Dvostruki integrali
2008/2009
(Dvostruki integrali) 2008/2009 1 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ 1
0dx
∫ x
x2
f (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ 2
1dx
∫ 2x
xf (x , y) dy
Zadatak 3.
∫ 1
0dy
∫ √3−y2
y2
2
f (x , y) dx
Zadatak 4.
∫ 2
1dy
∫ y
ln yf (x , y) dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 2 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):
Zadatak 1.
∫ 2
0dx
∫ ex
1dy
Zadatak 2.
∫ 1
−2
(∫ 3x+2
x2+4xdy
)dx
Zadatak 3.
∫ 4
2
∫ 2x
xdy dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):
Zadatak 1.
∫ 2
0dx
∫ ex
1dy
Zadatak 2.
∫ 1
−2
(∫ 3x+2
x2+4xdy
)dx
Zadatak 3.
∫ 4
2
∫ 2x
xdy dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):
Zadatak 1.
∫ 2
0dx
∫ ex
1dy
Zadatak 2.
∫ 1
−2
(∫ 3x+2
x2+4xdy
)dx
Zadatak 3.
∫ 4
2
∫ 2x
xdy dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):
Zadatak 1.
∫ 2
0dx
∫ ex
1dy
Zadatak 2.
∫ 1
−2
(∫ 3x+2
x2+4xdy
)dx
Zadatak 3.
∫ 4
2
∫ 2x
xdy dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4
Dvostruki integrali - zadaci
Izracunati integrale (i pri promeni redosleda integracije):
Zadatak 1.
∫ 2
0dx
∫ ex
1dy
Zadatak 2.
∫ 1
−2
(∫ 3x+2
x2+4xdy
)dx
Zadatak 3.
∫ 4
2
∫ 2x
xdy dx
(Dvostruki integrali) 2008/2009 3 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Zadaci za vezbu
Promeniti redosled integracije u dvostrukim integralima:
Zadatak 1.
∫ r
0dx
∫ √2rx−x2
xf (x , y) dy
Zadatak 2.
∫ √2
−√
2dy
∫ √4−y2
−√
4−y2
f (x , y) dx
Zadatak 3.
∫ 2a
0dx
∫ √4ax
√2ax−x2
f (x , y) dy
Zadatak 4.
∫ a
0dx
∫ √a2−x2
a2−x2
2a
f (x , y) dy
(Dvostruki integrali) 2008/2009 4 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4
Dvostruki integrali, polarne koordinate - zadaci
Odrediti granice pri integraciji dvodimenzionalne oblasti D date sa:
Zadatak 1. x2 + y2 = 3
Zadatak 2. x2 + y2 = 4, y =
√3
3x , x = 0, I kvadrant
Zadatak 3. x2 + y2 = 2, x2 + y2 = 5, y = 0, y = x , III kvadrant
Zadatak 4. (x − 2)2 + (y + 3)2 = 9
Zadatak 5.x2
4+
y2
3= 1, II kvadrant
(Dvostruki integrali) 2008/2009 5 / 4