89

Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES

Tema 5.4 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares

(Estudiar la Sección 15.4 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 21)

Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas polares, podemos considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de Rectángulos Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I, en las que debe integrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que debe integrarse primero la variable θ. Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la página 86. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a resolver los ejercicios siguientes

Diferencial de área en coordenadas polares: Recordando la relación entre el radio y la longitud de arco en un sector circular está dada por: θrs = , tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está

dado por ( )( )θrddrdA = como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir

como θddrrdA =

Ejemplo 1: Evalúe la integral dAe

D

yx∫∫ −− 22

, en donde D es la región limitada

por el semicírculo 2

4 yx −= y el eje y , pasando a coordenadas polares.

Solución:

[ ]

( ) ( ) ( )2

1

222

1

2

1

2

1

442

2

4

2

2

2

0

2

2

2

0

2222

πππθ

θθ

π

π

π

π

π

π

−−

−

−

−

−

−

−−−

−=

−−

−=

−

=−

==

∫

∫∫ ∫∫∫ee

de

deddrredAerr

D

yx

s

θ

r s=rθ

dθ

r

dr

rdθ

dA=(rdθ)(dr)

dA=rdrdθ

-2

2

90

Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano 0=z , y el

paraboloide 221 yxz −−= .

La curva de intersección de las superficies es:

1

1

1

01

2

22

22

21

=

=

=+

=−−

=

r

r

yx

yx

zz

( ) ( )

( )2

24

1

42

11

2

0

1

0

422

0

1

0

3

2

0

1

0

222

ππθθ

θ

ππ

π

=⋅=

−=−=

−=−−=

∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

drr

ddrrr

ddrrrdAyxV

D

Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide 22 yxz += ,

arriba del plano xy, y dentro del cilindro xyx 222 =+

La base del volumen es:

( )( )

( ) 1;0,1

11

112

2

22

22

22

=

=+−

=++−

=+

rCcírculo

yx

yxx

xyx

Su ecuación en c. polares:

θ

θ

cos2

cos2

2

2

22

=

=

=+

r

rr

xyx

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

3

2

2cos14cos4

cos164

1

4

,

2

2

2

2

2

22

2

2

42

2

cos2

0

4

2

2

cos2

0

32

2

cos2

0

2

2

2

cos2

0

22

π

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθθ

π

π

π

π

π

π

π

π

θ

π

π

θπ

π

θ

π

π

θ

==

+==

=

=

==

+==

∫∫

∫∫

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫∫∫

−−

−−

−−

−

L

dd

ddr

ddrrddrrr

ddrryxddrrrfV

D

91

Ejemplo 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro

de la esfera 16222 =++ zyx y fuera del cilindro 4

22 =+ yx

2

4

4

16

16

16

2

22

2

22

222

=

=

=+

−±=

=+

=++

r

r

yx

cilindroEl

rz

zr

zyx

esferaLa

( )

[ ] ( )

( ) ( ) ( ) 3323243

4212

3

2

163

2162

23

4

2

2

0

2

0

23

24

2

2

2

0

4

2

16

16

2

2

ππ

π

θθ

θθ

π π

π

===

−−=−=

===

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫∫−+

−−

V

drddrrV

ddrdzrrdrddzdVVr

r

Para la próxima clase estudiar las secciones 15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares 15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas

Tarea para entregar la próxima clase Tarea No. 21 Integrales Dobles en Coordenadas Polares

z 2=r

216 rz −+=

x

216 rz −−=

92

Integrales Dobles en Coordenadas Polares

Región Rectangular

Polar

( )

≤≤

≤≤

βθαθ

brar,

( )

( )∫ ∫

∫ ∫=

=

=

=

=

=

=

=

br

ar

br

ar

drrdrf

rdrdrf

βθ

αθ

βθ

αθ

θθ

θθ

,

,

Región

Tipo 1

( )( ) ( )

≤≤

≤≤

βθα

θθθ 21

,hrh

r ( )( )

( )

∫ ∫=

=

=

=

βθ

αθ

θ

θ

θθ2

1

,

hr

hr

rdrdrf

Región Tipo 2

( )( ) ( )

≤≤

≤≤

bra

rgrgr

21,

θθ ( )

( )

( )

∫ ∫=

=

=

=

br

ar

rg

rg

drrdrf2

1

,

θ

θ

θθ

θ=β

θ=α

r=b

r=a

r=h1(θ)

θ=β

θ=α

r=h2(θ)

r=a

θ=g2(r) r=b

r=a θ=g1(r)

93

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA

Tarea No 21 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares

(Sección 15.4 del Stewart 5ª Edición)

En los problemas 1 al 2 evalúe la integral doble pasando a coordenadas polares:

∫∫R

dAxyP :1 en donde R es la región del primer cuadrante que

se encuentra entre los círculos

25;42222 =+=+ yxyx

8

609:1R

( )∫∫ +

R

dAyxP22

:2 en donde R es la región limitada por las

espirales:

πθθθ 20;2; ≤≤== pararr

524:2 πR

En los problemas 3 y 4 utilice coordenadas polares para hallar el volumen del sólido dado:

P3: Debajo del paraboloide 22

yxz += y arriba del

disco 922 ≤+ yx 2

81:3

πR

P4: Arriba del cono 22

yxz += y debajo de la

esfera 1222 =++ zyx

−

2

11

3

2:4

πR

En los problemas 5 y 6 evalúe la integral iterada pasando a coordenadas polares:

∫ ∫−

+1

0

1

0

2

22

:5x

yxdydxeP ( )1

4:5 −eR

π

∫ ∫−

−−

2

0

4

4

22

2

2

:6y

y

dxdyyxP 3

4:6

πR