Vježba

Relacije linearnih kombinacija i drugih varijabli

Sveučilište u Zagrebu Filozofski fakultet

Odsjek za psihologiju

Vježbe iz psihometrije

UvodUvod

U psihološkim istraživanjima i praksi vrlo U psihološkim istraživanjima i praksi vrlo često se ukazuje potreba za izračunavanjem često se ukazuje potreba za izračunavanjem korelacija između jednostavnih linearnih korelacija između jednostavnih linearnih kombinacija i jekombinacija i jeddnostavnih vanjskih varijabli. nostavnih vanjskih varijabli.

Vjerojatno najčešće takav slučaj nalazimo Vjerojatno najčešće takav slučaj nalazimo prilikom kriterijske validacije psiholoških prilikom kriterijske validacije psiholoških testova. testova.

Zbog višestruke deteZbog višestruke deterrminiranosti kriterijskih miniranosti kriterijskih varijabli (kompleksnostvarijabli (kompleksnostii kriterija) u svrhu njihove kriterija) u svrhu njihove predikcije koristi se manje-više redovito baterija predikcije koristi se manje-više redovito baterija testova, a ne samo jedan mjerni instrument.testova, a ne samo jedan mjerni instrument.

Slična je situacija i prilikom tzv. simptomatske Slična je situacija i prilikom tzv. simptomatske validacije, prilikom konstrukcije testova i sl.validacije, prilikom konstrukcije testova i sl.

Varijable u linearnoj kombinaciji gotovo Varijable u linearnoj kombinaciji gotovo uvijek nazivamo prediktorskim (nezavisnim), a uvijek nazivamo prediktorskim (nezavisnim), a jednostavne varijable kriterijima ili kriterijskim jednostavne varijable kriterijima ili kriterijskim varijablama (zavisnim).varijablama (zavisnim).

Pokušat ćemo provjeriti o kojim faktorima Pokušat ćemo provjeriti o kojim faktorima ovisi korelacija između jednostavne linearne ovisi korelacija između jednostavne linearne kombinacije sačinjene od kombinacije sačinjene od k članicak članica i neke i neke jednostavne vanjske varijable Y.jednostavne vanjske varijable Y.

Da bismo izjednačili udio svake varijable, Da bismo izjednačili udio svake varijable, transformirat ćemo sve varijable u z-transformirat ćemo sve varijable u z-vrijednosti. vrijednosti.

1. Korelacija između linearne kombinacije i 1. Korelacija između linearne kombinacije i jednostavne vanjske varijablejednostavne vanjske varijable

Neka je zadan neki skup prediktorskih Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-(transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti).vrijednosti).

    Skup članica J.L.K.: Skup članica J.L.K.:

0iM 1 iiV

    Neka je zadana neka kriterijska Neka je zadana neka kriterijska varijabla Y, koja ne pripada prethodnom varijabla Y, koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi: skupu, a za koju vrijedi:

0yM 1 yyV

Definirajmo korelaciju između linearne Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od 3 članice kombinacije koja se sastoji od 3 članice izražene u z-vrijednostima i kriterijske izražene u z-vrijednostima i kriterijske varijable Y kao produkt-moment koeficijent varijable Y kao produkt-moment koeficijent korelacije:korelacije:

321)( zzzU zi yz

Linearna kombinacija definirana je pod Linearna kombinacija definirana je pod sljedećim modelom:sljedećim modelom:

yuuyr N

)d(d iyu

yu

iyyu

N

MzMU

))((

Možemo pisati:Možemo pisati:

yuuyr N

)z(U iy

0 yu MM

Budući da kod standardiziranih varijabli Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi:vrijedi:

yu

i

N)zzz(z y321

Za standardne devijacije vrijedi:Za standardne devijacije vrijedi:

1y

ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijeuvrstimo izraze za standardne devijacije možemo pisatimožemo pisati::

)(232 231312 rrrrk iju

)

)zzzz(z

2313

y32y1

rr

zr yuy

122(r3N

Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi ((brojnikbrojnik)), , a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedine korelacije između članica pojedine korelacije između članica linearne linearne kombinacije i vanjske varijable y (kriterija):kombinacije i vanjske varijable y (kriterija):

)2313

32

rr

rrr yyuy

12

1y

2(r3

r

U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinacije z-vrijednosti i neke kriterijske varijable kombinacije z-vrijednosti i neke kriterijske varijable koja nije njezinkoja nije njezinaa član članicaica jednaka jejednaka je::

ijr2k

k

iiy

uy

rr 1

jikji ;,...,1,

Prema tome, korelacija jednostavne linearne Prema tome, korelacija jednostavne linearne kombinacije i neke vanjske varijable jednaka je kombinacije i neke vanjske varijable jednaka je kvocijentu zbroja korelacija članica linearne kvocijentu zbroja korelacija članica linearne kombinacije s vanjskom varijablom i drugog korijena kombinacije s vanjskom varijablom i drugog korijena iz sume kompletne intrakorelacione matrice iz sume kompletne intrakorelacione matrice definirane članicama linearne kombinacije. definirane članicama linearne kombinacije.

Ukoliko je zadana kompletna korelacijska matrica Ukoliko je zadana kompletna korelacijska matrica definirana sa k prediktorskih varijabli i kriterijskom definirana sa k prediktorskih varijabli i kriterijskom varijablom Yvarijablom Y

z1 z2 z3 zy z1 1 r12 r13 r1y z2 r21 1 r23 r2y z3 r31 r32 1 r3y

1,...,1

,...,1

)(

kj

ki

rR ij

Matrica R se može logično particionirati (podijeliti) u Matrica R se može logično particionirati (podijeliti) u dva dijela: matricu (vektor) korelacija komponenata dva dijela: matricu (vektor) korelacija komponenata linearne kombinacije i vanjske varijable i matricu linearne kombinacije i vanjske varijable i matricu intrakorelacija komponenata linearne kombinacije, intrakorelacija komponenata linearne kombinacije, koja je očito kompletna korelacikoja je očito kompletna korelacijskajska matrica. matrica.

Iz posljednje formule slijedi da će ova Iz posljednje formule slijedi da će ova korelacija biti to veća što su veće korelacije korelacija biti to veća što su veće korelacije pojedinih komponenata i kriterijske varijable, pojedinih komponenata i kriterijske varijable, uz što manje međusobne korelacije uz što manje međusobne korelacije komponenata linearne kombinacije.komponenata linearne kombinacije.

    Neka je zadana neka kriterijska Neka je zadana neka kriterijska varijabla Y, koja ne pripada prethodnom varijabla Y, koja ne pripada prethodnom skupu, a za koju vrijedi: skupu, a za koju vrijedi:

Valja napomenuti da korelacija jednostavne Valja napomenuti da korelacija jednostavne linearne kombinacije i neke kriterijske linearne kombinacije i neke kriterijske varijable nije i nužno veća od svake varijable nije i nužno veća od svake pojedinačne korelacije komponenata sa pojedinačne korelacije komponenata sa vanjskom varijablom. vanjskom varijablom.

Npr. neka za 3 članice JLK vrijedi:Npr. neka za 3 članice JLK vrijedi:

0,0,0 321 yyy rrr

  neka su sve interkorelacije članica neka su sve interkorelacije članica linearne kombinacije rlinearne kombinacije r ijij veće od nule veće od nule

Tada je korelacija između te J.L.K. i kriterijske Tada je korelacija između te J.L.K. i kriterijske varijable Y: varijable Y:

yuy rr 3

  iz čega je očigledno da je iz čega je očigledno da je

)

0

2313

3

rr

rr yuy

122(r3

0

Elementi matrice X definirani su x = (xij), i=1,...,N ; j=1,...,k . zadaci z1 z2 z3 z4 z5 ... zk Ui Yi ______________________________________________________ 1 x11 x12 x13 x14 x15 ... x1k U1 Y1 2 x21 x22 x23 x24 x25 ... x2K U2 Y2 i 3 x31 x32 x33 x34 x35 ... x3K U3 Y3 s 4 x41 x42 x43 x44 x45 ... x4K U4 Y4 p 5 x51 x52 x53 x54 x55 ... x5K U5 Y5 i 6 x61 x62 x63 x64 x65 ... x6K U6 Y6 t 7 x71 x72 x73 x74 x75 ... x7K U7 Y7 ... ... … … … … … … N xN1 xN2 xN3 xN4 xN5 ... xNk UN YN _________________________________________________________ M M1 M2 M3 M4 M5 ... Mk Mu My V V1 V2 V3 V4 V5 ... Vk Vu Vy

Zadatak 1:Zadatak 1:

Izračunajte korelaciju između jednostavne linearne Izračunajte korelaciju između jednostavne linearne kombinacije tri gornje prediktorske varijable kombinacije tri gornje prediktorske varijable definirane modelom:definirane modelom:  

UUii = = zz11 + + zz22 + + zz33

i kriterijske varijable Yi kriterijske varijable Y

rruyuy = ? = ?

z1 z2 z3 zy z1 1 0,2 0,3 0,1 z2 1 0,4 0,0 z3 1 0,5

Zadatak 2:Zadatak 2:

Zadan je neki test znanja sastavljen od 5 zadataka, te Zadan je neki test znanja sastavljen od 5 zadataka, te varijabla K koja predstavlja uspjeh u nekom poslu. U varijabla K koja predstavlja uspjeh u nekom poslu. U ovom slučaju test možemo smatrati prediktorom, a ovom slučaju test možemo smatrati prediktorom, a uspjeh u poslu kriterijem. Sve varijable su uspjeh u poslu kriterijem. Sve varijable su standardiziranestandardizirane..  

z1 z2 z3 z4 z5 K z1 1 0.2 0.3 0.1 -0.2 0.4 z2 1 0.4 0.5 -0.1 0.2 z3 1 0.2 0.0 0.1 z4 1 -0.3 -0.3 z5 1 0.0

1. Koliko iznosi aritmetička sredina jednostavne 1. Koliko iznosi aritmetička sredina jednostavne linearne kombinacije ovih 5 zadataka?linearne kombinacije ovih 5 zadataka?

2. Koliko iznosi standardna devijacija jednostavne 2. Koliko iznosi standardna devijacija jednostavne linearne kombinacije ovih 5 zadataka?linearne kombinacije ovih 5 zadataka?

3. Koji od zadataka je najbolji pojedinačni prediktor 3. Koji od zadataka je najbolji pojedinačni prediktor uspjeha u poslu?uspjeha u poslu?

4. Koliko iznosi korelacija između uratka u cijelom 4. Koliko iznosi korelacija između uratka u cijelom testu i kriterija K ?testu i kriterija K ?

55. Usporedite . Usporedite prethodnu prethodnu korelaciju korelaciju (pod 4.) (pod 4.) s s pojedinačnim korelacijama zadataka s kriterijem.pojedinačnim korelacijama zadataka s kriterijem.

6. Koja dva zadatka bismo mogli izbaciti iz testa, a da 6. Koja dva zadatka bismo mogli izbaciti iz testa, a da se nakon toga kriterijska valjanost testa (vjerojatno) se nakon toga kriterijska valjanost testa (vjerojatno) nene smanji ?smanji ?

7. Kakve bi posljedice imalo obrnuto bodovanje 4. 7. Kakve bi posljedice imalo obrnuto bodovanje 4. zadatka ? zadatka ?

8. Koliko bi iznosila korelacija između testa 8. Koliko bi iznosila korelacija između testa sačinjenog od prva tri zadatka i kriterija K ?sačinjenog od prva tri zadatka i kriterija K ?

9. Koliko bi (hipotetski) iznosila korelacija između 9. Koliko bi (hipotetski) iznosila korelacija između testa sačinjenog od prva tri zadataka i kriterija K, testa sačinjenog od prva tri zadataka i kriterija K, kada bi zadaci bili u nultim korelacijama ?kada bi zadaci bili u nultim korelacijama ?

Prilikom nekih praktičnih operacija Prilikom nekih praktičnih operacija pri pri konstrukciji i konstrukciji i validaciji testova (provalidaciji testova (proccjena diskriminativne valjanosti jena diskriminativne valjanosti čestica kompozitnih testova, faktorska validacija i sl.) čestica kompozitnih testova, faktorska validacija i sl.) susrećemo se s problemom izračunavanja korelacije susrećemo se s problemom izračunavanja korelacije između linearne kombinacije i neke varijable koja je između linearne kombinacije i neke varijable koja je uključena u tu linearnu kombinaciju.uključena u tu linearnu kombinaciju.

2. Korelacija između linearne kombinacije i 2. Korelacija između linearne kombinacije i neke njezine članice (spuriozna ili patvorena neke njezine članice (spuriozna ili patvorena korelacija)korelacija)

Neka je zadan neki skup prediktorskih Neka je zadan neki skup prediktorskih varijabli koje su standardizirane varijabli koje su standardizirane (transformirane u tzv. z-metriku, ili z-(transformirane u tzv. z-metriku, ili z-vrijednosti).vrijednosti).

    Skup članica J.L.K.: Skup članica J.L.K.:

0iM 1 iiV

Definirajmo korelaciju između linearne Definirajmo korelaciju između linearne kombinacije koja se sastoji od 3 članice kombinacije koja se sastoji od 3 članice izražene u z-vrijednostima i izražene u z-vrijednostima i njezine članice znjezine članice z11

produkt-moment koeficijent korelacije:produkt-moment koeficijent korelacije:

321)( zzzU zi 1z

Linearna kombinacija definirana je pod Linearna kombinacija definirana je pod sljedećim modelom:sljedećim modelom:

11 uur N

)d(d i1u

1

11)((

u

iu

N

MzMU

Možemo pisati:Možemo pisati:

11 uur N

)z(U i1

01 MM u

Budući da kod standardiziranih varijabli Budući da kod standardiziranih varijabli vrijedi:vrijedi:

1 u

i

N

)zzz(z 1321

Za standardne devijacije vrijedi:Za standardne devijacije vrijedi:

11

ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te ukoliko pomnožimo izraz u brojniku, te uvrstimo izraze za standardne devijacijeuvrstimo izraze za standardne devijacije možemo pisatimožemo pisati::

)(232 231312 rrrrk iju

)

)zzzz(z

2313

1312111

rr

zru

122(r3N

Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a Provedemo li sumaciju polinoma u zagradi brojnika, a zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo zatim dobivene članove podijelimo sa N, dobivamo pojedine korelacije između članica pojedine korelacije između članica linearne linearne kombinacije i njezine prve članice:kombinacije i njezine prve članice:

)

1

2313

31211

rr

rrru

122(r3

U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj U općem obliku, za bilo koji broj varijabli u linearnoj kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinaciji, korelacija između jednostavne linearne kombinacije z-vrijednosti i neke kombinacije z-vrijednosti i neke njezine članice (ovdje njezine članice (ovdje je označena kao prva članica)je označena kao prva članica)::

ijr2k

k

jj

u

r

r 21

1

1

jikji ;,...,1,

Prema tome, korelacija između linearne kombinacijPrema tome, korelacija između linearne kombinacijee i i neke njezine članice jednaka je omjeru zbroja neke njezine članice jednaka je omjeru zbroja korelacija te komponenete i svih (uključujući i nju) korelacija te komponenete i svih (uključujući i nju) članica linearne kombinacije i zbroja elemenata članica linearne kombinacije i zbroja elemenata kompletne intrakorelacione matrice članice linearne kompletne intrakorelacione matrice članice linearne kombinacije.kombinacije.

Ova formula samo je poseban oblik ranije izvedenog Ova formula samo je poseban oblik ranije izvedenog algoritma za korelaciju između jednostavne linearne algoritma za korelaciju između jednostavne linearne kombinacije i druge varijable.kombinacije i druge varijable.

Općenito, ova je korelacija to veća što su veće korelacije Općenito, ova je korelacija to veća što su veće korelacije jedne komponente sa ostalima i što su manje međusobne jedne komponente sa ostalima i što su manje međusobne korelacije preostalih preostalih komponenata.korelacije preostalih preostalih komponenata.

Korelacije ovog tipa nazivaju se i spuriozne ili Korelacije ovog tipa nazivaju se i spuriozne ili patvorene korelacije, i to zbog toga što su umjetno povećane patvorene korelacije, i to zbog toga što su umjetno povećane zbog činjenice da je kriterijska varijabla član linearne zbog činjenice da je kriterijska varijabla član linearne kombinacije sa kojom je uspoređujemo.kombinacije sa kojom je uspoređujemo.

Distorzija ovih korelacija je obrnuto proporcionalna broju Distorzija ovih korelacija je obrnuto proporcionalna broju varijablivarijabli u linearnoj kombinaciji, a veličina te distorzije u linearnoj kombinaciji, a veličina te distorzije može biti procijenjena razmatranjem ove korelacije za može biti procijenjena razmatranjem ove korelacije za slučaj da među komponentama linearne kombinacije ne slučaj da među komponentama linearne kombinacije ne postoji nikakva korelacija. Razumljivo u tom bismo slučaju postoji nikakva korelacija. Razumljivo u tom bismo slučaju očekivali i nultu korelaciju između linearne kombinacije i očekivali i nultu korelaciju između linearne kombinacije i njezinih članica.njezinih članica.

NNeka za neki skup standardiziranih članica linearne eka za neki skup standardiziranih članica linearne kombinacije vrijedi:kombinacije vrijedi:rij = 0, rij = 0, za i,j = 1,...,k , i za i,j = 1,...,k , i j jU tom slučaju će korelacija između linearne kombinacije i U tom slučaju će korelacija između linearne kombinacije i neke njezine članice biti jednaka:neke njezine članice biti jednaka:

kru

11

iz čega je očigledno da je riz čega je očigledno da je ru1u1 > 0 > 0

i po veličini obrnuto proporcionalan broju članica linearne i po veličini obrnuto proporcionalan broju članica linearne kombinacije. Zbog toga nije moguće uobičajenim kombinacije. Zbog toga nije moguće uobičajenim postupcima testirati hipoteze o veličini koeficijenta postupcima testirati hipoteze o veličini koeficijenta korelacije , njihovoj razlici i sl.korelacije , njihovoj razlici i sl.

Za različiti broj članica koje su u međusobno nultim Za različiti broj članica koje su u međusobno nultim korelacijama, spuriozna korelacija iznosi:korelacijama, spuriozna korelacija iznosi:

k ru1 1 1 2 0.707 5 0.447 10 0.316 50 0.141

Zadaci (vezani uz test sačinjen od 5 zadataka iz ranijeg Zadaci (vezani uz test sačinjen od 5 zadataka iz ranijeg primjera):primjera):

10. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i 10. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u prvom zadatku?uratka u prvom zadatku?Kako se zove takva korelacija ?Kako se zove takva korelacija ?

11. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i 11. Koliko iznosi korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u petom zadatku uratka u petom zadatku

12. Usporedite ove dvije prethodne korelacije. Koji od 12. Usporedite ove dvije prethodne korelacije. Koji od zadataka bolje reprezentira predmet mjerenja ovim testom.zadataka bolje reprezentira predmet mjerenja ovim testom.

13. Koliko bi iznosila korelacija između uspjeha u cijelom 13. Koliko bi iznosila korelacija između uspjeha u cijelom testu i uratka u prvom zadatku kada bismo iz ukupnog testu i uratka u prvom zadatku kada bismo iz ukupnog uratka izbacili udio prvog zadatka ?uratka izbacili udio prvog zadatka ?

Kraj vježbeKraj vježbe