Zapiski predavanj separacijski procesij

Separacijski procesi zapiski predavanj Bojan BORIN

1. Uvod

1.1 Definicija tehnologije

Tehnologija je kombinacija tehninih in ekonomskih znanj, ki ob upotevanju drubenih okoliin(ekologija, varstvo pri delu...), omogoa ustvariti neko novo vrednost.

Izraz pomeni: tehnologija = gr. tehnoj + logos znati na razumen nain (ingenirium [lat.] = tehnoj)

1.2 Separacijski procesi definicija, razdelitev

Separacijski procesi so procesi loevanja faz. Del separacijskih procesov so tudi Termodifuzijskeoperacije, kjer gre za prenos snovi, toplote ali simultani prenos toplote in snovi.

Klasine operacije so: destilacija absorpcija ekstrakcija suenje uparjanje kristalizacija adsorpcija

Poleg teh poznamo e moderne operacije, kot so membranski procesi, reverzna osmoza insuperkritine ekstrakcije.

Pot, s katero pretvorimo surovine v produkt, nam prikazuje naslednja shema.

Slika 1.1. Faze za pretvorbo surovin v produkt.

- 1 -


Nad izvajanjem teh stopenj bedijo tirje E: ekoloki problemi (Ecology), energetika (Energetics),ineniring (Engineering) in ekonomija (Economy).

Temeljne inenirske smeri so: gradbenitvo, strojnitvo, elektrotehnika in kemijsko inenirstvo.

1.3 Pristopi za reevanje problema

Metodologija, kako pristopiti k danemu problemu, je: inenirska nastavitev problema (definicija sistema) matematini zapis (prvi tak zapis je Rayleighov integral pri diferencialni destilaciji) reitev zapisa verifikacija.

Za reevanja naloge moramo poleg zgoraj navedenih prvih treh tok poznati e: masno in toplotnobilanco, termodinamiko, transportne pojave in reakcijsko inenirstvo (kinetika + transport snovi).

Reevanje naloge nam prikazuje naslednja slika.

Slika 1.2. Stopnje, po katerih reujemo nalogo oziroma zastavljen problem.

- 2 -


2. Ravnoteje v dvofaznem sistemu V industriji nastopajo tirje (4) dvofazni sistemi, in sicer: tekoe plin (destilacija, absorpcija) Henryjev zakon tekoe tekoe (ekstrakcija) Nernstov zakon trdno plin (suenje, adsorpcija) Langmuirjev zakon, Freundlichov zakon trdno tekoe (ekstrakcija, kristalizacija, ionske izmenjave...)

Zveze za ravnoteja v f faznih sistemih podaja Gibbs (1888): Fazi sta v ravnoteju, ko je kemijskipotencial v obeh fazah enak ( i '=i ' ' ). To pomeni, da je izhodie za fazno ravnoteje kemijski

potencial, ki ga definiramo kot: i=G n iT,P, n j .Gibbs je to enabo predelav v uporabnejo enabi, to je Gibbsovo fazno pravilo: f + s = k + 2, kjerje f faza, k, komponenta, s pa tevilo prostorskih stopenj.

Seminar 1 . Izpeljava Gibbsovega faznega pravila.

2.1 Prikaz uporabe Gibbsovega pravila na razlinih ravnotejih

Ravnoteje tekoe - plinVrelni diagram za sistem benzen toluen (Glej Praktikum iz fizikalne kemije)

Slika 2.1. Shema aparature za izdelavo vrelnega diagrama.

Za risanje vrelnega diagrama smo potrebovali delee lahkohlapne komponente v tekoi in parni fazi(x in y), ki smo jih dobili z jemanjem vzorcev destilata (y) in tekoe faze (x), doloili pa smo jih zmerjenjem lomnega kolinika. Tako smo dobili podatke za risanje vrelne (a) in kondenzacijske (b)krivulje.

- 3 -


Iz Gibbsovega faznega pravila pa dobimo, da sta za doloen T in P vrednosti x in y doloeni:k = 2 (voda, metanol oziroma benzen, toluen)f = 2 (tekoa, para)ntot = 4 (tevilo vseh spremenljivk P, T, x, y)s = 2 (dve neodvisni spremenljivki, drugi dve sta odvisni)

x,y

b

a

T

1

100

64

0

P = konst.

Slika 2.2. Vrelni diagram za benzen toluen.

Ravnoteje trdno plinPo Gibbsovem pravilu dobimo:f = 2 (trdno, plin)k = 3 (zrak, trdna snov, vlaga)s = 3ntot = 4 (T, P, x (sestava trdne faze vlanost trdnega materiala), y (sestava plina molski delevlage v zraku))

Sestavo plina dobimo po enabi 2.1:

y=p vlage

Ptot, (2.1)

kjer je p parcialni tlak vodne pare v zraku.

Relativno vlanost merimo s higrometrom. Definirana je kot:

=pps

, (2.2)

kjer je ps parni tlak vodne pare v zraku pri nasienju in predstavlja najveji tlak pri doloenitemperaturi. e doloamo parni tlak s Clausius Clapeyronovo enabo, lahko dobimo naslednjo tabelo:

T [C] P = ps [mbar]

100 1013

20 23,2

80 473

60 199

120 2000

- 4 -


Na vsakih 20C se parni tlak podvoji / razpolovi!Primer:Podani podatki: = 60%, T = 20C, PTOT = 970 mbar. Zanima nas stanje zraka v predavalnici.

y=psPTOT

=0,623,2970

=0,014

Za dano vlanost lahko dobimo x iz absorpcijskih izoterm, kar so diagrami relativne vlanosti vodvisnosti od X, kjer je X razmerje mase vlage na maso suhe snovi materiala in ga izraunamo poenabi 2.3.

X=x

1x(2.3)

X (masa vlage/maso suhe snovi)0

1Les osrednje Evrope

X

jan dec

sledi X

Slika 2.3. Absorpcijske izoterme.

Po Gibbsovem faznem pravilu, lahko doloimo tevilo prostostnih stopenj:f = 2, k = 3 iz tega sledi s = 3 (T, P, (y)) oziroma tevilo odvisnih spremenljivk = 1 to je X.

Ravnoteje plin tekoinaDoloa ga naslednja enaba:

p=Hx (2.4)kjer je p parcialni tlak plina nad raztopino, H Henryjeva konstanta za par topilo plin, x pa molskidele plina v raztopini. Za Henryjevo konstanto velja, da je pri veji temperaturi le ta vija.

Nekaj primerov H:H(CO2/H2O) = 103 bar, H(O2/H2O) = 4 104 bar

- 5 -


SklepIz zgoraj navedenih ravnoteij lahko ugotovimo, da Gibbsovo fazno pravilo velja za vsakoravnoteje.

Slika 2.4. Ravnoteja in Gibbsovo fazno pravilo.

Raunski primer:

Izraunaj ravnoteno koncentracijo kisika v vodi, e znaa He = 4 104 bar. Dele kisika v zraku je20%, totalni tlak pa znaa 1 bar.

p=Hexx=pHe=0,5105

molO2molO2molH2O

c=x36 kg /mol10001000mg

18kg /molL=8,8mg /L

Raunski primer:

Koliko je topnost kisika na viini 3000 m? Ostali podatki: P0 = 1013 mbar, M = 29 kg / kmol, h = 3000 m, T = 20CP=P0exp [Mgh /RT]=1013exp[289,813000 /8,314293]=713,59mbar

Izpeljava barometrske enabe: dPdh=g ;=

PMRT

Kolikna je koncentracija kisika?p=wP=0,2713,59=142,72mbar=0,14272 bar

p=Hexx=pHe=0,00357

molO2molO2molH2O

c=x3618=6,16mg /L

- 6 -


3. Prenos snovi v dvofaznih sistemih

Osnovne koliine pri prenosu snovi so: kinematina viskoznost: =/ termina difuzivnost: a difuzivnost: D [m2/s]

Za pline so vse tri koliine okoli 10-5 pri debelini filma med 100 in 1000 m; za tekoine pa jedifuzivnost D okoli 10-9 pri debelini filma med 10 (hitra) in 100 (poasna) m.

Pojav prehoda iz plina v film opisuje stacionarna difuzija. Pri destilaciji velja Troutonovo pravilo in pojav je ekvimolarna protidifuzija.Pri suenju potekata stacionarna difuzija (dokler je snov mokra), nato pa difuzija v trdnem medijuoziroma nestacionarna difuzija v konnem mediju.

Pogoj za snovni tok je, da fazi nista v ravnoteju.

snovni tok

faza 1 faza 2

fazna meja

snovni tok

Slika 3.1. Fazna meja in snovni tok.

Pojavne oblike snovnega prenosa so: stacionarna difuzija (plin povrina tekoine) [faza 1, 2] ekvimolarna protidifuzija [faza 1, 2] nestacionarna difuzija v konnem mediju (suenje) [faza 1] psevdostacionarna difuzija (suenje) [faza 2] stacionarna difuzija do meje (poleg vode imamo e reaktante) [faza 1] stacionarna difuzija s kemijsko reakcijo (poleg vode imamo e reaktante) [faza 2] stacionarna difuzija (kratek kontaktni as v filmu vode prihaja O2 iz zraka) [faza 1] nestac. difuzija v polneskonni medij (kratek kontaktni as v filmu vode) [faza 2]

- 7 -


3.1 Snovni fluks skozi dva zaporedna upora

Osnove za snovni tok skozi dva zaporedna upora predstavlja filmska teorija, ki je podrobnorazloena v ubeniku Prenos toplote in snovi prof. Koloinija.

Koncentracijski profil nam predstavlja naslednja slika (Slika 3.2), kjer je CA1 koncentracija ene

komponente v 1. fazi, Ci ,A1 pa koncentracija ene komponente na mejni fazi.

fazna mejafaza 1plinska, tekoatekoa

faza 2tekoatekoatrdna

cA

1

cA

2

cAi

1

cAi

2

mejni film

koeficient snovne prestopnosti k

c

1

koeficient snovne prestopnosti k

c

2

Slika 3.2. Koncentracijski profil.

Koeficient snovne prestopnosti pa izraunamo oziroma doloimo s pomojo filmske teorije.Filmsko teorijo je formuliral Whitmann. Slika 3.3 prikazuje to teorijo.

z

cAi

cA

Ekvivalentnadebelina tekoinskega filma

mejni slojc(R)

c

Slika 3.3. Filmski model snovne prestopnosti.

Ob povrini delca je koncentracija v tekoi fazi cAi. Zaradi konvekcije, ki je veji oddaljenosti odfazne meje intenzivna, je ves upor proti snovnem prenosu v tankem sloju filmu tekoine, ki se obdelcu giblje. Zato je koncentracija zunaj filma konstantna. eprav je koncentracijska porazdelitev

- 8 -


podana z ukrivljeno rto, pa je Whitmann, predpostavil ekvimolarno protidifuzijo v hipotetinemmirujoem sloju debeline c (linearen profil). Zato:

JA=DABdcAdz x=0

=DABcAiCA

c=kCcAiCA (3.1)

in

kC=DABc

(3.2)

Koeficient snovnega prestopa kC je odvisen od hitrosti zraka in prestavlja len, ki upotevauinkovitost. Enota je m/s.

Koeficient snovnega prestopa je lahko v plinski ali tekoi fazi. Tako loimo: kL: velikostni red 10

5kL104 [m/s], debelina sloja 10100 [m ]

kG: velikostni red 102kG10

1 [m/s], debelina sloja 1001000 [m ]

Snovni fluks komponente A do fazne meje zapiemo kot:w=kc

1 c1c1, i (3.3)Snovni fluks v dugo fazo pa je enak:

w=kc2c2, ic1 (3.4)

Z upotevanjem enab za ravnoteje: c1=Kc2

* in c1*=Kc2 in c1, i=Kc2, i (3.5) in (3.6) in (3.7)

Dobimo naslednji enabi za snovni fluks:

w=1

1kc ,1

Kkc ,2

c1c1* in

w=1

1Kkc ,1

1kc ,2

c2*c2

(3.8) in (3.9)

Uporaba enab 3.8 in 3.9 na ravnoteju plin tekoe:

w=1

1kGKHkL

c1c1*

w=1

1KHkG

1kL

c2*c2

Raunski primer:

Koliko je lahko maksimalni fluks kisika v vodo iz zraka, e upotevamo maksimalno vrednosttransportnih koeficientov in vrednost He konstante za sistem kisik voda 40000 bar pri temperaturi15C. Koliko znaa KH v tem sistemu?C2=0mg /L v vodi ni kisika

C2*=8,8mg /L

kL max: 105kL10

4 [m/s]

kG: 102kG10

1 [m/s]

Csr=cH2O1xcO2x=H2O

M H2O=55,5mol / cG=

HeRTcLcsr=KHcL cG=

nO2V=

pO2RT

- 9 -


RT(20C) = 24 bar m3/kmol KH=He

RTcsr=400002455

=30

w=1

1KHkG

1kL

c2*c2

kL max: 104 m/s

kG: 101 m/s

KH = 30

RG=1

KHkG=1030=1/3s /m

RL=1kL=1/104=104s /m

RLRGzanemarimo upor v tekoinskem filmu

wmax01048,8103=0,88

mg

m2s

Izraun koncentracij na fazni meji! Potem ko izraunamo fluks po enabi 3.8 ali 3.9, uporabimo zvezo za snovni fluks skozi en samfilm (enabi 3.3 in 3.4) in dobimo:

w=kc1c1c1, i

wk c1

=c1c1, ic1, i=c1wk c1

w=kc2c2, ic1

wk c2

=c2, ic2c2, i=c2wk c2

- 10 -


4. Destilacija

4.1 Splono o destilaciji Destilacija je termodifuzijska operacija, pri kateri loujemo komponente na osnovi njihovihrazlinih hlapnosti izraenimi z temperaturo vreli.

Skozi tehnini razvoj se je pojavilo ve procesov za loevanje komponent, tako arnih kotkontinuirnih, pod tlakom ali v vakuumu. Osnova za destilacijo, pri kateri elimo vriti ostre loitve,je v kontaktiranju parne in tekoe faze, kjer iz parne faze v veji meri kondenzira teje hlapnakomponenta, iz tekoe pa uparja (izhlapeva) laje hlapna komponenta. Ker je termodinamskapodloga ob tem pojavu vezana na enako entropijsko spremembo za obe komponenti (Trouton,S=88kJ /molK ) in je podlaga za ekvimolarno protidifuzijo (e so temperature dovolj blizu, sotudi entalpije dovolj skupaj).

Med tehnikami za loevanje komponent na osnovi hlapnosti poznamo tevilne tehnike.

4.2 Diferencialna destilacijaDiferencialna destilacija se uporablja za arne in ne preostre loitve. Shematsko lahko prikaemodiferencialno destilacijo na naslednji sliki.

Slika 4.1. Diferencialna destilacija.

Zapis splone masne bilance:

V, iR i ,VWiiz , i=dm idt

(4.1)

Za diferencialno destilacijo lahko zapiemo totalno in komponentno bilanco:

hlapi=dmdt

(4.2)

hly=d mxdt

=mdxdtx

dmdt

(4.3)

- 11 -


Enabi 4.2 in 4.3 preuredimo v enabo:dmm=

dxyx

(4.4)

in jo integriramo v mejah:m = m0, x = x0m = m, x = x

in dobimo Rayleighovo zvezo:

lnmm0=

x0

xdxyx

(4.5)

Za reitev integrala na desni strani enabe 4.5 potrebujemo zvezo y = f(x), to je ravnotenekoncentracije hlapneje komponente v parni in tekoi fazi.

V primeru, ko velja ozek interval integracije (x 0) lahko uporabimo Raoultov zakon, ki pravi:y = K x (4.6)

Tako se enaba 4.5 po integraciji glasi:

lnmm0=

1K1

lnxx0

(4.7)

oziroma :

mm0= xx0

1 /K1

(4.8)

Iz bilance procesa dobimo enabom0x0=mxmDxDm0=mmDmm0=xDx0xDx

(4.9)

Reitev procesa pa predstavlja preseie enab 4.8 in 4.9.

xx01/K1

xDx0xDx

=0 (4.10)

Enabe 4.10 ne moremo reevati analitino, temve jo lahko reimo numerino oziroma sposkuanjem. Raunski primer:

Z diferencialno destilacijo loujemo zmes etanola v vodi s sestavo x0 = 6 ut.%. Zaetna masa (m0) je100 kg gostota etanola 0,78 g/mL. Dele hlapne komponente v destilatu elimo 30 ut.%, konstantaK (porazdelitveni koeficient EtOH med parno in tekoo fazo) pa je 7. Doloi, do katerega x moramodestilirati in kolikna bo konna masa destilacijskega ostanka (m) in masa dobljenega destilata.Dobljeni destilat preraunaj v volumske odstotke.

xx01/K1

xDx0xDx

=0 x0,061/71

0,30,060,3x

=0x=0,0288 (doloeno z raunanjem)

e x doloimo z programskim paketom Matematica, dobimo: x = 0,0288528

m= xDx0xDx m0=0,30,060,30,0288100=88,5; mD=m0m=11,5

- 12 -


Pretvorba iz masnih deleev v volumske:

x i , vol=xm,i/i

i=1

n

xm,i/i

xvol EtOH=0,35=35vol

Pretvorba iz masnih deleev v molske:

x i ,mol=x i/M i

i=1

n

xm,i /Mi

xmollEtOH=0,144=14,4 vol

5. Ravnotena destilacija ali "Flash" destilacija

Primer ravnotene destilacije je loitev stirena in butadiena pri pripravi SBR.

Raziritev znanja o ravnoteju tekoe para

Dosedaj smo spoznali zvezo med deleem komponente v parni fazi y in deleem komponete vtekoi fazi x v obliki y=kx in konstrukcijo vrelnega diagrama.

Sedaj pa uvedemo e nov pojem, in sicer relativna hlapnost (angl. relative volatility), ki jedefinirana kot:

=y1/x1y2/x2

(5.1)

Za binarno zmes veljajo naslednji zapisi x1x2=1 in y1y2=1 , kjer lahko zapiemo, da jex1=x in y1=y . Tedaj lahko prevedemo enabo 5.1 v naslednjo enabo:

=y 1xx 1y

(5.2)

Poleg tega velja za idealno zmes tudi Raultov zakon:p=Px (5.3)

y=P

PTOTx (5.4)

e upotevamo enabi 5.3 in 5.4, zapiemo relativno hlapnost s parnimi tlaki prve in drugekomponente:

=P1P2

(5.5)

Pri neidealni zmesi enabi 5.5 dodamo e aktivnostne koeficiente:

=1P12P2

(5.5)

Z upotevanjem Clausius-Clapeyronove enabe in Trutonovega pravila, lahko enabo relativnehlapnosti zapiemo tudi kot funkcijo temperature vreli obeh komponent:

log=9,1T2T1T2T1

(5.6)

Seminar 2. Izpeljava relativne hlapnost iz osnovnih zvez.

- 13 -


Na podlagi relativne hlapnosti, pridobljene iz temperatur vreli obeh komponent, lahkokonstruiramo ravnotene diagrame y = f (, x):

y= x

1x 1=

x

x 11 (5.7)

Grafien prikaz ravnotenih diagramov pri razlinih relativnih hlapnostih prikazuje slika 5.1.

Slika 5.1. Ravnoteni diagrami za razline relativne hlapnosti.

5.1Model procesa

Ravnotena destilacija je kontinuirna, vendar je ne uporabljemo za ostre loitve.

Slika 5.2. Shema procesa ravnotene destilacije.

- 14 -


Zapiimo masno in toplotno bilanco za proces ter enabo za ravnoteje, ki velja pri procesu.Masna bilanca:

T. M. B: F=LV (5.8)K. M. B. Fxf=LxVy (5.9)

kjer F pomeni tok izhodine zmesi, L tok tekoine in V tok hlapov. Toplotna bilanca: Fcp.FT1T2=VHzmesi (5.10)Ravnoteje:

y= x

1x1 (5.11)

Grafino pa lahko predstavimo proces na naslednji sliki.

Slika 5.3. Grafina predstavitev ravnotene destilacije.

Sestavo (x,y) dobimo s simultanim reevanjem enab obratovne in ravnotene rte: Enabo obratovne rte dobimo iz enabe komponentne masne bilace, kjer uvedemo nova pojema, insicer frakcijo hlapov f in frakcijo tekoine 1f , ki je definirana kot:

f=VF in 1f=

LF

(5.12) in (5.13)

Enaba obratovne rte je tako enaka:

y=1ff

xxf1f

(5.14)

- 15 -


Frakcijo f pa lahko izrazimo tudi iz toplotne bilance, kjer dobimo:

f=VF=cp,F T1P1T2P2

H(5.15)

Frakcija nam doloa, s kakno sestavo vstopa zmes v proces:f=0 ni hlapov naklon jef=1samo hlapi naklon je 0

V primeru, ko je zveza na ravnoteni rti linearne oblike, lahko uporabimo zvezo y = kx. Taknazveza je pri malih x in y.

Raunski primer:

Ekvimolarno zmes benzena in toluena loujemo z ravnoteno destilacijo. Napajalna zmes je vrelapri tlaku 1 bar. Koliko naj bo tlak v adiabatni komori, da bomo pridobili 10 % hlapov. Koeficient fje 0,1. Kakna bo sestava hlapov in tekoe faze? Koliko bo temperatura v adiabatni komori, dadoseemo f = 0,1? Koliko znaa tlak P2? ekvimolarna zmes xF = 0,5f = 0,1Tvr,2 =273 + 110 = 383K (toluen)Tvr,1 =273 + 80 = 353K (benzen)

T1 (P1) temperatura vstopajoe zmesi P1 = 1 bar 80 < T1 < 110C

za f = 0,1 sledi f=cp , FT1T2

Hizp , FT2=T1

Hizp , Ff

cp , FHizp , F=Hizp ,BxBHizp ,T xT oziroma Hizp ,=TvrS=Tvr ,1Tvr ,2xfS

Koliko bo temperatura v adiabatni komori, da doseemo f = 0,1? Koliko znaa tlak P2? Reitev dobimo s pomojo CC enabe, s pomojo katere bomo v prvem primeru za dani tlak P1 =1bar izraunali T1, v drugem primeru pa bomo na podlagi T2 izraunali P2 v adiabatni komori.

1013mbar=P1=PBxF ,BPTXF ,T=10130,5exp [10,51353T1]10130,5exp [10,51

383T1]

Reevanje z ugibanjem:

95 1107

93 1046

92 1017

91,5 1002

91,8 1011

91,9 1014

91,85 1013,76

91,86 1013,05

Upotevamo 93C = 366K

- 16 -


T2=T1Hizp ,Ff

cp ,F=366

Hizp ,Ff

cp ,F=348K=75Codhlapi 10%

P2=10130,5exp [10,51353348

]10130,5exp [10,51383348

]=612mbar

Sestava tekoe (x) faze in parne faze (y):

naklon obratovne rte: 1f

f=9 arctg 9=8418084=96

analitina reitev: x

x 11=

1ff

xxFf

reitev kvadratne enabe da: x = 0,48 in y = 0,67.

Slika 5.4. Shema procesa.

- 17 -


6. Desorbcija ali "Stripping"

Z desorbcijo odstranjujemo manje koliine hlapnejih komponent iz tekoe zmesi, kjer sorazredene komponente. Za odstranjevanje slui nosilni medij, ki je lahko zrak, duik, vodna para,vakuum...

Ravnotena stopnjaPojem ravnotene stopnje: teoretina stopnja je tista, ko sta yn in xn ravnoteni praktina stopnja je tista, kjer se izvri snovna izmenjava doloene kvalitete, izstopajoi tokovi

oziroma njihove sestave niso v ravnoteju, so pa ravnoteju mnogo blije kot sestave tokov Ln-1(xn-1), Vn+1, yn+1, ki na ravnoteno stopnjo vstopajo.

Slika 6.1. Prekat n-te stopnje s vstopnimi in izstopnimi tokovi.

Zapis masne bilance, ravnoteja in prenos snoviMasna bilanca:

L xn1xn=V yn1yn (6.1)kjer je Ln1=Ln=Ln1 in Vn1=Vn=Vn1Smer toka L faze doloa tetje stopenj, faza L je vedno gosteja, le v primeru ekstrakcije tekoe-tekoe je to rafinantna faza (tista, ki je istimo) ne glede na gostoto.

Ravnoteje:

p=PxPx /Ptot y=

PTOTxy=kx (6.2)

kjer k doloa parni tlak komponente, ki jo izganjamo.

Uinkovitost:

E=teoretino tevilo stopenjpraktino tevilo stopenj

=n tnp

(6.3)

- 18 -


Izpeljava tevila ravnotenih stopenj:

Slika 6.2. Kolona s nt stopenj.

1

2

n 1

n

VL=x0x1y1y2

/KVKL=K x0K x1y1y2

VL=x1x2y2y3

/KVKL=K x1K x2y2y3

VL=xn2xn1yn1yn

/K VKL=K xn2K xn1

yn1yn

VL=xn1xnynyn1

/K VKL=K xn1K xnynyn1

Za nt stopenj:

VKL n t

=K x0y1K xnyn1

n t logVKL =logK x0y1K xnyn1

Konna enaba po izpeljavi:

n t=log

K x0y1K xnyn1

logVKL (6.4)

V enabi 6.4 tevec predstavlja logaritem kvocienta potencial, imenovalec pa logaritem kvocientanaklonov ravnotene in obratovne rte.

Doloimo lahko tudi stripping faktor S, ki je definiran kot kvocient naklonov ravnotene inobratovne rte :

S=K

L /V(6.5)

Grafini prikaz obratovne in ravnotene rte ter teoretino tevilo ravnotenih stopenj namprikazuje slika 6.3.

- 19 -


Slika 6.3. Obratovna in ravnotena rta.

Raunski primer:

Zmes 2mol% etanola v vodi obdelujemo na koloni s prekati do sestilacijskega ostanka, ki najvsebuje le 0,01 % etanola. Za desorbcijo rabimo sveo paro s pretokom 0,2 mol pare/mol tekoine(L/V = 5). Ravnotena konstanta v tako razredeni zmesi je 9. Koliko stopenj potrebujemoteoretino in koliko praktino, e je uinkovitost praktine stopnje 0,75?

y1=LVx0xn=50,020,0001=0,0995

n t=

logK x0y1Kxnyn1

logVKL =log

90,020,099590,0001

log95=7,6 np=

n tE=10

- 20 -


7. Destilacija z vodno paro

Destilacija z vodno paro se uporablja za loevanje hlapnih komponent iz zmesi s tekohlapnokomponento ob pomoi vodne pare kot nosilnega medija. V sistemu nastopajo: tekohlapna komponenta TH (b mol) lahkohlapna komponenta LH (a mol) vodna para VP (n mol).

Dele a v tekoi fazi: xa=a

ab(7.1)

Dele a v parni fazi: ya=a

an(7.2)

Shemo aparature prikatuje slika 7.1.

Slika 7.1. Shema aparature za destilacijo z vodno paro.

Pri proizvodnji oziroma pri proizvodnjih sistemih nastopajo naslednji pomembni aspekti, kivplivajo na uporabo postopka v industriji: produkt: izraen z dodano vrednostjo, zaeljena im vija cena; proces: im manji proizvodnji stroki oprema ekologija energetika.

Proces je nestacionaren, saj se sestava spreminja. Poleg tega je proces aren, glede na polnitevreaktorja, in kontinuiren, glede na pretok vodne pare.

Masna bilancaParna faza: n,a

an=

paPTOTpa

(7.3)

Razmerje molov je razmerje parcialnih tlakov. (Daltonov zakon)Destilacija z vodno paro temelji na destvu, da je vrelie zmesi vode in z vodo nemeljive tekoine

- 21 -


nije od vrelia vode same, zavre pa takrat, ko dosee vsota parnih tlakov obeh komponent tlak vdestilacijski posodi.

Termodinamika (fazno ravnoteje)Za idealni sistem lahko uporabimo Raultov zakon:

pa=Paxa=Paa

ab. (7.4)

V primeru realnega primera (neidealna zmes) dodamo e aktivnostni koeficient, ki upotevainterakcije med komponentami:

pa=aPaxa=aPaa

ab. (7.5)

Poleg tega aktivnostni koeficient upoteva tudi prenos snovi.

Pri enabi 7.2 lahko dodamo e uparjalno uinkovitost E, ki doloa kvaliteto kontakta med vodnoparo in lajehlapno komponento a. Uparjalna uinkovitost je funkcija opreme, fizikalno-kemijskihlastnosti sistema in procesa. Konno zapis enabe:

pa=aEPaxa=aEPaa

ab. (7.6)

Izraun potrebne koliine pareIzraun potrebne koliine vodne pare za spremljavo a molov LH komponente, ki jo je potrebnoizgnati iz zmesi a,b.

dadn0

dadn=

aEPaa

ab

PTOTaEPaa

ab

0

n

dn=a0

a1 PTOTab

aEPaa1da (7.7)

Po integraciji enabe 7.7 dobimo:

n=a1a0a0a1PTOTaEPa

PTOTb

aEPaln a0a1 (7.8)

Enabo 7.8 pa lahko zapiemo e:

n=a0a1 PTOTaEPa1PTOTb

aEPaln a0a1 (7.9)

Posebni primeri:Ko je b = 0, lahko enabo 7.9 zapiemo kot:

n

a0a1=PTOTPA

Pa (7.10)

Enabo 7.10 uporabimo za doloevanje molse mase organske komponente s pomojo destilacije zvodno paro. To je tako imenovana Vidor-Mayer tehnika.Tako lahko n (voda) izraunamo po enabi n = mv/18, molsko maso organske komponente paizraunamo iz (a0 a1), v kombinaciji z enabo 7.10.

- 22 -


Raunski primer:Izraunaj potrebno mnoino vodne pare za spremljavo dimetilamino propilamina, ki je ostal kotprebitek v zmesi s produktom, nastalim po reakciji med maobno kislino in dimetilaminopropilaminom. Po reakciji ga je v zmesi ostalo 3 ut.%, ki pa go moramo iznati do potrebe trga, ki je0,1 ut%. Formula dimetilamino propilamina:

Podatki:T(vr,TH) = 400C; M(TH) = 300 kg/kmolT(vr,LH) = 140C; M(LH) = 102kg/kmolP(TOT) = 1,013mbar; T = 140C; m(a+b) = 1000kg

xA(ut, zac) = 0,03 (m LH

m THm LH =

3097030

)

xA(ut, trg) = 0,001Predpostavke:E in A dobimo iz literature ali s poskusom na pilotni napravi, ki je v naem primeru Ecel = 0,5, kjerje Ecel = E A.

Vodna para za spremljavo: n=a0a1 PTOTaEPa1PTOTb

aEPaln a0a1=22,16 kmol

masa vodne pare = 400kg

a0=30kg102

kg /kmol=0,29 kmol

a1=1kg102

kg /kmol=9,8103kmol

b=970kg300

kg /kmol=0,29 kmol

P(tot) in P(a) se v enabi okrajata, ker proces poteka pri tlaku 1,013 mbar in temperaturi 140C. Topa je ravno pri temperaturi vrelia komponente a.

- 23 -


8. Rektifikacija

Rektifikacijo uporabljamo v primerih, ko z diferencialno ali ravnoteno destilacijo ne moremodosei zadovoljive loitve. Gre za kontinuirno separacijsko tehniko za ostre loitve. Zmes F ssestavo xF loujemo do destilata D s sestavo xD in ostanka B s sestavo xB. Pri tem lahko nastajajotudi stranski tokovi s sestavo xS.

Shematsko lahko predstavimo rektifikacijo na sliki 8.1.

Slika 8.1. Shema rektifikacijske naprave.

Prekate zapuajo ravnoteni hlapi, vanj pa prihaja neravnotena tekoina. Pri rektifikaciji zabogatenje hlapneje komponente hlape kontaktiramo z refluksom, ki mora imeti veji delehlapneje komponente kot tekoina, ki bi bila v ravnoteju s hlapi. Kontaktiranje poteka v protitoku,in sicer hlapi pridejo po koloni od spodaj in se dvigajo, refluks pa dovajamo na vrhu.

Del rektifikacijske kolone, ki lei nad napajalnim prekatom oziroma nad prikljukom za napajalnotekoino, imenujemo koncentracijski, tistega pod vkljuno z napajalnim prekatom, pa izganjalnidel. e bi vodili napajalno tekoino v destilacijski kotel, bi lahko dobili poljubno isto le hlapnejokomponento v destilatu, ne pa tudi manj hlapne v destilacijskem ostanku. Ce pa bi jo vodili na vrhkolone, bi bilo obratno. Da bi dobili isti obe, napajamo kolono nekje na sredi in si predstavljamo,da v spodnjem delu izganjamo hlapnejo komponento iz tekoine, v zgornjem pa jo v hlapihkoncentriramo.

- 24 -


Predpostavke, ki jih uporabimo pri obravnavanju rektifikacije: molske izparilne entalpije so enake po celotni koloni ( H i=H i1 ) ni izgub v okolico, kar lahko zapiemo kot Qizg=0 .

8.1 Kvantitativne osnove rektifikacije

8.1.1 Masna in toplotna bilanca

Masna bilancaCelotno masno bilanco za rektifikacijsko napravo zapiemo:

F=DBS (8.1)

Komponentna bilanca za napravo pa se glasi:FxF=DxDBxBSxS (8.2)

Opomba: Vasih se namesto B (bottoms) uporablja tudi W(waste).

Toplotna bilancaZa sistem pa lahko zapiemo toplotno bilanco:

QgrFhF=DhDBhBShSQizgubQkond (8.3)

Opomba: V nadaljevanju zanemarimo stranske tokove S in prepostavljamo, da sistem deluje prez izgub.

Pri tem nam "hi" predstavljajo entalpije posameznih tokov in jih izraunamo po naslednji enabi:h i=cp , iT iT ref ; Tref = 0C (8.4)

Tako dobimo: hF=cp ,FTFTref hB=cp ,BTBTref hD=cp ,DTDT ref .

Toplotna tokova kondenzatorja in grelnika (bojlerja) pa doloimo po enabah 8.5 in 8.6:Qgr=V 'Hizp in Qkond=VHkond (8.5) in (8.6)

Refluksno razmerjeRefluksno razmerje R definiramo kot kvocient med koliino refluksa L in koliino destilata D:

R=L0D

(8.7)

Z refluksnim razmerjem doloimo koliken del kondenzata V1 se vraa nazaj v kolono kot refluks.V koloni pa imajo na vsakem mestu hlapi in refluks temperaturo vrelia oziroma kondenzacije.

Meje refluksnega razmerja:a) R Ko je R enak , je naklon obratovalne rte enak 1. V tem primeru se bosta obe obratovni

premici skladali z diagonalo, tevilo teoretinih prekatov bo minimalno, kapaciteta kolone boenaka ni, ker ne bo dajala destilata. Rn tn t ,min (uporaba pri testiranju ali zagonunaprave)

b) RRmin Z zmanjevanjem refluksnega razmerja se bo potrebno tevilo teoretinih prekatovpoveevalo. Vendar pa R ne moremo zmanjevati poljubno dale, saj nobena od obratovalnihpremic ne sme ez ravnoteno krivuljo. Skrajna monost je minimalno refluksno razmerje, kizahteva neskonno tevilo teoretinih prekatov in pri katerm se obratovna rta dotakneravnotene. RRminn t

- 25 -


Z upotevanjem naslednjih trditev dobimo idealni prekat: refluks na napajalnem prekatu ima sestavo kot napajalni tok e je napajalni tok F vrel e so entalpije enake.

8.1.2 Doloitev tevila prekatov v koloni

Za doloitev oziroma izraun tevila prekatov v rektifikacijski koloni se uporabljajo: grafina metoda po McCabe-Thieleju, izraun od prekata do prekata in hitra oz. Shortcut metoda.

Pri vseh metodah predpostavimo, da se na vsakem prekatu vzpostavi ravnoteje med refluksom inhlapi. tevilo prekatov, izraunano po tej metodi, imenujemo teoretino tevilo prekatov. Medobratovanjem najvekrat na prekatih ne doseemo ravnoteja, temve se mu le bolj ali manjpribliamo. Iz tega razloga moramo rezultate metod popraviti in tako dobimo veje tevilopraktinih prekatov.

8.1.2.1 Izraun od prekata do prekata

Masna bilanca gornjega dela kolone (koncentracijski del)Za gornji del kolone lahko zapiemo naslednjo masno bilanco:

V=LD (8.8)

Masna bilanca za hlapnejo komponento v koncentracijskem delu pa se glasi:Vy i , n1=Lx i , nDx i ,D (8.9)

Z V in L oznaimo konstanten pretok hlapov in refluksa, D odtok destilata.

S preureditvijo enabe 8.9 dobimo enabo zgornje obratovne rte:

y i , n1=L

LDx i , n

DLD

x i ,D (8.10)

Z uvedbo refluksnega razmerja, pa lahko enabo (8.10) predelamo v naslednjo enabo:

y i , n1=R

R1x i , n

x i ,DR1 (8.11)

Slednja premica ima naklon R

R1, seka diagonalo diagrama v toki (x = y = xD), ordinato pa v

toki x=0; y=xD

R1.

- 26 -


Slika 8.2. Shema zgornjega dela rektifikacijske kolone.

Algoritem za izraun tevila teoretinih prekatov v zgornjem delu kolone: izhajamo iz toke (xD, xD) oziroma iz y1 = xD to vstavimo v enabo ravnoteja in dobimo ustrezen x1 nato ta x1 vstavimo v enabo zgornje obratovne rte in izraunamo y2 postopek ponavljamo do napajalnega prekata z sestavo xF.

Masna bilanca spodnjega dela kolone (izganjalni del)V izganjalnem delu kolone enaba gornje obratovne rte ne velja ve, ker se zaradi dotokanapajalne raztopine spremeni pretok hlapov ali pretok refluksa.

Snovo bilanco za spodni del piemo:L '=V 'B (8.12)

Komponentna bilanca je naslednja:L 'xm1=V 'ymBxB (8.13)

kjer je V' konstantni pretok hlapov, L' je konstnatni pretok refluks in B konstantni odtokdestilacijskega ostanka iz kotla.

Z uporabo snovnih bilanc smo dobili tako enabo spodnje obratovne rte, ki pa je ne moremoskonstruirati, ker ne poznamo L':

ym=L 'V 'xm1

BV 'xB (8.14)

- 27 -


Slika 8.3. Shema spodnjega dela rektifikacijske kolone.

Algoritem za izraun tevila teoretinih prekatov v spodnjem delu kolone: izhajamo iz toke (xB, xB) oziroma x1 = xB to vstavimo v enabo ravnoteja, da dobimo pripadajoi y1 nato y1 vstavimo v enabo spodnje obratovne rte, da dobimo x2 postopek ponavljamo dokler ne pridemo do sestave xF oziroma dokler vrednost x ne dosee

vrednost xF izkazano s toleranco xxF .

tevilo vseh potrebnih korakov izraunamo kot vsoto stopenj v zgornjem in spodnjem delu:nm=n t .

Entalpija "e" in e-rtaRazmerje tokov ureja entalpija napajalne zmesi, ki jo oznaimo z "e" (enthalpy). Napajalna zmes jelahko hladna, vrela, zmes nasienih hlapov in vrele tekoine, nasieni hlapi ali pregreti hlapi. Polegtega nam e predstavlja spremembo v pretoku refluksa, ki jo povzroi v izganjalnem delu kolonevsak kg mol/h napajalne tekoine F:

L 'L=eF in VV '=1eF (8.15) in (8.16)

Vrednost tevila "e" dobimo s snovno in toplotno bilanco napajalnega prekata.

Slika 8.4. Shema napajalnega prekata.

- 28 -


Masna bilanca:FLV '=VL ' (8.17)FxFLxf1V 'yf1=VyfL 'x (8.18)

Toplotna bilanca:FhFLhf1V 'Hf1=VHfL 'h (8.19)

Predpostavke: za pare velja: Hf1=Hf=Hf1 za tekoino velja: hf1=hf=hf1 .

Po preureditvi, upotevanju predpostavk in upotevanju enab 8.15 in 8.16 konno enabo:

e=HfhFHfhf

(8.20)

kjer se H nanaa na hlape, h na tekoino (refluks), f na napajalni prekat in F na napajalni tok. Pritem definiramo naslednje koliine:

HF ... entalpija hlapov na napajalnem prekatuhf ... entalpija refluksa na napajalnem prekatuhF ... entalpija napajalne zmesi

V enabo komponentne masne bilance pa lahko vstavimo enabi 8.15 in 8.16 ter dobimo enabo e-rte:

y=e

e1x

xFe1

(8.21)

Enaba e-rte predstavlja preseie zgornje in spodnje obratovne rte pri raznih refluksnihrazmerjih R.Strmine e-rte so odvisne od napajalne raztopine:Loimo naslednje primere: napajalna zmes F je vrela: e = 1; hF = hf ; naklon e-rte napajalna zmes F so nasieni hlapi: e = 0; hF = Hf ; naklon e-rte 0 napajalna zmes F je hladna: e > 1 napajalna zmes F so pregreti hlapi: e < 0.

- 29 -


8.1.2.2 Grafina metoda po McCabe-Thieleju

Slika 8.5. McCabe-Thielejeva grafina metoda.

Grafino doloimo stevilo prekatov takole: nariemo ravnoteni diagram binarne znesi za dani tlak

vriemo e-rto iz toke (xF, xF) na diagonali s strmino e

e1 za dano entalpijo napajalne

raztopine

vriemo gornjo obratovno premico iz toke (xD, xD) na diagonali do preseia x=0; y=xD

R1z ordinato diagrama za dano refluksno razmerje R

iz preseia gornje obratovne rte z e-rto potegnemo spodnjo obratovno rto do toke (xB, xB)na diagonali

nato riemo pravokotne stopnice med ravnoteno rto in obema obratovnima premicama, kjerzanemo iz toke (xD, xD)

tisti prekat, pri katerem preidemo iz zgornje v spodnjo obratovno rto, predstavlja napajalniprekat, zadnji prekat pa je kotel, kjer se stopnica konna pod toko (xB, xB).

- 30 -


V primeru, ko je seie obratovnih rt in e-rte na ravnoteni krivulji, je refluksno razmerjeminimalno. Doloimo ga z naklonom zgornje obratovne rte v primeru, ko je e =1, ki znaa:

RminRmin1

=

xF

xF11xD

xDxF

(8.22)

Minimalno refluksno razmerje pa je:

Rmin=11 [ xDxF

1xD

1xF ] (8.23)

Slika 8.6. Grafina predstavitev minimalnega refluksnega razmerja (e poljuben).

Slika 8.7. Grafina predstavitev minimalnega refluksnega razmerja (e = 1).

- 31 -


Optimalno refluksno razmerje je tako med 1,3 in 1,5 minimalnega: 1,3RminRopt1,5Rmin .Lokacijo optimalnega refluksnega razmerja lahko oditamo na naslednjem diagramu.

Slika 8.8. Lokacija optimalnega refluksnega razmerja glede na obratovalne in

investicijske stroke. (Perrys' CEH, str. 13-34, slika 13-39)

Drugi posebni primer pa je, ko s poveevanjem refluksnega razmerja doseemo, da je R neskonenin da je strmina premice zgornje obratovne rte enaka 1. Tedaj se bosta obe obratovni premiciskladali z diagonalo, tevilo teoretinih prekatov bo minimalno, kapaciteta kolone bo enaka ni, kerne bo dajala destilata.

8.1.2.3 Shortcut ali hitra metoda

Nekateri aproksimativni izrauni za reevanje vekomponentnih in vestopenjskih separacijskihproblemov podajajo zelo natanne podatke, ki jih je mono reiti s sodobno raunalniko tehniko.Kljub natannosti teh metod, pa so relativno nenatanni ravnoteni in entalpijski podatki, karpomeni nesmiselnost v uporabi tako natannih in dolgih metod. Poleg tega pa lahko z uporaboaproksimativnih metod hitro obdelamo veje tevilo podatkov oziroma primerov, ki jih natonatanneje doloimo z bolj natannimi metodami.

Taka metoda je Fenske-Underwood-Gilliland (FUG) metoda, ki zdruuje enabo totalnega refluksapodano od Fenske-ja, Underwood-ovo enabo minimalnega refluksa in Gillilandovo grafinokorelacijo, ki povezuje uinek kolone z minimalnim in totalnim refluksom za specifino separacijomed dvema komponentama.

Fenske-Underwood-Gilliland (FUG) metoda

Izhodie za izpeljavo Fenske-Underwoodove enabe je zapis ravnoteja za posamezne prekate,kjer izrazimo relativno hlapnost.

- 32 -


Za 1 prekat lahko zapiemo:

1=y11x1

x11y1=xD1x1

x11xD(8.24)

Za 2 prekat zapiemo:

2=y21x2

x21y2(8.25)

Za nt -ti prekat pa:

n t=yn t 1xn t

xn t 1yn t=xn t11xB

xB1xn t1(8.26)

e predpostavimo, da so relativne hlapnosti enake in pomnoimo enabe 8.24-26 (vkljuno z vsemiostalimi prekati) in logatimiramo dobimo:

n tlog=logxD1xB

1xDxB(8.27)

Z upotevanjem kotla (+ 1) pa enabo 8.27 preuredimo v Fenske-Underwoodovo enabo:

n t1=

logxD1xB

1xDxBlog

(8.28)

Z uporabo enab 8.28 za izraun minimalnega tevila prekatov, enabo 8.23 za izraunminimalnega refluksnega razmerja in R (R = K Rmin) poznamo vse podatke, ki jih rabimo zauporabo Robinson-Gillilandovega diagrama, s katerim doloimo nt.

Robinson-Gillilandovega diagram prikazuje odvisnost n tn t ,minn t1

od RRminR1

.

Slika 8.9. Grafina predstavitev Robinson-Gillilandove zveze.

- 33 -


Lokacijo napajalnega prekata pa doloimo s aproksimacijsko zvezo po Kirkbridge-ju:

lognm=0,2 log[ 1xFxF BD xB1xD

2

] (8.29)kjer je n + m = nt.

Seminar 3. Rektifikacija izraun tevila prekatov po treh metodah.

- 34 -


8.2 Kolone

Kolone so najbolj znailen del destilacijske naprave. Po obliki delimo rektifikacijske kolone vkolone s polnilom in v kolone s prekati.

Kolone s polnilom so stojei ozki in visoki valji, napolnjeni z inertnim polnilom. Polnilo omakatekoa faza in je tako mokra povrina polnila tisto mesto, kjer poteka snovni prenos med obemafazama, refluksom in hlapi. Poleg tega nam polnilo povzroi poveanje medfazne povrine. Prirektifikaciji jih uporabljamo le za lahko loljive zmesi in za majhne zmogljivosti.

Najbolj tipina predstavnika prekatnih kolon sta kolona s siti (slika 8.10) in kolona z zvonci (slika8.11).

Slika 8.11. Prekatna kolona s siti. Slika 8.12. Prekatna kolona z zvonci.

Kolone s siti so stojei visoki valji, ki so v notranjosti v enakomernih razmikih pregrajeni sparalelnimi horizontalnimi ploami z odprtinami, ki imajo v razmikih 12 do 50 mm ena od drugepremer 6 do 12 mm. Refluks se pretaka na prekatu povprek, s prekata na prekat pa po pretonihceveh, ki so na sosednjih prekatih nameene diametralno. Cevi segajo nekaj cm nad ravninoploe, da zajezijo refluks na prekatu, s spodnjim koncem pa so potopljene v tekoino na sosednjemspodnjem prekatu. Hlapi prehajajo kolono v obrat smeri in so na vsakem prekatu prisiljeni, da gredoskozi odprtine v sitih in skozi sloj refluksa v obliki mehurkov, kar povzroi turbulenco v tekoiniin omogoi veliko stino povrino med fazama, potrebno za uinkovit snovni prenos. Sita morajoleati popolnoma vodoravno, pa tudi tlak hlapov mora biti dovolj velik, da ne odtee refluks skoziodprtine.

Kolone z zvonci se razlikujejo od kolon s siti po tem, da imajo horizontalne ploe manj odprtin,zato pa ire, nanje pa so pritrjeni kratki, pokonni cevi nastavki s poveznjenim zvoncem. Zvonec jena robu nazoban ali pa ima o robu ozke ree. Hlapi prihajajo na prekat skozi odprtine in cevninastavek, obrnejo pod zvoncem smer in prehajajo refluks v obliki mehurkov skozi ree alipresledke med zobmi ob robu zvonca. Kolone z zvonci so manj obutljive od kolon s siti, so pa zaisto zmogljivost draje.Rektifikacijske kolone imajo premer od 0,3 do 9 m in ve, viino tudi ez 40 m in 15 do 90 cmrazmika med prekati.

- 35 -


Padec tlaka v koloniZvezo za napoved padca tlaka v koloni nam kae naslednja enaba:

P=Cvvv2 (8.30)

V enabi 8.30 predstavlja parameter C odvisnost od vrste polnila in ga lahko poiemo v ustrezniliteraturi npr. Perry's CEH.

Uvedemo e masni fluks plinske faze:G=vvv (8.31)

Na grafu log P v odvisnosti od log G lahko doloimo poplavno toko, kjer pride do zalitja kolone,to pomeni, da se tekoina zadruje na polnilnih telesih in tako povzoi, da naprava ne moreobratovati. To se zgodi pri poveevanju toka plinske in tekoe faze. Tako se imenuje hitrost, prikateri pride do zalitja, maksimalna ali poplavna hitrost. Obratovanje pa je zaeleno pri hitrost med50 (snovi, ki se penijo) in 70 % maksimalne hitrosti. To nam zagotavlja optimalno obratovanjekolone. Tudi ti podatki se dobijo v prironikih, kakren je Perry's CEH.

PolniloPri polnilih nas zanima vpliv tlaka na kapaciteto in selektivnost.

Znianje tlaka povzroi boljo lobo oziroma izbolja selektivnost. Medtem ko pa znianje tlakapovzroi znianje kapacite.

P=Cv vv2 |

P=Cv2 vv

2

PP=C 'G2 , kjer je G=v vv in v=PMRT

velja, da sta temepratiri enaki in tako tudi tlani diferenci

P1P=C 'G12 in P2P=C' G2

2G1G2

= P1P2P G

Dimenzioniranje rektifikacijskih kolon s polnilomViino kolone s polnilom, ki je potrebna za zahtevani rektifikacijski uinek, izraunamo navadnotako, da pomnoimo tevilo teoretinih prekatov, ki bi jih za enak uinek zahtevala kolona s prekati,z nekim empirinim faktorjem. Ta faktor se imenuje viinski ekvivalent teoretinega prekata(HETP) in pove uinkovitost kolone s polnilom. e ga za dane razmere ne moremo dobiti vliteraturi, ga je treba doloiti s poskusom:

HETP=potrebna viina kolone s polnilomtevilo potrebnih teoretinih prekatov

(8.32)

- 36 -


PrekatiPrekati so ploe, ki imajo perforacije (s premerom 2 3 mm) in padalne cevi. Prekat jepredstavljen na sliki 8.13.

Slika 8.13. Prekat.

Tok, ki tee po kolonah, je lahko: epast (PFR) v kolonah s premerom nad 0,3 m povratno mealni (CSTR) v kolonah s premerom pod 0,3 m.

Za nartovanje kolon s prekati lahko uporabimo graf PF v odvisnosti od PL, ki ga dobimo v ustrezniliteraturi: PF pomeni parameter toka (flow parameter)

PF=LV LV

0,5

(8.33)

PL pomeni parameter kapacitete (capacity parameter)

PL=vg , max VLV 0,5

(8.34)

Na grafu imamo oznaene razline razdalje med prekati (tray spacing), za katere dobimo razlinekrivulje PF v odvisnosti od PL. Tako lahko doloamo: e imamo podane parametre kolone (razdalja med prekati, maksimalna hitrost plinske faze,

gostote), lahko izraunamo L/V e pa dimenzioniramo napravo, pa lahko doloimo razdaljo med prekati in maksimalno hitrost

(poplavno hitrost).

Uinkovitost prekatovZa prekate se izrauna uinkovitost po enabi 8.35:

E=n tnp

=tevilo teoretinih prekatovtevilo praktinih prekatov

(8.35)

Podatke za uinkovitost E dobimo iz literature, pilotne naprave, od proizvajalca opreme...

Poleg te uinkovitosti pa poznamo e Murpreejevo uinkovitost, ki je definirana kot:

EM=ynyn1yn

*yn1(8.36)

kjer je yn* ravnotena koncentracija k xn.

- 37 -


Raunski primer:

Zmes benzen toluen, ki vsebuje 40 % benzena, loujemo z namenom, da pridobimo 99 % destilatin 1 % ostanek. Zmes uvajamo v kolono pri temperaturi vrelia. Refluksno razmerje je 1,5 Rmin.Koliko prekatov na koloni potrebujemo, e je uinkovitost prekata 0,6. Izraunaj presek in premerkolone za 1mol/s destilata? V okolici je normalen zrani tlak. Padec tlaka na posamezni prekat je 5mbar. Koliko znaajo toplotni tokovi v grelniku (uparjalniku) in kondenzatorju? Koliko znaapotrebna povrina za izmenjavo toplote? Kaken naj bo tlak in dotok nasiene pare v uparjalniku?Kaken naj bo pretok hladilne vode v kondenzatorju, ki se lahko segreje od 15 do 30C?

MB: F=DB; F xF=D xDB xBF=2,51 mol /s , B=1,51 mol /s

Konfiguracija nt (Shortcut metoda)

D Dmin

F F

1 x (1 x )R 1,8 R 2,7

1 x 1 x

= = =

D B

B Dt,min

x (1 x )log

x (1 x )n 1 9,7

log

+ = =

+ Robinson Gillilandov diagram

minR R 0,243R +1

= ;

t t,mint p

t

n n 170,4 n 16,9 (17) n 28,3 (30)

n +1 0,6

= = = =

Izraun preseka, premera kolone

d= 4Stok hlapov: V=DR1=3,7 mol /s

V M=vvv SS=V Mvvv

v=P MR T

S=V R Tvv P

P=0,510135 np1013=1084 mbarT=T 1163=10135 np353K

P=P0 exp [10,51T0 /Tdno]1163=1013exp [10,51383/Tdno]Tdno=388 K

- 38 -


8.3Druge destilacijske metode

arna rektifikacijaJe kombinacija diferencialne destilacije in rektifikacije.

Loimo dve monosti arne rektifikacije, in sicer: refluksno razmerje R je konstantno, tevilo prekatov je konstantno, spreminja se sestava destilata

xD (se manja)

refluksno razmerje R ni konstantno dRdt

0 , tevilo prekatov je konstantno, sestava destilata je

konstantna; R je funkcija sestave destilacijskega ostanka, kjer je funkcija lahko v oblikipolinoma, R=aexp [bxB] , R=axB

b

Slika 8.14. arna rektifikacija.

Obravnava arne rektifikacije za situacijo xD = konst. in R = f(xB) sodi v program inenirskeklasike, ki rezultira v Bogartovem intergralu (1937).

Izpeljava Bogartovega intergralaMasna bilanca:

t=0 : mB=mB,0 xB=xB,0t=t : mB,0=mBmD mB,0xB,0=mBxBmDxD

iz masne bilance dobimo:

mB=mB,0xDxB,0xDxB

(8.37)

- 39 -


Z odvajanjem enabe 8.37 dobimo:d mBd xB

=mB,0xDxB,0xDxB

2 (8.38)

Nato uvedemo e tok hlapov V, ki ga definiramo kot:d mB

dt=

dm0dt

=V

R1, kjer je R=f xB (8.39)

oziroma dmB=VR1

dt (8.40)

e vstavimo enabo 8.40 v enabo 8.38, dobimo Bogartov integral, ki prekate as t kot funkcijodestilacijskega ostanka xB:

( )D B,0

B,0 B2B D B

x xVdt m dx

R(x ) 1 x x

=

+ (8.41)

Z integracijo enabe 8.41 dobimo:

( )

B

B,0

xB,0 D B,0 B

B2x D B

m (x x ) R(x ) 1t dx

V x x

+=

(8.42)

kjer velja: 2

izp

Q DV ;V v

H 4 M

pi = =

.

Poseben primer: e je xDxB potem spodnji del integrala v enabi 8.42 odpade in ga lahkoreimo analitino: R=KxB

a .

Seminar 4. arna rektifikacija.

Azeotropna in ekstraktivna destilacijaOd zmesi z ve komponentami je treba posebej omeniti ternarne sisteme, ki imamo z njimi opravitiv tako imenovani azeotropni in ekstraktivni destiliciji. Oba postopka sodita k rektifikaciji in seuporabljata v primerih, v katerih sta si vrelii dveh komponent tekoe zmesi zelo blizu skupaj, alipa tvorita komponenti celo azeotropno zmes tako, da je popolna loitev, e e ne nemogoa pa vsajzelo teavna.

V obeh primerih si delo olajamo z vnosom tretje komaponente v sistem. e sestavlja dodanakomponenta z azeotropno zmesjo novo, ternarno azeotropno zmes z najnijim vreliem, dobimolahko z dodatkom tretje komponete samo in eno komponento prvotne zmesi v celoti v destilat,druga pa ostane ista v destilacijskem ostanku. Azeotropna zmes etanola in vode (BA) daje naprimer z benzenom ternarno azeotropno zmes (TA), ki vsebuje ve vode od binarne zmesi(azeotropne zmesi etanola in vode in vre pri 65C). Za rektifikacijo zmesi, ki vsebuje preraunanokoliino benzena, dobimo ternarno zmes z vsem benzenom in vso vodo v destilat, absolutni etanolpa je destilacijski ostanek. Pri azeotropni destilaciji, kakor se opisani postopek imenuje, vnaamotretjo komponento v kolono z napajalno tekoino.

- 40 -


Slika 8.15. Azeotropna destilacija.

Ekstraktivno destilacijo pa imenujemo postopek, pri katerem vnaamo na vrh kolone, ki jonapajamo na sredi s slabo loljivo binarno napajalno tekoino (tretjo komponento). Le-ta je mnogomanj hlapna od obeh ostalih, vpliva pa drugano hlapnost vsake od njih. e rektificiramo na primerzmes benzena in cikloheksana, bo loitev izredno teavna. e pa pri tem uvajamo v tok refluksa navrhu kolone fenol, bo dodatek mono zmanjal hlapnost sorodnejega benena, na hlapnostcikloheksana pa ne bo mnogo vplival. V hlapih se bo zato zlahka bogatil cikloheksan, ker bo fenolodnaal benzen v destilacijski ostanek.

Ternarni diagram obravnavanega sistema prikazuje slika 8.16.

Slika 8.16. Ternarmi diagram.

- 41 -


9. Suenje

9.1Uvod

Suenje je pomembna termodifuzijska operacije, ki vpliva na kvaliteto in obliko produkta. Suenjeima velik vpliv na kristalizacijo, nasipnost, granulacijo in druge lastnosti. Je tehnika, ki se uporabljana koncu procesa in jo lahko kombiniramo z drugimi kemijsko-tehnolokimi procesi (npr. skemijsko reakcijo). Prednost suenega produkta je v niji masi, kar poceni transport, produkt jelaje obvladljiv, koncentriran...

Najveji problem suenja je odvajanje nasienega toplega zraka. Sama definicija suenja pa jenaslednja: Suenje je termodifuzijska operacija, pri kateri s pomojo toplote iz zmesi (suspenzije,trdne snovi, raztopine) odstranjujemo hlapne substance.

Inenirska stroka vpelje suenje leta 1905, ko Grosvenor narie psihrometrijsko karto (vlanost (Y)vs. tempratura (T)). Pomembni diagram je osnoval tudi Mollier, ko je risal diagram entalpija (I) vodvisnosti od vlanosti (Y). Slednji diagram je uporaben pri obravnavanju toplotnih bilanc.

Definirajmo vlanost zraka:

Y=masa vlagemasa suhega zraka

=mvlagemsz

(9.1)

Izhodie za enabo 9.1 je razmerje molov, ki jih pomnoimo s molskimi masami:

Y=nvlagensz

1829

=pvlage

PTOTpvlage

1829

(9.2)

Tako lahko dobimo tudi povezavo s relativno vlanostjo , e v enabo 9.2 vstavimo enabo 9.3:p=ps (9.3)

kjer ps predstavlja parni tlak vode oziroma parcialni tlak vodne pare pri nasienju, ki pa je odvisenod temperature.

Tabela 9.1. Parni tlak vode pri razlinih temperaturah.

T [C] 20 60 80 100 200

ps [mbar] 23,2 199,6 500 1013 2000

Nasieno vlanost Ys pa izraunamo po enabi 9.4:

Ys=ps

PTOTps

1829

(9.4)

Tabela 9.2. Nasiena vlanost pri razlinih temperaturah.

T [C] 14 52 85*

Ys 0,01 0,1 1* Toka dvojne enice Ys je 1 in je 1.

- 42 -


Psihrometrijska karta je skicirana na sliki 9.1.

Slika 9.1. Psihrometrijska karta.

Na karti sta pomembni dve rti, po katerih lahko poteka ohlajanje: ohladitev zraka pri konstantni vlanosti nam poda temperaturo rosia Tr (krivulja 1) e se zrak ohlaja ob prisotnosti vode pride do navlaevanja zraka do nasienja (krivulja 2)

Proces, ki ga predstavlja krivulja 2 na sliki 9.1, eksperimentalno izvedemo takole. V adiabatnoizolirano posodo, opremljeno z mealom in termometrom, poloimo im bolj raztegnjeno (vejapovrina) mokro krpo in pustimo, da voda izhlapeva. Pri tem se zrak ohlaja, saj voda zaizhlapevanje potrebuje toploto, ki jo dobi iz zraka v posodi. Grafino je eksperiment predstavljen nasliki 9.2.Proces lahko asovno opredelimo kot:

t = 0 Y = Y0 T = T0 t = t Y = Ys T = Ts

- 43 -


Slika 9.2. Adiabatno ohlajanje in navlaevanje zraka.

Bilanco procesa lahko zapiemo kot:msz YsY0Hizp=msz cpsz T0Ts (9.5)

V naslednji tabeli so zbrane najpomembneje higrotermine lastnosti nasienega zraka pri 100kPa(1bar):

T

[C]

ps

[kPa]

Ys

[kgvlage/kgsz]

H

[kJ/kg]

0 2500

14 0,01

20 2,32

52 0,1

60 19,96

80 1

100 101,3 2256

Izraun masne koncentracije po enabi:

Cs [kg /m3]=

mV=

ps M

RT(9.6)

Izraun entalpije po enabi:Hizp=H T0cpT=H T0cp H2 Ocp, vod. pareT (9.7)

Pri procesu uenja sta v ravnoteju vlaga v zraku in vlaga v materialu X (masa vlage/masa suhetrdne snovi). Po Gibbsovem faznem pravilu dobimo, da je tevilo neodvisnih spremenljivk 3,tevilo odvisnih pa 1, tevilo vseh pa je 4 (P, T, Y(), x(X)) f + s = k + 2 f = 2 k = 3 s = 3 Te ugotovitve pa sluijo za praktine diagrame.

- 44 -


Slika 9.3. Spreminjanje vlanosti lesa glede na vlanost zraka v Srednji Evropi.

Sorbcijske izoterme so krivulje na diagramu vlanosti zraka v odvisnosti od vlanosti materiala.

Slika 9.4. Sorbcijske izoterme za razline materiale.

Zvezo za krivulje pa nam predstavlja Luikova zveza (1975 80):

ln

0=

1a [ 1Xmax

1X ] (9.8)

V enabi 9.6 predstavljata a in Xmax Luikova parametra, kjer je a naklon, Xmax pa vlanost materialapri vlanosti zraka 1.

Naslednje nasiene raztopine pri 20C vzdrujejo konstantno vlanost zraka:NaCl = 76 %ZnSO47 H2 O = 90 %MgCl26 H2 O = 34 %NaNO2 = 66 %

- 45 -


Raunski primer:

Volna s 45 % vlanostjo (x) suimo do ravnotene vlanosti 60 % (). Koliko vode je potrebnoodvesti na kg volne? Luikovi parametri za volno so: a = 6,7 in Xmax = 0,32.

X0=x

1x=

0,4510,45

=0,82

ln

0=

1a [ 1Xmax

1Xk ] ln

0,61

=1

6,7 [ 10,32 1Xk ]Xk=0,15

- 46 -


9.2Mollierov diagram

Mollierov diagram slui kot odlien pripomoek za analizo in predstavitev toplotnih bilanc.Diagram prikazuje odvisnost entalpije I [kJ/kgsuhega zraka] od vlanosti zraka. Na diagramu imamoreferenno toko: (Y = 0, T = 0, I = 0). Od te toke naprej pa velja naslednja zveza:

I[ kJkgsz ]=cp , zr TTref Y 2500cp, vlageTTref (9.9)kjer so: cp, vode=4,2 kJ /kgK , cp , vlage=2,1 kJ /kgK , cp ,zraka=1,05 kJ /kgK .

Mollier pa je vse te podatke predstavil v diagramu (slika 9.5).

Slika 9.5. Mollierov diagram.

Raunski primer:

Izraunaj entalpijo zraka pri temperaturi 60C in = 60% ter izraunamo vrednost primerjaj s tisto,ki jo odita v Mollierovem diagramu.

I=1,056000,61996

10130,61996

182925002,1600=281,5

kJkgsz

Oditek: I = 280 kJ/kgsz

- 47 -


9.3Suilni diagram, as suenja

9.3.1Suilni diagram

Suilni diagram nam predstavlja graf vlanost materiala X v odvisnosti od asa (Slika 9.6a). Vendarpa je bolje prouevati odvod vlanosti materiala od asa dX/dt v odvisnosti od vlanosti materiala X(slika 9.6b) ali asa t (slika 9.6c).

Slika 9.6. Suilni diagrami.

Suilni proces lahko razdelimo na posamezne faze.V zaetni fazi se mokra povrina suee se snovi ohlaja ali segreva na temperaturo mokregatermometra. V fazi konstantne suilne hitrosti je povrina suee se snovi pokrita s filmom vode, ki se obnavlja skapilarnim dvigom vode iz suee se snovi. V tej fazi doloata hitrost suenja snovni in toplotni tokskozi film zraka tik nad povrino suee se snovi.

Pri doseeni kritini vlanosti povrina ni ve mokra, upor ni ve v povrinskem filmu zraka,temve se preseli v notranjost materiala.

Pri suenju nastopata dva upora:

upor povrinskega filma zraka Ry=1ky

upor sueega se materiala Rx=Kkx

,

kjer velja, da je prvi veji kot drugi. RyRx .

9.3.2Snovni fluks skozi dva zaporedna upora

Snovni fluks lahko zapiemo:

w=Y*Y1ky

Kkx

(9.10)

oziroma

w=XX*

1Kky

1kx

(9.11)

- 48 -


Slika 9.7. Snovni fluks skozi pri suenju.

Izpeljava: Snovna fluksa zapiemo posebej za zrak in material ter nato oba setejemo, pri emer upotevamozveze na fazni meji Yi=KXi , Y

*=KX , Y=KX* :

w=kx XXiw=k y YiY

setejemo in dobimow=

Y*Y1ky

Kkx

9.3.3as suenja

as suenja je pomembna koliina pri dimenzioniranju suilnikov. e ga izraunamo za razmere, kivladajo v suilniku, ugotovimo lahko potem velikost suilnika, potrebno za zahtevano zmogljivost.Loimo dva asa, ki nastopata pri suenju. Odvisna sta od tega, v kateri fazi potekata: as suenja v konvektivnem reimu as suenja v difuzivnem reimu.

as suenja v konvektivnem reimuV konvektivnem nainu suenja je ves upor v plinski fazi, to pomeni v zraku ( R yRx ). Izhajamoiz snovnega fluksa, kjer velja:

w=ky YiY=ky YwY (9.13)

ko velja Yi = Yw pri temperaturi mokrega termometra Tw, snovni koeficient pa je v naslednjih mejah:10ky100 g /m

2 s .

Z zapisom masne bilance lahko izraunamo as. Masna bilanca je sledea: manjkajoa vlaga vdoloenem asu je enaka vlagi, ki jo odnese zrak:

mssX0Xkr

Atkon=ky YwY (9.14)

e maso suhe snovi zapiemo drugae, dobimo:ss dss A X0Xkr

Atkon=ky YwY (9.15)

as suenja v konvektivnem reimu pa je tako enak:

tkon=ss dssX0Xkr

ky YwY(9.16)

- 49 -


as suenja v difuzivnem reimuV difuzivnem reimu suenja prevladuje upor v materialu, saj ni ve kapilarnega dviga vode napovrino, kjer bi vodno paro odnaal zrak. Suenje se namre pomakne v notranjost materiala.Izhodie za izraun asa je drugi Fickov zakon, saj je vlanost materiala funkcija lokacije in asa(X = f(z, t)):

cA t

=D2 cAdz2

(9.17)

Robni in zaetni pogoji so enaki, kot e bi obravnavali koncentracije:t = 0 z1zz1 cA=cA ,0t > 0 z=z1 cA=cAi0

t < 0 z=0 d cAdz

=0

Parcialne diferencialne enabe reujemo tako, da spremenljivke prevedemo v obliko, katerevrednosti nastopajo med 0 in 1. Tako cA prevedemo v X in uvedemo naslednjo spremenljivko

Y=cAcA , i

cA ,0cA , i.

PAZI!!! Y tu ne nastopa kot vlanost zraka, temve kot spremenjivka!

Velja:t = 0 cA=cA ,0 Y = 1 XD = 0t = cA=cA , i Y = 0 XD =

XD predstavlja analogijo s Fourierovim tevilom ( Fo=a t

z12 ) in je enak: XD=

D t

z12 . Reitev je

Fourierova vrsta, kjer uporabimo le prvi len:

Y=cAcA , i

cA ,0cA , i=

4cos2 zz1exp[

2

4D t

z12 ] (9.18)

Reitve za razline geometrije so zbrane v Gourney-Lourijevih diagramim, kjer je abscisa XD,ordinata Y. Poleg tega velja e:

m=RyRx

; m=0RxRy in m=1Rx=Ry ; n=0z=0cos2 zz12=1Tako dobimo funkcijsko odvisnost vlanosti materiala X od lokacije in asa:

X=XiX0Xi4exp[

2

4D t

z12 ] (9.19)

Z odvajanjem enabe 9.19 in deljenjem s prvotno funkcijo, dobimo:

dXdt

=X0Xi4

exp[2

4D t

z12 ]

2

4D

z12 (9.20)

- 50 -


Obe strani integriramo:

dX /dtXX i

Xk

X d XXi

XXi=

2

4D

z12

0

tdif

dt (9.21)

in dobimo naslednji rezultat:

lnXXiXkX i

=2

4D

z12

tdif (9.22)

as suenja v difuzivnem nainu je tako enak:

tdif=4 z1

2

2 D

lnXkXiXX i

(9.23)

9.4Toplotna bilanca

Toplotna inventura suilnih procesov je pomembna inenirska naloga, saj v veliki meri prispeva kekonomskemu uspehu proizvonje. Pogoste se izkae, da je material po suenju presuen (skrajajzadrevalni as, zniaj potencial), da slaba izolacija mono prispeva k toplotnim izgubam, da bi zuvedbo recikla zraka prihranili precej energije. Predvsem pa nam da misliti, kako izrabiti toplotoizstopajoega zraka.

Za predstavitev toplotnih bilanc je primeren Mollierov diagram.

Slika 9.8. Suilnik z oznakami.

Uvedemo novo koliino, to je reciklirno razmerje:

r=YvY0YizY0

(9.24)

Reciklirno razmerje meri ekonominost suenja. Pri nizkem reciklirnem razmerju suimo z vejimpotencialom, kar je ob enaki kapaciteti povezano z nijimi investicijskimi, ampak vejimiobratovalnimi stroki. Po drugi strani pa veji r pomeni manji potencial (Yw Y), manjeobratovalne in veje investicijske stroke. Pogosto je bolje suiti z manjim potencialom tudi zaradipokodb, ki nastanejo pri suenju, saj snovni fluks ne sme presei maksimalni snovni fluks, ki galahko zagotavlja tok vlage iz notranjosti. Merilo za stopnjo suenja oziroma intenzivnost suenja je:

N=w

X0Db

(9.25)

- 51 -


kjer je b debelina materiala, D difuzivnost, gostota, X0 pa zaetna vlanost.

Koliina N ima lahko dve monosti, in sicer:

N < 2, potem je XKR=N3X0 (notranjost in povrina sta suhi)

N > 2, potem je XKR=1 2 N3 X0 (notranjost mokra in povrina suha)

Slika 9.9. Graf X/XKR v odvisnosti od debeline.

Mollierov diagram in predstavitev toplotne bilance je prikazan na sliki 9.10.


9.5Prenos snovi, psihrometrijsko razmerje, temperatura mokrega termometra

Fluks iz mokre povrineSnovni fluks iz mokre povrine je enak:

w=kgpip=kccic (9.26)kjer je pi nasieni parcialni tlak, p parcialni tlak vodne pare v zraku, P parni tlak vode pri istitemperaturi, kg in kc koeficienta snovnega prenosa.

- 52 -


Velikostni red koeficienta snovnega prestopa je: 102kc101

Z upotevanjem zveze 9.27

kczr=ky [ms gm3=g

m2 s ] (9.27)dobimo enabo, ki pove fluks, ki ga zrak odnaa:

w=ky YiY (9.28)kjer je velikostni red ky: 10ky100 .

Temperatura mokrega termometra (wet-bulb temperature)Temperatura mokrega termometra je stacionarna, neravnotena temperatura, ki jo dosee majhnakoliina vode v stalnem toku zraka pri adiabatnih razmerah. Ker je masa vode v tem primerumajhna glede na maso zraka, se lastnosti zraka zaradi hlapljenja vode le neznatno spremenijo in sospremembe opazne le pri vodi.

Slika 9.11. Temperatura mokrega termometra.

Pri tem procesu velja naslednja enaba:Q=WHizp (9.29)

ki jo lahko zapiemo kot:AhTgTw=kyYwYgAHizp (9.30)

Za vzpostavitev stacionarnega stanja, ko se vlanost nasienega filma in temperatura nasienegafilma ne spreminja ve. V tem trenutku postane toplotni tok, ki ptrhaja iz zraka na kapljo enaksnovnemu toku iz nasieno vlanega filma na okoliki zrak pomnoenemu z izparilno toploto in sene spreminja ve.

Tako lahko zapiemo enabo za rto temperature mokrega termometra:

YwYg=h

kyHTgTw (9.31)

- 53 -


Temperatura adiabatnega nasienjaTemperatura adiabatnega nasienja je tista temperatura, ki jo dobita zrak in voda, e sta toliko asav medsebojnem stiku, da pride do ravnoteja med njima, pri emer nastane zrak pri tej temperaturinasieno vlaen. Ker se pri stiku z vodo nenasieno vlani zrak ne le ovlauje, ampak tudi ohlaja, jezaetna temperatura takega zraka vija od temperature adiabatnega nasienja.

Primerjava enab rt mokrega termometra in adiabateEnaba za rto temperature mokrega termometra:

YwYg=h

kyHTgTw (9.31)

Enaba za rto temperature adiabatnega nasienja

YsYg=cp ,zrH

TgTs (9.32)

Za sistem voda zrak imata obe enabi enak naklon, kar pomeni, da sta temperatura mokregatermometra in temperatura adiabatnega nasienja enaki. To pa pomeni, da sta tudi vlanosti enaki:Tw=TsYw=Ys . Razlog za enakost je v psihrometrijskem razmenju, ki je za sistem voda zrakenak 1.

Psihrometrijsko razmerje pa je definirano kot:

PR=h

kycp(9.33)

Psihrometrijsko razmerje za druge sisteme:zrak voda PR = 1benzen zrak PR = 2aceton zrak PR = 1,76

Seminar 5. Temperatura mokrega termometra.

Dodatek k sliki v prilogah (Slika 7. Kontinuirni suilnik in sliki.8. Toplotna bilanca v diagramuentalpija-vlanost)Postavke pri suenju: Vnos toplote

1. tok goriva: G IvI0=QH1.a G I0

2. L CPL TLTrL Xv cp, vapTLTr3. PMOTORJEV

Izstop toplote4. G Iiz5. QIZGUB6. L CPLTIZTrL Xiz cp, vapTIZTr

Za primer, ko so toke 1.a + 2 + 3 = 5 + 6, vidimo, da je IVS = IIZ. Proces ohlajevanja suenja potekapo adiabati. Velja:IV=cPz TVTrYV 2500cp , vl TVTr=IIZ=cPzTIZTrYIZ 2500cp, lTIZTr

- 54 -


9.6Primeri suilnih naprav

Analiza kontinuirne suilne proge za umetno usnjeZa suenje uporabimo Dornejev suilnik, ki je prikazan na sliki 9.12.

Slika 9.12. Dornejev suilnik.

Moker material z vstopno vlanostjo (X0) 0,72 suimo na tranem suilniku doline 90 m doizstopne vlanosti (Xiz) 0,12. Laboratorijski poskusi so pokazali, da je pri temperaturi 80Cmaksimalna vlanost materiala (Xmax) 0,22. Suilni diagram, narejen pri podobnih pogojih, kot so nasuilniku, pa je pokazal, da je kritina vlanost (Xkrit) enaka 0,23.

Slika 9.13. Ravnoteni in suilni diagram.

Pripravi masno in toplotno bilanco in izraunaj, na katerem mestu suilne proge pride dospremembe reima suenja. Temperatura zraka v hali je 20C, segrejemo ga na 120C, pri izstopupa ima zrak 70C. Maksimalna temperatura, ki jo zrak e prenese je 120C. Tok suhega materiala(L) je 500 kg/h. G/L za veino industrijskih suilnikov je med 10 in 100. Suimo na mrei,dvostransko. Izraunaj as suenja v konvektivnem in difuzijskem reimu.Podatki: ky = 40 g/m2s, D = 10-10 m2/s, XR = 0,05, = 2,5 m, d = 1mm, materiala = 800 kg/m3

L=[ ltkontdif ]dmaterialaREITEV:Doloitev TW, YW in YWYsuilni iz Mollierovega diagrama:

Y020C,=60 =0,623,2

101323,20,3

1829

=0,01

Oitki iz Mollierovega diagrama (glej priloge):Yiz = 0,031; Yw = 0,042; Tw = 37C

- 55 -



as v konvektivnem reimu:3

ss ss 0 krkon 3

y w

d (X X ) 800 10 (0,72 0,23)t 435s

k (Y Y) 40 10 (0,043 0,02)

= = =

as v difuzivnem reimu:

23

2kr i

dif 2 2 10iAB

104

24z X X 0,23 0,05t ln ln 957s

X X 0,12 0,05D 10

= = = pi pi !!(z = d/2, ker je obojestransko suenje zaradi uporabe mree)

L=[ ltkontdif ]dmateriala=[90

435957 ]2,5103800=466 kg /hMasna bilanca:

( )( ) ( )

vst izstvst izst izst vst

izst vst

L(X X ) 500(0,72 0,12)L(X X ) G Y Y G 15000kg / h

Y Y 0,03 0,01

= = = =

G/L = 15000/500 = 30 (znotraj meja)

Toplotna bilanca:

kW VSTOP IZSTOP kW

187,5 G I0=150003600

45 G Iiz=150003600

150 625

437 G IvI0=QH=150003600

15045 QIZGUB=UA TSUTokolice 20

30 PMOTORJEV L CPL TIZTr=5003600

70 17,5

5 L CPm TvsTref =500

36001,820 L Xiz cp , vapTIZTr=

5003600

0,124,270 4,9

8,4 L XV CP, vodeTvsTref =5003600

0,724,2codt 20

668,4 667,4

- 56 -


Nartovanje razprilnih suilnikovPrimer razprilninega suilnika je na sliki 9.15.

Slika 9.15. Razprilni suilnik.

Zaporedje aktivnosti produkt, proces, oprema si oglejmo e na primeru nartovanja razprilnegasuilnika za obdelavo 5 ton/h 40% raztopine, iz katere elimo dobiti prakast produkt, ki vsebuje90% suhe substance (silikati, fosfati, keramini materiali, antibiotiki...). as suenja kapljic dobimona pilotni napravi ali od proizvajalca opreme za razline materiale in suilne pogoje. Zaradispecifinih pogojev pri razprilnem suenju izraun na osnovi prvega in drugega Fickovega zakona(tkon in tdif) ni dovolj toen. as suenja v industrijskih razprilnikih je za razline materiale od 5 do60s (zadrevalni as), pri emer pa moramo loiti med zadrevalnim asom plina in asomzadrevanja materiala, ki pogosto nista enaka. Podatki: = 25s, F = 5 ton/h, XF = 0,4, XL = 0,9.Vstopna vlanost zraka je 0,01; izstopna vlanost pa naj bo rezultat Tvst, zraka = 550C in Tizst, zrak =150C. Zanima nas tok suhega zraka. Izraunaj tudi geometrije suilnika.

REITEV:

F=LVF Xf=L XL

V=G YizstYvst

V=FL=F1XFXL=510,4 /0,9=2,78 ton /hL=

XFXL

F=3,89 ton /h

- 57 -


Iz Mollierovega diagrama oditamo:Yiz = 0,17 to pomeni, da je G = 29,9 ton/h

Izraun geometrije suilnika:G = 30 ton/h, gostota (150C) = 0,82 kg/m3

V=Gzr

=254,1 m3

V=D2

4 HH3 D=6,2 mZveza za doloitev velikosti kapljice, na podlagi katere lahko dobimo tudi velikost posuenega zrna:

d50=KFa104

Nbd tcnhd

, kjer so:

F ... pretok (7000)K ... konstantaN ... tevilo obratov (104)n ... tevilo lukenj (24)dt ... premer turbine (210mm)h ... viina ree (0,02m)

Natok masnega toka na rezalno povrino: m=F

n h=

7000240,02

=14383 kg /mh

d50=KFa104

Nbd tcnhd

=1,270000,12104

1040,80,210,60,240,020,12=61m

Obodna hitrost [m/s] 85 140

m 3000 6000

a 0,12

b 0,8

c 0,6

d 0,12

K 1,2

Slika 9.16. Turbina z oznakami.

- 58 -


Raunski primeri

1. Neizrabljena toplota (monost rekuperacije toplote in ekoloki problem)Vro in navlaen zrak iz razprilnega suilnika vodimo po loitvi delcev v ciklonih na venturijevpralnik (scrubber). Koliko naj bo dodatek vode, da:a) doseemo temperaturo rosiab) doseemo temperaturo adiabatnega nasienjac) doseemo temperaturo vode 30C.Kondicija zraka, ki zapua suilnik je 150C, vlanost 0,15 in G = 25ton/h

REITEV:a)temp. rosia( )vst izst p

vst vst

izst iz

G I I L c (60 15) L 14,5ton / h

I (pralnik) I (150 C;0,15) 580kJ / kg

I (pralnik) I (60 C;0,15) 470kJ / kg

T(rosia) 60 C

= =

= =

= =

= b)temp. adiabatnega nasienja!Slepi tir!I =580kJ/kgRabimo koliko vode za G YizYv=L=250000,04=1 tona /h ; T=63Cc)ohladimo zrak na 30C in kondenzacija vlage

( )

vst vst

izst iz

vst izst p

I (pralnik) I (150 C;0,15) 580kJ / kg

I (pralnik) I (30 C;0,0,029) 100kJ / kg

G I I L c (60 15) L 190ton / h

= =

= =

= =

2. Izraunaj maksimalni snovni fluks za vodo, ki izhaja iz mokre povrine. Povrino konvektivnosegrevamo z zrakom, za katerega velja Tg = 200C, Tw = 50C, h = 30 W/m2K. Kolikna je bilavlanost vroega zraka? S pomojo psihrometrijskega razmerja izrazi snovni tok tudi zvlanostnim potencialom.

REITEV:

YG = 0,02, PR=h

ky cpzky=30 g /m

2 s

w=kyY=ky YwYg=300,0870,02=2 g /m2s

w=hT

Hw=

301502382

=1,9g /m2 s

- 59 -


10.Ekstrakcija

10.1Uvod

Ekstrakcija je operacija, s katero odstranjujemo iz trdnih ali tekoih zmesi topne komponente stopilom. Ekstrakcija sestoji iz dveh zaporednih postopkov, in sicer v prvem spravimo zmes vintenziven stik s topilom, v drugem pa obe fazi loimo. Z aparati lahko izvedemo oboje loeno alipa skupaj.

Ekstrakcijo delimo na dva dela: ekstrakcija tekoih zmesi ekstrakcija trdnih snovi.

10.2Ekstrakcija tekoih zmesi

Z ekstrakcijo loujemo tekoe zmesi takrat, kadar je rektifikacija teavna ali neuinkovita, naprimer zmesi s skoraj enako hlapnostjo komponent ali zmesi, ki so obutljive na temperaturo.Ekstrakcija temelji na razlikah v topnosti, ne pa v razlikah hlapnosti, kot je to pri destilacijskihmetodah.

Iz tekoe faze (rafinatna faza) ekstrahiramo komponento v ekstraktno fazo. Sledi obdelavaekstraktne faze z namenom pridobiti isto komponento A in regeneracijo ekstraktne faze. Z oziromna nain regeneracije loimo fizikalne in kemijske tipe ekstrakcij. Pri fizikalnem tipu regeneracijaekstraktne faze poteka z destilacijo, pri kemijskem pa z reekstrakcijo. Primeri: Belinka (peroksid: z vodo ekstrahirajo (topilo antrakinon)) Lek (ienje farmacevtskih uinkovin z etilacetatom EtOAc, metil cikloheksanom MCH)

Sistemi, ki jih obravnavamo, bodo imeli naslednje oznake:C ... matina komponenta rafinatne fazeS ... matina komponenta ekstraktne fazeA ... komponenta, ki prehaja med fazamaL ... rafinatna fazaV ... ekstraktna faza

L > V L faza je vedno rafinatna faza, tudi e je specifino laja!

Lunica L > 1 rafinat; estrakcija kerozen ~ 0,8.Izjema: Belinka: L faza organska faza: delovna raztopina z vodikovim peroksidom, ki joekstrahiramo z ekstraktno fazo voda, ki je gosteja.

10.2.1Fizikalna ektrakcija

Znailnost fizikalne ekstrakcije je, da so Nernstovi porazdelitveni koeficienti blizu 1 ( K=yAxA

1 ).

Za predstavitev ternarnih sistemov uporabimo ternarni diagram (C, S, A). Primer: C = voda, S =MEK (metil etil keton), MIK (metil izobutil keton), A = ocetna kislina. Tak ternarni diagrampredstavlja slika 10.1.

- 60 -


Slika 10.1. Ternarni diagram.

rta, ki povezuje ravnotene koncentracije (xA in yA), se imenuje konoda ali vezna rta ("tie line").

Fazi, ki nastopata sta: rafinatna: xA, xS, (C, L) ekstraktna: yA, yS (S, V)

Debelina tekoinskih filmov je med 10 in 100 m.

Tehnologija: Procesna shema je predstavljena na sliki 10.2.

Slika 10.2. Procesna shema.

- 61 -


10.2.2Kemijska ekstrakcija

Znailnost kemijske ekstrakcije so visoke vrednosti porazdelitvenih koeficientov, reekstrakcija, kotmetoda regeneracije ekstraktne faze in selitev upora v eno fazo.

Primer:Hidrometalurki proces za pridobivanje kovinskih ionov (Cu, U, Mo, V, Cr)

Slika 10.3. Shematski prikaz pridobvanja kovinskega iona.

Po luenju imamo kovinski ion ( UO2SO434

aq ). Reakcija, ki potee pri ekstrakciji (reekstrakcijapoteka v obratni smeri):UO2SO43

4aq2 [R3NH2SO4 ]org2SO4

2R3NH4UO2SO43

Pogoji: pri ekstrakciji: pH = 1,1; [SO4-2] = 0,5 M pri reekstrakciji: pH = 4,2; [SO4-2] = 2 M

- 62 -


MANJKA PREDAVANJE 12.1.2005!

- 63 -


Prazna stran!

- 64 -


10.2.2.1Analiza delovanja kolone s perforiranimi ploami v procesu proizvodnje H2O2

Kemijska reakcija, ki potee, je sledea:

Shematsko je proces prikazan na sliki 10.4.

Slika 10.4. Shematski prikaz procesa proizvodnje H2O2.

Ravnoteje:(L) C A S (V)Organska faza: C predstavlja topilo, ki je sestavljeno iz razredila (diluenta) in aktivnega reagenta(antrakinon)Komponenta, ki prehaja: A je vodikov peroksidVoda: S L ... tok rafinataV ... tok ekstraktne faze (raztopina)

- 65 -


Ravnoteni diagram je predstavljen na sliki 10.5.

Slika 10.5. Ravnoteni diagram.

Gibbsovo fazno pravilo: tevilo neodvisnih spremenljivk (s) 3, tevilo vseh komponent je 4 (P, T, x(corg), y (Y)). Spremenljivka Y je definirana kot:

Y=y

1y=masaH2O2masaH2O

(10.1)

V enabi 10.1 imamo imenovalec konstanten, saj na vrhu tarta ista voda, kjer je tok vodekonstanten po celotni koloni. Medtem ko pa se dele organske komponente spreminja vzdolkolone.

y=35 Y=0,54

Parameter sistema je koncentracija antrakinona, kjer pomeni nija koncentracija niji naklonravnotene krivulje.

V literaturi pa dobimo podatek uinkovitost E med 0,2 in 0,25.

Prenos snoviUpor v organski fazi je veji kot upor v vodni fazi.Snovni fluks je podan z naslednjo enabo:

w=

11

Kkc ,1

1kc ,2

c2*c2 (10.2)

kjer je kc,2 koeficient v vodni fazi, kc,1 pa koeficient v organski fazi. e sta koeficienta enaka, odloao uporu konstanta K


Hidravlika koloneHidravlika kolone je predstavljena na sliki 10.6. Voda se pretaka poasi z laminarnim tokom.

Slika 10.6. Hidravlika kolone.

Energetska bilanca Pri ekstrakciji se potencialna energija organske faze spremeni v kinetino energijo, to je energijocurka. To predstavimo v naslednji enabi:

mg horg=mv2

2(10.4)

Iz enabe 10.4 izpeljemo hitrost curka (jet-a):

v jet= 2ghorgorg (10.5)kjer je koncentracijski koeficient (v naem primeru 0,6).

Sprememba gostote ni enaka po celotni koloni, ampak se spreminja, in sicer vrh kolone=vorg=50 kg /m

3 ter dno kolone: =vorg=200 kg /m3 . Toda naa elja je imeti

spremembo gostote konstantno po celotni koloni. Tako lahko fizikalno-kemijske lastnostispreminjamo z variiranjem tevila luknjic na posameznih prekatih (dno #7000, vrh #14000)

Pretok organske faze pa dobimo, e hitrost curka pomnoimo s presekom lukenj:org=v jetSlukenj (10.6)

Debelina organske faze je sorazmerna kvadratu pretoka organske faze, medtem ko pa je debelinadisperzijskega sloja sorazmerna kubu pretoka organske faze (= L, tok rafinatne faze): horgorg

2 in

Horg3 .

Za izraun debeline disperzijskega sloja lahko uporabimo naslednjo zvezo:

disp.fazeA

=chHdt lo 1 /3

(10.7)

- 67 -


kjer nam c predstavlja koeficient, ki doloa sistem, in sicer industrijski sistemi imajo vrednost 0,025(m/s)2/3, isti sistemi, kakren je Belinkin, pa 0,15 (m/s)2/3. Parameter h pa pomeni zadrek ali hold-up disperzne faze v disperznem sloju in je v naem primeru 0,5.

as loevanja ali zadrevalni as pa izraunamo po zvezi 10.8 in se giblje v mejah med 40 in 140sekundami:

tzad=31103i

0,24

g1,24ds1,48 (10.8)

V enabi 10.8 predstavlja ds Sauterjev premer in se giblje med 0,5 < ds < 0,1 m.

Sedaj pa bi radi izraunali viino disperzijskega na dnu in vrhu kolone ter viino organskega slojapravtako na dnu in vrhu kolone.

Slika 10.7. Kolona z oznakami.

Slika 10.8. Detajl prekata.

- 68 -


Za izraun viine organskega sloja bomo uporabili enabi 10.5 in 10.6, za doloitev disperzne fazepa enabi 10.7 in 10.8.

Raunski primer:

Podatki:premer luknjic dluk = 3 mm = 0,003 mspodaj 7.000 luknjic / ploozgoraj 14.000 luknjic / ploot. plo N = 24dno = 1150(35% H2O2) 950 kg/m3

vrh = 1000(voda) 950 kg/m3

org = 950 kg/m3

c = 0,15 (m/s)2/3

h = 0,5 = 0,67tlo = 30 s

Vjet [m/s] ho [m] H [cm]

org = 120m3/h0,67 0,25 8,5 dno

0,34 0,25 8,5 vrh

org = 140m3/h0,79 0,34 13 dno

0,39 0,34 13 vrh

10.2.2.2Nartovanje baterije mealnikov in loevalnikov

50 m3/h lunice (L) kovinskih ionov ekstrahiramo v protitoni bateriji mealnikov in loevalnikov s5% raztopino R3N v kerozenu (glej reakcijo za uran). Laboratorijski poskus v mealniku premera 15cm, STC, pri volumskem vnosu moi 0,5 W/L je pokazal, da je as 30 s dovolj dolg za vzpostavitevravnoteja. Poskus loitve faz je pokazal, da se disperzija (organska faza zvezna, vodna disperzna,fazno razmerje 1:1) loi v 45 s. Kolikno naj bo tevilo mealnikov in loevalnikov, njihovedimenzije, mo motorjev ter ostali obratovalni pogoji? Zaradi prisotnosti neisto v lunici jedisperzija z zvezno vodno fazo izredno slabo loljivam zato je potrebno v mealniku zagotovitizvezno organsko fazo (recikel organske faze iz loevalnika v mealnik iste stopnje).

Shematski prikaz postopka je na sliki 10.9.

Slika 10.9. Shematski prikaz postopka.

- 69 -


Potrebne informacije, ki ji potrebujemo za izraun, so podatki o ravnoteju, masnih bilancah,zadrevalnih asih...

Shema baterije z ustreznimi koliinami je na sliki 10.10.

Slika 10.10. Shema baterije.

Masne bilance ekstrakcijeIz enabe naklona za obratovno rto ekstrakcije lahko doloimo V:LV=

4,90,10,80,001

=6V=8,33m3/h

Za reekstrakcijo pa velja:LV=

4804,90,1

=10V=833L /h=0,833m3/h

RavnotejePodatki:

caq 0,1 0 g/Lcorg 48 5,1 g/L

Porazdelitvena krivulja: T = 20C, R3N = 5%, pH = 1, SO42- = 0,5 M

Slika 10.11. Poraz

Zapiski predavanj separacijski procesij

Text of Zapiski predavanj separacijski procesij

Zapiski predavanj iz Diskretne Matematike I

Zapiski predavanj iz Osnov Matematicne Analize

PRAVNA ZGODOVINA ZAPISKI IZ PREDAVANJ IN KNJIGE … · pravna zgodovina zapiski iz predavanj in knjige 2002/2003 - Živa zoriČ (91%) 1 - JUDIKATURA (izreki sodišč – sodišča

OK I Zapiski Predavanj 2013 2014 (1)

Diskretne strukture II - University of Ljubljanaskreko/Gradiva/DS2-skripta.pdf · 2010. 6. 14. · Diskretne strukture II zapiski predavanj doc. dr. R. ˇSkrekovski Oddelek za Matematiko

Separacijski procesi Predavanja III - studentski.net

OSNOVNA MORALNA TEOLOGIJA - studentski.net · Osnovna moralna teologija Zapiski predavanj prof. Ivana Štuhca Pozitivne znanosti in moralna teologija Na moralno teologijo imajo največji

Zapiski predavanj - Fakulteta za matematiko in fizikohladnik/Tek/biozap.pdf3 I. DISKRETNA MATEMATIKA 1. Mnoˇzice, relacije, funkcije Mnoˇzice Mnoˇzice bomo oznaˇcevali z velikimi

Bojan Kuzma ZAPISKI IZ PREDAVANJ - POLJA IN KRIVULJNI INTEGRALI · 2015. 3. 28. · ZAPISKI IZ PREDAVANJ - POLJA IN KRIVULJNI INTEGRALI (Zbirka Izbrana poglavja iz matematike, št

G E N E T I K a - Zapiski s Predavanj

URŠKA PODGORŠEK - University of Ljubljanadk.fdv.uni-lj.si/diplomska/pdfs/podgorsek-urska.pdf · 2003. 11. 28. · (Berlogar, 2002: zapiski s predavanj) »To je podjetje, v katerem

MERITVE ZAPISKI PREDAVANJ - studentski.netstudentski.net/get/umb_fer_el1_mer_sno_zapiski_predavanj_01.pdf · Predgovor Za sprotni študij, ki je eden temeljnih ciljev bolonjskega

Zapiski s Predavanj

55139265 Pravoznanstvo Zapiski s Predavanj

Zapiski s predavanj (prof. Kambič)

Zapiski predavanj - fmf.uni-lj.sihladnik/ZgodMat/ZGODMAT.pdf · Stari Egipt in Mezopotamija · · · · · · · · 5 2. ... (v zvezi z grobovi v Dolini kraljev). Opomba. V zvezi

Pravni Sistem in Institucije Evropske Unije - Zapiski s Predavanj

Marko Slaparhrast.pef.uni-lj.si/~slaparma/OMA.pdf · 2017. 12. 13. · Naslov: Zapiski predavanj iz osnov matematiˇcne analize Avtor: Marko Slapar 1. izdaja Dostopno na spletnem

Pravoznanstvo - Zapiski s Predavanj

Mihaela Hočevar diplomska naloga(Zapiski predavanj pri predmetu Tržno komuniciranje, 2006). Glavni razlogi za to so: Zmanjšanje u činkovitosti oglaševanja Obilica izdelkov na

PREZRAČEVANJE Zapiski iz predavanj - Študentski.net · 2019. 3. 20. · Zapiski iz predavanj dr. M. K. 23.10.2006 1. 1. PRENOS TOPLOTE Prenos toplote je skupni pojem za prenos toplote

RIMSKO PRAVO - Zapiski s Predavanj 2010-2011

Zapiski predavanj iz Algebre in Diskretne Matematike

UVOD - CEK · 2016-01-05 · - Zbiranje ustrezne literature in lastna literatura: zapiski predavanj, skripte, predstavitve in seminarske naloge. - Osredotočenost na bistvene in aktualne

Zapiski s predavanj, 2.del: termodinamika (J. Derganc)

IVS ∙ CARITAS ∙ - Študentski.net - Vsi študijski …studentski.net/get/ulj_prf_pr1_dlp_sno_zapiski_01.doc · Web view2017-10-04 · zapiski s predavanj. Prvi del: TEMELJNA

Ekonomika podjetja - zapiski predavanj podjetja – zapiski predavanj - 6 - splošni stroški ključ = * 100 osnova Fiksni in variabilni stroški so lahko direktni ali indirektni

DIGITALNE STRUKTURE Zapiski predavanjds.fe.uni-lj.si/predmet/predavanja/Zapiski predavanj.pdf · 2012. 8. 27. · DIGITALNE STRUKTURE Zapiski predavanj Branko •Ster, Ljubo Pipan

Termodinamika - zapiski predavanj

Ulj Fif Sl1 Bfs Sno Zapiski Predavanj 01

Documents

Zapiski predavanj separacijski procesij

Text of Zapiski predavanj separacijski procesij