บทที่ 1 เลขยกกำลัง
1. ความหมายของเลขยกกำลัง
นิยาม ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก “ a ยกกำลัง n “
หรือ “ a กำลัง n “
เขียนแทนด้วย a
n
มีความหมายดังนี้ a
n
= a
´
a
´
a
´
a
´
a …..
´
a (a คูณกัน n ตัว)
จากนิยาม จะเรียก a
n
ว่าเลขยกกำลัง เรียก a ว่า ฐาน และเรียก n ว่า เลขชี้กำลัง
ตัวอย่าง เช่น 1) 3
4
= 3
´
3
´
3
´
3 มี 3 เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง
2) (-5)
3
= -5
´
-5
´
-5 มี -5 เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง
3)
÷
ø
ö
ç
è
æ
2
1
2
=
2
1
EMBED Equation.3
´
EMBED Equation.3
2
1
มี
2
1
เป็น ฐาน และ มี 2 เป็นเลขชี้กำลัง
ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง
วิธีทำ 1) 8
´
16= (2
´
2
´
2)
´
(2
´
2
´
2
´
2)
= 2
´
2
´
2
´
2
´
2
´
2
´
2
= 2
7
2) 75
´
15= (3
´
5
´
5)
´
(3
´
5)
= 3
´
5
´
5
´
3
´
5
= 3
2
EMBED Equation.3
´
5
3
2. สมบัติของเลขยกกำลัง
ถ้า a , b เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก
1) การคูณเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อคูณกัน
ให้นำเลขชี้กำลังของตัวคูณแต่ละตัวมาบวกกัน โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่นคือ
a
m
EMBED Equation.3
´
a
n
= a
n
m
+
เช่น 2
3
EMBED Equation.3
´
2
4
= 2
4
3
+
=2
7
2) การหารเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อหารกัน
ให้นำเลขชี้กำลังของตัวหารไปลบเลขชี้กำลังของตัวตั้ง โดยใช้ฐานตัวเดิม
นั่นคือ a
m
EMBED Equation.3
¸
a
n
= a
n
m
-
เช่น 3
7
¸
3
4
= 3
4
7
-
= 3
3
3) เลขยกกำลังซ้อน ให้นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน
นั่นคือ (a
m
)
n
= a
mn
เช่น (3
4
)
2
= 3
8
4) เลขยกกำลังของผลคูณ สามารถกระจายเป็นผลคูณของเลขยกกำลังแต่ละตัว
เมื่อมีฐานคงเดิม นั่นคือ (ab)
n
= a
n
b
n
เช่น (3p)
7
=
EMBED Equation.3 3
7
p
7
5) เลขยกกำลังของผลหาร สามารถกระจายเป็นผลหารของเลขยกกำลังแต่ละตัว
เมื่อมีฐานคงเดิม นั่นคือ
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
a
n
=
n
n
b
a
เช่น
÷
ø
ö
ç
è
æ
4
3
5
=
EMBED Equation.3
4
5
3
5
EMBED Equation.3
6) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ
สามารถเขียนให้เป็นส่วนกลับของ
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกได้ นั่นคือ a
n
-
=
a
n
1
เช่น x
4
-
=
x
4
1
7) เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์(0)
เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ (0) มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ นั่นคือ
a
0
= 1 เมื่อ a
¹
0 เช่น 5
0
= 1
ตัวอย่างที่ 2 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ 1) ( a
2
b
8
)(2a
5
b
6
)= 2a
5
2
+
b
6
8
+
= 2a
7
b
14
2)
y
2
x
3
y
6
x
4
4
= 4x
3
4
-
y
2
6
-
=4xy
4
3)
y
2
x
14
3
x
2
4
y
7
x
6
2
)
)(
(
=
14
)
2
6
(
y
2
7
x
3
4
2
-
-
+
´
=
7
y
5
x
6
3
ตัวอย่างที่ 3 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ
1) (2x
4
y
8
)
2
= 2
2
(x
4
)
2
(y
8
)
2
= 4 x
8
y
16
2)
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
z
3
y
x
2
5
3
4
=
)
z
(
5
5
)
y
(
5
x
5
2
5
3
4
3
=
z
15
y
20
x
5
243
32
ตัวอย่างที่ 4 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ
1) 2
n
3
´
8
1
n
-
= 2
n
3
EMBED Equation.3
´
(2
3
)
1
n
-
= 2
n
3
EMBED Equation.3
´
2
)
1
n
(
3
-
= 2
n
3
EMBED Equation.3
´
2
3
n
3
-
= 2
3
n
3
n
3
-
+
= 2
3
n
6
-
2) 3
3
n
2
-
´
81
n
2
= 3
3
n
2
-
EMBED Equation.3
´
(3
4
)
n
2
= 3
3
n
2
-
EMBED Equation.3
´
3
n
8
= 3
n
8
3
n
2
+
-
= 3
3
n
10
-
ตัวอย่างที่ 5 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ และให้มีเลขชี้กำลังเป็นบวก
วิธีทำ 1)
y
2
x
4
a
-
-
=
y
2
x
4
1
1
a
=
y
2
x
4
1
a
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
x
4
a
EMBED Equation.3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
y
2
=
x
4
y
2
a
2)
c
7
b
6
a
2
-
-
=
c
7
b
6
1
1
a
2
=
c
7
b
6
1
a
2
=
÷
ø
ö
ç
è
æ
b
6
a
2
EMBED Equation.3
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
1
c
7
=
b
6
c
7
a
2
ตัวอย่างที่ 6 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ 1) 5a
2
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
c
b
a
4
0
5
3
= 5a
2
(1)
=5a
2
2)
x
2
)
y
x
(
)
y
x
2
(
2
0
0
4
=
x
2
)
1
)(
1
(
y
2
=
x
2
y
2
3)
4
5
0
2
c
a
)
b
a
4
(
-
=
c
4
a
5
)
1
(
=
c
4
a
5
1
4)
4
3
2
1
2
1
3
z
y
x
7
z
y
x
7
-
-
-
-
-
-
= 7
1
3
+
x
2
3
+
y
3
1
+
-
z
4
2
+
-
= 7
4
x
5
y
2
z
2
ตัวอย่างที่ 7 จงทำให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ 1) 5
2
n
3
+
EMBED Equation.3
´
10
9
n
-
EMBED Equation.3
´
2
n
9
5
-
= 5
2
n
3
+
´
(5
9
n
)
2
-
´
´
2
n
9
5
-
= 5
2
n
3
+
´
5
9
n
-
EMBED Equation.3
´
2
9
n
-
´
2
n
9
5
-
= 5
9
n
2
n
3
-
+
+
EMBED Equation.3
´
2
n
9
5
9
n
-
+
-
= 5
7
n
4
-
EMBED Equation.3
´
2
4
n
8
-
-
2)
m
2
a
49
)
a
7
(
m
n
3
2
m
3
+
+
´
=
m
2
m
2
a
7
m
n
3
2
m
3
2
a
)
7
(
´
+
+
´
=
m
2
7
a
7
a
m
2
m
n
3
)
2
m
3
(
2
´
´
+
+
=
EMBED Equation.3
a
m
2
m
n
3
7
m
2
)
2
m
3
(
2
-
+
-
+
=
a
m
n
3
7
m
2
4
m
6
-
-
+
=
a
m
n
3
7
4
m
4
-
+
3)
(
)
(
)
2
1
n
4
1
n
2
1
n
2
1
n
1
n
n
-
+
+
-
+
¸
=
(
)
(
)
2
1
n
2
1
n
2
)
1
n
(
n
2
1
n
1
n
2
-
+
+
-
+
¸
=
2
1
2
2
n
2
2
n
2
1
n
n
2
n
2
-
+
-
+
¸
=
2
2
n
2
2
1
2
n
2
1
n
n
2
n
2
+
-
-
+
´
=
2
)
2
n
2
(
)
n
(
)
1
(
)
1
n
(
n
2
n
2
+
-
-
-
-
+
+
=
2
2
n
2
n
1
1
n
n
2
n
2
-
-
+
-
-
+
+
=
2
2
-
=
2
2
1
แบบฝึกหัดที่ 1.2
1. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กำลังเป็นบวก เมื่อ a , b
, c , x , y , z
¹
0 และ m , n , p, q เป็นจำนวนเต็ม
1.1
a
12
a
10
1.8 (x
2
y
5
)(x
3
y
2
)
2
1.2 (-2)
2
y
4
1.9 (a
n
)
4
(a
1
n
+
)
1.3 (2x
2
y
4
)
5
1.10
n
3
m
2
n
m
a
a
-
+
1.4 (x
2
-
yz
4
)
5
1.11 (5
q
p
-
)(5
q
3
p
3
+
)
1.5
2
0
2
4
2
)
x
y
(
-
-
1.12 (a
m
)
n
-
EMBED Equation.3
´
(b
m
-
)
n
EMBED Equation.3
´
(ab)
mn
1.6
3
2
3
2
6
1
2
1
z
y
x
5
z
y
x
5
-
-
-
-
-
1.13
n
1
n
1
n
n
1
n
n
4
1
2
2
)
2
(
2
-
-
+
-
´
´
´
1.7
4
6
5
)
xy
(
y
x
1.14
EMBED Equation.3
1
n
2
n
1
n
1
n
5
6
15
2
+
+
-
-
-
´
2. จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย และมีเลขชี้กำลังเป็นบวก
2.1
2
2
1
5
1
2
2
1
)
a
2
(
)
a
3
(
)
a
3
(
)
a
2
(
-
-
-
-
2.4
7
n
2
49
n
2
-
-
2.2
2
3
1
2
5
2
3
c
b
a
c
b
a
-
-
-
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2.5
2
p
6
p
5
p
4
625
125
5
+
-
+
´
2.3
4
3
yz
243
y
4
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
EMBED Equation.3
´
EMBED Equation.3
2
5
2
2
y
16
yz
x
243
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
2.6
m
2
m
n
2
n
m
3
y
)
xy
(
x
+
-
3. การบวก ลบ เลขยกกำลัง
การบวก ลบ เลขยกกำลัง จะทำได้ก็ต่อเมื่อ
เลขยกกำลังนั้นมีฐานเท่ากันและมีเลขชี้กำลังเท่ากัน
โดยการนำสัมประสิทธิ์ของเลขยกกำลังนั้นมาบวกหรือลบกัน ตัวอย่าง
เช่น
1) จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 2x
2
+ 5x
2
= (2+5) x
2
= 7x
2
2) จงทำให้เป็นผลสำเร็จ a
4
+9a
4
-5a
4
= ( 1+9-5) a
4
= 5a
4
ข้อสังเกต ถ้าเลขยกกำลังที่มีฐานเท่ากัน แต่เลขชี้กำลังต่างกัน
จะนำสัมประสิทธิ์ของเลขยก
กำลังมาบวกหรือลบกันไม่ได้ จะต้องใช้วิธีแยกตัวประกอบ ตัวอย่าง
เช่น
1) จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 2x
2
+5x
3
- 10x
4
= 2x
2
+(5x)x
2
-(10x
2
)x
2
= (2 + 5x – 10x
2
)x
2
2) จงทำให้เป็นผลสำเร็จ 6a
4
- 3a
7
+7a
9
= 6a
4
- 3a
4
a
3
+7a
4
a
5
= (6 –3a
3
+7a
5
)a
4
ตัวอย่างที่ 8 จงทำ
5
4
2
3
3
3
+
ให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ
5
4
2
3
3
3
+
=
3
2
2
2
2
3
3
3
3
3
+
=
3
2
2
2
3
3
)
3
1
(
3
+
=
3
2
3
)
3
1
(
+
=
27
10
ตัวอย่างที่ 9 จงทำ
4
5
4
x
x
6
x
2
+
ให้เป็นผลสำเร็จ
วิธีทำ
4
5
4
x
x
6
x
2
+
=
EMBED Equation.3
4
4
4
x
xx
6
x
2
+
=
x
4
x
4
)
x
6
2
(
+
= 2 + 6x
แบบฝึกหัดที่ 1.2
จงทำให้อยู่ในรูปอย่างง่าย
1. 4a
6
- 14a
6
+20a
6
2. c
3
- b
2
+4c
3
+6c
3
+ 10b
2
3. 3x
2
- 5x
3
+ 4x
2
- 6x
3
4. 3ab
2
- 6ab
2
- 4ab
2
+ 5ab
2
5. (3x
3
- 2x
2
+ 8x +9 ) – (2x
3
+ 5x
2
+2x –1)
6.
2
5
2
2
2
2
+
7.
5
4
3
3
3
3
-
-
-
+
8.
4
2
2
3
y
xy
y
x
x
-
-
9.
1
x
x
x
2
3
+
+
_1084778609.unknown
_1128834661.unknown
_1128834923.unknown
_1128835261.unknown
_1128835424.unknown
_1128835501.unknown
_1128835585.unknown
_1128835650.unknown
_1128835755.unknown
_1128835759.unknown
_1128835761.unknown
_1128835762.unknown
_1128835760.unknown
_1128835757.unknown
_1128835758.unknown
_1128835756.unknown
_1128835751.unknown
_1128835753.unknown
_1128835754.unknown
_1128835752.unknown
_1128835747.unknown
_1128835749.unknown
_1128835750.unknown
_1128835748.unknown
_1128835660.unknown
_1128835745.unknown
_1128835746.unknown
_1128835664.unknown
_1128835657.unknown
_1128835623.unknown
_1128835643.unknown
_1128835647.unknown
_1128835625.unknown
_1128835616.unknown
_1128835620.unknown
_1128835588.unknown
_1128835533.unknown
_1128835561.unknown
_1128835567.unknown
_1128835581.unknown
_1128835564.unknown
_1128835542.unknown
_1128835545.unknown
_1128835536.unknown
_1128835539.unknown
_1128835518.unknown
_1128835526.unknown
_1128835530.unknown
_1128835522.unknown
_1128835509.unknown
_1128835515.unknown
_1128835504.unknown
_1128835468.unknown
_1128835487.unknown
_1128835495.unknown
_1128835498.unknown
_1128835492.unknown
_1128835478.unknown
_1128835481.unknown
_1128835475.unknown
_1128835447.unknown
_1128835459.unknown
_1128835462.unknown
_1128835456.unknown
_1128835453.unknown
_1128835440.unknown
_1128835444.unknown
_1128835427.unknown
_1128835353.unknown
_1128835386.unknown
_1128835412.unknown
_1128835418.unknown
_1128835421.unknown
_1128835415.unknown
_1128835394.unknown
_1128835398.unknown
_1128835391.unknown
_1128835370.unknown
_1128835379.unknown
_1128835383.unknown
_1128835376.unknown
_1128835373.unknown
_1128835359.unknown
_1128835362.unknown
_1128835366.unknown
_1128835356.unknown
_1128835309.unknown
_1128835330.unknown
_1128835339.unknown
_1128835343.unknown
_1128835350.unknown
_1128835336.unknown
_1128835323.unknown
_1128835326.unknown
_1128835317.unknown
_1128835320.unknown
_1128835312.unknown
_1128835296.unknown
_1128835303.unknown
_1128835306.unknown
_1128835299.unknown
_1128835268.unknown
_1128835290.unknown
_1128835265.unknown
_1128835102.unknown
_1128835157.unknown
_1128835223.unknown
_1128835242.unknown
_1128835254.unknown
_1128835258.unknown
_1128835246.unknown
_1128835231.unknown
_1128835238.unknown
_1128835227.unknown
_1128835171.unknown
_1128835217.unknown
_1128835220.unknown
_1128835214.unknown
_1128835165.unknown
_1128835168.unknown
_1128835161.unknown
_1128835129.unknown
_1128835140.unknown
_1128835146.unknown
_1128835154.unknown
_1128835150.unknown
_1128835143.unknown
_1128835134.unknown
_1128835137.unknown
_1128835131.unknown
_1128835116.unknown
_1128835122.unknown
_1128835126.unknown
_1128835119.unknown
_1128835110.unknown
_1128835113.unknown
_1128835105.unknown
_1128835008.unknown
_1128835069.unknown
_1128835085.unknown
_1128835091.unknown
_1128835095.unknown
_1128835088.unknown
_1128835078.unknown
_1128835081.unknown
_1128835075.unknown
_1128835028.unknown
_1128835058.unknown
_1128835063.unknown
_1128835031.unknown
_1128835022.unknown
_1128835025.unknown
_1128835011.unknown
_1128834967.unknown
_1128834994.unknown
_1128835001.unknown
_1128835005.unknown
_1128834998.unknown
_1128834984.unknown
_1128834987.unknown
_1128834978.unknown
_1128834938.unknown
_1128834960.unknown
_1128834964.unknown
_1128834940.unknown
_1128834929.unknown
_1128834934.unknown
_1128834926.unknown
_1128834793.unknown
_1128834857.unknown
_1128834895.unknown
_1128834909.unknown
_1128834916.unknown
_1128834919.unknown
_1128834912.unknown
_1128834902.unknown
_1128834906.unknown
_1128834899.unknown
_1128834870.unknown
_1128834888.unknown
_1128834891.unknown
_1128834873.unknown
_1128834863.unknown
_1128834867.unknown
_1128834860.unknown
_1128834823.unknown
_1128834843.unknown
_1128834851.unknown
_1128834854.unknown
_1128834846.unknown
_1128834835.unknown
_1128834838.unknown
_1128834832.unknown
_1128834807.unknown
_1128834816.unknown
_1128834820.unknown
_1128834812.unknown
_1128834800.unknown
_1128834803.unknown
_1128834796.unknown
_1128834724.unknown
_1128834753.unknown
_1128834769.unknown
_1128834777.unknown
_1128834781.unknown
_1128834774.unknown
_1128834761.unknown
_1128834764.unknown
_1128834756.unknown
_1128834737.unknown
_1128834745.unknown
_1128834748.unknown
_1128834740.unknown
_1128834731.unknown
_1128834734.unknown
_1128834727.unknown
_1128834687.unknown
_1128834703.unknown
_1128834709.unknown
_1128834713.unknown
_1128834706.unknown
_1128834696.unknown
_1128834700.unknown
_1128834692.unknown
_1128834675.unknown
_1128834681.unknown
_1128834684.unknown
_1128834678.unknown
_1128834667.unknown
_1128834670.unknown
_1128834664.unknown
_1084911076.unknown
_1084951334.unknown
_1128834577.unknown
_1128834626.unknown
_1128834643.unknown
_1128834654.unknown
_1128834656.unknown
_1128834651.unknown
_1128834637.unknown
_1128834640.unknown
_1128834633.unknown
_1128834608.unknown
_1128834616.unknown
_1128834622.unknown
_1128834611.unknown
_1128834585.unknown
_1128834593.unknown
_1128834580.unknown
_1084951631.unknown
_1084951725.unknown
_1084952128.unknown
_1084955095.unknown
_1128834559.unknown
_1084951888.unknown
_1084951897.unknown
_1084951769.unknown
_1084951668.unknown
_1084951712.unknown
_1084951655.unknown
_1084951558.unknown
_1084951586.unknown
_1084951605.unknown
_1084951571.unknown
_1084951526.unknown
_1084951543.unknown
_1084951358.unknown
_1084951492.unknown
_1084951346.unknown
_1084911449.unknown
_1084911810.unknown
_1084951282.unknown
_1084951306.unknown
_1084951322.unknown
_1084951294.unknown
_1084951243.unknown
_1084951266.unknown
_1084911847.unknown
_1084911655.unknown
_1084911749.unknown
_1084911795.unknown
_1084911699.unknown
_1084911512.unknown
_1084911580.unknown
_1084911488.unknown
_1084911187.unknown
_1084911280.unknown
_1084911308.unknown
_1084911374.unknown
_1084911292.unknown
_1084911223.unknown
_1084911269.unknown
_1084911205.unknown
_1084911127.unknown
_1084911151.unknown
_1084911166.unknown
_1084911140.unknown
_1084911100.unknown
_1084911115.unknown
_1084911090.unknown
_1084823811.unknown
_1084910568.unknown
_1084910921.unknown
_1084911017.unknown
_1084911048.unknown
_1084911060.unknown
_1084911036.unknown
_1084910945.unknown
_1084910958.unknown
_1084910934.unknown
_1084910861.unknown
_1084910888.unknown
_1084910900.unknown
_1084910875.unknown
_1084910728.unknown
_1084910844.unknown
_1084910631.unknown
_1084909746.unknown
_1084910128.unknown
_1084910280.unknown
_1084910454.unknown
_1084910188.unknown
_1084909818.unknown
_1084909932.unknown
_1084909769.unknown
_1084824266.unknown
_1084909651.unknown
_1084909727.unknown
_1084909689.unknown
_1084909710.unknown
_1084909671.unknown
_1084909504.unknown
_1084823943.unknown
_1084824195.unknown
_1084823820.unknown
_1084779013.unknown
_1084779172.unknown
_1084779257.unknown
_1084779297.unknown
_1084779377.unknown
_1084779399.unknown
_1084779451.unknown
_1084779328.unknown
_1084779270.unknown
_1084779209.unknown
_1084779223.unknown
_1084779197.unknown
_1084779099.unknown
_1084779137.unknown
_1084779154.unknown
_1084779112.unknown
_1084779051.unknown
_1084779066.unknown
_1084779040.unknown
_1084778807.unknown
_1084778843.unknown
_1084778899.unknown
_1084779000.unknown
_1084778853.unknown
_1084778815.unknown
_1084778839.unknown
_1084778811.unknown
_1084778625.unknown
_1084778797.unknown
_1084778804.unknown
_1084778628.unknown
_1084778617.unknown
_1084778622.unknown
_1084778613.unknown
_1084776339.unknown
_1084777040.unknown
_1084778439.unknown
_1084778544.unknown
_1084778583.unknown
_1084778600.unknown
_1084778606.unknown
_1084778591.unknown
_1084778553.unknown
_1084778579.unknown
_1084778548.unknown
_1084778477.unknown
_1084778538.unknown
_1084778541.unknown
_1084778488.unknown
_1084778523.unknown
_1084778493.unknown
_1084778482.unknown
_1084778470.unknown
_1084778474.unknown
_1084778456.unknown
_1084778461.unknown
_1084778444.unknown
_1084777086.unknown
_1084777257.unknown
_1084778104.unknown
_1084778432.unknown
_1084778435.unknown
_1084778421.unknown
_1084778427.unknown
_1084778180.unknown
_1084777451.unknown
_1084777094.unknown
_1084777100.unknown
_1084777091.unknown
_1084777069.unknown
_1084777075.unknown
_1084777078.unknown
_1084777072.unknown
_1084777047.unknown
_1084777065.unknown
_1084777043.unknown
_1084776690.unknown
_1084776836.unknown
_1084776898.unknown
_1084776938.unknown
_1084776968.unknown
_1084776913.unknown
_1084776867.unknown
_1084776897.unknown
_1084776856.unknown
_1084776779.unknown
_1084776809.unknown
_1084776825.unknown
_1084776799.unknown
_1084776731.unknown
_1084776758.unknown
_1084776713.unknown
_1084776555.unknown
_1084776614.unknown
_1084776636.unknown
_1084776680.unknown
_1084776615.unknown
_1084776579.unknown
_1084776588.unknown
_1084776564.unknown
_1084776404.unknown
_1084776525.unknown
_1084776537.unknown
_1084776501.unknown
_1084776365.unknown
_1084776388.unknown
_1084776354.unknown
_1084775050.unknown
_1084776018.unknown
_1084776163.unknown
_1084776275.unknown
_1084776303.unknown
_1084776325.unknown
_1084776293.unknown
_1084776225.unknown
_1084776237.unknown
_1084776210.unknown
_1084776096.unknown
_1084776131.unknown
_1084776147.unknown
_1084776108.unknown
_1084776059.unknown
_1084776078.unknown
_1084776029.unknown
_1084775487.unknown
_1084775920.unknown
_1084775960.unknown
_1084775986.unknown
_1084775936.unknown
_1084775621.unknown
_1084775862.unknown
_1084775887.unknown
_1084775627.unknown
_1084775687.unknown
_1084775597.unknown
_1084775618.unknown
_1084775501.unknown
_1084775403.unknown
_1084775446.unknown
_1084775456.unknown
_1084775435.unknown
_1084775093.unknown
_1084775119.unknown
_1084775078.unknown
_1084774707.unknown
_1084774882.unknown
_1084774964.unknown
_1084775005.unknown
_1084775032.unknown
_1084774978.unknown
_1084774922.unknown
_1084774949.unknown
_1084774903.unknown
_1084774797.unknown
_1084774825.unknown
_1084774839.unknown
_1084774809.unknown
_1084774742.unknown
_1084774758.unknown
_1084774729.unknown
_1084774479.unknown
_1084774609.unknown
_1084774645.unknown
_1084774672.unknown
_1084774629.unknown
_1084774563.unknown
_1084774587.unknown
_1084774547.unknown
_1084774362.unknown
_1084774442.unknown
_1084774458.unknown
_1084774380.unknown
_1084774232.unknown
_1084774287.unknown
_1082229833.unknown
_1084774201.unknown
_1082401650.unknown
_1082402397.unknown
_1082459997.unknown
_1082460482.unknown
_1082571417.unknown
_1082455489.unknown
_1082401918.unknown
_1082401096.unknown
_1082401598.unknown
_1082401069.unknown
_1082223229.unknown
_1082228752.unknown
_1082228760.unknown
_1082228177.unknown
_1082223204.unknown
_1082223215.unknown
_1082222592.unknown
_1082222604.unknown
