Click here to load reader

Zbirka reˇsenih izpitnih nalog iz Matematike za biologe2 Nekaj besed o zbirki Priˇcujoˇca zbirka je nastajala v letih 2004 – 2008, ko sem kot asistentka vodila vaje iz predmeta

  • View
    224

  • Download
    1

Embed Size (px)

Text of Zbirka reˇsenih izpitnih nalog iz Matematike za biologe2 Nekaj besed o zbirki Priˇcujoˇca zbirka...

  • Zbirka resenih izpitnih nalog iz Matematike za

    biologe

    Karin Cvetko Vah

    Univerza v Ljubljani

    Ljubljana, 2009

  • 2

    Nekaj besed o zbirki

    Pricujoca zbirka je nastajala v letih 2004 2008, ko sem kot asistentkavodila vaje iz predmeta Matematika za Biologe na Biotehniski fakulteti, inzdruzuje izpitne naloge iz tega obdobja. Vecina nalog je resenih, marsikjeso podani tudi napotki za resevanje. Zbirka je namenjena studentom 1.letnika Biologije na Biotehniski fakulteti Univerze v Ljubljani, kot pomoc pripripravah na izpit iz prakticnega dela snovi predmeta Matematika za Biologe.

    To ni klasicna zbirka nalog, saj ne nudi sistematicnega stopnjevanja za-htevnosti od najpreprostejsih nalog preko malenkost tezjih do zahtevnih zanajboljse studente. Za sproten studij se naprej priporocam kaksno od stan-dardiziranih zbirk vaj iz Matematike 1 za univerzitetni studij narovoslovnihznanosti, kakor tudi Zbirko vaj, ki sva jo pripravila v soavtorstvu s prof. dr.Milanom Hladnikom, in je prosto dostopna na spletnem naslovuhttp://www.fmf.uni-lj.si/ hladnik/Bio/Prej/vaje.pdf.

    Pricujoca zbirka pa predstavlja pomembno dopolnitev Zbirke vaj, sajstudentom poleg dodatnih nalog za samostojno delo nudi tudi konkretnopredstavo o zahtevnosti nalog, ki jih lahko pricakujejo na izpitu.

    V Ljubljani, junija 2009 Karin Cvetko Vah

  • 3

    1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE10. december 2004

    1. Dani sta preslikavi f : R R R in g : R R R, podani spredpisoma

    f(x) = (x, 2x) in g(x, y) = y

    za poljubna x, y R.

    (a) Doloci obe zalogi vrednosti in pokazi, da je preslikava f injektivna,g pa surjektivna.

    (b) Izracunaj kompozituma f g in g f in ugotovi, kaksne lastnostiimata preslikavi f g in g f . Ce je katera od njiju bijektivna,poisci njen inverz.

    2. Iz kupa 52 kart izberemo 5 kart.

    (a) Na koliko nacinov lahko to storimo?

    (b) Kaksna je verjetnost, da so med izbranimi kartami natanko trijekralji?

    3. Poisci matriko X, ki zadosca enacbi AX + B = I, kjer je

    A =

    1 1 10 1 00 0 1

    .

    in

    B =

    1 2 13 0 00 0 4

    .

    .

    4. Dana je matrika

    A =

    3 2 21 4 12 4 1

    .

    Izracunaj njene lastne vrednosti in lastne vektorje. Ali se da A diago-nalizirati?

  • 4

    RESITVE

    1. a) Zf = {(x, y); y = 2x}, Zg = R. Funkcija f je injektivna, saj iz(x, 2x) = (x, 2x) sledi x = x; ni pa surjektivna, saj denimo urejenipar (1, 3) ni slika nobenega x-a. Preslikava g je surjektivna, ker je njenazaloga vrednosti enaka kodomeni (poljuben y je slika urejenega para(1, y)). g ni injektivna, ker je g(1, 2) = g(2, 2) = 2.

    b) (f g)(x, y) = (y, 2y): preslikava je injektivna, ni surjektivna. (g f)(x) = 2x: bijektivna preslikava z inverzom (g f)1(x) = x

    2.

    2. a)

    (

    525

    )

    = 2598960. b)

    43

    482

    525

    =0.0017. c) 1

    485

    525

    =0.34.

    3.

    X = A1(I B) =

    3 3 23 1 00 0 3

    .

    4.

    D =

    1 0 00 2 00 0 3

    , S =

    1 2 00 1 11 0 1

    .

  • 5

    2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE25. marec 2005

    1. Za katera stevila x je vrsta

    n=1

    2n|x 1|nn

    konvergentna?

    2. Izracunaj limiti:

    (a)

    limx0

    (1

    x 1

    ex 1),

    (b)

    limx1

    arctg(x1x

    )

    x 1 .

    3. Doloci realno stevilo a tako, da bo funkcija

    f =

    {

    4x4+x2

    ; x 0a; x < 0

    zvezna in narisi graf te zvezne funkcije (izracunaj asimptote, ekstremein prevoje).

    4. Stozcu z visino v = 2m in polmerom osnovne ploskve R = 1m vcrtajvalj z najvecjo prostornino.

    RESITVE

    1. Vrsta konvergira na intervalu (12, 3

    2).

    2. a) 12. b) 1.

    3. a = f(0) = 0; asimptota: limn f(x) = 0, lokalni maksimum v tocki(2, 1), prevoj v tocki (12, 12

    37).

    4. Valj ima polmer osnovne ploskve r = 23m in visino x = 2

    3m.

  • 6

    3. kolokvij iz matematike za biologe, 20. maja 2005

    1. Funkcijo

    y =1

    3 xrazvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke x = 1.

    Kje je vrsta konvergentna?

    Koliko je f (2005)(1)?

    2. Izracunaj:

    (a)

    exdx4 e2x

    ,

    (b)

    0

    sin xdx

    2 cos2 x + sin2 x.

    3. Dana je funkcija dveh spremenljivk

    f(x, y) = x2 + y2 4x 2y + 5.

    (a) Doloci njene lokalne ekstreme in jih klasificiraj.

    (b) Doloci vezane ekstreme pri pogoju x2 + y2 = 5.

    4. Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

    y 2xy = x.

    Napravi preizkus.

    RESITVE

  • 7

    1.a)

    n=0

    (x 1)n2n+1

    .

    b) Vrsta je konvergentna na intervalu (1, 3).c) f (2005)(1) = 2005!

    22006.

    2. a) arcsin( ex

    2) + C.

    b) 2.

    3. a) V tocki T(2,1) je lokalni minimum, zmin = 0.

    b) T1(2, 1), T2(2,1).4. y = Cex

    2 12.

  • 8

    PISNI IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE, 31. 5. 2005

    1. Dana je matrika

    A =

    2 1 25 3 31 0 2

    .

    Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A. Ali se da diago-nalizirati?

    2. Dana je funkcija

    y =x + 1

    x 1 .

    Narisi njen graf in izracunaj ploscino pod krivuljo na intervalu[

    32, 4

    ]

    .

    3. Dana je funkcija

    z (x, y) = ey

    (

    yex2

    2y2

    )

    .

    kjer je neka funkcija ene spremenljivke. Izracunaj parcialna odvodazx

    in zy

    ter pokazi, da funkcija z zadosca enacbi:

    (

    x2 y2) z

    x+ xy

    z

    y= xyz.

    4. Poisci splosno resitev diferencialne enacbe

    y 2y + y = 4et.

    (Nasvet: posebno resitev poisci z nastavkom y = Aet.)

    RESITVE

  • 9

    1. Lastna vrednost je 1, matrika ima samo en linearno neodvisen lastnivektor (1,1, 1). Zato se ne da diagonalizirati. (Za diagonalizacijo birabili bi 3 linearno neodvisne lastne vektorje.)2. p = 5

    2+ ln 6 6, 08.

    3.

    z

    x= ey(ye

    x2

    2y2 )xex2

    2y2 ,z

    y= ey(ye

    x2

    2y2 ) + ey(yex2

    2y2 )ex2

    2y2 (1 x2).

    Direkten racun pokaze, da parcialna odvoda ustrezata dani enacbi.4. y = (c1t + c2)e

    t + et.

  • 10

    IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE, 23. 6. 2005

    1. Dana je matrika

    A =

    2 3 + x 43 4 5

    1 + x 2 + x 3 + x

    .

    Poisci vse x-e, ki zadoscajo enacbi

    det A = 0.

    2. Izracunaj limiti

    (a)

    limx0

    x arctgxx3

    ,

    (b)lim

    n(

    n2 + n

    n2 n).

    3. Doloci in klasificiraj lokalne ekstreme funkcije

    f(x, y) = ex

    2 (x + y2).

    4. Poisci tisto posebno resitev diferencialne enacbe

    y =y

    x 1,

    ki zadosca pogoju y(e) = 0.

    RESITVE

    1. det A = 2x2 4x; x1 = 0, x2 = 2.2. a) 1

    3. b) 1.

    3. fx

    = ex

    2 (1 + x2

    + y2

    2), f

    y= 2ye

    x

    2 . V tocki (2, 0) doseze funkcija lokalniminimum 2

    e.

    4. y = ( ln x + 1)x.

  • 11

    IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE25. AVGUST 2005

    1. Resi matricno enacbo XA = B, kjer je

    A =

    1 0 22 1 43 1 5

    in

    B =

    1 1 30 2 75 3 8

    .

    Napravi preizkus.

    2. Zaporedje je podano rekurzivno z a1 =12

    in formulo an+1 =12(an + 1).

    Poisci formulo za splosni clen zaporedja in izracunaj limn an.

    3. Dana je krivulja r = 2 (1 cos ), kjer je [0, 2]. Narisi njen grafin izracunaj ploscino in obseg lika, ki ga oklepa.

    4. Poisci splosno resitev enacbe

    y y = sin(2t).

    RESITVE

    1.

    X =

    8 2 139 9 71 1 2

    .

    2. an = 1 12n , limn an = 1.3. Obrnjenasrcnica. Ploscina: 1

    2

    r2d = 6. Obseg:

    r2 + r2d =

    16.4. y = c1e

    t + c2et 1

    5sin(2t).

  • 12

    IZPIT IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE15. SEPTEMBER 2005

    1. Dana je matrika

    A =

    3 0 02 2 53 1 2

    .

    Doloci lastne vrednosti in lastne vektorje matrike A. Ali se da diago-nalizirati?

    2. Izracunaj limiti:

    (a)

    limx0

    sin(4x)x + 1 1

    (b)

    limx0

    1 cos x2

    x sin x

    3. Funkcijoy = e2x sin x

    razvij v Taylorjevo vrsto okrog tocke 0 do potence x6. Koliko je koefi-cient pri x6?

    4. Poisci splosno resitev enacbe

    y 7y + 6y = tet.Nasvet: posebno resitev poisci z nastavkom: y = (At2 + Bt)et.

    RESITVE

    1. Lastne vrednosti: 3,3. Lastna vektorja: (0, 5, 1), (0,1, 1). Matrika sene da diagonalizirati, ker nima treh neodvisnih lastnih vektorjev.2. a) 8. b) 1

    8.

    3. 1 + x + 2x2 + 32x3 + 2

    3x4 + 31

    120x5 + 4

    45x6 + ..., a6 =

    445

    .4. y = c1e

    t + c2e6t ( 1

    10t2 + 1

    25t)et.

  • 13

    1. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE ZA BIOLOGE20. december 2005

    1. Dana je mnozica A = {n N|n 20}. Na mnozici A imamo podanorelacijo R s predpisom: mRn natanko tedaj, kadar obstaja tako stevilok Z, da velja m n = 4k.

    (a) Pokazi, da je R ekvivalencna relacija,(b) Doloci ekvivalencne razrede, na katere R razbije mnozico A.(c) Kateri elementi n mnozice A imajo lastnost nR6?

    2. Strelca streljata v tarco. Prvi jo zadene z verjetnostjo 34, drugi pa z

    verjetnostjo 58. Vsak dvakrat ustreli proti tarci, ki je le enkrat zadeta.

    Kaksna je verjetnost, da jo je zadel prvi strelec?

    3. Doloci realno stevilo a, tako da bo naslednji sistem resljiv in resi sistem:

    x y + z = 32x + y 2z = 1x 5y + 7z = a.

    4. Dana je matrika

    A =

    11 8 012 9 024 18 1

    .

    Izracunaj njene lastne vrednosti in lastne vektorje. Ali se da A diago-nalizirati?

    RESITVE

    1. (a) Refleksivnost: za vsak n velja n n = 4 0. Zato velja nRn za vsakn A.

    Simetricnost: denimo, da za neka m, n A velja mRn. Torej obstajatako celo stevilo k, da je m n = 4k. Potem je pa n m = 4(k) in zat