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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL II

I.E 10214 – LA RAMADA Trigonometría – 5º de Secundaria

1.1. ÁÁngulos Cuadrantales ngulos Cuadrantales

Entenderemos por ángulo cuadrantal a aquel ángulo en posición normal cuyo lado final coincida con cualquier semieje del plano cartesiano. La medida de este ángulo siempre tendrá la forma:

“2πn ”; n ∈ Z ó “n. 90º”.

Ejemplo:

Para diferentes valores enteros de “n” tendríamos: n = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; ….

n . 90 = -270º; -180º; -90º; 0; 90º; 180º; 270º; 360º;

El siguiente gráfico muestra algunos Ángulos Cuadrantales y su medida.

2.2. R. T. de Ángulos CuadrantalesR. T. de Ángulos Cuadrantales

DondeDonde: :

COMPROBACIÓNCOMPROBACIÓN

1. 1rr

yº90sen ===

r

2. 0rr

xº90cos ===0

3. /r

yº90tg ∃===

0r

3.3. R. T. de Ángulos CoterminalesR. T. de Ángulos Coterminales

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

Prof. Edwin Ronald Cruz Ruiz1

x

y

90º180º

-90º

m∢

R.T.

0º, 360º 90º 180º 270º

0; 2π π/2 π 3π/2Sen 0 1 0 -1Cos 1 0 -1 0Tg 0 N 0 NCtg N 0 N 0Sec 1 N -1 NCsc N 1 N -1

0 = Cero1 = UnoN = No definido

x

y

90º

(0; r)r

La división de un número entre 0

(cero) es una operación no

definida.

x

y(a; b)

α

θ

R.T. α = R.T. θ

Práctica Dirigida Nº 01Práctica Dirigida Nº 01

Tarea Nº 01Tarea Nº 01

Ejercicio Resueltos


Son ∢s coterminales los que tienen el mismo lado inicial y final.

Ejemplos

1. Calcular:

8)Cos360º(2Sen270º

1)Cos180º(3Sen90ºE

2

2

+−

+−=

Solución:

Reemplazando valores:

[ ][ ] 8)2(-1)

1(-1)3(1)E

2

2

+−

+−=

1(

8

14E

2(-3)

2

+

+=

17

17E =

∴ E = 1

1. Simplificar:

º360cosab2º0cos)ba(º90sen)ba(

E−−+

=

a) a b) b c) a-1

d) b-1 e) ab

2. Simplificar:

º90cscab2º270sen)ba(º0sec)ba(E

22 −++=

a) a b) b c) 1d) 2 e) 4

3. Si: f(x) = senx + cos2x + tg4x

Calcular: “ )2

(f π”

a) 0 b) 1 c) 2d) -1 e) -2

4. Si: f(x) = sen2x + cos4x + cot6x

Calcular: “ )4

(f π”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

1. Calcular:

2abcsc270º

cos180º2b)-(asec360º2b)(aE

++=

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

2. Calcular:

º90cscb3º0secaº360cos)ba(º90sen)ba(E 22

33

+

−++=

a) a b) b c) 2ad) 2b e) ab

3. Si: 4xtg

3xcos

2xsen)x(f ++=

Calcular: “f(π)”

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e) 3


Tarea Nº 01


4. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

Calcular: “ )2

(f π”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

5. Calcular: E = (3Sen90º – Cos180º)2 + (Sen270º – Cos360º)

a) 16 b) 17 c) 18

d) 19 e) 20

6. Reducir:nCos0ºmSen90º

180º5Cos2n90º3Sen2mC

+

+=

a) m + n b) m – n c) mn

d) nm

2n2m

+

+e)

nm

2n2m

−

+

1. Calcular:

E = (2Sen180º – Sen90º)2 + (3Cos180º – Cos90º)2

a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12

2. Reducir:

270º3Sen2nmnSen270ºCos0º2m

Cos360º3nSen90º3mJ

−−

−=

a) m – n b) m + n c) md) n e) n – m

3. Calcular:

Csc270º2ab

Cos180ºb)(aSec360ºb)(aE

22 −++=

a) 1 b) 2 c) 3d) -3 e) -2

4. Señale el signo de:

316ºCos

124º340º.CtgSenP =

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)

d) (+) ó (–) e) No se puede precisar


190º5316º.Sen3Sec

310º4217º.Sen3160º.Tg5CosA =

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)


6. ¿A qué cuadrante pertenece ”θ”, si: Cosθ < 0;

y Senθ < 0?

a) IC b) IIC c) IIIC

d) IVC e) Es cuadrantal

7. Si: f(x) = 2sen2x + 3cos3x + 4tg4x

Calcular: “ )2

(f π”

a) 0 b) 1 c) 2

d) -1 e) -2

8. Si: β ∈ IIC, α ∈ IIIC ∧ θ ∈ IVC

Indicar el signo de la expresión:

θ−ββ+α

=sectgcoscscE

a) + b) - c) + ó -

d) + ∧ - e) Todas son positivas

9. Calcular: E = Sec2π)

2

3πCtg(

Cosπ-)2

π2Sen(

+

a) –1 b) 1 c) – 2

d) 3 e) 22


170º3200º.Cos4Sec

160º2214º.Tg5170º.Cos3SenA =

a) (+) b) (–) c) (+) y (–)



=2π(n)+α ó = 360°(n)+αϴ ϴR.T[2π(n)+α]=R.T[α]

R.T[360°(n)+α]=R.T[α]


ÁNGULOS COTERMINALES

Los ángulos se pueden medir en el sentido del movimiento de las agujas del reloj (tiene medida negativa) y al contrario del movimiento de las agujas del reloj (con medida positiva).

Dos o más ángulos se denominan

coterminales, cuando tienen el mismo lado inicial y el mismo lado final.

La diferencia entre dos o más ángulos

coterminales es el número de vueltas sobre el lado inicial.

Aquí es donde se justifica porque los

ángulos trigonométricos no tienen límites en su magnitud, pues sólo se diferencian en el número de vueltas.

Ejemplos

Si dos o más ángulos son coterminales entonces las Razones Trigonométricas de sus medidas tienen el mismo valor numérico por ende diremos que son iguales.

Para encontrar un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo dado, puede sumar y restar 360° si el ángulo es medido en grados o 2π si el ángulo es medido en radianes.Ejemplo 1:Encuentre un ángulo coterminal positivo y uno negativo con un ángulo de 55°. 55° – 360° = –305° 55° + 360° = 415° Un ángulo de –305° y un ángulo de 415° son coterminales con un ángulo de 55°.

En General:

Ejercicios de Ángulos Coterminales

Los siguientes ángulos están en la posición estándar, encuentre dos ángulos coterminales positivos y dos ángulos coterminales negativos en cada caso.

1) 120°2) 135°3) 240°4) 315°5) 60°6) 90°7) -30°8) -150°9) 150°10) -45°


x

y(a; b)

α

θ

R.T. α = R.T. θ

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/degree-measure-of-an-angle.html

http://hotmath.com/hotmath_help/spanish/topics/radian-measure-of-an-angle.html


PRÁCTICA CALIFICADA DE MATEMÁTICAQUINTO AÑO DE SECUNDARIA

“ÁNGULOS EN POSICION NORMAL”

ESTUDIANTE:……………………………………RESOLUCION DE PROBLEMAS

1. Del siguiente gráfico calcular: θ−θ= cot12sen10E

2. Si el punto )3;1(P − pertenece al lado

final de un ángulo en posición canónica

cuya medida es “α”

calcular: E = cotα + cscα

3. Del gráfico calcular:

β+β= cot4sec5E

4. Calcular:

2abcsc270º

cos180º2b)-(asec360º2b)(aE

++=

5. Reducir:

270º3Sen2nmnSen270ºCos0º2m

Cos360º3nSen90º3mJ

−−

−=


x

y

θ

(1; -3)

x

y

β

(1; -2)

