dvostruki integrali

Dvostruki integrali

2008/2009

(Dvostruki integrali) 2008/2009 1 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ 1

0dx

∫ x

x2

f (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ 2

1dx

∫ 2x

xf (x , y) dy

Zadatak 3.

∫ 1

0dy

∫ √3−y2

y2

2

f (x , y) dx

Zadatak 4.

∫ 2

1dy

∫ y

ln yf (x , y) dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

∫ 2

0dx

∫ ex

1dy

Zadatak 2.

∫ 1

−2

(∫ 3x+2

x2+4xdy

)dx

Zadatak 3.

∫ 4

2

∫ 2x

xdy dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

∫ 2

0dx

∫ ex

1dy

Zadatak 2.

∫ 1

−2

(∫ 3x+2

x2+4xdy

)dx

Zadatak 3.

∫ 4

2

∫ 2x

xdy dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

∫ 2

0dx

∫ ex

1dy

Zadatak 2.

∫ 1

−2

(∫ 3x+2

x2+4xdy

)dx

Zadatak 3.

∫ 4

2

∫ 2x

xdy dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

∫ 2

0dx

∫ ex

1dy

Zadatak 2.

∫ 1

−2

(∫ 3x+2

x2+4xdy

)dx

Zadatak 3.

∫ 4

2

∫ 2x

xdy dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4

Dvostruki integrali - zadaci

Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):

Zadatak 1.

∫ 2

0dx

∫ ex

1dy

Zadatak 2.

∫ 1

−2

(∫ 3x+2

x2+4xdy

)dx

Zadatak 3.

∫ 4

2

∫ 2x

xdy dx

(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Zadaci za vezbu

Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:

Zadatak 1.

∫ r

0dx

∫ √2rx−x2

xf (x , y) dy

Zadatak 2.

∫ √2

−√

2dy

∫ √4−y2

−√

4−y2

f (x , y) dx

Zadatak 3.

∫ 2a

0dx

∫ √4ax

√2ax−x2

f (x , y) dy

Zadatak 4.

∫ a

0dx

∫ √a2−x2

a2−x2

2a

f (x , y) dy

(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4

Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci

Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:

Zadatak 1. x2 + y2 = 3

Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =

√3

3x , x = 0, I kvadrant

Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant

Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9

Zadatak 5.x2

4+

y2

3= 1, II kvadrant

(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4