MATEMATIKA II zapiski predavanj Šolsko leto 2007 / 2008 Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta Blaž Potočnik UREJANJE DOKUMENTA VERZIJA 01 REVIZIJA 01 DATUM 21. 2. 2009 ZADNJI POPRAVLJAL Blaž Potočnik PREGLEDAL Blaž Potočnik OPOMBE Končna verzija POPRAVKI 21. feb. 09: Naslovnice, strani; bp

www.stromar.si zbirka študijske litarature na spletu

razmnoževanje dovoljeno le ob predhodnem dogovoru v dokumentu lahko obstajajo napake

2008, stromar.si 1

2008, stromar.si 2

2008, stromar.si 3

2008, stromar.si 4

2008, stromar.si 5

2008, stromar.si 6

2008, stromar.si 7

2008, stromar.si 8

2008, stromar.si 9

2008, stromar.si 10

2008, stromar.si 11

2008, stromar.si 12

2008, stromar.si 13

2008, stromar.si 14

2008, stromar.si 15

2008, stromar.si 16

2008, stromar.si 17

2008, stromar.si 18

2008, stromar.si 19

2008, stromar.si 20

2008, stromar.si 21

2008, stromar.si 22

2008, stromar.si 23

2008, stromar.si 24

2008, stromar.si 25

2008, stromar.si 26

2008, stromar.si 27

2008, stromar.si 28

2008, stromar.si 29

2008, stromar.si 30

2008, stromar.si 31

2008, stromar.si 32

2008, stromar.si 33

2008, stromar.si 34

2008, stromar.si 35

2008, stromar.si 36

2008, stromar.si 37

2008, stromar.si 38

2008, stromar.si 39

2008, stromar.si 40

2008, stromar.si 41

2008, stromar.si 42

2008, stromar.si 43

2008, stromar.si 44

2008, stromar.si 45

2008, stromar.si 46

2008, stromar.si 47

2008, stromar.si 48

V,t- Vz

100

1+o1D-z

7o

51

0 v4t 2ul

q-+l

)

IL;

x-1-f"r";"1-- 'J, - -k

e,tJJ'Jo

11 4 o ilo'l 7 1 DI r_dur.u"

f , 4 q11

L + y i ,l *n-/ |

lt 1 1 :j-t\,=-r" lo o 1

f'2 -1 L 1 I oJ vr{ rrlrLo 1 7

R 1 o z ol / t ,t TrI * . . l | , ' , ? t

N [o 1 + 5 -,rl^, lo

't q I Il l f _ r

lo o 11*11 l0 oL, o o ? ,J L' o o 4l1x+=1tl

4r* 1 <n= -' l

x3= -Z

r L J /

0

-+-1

0

Ji.r{e,-, l i^earuiL e,.a;b zq . In{"ko re-i"ie'-. ' 7 6ous"ouo ".df*/o,pt-i ko{e ri png3iplelo ,..".*ri Lo e f {e,^e,n*ae alnr- i oletaci .1 a'' 1' ,p;eohf1

f ,^1s^" *, / t ' lerpC' i1 t ulora\ fr iL-*r,e " ,^..*r ' l ka ,-? (r^*er-t

je ; . te,.J.. €trosf"r,aa

;rel/^*i / re)i f tv ) ista." '

P.- ,^*, ' X1aX. AZX+=0

{. {Z<z+k\ l+71* +(=o

X4 t xz UXa * '1= - 3*9

7

51

5D

1

'R q iite" ?6-:t-11* , . kif,, ^i u ,oy t-nl"ilre k o<ficteuutov e n^ kYA ta

I vr t-a*s vlevae c*^ a"t rl,(e',

l (er re vatnm u*t r ike eo.ak - f fer l ( t^ ^ez( , , .c t ,^k, )e r ' -e i , {g,nnlo,nll,o et+a. f DoLi^- jo *nkr, o(^ t-?3'tas eaaZlet oo( rPo/")

h 4v*3o a,

-odt*/a*2008, stromar.si 49

BI t I . v t

Lq-h Ko po tsc€tq oa^4+ i t k ' ; h , . \ a

A - ! , , v \

fT , t$C?a'o I 'v1?urt J

l h V e f Z t ' oI '

s ( e o { ' + i l 4 aJ

'Wuefe 1

1 4,() 3.2 o o^ n*-r*o r r lurn ic t h .

l l

rct g c,trJ

9 '

Q*LuL t ta -g

-l ,/

t 6auiJouo r"elot l .ooAtq l i ,u r kv cro l r .<fn i

,l

Do,a. ' 7* ,nh o o.ntr ikozx.

A'x=I

)e J'r sfer. (rne"rrial eno,El>

aopet

i 'n.verZhe

l f , , V ? ? t q e

ti"iL^

^"{r;k,

Lr. t r:,|-e er

v

, ?€s l t 'v 'oI

, , t * e " ^

il

^AI]:..-"::]Ari =|ilt[:

ec

c

Do , tr"b(y..o rei i f . ' vris * " * f . r ^€o t (u raQ oper

f- 'rl ^Jl;I Ait- ,'-l lo

P"Jo$^o

;L?4 c.(r '^rat- cr't IA F;:] =|ilo(oii^o 1,. s t"/p

F"flJoh,"o Z, r l" [p"

u tllJ o bi ̂ , zo Jnl\ ' s

[r]il

e qaZ Lr "D"

ol*

ol,

iLt -e j i o " o s i , f e * ?ha

ro - l r i ke , l ' e3 ' ,ao s rs *e'. € t^ac L

u .Jno uponoL ,no

lo[y"" i^ s " r? r ,?

uk te l, s i"te'r,^ o va c i1 '?

:1i, A-'l

2008, stromar.si 50

A-'=1

-1'l

7oo1

{j,-,^r,- la 2L, A=n i A,lti: f r' r t r

o1o

1o

0

71o

't c) 0 J,r, , ur\

i i ?INtst t1

T

+ n+li+J

A41',\()1

-7 f j:l I-I \LT

-F

= f;;l,rlX,J

tl'rJI

f,.,-c,- A: P,

AX

[ai I]-[r-111

t, 1 o ol n A -1 t-r o o-l',0 1 ol-lo 1 1jo 7 ol,t-1 o21J,ur, ! , ,1p O f \ -1 A 1J'{

it i lSr'nh D o:+ i tl,,-i ! iJ-L', I ii:r't 3 +J

?1-Z

z100

il;I

t) i ^e rnz i j t hx t - t<1 . t

[ ta ^o) ' bOk.n o.olrn{n^ ko.6 l, k, n^ r^^^ t1-ik.s{" I pe ,^ ̂ wo.{r,k" dtue,t*5ie a

Kun J*{i^ for^^

Ah x h

X4 X

lar*a X'r+ X

k^;JFt> - 1

i-

L>1

ce )t- 4 / .er-, . ' r t 's ka r seie f e A por?vao her 'n ' , .Lko .po lev 'uo Ae- - i ' { , d^ .

Vr. b,,

iar,^*-TVA

4 < 6

P ,r o i ? ^

[he,nu, , jen" kv. . , l rofn.^ for^n ^*{r i Le A

je ^"{r i l '^ J;"e.=,je 'r*1, 1o rtwib.t""ej j e

',,1 h :i;;] = x, X.r ̂,2,,. F,{ -o,}kunJrnl^ , f , "Fa.r r ̂

(nr^n) . , l .er- - r^ i f .k^,:c k ro r l ro l ^o fo -^^ tw ,e ,anJ-e

, o -

gli&"{a*2008, stromar.si 51

iz.d< tt^ "ra{< X j. vreolnot} her^,{tk" for^e 1-uol^o ;t'e"il.

D,r,^* Ro/; bi u',, le| 't cl* )z 8W)=7'AXr e c j" A l ;.1,^r3k+r-n,

{xr{x) =X'/' X = t A f= tx' /,XI=X' Ai{x')' ="""' ̂ =/'t

r^f=r{ :l;[. f*q,p,aivnuo (B.ir= r'c'

=X'AX1f:AA" rruo otoL*ot;iz,-cl< Z^ v.:o,k X . iu uyerl'orf o":!^':r

r!r:"i{ske for^z

Zitlo (ninu 1c.al"tru Jel") iet1,tr^arao ;f .

r' : i^; F,ff:!; r+11;^'e;: :t*w,'f!' i {" itj7":,,:.-1, *!iii^,

I

fln=yJAX r(X,IX;'= x'A'X:-{'n ,+Y&-* st";L

,+ l'"r"'^, h"ro,.t,rtP-,".",- A= h .,il A=],lI^ 'il A'=01 'fl

-rA-- a' , {ore j 1 je (e" . ' , - { r*q

e1E"' ;lLtl = E; t2 J W; :'; :' lx=f6lf-L4

' l x z

xtAX=0"ol fri*i:- +u++4+(2 +i)x/ =

z >. f

= tq* fi+z eft

2008, stromar.si 52

2008, stromar.si 53

2008, stromar.si 54

2008, stromar.si 55

2008, stromar.si 56

2008, stromar.si 57

2008, stromar.si 58

2008, stromar.si 59

2008, stromar.si 60

2008, stromar.si 61

2008, stromar.si 62

2008, stromar.si 63

2008, stromar.si 64

2008, stromar.si 65

2008, stromar.si 66

2008, stromar.si 67

2008, stromar.si 68

2008, stromar.si 69

2008, stromar.si 70

2008, stromar.si 71

2008, stromar.si 72

2008, stromar.si 73

2008, stromar.si 74

2008, stromar.si 75

2008, stromar.si 76

2008, stromar.si 77

2008, stromar.si 78

2008, stromar.si 79

2008, stromar.si 80

2008, stromar.si 81

2008, stromar.si 82

2008, stromar.si 83

2008, stromar.si 84

2008, stromar.si 85

2008, stromar.si 86

2008, stromar.si 87

2008, stromar.si 88

2008, stromar.si 89

2008, stromar.si 90

2008, stromar.si 91

2008, stromar.si 92

2008, stromar.si 93

2008, stromar.si 94

2008, stromar.si 95

2008, stromar.si 96

2008, stromar.si 97

2008, stromar.si 98

2008, stromar.si 99

2008, stromar.si 100

2008, stromar.si 101

2008, stromar.si 102

2008, stromar.si 103

2008, stromar.si 104

hk ,tr< uv\ {^^kri1e ol,rL'D";, . l D*lR, D c

,ul i (Gnh,b+kl -(h, i l<O rv te^ pr i , . . '1-^

' Zq. vsak h i " k v tek i Joro l n ; )h ' r i oko( i ,

h- f<I t ren f*^Lci )e o luek )prqruoQ{-k Lo^- i ' l .o( ; tpaf-c i , - tu ' , i uo(ro l .uu p-ueJ 'o i , , . "d, -uf l "J^ 7eo(a-

D.^., . , i r" t*,4 . \r f . ;k ; Ul l ("^kci j^ uk ' fr€u..

k i zorl o;-c,

*/ ine *ttQ uu.o

\ J t e S

P,Jrr*,

PtL,.ntui',

h (a,bl= Osho. , lo je p . { re | " i p 'Jo j zq ru ' {o6 ek t t renu vc 'L / ( - (*(o,Ll 'o i ,^ (o(a, i l=0. ?F

'

_ t - l r l tl e c l i t r 4 c b / /

T '1 ' -a^ l , r i : ( : : : . {oe

kr^ qe 2^/o i ta fea ' ' pog a j^ ' v le j | " ;k i 'n '

M; pa n*)n ' r r r ln )e v tock i ,

l)e ;-: T-oi kr,, f i yo c/' >L a )o .po1i *( F.q *Ji J*t 1^ "kt(r '^I.

y f tn(er 'rL sfogiot^qybt i l ' {oih.^( ie eksffr- ' t^

ko-kTttuJ; r !^e k.ete e,-- po- uSolav(jua a z e(r u'g'ta i patc i o [a) a.i o"

Uni F, l . ,z ,kot (o, f ) s{ . .c- ioeart ,a. {ozkcal* , .kc i )< f . Z^pi i i , - To16r jevo'

vrs{o S" ikc; )c f

x5.o+.700I

'pr e he ̂(j i 'k

[R' i.,. \/ -Fo.,fiif,cii '^ +'

((^*h, b+k) -(h,b)> O / ( / *c- p"td€t ' ,^

fr 'kr i rc ' to-o^ "a. kporcl ; t , - lo f -qkci ie ! . forut (= ( !* , .L)

Pr{e,. \ { p 2n^kr i in r" ' r -e . ent sb'e(-"^t1ftk. 'x , ' I^ t '41.\

kof fJ. .c i , j< e"" " .p,-c^eul i ; "ke ekrfuet v {oaki 2 '=a.

^. .o Li( i . od.uoJ te f .nkc)e fo rpreLe$' , .k i x u J. tk 'n ,uok O.I o PoLe4t

(x( u'61 = o '

. c 'e t ik, i r ,^-^o ie 4ruqo koo-Jiu,o{o Jobino L = (h, a I in' .d ' { .o t ( tpe( jen. ruJ^ a-c?q b i f i fu / i

l . i kr,b) eksfrs^, ie

j e ekslY e. ^iri r-,,n r-

) e .k sfre,.. ̂ ,Joti nrn /

r fo . -ke (atL) .

f " a o i ) '

pogo)*>f nkt f r un

" t 'a c i ona r he *o r fce

4 Q+k,6+k ) -(t^, i l = ("( o,b)h r ( th, LJk + I 1.7.^(o,L)1,' * 2(*oG,L)A&t

2008, stromar.si 105

) + ,--* -],*l

#^;{ " t:fr''"f r.1 : ̂?Y';:!l :,' r="( I u,U,b) ,n . '<

e ' ( * (o ,LJ=o io ,s p u-r. t^i t-iz {, t| *(^.LF 0 -( a r -

. (6*\,b*k) -4(o,b)= ! (*l,r*ZB hlrt ck')n/{ A,k)

t ' " :1 , t l ^ t . t r t^ zcr ^n i [^ , ur r r l^ r , s f ; , , ia h tzraa

+ ( n*A, [,+k)l - (U,L)' ,r I i

pre, lz^,nk ko* Aqz*2Bi,hk+ckz,

--*p,: ; ,^u (* l ha\ +otkr l t j i wai i r ,

A lrz + z tsh k + c k' = uh* stJ'! [4 Q, I!)\4'T

-t

pkf ^ , . j Lu ' ,L vve/ r " ' { i / , ^ ; , (vg( i t o ' ^ .^ i ; i od o ' - f^ ( i (i [er^o,

J

(*)

P r , c ? w ? 7 Alo

,f.) 0 e(e( e

2.) Z,; fefe'^

3.) ce

AC-BZ>O , po*en^ ie i fevec ,nG^ku p-e ' r f f veut .pofeu nG^" 'k ' . " ,o : - ' , t iuJeu i , ^ ar ( " ,d j : L i^ ;a^q, . .

J, (" l"pk. hn7u{,Jen 'r h v (o, b) i e . u\ 4lf,s i^ n

"-,.O , " lub;^ , pr ( t -c*x / ; ; , . ;1 u . r r luo ' { ' rA h rur k vpo >', ' ( iw o ' i^ ' eu, k ta-f h?ntd*iu uo i f e, j (o. V! ; k i h ,L ) a i ek r fee- , "u .

vQ. *o

o - i ^o , J , . - j eje '4?o;

Jui t,.nio,i i:., t * e , .nA t " . *

P r ; * Q ? v t V f

AC-80- -o ! te

P." t re, . e . .p i je .o ie .ek sc )pot-h. . ,? /e f i^ ic i j . F{"ss ? i ru" ^n{r ,ke. ,2,^'p*n-k"1-" 6i. o=n^k A= P*'"t^,Lf , a=ku(i,b), c=poo[",A1

T"rei

H(^,rr{; 1"n1I

(odG,n' , l

oz,oho'x ^1 [,A)r,fi."

r^") =0,[AW-o kutLuf) LB

B-lCJ

' : p*^ h,,b) 1*, t^,b)-("v (o,ie

= ,,le*fti 3] = Ac-BP,' i?^ p6 J"l H,h,A) L)z

2008, stromar.si 106

;+ r€[< i f t /r . i .r". F,D-R, D rR'roJrt"4(; i"i fn^kci','.N n', b! h,b') tt,.Jt o4Qt- rna

!-* ' (o,61 .d in {*(n,.bl=9,4)l a ( i, d"{ H (; (bl"= (*"

Jt d4 x,n(nrb1>o t 'polrn

Juuf t f ^ { zue?r^o Po .c i n |u

toak^ {n^kci1, F(torei

G,bl ,( uz G,b) - (v Q(b)') o i".

b ) n t u , i * q L' ) e v lozL i (^ ,

i l .?"* (o^ ,L\<O t2,1 2. je ,1 e{M(^,4)=

v {d;k i (a,Lf , . ;

pu{ .e - je v

!;:i:ro)^(',7{' ; k i ( o ,b ) , ^ok t i h tah

(?,b1.* +:3,r?t Ll2 <0 ,Po*r"*f ;k i

' ( ; (b) ' j , ' " , l lo,

3- \ i , je , lu { .N. {o ,b)=o. 5 poa.z io J r*q tL , oJuo, /o ,, lo(d i t ; c .L t r

)u v f "ak i G; i l ek 'u{ r? tuc ̂[ t ccp.

P,- ' ,^ci- .( &,,V1= xtn t ' - 6*t - 33x 41ry +20

Maj pre i pai i ie"o s{ ' ;o^ar ae loJke

(" = 3*t - 6^U *39

{f 2 T- 6>+ 18

(sc-eroo (* ,V l z* k .^{e.e.

3 * ' -6,0-- 30 =O ) x?-2 % - ' t3=O

h g t + o r Q * o

2^A,-6r+48=O ? u- 3x+3 =O =)*t= 3>.-3

xz- 2' IJ*- 3)^'lz-0

,. ' -6x-{ FO

[* -1)(x-S =o

=s.=6

(s,6)

s k,li

Ti:;!e ',

,(1,- 6)

xz

" [ z

T2 j sfac io r r rn r ,^ i I " " .k ; .

2008, stromar.si 107

t ,zzki ? Pre-eri^. Jeter l . ; ̂ u 'n{o H "toe),uu " '- l" , l 'oK[l ,{o t fo ci on^r ̂ 'l

("" = 6x

fu"r= -$

$t"o= /

= ?Z -36 = -2+ <O:l)n],,,,16: Je(lL-6

f-r/.f H fJ

bx"'l-6

-61l=60-35=ZQ>0z)

(s,6)= 6 J= 3o>o i e

Fr^ kci j . p r i do Jo.{^€r,71

,)=ar+f6. -',1 =c/e nr:t

Ls 2) 6/) 16

i-L ,)." ek'{rea, ' ker- (**( I Z l s f \ - t r l . q J v '

/+eK5 trem

lR , 0, R' . ( ia ?c-o ekrfrr , . {ed; )e . t r_

I k'v)=Q

V foa(iv { . , ;k i

\ /

V ezoLlqrAi6,.

PogoJur

e I (lt-6)

ni , [ . t f r€ ra -

rz(t6)

etH(qsl

Pug*j 3(x,Vl - O i*en,. ieni (v. i l ; vee -

Pogo j qk,g l= 0 ,Ao[oi^ 1,1sko l r i '1*$" v . rav.nin i ' .T or e i , ' ts .d

-eno

;F--/"i'-ij { ; 5'7' r.r . ;i;i" ̂:' - I;;l;; " t :: ! ;^ "' } !' i, *t,',; "' T' i "

n c c ( t o l ( f r V t ^ , { l O ,

{ezaa. i cksft t - 1*, ,^Lci je + QLko poi i l te '^. an 7)vo- qai i ' , ,o ' I

1.1 Vs.^ gk,^r. l =o ^06 ' ,"pLici(n"

ol ." [o"- lnnkci j ' q =?(x) ' P"k^

e(^) ' 4(r , t ( tJ fr^rkci 7r^ ernc rPF?'^e'^I iL;ki 6, . . {"n c ek- ' t - . . . " ' i7t t ' . '

Toye1 oqot-c"+ 'e\"{ i #=f i"()"

\-/

veno po, d,n j' # =#.^bp+)+, # = O ((})

2008, stromar.si 108

D^(1 e,

MsJuoJ

ve J x

<<)g

Jy

t \p [ t t i tu , gooLon" f * "ku j t 3=t(*) fn )Q

V ttnuino fo

AA+Udx d^,1

t+) =o\ Jr l -

ars

v ?,^, zbo (d in do bi^-

%*-o

r{.0( i

Z- l V"3^j ek>{r en [ ' Lko poi i 'ce ' . " {^ ,J i .z l^g! hb te ' 'a n"{oJo- ' ; ; , : -kJ ' '1"" ,

' Aef i r , , ro^o

' t^ . ' " f t , . kc ' ;o f re ' ( s fee" 'e" t i ' ' " k

L^ uo ' ( eo ln i i , . o - c - i h ,,,

F (r, no,x)= 4&,^t)* Z g k,ns)p {* . ,^ .^ i r , " , Lu,graageva {n^Lclr '^ , a ?n

L^gruugev La[ t ; r [ ;k"*u '

Vg7". ,^ . ek>fre- pole. - . po i ie ' -p foko, J^ ToiJ ie^ ' , ,^ouo" l* i "c k i f r "* f ^"kc i je ' F, fore) t -e i i ' . . o eaaE b?'

l * * , \[ - x * w

F.=oE =D'

a Lc^5^ .A t * \eve ,n {o lo (o_hL=o,

P i , . J . ? r "^o F" 'L i v e2o^c

skr*;l^ iy"-ki ir"": 'pFs,^s^\i , ' ' t( +(rr! ,f^) . ,, l=0.i ' ; " i ; . ' v??eh' ) t k , Y^ l J 0 , "

' ' - / f ln [ * " - " 'xa

L: l r1r tgo vo. . t^ . nkc- i , ja i . ,Y

{ ' : - P ' tu-€t 'n F kr , - ' . . * ' , ) ' t , " '4 ' ' )

? t ( ; , - : . . - *n ) - ,J- ; -P;&' , ' ' x?\ ) { ' " rL '^ l ' :^ (* ' " ' 'x^ l

Fx^=o F^"=oF..,r--o :

0p"nb."

l - t =o

4J"a

4 *=oALJ^r

-

2008, stromar.si 109

Pk,"tr\=*nt k,^vl'o i

Pi-',* e i-

2- ,,^. .i i ,"

h k,"d= <*rv -' l

V'1-x'?=0 :) x=U

do[ t i^ ,

\ 44X= ) l u r " 0=

Z

n{ . ^ ^ ( ( 4

(*trr -fut<-o

k=% T*=1 ( \.Y)4nA=* try=1 )

al, po it' ?votwt o Sc v € ? i.

X +X - ' l = O t{o ci ouc (- r^t^ {oi[ .^ T G, 3rl ,

/=:+, , \

t ' Q, t,Q\= I Q,,6:lt 2- Ah,y l= xy+ L (x*3 *1)

F* = V+?-

Fr;= x+2'

F1 =)<{ rA"1

-\ x= az-/

fi=L

=>

-)

V--L'

_7_z -1=o + 21= -,1

sfacio" ,4Fha lo"-k . . .n f (? ,

2008, stromar.si 110

2008, stromar.si 111

2008, stromar.si 112

2008, stromar.si 113

2008, stromar.si 114

2008, stromar.si 115

2008, stromar.si 116

2008, stromar.si 117

2008, stromar.si 118

2008, stromar.si 119

2008, stromar.si 120

2008, stromar.si 121

2008, stromar.si 122

2008, stromar.si 123

2008, stromar.si 124

2008, stromar.si 125

2008, stromar.si 126

2008, stromar.si 127

2008, stromar.si 128

2008, stromar.si 129

2008, stromar.si 130

2008, stromar.si 131

2008, stromar.si 132

2008, stromar.si 133

2008, stromar.si 134

2008, stromar.si 135

2008, stromar.si 136

2008, stromar.si 137

2008, stromar.si 138

2008, stromar.si 139

2008, stromar.si 140

2008, stromar.si 141

2008, stromar.si 142

2008, stromar.si 143

2008, stromar.si 144

2008, stromar.si 145