• by Hiroyuki Kojima• á»Åâ´Â º´Ô¹·Ã� ¾ÃÇÔÅÒÇѳÂ�

完全独習統計学入門

มธยมปลาย

คนทำงานอดมศกษา

เหมาะสำหรบอานเปนเลมแรกเมอเรมเรยนวชาสถต อธบายความรพนฐานอยางกระชบ

ดวยภาษางาย ๆ เพอสรางความเขาใจ

เรยนพนฐานไดงาย ๆดวยตนเอง

2.5%

±2 S.D.±1 S.D.

EXAMPLE

สำรบญ

บทท 0 วธท�ำควำมเขำใจ “วชำสถต” อยำงมประสทธภำพ

และคอยเปนคอยไป

---จดยนของหนงสอเลมน 1

● สวนท 1

หลกสตรเรงรด ! จากสวนเบยงเบนมาตรฐาน

ไปถงการทดสอบ/การประมาณคาแบบชวง 11

บทท 1 ดงลกษณะเดนของขอมลดวยตำรำงแจกแจงควำมถ

กบฮสโทแกรม 12

สรปบทท1 21

แบบฝกหด 21

บทท 2 คำเฉลยคอจดหมนของกระดำนหก

---หนาทและวธตความคาเฉลย 23

สรปบทท2 30

แบบฝกหด 30

เรองนารคำเฉลยไมไดมเพยงแบบเดยว 31

เนอหาเสรมเหตใดจดสมดลของกระดำนหกจงเปน

“คำเฉลยเลขคณต” 33EXAMPLE

1บทท 0 วธทำ�คว�มเข�ใจ “วช�สถต” อย�งมประสทธภ�พและคอยเปนคอยไป

เหตใดหนงสอเลมนจงแบงเปนสองสวน0-1

หนงสอเลมนเปนต�ำรำวชำสถตระดบเบองตนแตถำจะพดจรงๆแบบ

ไมกลวคนเขำใจผดหนงสอเลมนเปน “ต�าราเบองตนทสด” พดถงเฉพาะเครองมอ

ทจ�าเปน และเขยนใหเขาใจงายระดบทวา “ถาตดอะไรออกอกกไมใชวชาสถตแลว”

หนงสอเลมนม2สวนสวนท 1 เรมจากพนฐานทสด โดยวางแผนให

ไปถงเรอง “การทดสอบ” กบ “การประมาณคาแบบชวง” ซงเปนเรองทส�าคญ

ทสดในวชาสถตโดยใชเวลาสนทสด

พออำนสวนท1แลวผอำนจะเหนภำพรวมอยำงรวดเรววำ“วชำสถต

มจดมงหมำยอยำงไรและมงสจดนนดวยแนวควำมคดแบบไหน”

º··Õè

วธทาความเขาใจ “วชาสถต”

อยางมประสทธภาพและคอยเปนคอยไป---จดยนของหนงสอเลมน

0

EXAMPLE

2 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

ใครทก�ำลงเรยนวชำสถตแลวปวดหวเพรำะวำ“เรยนไมรเรอง”หรอเคย

มประสบกำรณอำนคมอเบองตนมำแลวหลำยเลมแตยงไมส�ำเรจเสยทขอใหลอง

อานสวนท 1 น อยางนอยพอผาน ๆ

เชอวำสวนท1นจะเอยถงเรองทคณอยำกเขำใจแตไมรเรองสกทเปนแน

สวนผอำนทำนทไมคอยมเวลำตอใหอำนเพยงเทำนกนำจะเขำใจวำ“ออวชำสถต

เปนอยำงนเอง”กถอวำไดถอนทนคนส�ำเรจ

สวนท 2 จะเสรมเนอหำของสวนท 1 อธบำยหลกกำรประมำณ

กลมตวอยำงในเชงสถต เปาหมายของสวนท 2 คอไปใหถงการใชการแจกแจง

t ทดสอบกล มตวอยางขนาดเลก และการประมาณคาแบบชวงเกยวกบ

กลมตวอยางนน ผอำนสวนใหญมกมำไมถงจดน ทงทหำกเขำใจกจะเขำถง

แกนของวชำสถตแลวแทๆ

สำเหตทพบบอยสดของปญหำดงกลำวกคอ เนอหำเรองกำรจดกำร

ขอมลกบเรองควำมนำจะเปน มกนยำมกำรค�ำนวณทแทบจะเหมอนกนแตกลบ

อภปรำยแยกกนไป ไมรเพรำะเหตใด คอพอเขำใจวำสองเรองนนตำงกน แต

เขำใจยำกวำตำงกนอยำงไร ผเขยนคดวำคงเพรำะไมรเรองจดนนเอง ผเรยนจง

ตดอยในวงวน

ในสวนท 2 ของหนงสอเลมน ผเขยนไดตดแนวคดกงกำนใบโกลำหล

ตำง ๆ ทท�ำใหมอใหมสบสน และตดควำมแตกตำงระหวำงกำรจดกำรขอมลกบ

ควำมนำจะเปนทงไป(ตอใหสงเหลำนนจ�ำเปนตอควำมถกตองตำมหลกวชำกำร)

แลวอธบำยแกนสำรของกำรประมำณเชงสถตใหเขำใจแบบตรงไปตรงมำในแงหนง

สวนท2กสรำงมำใหเปนรถดวนทะยานสเปาหมายเชนเดยวกนEXAMPLE

3บทท 0 วธทำ�คว�มเข�ใจ “วช�สถต” อย�งมประสทธภ�พและคอยเปนคอยไป

วชำสถตคออะไร---สถตเชงพรรณนำกบสถตเชงอนมำน

0-2

วชำสถตแบงครำวๆ ไดเปน2สวนสวนหนงเรยกวำ“สถตเชงพรรณนา”

อกสวนเรยกวำ“สถตเชงอนมาน”

สถตเชงพรรณนำ อธบำยสน ๆ กคอกลวธดงลกษณะเดนของขอมล

ทมอยออกมา กลำวไดวำมมำแตโบรำณแลว เชน หำกนบส�ำมะโนประชำกร

เปนขอมลประเภทหนง ผคนกใชสถตมำตงแตยคของโมเสสจำกเรอง “บญญต

สบประกำร” หรอยคของจกรพรรดโรมนแลว จนสมยรำชวงศฮนหรอญปนสมย

ปฏรปไทกะกมกำรท�ำส�ำมะโนประชำกรหรอส�ำรวจทดนเพอเกบภำษเชนกน

แตกลำวกนวำสถตเชงพรรณนำมตนก�ำเนดทชดเจนในศตวรรษท 17

อยำงเชน ใน “สภำพประเทศ1” ของแฮรมนน โคนรง (Hermann Conring)

นกวชำกำรชำวเยอรมน“ขอสงเกตตำงๆเกยวกบตำรำงชพทงทำงธรรมชำตและ

ทำงกำรเมอง2”ของจอหนเกรำต (JohnGraunt)ทหำรชำวองกฤษ“เลขคณต

กำรเมอง3” ของวลเลยม เพตต (William Petty) และ “ประมำณกำรอตรำกำร

เสยชวต4”ของเอดมนดฮลเลย(EdmondHalley)

งำนวชำกำรเหลำนแสดงจดยนทำงสถตวำ ก�ำลงหำลกษณะเฉพำะตว

บำงอยำงของขอมลอตรำกำรเกดหรอกำรตำย

หลงจำกนนกมผพฒนำเครองมอเพอดงลกษณะเดนของขอมลออกมำ

ใหชดเจนยงขนมทงวธแนววำดกรำฟเชนตารางแจกแจงความถกบฮสโทแกรม

1นำจะเปนชอวชำบรรยำยทเปนภำษำละตนวำ“notitiarerumpoliticarum”–ผแปล2NaturalandPoliticalObservationsMadeupontheBillsofMortality–ผแปล3PoliticalArithmetic–ผแปล4AnEstimateoftheDegreesoftheMortalityofMankind–ผแปล

EXAMPLE

4 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

และวธใชคำสถต (ตำง ๆ) อยำงคาเฉลยหรอสวนเบยงเบนมาตรฐาน ทกวนน

วธกำรเหลำนใชในกำรวดเปนตนวำ กำรวดสภำพกำรณทำงสงคมกบเศรษฐกจ

และกำรส�ำรวจสงแวดลอมอยำงเชนสภำพอำกำศหรอทองทะเล

อกดำนหนง สถตเชงอนมำนคอกำรผสำนวธทำงสถตกบทฤษฎควำม

นำจะเปนเพอคาดคะเน “ตวอยางทมขนาดใหญมากจนไมรทงหมด” หรอ “เรอง

ในอนาคตทยงไมเกดขน” ระเบยบวธเชนนเรมมเปนเรองเปนรำวหลงจำกเขำส

ศตวรรษท20แลวเรยกวำเปนศำสตรแขนงใหมเกยวกบกำร“ใชสวนหนงคาดเดา

ทงหมด”ทไมเคยมมำกอนกวำได

เรองใกลตวทเปนผลงำนของสถตเชงอนมำน เชน ขำวผลกำรเลอกตง

ทสอสำมำรถเสนอวำใครเปน “ผไดรบเลอกตง” ตงแตเพงนบบตรเลอกตงได

ไมกเปอรเซนตกเพรำะใชสถตเชงอนมำนนนเองนอกจำกนสถตเชงอนมำนยงเปน

เครองมอจ�ำเปนส�ำหรบกำรท�ำนำยเรองโลกรอนหรอท�ำนำยรำคำหน ตงรำคำ

ผลตภณฑทำงกำรเงนหรอผลตภณฑประกนภยและอนๆอกหลำยอยำงดวย

หนงสอเลมนเนนสวนเบยงเบนมำตรฐำน (S.D.) ทสด0-3

ครงแรกของสวนท1ของหนงสอเลมนเนนอธบายความหมายของ “สวน

เบยงเบนมาตรฐาน” อยางละเอยดสวนเบยงเบนมำตรฐำนคอคำสถตทแสดงวำ

“ขอมลกระจำยหรอแผไปรอบคำเฉลยมำกแคไหน” สวนตวแลวผเขยนมองวำ

“สวนเบยงเบนมาตรฐานเปนเครองมอชนส�าคญทสดในวชาสถต” แตต�ำรำสถต

จ�ำนวนมำกมกอธบำยแตนยำมกบวธค�ำนวณพอผำนๆ ผเรยนจงยอม“เขำไมถง”

วำ“สรปแลวสวนเบยงเบนมำตรฐำนคออะไร”เปนธรรมดำ

EXAMPLE

5บทท 0 วธทำ�คว�มเข�ใจ “วช�สถต” อย�งมประสทธภ�พและคอยเปนคอยไป

แตถาไมเขาใจลก ๆ ขางในจรง ๆ วาสวนเบยงเบนมาตรฐานคออะไร

พอเขาเรองวธทางสถตเชงอนมานทใชการแจกแจงปกต การแจกแจงไคสแควร

หรอการแจกแจง t กจะไมคอยเขาใจวาก�าลงท�าอะไรอย คดวำคนจ�ำนวนมำก

เรยนวชำสถตแลวทอกเพรำะเหตน

หนงสอเลมนจงอธบำยเรองสวนเบยงเบนมำตรฐำนดวยวธตำงๆ ใหถง

ขนฟงจนเบอไปเลย สวนตวคดวำ ไมนาจะมต�าราเลมไหนทจดสรรจ�านวนหนา

ใหเรองสวนเบยงเบนมาตรฐานมากเทาเลมนแลว คอหนงสอเลมนไมไดพดถง

แคนยำมแตพยำยำมใหเขำใจควำมหมำยอยำงเปนรปธรรมดวยเรองตำงๆเชน

ใหดตำรำงเดนรถเมล เปรยบเทยบกบเรองนกโตคลน หรอพดถงเรองดชนหน

ผลพลอยไดคอท�ำใหเขำใจเรองควำมผนผวนกบชำรปเรโช ซงเปนเรองส�ำคญเมอ

จะตดสนคณภำพของผลตภณฑทำงกำรเงนดวย ควำมรเหลำนจะมประโยชน

ตอกำรใชชวตในสงคมกำรเงนระดบสงในศตวรรษท21อยำงแนนอน

หนงสอเลมนแทบไมพดถงเรอง “ควำมนำจะเปน”0-4

อยำงทกลำวไปในหวขอ 0-2 กำรคำดคะเนดวยวชำสถตนนตองน�ำ

ทฤษฎควำมนำจะเปนมำผสำนกบสถตเชงพรรณนำดวย คำเฉลยทเคยเรยนใน

สถตเชงพรรณนำจะกลบมำใหมเปนตวแปรควำมนำจะเปนทชอวำ คำคำดหมำย

สวนเบยงเบนมำตรฐำนของขอมลกกลบมำใหมในรปตวแปรควำมนำจะเปนท

ชอไมเปลยนวำ สวนเบยงเบนมำตรฐำน ผเขยนคดวำตรงทวธค�ำนวณเหมอนกน

แตใหมองเปนของคนละอยำงนเองทท�ำใหผเรยนสบสนอยำงหนก (สภำพจรง

ตอนผเขยนเรยนครงแรกกงงเชนกน)

EXAMPLE

6 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

แลวควำมสบสนตรงนนจะยงขยำยขนเมอเรยนสถตเชงอนมำนไปเรอยๆ

จนทำยสดกลำยเปนวำไมรวำอะไรเปนอะไรแลว

ตนเหตทท�ำใหสบสนคอความแตกตางระหวางสถตกบความนาจะเปน

นนอธบายยากวชำสถตวำดวยกลมของขอมลทเกบมำไดเปนการ “บรรยายสงท

เกดขนแลว” ขณะทควำมนำจะเปนคอการ “บรรยายสงทจะเกดในอนาคต”หำก

ยด“ปจจบน”เปนหลกแลวมองทงสองอำจมควำมหมำยตำงกนอยำงสนเชงแต

เมอเคลอนไปมำบนแกนเวลำควำมแตกตำงนนจะหำยไป

เพรำะ“เรองในอนำคต”เมอผำนพนไปกกลำยเปน“ขอมลทเกดขนแลว”

สวน “เรองในอดต” หำกยอนกลบไปยงจดของเวลำกอนหนำนนกจะกลำยเปน

“เรองทจะเกดขนในอนำคต”ดงนนพอสถตกบควำมนำจะเปนซงเหมอนกนกไมเชง

ตำงกนกไมเชงเชนนใชกำรค�ำนวณแบบเดยวกนอยำงคำเฉลยหรอสวนเบยงเบน

มำตรฐำนกนคนละแบบ จงชวนสบสน อกทงวธกำรในสถตเชงอนมำน (ซงจะ

อธบำยละเอยดอกครงในบทท 9 ของหนงสอเลมน) ยงมอง “ขอมลทไดมาแลว

ในอดตเสมอนเปนสงทจะเกดขนในอนาคต” อกดวย ฉะนนใครยงคดอยำง

ระมดระวงกยงสบสนเขำไปใหญรสกวำ“ไมรเรองเลยแมแตนอยวำท�ำอะไรอย”

เพอเลยงควำมสบสนแบบน หนงสอเลมนจงลองอำจหำญอธบำยโดย

“พยายามไมใชเรองความนาจะเปนเทาทจะท�าได”

ควำมจรงหำกลองเปดดหนงสอเลมนแบบผำนๆ จะเหนวำของตำยใน

ต�ำรำสถตเลมอนอยำงกำรจดหมnCkหรอตวแปรควำมนำจะเปนP(X=x)กลบ

ไมโผลมำแมแตนอยหนงสอเลมนจะเดนเรองไปโดยถอวาการท “คาขอมล x ใน

ชดขอมลคดวาเปน p% ของขอมลทงหมด” กบการท “หากสงเกตการณขอมล

1 ตวจากชดขอมล แลวมโอกาส p% ทจะมคาเปน x” คอสงเดยวกน

EXAMPLE

7บทท 0 วธทำ�คว�มเข�ใจ “วช�สถต” อย�งมประสทธภ�พและคอยเปนคอยไป

กำรท�ำเชนนเทำกบวำมองขำมกรอบทำงทฤษฎทนกวชำกำรดำนสถต

เชงอนมำนตงใจสรำงขนมำ ซงผเขยนกล�ำบำกใจ แตผเขยนคดวำนเปนวชำลบ

ทขำดไมไดหำกตองกำรเลยง ไมท�ำใหผ เรยนใหมจ�ำนวนมำกสบสน อกทง

ยงคำดวำผอำนทวไปคงไมรสกตะขดตะขวงใจนกตอกำรกระท�ำน

หนงสอเลมนอธบำยดวย “ชวงท�ำนำยถก 95%”0-5

ในทำงกลบกนผเขยนคดวำมจดหนงท“สมควรแยกแยะระหวำงอดตกบ

อนำคต” กลำวคอสวนวธคดทเปนพนฐำนของกำรทดสอบและกำรประมำณคำ

แบบชวง

ประเดนน ผเขยนจะเสนอแนวคดของตวเองทไมมอธบายในต�ารา

เลมอน เรยกชอตามค�าทผเขยนประดษฐเองวา “ชวงท�านายถก 95%” สงน

เปนกำรตควำมสถตเชงอนมำนตำมแบบของผเขยนเอง ซงในแงนนกอำจถก

ผเชยวชำญดำนสถตต�ำหนได แตผเขยนขอออกตวกอนวำเรองนเปนควำมถอมน

(ในทนคอถอมนในเชงปรชญำ)อยำงหนงในฐำนะคนทท�ำงำนเฉพำะทำงดำนทฤษฎ

กำรตดสนใจดวยทฤษฎควำมนำจะเปน อกทงเชอวำกำรตควำมนจะชวยสอ

แกนแทของแนวคดทำงสถตเชงอนมำนใหผเรมเรยนจ�ำนวนมำกเขำใจได ในแงน

เรองดงกลำวคงเปนจดทเสยงทสดและพรอมกนกเปนจดขำยมำกทสดของหนงสอ

เลมนดวยEXAMPLE

8 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

หนงสอเลมนแทบไมใชสญลกษณหรอสตรทำงคณตศำสตรเลย0-6

หนงสอเลมนท�ำใจดสเสอตดเนอหำเรองควำมนำจะเปนออกไป จง

ไมตองใชคณตศำสตรระดบสงกวำชนมธยมศกษำตอนปลำยเลย

ต�ำรำสถตเลมอนๆตอให“เบองตน”แคไหนเขยนให“งำย”อยำงไร

กตำม ตรำบเทำทยงเกยวของกบควำมนำจะเปนกไมอำจขจดคณตศำสตรขนสง

กวำระดบมธยมปลำยได ตองมทงเครองหมำยกำรจดหม ซกมำ คำคำดหวงของ

ตวแปรควำมนำจะเปนอกทงท�ำอยำงไรกตองมเครองหมำยและกำรค�ำนวณเรอง

อนพนธกบปรพนธโผลมำอยด

แตหนงสอเลมนไมมทงเครองหมายการจดหม เครองหมายซกมา และ

คาคาดหวงของตวแปรความนาจะเปน ทงยงขจดเรองอนพนธกบปรพนธอยาง

สมบรณ ใชคณตศาสตรเพยงระดบ ม.ตน แถมยงใชเพยงแคอสมการเชงเสน

กบการค�านวณรากทสองเทานน

ไมปฏเสธวำหำกท�ำใหงำยระดบนยอมขดขวำงไมใหเขำใจวชำสถต

ไดเตมรปแบบ กระนนผเขยนกยงเลอกวธดงกลำวเพรำะมองวำ “แนวคดและ

สาระส�าคญของวชาสถตสามารถถายทอดไดอยางเปนเรองเปนราวโดยไมตอง

ใชสญลกษณหรอสตรทางคณตศาสตรกได” และกลบกนเหนวำส�ำหรบผเรมตน

ทเปนภมแพคณตศำสตรจนไมเขำใจวชำสถต หำกเขำใจ “แกนแทบรสทธ” ของ

วชำสถตได กคงท�ำควำมเขำใจวชำสถตเตมก�ำลงทมคณตศำสตรพวงดวยจำก

หนงสอเลมอนไดแนEXAMPLE

9บทท 0 วธทำ�คว�มเข�ใจ “วช�สถต” อย�งมประสทธภ�พและคอยเปนคอยไป

ยงกวำนน หนงสอเลมนยงพยายามเขยนสตรสถตดวยค�าพดใหมาก

ทสดเทาทเปนไปได กำรทคนเรำเลยงอะไรทเกยวของกบคณตศำสตรเพรำะ

ไมถนดสญลกษณทำงคณตศำสตรนนวำไปแลวกนำเสยดำยไมตำงจำกกำรไมฟง

ดนตรเพรำะอำนโนตเพลงไมเปน ผเขยนคดวำไมวำใครคงเหนดวยวำ “แกนแท

ของดนตรไมไดอยทโนตเพลง” ดงนนผเขยนจงอยำกเสนอบำงวำ “แกนแทของ

วชาสถตกไมไดอยทสญลกษณทางคณตศาสตร”เชนกน

หนงสอเลมนมแบบฝกหดเตมค�ำอยำงงำย ใหเรยนไดดวยตวเอง0-7

สงทขำดไมไดในกำรเรยนสถตใหแตกฉำนกคอการลองฝกหดค�านวณ

ดวยมอ ดงนนทกบทในหนงสอเลมนจงมแบบฝกหดแนบทายอยดวยแบบฝกหด

เหลำนงำยอยำงยง มไวทดสอบเนอหำในบทนน อกทงยงจดไวใหเพยงเตมค�า

ตามล�าดบกแกออกฉะนนขอใหลองท�ำโจทยทงหมดดวย

ถำเชนนนกขอใหผอำนทงหลำยทถอหนงสอเลมนอยในมอสำมำรถอำน

หนงสอเลมนจนจบ ลอดซมประตเขำสโลกของวชำสถตไดส�ำเรจ อยำมวรอชำ

มำเรมตนบทเรยนกนเลย

EXAMPLE

สวนท 1

หลกสตรเรงรด ! จากสวนเบยงเบนมาตรฐาน ไปถงการทดสอบ/การประมาณคาแบบชวง

เปาหมายของสวนท 1 คอใหเหนภาพรวมอยางรวดเรววา

“วชาสถตมจดมงหมายอยางไร และมงสจดนนดวยแนวความคด

แบบไหน”

ครงแรกอธบายเกยวกบสถตเชงพรรณนาหรอกคอวธดง

ลกษณะเดนของขอมลออกมา ทงวธใชรปภาพอยางตารางแจกแจง

ความถกบฮสโทแกรม หรอวธค�านวณคาสถตอยางคาเฉลยกบ

สวนเบยงเบนมาตรฐาน เปนตน

โดยเฉพาะประเดนทวา “สวนเบยงเบนมาตรฐานคออะไร”

นน เราจะยกตวอยางหลากหลาย อธบายอยางละเอยดใหเขาใจ

ภาพของสวนเบยงเบนมาตรฐานแบบ “ตดอยในใจเสมอ” และม

ผลพลอยไดคอท�าใหเขาใจวาสวนเบยงเบนมาตรฐานเปนดชนท

ส�าคญตอการวดความเสยงของผลตภณฑทางการเงน

ครงหลงจะอธบายสถตเชงอนมานแบบนงรถดวนดวย

เครองมอนอยชนทสด เพอไปใหถงเปาหมายใหเรวทสด เรมตงแต

การแจกแจงปกตไปจนถงตวเอกของวชาสถตอยางแนวคดเรอง

การทดสอบและการประมาณคาแบบชวง

เมออานบทนจบแลว กคงเขาใจหวใจของวชาสถต

EXAMPLE

12 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

เพรำะมองขอมลดบแลวไมเหนอะไร จงใชสถต1-1

ในชวตประจ�ำวน เรำท�ำงำนกบขอมลกนไมมำกกนอย หำกท�ำกำรคำ

ขอมลส�ำคญทสดคงเปนจ�ำนวนลกคำหรอยอดขำยในแตละวน หำกเปนนกเรยน

ขอมลผลกำรเรยนกส�ำคญตอกำรศกษำตอสวนผใหญกกงวลเรองขอมลควำมดน

โลหตกบผลเลอดทกปเวลำตรวจสขภำพคงไมมใครใชชวตโดยไมยงเกยวกบขอมล

แตเมอขอมลเปนขอมลดบ(คอเปนเพยงตวเลขเรยงกนเปนสำย)ตอให

นงจองมองไปกจบควำมอะไรไมไดอยด ขอมลนนแสดง “โลกควำมจรงตำมท

เปนจรง”โดยเฉพำะในแงทวำ“มองเฉยๆ กไมรอะไร”แลว“ขอมล”กเหมอนกบ

“โลกควำมจรง”ไมผดเลย

º··Õè

ดงลกษณะเดนของขอมล

ดวยตารางแจกแจงความถกบฮสโทแกรม

1

EXAMPLE

13บทท 1 ดงลกษณะเดนของขอมลดวยต�ร�งแจกแจงคว�มถกบฮสโทแกรม

อยำงเชนลองดตำรำง1-1ตำรำงนแสดงขอมลของนกศกษำหญงจ�ำนวน

80คน(คดขอมล80ตวแรกจำกทงหมด200ตวในหนงสอ“Toukeikaisekino

hanashi(Tokyotosho)”ของSadaoIshimura)

ลองตงใจมองตวเลข80ตวนแลวสรปอะไรไดบำง?

ความสงของนกศกษาหญงจ�านวน 80 คน (เซนตเมตร)ตาราง 1-1

151 154 158 162

154 152 151 167

160 161 155 159

160 160 155 153

163 160 165 146

156 153 165 156

158 155 154 160

156 163 148 151

154 160 169 151

160 159 158 157

154 164 146 151

162 158 166 156

156 150 161 166

162 155 143 159

157 157 156 157

162 161 156 156

162 168 149 159

169 162 162 156

150 153 159 156

162 154 164 161

อยำงแรกทเหนไดชดอยำงยงคอ “ควำมสงของนกศกษำหญงไมได

เทากนหมด แตเปนตวเลขแตกตางกนไป”

คนกลมนเปนสวนหนงของ“สตรญปนทบรรลนตภำวะแลว”ควำมสงของ

สมำชกในกลมมคำตำงกนไปค�ำวำ“มคาตางกนไป”นเรยกเปนศพทเฉพำะทำง

วำ“มการแจกแจง”เหตทมกำรแจกแจงเพรำะเบองหลงสงทก�ำหนดตวเลขดงกลำว

ม“ความไมแนนอน”คอเรำมองวำมกลไกของควำมไมแนนอนทท�ำใหเกดตวเลข

กระจดกระจำยกนไป

EXAMPLE

14 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

อนง แมเรยกเพยงสน ๆ วำ “ควำมไมแนนอน” แตควำมไมแนนอน

เหลำนกม “แนว” หรอ “จดเดน” เฉพำะตวอยดวย เรำเรยกแนวหรอจดเดน

เฉพำะตวนนวำ“ลกษณะเดนของการแจกแจง”

แลวขอมลควำมสงชดนมจดเดนหรอแนวเฉพำะตวอยำงไรคนทคนเคย

กบกำรวเครำะหขอมลแคมองเฉยๆ กอำจสรปจดเดนหรอแนวไดจ�ำนวนมำกแต

คนปกตคงจะเหนเพยงตวเลขเรยงกนเปนสำยเทำนน

ตรงนเรำตองหำวธดงจดเดนหรอแนวของกำรแจกแจงทวำออกมำจำก

ขอมลดบหรอกคอ“ควำมเปนจรงแบบลนๆ”เชนนสกวธและวธกำรทวำกเรยก

วำ“สถต”นนเอง

เรำเรยกวธทใชในวชำสถตวำกำร“ยอ”กำรยอหมำยถงกำร “จดระเบยบ

ขอมลตวเลขจ�านวนมากทมาเรยง ๆ กนตามเกณฑสกอยาง ใหสกดเฉพาะ

ขอมลทมความหมายออกมาได” แบงกวำงๆม2วธคอ

➀ วาดเปนกราฟแลวจบลกษณะเดน

➁ ใชตวเลขตวหนงเปนตวแทนของลกษณะเดน

เรำเรยกตวเลขทเปนตวแทนนนวำ “คาสถต (statistic)”

วำดฮสโทแกรม1-2

จำกนจะอธบำยวธกำรยอเรมจำกขอ➀ วำวำดเปนกรำฟอยำงไรกรณ

วำดกรำฟจำกขอมลดบนยมใชกรำฟประเภท“ฮสโทแกรม(histogram)”มำกทสด

ถำอธบำยงำยๆ กคอ “แผนภมแทง” นนเอง แตกอนจะวำดกรำฟนตองเขยน

ตำรำงทเรยกวำตำรำงแจกแจงควำมถ (frequencytable)เตรยมไวกอนวธกำร

เขยนตำรำงกมดงน

EXAMPLE

15บทท 1 ดงลกษณะเดนของขอมลดวยต�ร�งแจกแจงคว�มถกบฮสโทแกรม

ขนท 1

หำขอมลตวทมำกทสด (คาสงสด (maximum)) และตวทนอยทสด

(คาต�าสด(minimum))ในบรรดำขอมลตวเลขทงหมด

↓ ขนท 2

ก�ำหนดขอบเขตอยำงเหมำะสม ใหเปนชวงตงแตคำสงสดไปหำคำ

ต�ำสดโดยประมำณแลวซอยขอบเขตนนเปนขอบเขตยอย(ชวงยอย)5ถง8ชวง

→ ชวงเหลำนเรยกวำ“อนตรภาคชน (class interval)”

↓ ขนท 3

ก�ำหนดคำทเปนตวแทนของแตละอนตรภำคชนโดยพนฐำนเลอกคำใด

เปนตวแทนกไดแตปกตมกเลอกคำตรงกลำง → คำนเรยกวำ“จดกงกลางชน”

↓ ขนท 4

นบจ�ำนวนขอมลทตกอย ในแตละอนตรภำคชน → คานเรยกวา

“ความถ (frequency)”

↓ ขนท 5

ค�ำนวณวำแตละชนมควำมถคดเปนสดสวนเทำใดเทยบกบทงหมด → คำนเรยกวำ “ความถสมพทธ (relative frequency)” อนง ความถสมพทธทงหมด

รวมกนได 1

↓ ขนท 6

ส�ำหรบแตละอนตรภำคชนค�ำนวณผลรวมควำมถ “จนถง”ชนนน →

EXAMPLE

16 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

คำนเรยกวำ “ความถสะสม (cumulative frequency)” ควำมถสะสมตวสดทำย

เทำกบจ�ำนวนขอมลทงหมด

ถำอยำงนนมำลองกบขอมลในตำรำง1-1 (ควำมสงของนกศกษำหญง

80คน)เมอครกนดกวำ(ดตำรำง1-2ประกอบ)

“ตารางแจกแจงความถ” ของความสงของนกศกษาหญง 80 คนตาราง 1-2

อนตรภาคชน จดกงกลางชน ความถ ความถสมพทธ ความถสะสม

141-145 143 1 0.0125 1

146-150 148 6 0.075 7

151-155 153 19 0.2375 26

156-160 158 30 0.375 56

161-165 163 18 0.225 74

166-170 168 6 0.075 80

ขนท 1

คำสงสดเทำกบ169คำต�ำสดเทำกบ143

ขนท 2

เลอกขอบเขตเปนเลขทสวยหนอยดำนใกล143เลอกเลข140ดำนใกล

169เลอกเลข170จำกนนก�ำหนดอนตรภำคชนเปนชวงตงแต140ถง170ถำ

แบงขอมลเปนชดละ5คำ(ซอยทละ5เซนตเมตร)จะไดอนตรภำคชน6ชนก�ำลง

พอดๆ(ดหลกแรกของตำรำง1-2ประกอบ)

EXAMPLE

17บทท 1 ดงลกษณะเดนของขอมลดวยต�ร�งแจกแจงคว�มถกบฮสโทแกรม

ขนท 3

เลอกคำตรงกลำงเปนจดกงกลำงชนอยำงเชนอนตรภำคชนทหนงมขอมล

ได5คำคอ141,142,143,144,145จงเลอกตวตรงกลำงคอ143แลวเมอ

เลอกจดกงกลำงชนของชนอนๆ แบบเดยวกนกจะไดดงหลกทสองของตำรำง1-2

ขนท 4

นบจ�ำนวนขอมล(ควำมถ)ของแตละอนตรภำคชน(ไลนบขอมลในตำรำง

1-1 ไปทละตว แลวทดดวยสญลกษณ “ ” ไวดำนซำยนอกตำรำง 1-2 กม

ประสทธภำพด)จะไดควำมถของชนตำงๆดงหลกทสำมของตำรำง1-2

ขนท 5

จบควำมถแตละชนหำรดวยจ�ำนวนขอมลทงหมดคอ80เพอหำควำมถ

สมพทธ ดหลกทสของตำรำง 1-2 ประกอบ (ใหลองตรวจดดวยวำทงหมดบวก

กนได1)

ขนท 6

หำผลรวมควำมถจำกขำงบนลงไปจะไดควำมถสะสม ดหลกทหำของ

ตำรำง 1-2 ประกอบ (ใหลองตรวจดดวยวำบรรทดทำยสดเทำกบจ�ำนวนขอมล

ทงหมดคอ80)

เทำนกไดตำรำงแจกแจงควำมถเรยบรอย ทนเรำลองมำดตำรำงกน

อยำงละเอยดดกวำ

สงส�ำคญอยำงแรกกคอเมอตตารางแจกแจงความถ จะเสยขอมลไป

บางสวน ถำมวำเสยขอมลอะไรไป เหนไดชดวำกคอเสย “คาของขอมลดบ”

ไปนนเอง

อยำงเชนลองดอนตรภำคชนทสของตำรำง1-2คอตงแต156เซนตเมตร

ถง160เซนตเมตรเรำรจำกควำมถวำชนนมขอมล30ตวแตสญเสยรำยละเอยด

EXAMPLE

18 สถตเบองตน เรยนพนฐานไดงาย ๆ ดวยตนเอง

ไปวำขอมล30ตวทวำนนแตละตวมคำเปนเทำไรนคอสงทเรำเสยไปเมอตตำรำง

แจกแจงควำมถขนมำยอขอมล

แตสงส�ำคญคอเรำกไดขอมลทมคำแลกกบกำรสญเสยนดวยเชนลองด

คำควำมถเรยงจำกชนทควำมสงนอยไปหำมำกมคำเปน1,6,19,30,18,6

ใชไหมจำกตรงนสรปลกษณะเดนของขอมลนไดวำ

❖ ลกษณะเดนอยำงแรก

ควำมสงไมไดแจกแจงแบบแผหลำ(แจกแจงสม�ำเสมอ)แตขอมลกระจก

กนรอบจดจดหนง (พดใหชดเจนคอตรงอนตรภำคชน156-160)

❖ ลกษณะเดนอยำงทสอง

ยงกวำนนเมอใชตรงทขอมลกระจกกนเปนจดอำงอง ไมวำจะขยบจำก

ตรงนนไปทำงสงหรอต�ำ คำกเปลยนไปแบบเดยวกน นนคอขอมลนำจะแจกแจง

แบบสมมาตรซายขวาเมอใชจดหนงเปนแกน

ดงนนนอกจำกรวำม “ควำมไมแนนอน” บำงอยำงอยเบองหลงกลไก

ก�ำหนดควำมสงของสตรญปนทบรรลนตภำวะแลว ยงรวำควำมไมแนนอนนนม

ลกษณะเฉพำะตวดวยเชน

➀ ควำมสงไมไดเปนไปไดทกคำ

➁ แตควำมสงกระจกกนรอบคำควำมสงหนง(รำว158เซนตเมตร)

➂ และเหนลกษณะเฉพำะตววำเมอใชจดดงกลำว (รำว 158 เซนต-

เมตร)เปนจดอำงองไมวำเคลอนไปทำงมำกกวำหรอนอยกวำ“ขอมลกดจะปรำกฏ

ไดยำกงำยคลำยกน”

EXAMPLE

ประวตผเขยน

ฮโรยก โคจมะ (Hiroyuki Kojima)

ศาสตราจารยประจ�าคณะเศรษฐศาสตร มหาวทยาลยเทเกยว และ

นกเขยนดานคณตศาสตร สาขาความถนดคอเศรษฐศาสตรเชงคณตศาสตร เกดป

ค.ศ. 1958 ทโตเกยว ส�าเรจการศกษาระดบปรญญาตรจากภาควชาคณตศาสตร

คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยโตเกยว และส�าเรจการศกษาปรญญาเอกท

บณฑตวทยาลยเศรษฐศาสตร มหาวทยาลยเดยวกน

งานเขยนทผานมา เชน

⋅ Kakuritsuteki hassouhou (วธคดเชงความนาจะเปน) ส�านกพมพ

NHK Books

⋅ Tsukaeru ! Kakuritsuteki shikou (คดเชงความนาจะเปนอยางนส

เขาทา !) ส�านกพมพ Chikuma Shinsho

⋅ Manga de wakaru bibunsekibun (เรยนแคลคลสจากการตน)

ส�านกพมพ Ohmsha

⋅ Zero kara manabu bibunsekibun (เรยนแคลคลสจากพนฐาน)

ส�านกพมพ Kodansha

⋅ Bunkei no tame no suugaku kyoushitsu (หองเรยนคณตศาสตร

ส�าหรบคนสายศลป) ส�านกพมพ Kodansha Gendaishinsho

และอนๆ อกมากEXAMPLE