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Trigonometría
ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL Y SUS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
ÁNGULO EN POSICIÓN NORMALEs aquel ángulo trigonométrico cuyo lado inicial coincide con el
semieje positivo de las abscisas , su vértice se ubica en el origen
de coordenadas rectangulares y su lado final puede ubicarse en
cualquier lugar del plano cartesiano.
x
Y
Lado inicial del ángulo en posición normal
Lado final del ángulo en posición normal
Medida del ángulo en posición normal Ángulo en el 2do
Cuadrante
o
Origen de Coordenadas
Y
X
Lado inicial
Lado Final
Medida del ángulo en posición normal
Ángulo ubicado en el
3er cuadrante
X
Y
Lado inicial
Lado Final
Ángulo ubicado en el
4to cuadrante
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO EN POSICIÓN NORMAL
Sea “ ” un ángulo trigonométrico en posición normal, P(x;y) un punto de su lado final y “r” (r > 0) el radio vector de dicho punto, entonces la Razones Trigonométricas de” “ , se definen como sigue:
X
Y
yxP ;
y
x
rry
Senθ rx
Cosθ xy
Tanθ
yx
Ctgθ xr
θSec yr
θCsc
Del gráfico:
x
y 12;5
xy
Como:222 yxr
Entonces: 222 125 r
13r
Calcula todas las R.T. de
Luego:
1312
ry
Sen135
rx
Cos512
xy
Tan
125
yx
Ctg513
xy
Sec1213
yr
Csc
2) Calcula: CscθSecθ en:
-2
-1θ
Resolución.-
Lo primero será calcular el valor del radio vector
r
r
222 r12
Entonces: 5r;1y;2x
CscθSecθ Luego: yr
xr
1-5
2-5
CscθSecθ 252
25 2
53
θ
En el gráfico:
SecφSenφ
( 4 ; 5)
Calcula:
( -4 ; -5)
Resolución.- Trasladamos el punto (4;5) por simetría, asiendo rotaciones de 90°. Luego: SecφSenφ =
441
41
5
= 414
21
=
414
21
θ
SIGNOS DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Como las razones trignométricas dependen de dos cantidades (abscisas, ordenadas y/o radio vector), nos percatamos que las razones trigonométricas tienen un signo que se obtiene de la combinación de los signos que poseen estas cantidades.
( x ; y)+ ; +
θ
Senθ = y : r = + : + = +
Cosθ = x : r = + : + = +
Tanθ = x : r = + : + = +
Ctgθ = x : r = + : + = +
Secθ = x : r = + : + = +
Cscθ = x : r = + : + = +
( x ; y) - ; +
θ
Senθ = y : r = + : + = +
Cosθ = x : r = - : + = -
Tanθ = x : r = + : - = -
Ctgθ = x : r = - : + = -
Secθ = x : r = + : - = -
Cscθ = x : r = + : + = +
θ
Senθ = y : r = - : + = -
Cosθ = x : r = - : + = - Tanθ = x : r = - : - = +
Ctgθ = x : r = - : - = +
Secθ = x : r = + : - = -
Cscθ = x : r = + : - = -
( x ; y) - ; -
θ
( x ; y ) + ; -
Senθ = y : r = - : + = -
Cosθ = x : r = + : + = +
Tanθ = x : r = - : + = -
Ctgθ = x : r = + : - = -
Secθ = x : r = + : + = -
Cscθ = x : r = + : - = +
TABLA DE RESUMEN DE LOS SIGNOS DE LAS R.T. POR CUADRANTES
1er CUADRANTE
Todas las Razones Trigonométricas
son Positivas
2do CUADRANTE
El SENO y el CO-SECANTE son Positivas, las demás
Negativas.
3er CUADRANTE
La TANGENTE y La COTANGENTE
son Positivas, las demás Negativas.
4to CUADRANTE
El COSENO y La SECANTE son
Positivas, las demás Negativas.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/fundamentacion/uv00009/lecciones_html/cap5/trigo3.html
http://www.sig.upv.es/asignaturas/gc/Vision3d.pdf
http://mx.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080604174349AAhWLfs
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/TRIG3.htm
ALGUNAS APLICACIONES
