of 152/152
Univerzitet u Tuzli Fakultet elektrotehnike ZBIRKA zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na Fakultetu elektrotehnike u periodu od 2000-2017. godine Tuzla, maj 2018

ZBIRKA zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na ...untz.ba/uploads/file/nastava/test-prijemni/2017-18/FE...Tuzla, 03.07.2017. godine KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE GRUPA B

  • View
    20

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of ZBIRKA zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na...

  • Univerzitet u Tuzli

    Fakultet elektrotehnike

    ZBIRKA

    zadataka sa prijemnih ispita iz Matematike na

    Fakultetu elektrotehnike u periodu od 2000-2017. godine

    Tuzla, maj 2018

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1. Broj cjelobrojnih realnih rješenja nejednačine

    2

    11

    2 1x x≥

    + + je:

    a) 6 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    3 1 13

    4 4 2 8 4 2x y x y− =

    + + − + i

    1 56

    8 2 8 4 2x y x y− =

    + + − + je:

    a) 1

    2− b) 2− c)

    3

    2− d) 2

    3.

    Zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje su rješenja jednačine

    ( )2 27 2 3 1 2 0x k x k k− − + − = realna i jednaka je:

    a) 1

    8− b)

    1

    2 c) 4− d)

    1

    8

    4.

    Zbir realnih rješenja sistema jednačina 2 25 2x y⋅ = i 4

    45

    x

    y= je:

    a) 1 b) 2

    log5

    c) 5

    log2

    d) 1 2 log 2+

    5. Broj realnih rješenja jednačine

    2 25 1 2 0x x+ − + = je:

    a) 6 b) 4 c) 2 d) 0

    6.

    Vrijednost izraza 1 1 1 3 9 81

    81 27 9

    1 1 12 log 27 3log 9 log log log 2 log 27

    3 9 27− + + − + je:

    a) 2 b) 1

    2− c)

    1

    2 d)

    3

    2

    7. S koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 91?

    a) 91 b) 36 c) 18 d) 9

    8.

    Ako je dat kompleksan broj 1 1 2Z i= − , koliko iznosi modul kompleksnog broja Z x iy= +

    tako da vrijedi 1

    7Re

    5

    Z

    Z

    =

    i { }1Im 1Z Z⋅ = ?

    a) 2 b) 5 c) 1 d) 10

    9. Broj svih realnih rješenja jednačine

    3sin 2 cos 2 1

    3x x− = na segmentu [ ]0,2π je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10.

    Ako za trouglove ABC� i BDE� vrijedi

    : 3: 2AB BD = i 5BC = , koliko iznosi BE ?

    a) 1

    3 b)

    10

    3 c)

    4

    3 d)

    5

    3

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    [ ) ( ]

    { }

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    22

    11; : 2 1 0

    2 1

    1 0 1.

    1 1 2 11 0; 0;

    2 1 2 1

    2 20; 0 / 1

    2 1 2 1

    220; 0

    2 1 1

    2, 1 1,0 .

    : 2,0

    2.

    Dp x xx x

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x xx x

    x x x

    x

    Cjelobrojna rješenja x

    Broj cjelobrojnih rješenja

    ≥ + + ≠ ⇒+ +

    + ≠ ⇒ ≠ −

    − − −− ≥ ≥

    + + + +

    − − +≥ − ≥ −

    + + + +

    ++≤ ≤

    + + +

    ∈ − − ∪ −

    a) 6 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    a) 1

    2− b) 2− c)

    3

    2− d) 2

  • 3.

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    1 2

    7 2 3 1 2 0

    0 ln :

    4 0

    4 3 1 4 7 2 0 / : 4

    3 1 7 2 0

    9 6 1 7 14 0

    2 8 1 0

    : 0, 4.

    x k x k k

    Rješenja kvadratne jednačine ax bx c su rea ai jednaka akovrijedi

    D b ac

    k k k

    k k k

    k k k k

    k k

    bViettova pravila ak bk c k k

    a

    − − + − =

    + + =

    = − =

    − − ⋅ − =

    − − − =

    − + − + =

    + + =

    + + = + = − = −

    a) 1

    8− b)

    1

    2 c) 4− d)

    1

    8

    4.

    ( )22

    2

    2

    2

    2 25 2 / log

    44 / log

    5

    log 2 5 log 2

    2log log 2

    5

    log 2 log 5 log 2

    log 2 log 5 2log 2

    log 2 2 log 5 log 2

    2 log 2 log 5 2 log 2 / 2

    log 2 2 log 5 log 2

    4 log 2 2 log5 4log 2

    5 log 2 5log 2 1

    log 2 2 log 5 log 2 2 log 5 0

    x y

    x

    y

    x y

    x

    y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y

    ⋅ =

    =

    ⋅ =

    =

    + =

    − =

    + =

    − = ⋅

    + =

    − =

    = ⇒ =

    + = ⇒ = 0

    1 0 1

    y

    x y

    ⇒ =

    + = + =

    a) 1 b) 2

    log5

    c) 5

    log2

    d) 1 2 log 2+

    5.

    2 2

    2

    2

    2 2

    5 1 2 0

    :

    0,

    1 0,

    2 0

    : 5 1 2 0, .

    ln .

    x x

    Kako je

    x za x R

    x za x R

    slijedi x x za x R

    Jednačina nema rea ihrješenja

    + − + =

    ≥ ∀ ∈

    − ≥ ∀ ∈

    >

    + − + > ∀ ∈

    a) 6 b) 4 c) 2 d) 0

  • 6.

    1 1 1 3 9 81

    81 27 9

    3 2 1 2 3 3

    4 3 2 2 4

    1 1 12 log 27 3log 9 log log log 2log 27

    3 9 27

    1 1 1log log log

    log 27 log 9 log 273 9 272 3 21 1 1 log 3 log 9 log81

    log log log81 27 9

    log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log 32 3 2

    log 3 log 3 log 3 log 3 log 3 log3

    − − −

    − − −

    − + + − + =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    3log 3 2 log 3 log 3 2log 3 3log 3 3log 3 3 1 3 32 3 2 2 2 2

    4log3 3log 3 2log 3 log 3 2 log 3 4log 3 2 2 2 2

    − − −⋅ − ⋅ + + − + ⋅ = − + + − + + =− − −

    a) 2 b) 1

    2− c)

    1

    2 d)

    3

    2

    7.

    Nula na kraju proizvoda prirodnih brojeva nastaje na dva načina: od broja 10 ili množenjem

    brojeva 2 i 5. Kako je i broj 10 djeljiv brojem 5, to znači da je broj nula kojima se proizvod

    završava jednak broju faktora djeljivih sa 5. Od 1 do 91 je 18 brojeva djeljivih sa 5 (prvi manji broj

    od 91 djeljiv sa 5 je 90, tj. 90:5=18) što znači da se proizvod prirodnih brojeva od 1 do 91 završava

    sa 18 nula.

    a) 91 b) 36 c) 18 d) 9

    8.

    { } ( ) ( ){ } { }1

    1

    2 2

    1 2 2 2 2 7Re Re Re Re 2 7

    1 2 1 2 1 2 5 5 5

    Im Im 1 2 Im 2 2 1 2 1

    2 7 / 2

    2 1

    2 4 14

    2 1

    5 15 3

    2 3 1 1

    1 3 1 3

    Z x iy x iy i x ix iy y x yx y

    i i iZ

    Z Z x iy i x ix iy y x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    y y

    x x

    Z i

    + + − − + + + = = ⋅ = = = ⇒ + =

    + + −

    ⋅ = + ⋅ − = − + + = ⇒ − + =

    + = ⋅

    − + =

    + =

    − + =

    = ⇒ =

    − + = ⇒ =

    = + = + 10=

    a) 2 b) 5 c) 1 d) 10

  • 9.

    [ ] [ ]1 2

    3sin 2 cos 2 1

    3

    sin 2 cos 2 16

    sin6sin 2 cos 2 1 / cos

    6cos

    6

    sin 2 cos sin cos 2 cos6 6 6

    3sin 2

    6 2

    1 :2 2 2 26 3 2 4

    50,2 0,2 ,

    4 4

    2 52 :2 2 2 2

    6 3 6

    o

    o

    x x

    x tg x

    x x

    x x

    x

    x k x k x k

    x x k Z

    x k x k x

    π

    ππ

    π

    π π π

    π

    π π π ππ π π

    π ππ π

    π π ππ π

    − =

    − ⋅ =

    − ⋅ = ⋅

    ⋅ − ⋅ =

    − =

    − = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    − = + ⇒ = + ⇒ =

    [ ] [ ]3 4

    5

    12

    5 170,2 0,2 ,

    12 12

    ln :2.

    k

    x x k Z

    Broj rea ih rješenja

    ππ

    π ππ π

    + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10

    .

    , :

    , .2

    : :

    : : 3: 2

    2 102 3

    3 3

    Uglovi ABC i DBE suunakrsni pa vrijedi ABC DBE

    Kako su ACB BED slijedi BAC BDE

    Trouglovi ABC i BDE su slični ABC BDE

    AB BD BC BE

    BCBC BE BE

    π

    =

    = = =

    ∆ ≅ ∆

    = =

    = ⇒ = =

    p p p p

    p p p p

    a) 1

    3 b)

    10

    3 c)

    4

    3 d)

    5

    3

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1. Broj cjelobrojnih rješenja realnih nejednačine

    2

    41

    8 16x x≥

    − + je:

    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

    2.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    6 1 7

    2 3 2 6 4 6 4x y x y+ =

    − − + − i

    3 11

    4 6 4 3 2 3x y x y− =

    − − + − je:

    a) 1

    6− b)

    1

    3− c)

    1

    2− d) 1−

    3.

    Zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje su rješenja jednačine

    ( )2 23 2 2 1 4 0x k x k k− + + + = realna i jednaka je:

    a) 8 b) 1

    8− c)

    1

    8 d) 1−

    4.

    Zbir realnih rješenja sistema jednačina 1

    4 2525

    x y⋅ = i 2

    55

    x

    y= je:

    a) 2

    log5

    b) 5

    log2

    c) 1− d) 1 log 5+

    5. Broj realnih rješenja jednačine

    2 25 4 2 0x x+ − + = je:

    a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

    6.

    Vrijednost izraza 1 1 1 3 9 81

    9 3 81

    1 1 1 14 log 27 log 81 log log 2 log log 3

    2 3 27 81− + + − − je:

    a) 1

    4 b) 3− c)

    1

    4− d) 4

    7. S koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 81?

    a) 16 b) 32 c) 8 d) 81

    8.

    Ako je dat kompleksan broj 1 1 3Z i= − , koliko iznosi modul kompleksnog broja Z x iy= +

    tako da vrijedi 1

    1Re

    2

    Z

    Z

    =

    i { }1Im 5Z Z⋅ = − ?

    a) 2 b) 1 c) 10 d) 5

    9. Broj realnih rješenja jednačine

    3sin cos 1

    3x x− = na segmentu [ ]0,2π je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10.

    Ako za trouglove ABC� i BDE� vrijedi

    : 3 :1BC BE = i 2AB = , koliko iznosi BD ?

    a) 1

    3 b)

    2

    3 c) 1 d)

    3

    2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1.

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    [ ) ( ]

    { }

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    22

    41; : 8 16 0

    8 16

    4 0 4.

    4 4 8 161 0; 0;

    8 16 8 16

    8 12 8 120; 0 / 1

    8 16 8 16

    2 68 120; 0

    8 16 4

    2,4 4,6 .

    : 2,3,5,6

    Dp x xx x

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x xx x

    x x x

    x

    Cjelobrojna rješenja x

    Broj cjelobrojnihr

    ≥ − + ≠ ⇒− +

    − ≠ ⇒ ≠

    − + −− ≥ ≥

    − + − +

    − + − − +≥ − ≥ −

    − + − +

    − −− +≤ ≤

    − + −

    ∈ ∪

    4.ješenja

    a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

    2.

    a) 1

    6− b)

    1

    3− c)

    1

    2− d) 1−

  • 3.

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    1 2

    3 2 2 1 4 0

    0 ln :

    4 0

    4 2 1 4 3 4 0 / : 4

    2 1 3 4 0

    4 4 1 3 12 0

    8 1 0

    : 0, 8.

    x k x k k

    Rješenja kvadratne jednačine ax bx c su rea ai jednaka akovrijedi

    D b ac

    k k k

    k k k

    k k k k

    k k

    bViettova pravila ak bk c k k

    a

    − + + + =

    + + =

    = − =

    + − ⋅ + =

    + − + =

    + + − − =

    − + =

    + + = + = − =

    a) 8 b) 1

    8− c)

    1

    8 d) 1−

    4.

    ( )2 2 2

    2 2

    14 25 / log

    25

    25 / log

    5

    log 2 5 log 5

    2log log 5

    5

    log 2 log5 2log 5

    log 2 log 5 log 5

    2 log 2 2 log 5 2 log 5

    log 2 log 5 log 5 / 2

    2 log 2 2 log 5 2 log 5

    2 log 2 2 log 5 2 log 5

    4 log 2 0 0

    2 0 log 2 2 log 5 2 log

    x y

    x

    y

    x y

    x

    y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y

    ⋅ =

    =

    ⋅ =

    =

    + = −

    − =

    + = −

    − = ⋅

    + = −

    − =

    = ⇒ =

    ⋅ ⋅ + = −

    ( )

    5 2 log5 2log 5 1

    0 1 1

    y y

    x y

    ⇒ = − ⇒ = −

    + = + − = −

    a) 2

    log5

    b) 5

    log2

    c) 1− d) 1 log 5+

    5.

    2 2

    2

    2

    2 2

    5 4 2 0

    :

    0,

    4 0,

    2 0

    : 5 4 2 0, .

    ln .

    x x

    Kako je

    x za x R

    x za x R

    slijedi x x za x R

    Jednačina nema rea ihrješenja

    + − + =

    ≥ ∀ ∈

    − ≥ ∀ ∈

    >

    + − + > ∀ ∈

    a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

  • 6.

    1 1 1 3 9 81

    9 3 81

    3 4 1 3 4

    2 1 4 2

    1 1 1 14log 27 log 81 log log 2 log log 3

    2 3 27 81

    1 1 1log log log

    log 27 1 log81 log 33 27 814 21 1 12 log 3 log 9 log81

    log log log9 3 81

    log3 1 log3 log 3 log 3 log 3 log 34 2

    log 3 2 log 3 log 3 log 3 log 3 log 3

    − − −

    − − −

    − + + − − =

    ⋅ − ⋅ + + − ⋅ − =

    ⋅ − ⋅ + + − ⋅ −4

    3log3 1 4log 3 log 3 3log3 4 log3 log 3 1 14 2 6 2 3 4 3

    2log 3 2 log 3 4log 3 log 3 2log 3 4log 3 4 4

    =

    − − −⋅ − ⋅ + + − ⋅ − = − + + − + − = −− − −

    a) 1

    4 b) 3− c)

    1

    4− d) 4

    7.

    Nula na kraju proizvoda prirodnih brojeva nastaje na dva načina: od broja 10 ili množenjem

    brojeva 2 i 5. Kako je i broj 10 djeljiv brojem 5, to znači da je broj nula kojima se proizvod

    završava jednak broju faktora djeljivih sa 5. Od 1 do 81 je 18 brojeva djeljivih sa 5 (prvi manji broj

    od 81 djeljiv sa 5 je 80, tj. 80:5=16) što znači da se proizvod prirodnih brojeva od 1 do 81 završava

    sa 16 nula.

    a) 16 b) 32 c) 8 d) 81

    8.

    { } ( ) ( ){ } { }1

    1

    1 3 3 3 3 1Re Re Re Re 3 5

    1 3 1 3 1 3 10 10 2

    Im Im 1 3 Im 3 3 5 3 5

    3 5 / 3

    3 5

    3 9 15

    3 5

    10 10 1

    3 5 2

    2 2

    Z x iy x iy i x ix iy y x yx y

    i i iZ

    Z Z x iy i x ix iy y x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    y y

    x x

    Z i

    + + − − + + + = = ⋅ = = = ⇒ + =

    + + −

    ⋅ = + ⋅ − = − + + = − ⇒ − + = −

    + = ⋅

    − + = −

    + =

    − + = −

    = ⇒ =

    + = ⇒ =

    = + = 2 21 5+ =

    a) 2 b) 1 c) 10 d) 5

  • 9.

    [ ]

    [ ]

    1

    2

    3sin cos 1

    3

    sin cos 16

    sin6sin cos 1 / cos

    6cos

    6

    sin cos sin cos cos6 6 6

    3sin

    6 2

    1 : 2 2 0,2 ,6 3 2 2

    2 5 52 : 2 2 0,2 ,

    6 3 6 6

    ln :

    o

    o

    x x

    x tg x

    x x

    x x

    x

    x k x k x k Z

    x k x k x k Z

    Broj rea ih rješenja

    π

    ππ

    π

    π π π

    π

    π π π ππ π π

    π π π ππ π π

    − =

    − ⋅ =

    − ⋅ = ⋅

    ⋅ − ⋅ =

    − =

    − = + ⇒ = + ⇒ = ∈ ∈

    − = + ⇒ = + ⇒ = ∈ ∈

    2.

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    10

    .

    , :

    , .2

    : :

    : : 3:1

    23

    3 3

    Uglovi ABC i DBE suunakrsni pa vrijedi ABC DBE

    Kako su ACB BED slijedi BAC BDE

    Trouglovi ABC i BDE su slični ABC BDE

    BC BE AB BD

    ABAB BD BD

    π

    =

    = = =

    ∆ ≅ ∆

    = =

    = ⇒ = =

    p p p p

    p p p p

    a) 1

    3 b)

    2

    3 c) 1 d)

    3

    2

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA C

    1. Broj cjelobrojnih realnih rješenja nejednačine

    2

    11

    2 1x x≥

    − + je:

    a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    2 1 7

    4 4 2 8 4 2x y x y− =

    − − + + i

    1 32

    8 2 8 4 2x y x y− = −

    − − + + je:

    a) 2 b) 1

    2− c) 1− d) 2−

    3.

    Zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje su rješenja jednačine

    ( )2 27 2 3 1 2 0x k x k k+ + + + = realna i jednaka je:

    a) 4 b) 1

    4− c)

    1

    2 d)

    1

    4

    4.

    Zbir realnih rješenja sistema jednačina 4 5 5x y⋅ = i 2 2

    25 50

    x

    y= je:

    a) 2

    log5

    b) 2 log 5 c) 1 d) 5

    log2

    5. Broj realnih rješenja jednačine

    2 22 1 3 0x x+ − + = je:

    a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

    6.

    Vrijednost izraza 1 1 1 2 4 16

    16 8 4

    1 1 12 log 8 3log 4 log log log 2 log 8

    2 4 8− + + − + je:

    a) 3

    2 b)

    3

    2− c)

    1

    2 d) 2

    7. S koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 71?

    a) 7 b) 14 c) 28 d) 71

    8.

    Ako je dat kompleksan broj 1 1 2Z i= + , koliko iznosi modul kompleksnog broja Z x iy= +

    tako da vrijedi { }1Re 3Z Z⋅ = i 1

    1Im

    5

    Z

    Z

    =

    ?

    a) 5 b) 10 c) 2 d) 1

    9. Broj realnih rješenja jednačine sin 2 cos 2 1x x− = na segmentu [ ]0, 2π je: a) 4 b) 3 c) 2 d) 5

    10.

    Ako za trouglove ABC� i BDE� vrijedi

    : 3: 2BC BE = i 3AB = , koliko iznosi BD ?

    a) 1

    3 b)

    3

    2 c) 3 d) 2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA C

    1.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    [ ) ( ]

    { }

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    22

    11; : 2 1 0

    2 1

    1 0 1.

    1 1 2 11 0; 0;

    2 1 2 1

    2 20; 0 / 1

    2 1 2 1

    220; 0

    2 1 1

    2, 1 1,0 .

    : 2,0

    2.

    Dp x xx x

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x xx x

    x x x

    x

    Cjelobrojna rješenja x

    Broj cjelobrojnih rješenja

    ≥ + + ≠ ⇒+ +

    + ≠ ⇒ ≠ −

    − − −− ≥ ≥

    + + + +

    − − +≥ − ≥ −

    + + + +

    ++≤ ≤

    + + +

    ∈ − − ∪ −

    a) 5 b) 4 c) 3 d) 2

    2.

    a) 2 b) 1

    2− c) 1− d) 2−

  • 3.

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    1 2

    7 2 3 1 2 0

    0 ln :

    4 0

    4 3 1 4 7 2 0 / : 4

    3 1 7 2 0

    9 6 1 7 14 0

    2 8 1 0

    : 0, 4.

    x k x k k

    Rješenja kvadratne jednačine ax bx c su rea ai jednaka akovrijedi

    D b ac

    k k k

    k k k

    k k k k

    k k

    bViettova pravila ak bk c k k

    a

    + + + + =

    + + =

    = − =

    + − ⋅ + =

    + − + =

    + + − − =

    − + =

    + + = + = − =

    a) 4 b) 1

    4− c)

    1

    2 d)

    1

    4

    4.

    ( )2

    2

    2

    2

    2

    4 5 5 / log

    2 2 1/ log

    25 50 25

    log 2 5 log 5

    2log log 5

    5

    log 2 log 5 log 5

    log 2 log 5 2 log 5

    2 log 2 log 5 log 5 / 2

    log 2 2 log 5 2 log5

    4 log 2 2 log5 2log 5

    log 2 2 log 5 2 log5

    5 log 2 0 0

    2 0 log 2 log 5 log

    x y

    x

    y

    x y

    x

    y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y

    ⋅ =

    = =

    ⋅ =

    =

    + =

    − = −

    + = ⋅

    − = −

    + =

    − = −

    = ⇒ =

    ⋅ ⋅ + = 5 log5 log 5 1

    0 1 1

    y y

    x y

    ⇒ = ⇒ =

    + = + =

    a) 2

    log5

    b) 2 log 5 c) 1 d) 5

    log2

    5.

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 1 3 0

    :

    0,

    1 0,

    3 0

    : 2 1 3 0, .

    ln .

    x x

    Kako je

    x za x R

    x za x R

    slijedi x x za x R

    Jednačina nema rea ihrješenja

    + − + =

    ≥ ∀ ∈

    − ≥ ∀ ∈

    >

    + − + > ∀ ∈

    a) 0 b) 2 c) 4 d) 6

  • 6.

    1 1 1 2 4 16

    16 8 4

    3 2 1 2 3 3

    4 3 2 2 4

    1 1 12 log 8 3log 4 log log log 2 log 8

    2 4 8

    11 1loglog log

    log8 log 4 log882 42 3 21 1 1 log 2 log 4 log16

    log log log16 8 4

    log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 log 22 3 2

    log 2 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2

    3log 22

    − − −

    − − −

    − + + − + =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    ⋅ − ⋅ + + − + ⋅ =

    ⋅−

    2 log 2 log 2 2log 2 3log 2 3log 2 3 1 3 33 2 2 2 2

    4log 2 3log 2 2log 2 log 2 2 log 2 4log 2 2 2 2 2

    − − −− ⋅ + + − + ⋅ = − + + − + + =

    − −

    a) 3

    2 b)

    3

    2− c)

    1

    2 d) 2

    7.

    Nula na kraju proizvoda prirodnih brojeva nastaje na dva načina: od broja 10 ili množenjem

    brojeva 2 i 5. Kako je i broj 10 djeljiv brojem 5, to znači da je broj nula kojima se proizvod

    završava jednak broju faktora djeljivih sa 5. Od 1 do 71 je 14 brojeva djeljivih sa 5 (prvi manji broj

    od 71 djeljiv sa 5 je 70, tj. 70:5=14) što znači da se proizvod prirodnih brojeva od 1 do 71 završava

    sa 14 nula.

    a) 7 b) 14 c) 28 d) 71

    8.

    { } ( ) ( ){ } { }

    ( )

    1

    1

    22

    Re Re 1 2 Re 2 2 3 2 3

    1 2 2 2 2 1Im Im Im Im 2 1

    1 2 1 2 1 2 5 5 5

    2 3

    2 1 / 2

    2 3

    4 2 2

    5 5 1

    2 1 1

    1 1 1 2

    Z Z x iy i x ix iy y x y

    Z x iy x iy i x ix iy y x yx y

    i i iZ

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y

    Z i

    ⋅ = + ⋅ + = + + − = ⇒ − =

    + + + + + − + = = ⋅ = = = ⇒ + =

    − − +

    − =

    + = ⋅

    − =

    + =

    = ⇒ =

    + = ⇒ = −

    = − = + − =

    a) 5 b) 10 c) 2 d) 1

  • 9.

    [ ] [ ]

    [ ] [ ]

    1 2

    3 4

    2sin 2 cos 2 1 /

    2

    2 2 2sin 2 cos 2

    2 2 2

    2sin 2 cos cos 2 sin

    4 4 2

    2sin 2

    4 2

    1 :2 2 2 24 4 2 4

    50, 2 0, 2 ,

    4 4

    32 :2 2 2 2

    4 4 2

    30, 2 0, 2 ,

    2 2

    o

    o

    x x

    x x

    x x

    x

    x k x k x k

    x x k Z

    x k x k x k

    x x k Z

    Br

    π π

    π

    π π π ππ π π

    π ππ π

    π π ππ π π π

    π ππ π

    − = ⋅

    − =

    ⋅ − ⋅ =

    − =

    − = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    − = + ⇒ = + ⇒ = + ⇒

    = ∈ ∧ = ∈ ∈

    ln :4.oj rea ih rješenja

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 5

    10

    .

    , :

    , .2

    : :

    : : 3: 2

    22 3 2

    3

    Uglovi ABC i DBE suunakrsni pa vrijedi ABC DBE

    Kako su ACB BED slijedi BAC BDE

    Trouglovi ABC i BDE su slični ABC BDE

    BC BE AB BD

    ABAB BD BD

    π

    =

    = = =

    ∆ ≅ ∆

    = =

    = ⇒ = =

    p p p p

    p p p p

    a) 1

    3 b)

    3

    2 c) 3 d) 2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA D

    1. Broj cjelobrojnih realnih rješenja nejednačine

    2

    41

    8 16x x≥

    + + je:

    a) 2 b) 4 c) 6 d) 3

    2.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    3 1 5

    2 3 2 6 4 6 4x y x y− =

    + + − + i

    3 11

    4 6 4 3 2 3x y x y− =

    + + − + je:

    a) 1

    6− b) 2− c) 1− d)

    1

    2−

    3.

    Zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje su rješenja jednačine

    ( )2 23 2 2 1 3 0x k x k k+ − + − = realna i jednaka je:

    a) 5− b) 1

    5− c)

    1

    5 d) 1

    4.

    Zbir realnih rješenja sistema jednačina 1

    2 52

    x y⋅ = i 4 1

    25 4

    x

    y= je:

    a) 2

    log5

    b) 5

    log2

    c) 1 log 2+ d) 1−

    5. Broj realnih rješenja jednačine

    2 22 4 3 0x x+ − + = je:

    a) 4 b) 6 c) 0 d) 2

    6.

    Vrijednost izraza 1 1 1 2 4 16

    4 2 16

    1 1 1 14 log 8 log 16 log log 2 log log 2

    2 2 8 16− + + − − je:

    a) 1

    4 b) 3− c)

    1

    4− d) 4

    7. S koliko nula se završava proizvod svih prirodnih brojeva od 1 do 61?

    a) 24 b) 6 c) 61 d) 12

    8.

    Ako je dat kompleksan broj 1 1 3Z i= + , koliko iznosi modul kompleksnog broja Z x iy= +

    tako da vrijedi { }1Re 5Z Z⋅ = − i 1

    1Im

    2

    Z

    Z

    =

    ?

    a) 5 b) 1 c) 10 d) 2

    9. Broj realnih rješenja jednačine sin cos 1x x− = na segmentu [ ]0, 2π je: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

    10.

    Ako za trouglove ABC� i BDE� vrijedi

    : 3:1AB BD = i 2BC = , koliko iznosi BE ?

    a) 1

    3 b)

    4

    3 c)

    2

    3 d) 1

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI

    Fakultet elektrotehnike Tuzla, 03.07.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA D

    1.

    ( )

    ( )

    ( )( )

    ( )

    [ ) ( ]

    { }

    2

    2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    22

    41; : 8 16 0

    8 16

    4 0 4.

    4 4 8 161 0; 0;

    8 16 8 16

    8 12 8 120; 0 / 1

    8 16 8 16

    2 68 120; 0

    8 16 4

    6, 4 4, 2 .

    : 6, 5, 3, 2

    Dp x xx x

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x xx x

    x x x

    x

    Cjelobrojna rješenja x

    Broj cjel

    ≥ + + ≠ ⇒+ +

    + ≠ ⇒ ≠ −

    − − −− ≥ ≥

    + + + +

    − − − + +≥ − ≥ −

    + + + +

    + ++ +≤ ≤

    + + +

    ∈ − − ∪ − −

    − − − −

    4.obrojnihrješenja

    a) 2 b) 4 c) 6 d) 3

    2.

    a) 1

    6− b) 2− c) 1− d)

    1

    2−

  • 3.

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 2

    2 2

    2

    2

    1 2

    3 2 2 1 3 0

    0 ln :

    4 0

    4 2 1 4 3 3 0 / : 4

    2 1 3 3 0

    4 4 1 3 9 0

    5 1 0

    : 0, 5.

    x k x k k

    Rješenja kvadratne jednačine ax bx c su rea ai jednaka akovrijedi

    D b ac

    k k k

    k k k

    k k k k

    k k

    bViettova pravila ak bk c k k

    a

    + − + − =

    + + =

    = − =

    − − ⋅ − =

    − − − =

    − + − + =

    + + =

    + + = + = − = −

    a) 5− b) 1

    5− c)

    1

    5 d) 1

    4.

    ( ) 12

    2

    2

    2 2

    12 5 / log

    2

    4 1/ log

    25 4

    log 2 5 log 2

    2log log 2

    5

    log 2 log 5 log 2

    log 2 log 5 2log 2

    log 2 log 5 log 2 / 2

    2 log 2 2 log 5 2 log 2

    2 log 2 2 log 5 2log 2

    2 log 2 2 log 5 2 log 2

    4 log 2 4log 2 1

    log 2 log

    x y

    x

    y

    x y

    x

    y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y

    ⋅ =

    =

    ⋅ =

    =

    + = −

    − = −

    + = − ⋅

    − = −

    + = −

    − = −

    = − ⇒ = −

    − + 5 log 2 log 5 0 0

    1 0 1

    y y

    x y

    = − ⇒ = ⇒ =

    + = − + = −

    a) 2

    log5

    b) 5

    log2

    c) 1 log 2+ d) 1−

    5.

    2 2

    2

    2

    2 2

    2 4 3 0

    :

    0,

    4 0,

    3 0

    : 2 4 3 0, .

    ln .

    x x

    Kako je

    x za x R

    x za x R

    slijedi x x za x R

    Jednačina nema rea ihrješenja

    + − + =

    ≥ ∀ ∈

    − ≥ ∀ ∈

    >

    + − + > ∀ ∈

    a) 4 b) 6 c) 0 d) 2

  • 6.

    1 1 1 2 4 16

    4 2 16

    3 4 1 3 4

    2 1 4 2 4

    1 1 1 14log 8 log 16 log log 2 log log 2

    2 2 8 16

    1 11log loglog

    log8 1 log16 log 28 1624 21 1 12 log 2 log 4 log16

    log log log4 2 16

    log 2 1 log 2 log 2 log 2 log 2 log 24 2

    log 2 2 log 2 log 2 log 2 log 2 log 2

    4

    − − −

    − − −

    − + + − − =

    ⋅ − ⋅ + + − ⋅ − =

    ⋅ − ⋅ + + − ⋅ − =

    ⋅3log 2 1 4 log 2 log 2 3log 2 4 log 2 log 2 1 1

    2 6 2 3 4 32log 2 2 log 2 4 log 2 log 2 2log 2 4 log 2 4 4

    − − −− ⋅ + + − ⋅ − = − + + − + − = −

    − − −

    a) 1

    4 b) 3− c)

    1

    4− d) 4

    7.

    Nula na kraju proizvoda prirodnih brojeva nastaje na dva načina: od broja 10 ili množenjem

    brojeva 2 i 5. Kako je i broj 10 djeljiv brojem 5, to znači da je broj nula kojima se proizvod

    završava jednak broju faktora djeljivih sa 5. Od 1 do 61 je 12 brojeva djeljivih sa 5 (prvi manji broj

    od 61 djeljiv sa 5 je 60, tj. 60:5=12) što znači da se proizvod prirodnih brojeva od 1 do 91 završava

    sa 12 nula.

    a) 24 b) 6 c) 61 d) 12

    8.

    { } ( ) ( ){ } { }1

    1

    2

    Re Re 1 3 Re 3 3 5 3 5

    1 3 3 3 3 1Im Im Im Im 3 5

    1 3 1 3 1 3 10 10 2

    3 5

    3 5 / 3

    3 5

    9 3 15

    10 10 1

    3 5 2

    1 2 1

    Z Z x iy i x ix iy y x y

    Z x iy x iy i x ix iy y x yx y

    i i iZ

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y

    Z i

    ⋅ = + ⋅ + = + + − = − ⇒ − = −

    + + + + + − + = = ⋅ = = = ⇒ + =

    − − +

    − = −

    + = ⋅

    − = −

    + =

    = ⇒ =

    + = ⇒ =

    = − = + ( )2

    2 5− =

    a) 5 b) 1 c) 10 d) 2

  • 9.

    [ ]

    [ ]

    1

    2

    2sin cos 1 /

    2

    2 2 2sin cos

    2 2 2

    2sin cos cos sin

    4 4 2

    2sin

    4 2

    1 : 2 2 0,2 ,4 4 2 2

    32 : 2 2 0,2 ,

    4 4

    ln :2.

    o

    o

    x x

    x x

    x x

    x

    x k x k x k Z

    x k x k x k Z

    Broj rea ih rješenja

    π π

    π

    π π π ππ π π

    π ππ π π π π

    − = ⋅

    − =

    ⋅ − ⋅ =

    − =

    − = + ⇒ = + ⇒ = ∈ ∈

    − = + ⇒ = + ⇒ = ∈ ∈

    a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

    10

    .

    , :

    , .2

    : :

    : : 3:1

    23

    3 3

    Uglovi ABC i DBE suunakrsni pa vrijedi ABC DBE

    Kako su ACB BED slijedi BAC BDE

    Trouglovi ABC i BDE su slični ABC BDE

    AB BD BC BE

    BCBC BE BE

    π

    =

    = = =

    ∆ ≅ ∆

    = =

    = ⇒ = =

    p p p p

    p p p p

    a) 1

    3 b)

    4

    3 c)

    2

    3 d) 1

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 05.09.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    1. Zbir svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )

    22 22 4 3 2 4 4 0x x x x+ − − + − − = je:

    a) 4 b) 10− c) 4− d) 2

    2.

    Za koje vrijednosti parametra k su zbir i proizvod realnih rješenja jednačine

    ( ) ( ) ( )23 3 1 4 1 0k x k x k+ + − + − = uvijek pozitivni?

    a) 1

    3,4

    b) 1 1

    ,4 3

    c) ( ), 3−∞ − d) 1

    ,3

    + ∞

    3. Broj realnih rješenja jednačine 2 5 2 4 0x x+ − + = je:

    a) 0 b) 2 c) 3 d) 5

    4.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina 3 2x y− = i 3 4x y+ = je:

    a) 23

    1log 2

    4 b) 1 c)

    2

    3

    1log 2

    2 d) 2

    3

    3log 2

    4

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 2

    3

    log log 3 5 1x − ≥ − je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi 3

    12

    Z i

    Z

    +=

    −?

    a) 7

    4 b)

    7

    4− c)

    17

    4 d)

    17

    4−

    7. Broj rješenja jednačine 3sin 2 3sin 2cos 1 0x x x− + − = na intervalu ( )0,π je: a) 0 b) 1 c) 3 d) 4

    8.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    1 7 1

    3 3 2 6 4 3x y x y− = −

    − − + + i

    1 33

    6 2 6 3 2x y x y+ =

    − − + + je:

    a) 1

    2− b)

    4

    3− c) 2 d)

    4

    3

    9. Zbir realnih rješenja jednačine 2 4 5 25 7 10x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 0 b) 1 c) 2 d) 1−

    10.

    Obim jednakokrakog ABC trougla je 20 , a odnos stranica je

    : 1: 2a b = . Koliko iznosi površina trougla?

    a) 2 17 b) 4 17 c) 4 15 d) 2 15

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 05.09.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    1.

    ( ) ( )2

    2 2

    2

    2

    1 2

    2

    2

    1 2

    2

    2

    3 4

    1 2 3 4

    2 4 3 2 4 4 0

    : 2 4

    3 4 0

    4 1

    2 4 4

    2 8 0

    2 4

    2 4 1

    2 3 0

    1 3

    2 4 1 3 4.

    x x x x

    Smjena x x t

    t t

    t t

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x x x

    + − − + − − =

    + − =

    − − =

    = ∧ = −

    + − =

    + − =

    = ∧ = −

    + − = −

    + − =

    = ∧ = −

    + + + = − + − = −

    a) 4 b) 10− c) 4− d) 2

    2.

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    2

    2

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    1

    2

    1 2 1

    3 3 1 4 1 0

    0 : .

    3 1 4 1

    3 3

    3 1 3 1 10 0 3,

    3 3 3

    4 1 4 1 10 0 , 3 ,

    3 3 4

    1,

    4

    k x k x k

    b cZa rješenja kvadratne jednačine ax bx c vrijedi x x x x

    a a

    k kx x x x

    k k

    k kk

    k k

    k kk

    k k

    k k k k

    + + − + − =

    + + = + = − ∧ ⋅ =

    − −+ = − ∧ ⋅ =

    + +

    − − − > ⇒ < ⇒ ∈ −

    + +

    − − > ⇒ > ⇒ ∈ −∞ − ∪ + ∞

    + +

    = ∩ ⇒ ∈1

    .3

    a) 1

    3,4

    b) 1 1

    ,4 3

    c) ( ), 3−∞ − d) 1

    ,3

    + ∞

    3.

    2

    2

    2

    5 2 4 0

    0 2 0 4 0 , :

    5 2 4 0 , . ln .

    x x

    Kako je x x za x R onda slijedi

    x x za x R tj data jednačina nema rea ih rješenja

    + − + =

    ≥ ∧ − ≥ ∧ > ∀ ∈

    + − + > ∀ ∈

    a) 0 b) 2 c) 3 d) 5

  • 4.

    ( )

    ( )

    3

    3

    3 3

    2

    3 3

    3 3

    3 3

    3

    3

    3

    3

    33

    3

    2

    3 3 3

    3 2 / log

    3 4 / log

    log 3 log 2

    log 3 log 2

    log 3 log 2

    log 3 2 log 2

    log 2

    2 log 2

    2 3log 2

    3log 2

    2

    3log 22 log 2

    2

    log 2

    2

    3log 2 log 2 3log 2.

    2 2 4

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x

    x

    y

    y

    x y

    +

    +

    =

    =

    =

    =

    − =

    + =

    − =

    + = +

    =

    =

    + =

    =

    ⋅ = ⋅ =

    a) 23

    1log 2

    4 b) 1 c)

    2

    3

    1log 2

    2 d) 2

    3

    3log 2

    4

    5.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    1 2

    3

    1

    2 2 2

    1 2

    1 2 1 1

    3 3 3

    3

    2 2 2

    log log 3 5 1

    :

    53 5 0

    3

    log 3 5 0 log 1 3 5 1 2

    2.

    1log log 3 5 1 log log 3

    3

    log 3 5 3 log 2 log 2

    133 5 8 .

    3

    13: 2, .

    3

    DP

    x

    DP

    x x

    x x x

    x x x x

    x

    x

    x x

    Rješenje nejednačine x

    Broj cjelobrojnih rješenja je

    − ≥ −

    − > ⇒ >

    − > = ⇒ − > ⇒ >

    = ∩ ⇒ >

    − ≥ − ⋅ =

    − ≤ ⋅ =

    − ≤ ⇒ ≤

    2( : 3 4).cjelobrojna rješenja su i

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

  • 6.

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    31 3 2. , :

    2

    3 2

    ln ,

    .

    2

    3

    9 2 /

    9 4

    Z iZ i Z Za Z x iy vrijedi Z x y te slijedi

    Z

    x y i x iy

    Dabi vrijedila jednakost potrebno je da su jednaki rea i dijelovi s desnei lijeve strane jednačine

    kao i imaginarni

    x y x

    y

    x x

    x x x

    += ⇒ + = − = + = +

    + + = + −

    + = −

    =

    + = −

    + = −

    { } { }

    4

    54 5 .

    4

    5 7Re Im 3 .

    4 4

    x x

    Z Z x y

    +

    = − ⇒ = −

    + = + = − + =

    a) 7

    4 b)

    7

    4− c)

    17

    4 d)

    17

    4−

    7.

    ( )

    ( )( )

    ( )

    1 2

    3sin 2 3sin 2cos 1 0

    3 2sin cos 3sin 2cos 1 0

    3sin 2cos 1 2cos 1 0

    2cos 1 3sin 1 0

    1 51 : cos 2 2

    2 3 3

    12 : sin .

    3

    int 0, 1( ).3

    o

    o

    x x x

    x x x x

    x x x

    x x

    x x k x k

    x rješenja su u III i IV kvadrantu

    Broj rješenja na ervalu je x

    π ππ π

    ππ

    − + − =

    ⋅ − + − =

    − + − =

    − + =

    = ⇒ = + ∧ = +

    = − ⇒

    =

    a) 0 b) 1 c) 3 d) 4

  • 8.

    1

    1

    1 7 1

    3 3 2 6 4 3

    1 33

    6 2 6 3 2

    1 7 1 1

    3 3 2 3 2 3

    1 1 13 3

    2 3 3 3 2

    1 1:

    3 3 3 2

    7 1/ 6

    2 3

    13 3 / 7

    2

    6 21 2

    721 21

    2

    1919 2

    2

    21 3 3

    3

    12 /

    3 3

    1 2/

    3 2 3

    3

    x y x y

    x y x y

    x y x y

    x y x y

    Smjena a bx y x y

    a b

    a b

    a b

    a b

    a a

    b b

    x y

    x y

    x

    − = −− − + +

    + =− − + +

    − ⋅ = −− − + +

    ⋅ + ⋅ =− − + +

    = ∧ =− − + +

    − = − ⋅

    + = ⋅

    − = −

    + =

    = ⇒ =

    + = ⇒ =

    =− −

    =+ +

    −1

    3 / 32

    33 2

    2

    39 3 9 / 3

    2

    33 2

    2

    10 7 3 1

    3 3 11 3 2 3

    2 2 2

    1.

    2

    y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y y

    x y

    − = ⋅

    + + =

    − − = ⋅

    + + =

    − = ⇒ =

    + + = ⇒ = − ⇒ = −

    ⋅ = −

    a) 1

    2− b)

    4

    3− c) 2 d)

    4

    3

  • 9.

    ( ) ( ) ( )2 2 2

    2

    2

    2

    1 2

    0

    1

    1

    2

    1 2

    2 4 5 25 7 10

    2 2 7 2 5 5 5 0 / : 5

    2 22 7 5 0

    5 5

    2 22 7 5 0

    5 5

    2:

    5

    2 7 5 0

    51

    2

    2 21 0

    5 5

    2 5 21

    5 2 5

    x x x

    x x x x x

    x x

    x x

    x x

    x

    x

    x

    Smjena t

    t t

    t t

    x

    x

    x x

    ⋅ + ⋅ = ⋅

    ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

    ⋅ − ⋅ + =

    ⋅ − ⋅ + =

    =

    − + =

    = ∧ =

    = = ⇒ =

    = = ⇒ = −

    + 1.= −

    a) 0 b) 1 c) 2 d) 1−

    10.

    2

    2

    20 2 20

    : 1: 2 2

    4 20 4 8.

    64 4 60 2 152

    4 2 154 15.

    2 2

    a

    a

    a b b a b

    a b a b

    a a a b

    ah b

    a hP

    + + = ⇒ + =

    = ⇒ =

    + = ⇒ = ⇒ =

    = − = − = =

    ⋅ ⋅= = =

    a) 2 17 b) 4 17 c) 4 15 d) 2 15

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 22.09.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    1. Zbir svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )

    22 23 6 2 3 6 8 0x x x x− − − − − − = je:

    a) 6 b) 12 c) 6− d) 2

    2.

    Za koje vrijednosti parametra k su zbir i proizvod realnih rješenja jednačine

    ( ) ( ) ( )23 4 1 3 1 0k x k x k− + + + + = uvijek negativni:

    a) 1

    3,3

    − −

    b) 1

    ,14

    c) 1 1

    ,3 4

    − −

    d) ( )1, + ∞

    3. Broj realnih rješenja jednačine 2 3 2 2 0x x+ − + = je:

    a) 2 b) 0 c) 5 d) 3

    4.

    Zbir kvadrata realnih rješenja sistema jednačina 2 3x y+ = i 2 9x y− = je:

    a) 1 b) 2

    2

    3log 3

    2 c) 2

    2

    9log 3

    4 d) 2

    2

    5log 3

    2

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 3

    2

    log log 3 5 1x − ≥ − je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi 2

    11

    Z i

    Z

    +=

    −?

    a) 1

    2− b)

    1

    2 c)

    3

    2 d)

    7

    2

    7. Broj rješenja jednačine 3sin 2 3sin 2cos 1 0x x x+ + + = na intervalu ( )0,π je: a) 1 b) 0 c) 2 d) 3

    8.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina

    2 3 3

    2 3 2 4 4 4x y x y− =

    + − − − i

    1 2 15

    4 2 6 2 2 4x y x y+ =

    + − − − je:

    a) 9

    4− b)

    9

    4 c)

    2

    3− d) 1

    9. Zbir realnih rješenja jednačine 3 9 5 25 8 15x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 1 b) 0 c) 2 d) 1−

    10.

    Obim jednakokrakog ABC trougla je 16 , a odnos stranica je

    : 2 : 3a b = . Koliko iznosi površina trougla?

    a) 4 2 b) 8 2 c) 8 d) 16

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 22.09.2017. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    1.

    ( ) ( )2

    2 2

    2

    2

    1 2

    2

    2

    1 2

    2

    2

    3 4

    1 2 3 4

    3 6 2 3 6 8 0

    : 3 6

    2 8 0

    4 2

    3 6 4

    3 10 0

    5 2

    3 6 2

    3 4 0

    4 1

    5 2 4 1 6.

    x x x x

    Smjena x x t

    t t

    t t

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x

    x x x x

    − − − − − − =

    − − =

    − − =

    = ∧ = −

    − − =

    − − =

    = ∧ = −

    − − = −

    − − =

    = ∧ = −

    + + + = − + − =

    a) 6 b) 12 c) 6− d) 2

    2.

    ( ) ( ) ( )

    ( )

    2

    2

    1 2 1 2

    1 2 1 2

    1

    2

    1 2 1

    3 4 1 3 1 0

    0 : .

    4 1 3 1

    3 3

    4 1 4 1 10 0 , 3,

    3 3 4

    3 1 10 , 3

    3 3

    1 1,

    3 4

    k x k x k

    b cZa rješenja kvadratne jednačine ax bx c vrijedi x x x x

    a a

    k kx x x x

    k k

    k kk

    k k

    kk

    k

    k k k k

    − + + + + =

    + + = + = − ∧ ⋅ =

    + ++ = − ∧ ⋅ =

    − −

    + + − < ⇒ > ⇒ ∈ −∞ − ∪ + ∞

    − −

    + < ⇒ ∈ − +

    = ∩ ⇒ ∈ − −

    .

    a) 1

    3,3

    − −

    b) 1

    ,14

    c) 1 1

    ,3 4

    − −

    d) ( )1, + ∞

    3.

    2

    2

    2

    3 2 2 0

    0 2 0 2 0 , :

    3 2 2 0 , . ln .

    x x

    Kako je x x za x R onda slijedi

    x x za x R tj data jednačina nema rea ih rješenja

    + − + =

    ≥ ∧ − ≥ ∧ > ∀ ∈

    + − + = ∀ ∈

    a) 2 b) 0 c) 5 d) 3

  • 4.

    ( )

    ( )

    2

    2

    2 2

    2

    2 2

    2 2

    3 2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    2 2 2 22 2 2 2 2 2

    2 3 / log

    2 9 / log

    log 2 log 3

    log 2 log 3

    log 2 log 3

    log 3 2 log 3

    log 3

    2 log 3

    2 3log 3

    3log 3

    2

    3log 3log 3

    2

    log 3

    2

    3log 3 log 3 9 log 3 log 3 10 log

    2 2 4 4

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x y

    x

    x

    y

    y

    x y

    +

    +

    =

    =

    =

    =

    + =

    − =

    + =

    − = +

    =

    =

    + =

    = −

    + = + − = + =

    2 2

    2 23 5log 3 .4 2

    =

    a) 1 b) 2

    2

    3log 3

    2 c) 2

    2

    9log 3

    4 d) 2

    2

    5log 3

    2

    5.

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    1 3

    2

    1

    3 3 2

    1 2

    1 3 1 1

    2 2 2

    2

    3 3 3

    log log 3 5 1

    :

    53 5 0

    3

    log 3 5 0 log 1 3 5 1 2

    2.

    1log log 3 5 1 log log 2

    2

    log 3 5 2 log 3 log 3

    143 5 9 .

    3

    14: 2, .

    3

    DP

    x

    DP

    x x

    x x x

    x x x x

    x

    x

    x x

    Rješenje nejednačine x

    Broj cjelobrojnih rješenja je

    − ≥ −

    − > ⇒ >

    − > = ⇒ − > ⇒ >

    = ∩ ⇒ >

    − ≥ − ⋅ =

    − ≤ ⋅ =

    − ≤ ⇒ ≤

    2( : 3 4).cjelobrojna rješenja su i

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

  • 6.

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    2 2

    21 2 1. , :

    1

    2 1

    ln ,

    .

    1

    2

    4 1 /

    4 2

    Z iZ i Z Za Z x iy vrijedi Z x y te slijedi

    Z

    x y i x iy

    Dabi vrijedila jednakost potrebno je da su jednaki rea i dijelovi s desnei lijeve strane jednačine

    kao i imaginarni

    x y x

    y

    x x

    x x x

    += ⇒ + = − = + = +

    + + = + −

    + = −

    =

    + = −

    + = −

    { } { }

    1

    32 3 .

    2

    3 1Re Im 2 .

    2 2

    x x

    Z Z x y

    +

    = − ⇒ = −

    + = + = − + =

    a) 1

    2− b)

    1

    2 c)

    3

    2 d)

    7

    2

    7.

    ( )

    ( )( )

    ( )

    1 2

    3sin 2 3sin 2cos 1 0

    3 2sin cos 3sin 2cos 1 0

    3sin 2cos 1 2cos 1 0

    2cos 1 3sin 1 0

    1 2 41 : cos 2 2

    2 3 3

    12 : sin .

    3

    2int 0, 1( ).

    3

    o

    o

    x x x

    x x x x

    x x x

    x x

    x x k x k

    x rješenja su u III i IV kvadrantu

    Broj rješenja na ervalu je x

    π ππ π

    ππ

    + + + =

    ⋅ + + + =

    + + + =

    + + =

    = − ⇒ = + ∧ = +

    = − ⇒

    =

    a) 1 b) 0 c) 2 d) 3

  • 8.

    1

    2 3 3

    2 3 2 4 4 4

    1 2 15

    4 2 6 2 2 4

    1 3 1 32

    2 3 2 2 2 4

    1 1 1 152

    2 2 3 2 2 4

    1 1:

    2 3 2 2

    3 32 / 16

    2 4

    1 152 / 12

    2 4

    32 24 12

    6 24 45

    338 57

    2

    3 3 33

    2 4 2

    1 3/

    2 3 2

    1

    2

    x y x y

    x y x y

    x y x y

    x y x y

    Smjena a bx y x y

    a b

    a b

    a b

    a b

    a a

    b b

    x y

    x y

    − =+ − − −

    + =+ − − −

    ⋅ − ⋅ =+ − − −

    ⋅ + ⋅ =+ − − −

    = ∧ =+ − − −

    − = ⋅

    + = ⋅

    − =

    + =

    = ⇒ =

    − = ⇒ =

    =+ −

    13 /2 2

    22 3 / 2

    3

    22 2

    3

    44 2 6

    3

    22 2

    3

    5 8 2 2

    2 14 3

    3 3

    2.

    3

    x y

    x y

    x y

    x y

    x x

    y y

    x y

    −=−

    + − = ⋅

    − − =

    + − =

    − − =

    − = ⇒ =

    + − = ⇒ = −

    ⋅ = −

    a) 9

    4− b)

    9

    4 c)

    2

    3− d) 1

  • 9.

    ( ) ( ) ( )2 2 2

    2

    2

    2

    1 2

    0

    1

    1

    2

    1 2

    3 9 5 25 8 15

    3 3 8 3 5 5 5 0 / : 5

    3 33 8 5 0

    5 5

    3 33 8 5 0

    5 5

    3:

    5

    3 8 5 0

    51

    3

    3 31 0

    5 5

    3 5 31

    5 3 5

    x x x

    x x x x x

    x x

    x x

    x x

    x

    x

    x

    Smjena t

    t t

    t t

    x

    x

    x x

    ⋅ + ⋅ = ⋅

    ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ =

    ⋅ − ⋅ + =

    ⋅ − ⋅ + =

    =

    − + =

    = ∧ =

    = = ⇒ =

    = = ⇒ = −

    + 1.= −

    a) 1 b) 0 c) 2 d) 1−

    10. 2

    2

    16 2 16

    3: 2 : 3 3 2

    2

    3 16 4 6.

    36 4 32 4 22

    4 4 28 2.

    2 2

    a

    a

    a b b a b

    a b a b b a

    a a a b

    ah b

    a hP

    + + = ⇒ + =

    = ⇒ = ⇒ =

    + = ⇒ = ⇒ =

    = − = − = =

    ⋅ ⋅= = =

    a) 4 2 b) 8 2 c) 8 d) 16

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 01.07.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1. Realna vrijednost izraza ( ) 33 2 15 3 26+ ⋅ − je: a) 3− b) 1− c) 3 d) 1

    2.

    Koliko iznosi zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje razlika rješenja jednačine

    ( ) ( )23 1 3 2 0k x k x k− + + + = iznosi 1?

    a) 11

    6 b)

    1

    4 c)

    1

    4− d)

    11

    3

    3. Broj realnih rješenja jednačine 2 3 1 2 0x x+ − + = je:

    a) 1 b) 4 c) 2 d) 0

    4. Dat je niz brojeva 01234 01234 01234... Koji broj se nalazi na 2016. mjestu?

    a) 4 b) 1 c) 0 d) 3

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 3

    2

    log log 2 3 1x − ≥ − je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 0

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi

    21

    1

    Z i

    Z

    += −

    −?

    a) 7

    2 b) 2 c)

    7

    2− d)

    1

    2

    7. Broj rješenja jednačine sin 2 2sin cos 1 0x x x+ + + = na intervalu ( )0,π je: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

    8.

    Koliko iznosi ( )2f ako je ( ) ( ) ( )2

    2 3 2 2f x f x x+ − = − ?

    a) 0 b) 12

    13 c) 2 d)

    12

    5

    9.

    Zbir realnih rješenja jednačine 5 9 3 25 8 15x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 1

    2− b)

    1

    2 c) 1 d) 1−

    10.

    Trougao ABC je presiječen s dvije paralelne prave. Ako

    vrijedi : 2 :1CB CF = i 8CD = , koliko iznosi CE ?

    a) 4 b) 1

    2 c) 8 d) 2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 01.07.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1. Realna vrijednost izraza 62 1 5 2 7− ⋅ + je:

    a) 1 b) 3 c) 2 d) 2 2

    2.

    Koliko iznosi zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje razlika rješenja jednačine

    ( ) ( )21 2 1 2 0k x k x k+ − − − = iznosi 2 ?

    a) 3

    8 b)

    3

    4 c)

    3

    4− d)

    1

    2

    3. Broj realnih rješenja jednačine

    2 4 1 3 0x x+ + + = je:

    a) 1 b) 0 c) 4 d) 2

    4. Dat je niz brojeva 1234 1234 1234... Koji broj se nalazi na 2016. mjestu?

    a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 2

    4

    log log 2 3 1x + ≥ − je:

    a) 6 b) 4 c) 7 d) 0

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi 2

    11

    Z i

    Z

    −=

    +?

    a) 1

    2− b)

    7

    2− c)

    7

    2 d) 1

    7. Broj rješenja jednačine sin 2 2sin cos 1 0x x x− + − = na intervalu ( )0,π je: a) 3 b) 2 c) 1 d) 0

    8.

    Koliko iznosi ( )3f ako je ( ) ( ) ( )2

    2 3 3f x f x x+ − = − ?

    a) 3 b) 3− c) 0 d) 1

    3

    9.

    Zbir realnih rješenja jednačine 9 16 4 81 13 36x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 1− b) 1

    2 c) 1 d)

    1

    2−

    10.

    Trougao ABC je presiječen s dvije paralelne prave. Ako

    vrijedi : 3 : 2AC DC = i 6CF = , koliko iznosi CE ?

    a) 3

    2 b) 4 c) 3 d)

    2

    3

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 01.07.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA C

    1. Realna vrijednost izraza ( ) 33 2 15 3 26− ⋅ + je: a) 1 b) 3 c) 3− d) 1−

    2.

    Koliko iznosi zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje razlika rješenja jednačine

    ( ) ( )22 3 1 2 3 2 0k x k x k+ − − − = iznosi 1?

    a) 8

    3 b)

    11

    6− c)

    3

    16 d)

    1

    2

    3. Broj realnih rješenja jednačine

    25 1 4 0x x+ − + = je:

    a) 4 b) 2 c) 0 d) 1

    4. Dat je niz brojeva 123456 123456 123456... Koji broj se nalazi na 2016. mjestu?

    a) 4 b) 6 c) 2 d) 1

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 2

    3

    log log 2 3 1x − ≥ − je:

    a) 4 b) 2 c) 0 d) 3

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi

    31

    2

    Z i

    Z

    += −

    −?

    a) 7

    4 b)

    17

    4 c)

    17

    4− d) 2

    7. Broj rješenja jednačine sin 2 2sin 2 cos 2 0x x x+ + + = na intervalu ( )0,π je: a) 2 b) 1 c) 3 d) 0

    8.

    Koliko iznosi ( )2f ako je ( ) ( ) ( )2

    3 2 2 2f x f x x+ − = − ?

    a) 2 b) 8

    5− c) 0 d)

    8

    13−

    9.

    Zbir realnih rješenja jednačine 3 9 5 25 8 15x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 1− b) 1

    2− c) 1 d) 2−

    10.

    Trougao ABC je presiječen s dvije paralelne prave. Ako

    vrijedi : 2 :1CB CF = i 3CE = , koliko iznosi CD ?

    a) 3

    2 b)

    1

    2 c) 6 d) 2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 01.07.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA D

    1. Realna vrijednost izraza 62 1 5 2 7+ ⋅ − je:

    a) 2 b) 1 c) 2 2 d) 3

    2.

    Koliko iznosi zbir svih realnih vrijednosti parametra k za koje razlika rješenja jednačine

    ( ) ( )21 2 1 2 0k x k x k− + + + = iznosi 2 ?

    a) 3

    8 b)

    8

    3− c)

    3

    20 d)

    5

    2

    3. Broj realnih rješenja jednačine 2 6 1 5 0x x+ + + = je:

    a) 0 b) 1 c) 2 d) 4

    4. Dat je niz brojeva 12345 12345 12345... Koji broj se nalazi na 2016. mjestu?

    a) 4 b) 5 c) 3 d) 1

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 4

    2

    log log 2 3 1x + ≥ − je:

    a) 4 b) 7 c) 0 d) 6

    6.

    Koliko iznosi zbir realnog i imaginarnog dijela kompleksnog broja Z ako vrijedi 3

    12

    Z i

    Z

    −=

    +?

    a) 17

    4 b)

    17

    4− c)

    7

    4− d) 2−

    7. Broj rješenja jednačine sin 2 2sin 2 cos 2 0x x x− + − = na intervalu ( )0,π je: a) 3 b) 1 c) 2 d) 0

    8.

    Koliko iznosi ( )3f ako je ( ) ( ) ( )2

    2 3 3f x f x x+ − = − ?

    a) 6 b) 18

    5 c) 3 d) 0

    9.

    Zbir realnih rješenja jednačine 4 16 9 81 13 36x x x⋅ + ⋅ = ⋅ je:

    a) 1

    2 b) 1− c) 1 d) 2

    10.

    Trougao ABC je presiječen s dvije paralelne prave. Ako

    vrijedi : 3 : 2AC DC = i 6CE = , koliko iznosi CF ?

    a) 3

    2 b)

    2

    3 c) 4 d) 9

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 31.08.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1. Zbir svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )

    22 23 6 2 3 6 8 0x x x x+ − − + − − = je:

    a) 6 b) 0 c) 10− d) 6−

    2.

    Za koje vrijednosti parametra k su zbir i proizvod realnih rješenja jednačine

    ( ) ( ) ( )22 2 1 3 1 0k x k x k+ + − + − = uvijek pozitivni?

    a) 1 1

    ,3 2

    b) 1 1

    ,2 3

    − −

    c) 1

    2,2

    − −

    d) ( ), 2−∞ −

    3.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina 2 3x y+ = i 2 9x y− = je:

    a) 22

    3log 3

    2− b) 1 c) 22

    3log 3

    4− d) 22

    3log 3

    2

    4. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 2

    2

    1log log 4 4 2 4

    6 2 12

    x x

    x≥ − ⋅ +

    ⋅ − je:

    a) 4 b) 2 c) 1 d) 0

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine

    2

    2

    1 6 51

    1 2 3

    x x

    x x

    − +≤

    + − je:

    a) 0 b) 3 c) 1 d) 2

    6.

    Koliko iznosi vrijednost izraza ( ) ( )cos 75 sin 75 sin15 cos15i i+ ⋅ −o o o o ?

    a) 1 b) i− c) 0 d) 6 2

    4

    7.

    Za koje realne vrijednosti ugla x na segmentu [ ]0,2π vrijedi

    3 3 6sin 2 3 cos 2sin 20

    5 5sin 4cos 2sin 2

    x x x

    x x x

    + − −≤

    + − −?

    a) 4

    ,3

    ππ

    b) 4 3 3 5

    , ,3 2 2 3

    π π π π ∪

    c) [ ]0,π d) 5

    ,23

    ππ

    8.

    135 studenata krenulo je s 3 autobusa na ekskurziju. Na prvom stajalištu iz prvog autobusa pređe u

    drugi 3 studenta, a u treći autobus 9 studenata. Kad su nastavili vožnju u svakom autobusu je bio

    jednak broj studenata. Koliko je studenata bilo u prvom autobusu na početku putovanja?

    a) 54 b) 33 c) 48 d) 57

    9.

    Vrijednost parametra p , za koju prava ( )1 4 0px p y+ − − = ima dva puta veći odsječak na ordinati nego na apscisi, pripada intervalu:

    a) ( ]1,1− b) ( ]1,3 c) ( ]3, 1− − d) ( ]3,5

    10.

    Obim jednakokrakog ABC trougla je 5 , a odnos stranica je : 1: 2a b = . Koliko iznosi površina trougla?

    a) 15

    2 b) 15 c)

    15

    4 d)

    5

    4

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 31.08.2016. godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1. Zbir svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )

    22 22 4 3 2 4 4 0x x x x+ − − + − − = je:

    a) 8− b) 4− c) 0 d) 4

    2.

    Za koje vrijednosti parametra k su zbir i proizvod realnih rješenja jednačine

    ( ) ( ) ( )22 2 1 3 1 0k x k x k− + + + + = uvijek pozitivni?

    a) 1 1

    ,3 2

    b) 1

    , 22

    c) 1 1

    ,2 3

    − −

    d) ( )2,+ ∞

    3.

    Proizvod realnih rješenja sistema jednačina 3 2x y+ = i 3 4x y− = je:

    a) 1 b) 2

    3

    3log 2

    2− c) 23

    3log 2

    2 d) 2

    3

    3log 2

    4−

    4. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine ( )1 2

    2

    1log log 9 6 3 9

    6 3 18

    x x

    x≥ − ⋅ +

    ⋅ − je:

    a) 1 b) 0 c) 2 d) 4

    5. Broj cjelobrojnih rješenja nejednačine

    2

    2

    2 7 61

    2 3 2

    x x

    x x

    − +≤

    + − je:

    a) 0 b) 1 c) 2 d) 3

    6.

    Koliko iznosi vrijednost izraza ( ) ( )cos15 sin15 sin 75 cos 75i i+ ⋅ −o o o o ?

    a) 6 2

    4

    + b) i− c) 0 d) 1

    7.

    Za koje realne vrijednosti ugla x na segmentu [ ]0,2π vrijedi

    3 3 2 3 sin 6cos 2sin 20

    5 4sin 5cos 2sin 2

    x x x

    x x x

    − + −≤

    − + −?

    a) 5

    ,2 6

    π π

    b) 5 7

    , ,6 6

    π ππ π

    c) 7 4

    ,6 3

    π π

    d) 4 3

    ,3 2

    π π

    8.

    126 studenata krenulo je s 3 autobusa na ekskurziju. Na prvom stajalištu iz prvog autobusa pređe u

    drugi 4 studenta, a u treći autobus 7 studenata. Kad su nastavili vožnju u svakom autobusu je bio

    jednak broj studenata. Koliko je studenata bilo u trećem autobusu na početku putovanja?

    a) 31 b) 46 c) 35 d) 38

    9.

    Vrijednost parametra p , za koju prava ( )1 4 0p x py− + − = ima dva puta veći odsječak na apscisi nego na ordinati, pripada intervalu:

    a) ( ]1,3 b) ( ]3,5 c) ( ]1,1− d) ( ]3, 1− −

    10.

    Obim jednakokrakog ABC trougla je 8 , a odnos stranica je : 2 :3a b = . Koliko iznosi površina trougla?

    a) 2 b) 4 2 c) 4 d) 2 2

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1. Broj realnih rješenja jednačine 24 15 4 4 4x x x x− − − − = − je:

    a) 2 b) 1 c) 3 d) 4

    2.

    Proizvod svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )2

    2 22 2 5 2 3 0x x− − − − = je:

    a) 15

    2 b) 15 c)

    15

    2 d)

    3

    2−

    3.

    Za koje vrijednosti parametra k je zbir realnih rješenja jednačine

    ( ) ( )25 3 5 2 127 0k x k x− + − − = uvijek pozitivan:

    a) 3

    ,5

    −∞ −

    b) 2 3

    ,5 5

    c) 3 2

    ,5 5

    − −

    d) 3

    ,5

    +∞

    4. Zbir realnih rješenja jednačine 36 20 9 6x x+ = ⋅ je:

    a) 9 b) 6log 9 c) 20 d) 6log 20

    5. Skup realnih rješenja nejednačine ( )4log 14 4 45 2x x⋅ − > je: a) ( )40, log 5 b) ( )5,9 c) ( )4 4log 5, log 9 d) ( )9, + ∞

    6.

    Koliko iznosi { } { }1 1Re ImZ Z+ ako za izraz 15 3 2

    4 5

    i ZZ

    i Z

    − −=

    + − vrijedi da je 4Z i= + ?

    a) 1

    3− b)

    4

    3− c)

    5

    3− d) 1−

    7.

    Koliko je ( )2f − ako je ( )1

    3 2f x f xx

    − =

    ?

    a) 8

    7 b)

    8

    7− c) 1− d)

    7

    8

    8.

    Za koje realne vrijednosti ugla x iz I kvadranta vrijedi sin 2 4sin 3 cos 2 3

    02sin 2 2sin 6cos 3

    x x x

    x x x

    + − −>

    + + +:

    a) 0,6

    π

    b) ,3 2

    π π

    c) ,6 4

    π π

    d) ,4 3

    π π

    9.

    Dva pravca 3 6 0x y− − = i 3 4 21 0x y+ − = sa x-osom čine trougao. Koliko iznosi površina

    tog trougla?

    a) 25

    2 b)

    5

    2 c)

    15

    2 d) 5

    10.

    Za pravougli trougao poznate su vrijednosti ugla 075α = i odsječka 6q = . Koliko iznosi površina trougla?

    α

    a) ( )2

    36 2 3+ b) ( )2

    36 2 3− c) ( )2

    72 2 3+ d) ( )2

    72 2 3−

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA A

    1.

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    2

    2

    1 2

    4 15 4 4 4 4 4 1 4 4

    4 4 1 4 4 4 4 1 1 4

    14 1 ,

    4, 4 44 , 4 1

    ( 4), 4 14 1 ,

    4

    1: , 4 4 1 1 4 2 5 4 0

    4

    5 57 1 5 57, .

    4 4 4

    :

    x x x x x x x x

    x x x x x x x

    x xx x

    x xx x

    x x

    I x x x x x x

    x I x I

    II x

    − − − − = − ⇒ − + − − = − ⇒

    − ⋅ + − − = − ⇒ − + − = −

    + ≥ −− ≥

    − = + = − − ⇒ < ⇒ ∈

    − −

    a) 3

    ,5

    −∞ −

    b) 2 3

    ,5 5

    c) 3 2

    ,5 5

    − −

    d) 3

    ,5

    +∞

    4.

    ( )2

    1 6

    2 6

    1 2 6 6 6

    36 20 9 6 ; 6 9 6 20 0;

    6 5 log 5.

    6 4 log 4.

    log 5 log 4 log 20.

    x x x x

    x

    x

    x

    x

    x x

    + = ⋅ − ⋅ + =

    = ⇒ =

    = ⇒ =

    + = + =

    a) 9 b) 6log 9 c) 20 d) 6log 20

  • 5.

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    4 4

    22 2

    4 4

    4 4 4 4

    45 45log 14 4 45 2 ; . . : 14 4 45 0; 4 ; log .

    14 14

    log 14 4 45 log 4 ; 14 4 45 4 ; 4 14 4 45 0;

    4 5 4 9 0 log 5, log 9 . . log 5, log 9 .

    x x x

    x x x x x x

    x x

    x D P x

    x D P x

    ⋅ − > ⋅ − > > >

    ⋅ − > ⋅ − > − ⋅ + <

    − − < ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈

    a) ( )40, log 5 b) ( )5,9 c) ( )4 4log 5, log 9 d) ( )9, + ∞

    6.

    { } { } { } { }

    1

    1

    1 1 1 1

    5 3 2; 4 ; 4

    4 5

    5 3 8 2 3 5 3 5 5 3 5 3

    4 5 4 6 6 6 6 6

    5 3 2 1Re Im . Re Im .

    6 6 6 3

    i ZZ Z i Z i

    i Z

    i i i i i iZ i

    i i i i

    Z Z Z Z

    − −= = + = −

    + −

    − − − − − − + − += = ⋅ = = = − +

    + − + −

    = − ∧ = + = − = −

    a) 1

    3− b)

    4

    3− c)

    5

    3− d) 1−

    7.

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    13 2 . ln :

    1 1 12 2 3 4. 3 2 1

    2 2 2

    72 .

    8

    f x f x Iz zadate funkciona e relacije se dobiva sistemx

    Za x f f Za x f f

    Rješenje sistema f

    − =

    = − ⇒ − − − = − = − ⇒ − − − = −

    − =

    a) 8

    7 b)

    8

    7− c) 1− d)

    7

    8

    8.

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )( )( )( )

    sin 2 4sin 3 cos 2 3 2sin cos 4sin 3 cos 2 30; 0;

    2sin 2 2sin 6cos 3 4sin cos 2sin 6cos 3

    2sin 3 cos 22sin cos 2 3 cos 20; 0.

    2sin 2cos 1 3 2cos 1 2sin 3 2cos 1

    :

    32sin 3 0 sin

    2

    x x x x x x x

    x x x x x x x

    x xx x x

    x x x x x

    U prvom kvadrantu

    x x

    + − − + − −> >

    + + + + + +

    − ++ − +> >

    + + + + +

    − > ⇒ > ⇒ , . cos 2 0 .3 2

    2sin 3 0 . 2cos 1 0 0, .2

    : , .3 2

    x x za x R

    x za x R x za x

    Rješenje nejednačineu I kvadrantu x

    π π

    π

    π π

    ∈ + > ∀ ∈

    + > ∀ ∈ + > ∀ ∈

    a) 0,6

    π

    b) ,3 2

    π π

    c) ,6 4

    π π

    d) ,4 3

    π π

    9.

    1 2

    1

    2

    0.

    : 3 6 0 2

    : 3 4 21 0 7 5.

    ( ).

    153. : .

    2 2

    A B

    A

    B p B A

    p

    C

    Tačke Ai B se dobivaju iz jednačina pravaca p i p za y y

    p x y x

    p x y x x x x

    Tačka C se dobiva kao presjek pravaca rješenje sistema

    x hh y Površina trougla je P

    = =

    − − = ⇒ =

    + − = ⇒ = ⇒ = − =

    ⋅= = = =

    a) 25

    2 b)

    5

    2 c)

    15

    2 d) 5

  • 10.

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    0 0

    0

    0 00 0 0

    0 0

    22

    75 , 15 .

    15 .

    45 3015 45 30 2 3 6 2 3 .

    1 45 30

    36 4 4 3 36 7 4 3 .

    6

    : 6 8 4 3 24 2 3 .

    Ako je u pravouglomtrouglu onda je

    htg h q tg

    q

    tg tgtg tg h

    tg tg

    Iz sličnosti trouglova se dobiva

    hh p q p

    q

    Hipotenuza c p q

    Pov

    α β

    β

    = =

    = ⇒ = ⋅

    −= − = = − ⇒ = ⋅ −

    + ⋅

    − += ⋅ ⇒ = = = −

    = + = − = −

    ( )2

    : 72 2 3 .2

    c hršina trougla P

    ⋅= = −

    α

    a) ( )2

    36 2 3+ b) ( )2

    36 2 3− c) ( )2

    72 2 3+ d) ( )2

    72 2 3−

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1. Broj realnih rješenja jednačine 24 15 4 4 4x x x x+ − − + = je:

    a) 4 b) 1 c) 3 d) 2

    2.

    Proizvod svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )2

    2 22 1 5 1 3 0x x− − − − = je:

    a) 2 b) 2 c) 3

    2 d)

    3

    2−

    3.

    Za koje vrijednosti parametra k je zbir realnih rješenja jednačine

    ( ) ( )25 2 3 4 133 0k x k x+ − + − = uvijek negativan:

    a) 2 4

    ,5 3

    b) 4

    ,3

    −∞ −

    c) 4 2

    ,3 5

    − −

    d) 4

    ,3

    +∞

    4. Zbir realnih rješenja jednačine 36 21 10 6x x+ = ⋅ je:

    a) 6log 21 b) 6log 10 c) 21 d) 10

    5. Skup realnih rješenja nejednačine ( )5log 13 5 42 2x x⋅ − > je: a) ( )7,+ ∞ b) ( )5 5log 6, log 7 c) ( )50, log 6 d) ( )6,7

    6.

    Koliko iznosi { } { }1 1Re ImZ Z+ ako za izraz 15 3 3

    3 4

    i ZZ

    i Z

    + −=

    − − vrijedi da je 3 2Z i= + ?

    a) 5

    2− b) 4− c)

    1

    2− d) 1−

    7.

    Koliko je ( )3f ako je ( ) ( )2 3f x f x x+ − = ?

    a) 1

    2− b)

    1

    2 c) 2 d) 1−

    8.

    Za koje realne vrijednosti ugla x iz I kvadranta vrijedi sin 2 6sin cos 3

    02sin 2 2 3 sin 6cos 3 3

    x x x

    x x x

    + − −<

    + + +:

    a) 0,6

    π

    b) ,6 4

    π π

    c) ,4 3

    π π

    d) ,3 2

    π π

    9.

    Dva pravca 5 2 5 0x y− − = i 5 3 30 0x y+ − = sa x-osom čine trougao. Koliko iznosi površina

    tog trougla?

    a) 5 b) 5

    2 c)

    15

    2 d)

    25

    2

    10.

    Za pravougli trougao poznate su vrijednosti ugla 015β = i

    odsječka 2p = . Koliko iznosi površina trougla?

    β

    a) ( )2

    8 2 3− b) ( )2

    8 2 3+ c) ( )2

    4 2 3− d) ( )2

    4 2 3+

    NAPOMENA

    Poslije svakog zadatka ponuđena su četiri odgovora. Zaokružite slovo ispred tačnog odgovora. Svaki zadatak nosi 4 boda. Samo zaokruženo tačno rješenje zadatka koje je potkrijepljeno izradom na pomoćnim papirima nosi 4 boda. U ostalim slučajevima zadatak ne nosi bodove.

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA B

    1.

    ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )

    2

    1 2

    4 15 4 4 4 4 4 1 4 4

    4 4 1 4 4 4 4 1 1 4

    14 1 ,

    4, 4 44 , 4 1

    ( 4), 4 14 1 ,

    4

    : , 4 4 4 1 1 4 4 3 0 0 , 3 .

    1: 4, 4 4 1 1

    4

    x x x x x x x x

    x x x x x x x

    x xx x

    x xx x

    x x

    I x x x x x x x I x I

    II x x x

    + − − + = ⇒ + − − + = ⇒

    + ⋅ − − + = ⇒ + − − =

    − ≥+ ≥ −

    + = − = − + < − − − <

    ∈ −∞ − ⇒ − + − − − = ⇒ + = ⇒ = ∉ = − ∉

    ∈ − ⇒ + − − −

    ( )

    ( ) ( )

    3 4

    2

    5

    6

    1 2

    4 4 5 0 0 , 5 .

    1 5 57: , 4 4 1 1 4 2 5 4 0 ,

    4 4

    5 57.

    4

    5 57: 0. 2.

    4

    x x x x II x II

    III x x x x x x x III

    x III

    Rješenja jednačine x x Broj rješenja

    = ⇒ + = ⇒ = ∈ = − ∉

    − − ∈ +∞ ⇒ + − − = ⇒ + − = ⇒ = ∉

    − += ∈

    − += ∧ =

    a) 4 b) 1 c) 3 d) 2

    2.

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    22 2

    2 2

    1 1

    2 2 0 2 2

    1/2 3/4

    1 2 3 4

    3 1 5 1 2 0

    1: 1 3 5 2 0 2 .

    3

    1 2 21 : 1 2 3 3. 2 : 1 .

    3 3 3

    2 23 3 2.

    3 3

    o

    x x

    Smjena x t t t t t

    x x x x x x

    x x x x

    − − − − =

    − = ⇒ − − = ⇒ = ∧ = −

    − = ⇒ = ⇒ = ± − = − ⇒ = ⇒ = ±

    ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅ − =

    a) 2 b) 2 c) 3

    2 d)

    3

    2−

    3.

    ( ) ( )

    ( )( )

    2

    2

    1 2

    5 2 5 3 133 0

    0 :

    5 2 3 20 , .

    5 3 5 5

    k x k x

    PoViete ovim pravila zbir rješenja kvadratne jednačine ax bx c je

    kbx x x

    a k

    + − + − =

    − + + =

    + + = − ⇒ < ⇒ ∈ − −

    +

    a) 2 4

    ,5 3

    b) 4

    ,3

    −∞ −

    c) 4 2

    ,3 5

    − −

    d) 4

    ,3

    +∞

    4.

    ( )2

    1 6

    2 6

    1 2 6 6 6

    36 21 10 6 ; 6 10 6 21 0;

    6 7 log 7.

    6 3 log 3.

    log 7 log 3 log 21.

    x x x x

    x

    x

    x

    x

    x x

    + = ⋅ − ⋅ + =

    = ⇒ =

    = ⇒ =

    + = + =

    a) 6log 21 b) 6log 10 c) 21 d) 10

  • 5.

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    5 5

    22 2

    5 5

    5 5 5 5

    42 42log 13 5 42 2 ; . . : 13 5 42 0; 5 ; log .

    13 13

    log 13 5 42 log 5 ; 13 5 42 5 ; 5 13 4 42 0;

    5 6 5 7 0 log 6, log 7 . . log 6, log 7 .

    x x x

    x x x x x x

    x x

    x D P x

    x D P x

    ⋅ − > ⋅ − > > >

    ⋅ − > ⋅ − > − ⋅ + <

    − − < ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈

    a) ( )7,+ ∞ b) ( )5 5log 6, log 7 c) ( )50, log 6 d) ( )6,7

    6.

    { } { } { } { }

    1

    1

    1 1 1 1

    5 3 3; 3 2 ; 3 2

    3 4

    5 3 9 6 4 3 3 4 3 4

    3 4 3 2 2 2 2 2

    3 4 1Re Im . Re Im .

    2 2 2

    i ZZ Z i Z i

    i Z

    i i i i iZ i

    i i i i

    Z Z Z Z

    + −= = + = −

    − −

    + − − − − −= = ⋅ = = −

    − − + −

    = ∧ = − + = −

    a) 5

    2− b) 4− c)

    1

    2− d) 1−

    7.

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )

    2 3 . ln :

    3 2 3 0 3. 0 2 0 3 0.

    3 2.

    f x f x x Iz zadate funkciona e relacije se dobiva sistem

    Za x f f Za x f f

    Rješenje sistema f

    + − =

    = ⇒ + = = ⇒ + =

    =

    a) 1

    2− b)

    1

    2 c) 2 d) 1−

    8.

    ( ) ( )

    ( ) ( )( )( )

    ( )( )

    sin 2 6sin cos 3 2sin cos 6sin cos 30; 0;

    2sin 2 2 3 sin 6cos 3 3 4sin cos 2 3 sin 6cos 3 3

    2sin cos 3 cos 3 2sin 1 cos 30; 0.

    2sin 2cos 3 3 2cos 3 2sin 3 2cos 3

    :

    12sin 1 0 sin

    2

    x x x x x x x

    x x x x x x x

    x x x x x

    x x x x x

    U prvom kvadrantu

    x x x

    + − − + − −< <

    + + + + + +

    + − + − +< <

    + + + + +

    − < ⇒ < ⇒ 0, . cos 3 0 .6

    2sin 3 0 . 2cos 3 0 0, .2

    : 0, .6

    x za x R

    x za x R x za x

    Rješenje nejednačineu I kvadrantu x

    π

    π

    π

    ∈ + > ∀ ∈

    + > ∀ ∈ + > ∀ ∈

    a) 0,6

    π

    b) ,6 4

    π π

    c) ,4 3

    π π

    d) ,3 2

    π π

    9.

    1 2

    1

    2

    0.

    : 5 2 5 0 1

    : 5 3 30 0 6 5.

    ( ).

    255. : .

    2 2

    A B

    A

    B p B A

    p

    C

    Tačke Ai B se dobivaju iz jednačina pravaca p i p za y y

    p x y x

    p x y x x x x

    Tačka C se dobiva kao presjek pravaca rješenje sistema

    x hh y Površina trougla je P

    = =

    − − = ⇒ =

    + − = ⇒ = ⇒ = − =

    ⋅= = = =

    a) 5 b) 5

    2 c)

    15

    2 d)

    25

    2

  • 10.

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    0 0

    0

    0 00 0 0

    0 0

    22

    15 , 75 .

    75 .

    45 3075 45 30 2 3 2 2 3 .

    1 45 30

    4 4 4 3 32 7 4 3 .

    2

    : 2 8 4 3 8 2 3 .

    Ako je u pravouglomtrouglu onda je

    htg h p tg

    p

    tg tgtg tg h

    tg tg

    Iz sličnosti trouglova se dobiva

    hh p q q

    p

    Hipotenuza c p q

    Površ

    β α

    α

    = =

    = ⇒ = ⋅

    += + = = + ⇒ = ⋅ +

    − ⋅

    + += ⋅ ⇒ = = = +

    = + = − = −

    ( )2

    : 8 2 3 .2

    c hina trougla P

    ⋅= = +

    β

    a) ( )2

    8 2 3− b) ( )2

    8 2 3+ c) ( )2

    4 2 3− d) ( )2

    4 2 3+

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA C

    1. Broj realnih rješenja jednačine 24 4 15 4 4x x x x+ − + − = − je:

    a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

    2.

    Proizvod svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )2

    2 23 2 5 2 2 0x x− − − − = je:

    a) 2

    3 b)

    2

    3− c)

    20

    3 d)

    20

    3

    3.

    Za koje vrijednosti parametra k je zbir realnih rješenja jednačine

    ( ) ( )25 2 5 3 131 0k x k x− + − − = uvijek pozitivan:

    a) 3

    ,5

    −∞ −

    b) 2 3

    ,5 5

    c) 3

    ,5

    +∞

    d)

    3 2,

    5 5

    − −

    4. Zbir realnih rješenja jednačine 36 24 11 6x x+ = ⋅ je:

    a) 6log 24 b) 6log 11 c) 24 d) 11

    5. Skup realnih rješenja nejednačine ( )4log 16 4 63 2x x⋅ − > je: a) ( )9, + ∞ b) ( )4 4log 7, log 9 c) ( )7,9 d) ( )40, log 7

    6.

    Koliko iznosi { } { }1 1Re ImZ Z+ ako za izraz 13 5 2

    1 3

    i ZZ

    i Z

    − +=

    + − vrijedi da je 1 4Z i= + ?

    a) 12

    7− b)

    2

    7 c)

    2

    7− d)

    8

    7−

    7.

    Koliko je ( )3f − ako je ( )1

    2 3f x f xx

    − =

    ?

    a) 11

    3 b)

    3

    11 c)

    3

    11− d) 1

    8.

    Za koje realne vrijednosti ugla x iz I kvadranta vrijedi sin 2 6sin 3 cos 3 3

    03sin 2 3sin 8cos 4

    x x x

    x x x

    + + +<

    − + −:

    a) ,3 2

    π π

    b) 0,6

    π

    c) ,6 4

    π π

    d) ,4 3

    π π

    9.

    Dva pravca 3 3 0x y− − = i 3 4 18 0x y+ − = sa x-osom čine trougao. Koliko iznosi površina

    tog trougla?

    a) 25

    2 b)

    15

    2 c)

    5

    2 d) 5

    10.

    Za pravougli trougao poznate su vrijednosti ugla 075α = i odsječka 3q = . Koliko iznosi površina trougla?

    α

    a) ( )2

    18 2 3+ b) ( )2

    9 2 3− c) ( )2

    9 2 3+ d) ( )2

    18 2 3−

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA C

    1.

    ( )( ) ( )( )

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    2

    1 2

    4 4 15 4 4

    4 4 4 1 4 4 4 4 1 4

    4 4 4 1 4 4 1 4 1 4

    14 1 ,

    4, 4 44 , 4 1

    ( 4), 4 14 1 ,

    4

    : , 4 4 1 4 1 4 4 3 0 0 , 3 .

    1: 4,

    4

    x x x x

    x x x x x x x x

    x x x x x x x

    x xx x

    x xx x

    x x

    I x x x x x x x I x I

    II x

    + − + − = −

    + − + − = − ⇒ + − + − = − ⇒

    + − + ⋅ − = − ⇒ + − − = −

    − ≥+ ≥

    + = − = − + ⇒ < ⇒ ∈

    − −

    a) 3

    ,5

    −∞ −

    b) 2 3

    ,5 5

    c) 3

    ,5

    +∞

    d)

    3 2,

    5 5

    − −

    4.

    ( )2

    1 6

    2 6

    1 2 6 6 6

    36 24 11 6 ; 6 11 6 24 0;

    6 8 log 8.

    6 3 log 3.

    log 8 log 3 log 24.

    x x x x

    x

    x

    x

    x

    x x

    + = ⋅ − ⋅ + =

    = ⇒ =

    = ⇒ =

    + = + =

    a) 6log 24 b) 6log 11 c) 24 d) 11

  • 5.

    ( )

    ( ) ( )

    ( )( ) ( ) ( )

    4 4

    22 2

    4 4

    4 4 4 4

    63 63log 16 4 63 2 ; . . : 16 4 63 0; 4 ; log .

    16 16

    log 16 4 62 log 4 ; 16 4 63 4 ; 4 16 4 63 0;

    4 7 4 9 0 log 7, log 9 . . log 7, log 9 .

    x x x

    x x x x x x

    x x

    x D P x

    x D P x

    ⋅ − > ⋅ − > > >

    ⋅ − > ⋅ − > − ⋅ + <

    − − < ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈

    a) ( )9, + ∞ b) ( )4 4log 7, log 9 c) ( )7,9 d) ( )40, log 7

    6.

    { } { } { } { }

    1

    1

    1 1 1 1

    3 5 2; 1 4 ; 1 4

    1 3

    3 5 2 8 5 3 5 3 3 5 3 5

    1 3 1 4 7 7 7 7 7

    3 5 2Re Im . Re Im .

    7 7 7

    i ZZ Z i Z i

    i Z

    i i i i i iZ i

    i i i i

    Z Z Z Z

    − += = + = −

    + −

    − + + + − −= = ⋅ = = = −

    + − + −

    = ∧ = − + = −

    a) 12

    7− b)

    2

    7 c)

    2

    7− d)

    8

    7−

    7.

    ( )

    ( ) ( )

    ( )

    12 3 . ln :

    1 1 13 3 2 9. 2 3 1.

    3 3 3

    113 .

    3

    f x f x Iz zadate funkciona e relacije se dobiva sistemx

    Za x f f Za x f f

    Rješenje sistema f

    − =

    = − ⇒ − − − = − = − ⇒ − − − = −

    − =

    a) 11

    3 b)

    3

    11 c)

    3

    11− d) 1

    8.

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )( )( )( )

    sin 2 6sin 3 cos 3 3 2sin cos 6sin 3 cos 3 30; 0;

    3sin 2 3sin 8cos 4 6sin cos 3sin 8cos 4

    2sin 3 cos 32sin cos 3 3 cos 30; 0.

    3sin 2cos 1 4 2cos 1 3sin 4 2cos 1

    :

    12cos 1 0 cos

    2

    x x x x x x x

    x x x x x x x

    x xx x x

    x x x x x

    U prvom kvadrantu

    x x

    + + + + + +< <

    − + − − + −

    + ++ + +< <

    − + − + −

    − < ⇒ < ⇒ , . cos 3 0 .3 2

    2sin 4 0 . 2sin 3 0 0, .2

    : , .3 2

    x x za x R

    x za x R x za x

    Rješenje nejednačineu I kvadrantu x

    π π

    π

    π π

    ∈ + > ∀ ∈

    + > ∀ ∈ + > ∀ ∈

    a) ,3 2

    π π

    b) 0,6

    π

    c) ,6 4

    π π

    d) ,4 3

    π π

    9.

    1 2

    1

    2

    0.

    : 3 3 0 1

    : 3 4 18 0 6 5.

    ( ).

    153. : .

    2 2

    A B

    A

    B p B A

    p

    C

    Tačke Ai B se dobivaju iz jednačina pravaca p i p za y y

    p x y x

    p x y x x x x

    Tačka C se dobiva kao presjek pravaca rješenje sistema

    x hh y Površina trougla je P

    = =

    − − = ⇒ =

    + − = ⇒ = ⇒ = − =

    ⋅= = = =

    a) 25

    2 b)

    15

    2 c)

    5

    2 d) 5

  • 10.

    ( ) ( )

    ( )( )

    ( ) ( )

    0 0

    0

    0 00 0 0

    0 0

    22

    75 , 15 .

    15 .

    45 3015 45 30 2 3 3 2 3 .

    1 45 30

    9 4 4 3 33 7 4 3 .

    3

    : 3 8 4 3 12 2 3 .

    Ako je u pravouglomtrouglu onda je

    htg h q tg

    q

    tg tgtg tg h

    tg tg

    Iz sličnosti trouglova se dobiva

    hh p q p

    q

    Hipotenuza c p q

    Povr

    α β

    β

    = =

    = ⇒ = ⋅

    −= − = = − ⇒ = ⋅ −

    + ⋅

    − += ⋅ ⇒ = = = −

    = + = − = −

    ( )2

    : 18 2 3 .2

    c hšina trougla P

    ⋅= = −

    α

    a) ( )2

    18 2 3+ b) ( )2

    9 2 3− c) ( )2

    9 2 3+ d) ( )2

    18 2 3−

  • UNIVERZITET U TUZLI Fakultet elektrotehnike Tuzla, 09.07.2015.godine

    KVALIFIKACIONI ISPIT IZ MATEMATIKE

    GRUPA D

    1. Broj realnih rješenja jednačine 24 4 15 4 4x x x x− − − − = je:

    a) 2 b) 1 c) 3 d) 4

    2.

    Proizvod svih realnih rješenja jednačine ( ) ( )2

    2 23 1 5 1 2 0x x− − − − = je:

    a) 2

    3 b)

    2

    3− c) 2 d) 2

    3.

    Za koje vrijednosti parametra k je zbir realnih rješenja jednačine

    ( ) ( )25 2 5 3 129 0k x k x+ − + − = uvijek negativan:

    a) 3

    ,5

    −∞ −

    b) 3 2

    ,5 5

    − −

    c) 2 3

    ,5 5

    d) 3

    ,5

    +∞

    4. Zbir realnih rješenja jednačine 36 18 11 6x x+ = ⋅ je:

    a) 18 b) 11 c) 6log 11 d) 6log 18

    5. Skup realnih rješenja nejednačine ( )5log 14 5 48 2x x⋅ − > je: a) ( )8,+ ∞ b) ( )5 5log 6, log 8 c) ( )50, log 6 d) ( )6,8

    6.

    Koliko iznosi { } { }1 1Re ImZ Z+ ako za izraz 13 5 3

    2 4

    i ZZ

    i Z

    + +=

    + − vrijedi da je 2 3Z i= + ?

    a) 12

    7− b)

    23

    7 c)

    5

    7 d)

    23

    7−

    7.

    Koliko je ( )2f ako je ( ) ( )3 2 2f x f x x− − = ?

    a) 3

    2 b)

    2

    3 c)

    2

    3− d) 1

    8.

    Za koje realne vrijednosti ugla x iz I kvadranta vrijedi sin 2 4sin cos 2

    03sin 2 3 3 sin 8cos 4 3

    x x x

    x x x

    + + +>

    − + −:

    a) 0,6

    π

    b) ,6 4