = x3z + yz2 − 2.

Zatim ra£unamo parcijalne derivacije funkcije F :

∗ F ′x(x, y, z) = 3x2z;

∗ F ′y(x, y, z) = z2;

∗ F ′z(x, y, z) = x3 + 2yz.

Iz gornje formule lako dobivamo parcijalne derivacije funkcije z = z(x, y):

z′x(x, y) = −F′x(x, y, z)

F ′z(x, y, z)

= − 3x2z

x3 + 2yz, z′y(x, y) = −

F ′y(x, y, z)

F ′z(x, y, z)

= − z2

x3 + 2yz.

3

PRIMJENA DIFERENCIJALNOG

RA�UNA FUNKCIJA DVIJU

VARIJABLI

Uvode se pojmovi diferencijala prvog i drugog reda, tangencijalne ravnine, te ekstremafunkcija dviju varijabli. Tako�er se obra�uje i primjena diferencijala u pribliºnom ra-£unanju vrijednosti funkcije u nekoj to£ki.

Motivacija

Linearna aproksimacija, uz mnoge druge primjene, ima vaºnu ulogu u problemu pribliº-nog ra£unanja vrijednosti funkcija. Jedan od osnovnih problema jest ovaj: za koliko sepribliºno promijeni vrijednost funkcije f dviju varijabli ako se varijabla x promijeni za∆x, a varijabla y za ∆y?Problemi minimizacije i maksimizacije spadaju u najvaºnije prakti£ne i teoretske pro-bleme. Smisao je da se odrede vrijednosti argumenata u kojima neka funkcija postiºesvoju najmanju ili najve¢u vrijednost (lokalno ili globalno). Vidjeli smo da se taj pro-blem za funkcije jedne varijable rje²ava pomo¢u derivacija. Sad ¢emo vidjeti da seanalogan problem za funkcije vi²e varijabli rje²ava pomo¢u parcijalnih derivacija.

Potrebno predznanje

Potrebno je poznavati pojam i geometrijsko zna£enje derivacija funkcija jedne varijable,te pojam parcijalnih derivacija prvog i drugog reda funkcija vi²e varijabli. Tako�er,potrebno je poznavati pojam linearne aproksimacije za funkcije jedne varijable, te pojamdiferencijala funkcije jedne varijable.Treba se jo² prisjetit pojma lokalnog ekstrema funkcije jedne varijable i metode njegovaodre�ivanja.

19

3.1. Diferencijal funkcija dviju varijabli

Diferencijal prvog reda funkcija jedne varijabli

Kod funkcija jedne varijable, promjenu funkcijske vrijednosti u to£ki x uz promjenuvarijable ∆x zovemo prirast funkcije y = f(x) u to£ki x i ra£unamo kao:

∆y = f(x+ ∆x)− f(x).

Iz de�nicije derivacije funkcije y = f(x) u to£ki x ∈ D(f)

f ′(x) = lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x= lim

∆x→0

∆y

∆x

vidimo da je ∆y ≈ f ′(x)∆x (≈ ozna£ava "pribliºno jednako"). �to je ∆x manji, tj.bliºi nuli, to je vrijednost ∆y bliºa vrijednosti f ′(x)∆x.

Diferencijal funkcije y = f(x) u to£ki x, dy = df = f ′(x)dx, jednak je prirastuordinate to£ke T (x, f(x)) na tangenti kada argument x dobije prirast dx.

Vidimo da ako uzmemo dovoljno malene dx = ∆x, onda vrijedi dy = ∆y = f ′(x)∆x.

Odatle slijedi formula za pribliºno ra£unanje vrijednosti (linearnu aproksimaciju)funkcije u to£ki x+ ∆x uz pomo¢ derivacije:

f(x+ ∆x) ≈ f(x) + f ′(x)∆x.

Diferencijal prvog reda funkcija dviju varijabli

Analogno slu£aju funkcija jedne varijable, promjenu funkcijske vrijednost u to£ki(x, y) uz promjenu ∆x varijable x i promjenu ∆y varijable y zovemo totalni prirast

funkcije z = f(x, y) u to£ki (x, y) i ra£unamo kao

∆z = f(x+ ∆x, y + ∆y)− f(x, y).

Govori nam za koliko se promijenila vrijednost funkcije ako se vrijednost varijable xpromijeni za ∆x, a vrijednost varijable y za ∆y.

Ako totalni prirast funkcije z = f(x, y) u to£ki T (x, y) moºe biti predo£en u obliku

∆z = ∆f(x, y) =∂z

∂x(x, y)∆x+

∂z

∂y(x, y)∆y + ερ

gdje ε→ 0 kada ρ =√

(∆x)2 + (∆y)2, tada kaºemo da je funkcija z = f(x, y) diferen-

cijabilna u to£ki (x, y), a izraz

dz = df(x, y) =∂z

∂x(x, y)dx+

∂z

∂y(x, y)dy

nazivamo potpuni ili totalni diferencijal (ili kra¢e: diferencijal) funkcije f u to£kiT (x, y).

Jasno je da ¢e za dovoljno malene ∆x i ∆y totalni prirast funkcije biti jednak njenomdiferencijalu, tj. vrijediti ¢e ∆z ≈ dz. Odatle slijedi formula za pribliºno ra£unanje(linearnu aproksimaciju) vrijednosti funkcije z = f(x, y) u to£ki (x + ∆x, y + ∆y) uzpomo¢ parcijalnih derivacija u to£ki (x, y):

f(x+ ∆x, y + ∆y) ≈ f(x, y) +∂z

∂x(x, y)∆x+

∂z

∂y(x, y)∆y

Primjer 3.1. Odredimo diferencijal funkcije z = x2 + xy3 + 2.

Rje²enje: Prvo trebamo odrediti parcijalne derivacije funkcije z:

∂z

∂x(x, y) = 2x+ y3,

∂z

∂y(x, y) = 3xy2.

Odatle slijedi da je diferencijal funkcije z jednak

dz = (2x+ y3)dx+ 3xy2dy.

Diferencijal drugog reda funkcija dviju varijabli

Op¢enito, prvi diferencijal dz funkcije dviju varijabli z = f(x, y) ovisi o x, y, dx idy. Me�utim, obi£no uzimamo da su dx i dy proizvoljno odabrane konstante koje sepromjenom varijabli x i y ne mijenjaju. Tako prvi diferencijal postaje funkcija dvijuvarijabli, pa moºemo traºiti njegov diferencijal (ako postoji).

Dakle, drugi diferencijal funkcije z = f(x, y), u oznaci d2z (£itaj: "de dva ze"), je

d2z = d(dz) = d(∂z∂x

(x, y)dx+∂z

∂y(x, y)dy

)=∂2z

∂x2(x, y)dx2 + 2

∂2z

∂x∂y(x, y)dxdy +

∂2z

∂y2(x, y)dy2

uz dogovor (dx)2 = dx2 i (dy)2 = dx2 (ne smije se zamijeniti za dx2 = 2xdx).

Primjer 3.2. Odredimo drugi diferencijal funkcije z = x2 + xy3 + 2.

Rje²enje: U Primjeru 3.1 odredili smo prve parcijalne derivacije i prvi diferencijalzadane funkcije:

dz = (2x+ y3)dx+ 3xy2dy.

Za odrediti drugi diferencijal trebaju nam druge parcijalne derivacije:

∂2z

∂x2(x, y) = 2;

∂2z

∂x∂y(x, y) = 3y2;

∂2z

∂y2(x, y) = 6xy.

Drugi diferencijal jednak je:

d2z = 2dx2 + 6y2dxdy + 6xydy2.

Primijetimo da se drugi diferencijal funkcije z = f(x, y) u to£ki (x, y) moºe simbo-li£ki zapisati kao

d2z =( ∂∂x

dx+∂

∂ydy)2z.

Nazna£eno kvadriranje u ovoj formuli izvodi se na uobi£ajen na£in, kao da su simboli∂

∂xi∂

∂ybrojevni izrazi, a zatim se z mnoºenjem smjesti na propisano mjesto.

Moºe se pokazati da op¢enito za n ∈ N vrijedi:

dnz =( ∂∂x

dx+∂

∂ydy)nz.

3.2. Tangencijalna ravnina

Neka je z = f(x, y) funkcija dviju varijabli i neka je (x0, y0) to£ka iz njene domene.Graf funkcije f je ploha Γf = {(x, y, z) : (x, y) ∈ Df , z = f(x, y)} ⊆ R.

Vidimo da kroz to£ku T (x0, y0, z0), gdje je z0 = f(x0, y0), moºemo provu¢i besko-na£no mnogo ravnina. Presjek plohe Γf sa bilo kojom od tih ravnina je krivulja kojase nalazi upravo u toj ravnini.

Nama ¢e biti bitni presjeci plohe Γf sa sljede¢e dvije ravnine:

• presjek sa ravninom Π1 . . . y = y0 je krivulja u toj ravnini sa jednadºbom

l1 . . . z = f1(x) = f(x, y0);

• presjek sa ravninom Π2 . . . x = x0 je krivulja u toj ravnini sa jednadºbom

l2 . . . z = f2(x) = f(x0, y).

To£ka T (x0, y0, z0) se nalazi na krivuljama l1 i l2, pa kroz nju moºemo provu¢itangente na obje krivulje.

Jednadºbe tih tangenti su redom:

• tangenta na krivulju l1 . . . z = f1(x) = f(x, y0) ima jednadºbu

t1 . . . z − z0 = f ′1(x0)(x− x0), tj. t1 . . . z − z0 = f ′x(x0, y0)(x− x0)

pa slijedi da je t1 . . .x− x0

1=y − y0

0=

z − z0

f ′x(x0, y0);

• tangenta na krivulju l2 . . . z = f2(y) = f(x0, y) ima jednadºbu

t2 . . . z − z0 = f ′2(y0)(y − y0), tj. t2 . . . z − z0 = f ′y(x0, y0)(y − y0)

pa odatle slijedi da je t2 . . .x− x0

0=y − y0

1=

z − z0

f ′y(x0, y0).

Prisjetimo se da svaka dva pravca u prostoru koji se sijeku odre�uju jednu ravninu.U ovom slu£aju, ravnina odre�ena tangentama t1 i t2 (koje se sijeku u to£ki T (x0, y0, z0))se zove tangencijalna ravnina i ona je sa£injena od svih tangenti na krivulje sa ploheΓf koje prolaze to£kom T (x0, y0, z0).

Vektori smjera tangenti t1 i t2 su redom

~s1 = {1, 0, f ′x(x0, y0)}, ~s2 = {0, 1, f ′y(x0, y0)}.

Vektor normale tangencijalne ravnine je okomit na vektore s1 i s2, pa vrijedi

~n = ~s1 × ~s2 =

∣∣∣∣∣∣~i ~j ~k1 0 f ′x(x0, y0)0 1 f ′y(x0, y0)

∣∣∣∣∣∣ = −f ′x(x0, y0)~i− f ′y(x0, y0)~j + ~k.

Jednadºba tangencijalne ravnine na graf funkcije z = f(x, y) u to£ki T (x0, y0, z0) je

z − z0 = f ′x(x0, y0)(x− x0) + f ′y(x0, y0)(y − y0).

Jednadºba normale na graf funkcije z = f(x, y) u to£ki T (x0, y0, z0) je

n . . .x− x0

f ′x(x0, y0)=

y − y0

f ′y(x0, y0)=z − z0

−1.

Ako je funkcija z = f(x, y) zadana implicitno jednadºbom F (x, y, z) = 0, ondajednadºba tangencijalne ravnine na plohu F (x, y, z) = 0 u to£ki T (x0, y0, z0), gdje jez0 = f(x0, y0), glasi

F ′x(x0, y0, z0)(x− x0) + F ′

y(x0, y0, z0)(y − y0) + F ′z(x0, y0, z0)(z − z0) = 0,

a jednadºba normale na tu plohu u to£ki T (x0, y0, z0) je

n . . .x− x0

F ′x(x0, y0, z0)

=y − y0

F ′y(x0, y0, z0)

=z − z0

F ′z(x0, y0, z0)

.

3.3. Ekstremi

Ekstremi funkcija jedne varijable

Prisjetimo se, ako za to£ku x0 iz domene funkcije y = f(x) postoji okolina te to£ketakva da za svaku to£ku x iz te okoline vrijedi f(x) ≤ f(x0), onda kaºemo da funkcijaf ima lokalni maksimum u to£ki x0. Ako za to£ku x0 iz domene funkcije y = f(x)vrijedi f(x) ≤ f(x0) za sve to£ke x iz domene funkcije f , onda kaºemo da funkcija fima globalni maksimum u to£ki x0.

Ako za to£ku x0 iz domene funkcije y = f(x) postoji okolina te to£ke takva da zasvaku to£ku x iz te okoline vrijedi f(x) ≥ f(x0), onda kaºemo da funkcija f ima lokalni

minimum u to£ki x0. Ako za to£ku x0 iz domene funkcije y = f(x) vrijedi f(x) ≥ f(x0)za sve to£ke x iz domene funkcije f , onda kaºemo da funkcija f ima globalni minimum

u to£ki x0.

Primjer 3.3. Ako pogledamo graf funkcije y = f(x) sa slike, vidimo da u to£ki x1 ona

poprima globalni minimum, u to£ki x2 globalni maksimum, u to£ki x3 lokalni minimum,

a u to£ki x4 poprima lokalni maksimum.

Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Da bi funkcija y = f(x) imalalokalni ekstrem u to£ki x0 iz svoje domene, nuºno je da tangenta na graf funkcije u tojto£ki bude paralelna s osi x, tj. da joj je koe�cijent smjera jednak nuli, a to zna£i damora vrijediti f ′(x0) = 0.

Napomena. To£ke koje zadovoljava nuºni uvjet ekstrema zovu se stacionarne to£ke,i one su "kandidati" za to£ke ekstrema. Ne mora zna£iti da su sve stacionarne to£keujedno i ekstremi funkcije; me�u njima se mogu nalaziti i to£ke in�eksije.

Za provjeriti koje od stacionarnih to£aka su ekstremi funkcije, gledamo vrijednostdruge derivacije u tim to£kama:

∗ ako je f ′′(x0) < 0 onda funkcija f u to£ki x0 poprima maksimum;

∗ ako je f ′′(x0) > 0 onda funkcija f u to£ki x0 poprima minimum;

∗ ako je f ′′(x0) = 0 onda gledamo derivacije vi²eg reda:

(i) ako je f ′′′(x0) 6= 0 onda funkcija f u to£ki x0 ima to£ku in�eksije;

(ii) ako je f ′′′(x0) = 0 i f (iv)(x0) 6= 0 onda funkcija f u to£ki x0 ima ekstrem, ito minimum ako je f (iv)(x0) > 0 ili maksimum ako je f (iv)(x0) < 0.

Ekstremi funkcija dviju varijabli

Ako za to£ku (x0, y0) iz domene funkcije z = f(x, y) postoji okolina te to£ke takvada za svaku to£ku (x, y) iz te okoline vrijedi f(x, y) ≤ f(x0, y0), onda kaºemo da funk-cija f ima lokalni maksimum u to£ki (x0, y0). Ako za to£ku (x0, y0) iz domene funkcijez = f(x, y) vrijedi f(x, y) ≤ f(x0, y0) za sve to£ke (x, y) iz domene funkcije f , ondakaºemo da funkcija f ima globalni maksimum u to£ki (x0, y0).

Ako za to£ku (x0, y0) iz domene funkcije z = f(x, y) postoji okolina te to£ke takvada za svaku to£ku (x, y) iz te okoline vrijedi f(x, y) ≥ f(x0, y0), onda kaºemo da funk-cija f ima lokalni minimum u to£ki (x0, y0). Ako za to£ku (x0, y0) iz domene funkcijez = f(x, y) vrijedi f(x, y) ≥ f(x0, y0) za sve to£ke (x, y) iz domene funkcije f , ondakaºemo da funkcija f ima globalni minimum u to£ki (x0, y0).

Nuºan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Da bi funkcija z = f(x, y)imala lokalni ekstrem u to£ki (x0, y0) iz svoje domene, nuºno je da tangencijalna ravninana graf funkcije u toj to£ki bude paralelna s koordinatnom ravninom x0y, tj. da suparcijalne derivacije funkcije f u toj to£ki jednake nuli, ²to je ekvivalentno sa

dz(x0, y0) =∂f

∂x(x0, y0)dx+

∂f

∂y(x0, y0)dy = 0,

gdje je |dx|+ |dy| 6= 0.

To£ke koje zadovoljavaju nuºni uvjet za postojanje lokalnog ekstrema zovemo sta-

cionarne to£ke. Ne moraju sve stacionarne to£ke biti ekstremi funkcije, potrebno jeprovjeriti dodatne uvjete.

Teorem o dovoljnim uvjetima za ekstrem funkcije dviju varijabli navodimo bez do-kaza:

Dovoljan uvjet za postojanje lokalnog ekstrema. Neka je T (x0, y0) staci-onarna to£ka funkcije z = f(x, y), tj. neka vrijedi f ′x(x0, y0) = 0 i f ′y(x0, y0) = 0. Da bifunkcija z u to£ki T imala maksimum, odnosno minimum, nuºno je i dovoljno da je utoj to£ki d2z < 0, odnosno d2z > 0.

d2z(x0, y0) =∂2z

∂x2(x0, y0)dx2 + 2

∂2z

∂x∂y(x0, y0)dxdy +

∂2z

∂y2(x0, y0)dy2

= zxx(x0, y0)dx2 + 2zxy(x0, y0)dxdy + zyy(x0, y0)dy2

=1

zxx(x0, y0)[(zxx(x0, y0))2dx2 + 2zxx(x0, y0)zxy(x0, y0)dxdy

+ zxx(x0, y0)zyy(x0, y0)dy2]

=1

zxx(x0, y0)[((zxx(x0, y0))dx+ zxy(x0, y0))2 + (zxx(x0, y0)zyy(x0, y0)

− z2xy(x0, y0))dy2]

Ozna£imo:

A = z2xx(x0, y0)

B = zxy(x0, y0) = zyx(x0, y0)

C = zyy(x0, y0)

D =

∣∣∣∣ A BB C

∣∣∣∣ = A · C −B2 = zxx(x0, y0)zyy(x0, y0)− z2xy(x0, y0)

Odavde vidimo da je dovoljni uvjet postojanja ekstrema u stacionarnoj to£ki T (x0, y0)ekvivalentan sa:

∗ ako je D > 0, onda funkcija u toj to£ki ima ekstrem, i to:

◦ maksimum ako je zxx(x0, y0) < 0;

◦ minimum, ako je zxx(x0, y0) > 0;

∗ ako je D < 0, onda funkcija u toj to£ki nema ekstrem, nego sedlastu to£ku (ana-logon to£ke in�eksije kod funkcija jedne varijable);

∗ ako je D = 0, onda u stacionarnoj to£ki moºe, ali ne mora biti ekstrem. U tomslu£aju treba ispitivati na sloºeniji na£in.