Click here to load reader

VEKTORI A (a - pmfst.unist.hrpero/mmf1/MMF1 Formule.pdf · VIŠESTRUKI INTEGRALI Dvostruki integral ... Trostruki integral Trostrukim integralom neprekidne funkcije preko određenog

  • View
    246

  • Download
    6

Embed Size (px)

Text of VEKTORI A (a - pmfst.unist.hrpero/mmf1/MMF1 Formule.pdf · VIŠESTRUKI INTEGRALI Dvostruki integral...

  • MMF1- 1

    VEKTORI1

    je jednoznano odreen modulom, smjerom i orijentacijom. Vektor od toke A do B oznaavamo .

    Modul vektora (oznaka: ) jest duljina duine . Smjer od odreen je smjerom pravca kroz A i B.

    Vektori i , koji lee na istom pravcu p, imaju isu orijentaciju ako B i C lee na p s iste strane toke A, a

    suprotnu orjentaciju ako B i C lee na p s razliitih strana toke A. Suprotni vektori su vektori jednakih modula i

    smjerova, a suprotnih orijentacija ( ). Nulvektor je vektor iji je modul 0. Radijvektor toke A jest

    usmjerena duina iz ishodita do toke A (oznaka: ). Vektori jednaki su ( ) ako i samo ako su

    njihovi moduli (iznosi), smjerovi i orijentacije jednaki; odnosno jednake njihove komponente. Linearna

    kombinacija vektora jest vektor , gdje su . Kolinearni vektori jesu vektori koji imaju isti

    smjer ( su kolinearni ako za koji je ). Komplanarni vektori su vektori koji su paralelni s

    istom ravninom (nekolinearni vektori te vektor komplanarni su ako za koje je ).

    Vektor od toke A do toke B Radijus vektor toke A rastavljen na komponente

    x

    y

    z

    ji

    k

    A(ax,ay,az)

    B(bx,by,bz)

    x

    y

    z

    j

    i

    k

    A(ax,ay,az)

    ay

    a x

    az

    a

    a

    bg

    Duljina (iznos) vektora Mnoenje vektora skalarom (realnim brojem)

    Jedinini vektor u smjeru vektora (skalarne komponente od jednake su kosinusima smjerova)

    Zbrajanje vektora

    komutativnost:

    asocijativnost:

    distributivnost:

    Pravilo trokuta

    A

    BC=A

    +B

    Pravilo paralelograma

    A

    BC=

    A+B

    1 Vektor je element vektorskog prostora. Pod pojmom vektor, ovdje demo podrazumijevati samo elemente trodimenzionalanog Euklidskog prostora, odnosno usmjerene (orijentirane) duine.

  • MMF1- 2

    VEKTORI1 Skalarni umnoak Vektorski umnoak Mjeoviti umnoak

    Jedinini vektori , , Trostruki vektorski umnoak

    Pravilo desne ruke za vektroski umnoak: Prsti desne ruke idu od vektora

    prema vektoru za manji kut, a palac pokazuje vektor .

    Vektorski umnoak , , Primjene umnoaka vektora

    i j

    k

    Volumen paralelepipeda odreenog vektorima iznosi

    Za komplanarne vektore vrijedi:

    Povrina paralelograma razapetog vektorima iznosi

    Za kolinearne vektore vrijedi:

    DERIVACIJE Funkcija derivabilna je (takoer i neprekidna) u toki (u) ako postoji limes

    Jednadba tangente na krivulju u toki Jednadba normale na krivulju u toki

    Tablica derivacija2

    2 ; definirano za ; definirano samo za ; i definirano za

    ; definirano za x 0; definirano za x>1; definirano samo za ; definirano samo za .

  • MMF1- 3

    DERIVACIJE Pravila deriviranja

    PARCIJALNE DERIVACIJE

    Parcijalna derivacija funkcije po argumentu , definira se sa

    Deriviramo je kao funkciju jedne varijable ( ) dredi sve ostale varijable konstantama. Ako za funkciju u toki

    T postoje sve parcijalne derivacije onda je f derivabilna u toki T.

    Parcijanu derivaciju prve parcijalne derivacije funkcije nazivamo parcijalna derivacija

    drugog reda

    Ako parcijalne derivacije postoje i ako su neprekidne onda rezultat viestrukog deriviranja ne ovisi o poretku

    deriviranja. Specijalo za Schwartzov teorem za glasi

    Deriviranje sloenih funkcija

    Deriviranje vektora

    Totalni prirast derivabilne funkcije

    Totalni (potpuni) diferencijal diferencijabilne funkcije

    Totalni diferencijal vieg reda funkcije

    Opdenito, kada postoje neprekidne odgovarajude derivacije, vrijedi simbolika fomula za diferencijal vieg reda

    EKSTREMI

    Ispitivanje ekstrema funkcije u toki . U stupcu desno je prvi, a u stupcu

    desno drugi nain. Ako prvim nainom nema odluke, ispitujemo drugim.

    NUNI UVJETI

    Rjeavanjem prethodnog sustava dobijemo stacionarne toke u kojima moe (ali ne mora) imati ekstrem.

    Stacionarne toke i toke u kojima ne postoji kandidati su za ekstreme.

  • MMF1- 4

    DOVOLJNI UVJETI

    Odredimo determinante:

    Funkcija u toki :

    ima MINIMUM, ako je

    ima MAKSIMUM, ako je

    NEMA EKSTREMA, ako je

    NEMA ODLUKE, ako je

    Ako u dovoljno maloj okolini toke za

    vrijedi:

    , ima MINIMUM u toki

    , ima MAKSIMUM u toki

    mijenja predznak, NEMA EKSTREMA u

    toki

    za neku kombinaciju diferencijala, o

    ekstremima funkcije NEMA ODLUKE (pa moramo

    raunati totalni prirast funkcije).

    UVJETNI EKSTREMI Pronalaenje ekstrema funkcije uz uvjete (argumenti su povezani jednadbama (za ))

    svodi se na uobiajeno traenje ekstrema nove funkcije

    NUNI UVJETI

    Ako je jedno rjeenje ovog sustava tada f moe imati ekstrem

    u toki .

    DOVOLJNI UVJETI

    Pomodu predznaka drugog diferencijala Lagrangeove funkcije ispitujemo postojanje i tip uvjetnog ekstrema

    a za prethodno dobivene stacionarne toke i toke u kojima nisu definirane prve parcijalne derivacije. Veze

    diferencijala argumenata dobijemo diferenciranjem uvjeta

    Izraunamo m diferencijala kao funkcije preostalih n-m diferencijala te ih uvrstimo u za

    Ako je:

    , ima MINIMUM u toki

    , ima MAKSIMUM u toki

    mijenja predznak, NEMA EKSTREMA u toki

    , o ekstremima funkcije NEMA ODLUKE u toki T

  • MMF1- 5

    GRADIJENT Gradijent (skalarnog polja) [vektor] Nabla operator Derivacija u smjeru vektora

    Geometrijska interpretacija Fizikalni primjeri

    je vektor koji ima smjer najbre

    prostorne promjene funkcije , vektor

    okomit na ekvipotencijalne plohe.

    Ako nazivamo njegovim

    potencijalom.

    Za konzervativne sile (sile iji rad ne ovisi o putu ved samo o

    poetnoj i konanoj toki) vrijedi

    DIVERGENCIJA Divergencija (vektorskog polja) [skalar] Izvori polja Ponori polja

    Jednadba kontinuiteta

    Rezultantni tok razliit od nule dovodi do promjene gustode unutar volumena.

    ROTACIJA Rotacija (vektorskog polja) [vektor]

    Rotacija centralne sile Rotacija vektora poloaja Rotacija gradijenta

    Polja

    potencijalno polje: , a bar u nekim tokama

    solenoidno polje: , a bar u nekim tokama

    Laplaceovo polje: i

    Sloena polja, za koja bar u nekim tokama

    vrijedi i , uvijek se mogu

    predstaviti kao superpozicija potencijalnog i

    solenoidnog polja

    DJELOVANJE NABLA OPERATORA Laplasijan Divergencija rotacije Rotacija rotacije

    Djelovanje nabla operatora

  • MMF1- 6

    NEODREENI INTEGRALI3

    Potencije

    Eksponencijalne funkcije

    Trigonometrijske funkcije Hiperbolne funkcije

    Razlomljene racionalne funkcije Iracionalne funkcije

    Osnovna pravila integriranja

    Metoda supstitucije

    nepredkidno derivabilna,

    Parcijalno integriranje

    , neprekidno derivabilne

    ODREENI INTEGRALI Definicija Newton Leibnizova formula

    Zamjena varijabli u odreenom integralu

    neprekidna na ; i neprekidne na ; ;

    3 ;

  • MMF1- 7

    VIESTRUKI INTEGRALI Dvostruki integral

    Dvostrukim integralom neprekidne funkcije preko odreenog zatvorenog podruja S u ravnini xOy

    nazivamo limes odgovarajude integralne sume

    gdje je , , a suma protegnuta preko vrijednosti i za koje .

    Dvostruki integral u pravokutnim koordinatama

    Dvostruki integral u krivocrtnim koordinatama

    Trostruki integral

    Trostrukim integralom neprekidne funkcije preko odreenog zatvorenog podruja V u prostoru

    nazivamo limes odgovarajude integralne sume

    Integriranje se svodi na tri uzastopna jednostruka integrala ili jednog dvostrukog i jednog jednostrukog.

    Trostruki integral u pravokutnim koordinatama

    Ako je podruje integracije definirano nejednadbama , , ,

    Trostruki integral u krivocrtnim koordinatama4

    4 Uvjeti primjenjivosti pri prijelazu iz jednih varijabli u druge: neprekidne su funkcije veze , , i njihove parcijalne derivacije prvog reda funkcije veze su uspostavljaju meusobno jednoznano i obostrano neprekidno pridruivanje Jakobijan zadrava stalan predznak u podruju

  • MMF1- 8

    KRIVULJNI INTEGRALI Krivuljni integral 1. vrste

    Krivuljnim inetgralom prve vrste (ne ovisi o smjeru puta integracije), neprekidne funkcije , po krivulji C

    nazivamo limes odgovarajude integralne sume

    gdje su elementi luka krivulje C, , a diferencijal luka.

    Krivuljni integral 2. vrste

    Krivuljnim inetgralom druge vrste (ovisi o smjeru puta integracije ako podintegralni izraz nije totalni diferencijal

    neke jednoznane funkcije), neprekidnih funkcija i po glatkoj krivulji C nazivamo limes

    odgovarajude integralne sume.

    Krivuljni integrali 1. i 2. vrste u prostoru

    Krivuljni integrali funkcije po prostronoj krivulji C raunaju se po analognim relacijama.

    PLONI INTEGRALI Ploni integral 1. vrste

    Plonim inetgralom prve vrste (ne ovisi o izboru strane plohe S), neprekidne funkcije , po glatkoj plohi

    S nazivamo limes odgovarajude integralne sume

    gdje su povrine i-tih elemenata plohe S, toka , a jednoznana projekcija glatke plohe

    S na ravninu xOy (svaki pravac paralelan s osi Oz sijee plohu S samo u jednoj toki).

    Ploni integral 2. vrste

    Plonim inetgralom druge vrste (ovisi o izboru strane plohe S jer pri prijelazu na drugu stranu plohe mijenja

    predznak), neprekidnih funkcija , i , po plohi S, ija normala ima smjer

    , nazivamo limes odgovarajude integralne sume.

    Ako je ploha S zadana implicitno sa , onda kosinus smjera normale te plohe odreujemo

    Formula Ostrogradskog - Gaussa

    Ako je S zatvorena glatka ploha, koja omeuje konano podruje V, a , ,

    funkcije koje su, a i njihove prve parcijalne derivacije, neprekidne u zatvorenom podruju V+S,

  • MMF1- 9

    VEKTORSKI INTEGRALI

    Rjeavamo ih svoenjem na skalarne integrale rastavljajudi ih na komponente ili mnoedi skalarno vektore.

    Krivuljni integrali

    Diferencijalni vektor pomaka

    Ploni integrali

    Element povrine

    Za zatvorenu ploha, uzimamo pozitivan smjer prema vani.

    Za otvorenu plohu, pozitivni smjer pokazuje palac desne

    ako zavijemo prste desne ruke u smjeru obilaska ruba.

    Volumni integrali

    Element volumena

    dV

    Gaussov teorem (o divergenciji) Stokesov teorem (o rotaciji)

    Ako povrina S zatvara volumen V, tada vrijedi

    Ako krivulja C zatvara povrinu S, tada vrijedi

    Greenov teorem

    Ako povrina S zatvara volumen V, tada vrijedi:

    PRIMJENE ODREENOG INTEGRALA Duljina krivulje Masa krivulje Koordinate teita krivulje Moment inercije krivulje s obzirom na x-os

    Povrina lika Masa lika Koordinate teita lika Moment inercije lika s obzirom na x-os

    Volumen tijela Masa tijela Koordinate teita tijela Moment inercije tijela s obzirom na x-os

    Volumen i oploje rotacionog tijela koje nastaje rotacijom krivulje y oko x-osi

    Cirkulacija vektorskog polja Tok vektorskog polja Rad sile du krivulje C

  • MMF1- 10

    ZAKRIVLJENI KOORDINATENI SUSTAVI Koordinate5 Jacobijan Transformacija koordinata Invertibilna transformacija

    Vektor poloaja Diferencijalni vektro pomaka Element kvadrata udaljenosti Metriki tenzor

    Ortogonalni koordinatni sustavi6

    ORTOGONALNI KOORDINATNI SUSTAVI Lameovi koeficijenti Tangencijalni vektor Diferencijalni vektor udaljenosti Jedinini vektori

    Element luka Element volumena Element duljine luka Element povrine

    Gradijent Divergencija

    Laplasijan Rotacija

    Koordinatni sustav Kartezijev koordinatni sustav

    Sferni koordinatni sustav

    Cilindrini koordinatni sustav

    Polarni koordinatni sustav

    5 Svaka toka definirana je presjekom triju ravnina (x, y, z=konst) u Cartesijevom koordinatnom sustavu. Analogno moemo odrediti toku u zakrivljenom koordinatnom sustavu definiranom familijom ploha . 6 Definirani meusobno okomitim plohama.

  • MMF1- 11

    ORTOGONALNI KOORDINATNI SUSTAVI Vektori u cilindrinom koordinatnom sustavu

    Vektori u sfernom koordinatnom sustavu

    Jacobijan (odnos Kartezijevih koordinata i zakrivljenih koordinata )

    Kartezijev koordinatni sustav:

    Sferni koordinatni sustav:

    Cilindrini koordinatni sustav:

    Polarni koordinatni sustav:

    Element volumena Element povrine Element sferne povrine u sfernim koordinatama

    TENZORI Tenzor je matematika ili fizikalna veliina invarijantna na translacije, a ima komponenti gdje je N dimenzija

    prostora te n red tenzora. Skalar je tenzor nultog stupnja, a vektor je tenzor prvog stupnja. Rang (stupanj)

    tenzora moemo odredit promatrajudi njegovo ponaanje pri rotaciji u koordinatnom sustavu. Prema

    Einsteinovoj konvenciji za sumiranje ako se u izrazu indeks pojavljuje dvaput, onda se izraz sumira po svim

    dopustivim vrijednostima tog indeksa, a ako jedanput, onda slina jednadba vrijedi za sve njegove vrijednosti.

    Rotacija koordinatnih osi7

    Vektori8 Skalari Vektori u Kartezijevim koordinatama

    Transformacija komponenti tenzora9 Kovarijantni vektor Kontravarijantni vektor

    Kovarijantni tenzor ranga 2 Mijeani tenzor ranga 2 Kontravarijantni tenzor ranga 2

    Simetrini tenzor ranga 2 Antisimetrini tenzor ranga 2 Prikaz tenzora ranga 2

    Kvocijentno pravilo 10

    7 Matrica rotacije A je ortogonalna te vrijedi . 8 N veliina komponente su N-dimenzionalnog vektora akko se komponente transformiraju danim pravilom pri rotaciji. 9 Ako se lanovi s n indeksa pri bilo kojem prijelazu iz sustava S u S' transformiraju po danom pravilu onda se T zove

    tenzor n-tog stupnja (ranga), a lanovi s ureenim indeksima komponente su tenzora T. 10 Ako relacije vrijede u svim rotiranim Cartesijevim sustavima, K je tenzor ranga koji je naznaen ukupnim brojem indeksa.

  • MMF1- 12

    TENZORI Elementatrne algebarske operacije

    Mnoenje tenzora brojem te zbrajanje ili oduzimanje tenzora istog stupnja vri se po komponentama analogno

    operacijama s vektorima i matricama.

    Kontrakcija11 Direktni produkt

    Transformacija glavnih osi

    Za svaki simetrini tenzor T postoji ortogonalna

    transformacija D, kojom se T transformira u dijagonalni oblik

    Elementi zovu se svojstvene vrijednosti

    tenzora T, a jednake su korijenima jednadbe

    Vektori stupci , , matrice transformacije D zovu se svojstveni vektori i redom pripadaju svojstvenim

    vrijednostima , , jer zadovoljavaju jednadbu . Smjerovi tih vektora zovu se glavni smjerovi, a

    transformacija koja T prevodi u dijagonalni oblik zove se transformacija glavnih osi.

    INVARIJANTNI TENZORI

    Kartezijev je tenzor invarijantan ako su mu sve komponente u svim koordinatnim sustavima nepromijenjene.

    Delta tenzor (tenzor stupnja 2) Epsilon tenzor12 (tenzor stupnja 3)

    PRIMJERI TENZORA 2. STUPNJA U FIZICI Tenzor napetosti

    Ako u toki P elastinog tijela odaberemo malu plohu iji smjer normale gleda u

    pravcu osi nekog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava, tada sila po

    jedinici povrine te plohe predstavlja vektor ije su komponente , , .

    Moment tromosti

    Komponente tenzora tromosti momenti su tromosti s obzirom na koordinatene

    osi, a momenti devijacija obzirom na koordinatne osi.

    11

    Ako u tenzoru stupnja obavimo sumiranje po dva jednaka indeksa, dobit demo tenzor stupnja . Npr., tenzor

    drugog stupnja C, s lanovima , koji dobijemo kao produkt dva vektora i ,

    sniavanjem preko indeksa i postaje skalar , odnosno tenzor stupnja 0, tj. skalarni produkt vektora i . 12

    Mjeoviti produkt jedininih vektora u smjerovima koordinatnih osi pravokutnog koordinatnog sustava , , .