Download pdf - A.Skejic - 100 Resenih Ispitnih Zadataka Iz Mehanike Tla

A.Skeji

SKRIPTA

Sarajevo, 2011.

www.geotehnika.info

100 RIJEENIH ISPITNIH ZADATAKA IZ MEHANIKE TLA

100 RIJEENIH ISPITNIH

ZADATAKA IZ MEHANIKE TLA

geotehnika.info, 2011.

Dozvoljeno je i preporuljivo svako umnoavanje i preprodavanje ovog teksta. Dozvoljeno je objavljivanje

elektronske verzije . Nije potrebna saglasnost autora za kopiranje i koritenje sadraja zbirke u bilo koje svrhe.

Predgovor

Paul Tabori : Kad bi se samo jedna desetina od one silne koliine papira, koja se troi na tampanje

kojekakvih formulara, svakojakih "bijelih knjiga" ili propisa, upotrijebila za tampanje itanki i

udbenika, danas na svijetu vie ne bi bilo nepismenih.

Ima li boljeg naina da potvrdite da Vam je neto jasno od toga da rijeite konkretan problem. Ova

grupa zadataka obuhvata dosta jednostavne probleme, sa rjeenjima koja su ponekad toliko

jednostavna, da nakon to se saopte, zbunjuju svojom jednostavnodu. Neki od problema nikada

nisu spomenuti u standardnim udbenicima, zbog njihove jednostavnosti. Ali, ako osnovne stvari nisu

jasne, onda predstavljaju prave geotehnike izazove, to zasigurno nisu.

Na drugoj strani, uraeni ispitni zadaci koji se koriste prilikom pripremanja ispita, esto nisu tani, pa

se pojedine greke provlae iz generacije u generaciju, a na ovaj nain tome se konano moe stati u

kraj.

Problemi obuhvadeni ovom grupom rijeenih zadataka su oni iz osnovnih oblasti mehanike tla, od

zapreminskih odnosa, zbijanja i klasifikacije tla, preko principa efektivnih napona i procjeivanja vode

kroz tlo, do prorauna intenziteta i trajanja slijeganja, horizontalnih pritisaka tla, prorauna

vertikalnih napona od dodatnog opteredenja i vrstode tla, kao i osnovni principi prorauna

stabilnosti kosina i doputenih napona u tlu. Obzirom da se teoretske osnove mogu pronadi u svakoj

standardnoj literaturi vezanoj za Mehaniku tla, nisu posebno priloene teoretske osnove, a koriteni

dijagrami i formule objanjeni su pri samoj izradi zadataka, uz potrebne napomene.

Prvo poglavlje ine zasebni zadaci svrstani po oblastima. U drugom poglavlju smjeteni su zadaci koji

predstavljau konkretan geotehniki problem sainjen od niza podzadataka. Poseban dodatak ini

trede poglavlje, pod nazivom 10 zato 10 zato, gdje je odgovoreno na 10 interesantnih pitanja

vezanih za oblasti obuhvadene zadacima. Na kraju, etvrto poglavlje pripada zabavnoj strani, gdje su

priloeni geotehnika osmosmjerka, interesantni citati, vicevi vezani za oblast geotehnike, te mape

uma vezane za izabrane oblasti mehanike tla. U sklopu zbirke zadataka nalazi se i CD sa igrom Ko

eli biti inenjer geotehnike sa 15 geotehnikih pitanja koja Vas uz malo srede, vode do titule

kandidata za inenjera geotehnike.

Ovi zadaci su prvenstveno namijenjeni studentima koji se po prvi puta susredu sa obladu geotehnike

i teko da moe koristiti nekom drugom nivou.

A.Skejid, 2011.

Sadraj 1 Pojedinani zadaci po oblastima

1.1 Osnovni pojmovi, klasifikacija i zbijanje tla ..................... 1

1.2 Princip efektivnih napona i teenje vode u tlu .................. 7

1.3 Naponi u tlu od povrinskog opteredenja .................... 15

1.4 vrstoda tla .................... 23

1.5 Slijeganje tla i vremenski tok slijeganja ..................... 34

1.6 Horizontalni pritisci tla ...................... 42

1.7 Osnove stabilnosti kosina .................... 51

1.8 Princip prorauna doputenih napona u tlu ....................... 54

2 Sloeniji problemi koji obuhvataju vie oblasti

2.1 Garaa u zasjeku .................... 57

2.2 Konstrukcija bazena ...................... 60

2.3 Zatita nasipa saobradajnice ....................... 65

2.4 Zatitna konstrukcija ....................... 70

2.5 Podzemna etaa stambenog objekta ....................... 76

3 10 zato 10 zato

3.1 Deset pitanja koja poinju sa zato, a zavravaju odgovorom ................. 82

4 Zabavna strana

4.1 Vicevi, citati, igre, mape uma ..................... 87

5 Literatura ..................... 98

1.1 Osnovni pojmovi,

klasifikacija i zbijanje tla

Tlo je nastalo fizikim i hemijskim raspadanjem stijena. Tlo se dijeli na krupnozrno i sitnozrno. Tip tla

se odreuje granulometrijskim sastavom i Atterberg-ovim granicama (iskljuivo za sitnozrnu

frakciju). Tlo se sastoji od vrstih estica izmeu kojih su pore. Pore mogu biti ispunjene vodom,

zrakom ili kombinacijom vode i zraka.

Karakteristike tla se u izvjesnoj mjeri mogu poboljati zbijanjem. Zbijanjem se povedava suha

zapreminska teina, postie veda vrstoda, te se smanjuju deformabilnosti i vodopropusnost.

100 Rijeenih ispitnih zadataka iz mehanike tla 2011

1

Zadatak 1 : Za idealizirani model tla prikazan na slici, izraunati koeficijent pora, poroznost, stepen

zasidenosti i vlanost, ako je s = 26,0 kN/m3 i w = 10,0 kN/m

3

Slika 1.1 : Idealizirani model tla sa naznakom zapremine pojedinih faza

Napomena : Definicije navedenih pojmova pokuati ne uiti napamet. Naime, koeficijent pora

predstavlja zapreminu pora pri zapremini vrstih estica jednakoj jedinici, dok poroznost predstavlja

zapreminu pora pri ukupnoj zapremini jednakoj jedinici. Dakle, oba pojma su mjera veliine pora. Na

drugoj strani stepen zasidenosti (ili saturacije) predstavlja stepen ispunjenosti pora vodom (pore

zasidene -> S = 100%, pore bez vode -> S = 0%). Posebno treba razlikovati pojam vlanosti koji

predstavlja odnos teine vode i teine vrstih estica, ime je definisana razlika istog od stepena

zasidenosti.

Pa je rjeenje :

0,12

2

a

a

V

Ve

s

v ; 5,04

2

a

a

V

Vn v

%0,501002

100a

a

V

VS

v

w

%23,19100262

10100

2100

a

a

a

a

G

Gw

s

w

s

w

Iz ega je jasno prikazana razlika izmeu vlanosti i stepena zasidenosti, uz napomenu da zasiden

uzorak ne mora imati vlanost od 100%, kao i da vlanost moe biti veda od 100% .

Zadatak 2 : Uzorak uzet iz sondane buotine ima sljedede karakteristike: e = 0,45; w(100%) = 17,0 %;

d = 18,0 kN/m3. Izraunati: poroznost, zapreminsku teinu potpuno zasidenog uzorka i specifinu

zapreminsku teinu.

Rjeenje:

Poroznost : 31,045,01

45,0

1 e

en

Zapreminska teina zasidenog uzorka : sat = d (1+w/100) = 18 (1+0,17) = 21,06 kN/m3

Specifina zapreminska teina : 3/09,26)31,01(

0,18

)1()1(mkN

nnV

G

VV

G

V

G ds

v

s

s

ss

Zadatak 3 : Poredati navedene zapreminske teine od najvede ka najmanjoj : sat, d, , , s .

Rjeenje : 1) s specifina zapreminska teina

2) sat zasidena zapreminska teina : S = 100%

a

a

2a vrste estice

Voda

Zrak

4a


2

3) zapreminska teina u prirodnom stanju koja podrazumjeva : 0 < S < 100%

4) d suha zapreminska teina S = 0 %

5) zapreminska teina u potopljenom stanju : = sat w

Zadatak 4 : Uzorak tla teine 1,5 N, od ega glinovita frakcija iznosi 0,34 N ima granicu teenja 60% i

granicu plastinosti od 26%. Izraunati aktivitet datog uzorka.

G = 1,5 N; G(C) = 0,34 N

Pa je teinski postotak glinovite frakcije : (0,34/1,5)100 = 22,67%

Ip = WL WP = 60 26 = 34%

5,167,22

34

)(.% teinskifrakcijeglin

IA

p

Napomena : Aktivitet se koristi kod odreivanja potencijala bubrenja glinovitog tla, pri emu vedi

aktitivtet znai vedi uticaj glinovite frakcije na osobine i posljedino vedi utjecaj na ponaanje

glinovitog materijala. (npr. montmorilonitske gline imaju aktivitet koji varira od oko 1,25 do 7,0, te su

znatno podlonije povedanju zapremine pri povedanju vlanosti nego kaolinitske gline koje imaju

aktivitet od oko 0,3 do 0,4).

Zadatak 5 : Na uzorku tla su izvreni testovi klasifikacije, a kao rezultat su dobijeni granulometrijska kriva i Atterberg-ove granice. Klasifikovati tlo prema UC klasifikaciji.

Slika 1.2 : Granulometrijska kriva

Atterberg-ove granice : Granica teenja : WL = 32, Granica plastinosti, WP =26

Korak 1: Odrediti postotak sitnih etica iz granulometrijske krive

% sitnih estica (% estica manjih od 75 m) = 11% - Iz ega slijedi da se radi o krupnozrnom

materijalu sa dvostukim simbolom

Korak 2: Odrediti % frakcija materijala (da se odredi, da li se radi o G ili S), i D10, D30, D60 iz

granulometrijske krive (da se odredi je li W dobro graduiran ili P-slabo graduiran)

D10 = 0.06 mm, D30 = 0.25 mm, D60 = 0.75 mm

Cu = 12.5, Cc = 1.38, iz ega slijedi oznaka W

Frakcije: ljunak (Gravel) 17%

0.0001 0.001 0.01 0.1 1 10 100 0

20

40

60

80

100

Otvor sita (mm)

% p

rola

ska


3

Pijesak (Sand) 73%

Prah i Glina (Silt and Clay) 10%

Od krupnozrne frakcije, oko 80% je pijesak, dakle slijedi oznaka S

Korak 3: Iz rezultata za odreivanje Atterberg-ovih granica locirajmo taku na karti plastinosti

WL = 32, PL = 26. Iz ega se izrauna Indeks plastinosti Ip = 32 - 26 = 6

Na karti plastinosti taka se nalazi ispod A-line, iz ega zakljuujemo da se radi o prahovitom

materijalu = M (od stare vedske rijei za prah Mo).

Korak 4 : Dvojni simboli su SW-SM

Korak 5 : Tekstualnim opisivanjem tla moe se zavrti postupak opisa tla

Zadatak 6 : Objasnti znaenje simbola: GW, CL, GH, CM-CS

Rjeenje:

GW dobro graduirani ljunak;

CL niskoplastina glina;

GH simbol nemogud u UC klasifikaciji (pojam plastinosti se vee samo za sitnozrne materijale);

CM-CH visokoplastina glina sa primjesama praha.

Zadatak 7 : Odrediti granicu teenja ako su na osnovu testa sa padajudim konusom na uzorku

glinovitog materijala dobijeni rezultati :

Penetracija konusa [mm] 16,1 17,6 19,3 21,3 22,6

Vlanost [%] 50,0 52,1 54,1 57,0 58,2

Tabela 1.1 : Rezultati testa sa padajuim konusom

Slika 1.3 : ema ureaja za ispitivanje granice teenja

Rezultati ispitivanja su prikazani dijagramom, gdje je naznaen i pravac koji se najbolje uklapa u

izmjerene vrijednosti :

55

,0 c

m

Metalna posuda 55 mm,

h = 40 mm

Konus : m = 80 gr.

Mjera dubine penetracije


4

Slika 1.4 : Zavisnost vlanosti (prirodna razmjera) i penetracije konusa (prirodna razmjera)

Granica teenja predstavlja vlanost kojoj odgovara penetracija od 20,0 mm i iznosi 55%

WL = 55,0 %

Napomena : Ovim testom se mjeri dubina penetracije konusa u periodu od 5 sekundi. Nakon

penetracije, u posudi ostaje konusni prostor koji je posljedica penetracije, kada se konus izvadi. Taj

prostor se popuni vlanim tlom i sa oidenim konusom se ponovi mjerenje. Ako je razlika izmeu ta

dva mjerenja manja od 0,5 mm, to mjerenje se smatra vaedim. Prosjena od te dvije vrijednosti se

uzima kao mjerodavna za tu vlanost i data je tabelarno u konkretnom zadatku. Ova procedura se ponavlja

barem 4 puta sa razliitim vlanostima, koje se biraju tako da penetracija varira od 15 do 25 mm.

Penetraciji od 20 mm odgovara granica teenja (WL).

Zadatak 8 : Na karti plastinosti definisane su linije U i A jednainama:

U . . . Ip = 0,90 (wL 8)

A . . . Ip = 0,73 (wL 20)

Odrediti granicu teenja wL za materijal kome je:

Ip = 20%

WP = 15%.

Rjeenje : Indeks plastinosti predstavlja koliinu vlage koju treba dodati sitnozrnom materijalu da

pree iz plastinog u teno stanje :

Ip = WL - WP = 20 => WL = Ip + Wp = 20 + 15 = 35%

Napomena : Zadati pravci (U i A linija) nisu potrebni za rjeavanje zadatka.

Zadatak 9 : Jedan uzorkiva za vaenje uzoraka ima koeficijent povrine 8%, a drugi 16%. Koji od ova

dva uzorkivaa je povoljnije izabrati i zato?

0

5

10

15

20

25

48 50 52 54 56 58 60

Pe

ne

trac

ija k

on

usa

[m

m]

Vlanost [%]


5

Rjeenje : Povoljniji je uzorkiva sa koeficijentom povrine od 8%, jer je stepen poremedenja obrnuto

proporcionalan ovom koeficijentu. Smatra se da je za neporemedene uzorke potrebno koristiti

uzorkivae sa koeficijentom povrine ispod 10%.

Zadatak 10 : Izraunati koeficijent povrine tankostijenog uzorkivaa, iji je vanjski prenik 6,0 cm, a

debljina stijenke 2,25 mm. Da li preporuujete upotrebu ovog uzorkivaa za dobijanje

neporemedenih uzoraka? Zato?

Vanjski dijametar : De = 6,0 cm = 60,0 mm

Debljina stijenke = 2,25 mm

Unutranji dijametar : : Di = (60,0 2,25) mm = 55,5 mm

Koeficijent povrine : %88,165,55

5,55602

22

2

22

i

ier

D

DDA

Poto je koeficijent povrine vedi od 10%, uzorkiva nije preporuljiv za uzorkovanje neporemedenih

uzoraka. Dakle, stepen poremedenja nede biti zanemarljiv.

Zadatak 11 : Izabrati mehanizaciju za zbijanje a) krupnozrnog i b) sitnozrnog materijala, i preporuiti

nain kontrole ostvarene zbijenosti.

a) Krupnozrni materijali se obino zbija glatkim valjcima sa i bez vibracije, a kontrola ostvarene

zbijenosti se najuspjenije kontrolie nuklearnim denzitometrom.

b) Sitnozrni materijali se obino zbijaju valjcima sa izboinama, a kontrola ostvarene zbijenosti

se takoer moe vriti nukelarnim denzitometrom. Neto uspjenije, nego li kod granuliranih

materijala, moe se primijeniti Proctor-ov test, jer ne moe dodi do izmjene

granulometrijskog sastava usljed dinamikog udara malja pri zbijanju u laboratoriji.

Zadatak 12 : Metodom kalibriranog pijeska na terenu, dobivena je vrijednost d, in-situ = 15,5 kN/m3 .

Proctor-ovim testom dobivena je kriva sa slike. Da li je tlo dovoljno zbijeno?

Slika 1.5 : Proctor-ova kriva

14

15

16

17

18

19

20

5 7 9 11 13 15

vlaga [%]

d, max [kN/m3]


6

Sa slike se moe oitati da je maksimalna suha zapreminska teina jednaka 19,0 kN/m3. Relativna

zbijenost predstavlja odnos suhe zapreminske teine izmjerene nakon zbijanja na terenu ( d, in-situ) i

maksimalne suhe zapreminske teine :

%0,821009,18

5,15

max,,

,

labd

insitudR < 95 %

Iz ega se zakljuuje da tlo nije dovoljno zbijeno.

Zadatak 13 : Standardni penetracioni broj dobiven SPT testom u potopljenom pjeskovitom tlu je

iznosio 45 na dubini od 6,5 metara. Prosjena efektivna zapreminska teina tla iznosi 9,69 kN/m3.

Ostali poznati podaci su : a) efikasnost malja 0,8; b) korekcioni faktor za duinu buade ipke 0,9; c)

korekcioni faktor za prenik buotine 1,05. Koriten je uzorkiva bez dvostruke jezgre (kouljice).

Odrediti korigovani standardni penetracioni broj prema standardnoj energiji od 60%, tzv N60. Na

osnovu izraunate korigovane vrijednosti SPT broja, odrediti ugao unutraenjg trenja ispitanog

pijeska.

Rjeenje : N60 = CN N Eh Cd Cs Cb

Gdje je : CN fakotr korekcije zbog nadpritiska : 233,176,95'

0pCN

p0' = vertikalni efektivni napon na mjestu mjerenja broja udaraca = 9,68 6,5 = 63,0 kN/m2

N izmjerena SPT vrijendost za 30 cm prodiranja = 45

N60 = CN N Eh Cd Cs Cb = 1,233 45 0,8 0,9 1,05=42

Napomena : Navedeni korekcioni faktori dati su u svakoj standardnoj literatuti veznoj za mehaniku

tla i ovdje nede biti posebno priloeni

Brojni su autori predloili razliite korelacije za odreivanje ugla unutraenjg trenja, prvenstveno

granularnih materijala, na osnovu SPT broja. U nastavku je primjenjena ona od Peck, Hanson,

Thornburn (19874) i Wolff (1989), koji su predloili izraz za proraun ugla unutranjeg trenja na

osnovu SPT broja N60. Konkretno izraunatom broju N60 = 42, odgovara veliina ugla unutranjeg

trenja prema izrazu :

7,396,121,273,01,27' 60N

1.2 Princip efektivnih

napona i teenje vode u tlu

Princip efektivnih napona je fundamentalni princip mehanike tla. Pritisci vode u tlu mogu biti

pozitivni i negativni. Pozitivni pritisci smanjuju efektivni napon, dok negativni porni pritisci tlu daju

prividnu koheziju, povedavajudi efektivni napon.

Krupnozna tla karakterie znatno veda propusnost nego sitnozrna. Vodopropusnost se odreuje

laboratorijskim i terensklim testovima, kao i empirijskim korelacijama, a izraava se u jedinici brzine.

100 Rijeenih ispitnih zadataka iz mehanike tla

Zadatak 14 : Na slici je prikazana strujna mrea oko zatitne konstrukcije od elinih talpi u

vodopropusnom sloju. Odrediti :

a) Koliko visoko (iznad nivoa terena) de se podidi voda u pijezometrima ako su oni postavljeni u

takama a, b, c, i d

b) Protok kroz kanal II po jedinici irine (okomito na prikazani popreni presjek)

c) Ukupni protok kroz vodopropusni sloj po jedinici irine

d) da li de se voda procjeivati bre ili sporije ako je razlika potencijala veda ili ako je manja

Slika 1.6 : Strujna mrea oko zatitne konstrukcije od elinih talpi u vodopropusnom sloju

Rjeenje :

a) Na osnovu konstruisane strujne mree prikazane na slici, vidi da je broj strujnih kanala Nf = 3

i da je broj padova potencijala Nd = 6. Ukupni pad potencijala od uzvodne ka nizvodnoj strani

iznosi 3,3 metra, pa je pad potencijala izmeu pojedinih ekvipotencijalnih linija jednak

3,3/Nd, tj. jednak je 0,55 metara. Taka a, locirana je na ekvipotencijalnoj liniji broj 1, to

znai da je pad potencijala do te linije jednak 0,55x1, te da de se nivo vode u pijezometru

postavljenom na ekvipotencijalnoj liniji 1 dostidi visinu od (5,0 0,55x1) = 4,55 metara iznad

nivoa terena. Analogno, za druge traene take, moemo napisati :

b = (5,0 0,55x2) = 3,9 m

c = (5,0 0,55x5) = 2,25 m

d = (5,0 0,55x5) = 2,25 m

b) Prema izrazu za protok kroz jedan strujni kanal, moe se izraunati protok kroz jedan kanal :

'/sec

1075,255,01056

3,3105

3555 mm

N

Hkq

d

gdje je k zadati koeficijent vodopropusnosti i iznosi : 510-3 cm/sec = 510-5 m/sec

d

b

a

6 c

Nivo terena

III II

I

5 4 3 2 1

1,7 m

eline talpe zatitna konstrukcija

Vodonepropusni sloj

5,0 m

kx = kx = k= 510-3

cm/sec 10,0 m


c) Ukupni protok jednak je protoku kroz jedan kanal pomnoenom sa ukupnim brojem kanala

konstruisane mree teenja tj.

'/sec

1025,8355,01053

55 mm

N

NHkq

d

f

d) Naravno, voda se procjeuje bre za sluaj vede razlike potencijala, jer je brzina (Darcy-jeva)

jednaka proizvodu koeficijenta vodopropusnosti, koji je u ovom sluaju konstantan, i

hidraulikog gradijenta u ijoj se definiciji razlika potencijala nalazi u brojniku

Zadatak 15 : Mrea teenja se moe primijeniti za proraun uzgona na bazu hidraulike konstrukcije.

Primijeniti, na slici nacrtanu, mreu teenja u proraunu uzgona na dno gravitacione brane.

Pretpostaviti da je kx = ky = k.

Slika 1.7 : Strujna mrea ispod gravitacione brane

Sa skice strujne mree je vidljivo da postoji 7 padova potencijala (Nd), a kako je ukupni pad

potencijala izmeu uzvodne i nizvodne strane 7,0 m, slijedi da je pad potencijala izmeu pojedinih

ekvipotencijalnih linija jednak 7,0 m/7 = 1,0 metar. Na osnovu potencijala u pojedinim takama ispod

brane moe se izraunati uzgon prema :

a ( lijevi ugao brane) = (Ukupni pritisak u a)x(w) = [(7,0 + 2,0) 1,0] w = 8 w

Slino i za ostale take : b = [9,0-(2)(1)] w = 7w

te konano za taku f ( desni rub brane) : f = [9,0-(6)(1)] w = 3w

Pritisak izdizanja je prikazan na slici ispod za sve karakteristine take ispod brane. Ukupna sila

uzgona po jedinici irine, moe se izraziti kao povrina datog dijagrama.

Slika 1.8 : Uzgon na dno gravitacione brane

6,0 m

Vodonepropusni sloj

2,0 m

10,0 m

7,0 m

d f e c b a

14,0 m

3 w 4 w 5 w 6 w

7 w 8 w

a d c e b f

14,0 m

[kN/m2]


Zadatak 16 : Duboki iskop je izveden u sloju krute niskopropusne gline ija je zasidena zapreminska

teina jednaka 18,46 kN/m3. Kada je dubina iskopa dostigla 8,0 metara, dolo je do hidraulikog

sloma dna iskopa, koji se ogleda u prodiranju pijeska i vode. Naknadni istrani radovi pokazali da se

ispod sloja gline nalazi sloj pijeska i to na dubini od 12,5 metara. Do koje visine iznad sloja pijeska bi

se podigla voda u buotini prije poetka izvoenja iskopa?

Slika 1.9 : Dimenzije iskopa i profil tla

Rjeenje : Sa napredovanjem iskopa, kao posljedica rasteredenja, opada efektivni napon na povrini

sloja pijeska. Porni pritisak (neutralni napon) u pijesku, ostaje konstantan. Hidrauliki slom dna iskopa

se deava kada efektivni napon na povrini sloja pijeska padne na nulu:

0' wsat hz

satw zh

mz

hw

sat 55,881,9

64,18)85,12(

Dakle, voda bi se podigla do visine od 8,55 metara iznad sloja pijeska pod utjeca pornog pritiska prije

iskopa.

Napomena : Kako se radi o jako slabopropusnom materijalu gline, nije logino razmatrati ravnoteu

sa uzimanjem u obzir uticaja procjeivanja vode na naponsko stanje. Dakle, razmatra se kratkotrajno

stanje u kojem se i deava izdizanje neposredno nakon iskopa do dubine od 8,0 metara.

Zadatak 17 : Izraunati vrijednosti i nacrtati dijagram totalnog, efektivnog napona i pornog

pritiska za profil tla prikazan na slici.

Slika 1.10 : Profil tla

h=?

z

12,5 m

ISKOP

Glina

8,0 m

Pijesak

NPV

CH : d = 17,0 kN/m3; sat = 21,84 kN/m

3

S = 100%

1,5 m zona kapilarnog penjanja

4,0 m

5,0 m SM : sat = 21,0 kN/m3


Napon Dubina [m]

Totalni napon [] Porni pritisak [u] Efektivni napon ['= -u]

0,0 0,0 0,0 0,0

2,5gore 2,517,0 = 42,5 0,0 42,5

2,5dole 2,517,0 = 42,5 -1,59,81=-14,715 57,215

4,0 42,5 + 1,521,84=75,26 0,0 75,26

9,0 75,26+21,05=180,26 5,09,81=49,05 131,21 Tabela 1.2 : Izraunate vrijednosti napona po karakteristinim dubinama

Na osnovu vrijednosti izraunatih i prikazanih tabelom, moe se nacrtati i traeni dijagram promjene

napona sa dubinom :

Slika 1.11 : vertikalni naponi i porni pritisak

Zadatak 18 : U sloju homogenog tla nivo podzemne vode je odreen na dubini od 2,0 m ispod

povrine terena. Visina kapilarnog penjanja je 0,50 m, a zapreminska teina tla u zoni kapilarnog

penjanja je 17,5 kN/m3. Zapreminska teina suhog tla je 16,60 kN/m3, a zapreminska teina tla ispod

nivoa podzemne vode 19,40 kN/m3.

Odrediti porni pritisak na dubini od 2,0 metra ispod povrine terena, prije i nakon kapilarnog

penjanja.

Porni pritisak jednak je nuli na nivou podzemne vode, kapilarno penjanje ne utie na promjenu

pornog pritiska na nivou gdje se formira slobodni nivo vode. Dakle, na dubini od -2,0 metra, porni

pritisak jednak je nuli i prije i nakon kapilarnog izdizanja :

u = 0

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

-40 -20 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Totalni napon

Porni pritisak

Efektivni napon


Zadatak 19 : Izraunati totalni i efektivni vertikalni napon, te porni pritisak u taki A iskopa sa slike.

Geometerijske i geotehnike karakteristike su prikazane na slici

Slika 1.12 : Geometrija iskopa

Totalni napon ( ) jednak je pornom pritisku (u) koji iznosi : 9,0 w = 9,0 10,0 = 90,0 kPa

Efektivni napon jednak je nuli prema principu efektivnih napona : ' = - u

Zadatak 20 : Izraunati potrebnu debljinu filter sloja kojeg treba postaviti na dno iskopa sa slike s

ciljem da se ostvari faktor sigurnosti od 3,0 protiv hidraulikog sloma dna koji se oituje u prodiranju

materijala i vode u iskop. Izabrani filter materijal zadovoljava uslove granulacije koji su takvi da je

filter dovoljno upakovan da onemogudava prodiranje estica materijala ispod filtera, a na drugoj

strani dovoljno propustan da prua minimalan otpor procjeivanju vode kroz njega. Prosjeni

hidrauliki gradijent u zoni vertikalnog isticanja iznosi 0,6. Zapreminska teina prirodnog materijala u

saturiranom stanju iznosi 21,0 kN/m3, a filter materijala 23,0 kN/m3.

Slika 1.13 : Zatitna konstrukcija sa naznakom zone izdizanja

Faktor sigurnosti prije postavljanja filter materijala iznosi :

3833,16

0,11

0,106,0

0,100,21'

w

wsat

w iiFS

A

3,0 m 12,0 m

9,0 m Iskop pod

vodom

sat =21,0 kN/m3

= 29

c = 30 kPa

DF = ?

D = 3,0 m

H = 6,0

m

D/2=1,5 m

zona izdizanja


Nakon postavljanja filter sloja, zona izdizanja je oteana pa u izraz za faktor sigurnosti ulaze veliine

prikazane slikom ispod :

wprosj

FF

wprosj

FFF

i

D

D

iD

DDD

U

WWFS

'

2

'2'

'

2

12

1'

2

1

'

Slika 1.14 : Faktor sigurnosti nakon ugradnje filtera

Iz uslova da je zahtjevani faktor sigurnosti jednak 3,0 moe se izraunati potrebna debiljina filter sloja

da se isti postigne :

0,3

' '

wprosj

FF

i

D

D

mDi

D

i

D

D

iD

D

F

wprosj

F

F

wprosjF

wprosjFF

615,10,313

11106,00,3'0,3

'0,3

0,3'

'

'

'

USVOJENO : DF = 1,65 metara

Napomena : Veoma je vano pravilno izabrati filter materijal. Terzaghi i Peck (1948.) su predloili

kriterij koji uzima u obzir granulometrijski sastav prirodnog materijala pri odabiru granulometrije

filter materijala :

1) 4)(85

)(15

B

F

D

D

2) 4)(15

)(15

B

F

D

D

gdje su D15(F) i D15(B) otvori sita kojima odgovara 15% prolaska materijala filtera i prirodnog materijala

respektivno, dok je analogno D85(B), otvor sita kojem odgovara 85% prolaska prirodnog materijala .

Prirodni materijal je onaj iji se hidrauliki slom sprjeava ugrandnjom filter materijala.

D = 3,0 m

D/2=1,5 m

W'F

W'

U

DF


Zadatak 21 : Izraunati efektivni napon na dubini od 2,0 metra ispod dna jezera (taka A) u

zasidenom sloju gline prije i nakon podizanja nivoa vode u jezeru sa 4,0 metara na 6,0 metara.

Zasidena zapreminska teina gline je 20,0 kN/m3

Slika 1.15 : Geometrija sa naznakm nivoa vode u jezeru prije i nakon podizanja nivoa vode

Rjeenje : Efektivni napon se rauna kao razlika totalnog napona i pornog pritiska prema Terzaghi-

jevom principu efektivnih napona.

kPasatwprijeA 0,800,20,200,100,40,20,4, - totalni napon prije podizanja nivoa

kPawprijeAprijeA 0,200,600,800,6,'

, - efektivni napon prije podizanja nivoa

kPasatwnakonA 0,1000,20,200,100,60,20,6, - totalni napon nakon podizanja

nivoa

kPawnakonAnakonA 0,200,800,1000,8,'

, - efektivni napon nakon podizanja nivoa

Dakle, usljed porasta nivoa vode u jezeru iznad zasidenog sloja, totalni napon raste za istu veliinu

kao i porni pritisak, pa efektivni napon ostaje konstantan.

Zadatak 22 : Na neporemedenom uzorku je izven test sa konstantnim nivoom, s ciljem da se odredi

koeficijent vodopropusnosti (Darcy-jev koeficijent). Rezultati su prikazani tabelom :

Trajanje testa 4 min

Koliina prikupljene vode 0,300 l

Razlika nivoa 50 mm

Duina uzorka 100 mm

Prenik uzorka 100 mm Tabela 1.3 : Prikaz rezultata testa

Rjeenje :

Osnovni princip ovog testa se zasniva na injenici da je prikupljena koliina vode jednaka vodi koja

proe kroz uzorak u posmatranom vremenu : A k i t = Q

Povrina uzorka : 22

78544

100mmA

sec/102,3sec/318,0

604100

507854

300000

100

502 cmmm

tA

Q

tiA

Qk

2,0 m

2,0 m

4,0 m

A

sat = 20,0 kN/m3


Zadatak 23 : Na neporemedenom uzorku je izven test sa opadajudim nivoom, s ciljem da se odredi

koeficijent vodopropusnosti (Darcy-jev koeficijent). Rezultati su prikazani tabelom :

Poetni nivo vode u cjevici

1500 mm

Krajnji nivo vode u cjevici 605 mm

Trajanje testa 281 s

Duina uzorka 150 mm

Prenik uzorka 100 mm

Prenik cjevice 5 mm Tabela 1.4 : Prikaz rezultata testa

Rjeenje :

Povrina cjevice : 22

67,194

5mma

Povrina uzorka : 22

78544

100mmA

3945,048,2loglog 102

110h

h

Osnovni princip testa sa opadajudim nivoom jeste da protok vode kroz cjevicu mora biti jednak vodi

protoku kroz uzorak, i iz tog uslova se izvodi poznati izraz za koeficijent vodopropusnosti :

sec/102,1sec/1021,12817854

3945,015067,193,2 43 cmmmk

Napomena : Test sa opadajuim nivom se uspjenije primjenjuje za sitnozrne materijale, jer u sluaju

primjene testa sa konstantnim nivoom treba ekati dug vremenski period da voda protee kroz

uzorak pa moe dodi do isparavanja dijela vode iz posude u kojoj se odrava konstantan nivo, pa je

teko ocjeniti koji dio vode je proao kroz uzorak a koji je evaporirao. Na drugoj strani, primjena

ovog testa za granularne materijale zahtjeva oitanja veoma kratkog, praktino neizmjerivog

vremena, pa se za krupnozrne materijale najede primjenjuje test sa konstantnim nivoom.

1.3 Naponi u tlu od

povrinskog opteredenja

Naponi u tlu izazvani povrinskim opteredenjem opadaju sa dubinom ispod opteredenja, dok za

proizvoljni poloaj pored opteredenja najprije rastu od nulte vrijednosti na povrini, a zatim ponovo

opadaju sa dubinom.

Rjeenja koja daje teorija elastinosti mogu se relativno uspjeno primijeniti u procjeni veliine

naprezanja u tlu usljed povrinskog opteredenja.


Zadatak 24 : Koristedi Boussinesq-ov dijagram, izraunati napone od povrinskog opteredenja (dubine

1,0; 2,0; 5,0 i 10,0 metara) ispod centra temeljne trake irine 2,0 metra, na koju je oslonjen zid

optereden sa linijskim opteredenjem q = 200kN/m'. Zanemariti sopstvenu teinu temeljne trake, a

kontaktni napon smatrati ravnomjerno raspodijeljenjim .

Slika 1.16 : Temeljna traka dimenzije i opteredenje

Rjeenje : Dubina na Boussinesqovom dijagramu prikazana preko irine B za traene dubine iznosi :

0,5B = 1,0 m

1B = 2,0 m

2,5B = 5,0 m

5B = 10,0 m

Trae se naponi ispod centra opteredene trake, ta je mjerodavna izobara na presjeku vertikalne linije

ispod centra trake i navedenih dubina, pa su oitane vrijednosti sa dijagrama /0 = 0,77; 0,5; 0,2 i

0,07, respektivno.

z=1,0 m = 0,77100,0 = 77,0 kPa

z=2,0 m = 0,55100,0 = 55,0 kPa

z=5,0 m = 0,20100,0 = 20,0 kPa

z=10,0 m = 0,07100,0 = 7,0 kPa

Slika 1.17 : Princip oitavanja sa dijagrama

Zadatak 25 : Priblinom metodom izraunati napone od povrinskog opteredenja ispod take A, na

dubini od 1,0 metar. Opteredenje je ravnomjerno raspodijeljeno i kvadratnog oblika, intenziteta 200

kPa, dimenzija prema slici.

Slika 1.18 : Dimenzije povrinskog opteredenja i poloaj take A

0 = 200/2,0 m = 100,0 kPa

z

q = 200 kN/m'

2,0 m

q=200 kPa

2,0 m

2,0 m

A

1,5 m


Povrinsko opteredenje definisano slikom ne izaziva promjenu napona u taki A, koja se nalazi na

dubini od 1,0 metar :

= 0

Zadatak 26 : Priblinom metodom izraunati na kojoj dubini de napon od povrinskog opteredenja

iznositi 10,0 kPa. Opteredenje na povrini je ravnomjerno raspodijeljeno i kvadratnog oblika,

intenziteta 100 kPa, dimenzija prema slici.

Slika 1.19 : Dimenzije povrinskog opteredenja i princip pribline metode

Prema pravilu pribline metode napon na dubini z rauna se prema izrazu :

0,1044

0,400

)2()2(

0,40,100

)2()2(

0,20,20,100

2

00

zzzzzzA

A

z

zz

Pa je : 0,40442 zz

03642 zz

32,622

36141642,1z

32,41z m

Negativno rjeenje odbacujemo kao fiziki nemogude.

Zadatak 27 : Priblinom (2:1) metodom odrediti vertikalne napone na dubini od 3,0 m ispod taaka A,

B i C usljed djelovanja ravnomjerno raspodijeljenog opteredenja na povrini tla! Opteredenje je L

oblika (slika), a iznosi 125,0 kPa.

Slika 1.20 : Oblik opteredenja u tlocrtu sa poloajem taaka ispod kojih se trae dodatni naponi

A A 2,0 m

q=100 kPa

2,0 m

z=? 10,0 kPa

100,0 kPa

2:1

presjek A-A :

q0 = 125,0

kPa

4,0 m

1,0 m

3,0 m

2,0 m 2,0 m

A

B

C


Priblina metoda (2:1) podrazumijeva konstantne napone na jednoj dubini i to koristedi princip da se

naponi od nadopteredenja smanjuju sa dubinom za procenat koji je definisan odnosom povrine

opteredenja na povrini (z=0,0,m) i povrine opteredenja na traenoj dubini (z = z), pri emu se

povrina povedava sa nagibom 2:1. Dakle, za konkretan primjer naponi na dubini z = 3,0 metra de biti

jednaki u svim traenim takama (A, B, C).

75,4340

140,125

0,50,10,50,7

0,30,20,40,20,125

0,3

00),,(0,3

z

zCBAz

A

Aq kPa

Zadatak 28 : Stopa A je temeljna stopa postojedeg objekta. Neposredno uz postojedi objekat

izvedena je temeljna stopa novog objekta koja je opteredena koncentrinom silom od 500 kPa.

Koristedi Boussinesq-ov dijagram izraunati napone ispod centra kvadratne stope A usljed

opteredenja na kvadratnoj stopi B. Zanemariti sopstvenu teinu temeljnih stopa, a kontaktni napon

smatrati ravnomjerno raspodijeljenjim .

Slika 1.21 : ema i dimenzije konstrukcije

Opteredenje koncentrisanom silom na stopi B, optereduje tlo povrinskim opteredenjem intenziteta :

22,2225,15,1

0,5000q kPa

Prema Boussinesq-ovom dijagramu, na udaljenosti od 1B od sredine stope B, javljaju se dodatni

naponi na dubini 0,5B ispod nivoa stope B (odnosno 3,25 metara ispod nivoa stope A), i to intenziteta

0,05222,22 = 11,11 kPa.

Na dubini 0,8 B ispod stope B (1,125 m), naponi rastu na 0,1222,22 = 22,2 kPa, a maksimum dostiu

na dubini od 1B (1,5 metara ispod nivoa stope B) i to sa intenzitetom 0,105222,22 = 23,33 kPa. Dalje,

z 500,0 kN

Optereenje postojeeg

objekta

1,5 m

2,5 m

Stopa A

Stopa B

1,5 m

1,5 m


sa dubinom naponi opadaju, a na dubini od 1,325B (tj dubini od 4,5 m ispod nivoa stope B) i iznose

0,05222,22 = 11,11 kPa. Konano, na dubini od 2,65B (dubini od 6,48 m ispod nivoa stope B), naponi

opadaju na vrijdnst 0,05222,22 = 11,11 kPa.

Princip oitavanja vrijednosti sa dijagrama prikazan je na slici ispod.

Slika 1.22 : Nain oitanja sa Boussinesq-ovog dijagrama

Zadatak 29 : ta je kontaktni pritisak i objasniti zato kontaktni pritisak ispod krute temeljene stope

nije isti za nekoherentna i koherentna tla.

Rjeenje : Kontaktni pritisak je stvarni pritisk koji se prenosi sa temelja na tlo. U svim zadacima je

usvojena pretpostavka da je taj pritisak konstantan po povrini stope, meutim, to nije sasvim realno

kod stvarnih konstrukcija. Zapravo, to je pretpostavka koja vai kada je temeljna konstrukcija

fleksibilna (tanki film minimalne debljine). Na drugoj strani, raspodjela kontaktnog napona kod krute

stope (stopa koja se slijee uniformno po svojoj povrini) je uslovljena vrstom tla na koju je oslonjena

stopa. U svakom sluaju, sreda je da ravntea sila mora biti zadovoljena pa vrijedi Y = 0.

Upravo ovaj uslov da slijeganja moraju biti konstantna po povrini stope iskoriten je da se,

posmatrajudi tlo kao elastian poluprostor, pokae da naponi tee u beskonanost na rubovima i

naglo opadaju ka taki ispod sredine temeljne stope. Kako tlo nije elastian materijal, oito de dodi do

plastifikacije na mjestima gdje se dostigne kritina kombinacija normalnog i smiudeg naprezanja i u

tim takama prestaje prirastati napon. Karakteristine raspodjele kontaktnog napona za sluaj

koherentnog i granularnog tla, prikazane su na slici.

v

11,1

22,2

23,3

22,2

11,1


a) Koherentno tlo (glina, prah) b) Granularno tlo (pijesak, ljunak)

Slika 1.23 : Kontaktni napon ispod krute temeljne stope

Nekoherentni materijal nema vrstodu kada nema vertikalnog naprezanja, a na rubovima ga nema,

jer je rubna taka opteredena samo atmosferskim pritiskom ako je stopa na povrini kao na slici (ako

je stopa ukopana onda postoji stepen otpora smicanju na rubu i kod granularnog materijala, pa

kontaktni naponi posataju uniformniji po povrini). Na drugoj strani, koherentni materijali imaju

koheziju (imaju smiudi otpor pri normalnom naprezanju jednakom nuli), pa mogu primiti odreeni

stepen smiudeg naprezanja prije plastifikacije i kada je normalno naprezanje jednako nuli.

Ipak, stvarne temeljne konstrukcije nisu ni fleksibilne ni krute, pa kontaktni pritisak zavisi od krutosti

temeljene stope (pored vrste tla, krutosti cijele nadkonstrukcije i raspodjele opteredenja na stopi).

Tako kod dimenzioniranja temeljnih stopa, a i svih ostalih temeljnih konstrukcija valja uzeti u obzir

tlo, temeljenu konstrukciju i nadkonstrukciju kao jednu cjelinu i tako, na ispravan nain, odrediti

uticaje u elementima temeljene i nadkonstrukcije.

Zadatak 30 : Priblinom metodom odrediti, na kojoj dubini ispod taaka A i B usljed djelovanja

ravnomjerno raspodijeljenog opteredenja (q0) na povrini tla de naponi iznositi 20,0 kPa! Opteredenje

na povrini je konstantno, krunog oblika, a iznosi 120,0 kPa.

Prema priblinoj metodi, naponi na jednoj dubini su konstantni, pa je

svejedno da li demo posmatrati taku A ili B. Promjena napona sa

dubinom moe se prikazati izrazom (uz koritenja zadatog uslova da

je napon na nepozantoj dubini jednak 20,0 kPa) :

kPazzzA

A

zz

z

Zz 0,2096

9120

4

)3(

4

3

12022

2

0

0

Slika 1.24 : Geometrija problema

04562 zz

35,732

1803662,1z

Odbacivanjem negativne vrijednosti kao nerealne, dobije se traena dubina :

35,41z m

3,0 m

A

B

z/2


Zadatak 31 : Priblinom (2:1) metodom odrediti vertikalni napon na dubini od 2,0 metra ispod

temeljen trake irine 1,5 metara koja optereduje tlo povrinskim, ravnomjerno raspodijeljenim

opteredenjem od 100 kPa.

Slika 1.25 : Geometrija temeljne trake u presjeku

Kako se radi o temeljnoj traci, kod koje je duina znatno veda od irine, moe se redi da je odnos

irine na povrini i irine povedane za dubinu (pravilo pribline metode, 2:1) jednako odnosu

povrina, pa je izraz za napone od nadopteredenja ispod temeljene trake opdenito jednak :

zB

B

B

B

zz

z

z 0

0

0

Gdje je B irina trake,

z dubina na kojoj raunamo dodatne napone od nadopteredenja

Pa je za konkretan zadatak napon na dubini od 2,0 metra jednak :

86,425,3

5,10,100

0,25,1

5,10,1000,2z

Slika 1.26 : Pravilo 2:1 temeljna traka

Zadatak 32 : Naponi od povrinskog trakastog opteredenja proraunati su programskim paketom

Plaxis 2D. Tlo je modelirno kao linearni elastini kontinuum sa modulom elastinosti od 20 000 kPa i

Poisson-ovim koeficijentom od 0,3. Opteredenje je intenziteta 200 kPa, a traka je irine 2,0 metra.

Dati kritiki osvrt na dobijeno rjeenje.

Slika 1.27 : a) 3D prikaz znaenja modela ravnog stanja deformacija; b) Plaxis model ravnog stanja

deformacija

B = 1,5 m

0 = 100,0 kPa

B+z

z

z/2

Povrinsko opteredenje

z

standard fixities

distributed load (A ili B)

Linearni ealstini

kontinuum (E i )

a) b)


U nastavku su prikazani rezultati prorauna :

Slika 1.28 : Rezultati slika vertikalnih (yy) napona ( kruka napona ), te naznaka razmatranih presjeka

Slika 1.29 : vertikalni naponi : a) promjena vertikalnih napona po dubini ( presjka A-

A*); b) vertikalni naponi neposredno ispod trakastog opteredenja (presjka B-B*); c) vertikalni

naponi na dubini od 2,0 metra ispod trakastog opteredenja (presjka C-C*)

B B*

C C*

A

A*

200,0 kPa

200,0 kPa

100,0 kPa

a)

b)

c)


Komentar rezultata : Naponi naglo opadaju sa dubinom. Raspodjela napona po irini trake je

neravnomjerna, oni su maksimalni ispod sredine trakastog opteredenja, a smanjuju se prema rubu.

Naponi na povrini su jednaki nanesenom povrinskom opteredenju (0 = 200,0 kPa). Povrinsko

opteredenje prouzrokuje pojavu napona ne samo ispod opteredenja nego i sa strana (kruka

napona).

Zadatak 33 : Objasniti pristup proraunu napona od povrinskog opteredenja ispod kvadratne

temeljne stope primjenom programskog paketa Plaxis 2D. Koristiti se primjerom stope stranice 2,0

metra.

Rjeenje : U ovu svrhu se primjenjuje osnosimetrini model, pri emu se prenik zamjenjujude krune

stope odreuje iz uslova jednakih povrina kruga i kvadrata.

Slika 1.30 : a) 3D prikaz znaenja osnosimetrinog modela; b) Plaxis osnosimetrini model

Za sluaj kvadratne temeljne stope stranice a=2,0 metra slijedi :

krugakvadrata AA

4

22 da => 2

22 274,1

4a

ad

d = 1,13a => d/2 = 0,565a

Dakle, u sluaju modeliranja opteredenja kvadratnog oblika, moe se primjeniti osnosimetrini model

sa modeliranjem jedne polovine problema, pri emu je poluprenik odreen na opisani nain.

Osa simetrije

a)

b)

d/2

Slika 1.31 : Akvadrata i Akruga

1.4 vrstoda tla

Glavna komponenta smiude vrstode tla potie od komponente trenja izmeu zrna. Smiuda

vrstoda tla je esto nelinearna funkcija efektivnih napona i sloena funkcija mineralokog sastava,

veliine, oblika i vrstode zrna, zbijenosti, uslova deformisanja, nivoa napona, kao i drugih

promjenljivih.

Sitnozrna tla imaju manju dreniranu smiudu vrstodu od krupnoznog tla pri jednakom nivou

normalnog naprezanja.

Nedrenirana smiuda vrstoda, je karakteristina za sitnozrna, vodom zasidena tla, kada se

opteredenje nanosi relativno brzo u odnosu na mogudnost disipacije pornih pritisaka, tako da se slom

deava pri konstantnoj zapremini.


Zadatak 34 : ta predstavljaju navedene formule, i prikazati njihovu grafiku interpretaciju

2cos22

sincos 3131232

1

2sin2

cossin)( 3131

Rjeenje : Navedene jednaine predstavljaju naponsko stanje u zamiljenoj taki, a kada se iz njih

eliminie ugao , rezultuju jednainom krunice koja se prema njenom autoru naziva Mohr-ov krug.

Tako, za poznate veliine glavnih napona (1, 3), navedenim jednainama se definiu naponi (jedna

taka na Mohr-ovom krugu slika : taka A) koji djeluju na ravan ija normala zaklapa ugao sa

pravcem maksimalnog glavnog napona (1), to je detaljnije prikazano grafikom interpretacijom :

Slika 1.32 : Opis napona Mohr-ovim krugom

Napomena : Koritenjem navedenih izraza moe se rijeti i obrnut zadatak, tj. za poznate veliine

normalnog i smiudeg naprezanja za bilo koje dvije ravni, mogu se izraunati glavni naponi. Ipak,

veoma esto je poeljno na jednom dijagramu opisati vie naponskih stanja u razliitim takama

mase tla ili uzastopnu promjenu naponskog stanja u nekom posmatranom elementu tla. Tada je

prikaz Mohr-ovim krugom nepregledan. Umjesto toga, pogodnije je koristiti opis naponskom takom

koju je definisao Lambe (1964), na takav nain da je :

2

31 s ; 2

31 t

Zadatak 35 : Tanki sloj praha uoen je istranim radovima na dubini od 18,0 metara ispod povrine

terena. Tlo iznad ovog sloja ima prosjenu suhu zapreminsku teinu od 15,3 kN/m3 i prosjenu

vlanost od 36,0 %. Nivo podzemne vode je na samoj povrini terena. Provedena laboratorijska

ispitivanja na neporemedenim uzorcima su dala sljedede parametre vrstode na smicanje :

cu = 45,0 kPa; u = 18; c' = 35 kPa; ' = 27

Odrediti smiudi otpor tankog sloja praha na horizontalnoj ravni, u sluaju da (a) smiudi napon raste

veoma brzo i (b) smiudi napon raste veoma sporo.

Pravac 1

Pra

vac

3

1

3

21

3

A( , )

(1+ 3)/2

(1-

3)/

2


Slika 1.33 : Profil tla

Zapreminska teina u zasidenom stanju : sat = d(1+w) = 15,3(1+0,36) = 20,81 kN/m3

Zapreminska teina u potopljenom stanju : ' = sat w = 20,81 9,81 = 11,0 kN/m3

Totalni vertiklani napon na dubini od 18,0 metara : = 20,8118,0 = 374,58 kPa

Efektivni vertiklani napon na dubini od 18,0 metara : ' = 11,018,0 = 198,0 kPa

(a) Za sluaj naglog prirasta opteredenja na smicanje, mjerodavni su parametri za nedrenirano

stanje i totalni naponi, te je smiudi otpor jednak :

f = cu+tgu = 45,0+374,58tg18 = 166,74 kPa

(b) Za sluaj sporog prirasta opteredenja na smicanje, mjerodavni su parametri za drenirano

stanje i efektivni naponi, te je smiudi otpor jednak :

f = c'+'tg' = 36,0+198,0tg27 = 136,89 kPa

Zadatak 36 : Uzorak normalno konsolidirane gline ( = 28), je konsolidiran pod delijskim pritiskom

od 280 kPa. Za sluaj standardnog dreniranog testa, koliko treba smanjiti aksijalni napon da bi dolo

do sloma uzorka usljed aksijalnog zatezanja.

Prva faza triaksijalnog testa (nakon kontrole zasidenosti uzorka) jeste faza nanoenja delijskog

pritiska. U toj fazi nema smicanja, Mohr-ov krug se moe predstaviti takom na '- dijagramu.

Na slici je preko Mohr-ovih krugova prikazano smanjenje naprezanja usljed rasteredenja aksijalnog

naprezanja uz zadravanje bonog pritiska konstantnim (standardni triaksijalni test)

Slika 1.34 : Razvoj naposnkog stanja u treoj fazi triaksijalnog testa (rastereenje)

d = 15,3 kN/m3

w = 36,0 %

18,0 m

3

=?

1

Kritina kombinacija

normalnog i smiudeg

napona

'


Anvelopna sloma uzorka normalno konsolidirane gline ( = 28; c = 0 kPa), predstavljena je Mohr-

Coulomb-ovim pravcem :

tgf '

Usljed aksijalnog rasteredenja, dolazi do smanjenja vertikalng naprezanja, pri emu delijski pritisak

ostaje konstantan, jer se radi o standardnom triaksijalnom testu

469,0

2

2sin13

13

13

13

Iz ega slijedi :

2,101361,0sin1

sin1331

kPa

Pa je konano traeno smanjenje vertikalnog naprezanja koje uzrokuje slom na zatezanje jednako :

= 3 - 1 = 280,0 101,2 = 178,8 kpa

Zadatak 37 : Rezultati konsolidiranog nedreniranog (CU) stadnardnog triaksijalnog testa na uzorku

normalno konsolidirane gline, kod kojeg je delijski pritisak iznosio 392,0 kPa su prikazani tabelom.

Odrediti efektivne parametre vrstode na smicanje. Pod pretpostavkom ravnog stanja napona,

nacrtati Kf liniju na s' t' dijagramu. Na istom dijagramu nacrtati i trag napona.

Aksijalna deformacija [%]

[kPa]

u [kPa]

0 0,0 0,0

0,5 156,0 99,0

0,75 196,0 120,0

1,0 226,0 132,0

1,3 235,0 147,0

2,0 250,0 161,0

3,0 245,0 170,0

4,0 240,0 173,0

4,5 235,0 175,0

Tabela 1.5 : Rezultati CU triaksijalnog testa

Napomena : Dvodimenzionalno naponsko stanje je ono koje je potpuno definisano sa dva glavna

napona, tj. sa 1 i 3. Nesumnjivo je da i srednji glavni napon (2), utjee na vrstodu i naponsko-

deformaciono ponaanje tla. Ipak, pokazalo se da njegov utjecaj, najede, nije od takvog znaaja da

bi onemogudio primjenu ovakvog redukovanog pristupa.

Rezultati dati tabelom, mogu se predstaviti grafiki kao na slici ispod :


Slika 1.35 : Veza devijator ( = 1-3) aksjalna deformacija

elijski pritisak se odrava konstantnim za svaki inkrement aksijalnog naprezanja, jer se radi o

standardnom triaksijalnom testu. Za svaki inkrement vertikalnog naprezanja, javlja se i porni pritisak

jer se aksijalno opteredenje nanosi u nedreniranim uslovima. Iako se radi o uzorku normalno

konsolidirane gline, uoen ja blagi pad mjere smiudeg naprezanja () nakon dostizanja vrne

vrijednosti pri deformaciji od oko 2%. Ovaj napon (vrna vrijednost) se uzima kao mjerodavna za

proraun ugla unutranjeg trenja kao jedine nepoznate veliine.

Ako sa : 2

31 s i 2

31 t oznaimo napone vezane za promjenu zapremine i promjenu

oblika, respektivno, tada se razvoj naprezanja, za ovaj jedan uzorak, moe predstaviti tragom

naprezanja u s'-t' (s-t) koordinatnom sistemu (ravno stanje napona). Uz napomenu da su efektivni

naponi jedanki totalnim umanjenim za vrijednost izmjerenog pornog pritiska prema principu

efektivnih napona.

Slika 1.36 : Trag napona i Kf linija

Nagib nacrtane Kf linije u s'-t' koordinatnom sistemu (tg) predstavlja sinus ugla unutranjeg trenja

za drenirane uslove.

0

50

100

150

200

250

300

0 1 2 3 4 5

[%]

0

20

40

60

80

100

120

140

0 100 200 300 400 500 600

trag II faza - s'-t'

trag II faza - s-t

Trag I faza : s=s'; t=t'

Kf linija u s'-t'

s, s'

t, t'


'sin tg

354,05,344

0,122'sin

074,20'

Kohezija je jednaka nuli, jer se radi o normalno konsolidiranoj glini.

Napomena : Nedrenirani parametri smiude vrstode (u i cu) odreeni CU triaksijalnim testom

obino nemaju praktian znaaj, jer razliitoj poetnoj upakovanosti odgovara razliita vrstoda, pa

nagib anvelope sloma u pogledu totalnih napona (za nedrenirane uslove) zavisi od stanja u kojem se

nalazi uzorak. Za opit bi se moralo primjenjivati uzorke sa prirodnom vlanodu, a ne saturirane

uzorke. Na drugoj strani, odnos cu/' moe biti koristan jer je pokazatelj prirasta nedrenirane

vrstode sa napretkom konsolidacije tj. sa povedanjem efektivnog naprezanja. Za nedrenirane

parametere se najede primjenjuje brzi test monoaksijalne vrstode, gdje je nedrenirana kohezija

jednaka polovini aksijalnog naprezanja pri slomu uzorka, dok je ugao unutraenjg trenja jednak nuli

(u = 0,0). U zadataku je uvedeno i pojednostavljenje da se problem posmatra kao problem ravnog

stanja napona, iako je problem triaksijalnog testa osnosimetrini problem kod kojeg se naponsko

stanje obino predstavlja srednjim efektivnim naprezanjem : p = (a+2r )/3 i devijatorom napona :

q = a - r.

Zadatak 38 : Na uzorku prekonsolidirane kohezivne gline tla izvren je konsolidirani drenirani (CD)

test. elijski pritisak je 20,0 kPa.Uoeno je da je dolo do sloma uzorka kada je aksijalna sila u klipu

proizvela dodatni vertikalni napon od 76,0 kPa.

Odrediti parametre smiude vrstode tla!

Rjeenje : Nije mogude odrediti parametre smiude vrstode za drenirane uslove materijala koji ima

koheziju. Za definisanje anvelope sloma kohezivnog materijala ( c 0) neophodna su najmanje dva

uzorka.

Zadatak 39 : U drugoj fazi CD standardnog triaksijalng testa uzorak je optereden izotropnim delijskim

pritiskom intenziteta 100 kPa. Nacrtati Mohr-ov krug u '- koordinatnom sistemu.

Rjeenje : U sluaju djelovanja izotropnog delijskog pritiska nema smicanja, a time ni promjene oblika

uzorka, tj. deava se samo promjena zapremine (konsolidirani test). Mohr-ov krug za ovakvo

naponsko stanje predstavjen je takom koja lei na ' osi. Znai, kroz bilo koju presjenu ravan

naponi su jednaki apliciranom delijskom pritisku, a mjera simudeg naprezanja je jedanaka nuli.

Slika 1.37 : Naponsko stanje za svaku presjenu ravan (Mohr-ov krug)

'

3'=100,0

kPa


Zadatak 40 : Iz kante pune suhog pijeska prosut je pijesak na horizontalnu povrinu koji je ranije

ispitan u svrhu odreivanja ugla unutranjeg trenja i dobivena je vrijednost od 33. Pod kojim uglom

(priblino) de biti stranice formiranog kupastog oblika u odnosu na horizontalnu povrinu nakon

istresanja iz kante.

Rjeenje : 33

Napomena : Za suhi pijesak vrijedi da ugao

unutranjeg trenja odgovara tzv. kritinom

uglu mirovanja (eng. angle of repose) koji

predstavlja upravo nagib slobodno formirane

povrine suhog pijeska na horizontalnoj

povrini

Slika 1.38 : Definicija ugla mirovanja (eng. angle of repose)

Zadatak 41 : Test direktnog smicanja izveden je na seriji uzoraka glinovitog materijala u dreniranim

uslovima. Tabelarno su prikazani rezultati 4 izvedena testa :

Broj testa

Efektivni normalni

napon

Efektivni smiui napon pri slomu

1 100 98

2 200 139

3 300 180

4 400 222 Tabela 1.6 : Rezultati testa direktnog smicanja

Odrediti efektivne parametre smiude vrstode.

Za test direktnog smicanja je karakteristino da je kritina kombinacija normalnog i smiudeg

naprezanja u trenutku sloma poznata, pa nema potrebe za crtanjem Mohr-ovih krugova . Dakle, iz

tabelarno prikazanih rezultata moe se definisati anvelopa vrstode iji de odsjeak na osi smiudeg

naprezanja predstavljati koheziju, a nagib u - dijagramu ugao unutranjeg trenja.

Slika 1.39 : Rezultati testa direktnog smicanja

Sa dijagrama se moe oitati rjeenje : c' = 55 kPa; ' = 23

100 200 300 400 '

98 139

180

222


Zadatak 42 : Na slici je prikazan karakteristini dijagrami smiude naprezanje vs. horizontalna

deformacija dobiveni ispitivanjem na dva uzorka prekonsolidovane gline u ureaju za direktno

smicanje. Odrediti vrni (p)i kritini (cv) ugao unutranjeg trenja.

Slika 1.40 : Rezultati testa direktnog smicanja

Vrni (eng. peak) ugao unutranjeg trenja demo odrediti iz odnosa vrnog smiudeg naprezanja i

normalnog naprezanja :

573,075

43

75150

57100

ptg

8,29p

Kritini (eng. critical value) ugao unutranjeg trenja demo odrediti iz odnosa smiudeg naprezanja u

kritinom stanju i normalnog naprezanja :

333,075

25

75150

4065

cvtg

4,18cv

ime su definisane anvelope sloma razliitog nagiba, ali jednog te istog materijala.

Napomena : U konkretnim praktinim problemima, redovno se susrede problem izbora jednog od ova

dva ugla unutranjeg trenja. Stvar se dodatno komplikuje, jer i mobilizacija kohezije zavisi od stepena

naprezanja i smatra se da je kohezija u kritinom stanju jednaka nuli, a ima maksimalnu vrijednost na

poetku naprezanja. U pravilu, primjena ugla unutranjeg trenja za kritino stanje, kao onoga na

strani sigurnosti se preporuuje za vedinu praktinih problema, posebno ako se primjenjuju modeli

tla koji ne mogu opisati tzv. softening, tj. smanjenje vrstode nakon dostizanja vrne vrijednosti,

kakav je klasini Mohr-Coulomb-ov model.

Zadatak 43 : Kako se na osnovu dva testa triaksijalnog smicanja mogu odrediti parametri vrstode na

smicanje ( i c).

57

' = 75 kPa

' = 150 kPa

100

65

40


Rjeenje : Navedeni paramteri se najjednostavnije dobiju rjeavanjem dvije jednaine sa dvije

nepoznate koje se dobiju izraavanjem sinusa ugla unutranjeg trenja preko glavnih napona.

Pozivajudi se na oznake sa slike ispod, u nastavku su izvedene te dvije jednaine

Slika 1.41 : Mohr-ovi krugovi I anvelopa sloma za sluaj triaksijalnog ispitivanja 2 koherentna uzorka

Za oba kruga se moe napisati izraz za sinus ugla unutraenjg trenja :

31

31

31

31

2

2

2sin

ctgc

ctgc

, obzirom da se radi o istom tlu pa mu odgovaraju

isti parametri vrsode.

Dalje se sreivanjem gore navedenog izraza dobije poznata veza :

sin1

cos2

sin1

sin131

c

Obziron da vrijedi :

)2

45(sin1

sin1 2

tg

)2

45(sin1

cos

tg

Konano se moe napisti veza :

)2

45(2)2

45(231

tgctg

Pa se za dva uzorka mogu definisati dvije jednaine sa nepoznatim vrijednostima ugla unutranjeg

trenja () i kohezije (c). Rjeavanjem tih jednaina po i c odreuju se parametri smiude vrstode.

Zadatak 44 : Dva uzorka tla su testirana standarndnim dreniranim (CD) triaksijalnim testom i

dobiveni su rezultati :

Test 3 1

a 100 240

b 300 630 Tabela 1.7 : Rezultati testa na 2 uzorka

Kritina kombinacija

normalnog i smiudeg

napona

3,a 3,b 1,a cctg

' 1,b

zatezanje

c


Ukoliko bi se testirao jo jedan uzorak (uzorak c) pri delijskom pritisku od 200 kPa, koliki bi bio

oekavani maksimalni glavni napon (1,c) pri slomu uzorka.

Rjeenje : Za rjeenje zadatka demo koristiti gotovi izraz izveden u sklopu prethodnog zadatka :

)2

45(2)2

45(231

tgctg

U zadatku se trai veliina maksimalnog glavng napona 1, ali za veliinu delijskog pritiska od 200 kPa.

Podatke iz dva testa demo iskoristiti za odreivanje parametara vrstode :

)2

45(2)2

45(2,3,1

tgctgaa

)2

45(2)2

45(2,3,1

tgctgbb

)2

45()( 2,3,3,1,1

tgbaba

)2

45()0,1000,300(0,2400,630 2

tg

)2

45(0,2000,390 2

tg

)2

45(95,1 2

tg => 4,1)2

45(

tg

5,54)2

45(

=> 0,19

Uvrtavanjem nazad, u jednu od poetnih jednaina (npr. prvu), dobije se i vrijednost kohezije :

)2

1945(2)

2

1945(1000,240 2 tgctg

)2

1945(25,43 tgc => c = 15,5 kPa

Veliina glavnog napona za uzorak koji je podvrgnut delijskom pritisku od 200 kPa (3,c) iznosi :

)2

45(2)2

45(2,3,1

tgctgcc

)2

0,1945(5,152)

2

0,1945(0,200 2,1 tgtgc

kPac 56,43546,431,392,1

Zadatak 45 : U aparatu za triaksijalno smicanje, testiran je uzorak normalno konsolidirane gline, pri

konstantnom delijskom pritisku od 49,40 kPa. Prenik uzorka je 38 mm. Maksimalna normalna sila u

klipu za nanoenje opteredenja tokom testa je 82,50 N.

Na slici je ematski prikazan ureaj za trikasijalno ispitivanje

-


Slika 1.42 : ema ureaja za triaksijalni test

Koliki je ugao unutranjeg trenja gline?

3 = 49,40 kPa

d=38 mm

Fmax=82,50 N

Manji glavni napon je jednak delijskom pritisku. Vedi glavni napon je elijski pritisak plus napon od vertikalnog opteredenja. Poto je kohezija nula (normalno konsolidirana glina), dovoljan je jedan test za odreivanje jedinog nepoznatog Mohr-Coulomb-ovog parametra vrstode ().

4

)1038(

1050,8240,49

4

23

3

2

max

3

max

31

NkPa

d

F

A

F

1=122,14 kPa

kPakPakPakPa

40,4914,122

40,4914,122

2

12

1

sin31

31

31

31

Pa je rjeenje : =25,1

c = 0,0 kPa

Zadatak 46 : CD triaksijalnim testom je ispitan granularni materijal i izmjeren je odnos napona pri

slomu : '1/'3 = 4,0. Izraunati ugao unutranjeg trenja '.

Rjeenje : Ranije je izvden izraz za sinus ugla nagiba anvelope sloma kod granularnih materijala (c=0):

31

31

''

''sin


Iz ega se moe napisati (dijeljenjem sa 3 brojnika i nazivnika, desne strane jednaine) :

6,05

3

14

14

1'

'

1'

'

sin

3

1

3

1

' = 37,0

Zadatak 47 : U CD triaksijalnom testu na uzorku rastresitog pijeska (c' = 0), pri delijskom pritisku od

'3 = 138,0 kN/m2, maksimalni glavni napon pri slomu iznosio je '1 = 423,0 kN/m

2. Nacrtati trag

napona u Lambe-ovom koordinatnom sistemu.

Rjeenje : Ose Lambe-ovog koordinatnog sistma su definisane sa :

2

''' 31

s ;

2

''' 31

t

Za fazu nanoenja delijskog izotropnog pritiska, '1 = '3 trag napona se krede du s' ose. Pri

nanoenju aksijalnog opteredenja (devijator napona, koji se vezuje uz pojavu smiudih deformacija),

sa porastom veliine s', raste i veliina t', pa se konano moe formirati traeni dijagram :

s' 0 138 280,5

t' 0 0 142,5

Tabela 1.8 : Izrauante vrijednosti s' i t'

Slika 1.43 : Trag napona u Lambe-ovom koordinatnom sistemu

Vrijedi napomenuti da ovaj pristup ne posmatra triaksijalni test kao osnosimetrini problem nego ga

tretira kao problem ravnog stanja napona, to je spemenuto i u zadacima ranije.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 50 100 150 200 250 300

s' [kPa]

t' [kPa]

1.5 Slijeganje tla i

vremenski tok slijeganja

Slijeganje se deava usljed promjene efektivnih napona. Slijeganje izazvano vertikalnim

opteredenjem, u principu se moe razloiti na komponente trenutnog slijeganja, konsolidacionog

slijeganja i komponentu puzanja. Doprinos pojedinih komponenti zavisi od vrste tla.

Osnovni problem pri proraunu slijeganja predstavlja izbor mjerodavnih parametara deformabilnosti.

Primjenja proraunskog pristupa, koji se bazira na analogiji sa edometrom, moe koristiti u rjeavanju

standardnih geotehnikih problema, ali pri tome treba imati u vidu ogranienja koja ona

podrazumijeva.

Jedan od kriterija, obino mjerodavan, kod izbora naina temeljenja jeste doputeno slijeganje.


34

Zadatak 48 : Na dnu jezera se nalazi stiljivi vodozasideni sloj sitnozrnog materijala debljine 4,0 metra, ispod kojeg je nestiljivi sloj. Dubina jezera iznosi 8,0 metara. Usljed akumuliranja vode povedao se nivo jezera i sada mu dubina iznosi 11,0 metara. Izraunati slijeganje stiljivog sloja, ako

su mu poznate karakteristike: Cc = 0,15; Cr = 0,02; e0 = 0,6; OCR = 1,0; = 20,0 kN/m3.

Povedanje nivoa vode u jezeru nede izazvati povedanje efektivnog napona u vodozasidenom tlu ispod jezera, jer povedanje nivoa vode povedava u istoj mjeri i porni pritisak i totalni napon, pa je razlika izmeu ta dva napona konstantna.

' = u = const => s = 0 => nema slijeganja

Zadatak 49 : Izraunati pod kojim uglom ( ) treba postaviti dio AB apsolutno krute konstrukcije sa

slike, da bi nakon slijeganja isti zauzeo horizontalni poloaj. Stiljivi sloj podijeliti na 3 sloja debljine

1,0 metar i ukupno slijeganje izraunati kao sumu slijeganja pojedinih slojeva koritenjem priblinog

numerikog integrisanja. Napone od povrinskog opteredenja izraunati priblinom metodom.

Referentni edometarski modul je konstantan po dubini i iznosi 40 000 kPa.

Slika 1.44 : ema konstrukcije i profil tla

Pod pretpostavkom da je kontaktni napon koji izaziva slijeganje konstantan i jednak (fleksibilna

stopa) :

kPa5000,10,1

0,5000

Moe se izraunati dodatni vertikalni napon od nadopteredenja priblinom (2:1) metodom :

zA

A00

Pa je dodatni napon u sredini svakog od tri sloja respektivno :

kPaz 22,22225,2

0,10,500

5,15,1

0,10,5005,0

kPaz 0,8025,6

0,10,500

5,25,2

0,10,5005,1

kPaz 82,4025,12

0,10,500

5,35,3

0,10,5005,2

B A

3,0

1,0 1,0

3,0

F= 500 kN

SP-SM

Ms = 40 000 kPa


35

Suma slijeganja svih slojeva predstavlja ukupno slijeganje :

mM

sssss

zzz00857,0

40000

82,400,8022,2225,25,15,0321

Ugao nagiba grede iztaunat demo preko tangensa ugla :

00286,00,3

00857,0

0,3

stg

163,000286,0arctg

Zadatak 50 : Usljed snienja nivoa podzemene vode efektivni vertikalni napon u sredini 2,5 metara debelom sloju gline je narastao sa 50,0 kPa na 57,0 kPa. Ako je poetni koeficijent pora (eng. initial void ratio) 1,45; OCR = 1,2; Cc = 0,35 i Cr = 0,05, izraunati slijeganje usljed snienja nivoa podzemene vode.

Napomena : Indeks rekompresije Cr, se esto oznaava i sa Cs, pri emu oznaka s oznaava swelling (= bubrenje), tj. povedanje zapremine pri rasteredenju, obzirom da su ta dva nagiba priblino paralelna.

Kako je OCR = 1,2 = 'p/'0 => 'p = 60,0 kPa napon prethodne konsolidacije

Dodatni napon ne izaziva naprezanja iznad napona prethodne konsolidacije, tj. radi se o sluaju kada glina ostaje prekonsolidovana do kraja slijeganja (elastino deformisanje), pa se slijeganje moe izraunati na osnovu promjene koeficijenta pora :

50

5750log5,2

45,11

05,0log

1 0

0

0

he

Cs r

Slika 1.45 : e-log ' dijagram za konkretan problem

cmms 29,00029,0

Zadatak 51 : Na slici su prikazane temeljena stopa dimenzija 2,0x2,0 metar i temeljna ploa

dimenzija 8,0x8,0 metara. Stopa i ploa optereduju tlo ravnomjerno raspodijeljenim kontaktnim

naponom intenziteta 150,0 kPa. Profil tla je definisan sa dvije karakteristine geotehnike sredine i to

CL-SM (debljine 4,0 m) sa edometarskim modulom od 40 MPa i krenjake stijene koja se smatra

nestiljivom i u kojoj nije mogao biti izmjeren broj udaraca standardne penetracije. Izraunati

slijeganje ispod centra jedne i gruge opteredene povrine i komentarisati rjeenje. Napone izraunati

pomodu Boussinesq-ovog dijagrama.

e

log'

e0

50,0 57,0 60,0

ekraj nagib Cr

nagib Cc


36

Slika 1.46 : Rub kruke napona za povrinsko opteredenje sa razliitim povrinama ematski prikaz

Na osnovu pretpostavke da je sloj krenjaka nestiljiv, zakljuujemo da se stopa dimenzija 2,0x2,0

metra nede slijegati jer ne izaziva dodatno naprezanje u zoni stiljivog sloja, koji se nalazi na dubini od

16,0 metara. Na drugoj strani stopa dimenzija 8,0x8,0 metara izaziva povedanje vertikalnog napona i

u zoni stiljivog sloja (dubina 2,25B = 2,258,0 = 18,0 m sredina stiljivog sloja) pa je slijeganje iste

jednako :

mhM

ss

z00144,00,4

40000

150096,00,18

Pri emu je vrijednost 0,096 oitana za kvadratnu stopu sa Boussinesq-ovog dijagrama za

odgovarajudi dubinu 2,25B = 18,0 m, koja predstavlja sredinu stiljivog sloja (pravilo priblinog

integrisanja povrine dodatnih napona od povrinskog opteredenja)

s = 0,144 cm

Napomena : U svakodnevnoj inenjerskoj praksi, slijeganja se najede raunaju prema edometarskoj

pretpostavci, tj. pod pretpostavkom sprijeenog bonog irenja. Neto realniji pristup je onaj sa

proraunom gdje boni pomaci nisu u potpunosti sprijeeni, nego su uslovljeni geometrijom

problema. Ovakav proraun se uspjeno obuhvata proraunima na bazi metode konanih elemenata.

Zadatak 52 : Sloj gline, debljine 5,0 metara ima prosjeni koeficijent konsolidacije cv = 5x10-2

mm2/min. Ako je taj sloj izloen konstantnom inicijalnom pornom pritisku po visini, odrediti vrijeme

za koje de se desiti 90% konsolidacije ako je a) dreniranje omogudeno na obje povrine, b) dreniranje

mogude samo na gornjoj povrini

Vrijeme trajanja konsolidacije definisano je (prema Terzaghi-jevoj teoriji jednoosne konsolidacije) sa:

v

dr

c

THt

2

Gdje je : Hdr visina dreniranja i jednaka je debljini vodozasidenog sloja za koji se rauna vrijeme

trajanja konsolidacije kada je dreniranje omogudeno samo u jednom smijeru, odnosno polovini

debljine u sluaju kada je dreniranje omogudeno na obje povrine (gore i dole).

Rub kruke

napona 20,0 m Rub kruke

napona

4,0 m

16,0 m

q = 150 kPa q = 150 kPa

Krenjak

CL - SM


37

To je dakle, najdui put koji je potreban zamiljenoj kapljici vode da se izdrenira iz slabopropusnog

sloja.

T vremenski faktor koji je definisan u funkciji prosjenog stepena konsolidacije (Uavg)

mjerodavna kriva (1) jer je zadatkom reeno da je sloj gline izloen konstantnom inicijalnom pornom

pritisku.

Napomena : Poznato je da se disipacija pornih pritisaka najprije deava na rubovima koji se nalaze uz

slobodno drenirajudu povrinu, tako de se u ovim zonama najprije zavriti slijeganje, iz tog razloga se

uvodi prosjeni stepen konsolidacije :

s

sU tavg

koji predstavlja odnos slijeganja u datom trenutku t (st) i ukupnog slijeganja koje odgovara vremenu

konanog slijeganja (u beskonanosti - s ).

U konkretnom zadatku zadat je uslov da treba da se desi 90% konsolidacije (slijeganja u vremenu),

to odgovara prosjenom stepenu konsolidacije od 90%, a kojem prema dijagramu zavisnosti Tv-Uavg

odgovara vrijednost

- sluaj a) (Kriva 1) : Tv = 0,85; Hdr = 5,0/2 = 2,5 m

- Sluaj b) (Kriva 1) : Tv = 0,85; Hdr = 5,0 m

Slika 1.47 : Zavisnost vremenskog faktora i prosjenog stepena konsolidacije za razliite sluajeve poetnog

pornog pritiska i naznaka mjerodavne visine dreniranja

a) 10625000005,0

85,0)0,10005,2( 2t minuta

0,202t godina

b) 4250000005,0

85,0)0,10000,5( 2t minuta

0,808t godina

Zadatak 53 : U testu konsolidacije na uzorku gline debljine 28 mm , izmjereno je da su porni pritisci

opali na nulu poslije 14 minuta. U testu je dreniranje omogudeno samo u jednom smjeru.

Odrediti trajanje procesa konsolidacije sloja ove gline 4,60 m debljine, sa dreniranjem u jednom

smjeru, u danima.


38

hlab=28 mm

tlab=14 min

hteren=4,60 m

tteren=? [dana] Slika 1.48 : Jednoosna konsolidacija - lab Vs. teren

Pri proraunu trajanja slijeganja pretpostavka je da se u terenskim uslovima konsolidacija deava kao

u laboratorijskom testu konsolidacije. Kako se radi o istom tlu, oito je da je koeficijent konsolidacije

isti u laboratoriji i na terenu, a takoer i vremenski faktor je isti jer se trai trajanje slijeganja, to

znai da je prosjeni stepen konsolidacije jednak 100% (ili 90% ako se pretpostavi da je tada zavreno

slijeganje, ali u svakom sluaju, Tv je isto za laboratoriju i teren).

Iz uslova jednakosti vremenekog faktora za terenske i laboratorijske uslove, moe se definisati veza :

2

,

2

,

2

,

2

,

labdr

terendr

labteren

terendr

labdr

teren

lab

h

htt

h

h

t

t

hmm

mmtteren 6,6297min1,377857

)28(

)106,4(min14

2

23

tteren = 262,4 dana

Zadatak 54 : Edometarskim testom je dobiven dijagram sa slike. Uzorak je uzet iz sredine 10,0

metara debelog sloja gline. Opteredenje je izazvalo dodatni napon od 48,0 kPa. Izraunati slijeganje.

Poznato je da skradenje uzorka u

edometru raunamo prema izrazu :

01 e

eHs

gdje je :

e0 poetni koeficijent pora

H visina stiljivog sloja

e promjena koeficijenta pora

Pa koristedi veliine koeficijenata pora

sa slike i pretpostavljajudi da se

slijeganje u stvarnosti deava analogno

ponaanju uzorka u edometru moe se

izraunati sliijeganje:

Slika 1.49 : Laboratorijski dobijen e-log dijagram

1,2

055,00,10

1,11

045,11,10,10s

cmms 1,26261,0

Zadatak 55 : Kruni temelj samac prenika 1,0 metar je optereden silom od 200 kN. Oslonjen je na

2,0 metra debeli sloj zbijenog pijeska ispod kojeg je nestiljiva stijena. Izraunati (procijeniti)

zahtijevanu vrijednost modula stiljivosti sloja pijeska da slijeganje bude 0,5 cm.

e

log

1,1

1,076

1,045

40,95 70

=48,0


39

F = 200 kN

1,0 m

2,0 m

Naponi na povrini (pod pretpostavkom

ravnomjeren raspodejle istih po povrini iznose :

kPamz 8,2540,800

4

0,1

0,20020,0

Dodatni naponi u sredini (jer se koristi priblino

numeriko integrisanje) 2,0 metra debelom

stiljivom sloju iznose (2:1 metoda) :

kPamzmz 7,634

18,254

4

)0,10,1(

4

0,1

2

2

0,00,1

Slika 1.50 : Geomterija problema

Sada se moe izraunati i zahtijevana veliina modula stiljivosti sloja debljine 2,0 metra, da slijeganje

bude zahtijevano (0,5 cm) :

Iz : 005,0HM

ss

=> kPaHs

M s 254800,2005,0

7,63

Dakle, neophodno je ostvariti zbijenost podlonog stiljivog tla (debljine 2,0 metra) do edometarskog

modula od oko 25 MPa, a da bi slijeganje bilo reda veliine 0,5 cm

Zadatak 56 : Kruni temelj samac prenika 1,0 metar je optereden silom od 200 kN i oslonjen je na

2,0 metra debeli sloj zbijenog pijeska ispod kojeg je

nestiljiva stijena. Sopstvena teina stope nije zanemariva i

iznosi 12,5 kN/m2. Izraunati zahtijevanu vrijednost

modula stiljivosti sloja pijeska da slijeganje take A bude

0,5 cm. Napone od povrinskog opteredenja izraunati

priblinom (2:1) metodom, a gustodu podjele stiljivog

sloja na podslojeve izabrati kako mislite da je

najpovoljnije.

Slika 1.51 : Geometrija problema

Rjeenje : Prema 2:1 metodi dodatni naponi od povrinskog opteredenja se javljaju na dubi od 1,0

metar. Stoga, najpravilnije izabrana podjela jeste ta da se stiljivi sloj od 2,0 metra podjeli na dva sloja

debljine 1,0 metar, pri emmu se gornji od ova dva sloje ne deformie, jer nema dodatnih

naprezanja. Deformacija se deava samo u donjem sloju i treba da iznosi prema uslovu zadatka 0,5

cm, pa je :

005,00,1sM

s

Ms = ?

F = 200 kN

1,0 m

2,0 m Ms = ?

A

0,5 m


40

Ostaje jo da se izrauna dodatni napon na dubini od 1,5 metara ( mz 5,1 ) jer je to sredina donjeg

sloja, pri emu je napon na povrini jednak sumi napona od koncentrisane sile (F/A) i napona od

sopstvene teine (12,5 kPa) :

kPamzmz 8,4225,6

1)5,128,254(

4

)5,10,1(

4

0,1

2

2

0,05,1

Pa je : 2/85600,1005,0

8,420,1

005,0mkNM s

Zadatak 57 : Fleksibilni kruni temelj prenika 4,0 metra, fundiran je na sloju gline debljine 8,0

metara, na dubini od 1,0 metar. Usvojeni efektivni paramteri deformabilnosti sloja gline su : E' = 5000

kN/m2 i ' = 0,3. Ravnomjerno opteredenje temelja iznosi 168,0 kN/m2. Zapreminska teina tla je =

18,0 kN/m3.

a) Odrediti prirast vertikalnih i horizontalnih napona na dubinama od z = 0, 2, 4, 6 i 8 metara

b) Izraunati slijeganje iz uslova slobodne bone deformacije

c) Odrediti modul stiljivosti Ms i izraunati slijeganje iz uslova sprijeene bone deformacije.

Ako se uzme u obzir rasteredenje usljed iskopa, onda je neto kontaktni napon jednak : 2

0 /0,1500,10,180,168 mkNDq f

a) Prirast horizontalnih i vertikalnih napona u osovini krunog temelja izraunat de se prema

poznatim izrazima izvedenim za elastini poluprostor optereden krunim opteredenjem, za

razliite dubine (z) i poloaj ispod centra kruga (R=0) :

))1/()1/()'1(2'21(5,0 2/3222/1220' zRzRx

))1/(1( 2/3220' zRz

to je prikazano tabelarno :

Taka 0 1 2 3 4

z [m] 0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 '

x 120,0 8,63 -0,75 -0,96 -0,7

'

z 150,0 96,97 42,67 21,9 13,04

Tabela 1.9 : Promjena horizontalnih i vertiklanih napona sa dubinom

b) Slijeganja se dalje lako mogu izraunati kao proizvod deformacija i pripadajude visine sloja,

pri emu je napon koji izaziva slijeganje onaj iz sredine svakog od 4 podsloja (to predstavlja

priblino numeriko integrisanje) :

z = 1,0 m => 3,642/)63,80,120('x ; 5,1232/)97,960,150('

z

z = 3,0 m => 94,3'x ; 82,69'

z

z = 5,0 m => 86,0'x ; 3,32'

z

z = 7,0 m => 83,0'x ; 5,17'

z


41

)'2('

1 ''xzz

E

z [m] 1,0 3,0 5,0 7,0

z 0,01698 0,013491 0,0065632 0,0036

s [m] 0,03397 0,02698 0,01312 0,0072 Tabela 1.10 : Slijeganja karakteristinih podslojeva u metrima

mssi

i 0812,04

1

s = 8,12 cm

c) Slijeganja uz pretpostavku sprijeene bone deformacije se raunaju na osnovu modula

stiljivosti koji se moe odrediti iz zadate veliine deformacionog modula za slobodne bone

deformacije i Poisson-ovog koeficijenta, pa je :

2

22/6730

3,023,01

)3,01(5000

'2'1

)'1('mkN

EM s

A vertikalna deformacija se odreuje prema :

s

zz

M

'

z [m] 1,0 3,0 5,0 7,0

z 0,01835 0,0104 0,0048 0,0026

s [m] 0,0367 0,021 0,0096 0,0052 Tabela 1.11 : Slijeganja karakteristinih podslojeva u metrima

mssi

i 0722,04

1

s = 7,22 cm

Napomena : Edometarsko slijeganje je za ovaj konkretni sluaj oko 12% manje od slijeganja pri

slobodnoj bonoj deformaciji. Ipak, vrijedi napomenuti da se ova razlika izmeu edometarskog i

pristupa sa slobodnim bonim irenjem smanjuje sa povedanjem irine opteredene povrine u

odnosu na debljinu stiljivog sloja.

1.6 Horizontalni

pritisci tla

Horizontalni pritisci tla mogu se izraunati standardnim metodama plastine ravnotee (Rankine-ov

horizontalni pritisak). Ova metode se sastoje u formulisanju mehanizma loma (odnosno plastifikacije)

i odgovarajude opteredenje se odreuje iz uslova plastine ravnotee na nivou elementa. Pritisci tla zavise od mogudnosti deformisanja konstrukcije na koju vre pritisak (otpor) i u tom smislu

se razlikuje aktivni pritisak, pasivni otpor i pritisak u stanju mirovanja.

Horizontalne pritiske ine pritisak tla i pritisak vode. Kod potpornih konstrukcija, pritisak vode, iako

smanjuje vertikalni efektivni napon, pa time i horizontalni pritisak (otpor) tla, on povedava ukupni

pritisak na zid. Pritisak vode djeluje hidrostatski za razliku od pritiska tla.


Zadatak 58 : Odrediti aktivni pritisak tla na zid (prema slici) i poloaj rezultante sile aktivnog pritiska.

Zid smatrati idealno glatkim. Na osnovu laboratorijskih ispitivanja dobivena je zapreminska teina tla

od 19,0 kN/m3 , saturirana zapreminska teina sat = 20,0 kN/m3, OCR=1 i ugao unutranjeg trenja =

28 . Nivo podzemne vode je uoen na dubini od -4,0 m.

Slika 1.52 : Zatitna konstrukcija sa naznaenim principom deformisanja

Na slici je crtkanom linijom naznaen mehanizam deformisanja zatitne konstrukcije na osnovu kojeg

se moe zakljuiti da se ista krede od tla sa lijeve strane te je na toj strani zid optereden aktivnim

pritiskom, to se i trai zadatkom.

Koefecijent aktivnog pritiska izraunat demo prema Rankine-ovoj teoriji, jer se radi o glatkoj povrini

te horizontalnoj povrini terena iza zida :

361,0)2

2845()

245( 22 tgtgKa

Horizontalni pritisak prema Rankine-ovoj teoriji se rauna prema:

avaah KcK 2'

,

Kako se radi o normalno konsolidovanoj glini (OCR = 1), zakljuujemo da je c = 0,0 kPa, tj. da se radi o

materijalu bez kohezije.

Prije prorauna horizontalnih napona, treba jo izraunati vrijednosti vertikalnih efektivnih napona,

pa je:

0' 0,zv

kPazzv 0,760,40,19'

4,

kPazzv 52,1570,819,100,76)412()81,90,20(0,76)4('0,76'

12,

Pa je konano, horizontalni efektivni napon na dubinama 0,0; 4,0 i 12,0 metara jednak:

0' 0,, zah kPazah 44,27361,00,76'

4,,

kPazah 86,56361,052,157'

12,,

Na osnovu izraunatih vrijednosti moe se nacrtati dijagram koji demo iskoristiti za izraunavanje

intenziteta i poloaj rezultante :

4,0 m

8,0 m q = 10,0 kN/m

2

4,0 m


Slika 1.53 : Dijagram horizontalnog pritiska tla

Intenzitet rezultante aktivnog pritiska tla :

F = F1+F2+F3 = 0,54,027,44+8,027,44+0,58,0(56,86-27,44)=54,88+219,52+117,68 = 392,08 kN/m'

to predstavlja silu po metru irine zida

Izborom proizvoljene take (u konkretnom sluaju taka O) moe se odrediti poloaj rezultatne (x) iz

uslova :

Fx = F1z1+ F2z2+ F3z3

392,08x = 54,889,333+219,524,0+117,682,667 = 512,2+878,1+313,85 = 1704,15

x = 4,35 m

Zadatak 59 : Odrediti vertikalni i horizontalni napon od sopstvene teine nekoherentnog normalno

konsolidovanog tla, u taki A!

= 18,0 kN/m3

= 26

sat = 19,0 kN/m3

Slika 1.54 : Profil tla sa poloajem take A

Vertikalni napon u taki A jednak je proizvodu zapreminske teine u prirodnom stanju i dubine na

kojoj se nalazi ta taka uvedanom za intenzitet povrinskog opteredenja koje se rasprostire na velikoj

povrini :

'v,A = 5,0 + q= 18,05,0 + 20 = 110,0 kPa

Horizontalni napon jednak je proizvodu vertikalnog efektivnog napona i koeficijenta horizontalnog

pritiska i stanju mirovanja (K0), koji se za normalno konsolidovano tlo moe definisati Jaky-evom

formulom :

O

8,0

27,44

56,86

F3

F2

F1 4,0

z3

z2

z1

povrina terena q=20 kN/m

2

npv 10,0 m

5,0 m

A


Ko = 1-sin = 1-sin26 = 0,562

'h,A = 110,00,562 = 61,82 kPa

Zadatak 60 : Izraunati horizontalni napon u taki A, prije i nakon iskopa dubine 7,0 metra.

Slika 1.55 : Zatitna konstrukcija sa poloajem take A

Geomehanike karakteristike materijala : =20,0 kN/m3 ; c=0 kPa; =35

Horizontalni pritisak tla na povrini terena jednak je nuli i prije i nakon iskopa

h,A,prije iskpopa = h,A,nakon iskopa = 0

Zadatak 61 : Kolika je teoretski, maksimalna stabilna visina (Hc) iskopa sa slike? Iskop i okolno tlo su

suhi.

Slika 1.56 : ema iskopa

Geotehnike karakteristike materijala : =20,0 kN/m3 ; (a) c=0,0 kPa, (b) c=10,0 kPa; =35

(a) Suhi nekohezivni materijal ne moe stajati vertikalno, pa je kritina visina Hcr jednaka nuli.

(b) Prema Rankine-ovoj teoriji, aktivni horizontalni pritisak se rauna prema izrazu :

avaah KcK 2'

,

Kako se radi o kohezivnom materijalu, do odreene visine aktivni pritisak de biti negativan, te na tom

dijelu tlo moe primiti zatezanje, pa je kritina visina ona na kojoj je horizontalni aktivni pritisak

jednak nuli :

0)2

45(2)2

45(2 22, tgcHtgKcHK aaah

271,0aK

0271,02271,0 cH cr

Zatitna konstrukcija

H=7 m

1,0 m

A

ISKOP

Hc=? ISKOP


mK

cH

a

cr 92,1271,020

1022

Napomena : Svjedoci smo da povrinski slojevi tla esto budu zasjeeni vertikalno i do vede visine

(H>Hcr) nego li dozvoljava njihova laboratorijski odreena veliina kohezije. Naime, esto se u tim

sluajevima radi o prividnoj koheziji koja nije stalnog karaktera. Povrinski slojevi su obino

nezasideni (S


kPaKazah 2,100,3)81,90,20(0,3,,

Pa je rezultanta aktivnog pritiska tla jednaka povrini trougla koji predstavlja horizontalne napone po

metru irine zida (okomito na ravan crtanja) :

'/3,150,32,102

1mkNEa

Dok je pritisak vode (hidrostatski pritisak) jednak povrini trougla prikazanoj dijagramom na slici 1.57

u sredini i iznosi, po metru irine zida :

'/0,450,30,302

1mkNV

Sile koje izazivaju klizanje zida (napadajude sile) su : R = Ea + V = 60,3 kN/m

Sila koja se odupire klizanju je trenje na kontaktnoj povrini zida i temeljnog tla : W = Gzidatg

Teina betonskog zida se moe izraziti u funkciji irine kao : Gzida = bh = b3,025,0 = 75b