283
Matematika III 1 SKRIPTA MATEMATIKA III

Skripta iz Matematike III.pdf

Embed Size (px)

Citation preview

  • Matematika III

    1

    SKRIPTA

    MATEMATIKA III

  • Matematika III

    2

    1. FUNKCIJE VIE ARGUMENATA

    Def.1.1. Neka je C skup kompleksnih brojeva i 43421n

    n xCCxCxC ...= , Dekartov proizvod skupa C. Ako je nCX i CY , tada emo pridruivanje f bilo koje ntorke ( ) nn CXxx ,...,1 tano jednom elementu CYz , nazivati kompleksnom funkcijom kompleksne promenljive, od n argumenata.

    To zapisujemo YXf : ili ( ) zxxf n ,...,: 1 ili ( )nxxfz ,...,1= .

    Ako je nRX a CY , tada imamo kompleksnu funkciju realnih argumenata. Ako je nCX a RY , tada imamo realnu funkciju komp-leksnih argumenata. Ako je nRX a RY , tada imamo realnu

    funkciju realnih argumenata (promenljivih). Za skup X kaemo da je domen ili oblast definisanosti funkcije i oznaavamo sa ( )fD . Skup Y je antidomen ili kodomen funkcije. Oznaavamo ga sa ( )fC . Za

    ( ) ( ){ }fDxxxxffV nn = ,...,:),...,( 11 kaemo da je skup vrednosti funkcije. Mi emo u ovom kursu raditi sa realnom funkcijom realnog argumenta. Primeri.

    1. Odrediti oblast definisanosti sledeih funkcija

    1.1. yxz +=

    1.2. yxyxz +

    =

    1.3. yxz = 2 1.4. ( )yxz = 2ln 1.5. ( )yxz += arcsin

    Reenja. 1.1. yxz +=

    ( ){ } 2,|,)( RyxyxfD =+

  • Matematika III

    3

    ( ){ }RyxxyyxD f > xyxyx (( ) ( ) ) xyxyxxyx > 0ln00ln0

  • Matematika III

    4

    ( ) xyxyxxyx > 1010 ( ) xyxyxxyx >+ 1010

    )( ) ( ) }({ RyxxyxxxyxyxD f + xyxy

    023lnsin > xyxy

    0>xy ( ){ }RyxxyyxD f >= ,,0,

    Zadaci.

    1. Odrediti oblast definisanosti sledeih funkcija 1.1. yxz += 2 1.2. yxz 2+=

    1.3. yxz =

    1.4. yx

    xz =

    1.5. yxz =

    1.6. 224 yxz = 1.7. yxz += ln 1.8. ( )yxz += ln 1.9. ( )yxz += 2arcsin 1.10. ( )yxz = arccos 1.11. 44 22 += yxz 1.12. 222 yxxz =

    1.13. xyz arcsin=

    1.14. xyyxxz arcsin2 22 +=

    1.15. 22229ln yx

    yxxyz ++++=

  • Matematika III

    5

    1.16. 22ln yxz +=

    1.17. ( )22ln yxz += 1.18.

    221

    yxz

    =

    1.19. ( )yxz 2ln = 1.20. ( )xyz = arcsin

    2. Odrediti i grafiki predstaviti oblast definisanosti sledeih funkcija

    2.1. y

    xz 12 +=

    2.2. yxz += 2.3. xyz =

    2.4. yx

    xyz ++= arccos2

    2.5. ( )yxz = ln1

    2.6. 22

    22

    2 yxxxyxz

    +=

    2.7. yxyxz ++=

    2.8. x

    yz 1arcsin =

    2.9. ( )222

    1ln

    4

    yx

    yxz

    =

    2.10 yxz sin= 2.11. yxz sinlnln = 2.12. arcsin=z xyx +

    2

    2.13. yyx

    z 11 +=

    2.14. 22 41 yxz += 2.15. ( )( )12 += yxz 2.16. ( ) ( )3ln2ln ++= yxz 2.17. ( ) ( )2ln3 += xyz

  • Matematika III

    6

    2.18. 94

    122 yxz =

    2.19.

    += 1

    49ln

    22 yxz

    2.20. yxz += 2

    1.1. GEOMETRIJSKA INTERPRETACIJA FUNKCIJE VIE ARGUMENATA

    Neka je u trodimenzijonom Euklidovom prostoru 3E uspostavljen pravougli koordinatni sistem 321 xxOx (njega ine tri uzajamno normalne brojne ose sa zajednikim poetkom). Svakoj taki iM ose iOx { }( )3,2,1i pridruen je tano jedan broj ix . Kaemo da je ix koordinata take iM .i piemo ( )ii xM (preciznije objanjenje u navedenoj literaturi [ ]2 M. jani).

    Svakoj taki ijM ravni { }( )3,2,1, jixOx ji pridruena je tano jedna dvojka brojeva ( )ji xx , . Brojevi ji xx , su koordinate take ijM i to zapisujemo ( )jiij xxM , . Svakoj taki 123M trodimenzionog prostora

    pridruena je tano jedna trojka brojeva ( )321 ,, xxx . Brojevi 321 ,, xxx jesu koordinate take 123M to zapisujemo 123M ( )321 ;; xxx . Na analogan nain se u n-dimenzionalnom Euklidovom prostoru nxxOx ...21 svakoj taki M na

    jedinstven nain pridruuje n-torka brojeva ( )nxxx ,...,, 21 . Za brojeve nxxx ,...,, 21 kaemo da su koordinate take M . Mi emo razmatranja najee svesti na 3=n .

    Teorema 1.1.1.

    Preslikavanje ( )321123 ,, xxxM je bijekcija taaka prostora 3E i ureenih trojaka realnih brojeva. Dokaz.

    Neka su 1M i 2M dve razliite take prostora 3E . Postavimo kroz take 1M i 2M po tri ravni

    paralelne, respektivno, ravnima ( )21, xx , ( )32, xx , ( )13, xx . Svaka od njih see ose 321 ,, xxx u tano jednoj taki. Prema tome, taki 1M odgovara trojka brojeva ( )131211 ,, xxx koji predstavljaju koordinate presenih taaka koordinatnih osa i razmatranih ravni kroz taku 1M . Neka taki 2M odgovara, tim postupkom, trojka ( )232221 ,, xxx . Ako pretpostavimo da su trojke ( )131211 ,, xxx i ( )232221 ,, xxx jednake, tada bi to znailo da se ravni normalne na 321 ,, xxx ose kroz take sa koordinatama 11x i 21x , 12x i

    22x , 13x i 23x poklapaju (zbog jednakosti tih koordinata). Prema tome iz ( ) ( )232221131211 ,,,, xxxxxx = sledi jednakost taaka 1M i 2M (sl.1.1.1.).

    sl. 1.1.1.

  • Matematika III

    7

    Kako je za svaku trojku ( )321 ,, ttt jednoznano odreen skup tri take 321 ,, TTT na 321 ,, xxx i kako se ravni kroz te take normalne na pripadne ose seku u tano jednoj taki, to je razmatrano preslikavan je 1-1 i na.

    Na osnovu dokazane bijekcije, pisaemo ( )0302010 ,, xxxM i zakljuiti da ureenoj trojci odgovara taka u trodimenzionom prostoru. Analogno u n-dimenzionom Euklidovom prostoru nE preko koordinatnog sistema

    nxOx ...1 pridruena je taki 0M ureena n-torka realnih brojeva ( )nxx 001,..., , to emo zapisati ( )nxxM 0010 ,...,

    Geometrijsko mesto taaka definisano funkcijom jednog realnog argumenta ( )1xfz = je kriva u ravni, geometrijsko mesto taaka definisano funkcijom ( )21, xxfz = je povr u prostoru.

    Geometrijska mesta taaka definisana funkcijom ( )nxxfz ,...,1= je povr u ( )1+n - dimenzionom Euklidovom prostoru, pri emu za 3n tu povr geometrijski ne moemo da predstavimo (sl. 1.1.2.).

    sl. 1.1.2

    1.2. KOORDINATNI SISTEMI. KARAKTERISTINE POVRI

    Pored razmatranog preslikavanja taaka prostora 3E , na ureene trojke posredstvom Dekartovog pravouglog sistema, ta se preslikavanja mogu realizovati i na druge naine. Na slikama 1.2.1., 1.2.2., 1.2.3. prikazane su take u Dekartovom pravouglom koordinatnom sistemu ( )zyx ,, , cilindrinom sistemu ( )z,, i sfernom sistemu ( ) ,, . Sa slika se nalazi analitika veza izmeu ta tri sistema. Veza izmeu pravouglih i cilindrinih koordinata je

    tgxyyxzzyx ==+=== ,,,sin,cos 222 .

    Veza izmeu pravouglih i sfernih koordinata je

    ,,cos,sinsin,cossin 2222 =++=== zyxzyx 2222 sin, =+= yxtg

    xy

    sl. 1.2.1.

  • Matematika III

    8

    sl. 1.2.2.

    sl. 1.2.3.

    Primeri.

    1. Povri date jednainama u Dekartovom koordinaatnom sistemu napisati u sfernom koordinatnom sistemu

    1.1. 2222 azyx =++

    1.2. ( ) 423222 zazyx =++ 1.3. ( ) axyzzyx =++ 2222 1.4. 12

    2

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    1.5. 2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    by

    ax

    cz

    by

    ax +=

    ++

    Reenja.

    1.1. 2222 azyx =++

    smenazyx

    ===

    cossinsincossin

    ( ) ( ) ( ) 2222 cossinsincossin a=++

  • Matematika III

    9

    222222222 cossinsincossin a=++ ( ) 2222222 cossincossin a=++ 22222 cossin a=+ ( ) 2222 cossin a=+ 22 a= a=

    1.2. ( ) 423222 zazyx =++ smena

    ===

    .cossinsincossin

    zyx

    Kako je 2222 =++ zyx ( ) 44232 cosa=

    4426 cosa= 422 cosa=

    2cosa= 1.3. ( ) axyzzyx =++ 2222

    smena

    ===

    .cossinsincossin

    zyx

    Kako je 2222 =++ zyx ( ) cossinsincossin22 = a

    sincoscossin234 a= 2sincos2sin

    2a=

    1.4. 122

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    U ovom primeru koristiemo tzv. uoptine sferne koordinate

    cossinax = sinsinby =

    coscz =

  • Matematika III

    10

    Posle smene dobijamo

    ( ) ( ) ( ) 1cossinsincossin 22

    2

    2

    2

    2=++

    cc

    bb

    aa

    1cossinsincossin2

    222

    2

    2222

    2

    2222=++

    cc

    bb

    aa

    ( ) 1cossincossin 222222 =++ 1cossin 2222 =+

    1)cos(sin 2222 =+ 12 =

    1=

    1.5. 2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    by

    ax

    cz

    by

    ax +=

    ++

    Uvoenjem uoptenih sfernih koordinata

    cossinsincossin

    czbyax

    ===

    dobijamo

    2

    2222

    2

    2222

    2

    2

    222

    2

    2222

    2

    2222

    sinsincossin

    cossinsincossin

    bb

    aa

    cc

    bb

    aa

    +=

    =

    ++

    ( ) ( ) 222222 sincossin += 224 sin=

    22 sin= sin=

    Geometrijsko mesto taaka ( )zyxM ,, ije koordinate zadovoljavaju jednainu ( ) 0,, =zyxF zove se povr, a ta jednaina, jednaina povri. Jednaina povri moe biti u eksplicitnom obliku ili ( )zyfx ,1= ili ( )zxfy ,2= ili ( )yxfz ,3= , parametarskom obliku ( ),,ufx = ( ),,ugy = ( ),uhz = i implicitnom obliku ( ) 0,, =zyxF ,

    Primer.

    2. Jednaine povri predstaviti u parametarskom obliku.

    2.1 2222 azyx =++ 2.2 ( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax =++ 2.3. 12

    2

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

  • Matematika III

    11

    Reenje.

    2.1. 2222 azyx =++ cossinax = sinsinay =

    cosaz = 2.2 ( ) ( ) ( ) 2222 rczbyax =++

    coscossinsinsinsincossincossin

    rczrczrbyrbyraxrax

    +==+==+==

    2.3. 122

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    cossinsincossin

    czbyax

    ===

    Zadaci.

    1. Povri date jednaine u Dekartovom koordinatnom sistemu napisati u sfernom koordinatnom sistemu

    1.1. 4222 =++ zyx

    1.2. ( ) ( )22223222 yxazyx +=++ 1.3. 222 zyxz ++=

    1.4. ( ) 22/3222 azzyx =++ 1.5. ( )

    22

    262222

    yxzazyx +=++

    1.6. ( ) xazyx 32222 =++ 1.7. azzyx 2222 =++

    1.8. ( ) zazyx 32222 =++ 1.9. 2

    2

    2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    cz

    by

    ax

    cz

    by

    ax +=

    ++

    1.10. ax

    cz

    by

    ax =

    ++

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    2. Jednainu povri zadate u eksplicitnom ili implicintnom obliku predstaviti u parametarskom obliku

    2.1. 4222 =++ zyx

  • Matematika III

    12

    2.2. 11694

    222=++ zyx

    2.3. ( ) ( ) ( ) 1432 222 =+++ zyx 2.4.

    ( ) ( ) ( ) 116

    492

    41 222 =+++ zyx

    2.5. Rxzyx 2222 =++ Povri moemo podeliti (izvriti klasifikaciju) na razliite naine. Jedna od klasifikacija mogla bi biti

    1.2.1 ROTACIONE POVRI

    Rotacione povri S nastaju rotacijom (obrtanjem) neke krive oko fiksne prave (ose rotacije). Pri tome, svaka taka 0M na krivoj ,L opisuje krunicu sa centrom C na osi rotacije s . Ta krunica

    odreuje ravan normalnu na osu rotacije s . Ako je ( )zyxM ;; taka rotacione povri S , ( )0;0;00 zyxM odgovara-jua taka na krivoj L i ako je

    prostorna kriva L data sistemu jednaina (kao presek dve povri)

    ( )( ) ,0,,

    0,,...

    2

    1

    ==

    zyxfzyxf

    L

    a osa s jednainom 3

    1

    2

    1

    1

    1...a

    zza

    yya

    xxs == , gde je ( )1111 ,, zyxM taka ose s, tada taka M zadovoljava jednainu ravni : ( ) ( ) ( ) 0030201 =++ zzayyaxxa (slika 1.2.1.1.)

    slika 1.2.1.1.

  • Matematika III

    13

    1.2.2. CILINDRINE POVRI

    Te povri nastaju kretanjem jedne prave (izvodnica ili generatrisa), koja stalno ostaje paralelna fiksnoj pravoj i sadri take neke krive (prolazi kroz krivu-vodilju ili direktrisu) (sl. 1.2.2.1.).

    slika 1.2.2.1.

    Primeri.

    1. Jednaina eliptikog cilindra (sl.1.2.2.2.), ija je direktrisa elipsa u ravni Oxy , a generatrisa paralelna z-osi, je

    122

    2

    2=+

    by

    ax

    sl. 1.2.2.2.

    2. Jednaina parabolikog cilindra (sl.1.2.2.3.) sa direktrisom parabolom u ravni Oxy ,a generatrisa paralelna z osi, je

    22 xpy =

    sl.1.2.2.3.

  • Matematika III

    14

    3. Hiperboliki cilindar (sl.1.2.2.4) ija direktrisa hiperbola u ravni Oxy a generatrisa paralelna z-osi, je

    12

    2

    2

    2=

    by

    ax

    sl.1.2.2.4.

    1.2.3.KONUSNE POVRI

    Nastaju kretanjem prave koja prolazi kroz fiksnu taku i fiksnu krivu. Kriva je vodilja, taka vrh, a prava kroz vrh i vodilju je izvodnica (generatrisa) (sl.1.2.3.1.).

    sl. 1.2.3.1.

    Primer.

    Jednaina konusa, ija je vodilja

    +=

    00

    2

    2

    2

    22

    ba

    by

    axz a vrh ( ),0,0,0O preseena ravni ,0zz = je elipsa

    120

    2

    2

    20

    2

    2

    2

    2

    2

    220 =++=

    zby

    zax

    by

    axz

    Presek konusne povri ravnima )0(0 == yx je prava

    == xa

    zyb

    z 11

  • Matematika III

    15

    1.2.4. ALGEBARSKE POVRI DRUGOG REDA

    To su povri ije take svojim koordinatama zadovoljavaju jednainu

    ( ) ++++++ FyzExzDxyCzByAxzyxF 222,, 222 0=++++ LKzHyGx ... (1.2.4.1.)

    Teorema 1.2.4.1

    Prava i algebarska povr drugoga reda imaju najvie dve zajednike take.

    Dokaz. Prava se u segmentnom obliku predstavlja jednakou

    3

    0

    2

    0

    1

    0a

    zza

    yya

    xx ==

    ( )0,0,00 zyxM ( )3,2,1 aaaar

    pri emu je taka ( )0,0,00 zyxM na pravoj a, vektor ( )3,21, aaaar paralelan pravoj. Parametarski oblik jednaine prava je

    03

    02

    01

    ztazytayxtaz

    +=+=+=

    (1.2.4.2.)

    Kada se jednakosti (1.2.4.2) zamene u (1.2.4.1) dobija se kvadratna jednaina po t. Ako su ta reenja realna i razliita, tada postoje dve take preseka, ako je reenja dvostruko realno tada je prava tangenta date povri, i ako su reenja kompleksna, tada prava i povr nemaju zajednikih taaka Ta jednaina ne moe imati vie od dva reenja.

    1.2.4.1. Sfera sa centrom u taki ( )rqpC ,, i poluprenikom R ima jednainu (sl.1.2.4.1.1.) ( ) ( ) ( ) 2222 rrzqypx =++

    sl.1.2.4.1.1.

  • Matematika III

    16

    1.2.4.2. Elipsoid sa centrom u koordinatnom poetku ima jednainu (sl.1.2.4.2.1)

    122

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    .

    sl.1.2.4.2.1. 1.2.4.3. Jednograni hiperboloid sa osom y ima jednainu (sl.1.2.4.3.1.)

    122

    2

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    ax

    .

    sl.1.2.4.3.1.

    Sa osom z ima jednainu (sl.1.2.4.1.3.)

    122

    2

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    ax

    .

    sl.1.2.4.1.3.

  • Matematika III

    17

    1.2.4.4. Dvograni hiperboloid ija je osa z-osa ima jednainu (sl.1.2.4.4.1.):

    122

    2

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    ax

    .

    sl.1.2.4.4.1. 1.2.4.5. Paraboloid sa temenom u koordinatnom poetku, osom z i otvorom prema pozitivnom smeru

    z-ose ima jednainu (sl.1.2.4.5.1.)

    2

    2

    2

    2

    by

    axz +=

    sl.1.2.4.5.1. 1.2.4.6. Hiperboliki paraboloid (sedlasta povr) sa temenom u kordinatnom poetku ima jednainu

    (sl.1.2.4.6.1.)

    2

    2

    2

    2

    by

    axz =

    sl.1.2.4.6.1.

  • Matematika III

    18

    Preseci te povri sa ravnima hz = su hiperbole hL a preseci sa ravnima lx = i ky = su parabole lP i kQ . Ako je 0== hz , tada je xa

    by = , tj. preseci su prave.

    Primeri i zadaci.

    Odrediti:

    1. Presek sfere ( ) ( ) ( ) 2222 Rrzqypx =++ i ravni rzqypx === ;; . 2. Presek elipsoida

    122

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    i ravni 1zz = za ;1 czc

  • Matematika III

    19

    0111 21

    2211

    1

    cz

    cz

    czczc

    Neka je 212

    211 k

    cz = Kada je =+ 212

    2

    2

    2k

    by

    ax

    ( ) ( ) .1212

    21

    2=+

    bky

    akx

    Prema tome, presek je elipsa u ravni 1zz = (paralelnoj Oxy ravni) (sl.1.2.4.1.2.). Analogno tome, presek elipsoida i ravni 1yy = je elipsa ( ) ( ) ,122

    2

    22

    2=+

    ckz

    akx

    i presek elipsoida i ravni

    1xx = je elipsa ( ) ( ) .1232

    23

    2=+

    ckz

    bky

    3. Za ( ) ( ) 11 212

    21

    2212

    21

    2

    2

    2

    2

    1 =+=+=+=bk

    yakxk

    cz

    by

    axzz . Zakljuujemo da je presek elipsa u ravni

    1zz = (paralelnoj ravni O xy ) (sl.11.2.4.1.3.-a).

    Za: 10 22

    2

    2==

    cz

    byx hiperbola u ravni O .yz

    Za 10 22

    2

    2==

    cz

    axy hiperbola u ravni O .xz

    Ako je jednaina jednogranog hiperboloida 12

    2

    2

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    ax

    (osa hiperboloida je y-osa) tada je presek

    sa ravni 1yy = elipsa, a sa ravnima x=0, odnosno z=0 su hiperbole.

    4. Za ( ) ( ) 121 12

    21

    2212

    21

    2

    2

    2

    21 =+=+=+= bk

    yakxk

    c

    z

    by

    axzz elipsa u ravni 1zz = (sl.1.2.4.1.4.a).

    Za 102

    2

    2

    2==

    cz

    byx hiperbola 12

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    Za 10 22

    2

    2=+=

    cz

    axy hiperbola.

    Ako je jednaina dvogranog hiperboloida 122

    2

    2

    2

    2=++

    cz

    by

    ax

    tada je presek sa ravni

    ( )axiaxxx = 111 elipsa a sa ravnima ,0=y odnosno, 0=z hiperbole. 5. Za: 1zz = ( ) ( ) ( ) 10 21

    2

    21

    2

    2

    2

    2

    211 =++=>

    zb

    y

    za

    xby

    axzz elipsa (sl. 1.2. 4.1.6. a).

    Za 2

    20

    byzx == parabola,

    za 2

    20

    axzy == parabola.

    Jednaina paraboloida sa temenom na z-osi je cby

    axz +

    += 2

    2

    22

    (sl.1.2.4.1.6.b). Preseci su

    analogno predhodno razmatranom elipsa i parabole.

  • Matematika III

    20

    6. Za 11

    2

    1

    22211 2222

    zpzx

    qzy

    px

    qyzzz == ( )01 >z hiperbola (sl.1.2.4.1.6.).

    Za x=0, odnosno y=0, preseci su parabole.

    7. Za ( ) ( )212

    21

    2

    2

    2

    2

    2211 1

    bzy

    azx

    by

    axzzz +=+== . Prema tome, traeni presek je elipsa

    (sl.1.2.4.1.7.). Preseci konusa sa ravni x=0, odnosno y=0, su prave

    ,1 yb

    z = odnosno, xa

    z 1= .

    1.3. GRANINA VREDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE VIE ARGUMENATA

    Def.1.3.1. Funkcija ( )nxxf ,...,1 ima graninu vrednost Ra , kada nxx ,...,1 tee, respektivno brojevima naaa ,...,, 21 , ako 0> , 0> tako da je ( )

  • Matematika III

    21

    Primeri.

    1. Dokazati, po definiciji, da je za funkciju

    ( ) ( )51,lim,

    41,

    00

    =+=

    yxf

    yxyyxf

    yx

    Reenje.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ++=

    ++=++=

    451

    455

    45455

    51

    41

    51,

    yy

    yxy

    yyxy

    yxyyxf

    ( ) ( ) 1014510

    4451

    4++++=

    ++ yxyyxyy

    yy

    yxy

    (razmatramo u okolini take ( )1,00 M ) Ako stavimo da je hx

  • Matematika III

    22

    Uoimo sada dva niza taaka

    nn1,1 i

    nn1,1 , koji tee taki 0(0,0) kada .n Data

    granina vrednost zaista ne postoji jer

    11

    1

    lim1111

    11

    lim1,1lim

    4

    4

    2

    22

    22 ==

    +

    =

    n

    n

    nnnn

    nnnn

    fnnn

    =+=+=

    +

    =

    4

    2

    4

    24

    4

    222

    22

    41

    1

    lim41

    1

    lim411

    11

    lim11lim

    nn

    n

    nn

    n

    nnn

    nnnn

    fnnnn

    0411lim 2 =+= nn ,

    odnosno doli smo u kontradikciju sa definicijom 1.3.2.

    4. Pokazati da za funkciju ( ) ( )yx

    yxyxf 1sin1sin, += oba uzastopna limesa

    ( )

    yxfyx ,limlim 00 i ( )

    yxfxy ,limlim 00 ne postoje, a

    ( ) 0,lim00

    =

    yxfyx

    Reenje. Kako ne postoje yy1sinlim

    0 i ,1sinlim

    0 xxto ne postoje ni uzastopni limesi. Meutim

    ( ) yxyxyx

    yx +++ 1sin1sin0

    ( ) ( ) 0lim,lim0

    00

    22

    =+

    yxyxfyx

    yx

    . Dakle, ( ) 0,lim00

    =

    yxfyx

    5. Nai ( ) ( )( ) ( )22

    2

    00 22

    22lim +++

    yx

    yx

    yx

    kao u ( ) ( )( ) ( )

    +++

    222

    22 2222limlim

    yxyx

    yx i

    ( ) ( )( ) ( )

    +++

    222

    22 2222limlim

    yxyx

    xy.

    Reenje. ( ) ( )( ) ( )

    ( )( ) 002

    02lim2222limlim 2

    2

    222

    2

    22=+

    =

    +++

    xx

    yxyx

    xyx

    ( ) ( )( ) ( )

    ( )( ) 020

    20lim2222limlim 222

    2

    22=

    +++=

    +++

    y

    yyxyx

    yxy

  • Matematika III

    23

    Da bi nali ( ) ( )

    ( ) ( )222

    22 22

    22lim +++

    yx

    yx

    yx

    uvedimo polarne koordinate

    cos2 rx = sin2 ry =+

    pa dobijamo ( ) ( )( ) ( ) =+

    =+++

    +

    2222

    23

    022

    2

    22 sincos

    sincoslim22

    22limrr

    ryxyx

    ryx

    ( ) 0sincos sincoslim 22223

    0=+= +

    r

    rr

    Dakle postoje sva tri limesa i jednaki su meu sobom

    Kada postoje sva tri limesa, oni su uvek jednaki.

    6. Nai uzastopne granine vrednosti ako je ( )

    += xyxytg

    xyyxf

    11, , a yx ,0 .

    Reenje. =

    +

    =

    + x

    yy

    xytgxyxy

    xytgxy yxyx 1

    1limlim1

    1limlim00

    0101lim0

    ==

    = tgx

    xtgx

    =

    +

    ++

    +=

    + xy

    xyxy

    xy

    xyxy

    xyxy

    xyxyxytg

    xy xyxy1

    1

    1cos

    1sin

    1limlim1

    1limlim00

    =

    ++

    +

    +

    xyxyxy

    xyxy

    xyxy

    xyxy

    xxxy1

    cos

    1lim1

    1lim

    1

    1sin

    limlim000

    11lim1

    1limlim0

    ==+= yxy xy

    7. Nai granine vrednosti 7.1. ( )145lim 2

    21

    +

    yxyx

    7.2. 12

    1lim11 +

    + yxxy

    yxxy

    yx

    7.3. y

    tgxy

    yx

    04

    lim

  • Matematika III

    24

    7.4. yxx

    yx x

    +

    +2

    11lim1

    Reenja.

    7.1. ( ) 218512415145lim 2221

    =+=+=+

    yxyx

    7.2. ++=+

    +

    12

    1lim12

    1lim11

    11 yxxy

    yxxyyxxyyxxy

    yx

    yx

    =++++

    1212

    yxxyyxxy ( ) ( ) =+ +++

    12

    121lim

    11 yxxy

    yxxyyxxy

    yx

    ( ) ( ) =+ +++=

    1121

    lim11 yxxy

    yxxyyxxy

    yx

    212111 =++

    7.3. ===

    xyy

    xyyxyxy

    ytgxy

    yx

    yx

    xy

    yx cos

    1limsinlimcossin

    limlim

    04

    04

    40

    04

    4140cos

    1sinlim04

    ===

    xyxyx

    yx

    7.4. =

    +=

    +=

    + +

    +

    +

    yxx

    x

    yx

    yxxx

    yx

    yxx

    yx xxx

    11lim11lim11lim111

    2

    eeee xyx

    x

    yxyx

    x

    yx

    ====

    +

    + 1

    11

    lim

    1

    lim

    Def. 1.3.3. Neka je ( ) ( ) ( )yxMyyxxMyxM ,,,, 0010,00 ++ i ( ) ( ),, Mfyxf = odnosno ( ) ( ).00,0 Mfyxf = Za funkciju ( )Mf kaemo da je neprekidna u taki ( )0,00 yxM ako 0,0 >>

    tako da je

    ( ) ( )

  • Matematika III

    25

    Za funkciju ( ) ( )100 , Mfyyxxf =++ kaemo da je neprekidna u taki ( ) ( )00,0 Mfyxf = ako

    1. postoji ( )0Mf , 2. ( ) ( ) ( )00,000

    00

    ,lim Mfyxfyyxxfyx

    ==++ ili

    ( ) ( )( ) 0lim 0100

    = MfMf

    yx

    Primeri.

    1. Ispitati neprekidnost funkcije

    1.1. ( ) yxyxf +=,

    1.2. ( ) ( ) ( )( ) ( )

    =+=

    0,0,,2

    0,0,,, 222

    yx

    yxyxyx

    yxf

    1.3. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    =+=

    0,0,,0

    0,0,,, 22

    2

    yx

    yxyx

    xyyxf

    1.1. ( ) yxyxf +=, Oblast definisanosti ove funkcije 2RD = Kako je ( ) ( ) ( )( )Dbabafbayx

    byax

    =+=+

    ,,lim znai da je funkcija neprekidna u D tj. 2R .

    1.2. ( ) ( ) ( )( ) ( )

    =+=

    0,0,,2

    0,0,,, 22

    2

    yx

    yxyxyx

    yxf

    Oblast definisanosti ove funkcije je 2RD = Kako je ( ) ( ) ( ) ( ),0,0,,,lim

    22

    2=+=

    babafbabayxf

    byax

    onda je ( )yxf , neprekidna u ( ){ }0,0\2R . Zaista,

    kako je ( ) 222

    ,2

    22

    2

  • Matematika III

    26

    Kako je ( ) ( ) ( )bafba abyxfby ax ,,lim 222

    =+

    =

    za ( ) ( ){ }0,0\, Dba ,to je ( )yxf , neprekidni u

    ( ){ }0,0\D Kako je ( ) ( ) 000limlimlim 2022

    2

    00=

    +=

    + xx

    yx

    xyxyx

    ( ) ( ) 000limlimlim 222

    022

    2

    00=

    +=

    + yy

    yx

    xyyyy

    a za ( ) 041

    4

    1

    lim11

    11

    limlim1,1

    4

    4

    2

    22

    2

    2,2

    ==

    +

    =

    n

    n

    nn

    nnyxfnn

    Mnnn

    nnn

    ,

    pa ne postoji ( ).,lim00

    yxfyx Zbog toga je funkcija prekidna u taki

    ( )0,0 . U takama krive

    ( )02 = yyx Funkcija je prekidna jer u njima nije definisana. 2. Pokazati da je funkcija

    ( )

    =+

    ++=0,0

    0,

    24

    2424

    2

    yxza

    yxzayxyx

    yxf

    neprekidna u taki ( )0,0 du svake poluprave ,sin,cos tytx == ( )+ t0 koja prolazi kroz tu taku, a ipak je prekidna u taki ( )0,0

    Reenje.

    imamo ( )0,00)sincos(

    sincoslimsincossincoslim 2422

    23

    02244

    22

    0f

    ttt

    tttt

    tt==+=+

    Dakle, du poluprave koja prolazi kroz taku ( ),0,0 funkcija f je neprekidna u toj taki. Meutim funkcija ( )yxf , ima prekid u taki ( )0,0 jer za

    21,1

    nnMn

    ( )0,021

    2

    1

    lim11

    11

    lim1,1lim

    4

    4

    44

    22

    2f

    n

    n

    nn

    nnnn

    fnnn

    ==+

    =

    Zadaci.

    1. Dokazati, po definiciji, da je za funkciju:

    1.1. ( ) ( )72,lim,

    61,

    11

    =+=

    yxfy

    xyyxfyx

  • Matematika III

    27

    1.2. ( ) ,5

    , += yxyyxf

    41

    5lim

    11

    =+

    yxy

    yx

    2. Da li postoji granina vrednost

    2.1. yx

    yxyx

    yx +

    ++

    22

    00

    lim

    2.2. 22

    00

    2limyx

    xy

    yx +

    22

    22

    00

    limyxyx

    yx +

    3. Neka je ( ) ( )xy

    yxyxf 1sin, 22 += . Dokazati da postoji dvojna granina vrednost ( )yxfyx

    ,lim00

    a da

    uzastopne ne postoje.

    4. Neka je ( )y

    xyxf 1sin, = . Dokazati da postoje granine vrednosti

    ( )

    yxfxy ,limlim 00

    i ( )yxfyx

    ,lim00

    a da uzastopna granina vrednost

    ( )

    yxfyx ,limlim 00 ne postoji.

    5. Dokazati da funkcija ( )yx

    yx

    xyxf +

    +=

    1sin, nema dvojnu graninu vrednost ( )yxf

    yx

    ,lim00

    niti

    ( )

    yxfyx

    ,limlim00

    a ( ) 1,limlim00

    =

    yxfxy

    6. Nai ( )

    yxfbyax ,limlim i

    ( )

    yxfaxby ,limlim ako je

    6.1. ( ) +=+=++= ba

    yxyxyxf ,,,

    42

    22

    6.2. ( ) 0,,1

    , +=+=+= baxxyxf y

    y

    6.3. ( ) +=+=+= bayxxyxf ,,

    2sin,

    6.4. ( ) 0,0,22

    33==+

    += bayxyxyxf

    6.5. ( ) ( ) 0,1,log, ==+= bayxyxf x

  • Matematika III

    28

    6.6. ( ) 0,0,, 223322

    ==+++= ba

    yxyxyxyxf

    6.7. ( ) 1,1,,22

    ==+++= ba

    yxyxyxyxf

    6.8. ( ) ( ) 0,0,2,

    2==

    += ba

    yxxyyxf

    6.9. ( ) ( )( )( ) ( ) 1,1,1111,

    22==

    += ba

    yxyxyxf

    6.10. ( ) 0,0,11,22

    22==+

    ++= bayx

    yxyxf

    7. Nai granine vrednosti

    7.1. ( )2lim 211

    ++

    xyxyx

    7.2. yxyx

    yx +

    +

    22

    32

    lim

    7.3.

    ++

    21......

    11

    lim10 yx

    yx

    yx

    7.4. 2

    4lim13 +

    + yx

    yx

    yx

    7.5. yxyx

    yx

    33

    11

    lim

    7.6. xxy

    yx

    sinlim10

    7.7. ( )( ) 2222

    22

    00

    cos1limyxyxyx

    yx +

    +

    7.8. ( ) 222200

    limyx

    yx

    yx +

    7.9. yxx

    yx x

    +

    +2

    21lim1

    7.10. ( ) ( )yxyx

    eyx +

    +++ 22lim

  • Matematika III

    29

    8. Ispitati neprekidnost funkcije

    8.1 ( ) 22, yxyxyxf ++= 8.2 ( ) ( )yxyxf += arcsin,

    8.3 ( ) ( ) ( )( ) ( )

    =+=

    0,0,,1

    0,0,,, 22

    2

    yx

    yxyx

    xyyxf

    8.4 ( ) ( )1

    1sin1sin, += yxyxyxf

    8.5 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    =+=

    0,0,,0

    0,0,,, 2

    2

    yx

    yxyx

    yxyxf

    8.6 ( )22

    ,yx

    xyyxf +=

    8.7 ( )22

    ,yx

    xyyxf+

    =

    8.8 ( )22

    22,

    yxyxyxf

    +=

    8.9 ( )1

    1,22 += yxyxf

    8.10 ( )33

    ,yxyxyxf +

    +=

    8.11 ( ) ( ) ( )22 211, ++= yxyxf

    8.12 ( )yx

    yxyxyxf +++= 32,

    22

    8.13 ( ) ( ) ( )Raayx

    yxyyxf += ,,ln, 222

    8.14 ( ) ( )1ln 1, 22 ++= yxyxf 8.15 ( ) ( )22arcsin, yxyxf += .

  • Matematika III

    30

    1. 4. PARCIJALNI IZVODI

    1. 4. 1. PARCIJALNI IZVODI PRVOG REDA

    Razmotriemo funkciju od dva argumenta ( )yxfz ,= . Neki od razmatranih rezultata se sasvim jednostavno uoptavaju na funkcije od 2>n argumenata.

    Def.1.4.1.1. Pod parcijalnim (deliminim) izvodom xz

    po promen-ljivoj x, podrazumevamo sledei

    limes, uz uslov .,consty = ( ) ( ) ( ) ,,,,lim '

    0 xfyxf

    xyxfyxxf

    xz

    xx

    ==+=

    ako taj limes postoji.

    Analogno je ( ) ( ) ( )

    yfyxf

    yyxfyyxf

    yz

    yy

    ==+=

    ,

    ,,lim '0

    parcijalni izvod po promenljivoj ,y ako

    taj limes postoji uz uslov .constx = Izvod

    xz

    predstavlja koeficijent pravca tangente na krivu

    ( )

    ===

    bconstyyxfz.

    , u pravcu x-ose. Analogno se moe rei za parcijalni izvod ,

    yz

    da predstavlja

    koeficijent pravca tangente na krivu. ( )

    ===

    aconstxyxfz.

    ,u pravcu ose y ( sl.1.4.1.1.).

    sl. 1.4.1.1.

    Primeri.

    1. Odrediti parcijalne izvode, prvog reda, sledeih funkcija

    1.1. 22 1117 yxyxz ++=

    1.2. xy

    yxz22 +=

    1.3. 23 yexz =

    1.4. 22 yxz += 1.5. xyez = 1.6. yxz = 1.7. ( )2ln yxz +=

  • Matematika III

    31

    1.8. 22 yx

    yxactgz ++=

    1.9. tgxyz ln=

    1.10. 22ln yxz += Reenja.

    1.1. 22 1117 yxyxz ++=

    yxxz 172 +=

    yxyz 2217 +=

    1.2. xy

    yxz22 +=

    ( )

    ( )( ) ====+= 22

    22

    22

    32

    22

    322

    2

    22 22

    yxyxy

    yxyyx

    yxyyxyx

    xyyxyxyx

    xz

    yxyx

    2

    22 =

    ( )

    ( )( ) ====+= 22

    22

    22

    32

    22

    232

    2

    22 22

    yxxyx

    yxxxy

    yxxyxxy

    xyyxxxyy

    yz

    2

    22

    xyxy =

    1.3. 23 yexz =

    223 yexxz =

    22 33 22 yy yexyexyz ==

    1.4. 22 yxz +=

    222222222

    2

    1;22

    1

    yx

    yyyxy

    z

    yx

    xxyxx

    z

    +=

    +=

    +

    =+

    =

    1.5. xyez = xyye

    xz =

    xyxeyz =

    1.6. yxz =

  • Matematika III

    32

    1= yxyxz

    xxyz y ln=

    1.7. ( )2ln yxz += 2

    1yxz

    z+=

    22221

    yxyy

    yxyz

    +=+=

    1.8 22 yx

    yxarctgz ++=

    ( )

    ( ) ( )( )

    +++

    =+

    ++

    +++

    =

    222

    2222

    22

    2

    221

    12

    1

    1

    yx

    yxyx

    yxxyx

    yxyxx

    z

    ( ) =++

    222

    222 22

    yx

    xyxyx ( ) ( )222222 2

    yxyx

    xyxy

    +++

    ( )

    ( ) ( )( )

    +++

    =+

    ++

    +++

    =

    21

    12

    1

    1

    22

    2222

    22

    2

    2 yxyxyx

    yxyyx

    yxyxy

    z

    ( )222222 22

    yx

    yxyyx

    ++ ( ) ( )2222

    22 2

    yxyx

    xyyx

    +++=

    1.9. tgxyz ln=

    xy

    yxyxy

    yyxy

    xyxy

    yxytgxyx

    z2sin

    2cossincos

    1

    cossin

    1cos

    1122

    ====

    xy

    xxyxy

    xxxy

    xyxy

    xxytgxyy

    z2sin

    2cossincos

    1

    cossin

    1cos

    1122

    ====

    1.10. 22ln yxz +=

    222222

    22

    11yx

    xxyxyxx

    z+=+

    +

    =

    222222

    22

    11yx

    yyyxyxy

    z+=+

    +

    =

    2. Pokazati da funkcija xyexz = zadovoljava jednainu xyzy

    xzx =

  • Matematika III

    33

    xyexz = ye

    xz xy = 1

    xeyz xy =

    =

    yzy

    xzx ( ) ( )= xeyyex xyxy1 xxyexyex xyxy =+

    1.4.2. PARCIJALNI IZVODI VIEG REDA

    Parcijalni izvodi funkcije ( )xzyxfz = ,, i

    yz

    predstavljaju neke funkcije.

    Parcijalni izvodi parcijalnih izvoda prvog reda, jesu parcijalni izvodi drugog reda. Oznaavamo ih

    ( ) ( )2

    2

    2

    2"",, ,

    xf

    xz

    xz

    xyxfzz xxxxxx

    ==

    ===

    ( ) ( )yxf

    yxz

    xz

    yyxfzz xyxyyx

    ==

    ===

    22"",, ,

    ( ) ( )xyf

    xyz

    yz

    xyxfzz yxyxxy

    ==

    ===

    22''",, ,

    ( ) ( )2

    2

    2

    2''",, ,

    yf

    yz

    yz

    yyxfzz yyyyyy

    ==

    ===

    2

    2

    xz

    (itamo: delta dva z po delta 2x )

    yxz

    2 (itamo: delta dva z po delta x, delta y).

    Parcijalni izvod {{( )qp

    yyxxqp

    qp

    qp

    fyxz ++ =

    ...... , je dobijen tako to je p puta naen parcijalni izvod po x , a

    zatim q puta parcijalni izvod po y . Moe se pokazati da vredi Teorema 1.4.2.1. (varcova teorema). Ako je ( )yxfz ,= definisana u oblasti ( )zD i ima parcijalne

    izvode xz

    i yz

    u domenu ( )zD i ako su neprekidni drugi parcijalni izvodi yxz

    2,

    xyz

    2, tada je

    xyz

    yxz

    =

    22.

    Prema tome, kod izvoda vieg reda, uz navedene uslove, nije bitan redosled pri traenju izvoda.

    Primeri.

  • Matematika III

    34

    1. Nai parcijalne izvode drugog reda za funkcije

    1.1. 2222 2 yxyxz += 1.2. xyez = 1.3. ( )22ln yxz += 1.4.

    xyarctgz =

    1.5. yxez += sin Reenje.

    1.1. 2222 2 yxyxz += 242 xyxxz =

    yxyyz 242 =

    22

    242 y

    xz =

    xyyxz 8

    2=

    2

    2

    242 x

    yz =

    1.2. xyez = xyyexz =

    xyxeyz =

    xyeyx

    z 22

    2=

    ( )xyexyeeyxz xyxyxy +=+=

    12

    xyexy

    z 22

    2=

    1.3. ( )22ln yxz += 2222

    221yx

    xxyxx

    z+=+=

    222

    yxy

    yz

    +=

    ( )( ) ( ) ( ) ( )( )22222

    222

    22

    222

    222

    222

    22

    2

    2 222422222

    yx

    xy

    yx

    xy

    yx

    xyx

    yx

    xxyxx

    z

    +=

    +=

    ++=

    ++=

    ( ) ( )2222222 422

    yx

    xy

    yx

    yxyxz

    +=

    +=

    ( )( ) ( ) ( ) ( )( )22222

    222

    22

    22

    222

    222

    22

    2

    2 222422222

    yx

    yx

    yx

    yxyx

    yyx

    yx

    yyyxy

    z

    +=

    +=+

    +=+

    +=

    1.4. xyarctgz =

  • Matematika III

    35

    222

    2

    2221

    1

    1

    1yx

    yx

    y

    xyx

    y

    xyx

    z+=

    +=

    +=

    2222

    2

    2

    2211

    1

    11

    1

    1yx

    xxyx

    xx

    xyx

    xyy

    z+=+=+

    =

    +=

    ( )( ) ( )2222222

    2 22

    yx

    xy

    yx

    yxx

    z

    +=

    +=

    ( )( ) ( ) ( )222

    22

    22

    222

    222

    222

    222

    yx

    xyyx

    yyx

    yx

    yyyxyxz

    +=+

    +=+

    ++=

    ( )22222

    2

    yx

    xyy

    z

    +=

    1.5. yxez += sin yxyxyxyx eeee

    xz ++++ == coscos ,

    yxyx eeyz ++ = cos ,

    ( )=+= +++++ yxyxyxyxyx eeeeex z sincos22

    ( )yxyxyxyx eeee ++++ = sincos =

    yxz2 ( )=+ +++++ yxyxyxyxyx eeeee sincos

    ( )yxyxyxyx eeee ++++ = sincos =

    2

    2

    yz ( )=+ +++++ yxyxyxyxyx eeeee sincos

    ( )yxyxyxyx eeee ++++ = sincos

    1.4.3. PARCIJALNI IZVODI IMPLICITNO ZADATIH FUNKCIJA

  • Matematika III

    36

    Neka je data funkcija ( ) .0;; =zyxF Neka je M taka povri ija je jednaina ( ) 0,, =zyxF (sl.1.4.3.1).

    sl. 1.4.3.1. Neka je .consty = Neka je ( )zzyxxM x ++ ;; taka te povri i neka je xC kriva povri kroz

    take M i xM .

    Iz ( )

    ( ) ( ) ( ) 0;;;;0;;0;; =++

    =++=

    zyxFzzyxxFzzyxxF

    zyxF.

    Odnosno

    ( ) ( ) ( ) ( ) 0;;;;;;;; =+++++ zyxFzzyxFzzyxFzzyxxF i ( ) ( ) +

    +++x

    zzyxFzzyxxF ;;;;

    ( ) ( ) 0;;;; =

    ++xz

    zzyxFzzyxF

    .... (1.4.3.1)

    Zbog neprekidnosti, 00 zx .

    Prelaskom na limese, bie

    ( ) ( ) ++++

    xzzyxFzzyxxF

    x

    ;;;;lim0

    ( ) ( ) 0;;;;lim00

    =

    ++

    xz

    zzyxFzzyxF

    xz

    Odnosno

    0' =+

    xzz

    FxF

    .

    Prema tome, dobili smo

  • Matematika III

    37

    '

    ',

    z

    xx

    F

    F

    zFxF

    xzz =

    == .

    Analognim rezonovanjem primenjeno na take ( )zyxM ;; i ( )zzyyxM y ++ ;; na krivoj ,yC imaemo

    '

    ',

    z

    yy

    F

    F

    zFyF

    yzz =

    == .

    Ako je funkcija data u implicitnom obliku

    ( ) 0;; =zyxF , tada je, prema ve dobijenom,

    0=

    +

    xz

    zF

    xF

    i 0=

    +

    yz

    zF

    yF

    .

    Ako sada posmatramo izvode po x ili po y , znajui da z zavisi od x i ,y imamo

    0=

    +

    xz

    zF

    xF

    dxd

    0=

    +

    xz

    zF

    dxd

    xF

    dxd

    022

    2

    222

    2

    2=

    +

    ++

    +

    x

    zzF

    xz

    xz

    zF

    xzF

    xz

    zxF

    xF

    Odnosno

    022

    22

    2

    22

    2

    2=

    +

    +

    +

    x

    zzF

    xz

    zF

    xz

    zxF

    xF

    Reavajui po 2

    2

    xz

    , imamo

    ( )

    zF

    xz

    zF

    xF

    zF

    xz

    zF

    xz

    zxF

    xF

    x

    z

    +

    =

    +

    +

    =

    22

    2

    22

    2

    2

    2 2

    2 .

    Analogno je

    ( )

    zF

    yz

    zF

    yF

    zF

    yz

    zF

    yz

    zyF

    yF

    yz

    +

    =

    +

    +

    =

    22

    2

    22

    2

    2

    2

    22

    i

  • Matematika III

    38

    =

    +

    +

    +

    =

    xz

    yz

    zF

    xz

    zyF

    yz

    zxF

    yxF

    zFyx

    z2

    22222 1

    +

    +

    y

    zzF

    yF

    yz

    zF

    xF

    zF1

    Primeri.

    1. Nai yzi

    xz

    za funkcije

    1.1. 03 33 = axyzz 1.2. 0+++ zezyx 1.3. 0ln =+ xyzx

    Reenja.

    1.1. ( ) 33 3,, axyzzzyxF = yz

    xF 3=

    xzyF 3=

    ( )xyzxyzzF == 22 333

    ( ) xyz yzxyz yzzFxF

    xz

    ==

    =

    2233

    ( ) xyz xzxyz xzzFyF

    yz

    ==

    =

    2233

    1.2. ( ) zezyxzyxF +++=,, 1=

    xF

    1=

    yF

    zezF += 1 ze

    zFxF

    xz

    +=

    =

    11

    zezFyF

    yz

    +=

    =

    11

    1.3. ( ) yzxzyxF ln,, +=

  • Matematika III

    39

    1=

    xF

    y

    zyzy

    F 11 ==

    zy

    yzzF 11 ==

    z

    zzFxF

    xz ==

    =

    11

    yz

    z

    y

    zFyF

    yz ==

    =

    1

    1

    2. Nai 2

    22

    2

    2,,

    yz

    yxz

    xz

    sledeih funkcija

    2.1. 0=++ xyzxyz 2.2. ( ) 023sin =++ zyxzy

    Reenja.

    2.1. ( ) xyzxyzzyxF ++=,, 1. nain.

    yzxF +=

    zxyF +=

    yxzF +=

    yxzy

    zFxF

    xz

    ++=

    =

    yxzx

    zFyF

    yz

    ++=

    =

    ( ) ( )( ) =+

    +++

    =

    ++

    =

    =

    22

    2

    yx

    zyyxxz

    yxzy

    xxz

    xxz

    ( )( )

    ( )( )222

    yxzy

    yx

    zyyxyxzy

    ++=

    +++++

    +=

    ( ) ( )( ) =+

    +++

    +

    =

    ++

    =

    =

    2

    2 11

    yx

    zxyxyz

    yxzy

    yxz

    yyxz

    ( ) ( )( )

    ( ) ( )( ) =+

    +++++

    =++++

    ++

    22

    .1

    yx

    zyyxyx

    zxyx

    yx

    zyyxyxzx

  • Matematika III

    40

    ( ) ( )222

    yxz

    yxzyzy

    +=++++=

    ( ) ( )( ) =+

    +++

    =

    ++

    =

    =

    22

    2 1.

    yx

    zyyxyz

    yxzx

    yyz

    yyz

    ( )( )

    ( )( )222

    yxzx

    yx

    zxyxyxzx

    ++=

    +++++

    +=

    2. nain

    zyxF +=

    zxyF +=

    yxzF +=

    022

    =

    xF

    12

    =

    yxF

    02

    2=

    z

    F 0

    2

    2=

    y

    F

    12

    =

    zxF

    12

    =

    zyF

    yxzx

    yz

    ++=

    ,

    yxzx

    xz

    ++=

    =

    +

    +

    =

    zF

    xz

    zF

    xz

    zyF

    xF

    xz

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2 .2

    ( )( ) +

    +=+

    +

    +++

    =2

    2

    2.0120

    yxzy

    yxxz

    yxyx

    =

    +

    +

    +

    =

    zF

    xz

    yz

    zF

    xz

    zyF

    yz

    zxF

    yxF

    yxz 2

    2222

    2

  • Matematika III

    41

    ( )22

    01

    yxz

    yxyx

    zyzxyx

    yxyxzy

    yxyx

    +=+

    ++

    =++

    +++

    +++

    =

    ( )( )2

    2

    2

    22

    2

    2

    2

    2 20202

    yxzx

    yxyxzx

    zF

    yz

    zF

    yz

    zyF

    yF

    yz

    ++=+

    +

    +++

    =

    +

    +

    =

    2.2. ( ) ( ) 23sin,, ++= zyxzyzyxF 1=

    xF

    ( ) 1cos = zy

    yF

    ( ) 3cos += zy

    zF

    ( ) ( ) 3cos1

    3cos1

    =+=

    =

    zyzyzFxF

    xz

    ( )( )

    ( )( ) 3cos

    1cos3cos

    1cos=+

    =

    =

    zyzy

    zyzy

    zFyF

    yz

    ( ) ( )( ) ( ) =

    =

    =

    =

    xzzy

    zyzyxxz

    xxz sin

    3cos1

    3cos1

    22

    2

    ( ) ( )

    ( )( )( )

    ( )( )32 3cossin

    3cos

    3cos1sin

    =

    =

    zyzy

    zyzy

    zy

    ( ) ( )( ) ( ) =

    =

    =

    =

    yzzy

    zyzyyxz

    yyxz 1sin

    3cos

    13cos

    12

    2

    ( ) ( )( )( )( )

    ( ) ( ) ( )( )( )( ) =

    +=

    =32 3cos

    1cos3cossin

    3cos

    3cos1cos1sin

    zy

    zyzyzy

    zy

    zyzyzy

    ( )

    ( )( )33cossin2

    =

    zyzy

    ( )( ) =

    =

    =

    3cos1cos

    2

    2

    zyzy

    yyz

    yyz

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

    ( )( ) =

    +

    =23cos

    1cos1sin3cos1sin

    zy

    zyyzzyzy

    yzzy

  • Matematika III

    42

    ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

    ( )( ) =+

    =23cos

    1coscos33cos1cos1sin

    zy

    zyzyzyzyzy

    ( ) ( ) ( )( )

    ( )( )( )

    ( )( )32 3cossin4

    3cos

    3cos1cos3cossin2

    =

    +=

    zyzy

    zyzy

    zyzyzy

    1.4.4. PARCIJALNI IZVODI SLOENIH FUNKCIJA

    Mogu nastupiti sledei sluajevi sa sledeim rezultatima

    1.

    ( )( )( ) dt

    dyyf

    dtdx

    xf

    dtdu

    tfytfx

    yxfu

    +=

    ===

    2

    1

    ;

    2.

    ( )( )( )( )

    dtdz

    zf

    dtdy

    yf

    dtdx

    xf

    dtdu

    tfztfytfx

    zyxfu

    +

    +=

    ====

    3

    2

    1

    ;;

    3. ( )( )( ) y

    vvf

    yu

    uf

    yzi

    xv

    vf

    xu

    uf

    xz

    yxfvyxfu

    vufz

    +

    =

    +

    =

    ===

    ;;

    ;

    2

    1

    4.

    ( )( )( )( )

    =

    +

    +

    =

    ====

    xw

    wf

    xv

    vf

    xu

    uf

    xF

    zyxfzzyxfvzyxfuwvufF

    ;;;;;;;;

    3

    2

    1 i

    yw

    wf

    yv

    vf

    yu

    uf

    yF

    +

    +

    =

    i zw

    wf

    zv

    vf

    zu

    uf

    zF

    +

    +

    =

    Uoptenje primera 4. bilo bi 5.

    ( )( )( )( ) k

    n

    nkkk

    n

    n

    knn

    k

    k

    n

    xu

    uf

    xu

    uf

    xu

    uf

    xz

    xu

    uf

    xu

    uf

    xu

    uf

    xz

    xxxfu

    xxxfuxxxfu

    uuufz

    ++

    +

    =

    ++

    +

    =

    =

    ===

    ......

    ...

    ,...,,

    ,,...,,,,...,,

    ,...,,

    2

    2

    1

    1

    11

    2

    21

    1

    11

    21

    2122

    2111

    21

    M

    Primeri.

  • Matematika III

    43

    1.Ako je 22 yxez += i ,sin,cos taytax == nai

    dtdz

    .

    Reenje.

    ( ) =+=+

    = ++ tayetaxedtdy

    yz

    dtdx

    xz

    dtdz yxyx cos2sin2

    2222

    0222222 =+= ++ yxyx xyexye

    2. Ako je ( )22ln yxz += , gde je xey = , nai xz

    i dxdz

    .

    Reenje.

    2222221

    yxxx

    yxxz

    +=+=

    ( )222222

    222yx

    yexeyx

    yyx

    xdxdy

    yz

    xz

    dxdz xx

    ++=+++=

    +=

    3. Odrediti uz

    i z

    , ako je

    3.1. =+=+= uyuxyxz ,,22 3.2. 23,,ln

    2 === uyuxyxz

    Reenja.

    3.1. 22 yxz +=

    uy

    yz

    ux

    xz

    uz

    +

    =

    ( ) ( ) uuuyxyxuz 4221212 =++=+=+=

    +

    = y

    yzx

    xzz

    ( ) ( ) ( ) 4221212 =++==+= uuyxyxz

    3.2. yxz ln2=

    uy

    yz

    ux

    xz

    uz

    +

    =

    ( ) =+=+= 3

    2323ln231ln2

    2

    2

    2

    u

    u

    uuy

    xyxuz

    ( ) ( )

    += 23323ln2 uuuu

  • Matematika III

    44

    +

    = y

    yzx

    xzz

    ( ) ( ) =

    =+

    =

    23223ln22ln2

    2

    2

    2

    2

    2 u

    uuuu

    yxuyxz

    ( )

    += 23123ln12

    2

    2

    uuu

    4. Nai xz

    i yz

    za sloenu funkciju ( )wvuz ++= ln gde je .2,, 2222 xywyxvyxu ==+= Reenje.

    xw

    wz

    xv

    vz

    xu

    uz

    xz

    +

    +

    =

    =+++=++++++++=

    wvuyxy

    wvux

    wvux

    wvuxz 24212121

    ( ) ( )( ) ( )yxx

    yxyxxyx

    xyxyx

    xyyxyxyx

    ++=+

    +=++=+++

    += 22

    2222

    222

    2422222

    yw

    wz

    yv

    vz

    yu

    uz

    yz

    +

    +

    =

    ( ) =++++++++= x

    wvuy

    wvuy

    wvuyz 212121

    ( ) yxyxxx

    xyxx

    xyyxyxx

    +=+=+=+++=1

    22

    222

    22

    22222

    1.4.5. PARCIJALNI IZVODI FUNKCIJA ZADATIH U PARAMETARSKOM OBLIKU

    Funkcija moe biti zadata eksplicitno, implicitno i parametarski. Parametarski je funkcija zadata na sledei nain

    ( )( )( )

    ===

    ,,,

    uhzugyufx

    gde su u i parametri. Na zadatak je da naemo

    xz

    i yz

    Najpre reimo sistem ednaina ( )( )

    ==

    vugyvufx

    ,,

    po u i v i dobijamo

    ( )yxu ,= ( )yx, =

    Koristei zatim veze

    xz

    xu

    uz

    xz

    +

    =

    i yz

    yu

    uz

    yz

    +

    =

    , lako dobijamo traene parcijalne izvode.

  • Matematika III

    45

    Primeri.

    1. Izraunaj xz

    i yz

    za sledee funkcije

    1.1

    =

    =

    +=

    uz

    uy

    ux

    2

    222

    22

    1.2.

    ===

    2

    sincos

    uz

    uyux

    Reenja.

    1.1. xu =+2

    22 xu 222 =+

    yu =2

    22 yu 222 =

    yxu 222 2 += yxu +=2 22 2 ux = ( )yxx += 22

    yxu +=2 yxu += yx =2 yx =

    xv

    vz

    xu

    uz

    xz

    +

    =

    yx

    uyxx

    z++=

    2

    12

    1

    22

    22

    22

    22221

    21

    yx

    xyxyx

    xu

    uuu

    uux

    z

    =+=

    +=+=+=

    yv

    vz

    yu

    uz

    yz

    +

    =

    ( ) ===++=

    uuu

    uyxu

    yxyz

    2221

    21

    21 22

    222

    2

    yx

    yyxyx

    y

    =+

    =

    1.2.

    ===

    2sincos

    uzuyux

    2222222 sincos uuuyx =+=+ 22 yxu +=

  • Matematika III

    46

    ctg

    uu

    yx ==

    sincos

    yxarcctg=

    xv

    vz

    xu

    uz

    xz

    +

    =

    xyx

    xyxxyx

    uxz 2202

    2

    1222

    2222

    =+

    +=++

    =

    yvz

    yu

    uz

    yz

    +

    =

    yyx

    yyxyyx

    uyz 222

    2

    1222

    2222

    =+

    +=+

    =

    Zadaci.

    1. Odrediti parcijalne izvode prvog reda, sledeih funkcija:

    1.1. 7452485 22 +++= yxyxyxz 1.2. yxxyz 245 +=

    1.3. xyxz = 3 1.4. xez xy sin= 1.5. xyez xy sin= 1.6. ( )yxxz += ln5 2 1.7. ( ) yxeyxyxz 222 658 ++= 1.8.

    yxyxz +

    =

    1.9. 22

    22

    yxyxz +

    =

    1.10. ( )22ln yxxyz += 1.11.

    yxtgz ln=

    1.12. xyarctgz =

    1.13. yx

    xyarctgz += 1

    1.14. yx

    ez =

  • Matematika III

    47

    1.15. 2

    2

    212

    xxyyxyxarctgz

    +=

    2. Odredi parcijalne izvode drugog reda za funkcije

    2.1. 3453 22223 ++++= yxxyyxyxxz 2.2. yxez 2+= 2.3. xyarctgz = 2.4. ( )yxz += 2ln 2.5.

    22 yxyxarctgz +

    =

    2.6. ( )yxz 2sin += 2.7. ( )yxz 2lnsin += 2.8. 221 yxxyz +=

    2.9.

    ++= 221ln yxxyz

    2.10.

    ++++= 2222 1ln211

    21 yxxyyxxyz

    3. Nai xz

    i yz

    za funkcije

    3.1. 03333 =++ xyzzyx 3.2. zyxxyz ++= 3.3. 0= xyze z 3.4. 0524222 =++ zxzyx 3.5. 03232 333 =+++ yxyzyxz

    4. Ako je 012

    2

    2

    2

    2

    2=+

    cz

    by

    ax

    , Nai vrednost izraza

    22

    2

    2

    2

    2

    yxz

    yz

    xz

    5. Nai yxz

    yz

    xz

    2

    2

    2

    2

    2,, za funkcije

    5.1. 0= yzxze z 5.2. xyzz ln= 5.3. xyzez =

  • Matematika III

    48

    5.4. zezyx =++ 222 5.5. 04532222 =++++ zyxzyx

    6. Ako je vuz ln

    21= , gde je xctgvxtgu 22 , == , nai

    dxdz

    .

    7. Ako je yxyxz +

    =2

    2, gde je 13 += xy , nai

    dxdz

    .

    8. Ako je yxz 2= , gde je xy cos= , nai xz

    i dxdz

    9. Ako je 22

    22

    yxx

    yxxz+= , gde je cosxy = , nai

    dxdz

    .

    10. Ako je yxez 2= , tx sin= , 3ty = , nai dtdu

    11. Ako je yxarctgz = , vux += , vuy = , nai

    uz

    i vz

    12. Ako je xyyxz 22 = , vux cos= , vuy sin= , nai uz

    i vz

    13. Nai u

    i u

    ako je ( )22ln yxu += , =x , =y 14. Izraunaj

    xz

    i yz

    za funkcije

    14.1.

    ==+=

    uvzvuyvux

    14.2.

    ===

    uRzvuRyvuRx

    cossinsincossin

    15. Pokazati sledee jednakosti

    15.1. zxyyzy

    xzx +=

    +

    , ako je xy

    xexyz +=

    15.2. 0=+

    +

    vz

    yz

    xz

    , ako je: ( )( )( )xvvyyxz =

    15.3. 1=+

    +

    zu

    yu

    xu

    , ako je zyyxxu

    +=

    15.4. 2=+

    yzy

    xzx , ako je ( )22ln yxyxz ++=

    15.5. 022

    22

    2

    2

    22 =

    ++

    y

    zyyxzxy

    xzx , ako je

    +

    =

    xy

    xyxz

  • Matematika III

    49

    15.6. 02

    22

    2

    22 =

    yuy

    xux , ako je ( )

    +=

    xyxyxyu

    15.7. xyuy

    xux =

    , ako je ( )yxxu ,+=

    15.8. 02

    =

    yu

    xu

    yxuu , ako je ( ) ( )yxu =

    15.9. 022

    22

    2

    2=

    ++

    y

    uyxu

    xu

    , ako je ( ) ( )yxyyxu +++

    15.10. 1=

    xz

    zy

    yx

    , ako je 0ln =++ zex y

  • Matematika III

    50

    1.5. PARCIJALNI DIFERENCIJALI. TOTALNI DIFERENCIJAL

    Pod diferencijalom funkcije jedne promenljive, podrazumevali smo izraz ( )dxxfdxydfdy '' === . Na analogan nain se definie defercijal funkcije vie promenljivih za koga kaemo da je parcijalni

    diferencijal. Parcijalni diferencijal funkcije ( )yxfz ,= , po x je

    ( ) ( ) dxxzdxxxzdzdzzd xxxx ====== ,

    odnosno po y je

    ( ) ( ) dyxzdyyyzdzdzzd yyyy ====== .

    Znamo da parcijalni diferencijali (definisani kao diferencijali funkcije jedne promenljive) predstavljaju prirataj na tangentni (sl. 1.5.1.).

    Sl.1.5.1. i to 'xxx MMdz =

    'yyy MMdz = Sa slike 1.5.1. sledi

    ( )( ) ( ) ( ) =++++

    ++==++==

    yyxxMyyxxMyyxxNMMMdz

    NyyxxMMMdz

    yyy

    xxx ;';;'

    ;'

    '

    ( ) ( ) yx dzdzyyxxNMNyyxM +=+++++= ;';

  • Matematika III

    51

    Veliina ( ) ( )yyxxMyyxxM ++++ ;; predstavlja totalnu promenu na tangentnoj ravni kada se iz taki ( )yxM , pree u taku

    ( )yyxxM ++ ; Primeri.

    1.Odrediti parcijalne diferencijale sledeih funkcija

    1.1. xyez = 1.2. 32 2 yxyxz ++= 1.3. ( )xyxz += 2ln 1.4. ( )2yxarctgz += 1.5. ( )yxxz 4ln 2 +=

    Reenje.

    1.1. ( ) dxyedxedxxzzd xyx

    xyx ==

    = '

    ( ) dyyedyedyyzzd xyy

    xyy ==

    = '

    1.2. ( ) ( )dxyxdxyxzd x +=+= 222 ( )dyyxdyz 232 += 1.3 ( ) ( ) dxyxx

    yxdyxxyx

    zd xx ++=++=

    2212

    ( ) dyyxdyyxxxxdy

    xyxzd y +=+=+=

    112

    1.4 ( ) =++= dxyxzd x 221 1

    ( ) =++= ydyyxzd y 21 1 22 ( ) =++ dyyx y 221 2 1.5. ( ) ( ) dx

    yxxyxdxx

    yxxyxzd x

    +++=

    +++= 4

    24ln24

    4ln2

    22

    22

    dyyx

    xdyyx

    xzd y4

    444 22 +=+=

    Def.1.5.1. Za izraz

    dyyfdx

    xfdyfdxfdz yx

    +=+= ''

    kaemo da je totalni diferencijal funkcije ( )yxfz ;= . Def.1.5.2. Za funkciju kaemo da je u taki ( )yx; diferencijabilna ako u toj taki postoji totalni

    diferencijal.

  • Matematika III

    52

    Teorema 1.5.1. Iz diferencijabilnosti funkcije ( )yxfz ;= u taki sledi njena neprekidnost u toj taki. Dokaz. Kako se moe napisati yxyfxfz yx +++= 21'' , to kada 00, zyx ,

    to znai da je funkcija neprekidna. Kada smo govorili o parcijalnim diferencijalima ustanovili smo da je zdzddz yx += , i videli da

    totalni diferencijal funkcije ( )yxfz ;= predstavlja prirataj du tangentne ravni, kada iz take ( )yx; predemo u taki ( )yyxx ++ ; .

    Za 0x i zdzy 0 . Ta injenica se esto koristi kod priblinog izraunavanja. Totalni diferencijal od totalnog diferencijala prvog reda nazivamo totalni diferencijal drugog reda. Ako je funkcija ( )yxfz ;= , tada totalni diferencijal drugog reda obeleavamo sa zd 2 . U skladu sa tim je

    ( ) ( ) ( ) +

    +

    =

    +== dxdy

    yzdx

    xz

    xdy

    ydzdx

    xdzdzdzd 2

    22

    222

    2

    22 dy

    yzdxdy

    yxzdx

    xzdydy

    yzdx

    xz

    y +

    +=

    +

    +

    Piemo ga simboliki ovako

    ( )22

    +

    = dyyzdx

    xzzd .

    Totalni diferencijal n-tog reda je totalni diferencijal (n-1) reda. Piemo ga simboliki ( )n

    n dyyzdx

    xzzd

    +

    = .

    Zadatak. Napii u razvijenom obliku 3zd i 4zd .

    Ako je funkcija data u implicitnom odliku ( ) 0,, =zyxF , tada je, kako ve znamo

    +

    =

    =

    ==

    += dy

    zFyF

    dx

    zFxF

    zFyF

    yz

    zFxF

    xzdy

    yzdx

    xzdz ;

    0=+

    + dz

    zFdy

    yFdx

    xF

    Reavanjem po dz nali bi smo totalni diferencijal funkcije zadate implicitno. Neka je z sloena funkcija od x i y preko u i Zapravo.

    ( ) ( ) ( )yxvvyxuuvuzz ,,, === . Tada je poznato

    xv

    vz

    xu

    uz

    xz

    +

    =

    ;

    yv

    vz

    yu

    uz

    yz

    +

    =

    ;

    dyyzdx

    xzz

    += ;

  • Matematika III

    53

    pa je

    dvvzdu

    uzdz

    +== ... , gde je stavljeno

    dyyudx

    xudu

    += ; dy

    yvdx

    xvdv

    += .

    Ako je ( ) vuvuz +=, , tada je 1=

    uz

    i 1vz

    ; dvdudvdudz +=+= 11 . Ako je ( ) vuvuz =, , tada je

    ( ) dvuduvvuddz +== . Ako je ( )

    vuvuz =, , tada je

    2vdvuduv

    vuddz =

    = . Ako je ( ) ( )uzvuz =, , tada je

    ( ) ( )duuzudzdz '== Prema tome, zakljuujemo da za funkciju od vie promenljivih vae pravila diferencijala funkcije od

    jedne promenljive .

    Primeri.

    1. Odredi totalni diferencijal prvog reda sledeih funkcija

    1.1. 22 yxz += 1.2. xyez = 1.3. ( )yxz += 2ln 1.4. zyxxyz ++= 1.5. 2,sin,cos uzuyux === 1.6. yxz ln2= , gde je 23, == uy

    vux

    1.7. zyxu cossin= , gde je ( ) 22 1,1ln xzxy =+= Reenja.

    1.1. 22 yxz +=

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    ydyxdxdz 22 += ( )ydyxdxdz += 2

  • Matematika III

    54

    1.2. xyez =

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    dyxedxyedz xyxy +=

    ( )xdyydxedz xy += 1.3. ( )yxz += 2ln

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    dyyx

    xdxyx

    dz +++= 22121

    ( )dyxdxyx

    dz ++= 21

    2

    1.4. zyxxyz ++=

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    Funkcija je zadata implicitno pa parcijlne izvode raunamo na sledei nain

    ( ) zyxxyzzyxF =,, 1,1,1 =

    ==

    xyzFxz

    yFyz

    xF

    11

    =

    =

    xyyz

    zFxF

    xz

    ,

    11

    =

    =

    xyxz

    zFyF

    yz

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    ( ) ( )( )dyxzdxyzxy

    dyxyxzdx

    xyyzdz 11

    11

    11

    11 +=

    =

    1.5. cosux = , sinuy = , 2uz = dy

    yzdx

    xzdz

    +=

    funkcija je zadata parametarski pa parcijalne izvode traimo kao izvod parametarski zadate funkcije

  • Matematika III

    55

    xv

    vz

    xu

    uz

    xz

    +

    =

    yv

    vz

    yu

    uz

    yz

    +

    =

    ( ) ( ) =+=+=+ 22222222 sincossincos uuuuyx ( ) 2222 sincos uu =+=

    22222 yxuyxu +=+=

    xyarctgvtgv

    vuvu

    xy ===

    cossin

    xyx

    xyxxyx

    uxz 2202

    2

    1222

    2222

    =+

    +=++

    =

    yyx

    yyxyyx

    uyz 2202

    2

    1222

    2222

    =+

    +=++

    =

    ( )ydyxdxydyxdxdz +=+= 222 1.6 yxz ln2= , gde je

    vux = , vuy 23 =

    Re je o sloenoj funkciji pa dz traimo na sledei nain

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    dyy

    xydxxdz2

    ln2 +=

    Kako je vux = i u vuy 23 = bie

    2vudvvdudx = i dvdudy 23 = pa je

    ( ) ( )dvduvu

    vu

    vudvvduvu

    vudz 23

    2323ln2

    2

    2

    2 +=

    ( ) ( )

    += duvuvu

    vvvu

    vudz

    23323ln2 2

    2

    2

    ( ) ( ) dvvuvu

    vuvu

    vu

    + 23223ln2 22

    2

    ( ) ( ) dvvu

    vuvv

    uduvu

    uvuvudz

    +

    += 23

    123ln1223

    323ln22

    2

    2 .

  • Matematika III

    56

    1.7. zyxu cossin= , gde je ( ) 22 1,1ln xzxy =+= dxdz

    zudy

    yudx

    xudu :/

    ++

    =

    dxdz

    zu

    dxdy

    yu

    xu

    dxdu

    ++

    =

    ( )xx

    zyxxx

    zyxzdxdu 2

    12

    1sinsin21

    1coscoscossin22

    ++=

    zyx

    xzyx

    xzdxdu sinsin

    1coscos

    12cossin

    2

    2

    2

    2

    ++=

    2. odrediti totalni diferencijal drugog reda sledeih funkcija

    2.1. 2224 10 xyyxxz = 2.2. ( )yxz += 2ln 2.3. ( )zyxu ++= sin 2.4. zexyz =

    2.5. zyxu cossin= , gde je ( )1ln 2 += xy , 21 xz = Reenja.

    2.1. 2224 10 xyyxxz = I nain

    22

    222

    2

    22 2 dy

    yzdxdy

    yxzdx

    xzzd

    ++

    =

    223 204 yxyxxz =

    ;

    xyyxyz 220 2 =

    222

    22012 yx

    xz =

    xxy

    z 220 22

    2=

    yxyxdy

    z 2402

    =

    ( ) ( ) ( ) 22222 11021204534 dyxxdxdyxydxyxzd ++= II nain

  • Matematika III

    57

    dyyzdx

    xzdz

    +=

    ( ) ( )dyxyyxdxyxyxdz 220204 2223 += ( ) ( )( )dyxyyxdxyxyxdzd 220204 22232 +=

    ( ) ( )( )++= dyydxxydxdxdxydxxzd 2402012 222 ( ) ( )( )dyxdydyxdxydyxydy 220240 2 ++

    = xydxdyydxdyxydxdydxydxxzd 402402012 22222 222 2202 xdydyxydxdy

    ( ) ( ) ( ) 222222 220480534 dyxxdxdyyxydxyxzd ++= ( ) ( ) ( ) 22222 11021204534 dyxxdxdyxydxyxzd ++=

    2.2. ( )yxz += 2ln dy

    yzdx

    xzdz

    +=

    dyyx

    dxyx

    xdz +++= 2212

    ( )dyxdxyx

    dz ++= 21

    2

    ( ) ( ) ( ) ++

    +

    ++

    == dydyxdxyxy

    dxdyxdxyx

    dzdzd 212122

    2

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dydyxdxyxdxdxxdyxdxyxxzd

    y

    ++

    ++

    ++

    += + 02

    1212222222

    2

    ( ) ( ) ( ) ( ) 2222

    22

    2222

    22

    22 12224 dy

    yxdxdy

    yxxdx

    yxdxdy

    yx

    xdxyx

    xzd+

    ++++

    +=

    ( )( ) ( ) ( )2222222

    222 1424

    yxdxdy

    yx

    xdxyx

    yxxzd+

    +

    +

    ++=

    ( ) ( )( )222222 421 dyxdxdydxxyyxzd += . 2.3. ( )zyxu ++= sin

  • Matematika III

    58

    dzzudy

    yudx

    xudu

    ++

    =

    ( ) ( ) ( )dzzyxdyzyxdxzyxdu ++++++++= coscoscos ( )( )dzdydxzyxdu ++++= cos ( ) ( )( )( ) +++++

    == dxdzdydxzyxx

    dudud cos2

    ( )( )( ) +++++ dydzdydxzyxy

    cos

    ( )( )( )dzdzdydxzyxz

    ++++ cos

    ( )( ) ( )( )dydzdydxzyxdxdzdydxzyxsnud ++++++++= sin2

    ( )( )dzdzdydxzyx ++++ sin( )( )2222 dzdydzdxdzdydzdydxdydxdzdxdydxzyxsnud ++++++++++= ( )( )dydzdxdydzdydxzyxsnud 222222 ++++++=

    2.4. zexyz = 0= zexy

    ( ) 0= zexyzx 0=+ xzexzxyyz z ( ) yzexy

    xz z =

    zexyyz

    xz

    =

    0= zexyz ( ) 0= zexyzx 0=

    +

    xze

    xzxyxz z ( ) xzexy

    yz z =

    zexyxz

    yz

    =

    dyexy

    xzdxexy

    yzdyyzdx

    xzdz zz

    +=

    +=

    ( ) dydyexy

    xzdxexy

    yxy

    dxdyexy

    xzdxexy

    yxx

    dzdzdzzzz

    +

    +

    +

    ==2

    ( )( )

    +

    +

    = dx

    exy

    xzeyyzexy

    xzy

    zdz

    zz

    22

  • Matematika III

    59

    ( )( ) +

    +

    + dxdyexy

    xzeyxzexy

    xzxz

    z

    zz

    2

    ( )( )

    ( )( ) dydyexy

    yzexxzexy

    yzx

    dxexy

    yzexyzexy

    yzyz

    z

    zz

    z

    zz

    +

    +

    +

    +22

    ( ) ) +++

    dxdydxdy

    exyyzxzexyzexy

    exyyzxz

    zzz

    z

    ( ) +

    +

    +

    zzz

    z exyxzyzexyzexy

    exyxzyz

    ( ) 22 dyexy

    xzxzezxexyexy

    xzxz

    zzz

    +

    +

    ( ) +

    ++= 2

    2222

    22 1 dx

    exyezyzyzy

    exyzd

    z

    z

    z

    +

    ++++++++ dxdyexyexyzxyzxyzzexyz

    exyexyzxyzxyzzexyz

    z

    zz

    z

    zz

    22

    222

    22 dyexyezxzxzx

    z

    z

    +++

    ( )22 1 zexyzd =

    ++

    +++

    +2

    222

    22

    222 22222 dy

    exyezxzxdxdy

    exyexyzexyzdx

    exyezyzy

    z

    z

    z

    zz

    z

    z

    2.5. zyu cossin= , gde je ( )1ln 2 += xy , 21 xz = dz

    zudy

    yudx

    xudu

    ++

    =

    dxdz

    zu

    dxdy

    yu

    xu

    dxdu

    ++

    =

    ( )xx

    zyxxx

    zyzydxdu 2

    12

    1sinsin21

    1coscoscossin22

    ++=

  • Matematika III

    60

    dxx

    zyxx

    zyxzydu

    ++= 2

    2

    2

    2

    1

    sinsin1coscos2cossin

    ( ) ddudud ==2 =

    ++

    dxx

    zyxx

    zyxzy2

    2

    2

    2

    1

    sinsin1coscos2cossin

    (( ) ( )

    +

    ++

    +=

    1

    1coslncos21cos1lnsin

    2

    22222

    x

    xxxxxd

    ( ) ( ) + +==

    + 22

    2

    222

    1cos1lnsin1

    1sin1lnsinxx

    xdx

    x

    xxx

    ( ) ( )=

    ++

    ++ 2

    2

    222

    2

    222

    1

    1sin1lnsin

    1

    1coslncos2dx

    x

    xxx

    x

    xxx

    (( ) ( ) ++ +++= 1 1cos1lncos21cos1lnsin 2222

    22

    xxxxxx

    ( ) = ++ 2'

    2

    222

    1

    1sin1lnsin dxx

    xxx

    (( ) 2''22 1cos1lnsin dxxxx += 3.Odrediti zd 3 , ako je ( )22sin yxz += .

    Reenje.

    I nain.

    ( )+

    +=

    +

    = dydxyx

    zdxx

    zdyyzdx

    xzzd 2

    2

    33

    3

    333 3

    33

    32

    2

    33 dy

    yzdxdy

    yxz

    +

    ( ) ( )2222 cos2;cos2 yxyyzyxx

    xz +=

    +=

    ( ) ( ) ( );sin4;sin4cos2 222222222

    2yxxy

    yxzyxxyx

    xz +=

    ++=

    ( ) ( );sin4cos2 222222

    2yxxyx

    yz ++=

    ( ) ( ) ( )=+++= 2232222233

    cos8sin8sin4 yxxyxxyxxx

    z

  • Matematika III

    61

    ( ) ( )22322 cos8sin12 yxxyxx ++ ( ) ( )22222

    2

    3cos8sin4 yxyxyxy

    yxz ++=

    ( ) ( )222222

    3cos8sin4 yxxyyxx

    yxz ++=

    ( ) ( ) ( )=+++= 223222233

    cos8sin8sin4 yxyyxxyxyy

    z

    ( ) ( )22322 cos8sin12 yxyyxy ++ ( ) ( )( ) +++= 3222223 cos2sin34 dxyxxyxxzd ( ) ( )( ) +++ dydxyxxyxy 222222 cos2sin12 ( ) ( )( ) +++ 222222 cos2sin12 dxdyyxyyxx ( ) ( )( ) 322222 cos2sin34 dyyxyyxy +++ .

    II nain.

    dyxzdx

    xzdz

    =+=

    ( ) ( ) ( )( )ydyxdxyxdyyxxdxyxxdz 22coscos2cos2 222222 ++=+++= ( ) ( ) + ++== dxydyxdxyxxdzdzd 22cos 222( )( )( ) (( )( ) +++=+++ yduxdxyxxdyydyxdxyxy 22sin222cos 2222( ) ) ( )(( )++++++ ydyxdxyxydxdxyx 22sin22cos 2222

    ( ) ) ( ) +=++ 222sin222 42cos dxyxxdydyyx ( ) ( ) +++ 22222 cos2sin4 dxyxdxdyyxxy ( ) ( ) ( ) =++++ 222222222 cos2sin4sin4 dyyxdyyxydxdyyxxy

    ( ) ( )( ) ( ) +++++= dxdyyxxydxyxyxx 22222222 sin8cos2sin4 ( ) 222cos2 dyyx ++

    ( ) (( ) )(( )2222223 cos2sin4 yxyxxzddzd +++==

  • Matematika III

    62

    ( ) (( ) )( ) ) ++++++ ddyyxyxydxdyyxxydx 222222222 cos2sin4sin8(( ) ( )( ) ( ) ++++++ dxdyyxxydxyxyxxy 22222222 sin8cos2sin4

    (( ) )( ) =++++ dydyyxyxy 222222 cos2sin4 (( ) ( ) )( ) +++= 32222322 sin4cos8sin8 dxyxxyxxyxx

    ( ) ( )( ) ++++ dydxyxyxyxy 2222222 cos16sin8 ( ) ( )( ) +++ + 22222 sin42cos8 dydyxxyxxy ( ) ( )( ) +++ + dydyxyyxyx 222222 sin4cos8

    ( ) ( )( ) +++ + 222222 cos16sin8 dxdyyxxyyxx ( ) ( ) ( )( ) =+++ + 32222222 sin4cos8sin8 dyyxyyxyyxy ( ) ( )( ) ++= + 322223 sin12cos8 dxyxxyxx

    ( ) ( ) ( )( ) ++++ + dydxyxyxyxyyxy 22222222 cos24sin4sin8 ( ) ( )( ) +++ + 222222 cos24sin12 dxdyyxxyyxx ( ) ( )( ) =+++ 322322 cos8sin12 dxyxyyxy ( ) ( )( ) +++= 322222 cos2sin34 dxyxxyxx

    ( ) ( )( ) +++ dydxyxxyxy 222222 cos2sin12 ( ) ( )( ) +++ 222222 cos2sin12 dxdyyxyyxx ( ) ( )( ) 322222 cos2sin34 dyyxyyxy +++

    4. Nai totalni diferencijal i totalni prirataj funkcije xyyxz ++= 22 , pri prelazu od take ( )1,1A u taku ( )9,0;1,1B Reenje. Po definiciji totalni prirataj je

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ++++++=++= yyxxyyxxyxfyyxxfz 22,, +++++++++= xyyxxyyyyyxxxxxyyx 222222 22

    yxxyyxyyyxxxxyyxyx ++++++=+ 2222 22 Kako je ;1=x ;1=y 1,011,1 === AB xxx ; 1,019.0 === AB yyy , zamenom u z dobijamo

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =++++++= 1,01,01,01,011,01,0121,01,012 22z01,001,001,001,0 =+=

    Kako je ( ) ( )dyxydxyxdyyzdx

    xzdz +++=

    += 22

    zamenom xdx = i = ddy dobijamo ( ) ( ) ( ) 01,01121,0112 =+++=dz

    5. Bunker za smetaj koncentrata bakra rude ima prenik 2r=13,4 m

  • Matematika III

    63

    i visinu H=23,2m. Preciznost pri merenju je Cm .Izraunati zapreminu i dati priblinu greku zapremine. Reenje. Bunker je obliku valjka pa je njegova zapremina

    322

    2 805,327114,32,237,614,32,232

    4,13B mHrHV ==

    ===

    = HrV 2

    dHHVdr

    rVdv

    +=

    ( )dHrrHdrdHrdrrHdV 22 22 +=+= Kako je greka pri merenju cm1 mcmrdr 005,05,0 == i mcmdH 01,01 == zamenom u dV

    dobijamo:

    ( )( ) 32 294,601,07,6005,02,234,13 mdV += Znai priblina vrednost greke u zapremini iznosi 329,6 m Tana vrednost greke je:

    ( ) ( ) ( ) ( ) 3222 805,327101,02,23005,07,6 mHrHHrrV ++=++= 333 298,6805,3271103,3278 mmm ==

    Pa je razlika izmeu take i pribline vrednosti greke: 3004,0294,6298,6 m= odnosno 34dm u odnosu na zapreminu od

    3805,3271 m

    6.Izraunati priblinu vrednost izraza: .05,2003,1 3+ Reenje: Neka je

    ( ) 05,0003,0,2,1, 32 ====+== yixyxiyxyxfz Onda je

    ( ) 3212,1 32 =+==f

    32322

    2

    1

    yx

    xxyx

    z

    +=

    +=

    32

    22

    32 2

    332

    1

    yx

    yyyxy

    z

    +=

    +=

    Znai

    ( )31

    21

    13

    12 =+==

    ==

    xyx

    z

    ( ) 23243

    212

    2.33

    212 =

    =+==

    ==

    xyy

    z

    Kako je dzz , odnosno ( ) ( ) y

    yzxzyxfyyxxf +

    ++ ,, onda:

  • Matematika III

    64

    ( ) ( ) =+

    ++=++ yyzx

    xzyxfyyxxf ,05,2003,1, 32

    101,31,0001,0305,02003,0313 =++=++=

    Zadaci

    1. Odrediti parcijalne diferencijale sledeih funkcija

    1.1 322233 yyxyxxz ++= 1.2 yxez += 1.3. ( )23ln yx + 1.4

    yarctgz =

    1.5. yxyxz +

    =

    1.6. xyxyz

    lnsin=

    1.7. ( )yxxz += ln2 1.8. yarctgxz = 1.9. ( )22 yxarctg + 1.10. arctgxyz ln=

    2. Odrediti totalni diferencijal prvog reda sledeih funkcija

    2.1. 33 yxz +=

    2.2. yxyxz +

    =

    2.3. 22 yxz += 2.4. yxz =

    2.5. yx

    ez = 2.6. 22ln yxz +=

    2.7. yxtgz ln=

    2.8. yxarctgz =

    2.9. 22 2 yxyxz ++=

  • Matematika III

    65

    2.10. 22

    2yx

    xyz +=

    2.11. ( ) yarctgyxz += 22ln21 2.12. ( )23ln yxxz += 2.13. arctgxyyz 2=

    2.14. xy

    xyzsin

    =

    2.15. xy

    tgxyzln

    =

    2.16. 03333 =++ xyzzyx 2.17. 0= xyze xz 2.18. 0ln =+ xyzxz 2.19. 0ln =++ zxye z 2.20. 0ln3 =+ xyzz

    2.21. UVzVUyVUx ==+= ,2

    ,2

    2222

    2.22. UVzVUyVUx ==+= ,, 2.23. yxV

    yxuVuz 23,,ln2 ===

    2.24 yxyxunarctgz +=== ,,

    2.25. xyyxuuezu

    =+== ,, 22 3. Odrediti zd 2 za sledee funkcije

    3.1. xyyxz 333 ++= 3.2. 45 xyyxz += 3.3. ( )33ln yxz += 3.4. ( )yxanctgz += 3.5. 03 = xyzz 3.6. 0=++ ze zyx 3.7. ( ),,,sin wvuz = gde je xywyxvyxu 2,, 2222 ==+= 3.8. ( ) yxttfz +== ,

  • Matematika III

    66

    3.9. ( )22 yxftgxyz += 3.10.

    =

    zx

    xyfu ,

    4. Izraunaj priblinu vrednost izraza

    4.1. ( )4003,00001,21 +

    4.2.

    +3 4 198,003,1ln

    4.3. ( ) ( )22 97,301,3 + 4.4. 02,298,1

    4.5. 4629sin tg 5. Poluprenik osnove pravilnog krunog konusa iznosi ,1,02,10 cmR = a izvodnica 1,06,44 =s cm. Odredi

    zapreminu konusa i priblinu greku dobijenog rezultata.

    6. Izraunati totalni diferencijal i totalni prirataj funkcije xyarctgz = pri prelazu od take ( )1,1A ka taki ( )8,0;1,1B

    1.6. TANGENTNE RAVNI POVRI. NORMALA POVRI

    Neka je jednaina povri ( )yxfz ,= Neka je ( )zyxM ,, taka povri (sl. 1.6.1.)

    sl.1.6.1. Neka je consty = . Tada taka M opisuje krivu xc a tangenta te krive xt paralelna je ravni zx0 ( u

    ma kojoj taki).

    Vektor tangente xt je vektor 10MM . Kako 0M ima kordinate ( )000 ,, zyx , a 1M ima

    koordinate ( )zdzyxx x++ 000 ,, to je

  • Matematika III

    67

    ( ) ( )

    ==++= dxxzdxzdxzzdzyyxxxMMt xxox ,0,,0,,, 0000010 .

    Odnosno,

    dxxzdxtx ,0,

    Analogno tome, ako je constx = . , tada taka M opisuje krivu yC ija je tangenta paralelnaravni zy0 .

    Vektor tangente yt krive yC ima koordinate

    ( ) = yzdyzdy y ,,0,,0 ,

    dyyzdyt y ,,0 .

    Tangente xt i yt krivih xC i yC odreuju tangentnu ravan u taki M date povri. Vektor normale te ravni je

    ( ) ( ) ( )yxkyxzjxyziyzyxzx

    kjittn yx

    y

    xyx +==

    = ''

    '

    ' ''

    00

    rr.

    Intenzitet vektora n ne utie na oblik jednaine tangentne ravni. Zato se za vektor normale

    n

    moe uzeti vektor iji je 1== yx , odnosno ( )1;; '' yx zzn ili njemu suprotan vektor ( )1;; '' yxb zzn . Vrednost parcijalnih izvoda treba uzimati u taki M u kojoj smo vrili posmatranje. Ako je

    0MM = ( ),0,0,0 zyx tada je tangentna ravan povri u taki 0M . ( ) ( ) ( ) .000' 00' 0 =+ zzyyzxxz yx .

    Normala povri u taki 0M je prava

    10

    '0

    0'

    0==

    zzz

    yyx

    xx

    yx

    Ako je povr data jednainom ( ) ,0,, =zyxF tada je vektor normale te povri u taki M

    1;;

    yz

    xzn ili

    zF

    yF

    xFn ;;r

    Primeri.

    1.Odrediti vektor normale ravni 0=+++ DCzByAx Reenje. Kako je funkcija data implicitno, to iz

    ( ) =+++= 0,, DCzByAxzyxF C

    zFB

    yFA

    xF =

    ==

    ;,

    pa je vektor normale date ravni

  • Matematika III

    68

    ( )CBAnzF

    yF

    xFn ,,,, rr =

    ,

    2. Nai jednainu tangentne ravni i jednainu normale povri 22 2yxz += u taki ( )3,1,1M . Reenje.

    22 2yxz += pa je x

    xz 2=

    ; yyz 4=

    ( ) 21,1 =xz

    ; ( ) 41,1 =yz

    Dakle jednaina tangente ravni je

    ( )( ) ( )( ) ( ) 0,, 0000000 ==+

    zzyyyxxzxxyx

    xz

    ( ) ( ) ( ) 031412 =+ zyx 034422 =++ zyx

    0342 =+ zyx a jednaina normale povri

    ( ) ( ) 1,,0

    00

    0

    00

    0=

    =

    zzyx

    yz

    yy

    yxxz

    xx

    13

    41

    21

    == zyx

    3. Nai jednainu tangentne ravni i jednainu normale jednogranog hiperboloida 191625

    222=+ zyx u taki

    ( )3,4,50 M . Reenje. Povri je zadati u implicitnom obliku

    ( ) 0191625

    ,,222

    =+= zyxzyxF , pa je

    252x

    xF =

    , 816

    2 yyyF ==

    , 92z

    zF =

    Ovi porcijalni izvodi u taki ( )3,4,50 imaju vrednosti ( )

    52

    2552

    0 == M

    xF

    ; ( ) ( )21

    84

    0 == M

    yF

    ( )32

    932

    0 == M

    zF

    Jednaina tangenti ravni implicitno zadate funkcije je:

    ( ) ( )( ) ( )( ) 0000000 =+

    + zzM

    zFyyM

    yFxxMF

  • Matematika III

    69

    u naem sluaju je

    ( ) ( ) ( ) 03324

    215

    52 =+ zyx

    ( ) ( ) ( ) 0320415512 =+ zyx 0602060156012 =+ zyx

    060201512 = yyx Jednaina normaleimplicitno zadate funkcije je

    ( ) ( ) ( )00

    0

    0

    0

    0

    MzF

    zz

    MyF

    yy

    MxF

    xx

    =

    =

    u naem sluaju je

    323

    214

    52

    5

    =

    += zyx ili:

    203

    154

    125

    =

    += zyx

    Zadaci.

    1.Nai jednainu normale i tangentne ravni povri u datoj taci

    1.1. 9222 =++ zyx ; ( )2;2;1 M 1.2. 0222 =+ zyx ; ( )5,4;3 M 1.3. 1

    31227

    222=++ zyx ; ( )1,2,3 M

    1.4. 1149

    222=++ zyx ; ( )1,2,3M

    1.5. 13916

    222

    =++ zyx ; ( )3,3,4 M 1.6. 02 = xyz ; ( )1,1,1 M 1.7. zyx 2

    49

    22=+ ; ( )1,2,3 M

    1.8. zyx 2916

    22= ; ( )0,3,4 M

    1.9. 0= zxy ; ( )1,1,1 M 1.10. 0222 =+ zeyx ; ( )0,1,1 M 1.11. 22

    1yx

    z += ; ( )1,0,1M

  • Matematika III

    70

    1.12. yarctgz = ;

    41,1 M

    1.13. 22169 yxz = ; ( )12,4,3M 1.14. 22 yxz += ; ( )5,4,3 M 1.15. 012333 =+++ xyzzyx ; ( )1,1,1M

    2. Odrediti tangentu ravan sfere 25222 =++ zyx u taki 2.1. ( )00 ,0,0 zM 2.2. ( )0,,0 00 yM 2.3. ( )0,0,00 xM 2.4. ( )00 ,2,1 zM

    3. Odrediti tangentnu rvani elipsoida 1357

    222=++ zyx u taki

    3.1. ( )0,0,70M 3.2. ( )0,500M 3.3. ( ),30,00M 3.4. ( ),3,5,70M

    4. Odrediti tangentnu raavni i normalu eliptikog paraboloida 22 122 yxz +=

    u

    4.1. takama preseka sa koordinatnim osama,

    4.2. u taki ( )0,1,1 z . 5. Odrediti tangentnu ravni i normalu rotacionog paraboloida

    0122 =+ yxz u

    5.1.takama preseka sa koordinatnom osama

    5.2. u taki ( )0,1,1 z 1.7. IZVOD FUNKCIJE U DATOM PRAVCU.

    1.7.1. GRADIJENT FUNKCIJE.

    Posmatrajmo u ravni yx0 take

    ( ) ( ) ( ) ( )yyxxMyyxMyxxMyxM xyyx ++++ ;,;,;,; (sl. 1.7.1.1).

  • Matematika III

    71

    sl.1.7.1.1.

    Neka je

    0p jedinini vektor na peavoj xyMM . Neka je ( ) xyxyx MMciMMM == . Tada je Def.1.7.1.1 Izvod funkcije ( )yxfz ;= u pravcu vektora 0p je

    sincoslim0

    +

    ==

    y

    fxf

    cz

    cz

    c.

    Moemo napisati

    ( ) ( ) =++= yxfyyxxfz ,, ( ) ( ) ( ) ( )yxfyyxfyyxfyyxxf ,,,, +++++=

    ( ) ( ) ( ) ( )c

    yxfyyxfc

    yyxfyyxxfcz

    ++

    +++= ,,,,

    ( ) ( ) ( ) ( )cy

    yyxfyyxf

    cx

    xyyxfyyxxf

    cz

    ++

    +++= ,,,,

    Prelaskom na limes, imali bi

    ===

    +=zdzydyxdx

    dzdyf

    dcdxf

    dcdz

    yx'' ... (1.7.1.1.)

    sincossincos '' +

    =+=yf

    xfff

    dcdz

    yx

    Jednakost (1.7.1.1) je izvod funkcije ( )yxfz ;= u pravcu vektora 0p izraen na uobiajen nain. Otuda je

    dyfdxfdydcdxdc

    dcfdcfdz yxyx +=

    ===+= ''''

    sincos

    sincos

    Dobijeni rezultat pokazuje da se do totalnog diferencijala moe doi i traenjem izvoda u datom pravcu.

  • Matematika III

    72

    Ako je data funkcija od tri promenljive ( )321 ,, xxxfz = , tada se analognim postupkom i razmatranjem dolazi do izvoda funkcije z u pravcu vektora ( )3210 cos,cos,cos p . Obrazac za izvod funk-cije u datom pravcu

    dcdz

    moe se shvatiti kao skalarni proizvod vektora

    ( ) +=

    = 1

    1321

    321coscos,cos,cos,,

    xf

    xf

    xf

    xf

    dcdz o

    33

    22

    coscos xf

    xf

    +

    +

    21, i 3 su uglovi, koji vektor

    0p gradi sa koordinatnim osama. Def. 1.7.1.2. Gradijent, funkcije ( )yxfz ,= u taki ( )00 , yxA je vektor ije su projekcije na

    kordinatne ose parcijalni izvodi date funkcije

    +

    = jyzi

    xzgradz

    Slino definiemo gradijent funkcija tri promenljive ( )zyxu ,,=

    +

    += u

    zuj

    yui

    xugradu

    Zadatak. Odrediti vektore iji je skalarni proizvod , dcdz

    .

    Ako obeleimo

    gradfxf

    xf

    xf =

    321,, ,

    i kako znamo da je ( )3210 cos,cos,cos cp , to je = 0pgradfdcdz

    .

    Primeri.

    1. Nai izvod funkcije 22 yxz = u taki ( )1,1M u pravcu vektorae , koji zaklapa ugao od 060 sa pozitivnim smerom x0 ose.

    Reenje.

    sincosyz

    xz

    ez

    +

    =

    = 60sin260cos2 yxez

    Kako je data taka ( )1,1M 31

    2312

    2112 ==

    ez

    2. Nai izvod funkcije 22 yxyxz += u taki ( )1,1M u pravcu vektora jie rrr 86 += Reenje.

  • Matematika III

    73

    sinyzcos

    xz

    ez

    +

    =

    ( ) 11122 ===

    Mxzyx

    xz

    ( ) 11122 ===

    Myzxy

    yz

    ( )53

    106

    1006

    186

    8622

    ===++==)(

    ijiieiecos

    rrrrrrr

    ( )54

    108

    1008

    186

    8622

    ===+

    +==)(

    jjijejesin

    rrrrrrr

    57

    541

    531 =+=

    +=

    sinyzcos

    xz

    ez

    3. Nai izvod funkcije ( ) zxyzyxf +=,, u taki A(-1,2,2) u pravcu vektora

    1330

    132 ,,e

    Reenje. Kako je coszfcos

    yfcos

    xf

    ef

    +

    +=

    je, gde su ,, uglovi koji vektor e gradi

    sa koordinatnim osama imamo:

    ( ) 2==

    Axfy

    xf

    ( ) 1==

    Ayfx

    yf

    1=

    zf

    ( )132

    1132

    11390

    134

    0,0,1133,0,

    132

    cos ==++

    ==

    ie

    ie

    ( )0

    0,1,0133,0,

    132

    cos =

    ==

    jeje

    je

    ( )133

    11

    1,0,0133,0,

    132

    cos =

    ==

    ke

    ke

    Dakle coscoscoszf

    yf

    xf

    ef

    +

    +=

  • Matematika III

    74

    ( )131

    133

    134

    133101

    1322 ==

    ++

    ef

    4.Odrediti izvod f-je xyarctgz = u takama

    23,

    21A u smeru krunice 0222 =+ xyx

    Reenje.

    Za smer treba uzeti smer tangente krunicce u taki

    23,

    21A

    Krunica je

    02 22 =+ yxx 112 22 =++ yxx

    ( ) ( ),0,111 22 Cyx =+ 1=v Koeficijent pravca tengente je ( )Aftgk '== Funkcija je zadata implicitno

    0222 =+ xyx Dakle 02'22 =+ yyx

    ( )33

    31

    23

    21

    23211

    '1'2

    22' ===

    === Ayy

    xyy

    xy

    znai 33== tgk . Na osnovu slike sledi

    6633 zarctg =+=+=

    ( )

    =

    =

    21,

    23

    67sin,

    67cossin,cos e

    sincosyz

    xz

    ez

    +

    =

    ( )23

    43

    41

    23

    1

    12222 =+

    =

    +=

    +=

    Axz

    yxy

    xy

    xyx

    z

    ( )21

    43

    41

    21

    1

    1

    1222 =+

    =+=

    +

    = A

    yz

    yxx

    x

    xyy

    z

    21

    42

    41

    43

    21

    21

    23

    23 ===

    +

    =

    ez

  • Matematika III

    75

    5. Nai izvod funkcije ( ) 222222,, zyzxyxzyxf ++= u taki A(1,1,1) u pravcu 2

    11

    12

    1 == zyx Reenje.

    Naravno, kako je vektor pravca prave ( )2,1,2e radi se o izvodu funkcije u pravcu vektora e

    ( ) 42222 22 =+=+=

    Axfxzxy

    xf

    ( ) 42222 22 =+=+=

    Axfyzyx

    yf

    ( ) 42222 22 =+=+=

    Axfzyzx

    zf

    ( ) ( )32

    92

    1212

    0,0,12,1,2cos222

    ==++

    ==

    ie

    ie

    ( ) ( )31

    30,1,02,1,2cos ==

    =

    je

    je

    ( ) ( )32

    31,0,02,1,2cos ==

    =

    ke

    ke

    coscoscoszf

    yf

    xf

    ef

    +

    +=

    320

    38

    34

    38

    324

    314

    324 =++=++=

    ef

    6. Nai gradijant funkcije yxz 2= u taki ( )1,1P . Reenje.

    xyxz 2=

    ( ) 2= Pxz

    2xyz =

    ( ) 1= Pyz

    +=+

    = jijyzi

    xzgradz 2

    7. Nai gradu u taki P(1,2,3), ako je xyzu = . Reenje.

    yzxu =

    xzyu =

  • Matematika III

    76

    xyzu =

    ( ) 632 == P

    xu

    ( ) 331 == P

    yu

    ( ) 221 == P

    zu

    ++= kjigradu 236

    8. Nai intenzitet i pravac gradu i u taki P(2,-2,1), ako je 222 zyxu ++= . Reenje. Naimo najpre gradu

    xxu 2=

    yyu 2=

    zzu 2=

    ( ) 422 == P

    xu

    ( ) ( ) 422 == P

    yu

    ( ) 212 == P

    zu

    += kjigradu 244

    ( ) 63641616244 222 ==++=++=gradu ( )( )

    32

    64

    60,0,12,4,4cos ===

    =

    igradu

    igradu

    32

    64cos ==

    =

    jgradu

    jgradu

    31

    62cos ==

    =

    kgradu

    kgradu

    Zadaci.

    1. Nai izvod funkcije 22 2yxyxz = u taki P(1,2) u pravcu, koji zaklapa sapozitivnim smerom x0 ose ugao od 060

    2. Nai izvod funkcije 12 223 ++= xyyxxz u taki M(1,2) u pravcu od take M ka taki N(4,6) 3. Nai izzvod funkcije zxyzxyu ++= u taki M(2,1,3) u pravcu od te take ka taki N(5,5,15) 4. Nai izvod funkcije arctgxyz = u ataki A(1,1) u pravcu simetrale prvog kvadrata 5. Nai izvod funkcije ( )zyx eeeu ++= ln u ( )0,0,00 u pravcu, koji sa koordinatnim osama gradi

    uglove 000 3045,60 i .

    6. Nai gradz u taji P(2,1) ako je xyyxz 333 += . 7. Nai gradz u taki P(5,3) ako je 22 yxz = .

  • Matematika III

    77

    8. Nai ugao izmeu gradijenata funkcije xyz ln= u taki

    41,

    21A i B(1,1).

    9. Nai gradu u taki P(1,1,1), ako je 222 zxzyxyu ++= 10. Nai gradu u taki P(1,0,0) ako je

    222

    1

    zyxu

    ++=

    1.8. TAYLOROVA I MAC-LAURIN-OVA FORMULA ZA FUNKCIJE VIE PROMENLJIVIH

    Razmatranje emo vriti na funkcji dve promenljive ( )yxfz ;= . Cilj je da se funkcija ( ) ( )yyxxfyxfz ++== 00 ,; u taki ( )yyxxT ++ 00 , zameni (aproksimira) funkcijom ( )0000 ; yxfz = u taki ( )000 ; yxT i njenim parcijalnim izvodima u toj taki.

    Neka ( )yxfz ;= neprekidna funkcija u okolini take ( )00 ; yx . Neka je u toj okolini i taka ( )yyxx ++ 00 , . Neka razmatrana funkcija ( )yxfz ;= ima neprekidne parcijalne izvode, do reda n , u taki ( )00 ; yx .

    Neka je

    ( ) ( )ytbxtaft ++= ; , funkcija od jedne promenljive t . Razvijmo funkciju ( )t po Maklorenovoj formuli za [ ]1,0t , kao

    funkciju od jedne promenljive.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )++++++=

    0!

    0!1

    0!2

    0!1

    0 11

    ''2

    ' nn

    nn

    nt

    ntttt

    ( ) ( )tnt nn 1

    1

    !1++

    ++

    Kako je [ ]1,0t , to formula (1.8.1) za t=1, postoje ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )+++++= 0!1

    10!2

    10!2

    01 1'''' nn

    t

    ( ) ( ) ( )tn n 1!11 +++ .

    Neka je

    yytbv

    xuxtau

    t

    t

    =+==+=

    '

    '

    Tada je

    ( ) ( ) ( )vufytbxtaft ;; =++= , odnosno

    =

    ===

    +=

    +

    =

    yvxuv

    vfu

    uf

    tv

    vf

    tu

    uf

    t

    tttt '

    ''''

    ( ) ( ) yyfx

    xfyytbxtafxytbxtaf yx

    +=+++++= ;; ''

  • Matematika III

    78

    ( )22

    2

    222

    2

    2'' 2

    +=

    ++

    = yyfx

    xfy

    yfyx

    yxfx

    xf

    t ( )3

    '''

    += y

    yfx

    xf

    t

    . ( )( )n

    nt yy

    fxxf

    +=

    ( ) ( )11 ++

    +=

    nn

    t yyfx

    xf

    Za t=0 u '...,, ( )n i ( )1+nu , imaemo

    ( ) ( )baf ;0 = ( )

    ( )( )2

    ,0'

    bay

    yfx

    xf

    +=

    .

    .

    .

    ( )( )( )n

    ba

    n yyfx

    xf

    ,0

    +=

    ( )( )( )1

    ;

    1 '+

    +++

    +=

    n

    ybxa

    n yyfx

    xf

    Za t=1

    ( ) ( )ybxaf ++= ;1 ...

    ( )( )( )1

    ;

    1 '+

    +++

    +=

    n

    ybxa

    n yyfx

    xf

    Zamenom u formulu 1.8.1. imaemo

    ( ) ( ) ( ) ( ) +=++==++ 0000 ;!01;;; yxfyyxxfyxfybxaf

    ( )( )

    .!1

    1..!1

    11

    00

    00

    ==

    ==

    +

    ++

    + n

    yyxx

    yyxx

    yyfx

    xf

    ny

    yfx

    xf

    ( )1

    00!

    1+

    == +

    ++ n

    n

    yyxx

    Ryyfx

    xf

    n ... (1.4.2)

  • Matematika III

    79

    gde je ( )( )

    ( )( )1,0,!1

    11

    1

    00

    +

    +=+

    +=+=+ yx

    n

    yyyxxx

    n

    yx

    yyfx

    xf

    nR

    Indeksi 0xx = i 0yy = oznaavaju da parcijalne izvode treba uzimati u taki ( )00 , yx . lan ( )

    ( )11

    00!1

    1+

    +=+=+

    +

    =n

    yyyxxx

    n

    yx


Povijest matematike (7)

Povijest matematike (7)

Documents
Projekt Matematike

Projekt Matematike

Documents
Osnove matematike (brojevi)

Osnove matematike (brojevi)

Documents
Čísla v matematike

Čísla v matematike

Documents
Ve čer matematike 2013.matematika.carnet.hr/5-8-razred/Vecer-matematike-2013.pdfVe čer matematike 2013. Glavna manifestacija projekta Matemati čki znanstveni izazovi: Ve čer matematike

Ve čer matematike 2013.matematika.carnet.hr/5-8-razred/Vecer-matematike-2013.pdfVe čer matematike 2013. Glavna manifestacija projekta Matemati čki znanstveni izazovi: Ve čer matematike

Documents
METODIKA NASTAVE MATEMATIKE

METODIKA NASTAVE MATEMATIKE

Documents
Ushtrime Matematike

Ushtrime Matematike

Education
Projekt Matematike

Projekt Matematike

Documents
Matematike (shprehje)

Matematike (shprehje)

Documents
Vezbanka Iz Matematike

Vezbanka Iz Matematike

Documents
teste matematika III - Albasalbas.al/testet_pdf/teste matematika III.pdf · 4 Teste matematike 3 Java II Kapitulli I – Kuptimi i numrit Mësimet: 6 – 10 1. Grupoji numrat e dhënë

teste matematika III - Albasalbas.al/testet_pdf/teste matematika III.pdf · 4 Teste matematike 3 Java II Kapitulli I – Kuptimi i numrit Mësimet: 6 – 10 1. Grupoji numrat e dhënë

Documents
Funkciya v matematike

Funkciya v matematike

Education
tajni svet matematike

tajni svet matematike

Documents
skripta iz matematike 2 pismeni autor: Časlavsmartbasic.edu.rs/.../2020/08/skripta-iz-matematike-2-1.pdfskripta iz matematike 2 za pismeni autor: Časlav Pejdić (primeri ispitnih

skripta iz matematike 2 pismeni autor: Časlavsmartbasic.edu.rs/.../2020/08/skripta-iz-matematike-2-1.pdfskripta iz matematike 2 za pismeni autor: Časlav Pejdić (primeri ispitnih

Documents
Matematike 1

Matematike 1

Education
PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!

PUNIM SHKENCOR..MATEMATIKE ...!!!

Education
Skripta 6...Prisjetimo se sada dvaju dobro poznatih primjera nizova iz srednjoškolske matematike. Primjer 6.5 — Aritmeticki niz.ˇ Neka je d fiksan realan broj, a a 1 2R zadan

Skripta 6...Prisjetimo se sada dvaju dobro poznatih primjera nizova iz srednjoškolske matematike. Primjer 6.5 — Aritmeticki niz.ˇ Neka je d fiksan realan broj, a a 1 2R zadan

Documents
Zitko - Zbirka nalog iz Matematike III.pdf

Zitko - Zbirka nalog iz Matematike III.pdf

Documents
Ljepota matematike

Ljepota matematike

Art & Photos
Projekt matematike "TRIGONOMETRIA"

Projekt matematike "TRIGONOMETRIA"

Education
Student matematike daje poduku Iz osnovnoškolske matematike

Student matematike daje poduku Iz osnovnoškolske matematike

Education
Zadaci Iz Matematike

Zadaci Iz Matematike

Documents
Skripta Iz LAG-A i Matematike

Skripta Iz LAG-A i Matematike

Documents
SKRIPTA RAČUNARSKE MREŽE - jutsczv.org mreze III.pdf · SKRIPTA RAČUNARSKE MREŽE III RAZRED Zanimanje: Tehničar računarstva (2 časa nedeljno, 72 časa godišnje, 36 sedmica)

SKRIPTA RAČUNARSKE MREŽE - jutsczv.org mreze III.pdf · SKRIPTA RAČUNARSKE MREŽE III RAZRED Zanimanje: Tehničar računarstva (2 časa nedeljno, 72 časa godišnje, 36 sedmica)

Documents
ZGODOVINA MATEMATIKE

ZGODOVINA MATEMATIKE

Documents
Vecer-matematike-2013Title Vecer-matematike-2013 Author Antonija Horvatek Subject Večer matematike 2013. Keywords večer, matematike, matematika, HMD Created Date 11/23/2014 1:10:53

Vecer-matematike-2013Title Vecer-matematike-2013 Author Antonija Horvatek Subject Večer matematike 2013. Keywords večer, matematike, matematika, HMD Created Date 11/23/2014 1:10:53

Documents
metodika matematike

metodika matematike

Documents
MINA Gavrila Principa 29smartbasic.edu.rs/wp-content/uploads/2020/01/zbirka-iz...NAJNOVIJA 2019/2020 god skripta iz matematike za pismeni autor: Časlav Pejdić (rešeni ispitni zadaci

MINA Gavrila Principa 29smartbasic.edu.rs/wp-content/uploads/2020/01/zbirka-iz...NAJNOVIJA 2019/2020 god skripta iz matematike za pismeni autor: Časlav Pejdić (rešeni ispitni zadaci

Documents
Sabiranje polinomasraspopovic.com/Baza znanja dokumenti/matematika/skripta... · Web viewSKRIPTA ZA PRIPREMU STRUČNOG ISPITA IZ MATEMATIKE Pripremila: Senka Petrović Operacije u

Sabiranje polinomasraspopovic.com/Baza znanja dokumenti/matematika/skripta... · Web viewSKRIPTA ZA PRIPREMU STRUČNOG ISPITA IZ MATEMATIKE Pripremila: Senka Petrović Operacije u

Documents
PREIZKUS IZ MATEMATIKE

PREIZKUS IZ MATEMATIKE

Documents