การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ

1

A

T

m

L2

L1 จดหมน

R

A

O

a P

R

C B

T1

T2

A F

60 30

R r T

m

m

A

A

B 1 m 3

m F

20 cm

15 cm F

5 cm A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s)

200 100

-100

P (kg.m/s)

300

M

2M

0.4 m

0.2 m 1.0 m

V

R B C ต ำแหนงสมดล

y

x

2

บทท 4

เรอง การเคลอนทแบบตาง ๆ

1. การเคลอนทแบบโพรเจกไทล 2. การเคลอนทแบบวงกลม 3. การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย

ครชตชย โพธประภำ

3

พจารณาการเคลอนทของวตถ


4

พจารณาการเคลอนทของวตถ


5

สรป การเคลอนทเมอปลอยใหวตถตก ในแนวดงเปนการเคลอนทตกแบบเสร ในกรณทท าใหวตถเคลอนทไปในแนว ระดบนน ขณะเดยวกน จะตกแบบเสร ดวย การเคลอนทจะอยในแนวโคง เรยก วตถทมการเคลอนทแบบนวา การเคลอน ทแบบโพรเจกไทล (Projectile)


6

พจารณาการเคลอนทในแนวระดบ sx

sy vx

vy


7

ในแนวแกน x ความเรวมคาคงทเปน vx

ระยะทางในแนวแกน x เปน

sx = vx t


8

พจารณาการเคลอนทในแนวดง

ในการพจารณาการเคลอนทในแนวดง จะเหมอนกบการพจารณาการเคลอนท ของวตถทตกแบบเสร โดยมความเรงเปน g

vy = gt


9

2 kx y =

2

2 2 s

v

g s x

x

y =

สมการทไดเปนสมการของเสนโคง พาราโบลา ดงนนแนวการเคลอนทจงเปนไป ตามเสนโคงพาราโบลา


10

ตวอยาง 1 ขวางวตถในแนวราบดวยความ เรว 15 m/s จากขอบหนาผาสง 20 m ไปตก บนพนขางลาง กอนหนจะตกหางขอบหนา ผากเมตร


11

ตวอยาง 2 กระสนปนถกยงออกในแนวราบ จากหนาผาสง 160 m โดยมความเรวตน 20 m/s ความเรวของกระสนปนในแนวดง ขณะตกถงพนเปนกเมตร/วนาท


12

การหาการกระจด และความเรวลพธ ของวตถซงเคลอนทแบบโพรเจกไทล

sy

sx

sx

sy

d


13

22

yx ssd x

y

s

stan

d = sx + sy

sx

sx

sy

sy

d


14

การหาความเรวขณะหนงของการเคลอนท แบบโพรเจกไทล ณ จดใด ๆ บนแนวการ เคลอนท ความเรวลพธของ vx และ vy จะ อยในแนวเสนสมผสเสนโคงของการเคลอน ท ณ จดนน vx

vy v

b


15

ตวอยาง 3 ดดเหรยญออกจากขอบโตะสง จากพน 80 cm โดยใหเหรยญมความเรวตน อยในแนวระดบและมคา 3 m/s จงหาการกระจดและความเรวของเหรยญ ขณะกระทบพน


16

1. เดกคนหนงยนอยบนหนาผาสง แลวขวาง ลกบอลออกไปในแนวระดบ จงหาวาวตถจะ สงจากพนเทาไร หลงจากขวางลกบอล ออกไป ทเดกคนนจะเหนลกบอลเคลอนทใน ทศท ามม 45 0 กบแนวระดบ


17

2. เครองบนล าหนงบนไลเรอตอรปโด ซงวง ในแนวเดยวกนเครองบนบนในแนวระดบ ดวยความเรว 120 m/s สง 500 m เรอตอรป โดวงดวยความเรว 25 m/s ถานกบนตองการ ทงระเบดใหถกเรอ เขาจะตองทงระเบดเมอ เครองบนหางจากเรอเปนระยะเทาใดใน แนวราบ


18 ครชตชย โพธประภำ

19 ครชตชย โพธประภำ

20

u ux

uy

vx vy

A

vA vx B

vx

vy

C vC

vx

vy

D

vD


21

u ux

uy cosuux

sinuuy

tus xx

tusx cos

2

2

1gttus yy

2

2

1sin gttusy

cosu

st x


22

2

cos2

1

cossin

u

sg

u

sus xx

y

2

22 cos2tan xxy s

u

gss

xxy ssu

gs

tan

cos2

2

22


23

xxy ssu

gs

tan

cos2

2

22

cbxaxy 2

u


24

u ux

uy

sx

sy

ระยะทางทวตถเคลอนทไดในแนวแกน x เมอเวลาผานไป t

tusx cos


25

เมอวตถตกถงพนการกระจดของวตถใน แนวแกน y หรอ sy = 0

2

2

1sin gttusy จาก

2

2

1sin0 gttu

2

2

1sin gttu


26

g

ut

sin2

g

uT

sin2

เพราะฉะนนเวลาทใชในการเคลอนท ทงหมดคอ

g

uT

sin2


27

u ux

uy

sx

sy

g

uT

sin2

g

uR

2sin2

g

uH

2

sin22

tan4

1

R

H


28

1. ขปนาวธถกยงขนจากพนดนดวยความเรว 60 m/s ในทศท ามม 300 กบแนวระดบขปนา- วธนนลอยอยในอากาศเปนเวลานานเทาไร จงจะตกถงพน และขณะทอยจดสงสดจะอย สงจากพนเทาไร


29

2. ลกบอลถกขวางจากสนามหญามายงลาน หนาบาน ถาลกบอลลอยอยในอากาศนาน 3 วนาทโดยไมคดแรงตานอากาศ จงหาวาลก บอลขนไปไดสงสดเทาใด และความเรวทใช ขวางมคาเทาใด ถาลกบอลไปไดไกล 45 m ใน แนวระดบ


30

3. ขวางลกกอลฟจากหนาตางบานใหเคลอน ออกไปดวยความเรว 10 m/s ในทศท ามม 600 กบแนวระนาบ ลกกอลฟตกถงพนดนในเวลา 10 วนาท ลกกอลฟตกไดระยะทางในแนวราบ กเมตร


31

4. กอนหนถกขวางจากพนดนดวยความเรว 28 m/s ในแนวเอยงท ามม 300 กบพนดน จงหา 1) ความเรวของกอนหนและความสงทจด สงสด 2) เวลาทงหมดทกอนหนอยในอากาศ 3) กอนหนตกถงพนไดระยะทางไกลเทาใด


32

การเคลอนทแนววงกลม

o


33

วตถทเคลอนทแบบวงกลมไดนน ทศของ การเคลอนทจะเปลยนแปลงตลอดเวลา แสดงวาความเรวของวตถมการเปลยนแปลง แสดงวาตองมแรงมากระท ากบวตถใหเปลยน ทศการเคลอนท แรงดงกลาวเปนแรงตงเชอก มทศเขาหาจดศนยกลางของการเคลอนท


34

แรงทกระท าใหวตถซงเคลอนทในแนว วงกลมและมทศเขาสศนยกลางการเคลอนท เรยกวา แรงสศนยกลาง ขณะทเชอกขาด วตถ จะไมมแรงสศนยกลางมากระท า จะท าใหวตถ เคลอนทไปในทศของความเรวในแนวตรง ณ จดทเชอกขาด


35

การเคลอนทในแนววงกลมจะมลกษณะ เฉพาะคอเปนการเคลอนทแบบเลอนทแต วตถจะกลบมาซ ารอยเดม เมอเคลอนทครบรอบ ชวงเวลาทใชในการ เคลอนทครบ 1 รอบ เรยกวา คาบ ของการ เคลอนท ใชสญลกษณ T หนวยเปน วนาท/รอบ


36

และจ านวนรอบทวตถเคลอนทไดในหนง หนวย เวลาเรยกวา ความถ ของการเคลอนท ใชสญลกษณ f มหนวย คอ รอบ/วนาท หรอ เฮรตซ (Hz)

Tf

1


37

r

v พจารณาความเรวของวตถ

T r

v p 2 =

r f v p 2 = Fc


38

การทดลองการเคลอนทแนววงกลม

1. ศกษาความสมพนธระหวางคาบและ แรงสศนยกลางของการเคลอนท

2. ศกษาความสมพนธระหวางคาบและ รศมการเคลอนท


39

mg

F F sin F cos


40

2

1

TF

rT 2

F

rT 2

v

rT

p2

r

vF

2


41

o

A B C D

E

F G

H

vA vB

vC vD

vE

vF vG vH

ความเรงสศนยกลาง


42

AG vvv

vA

vG

vG

-vA

P

Q

v

A

o G

R r

AG

v

OG

v

OA

v GA

AG

v

OA

v

tvAG


43

tv

v

r

v

car

v

t

v

2

r

vac

2

r

mvFc

2

Fc

v


44

ac

ส าหรบวตถทมอตราเรวไมคงท

aT a 22

Tc aaa

cc maF


45

s r

อตราเรวของวตถ

อตราเรวเชงเสน คอระยะทางทวตถเคลอนท ไดตามแนวเสนรอบวงในหนงหนวยเวลา

t

sv


46

s r

อตราเรวเชงมม คอมมทรศมการเคลอนท กวาดไปไดในหนงหนวยเวลา

t


47

s r

r

s

fT

pp

22

rfT

rv p

p2

2

rv


48

r

vac

2

r

mvFc

2

rac

2

rmFc

2


49

fT

pp

22

rfT

rv p

p2

2

rv

r

vac

2

r

mvFc

2

rac

2

rmFc

2


50

1. การเคลอนทของวตถผกดวยเชอกแกวง เปนวงกลมบนโตะเกลยง

T

TFc


51

การเคลอนทของวตถผกดวยเชอกแกวง เปนวงกลมบนโตะฝด

T

fTFc

f


52

ตวอยาง วตถมวล 1 kg ผกตดกบเชอกยาว 1 m และเชอกทนแรงไดสงสด15 N จงหา อตราเรวเชงมมสงสดทจะไมท าใหเชอกขาด ถา 1) พนโตะลน 2) พนโตะมสมประสทธความเสยดทาน จลน 0.2


53

T1 T2 m1 m2

ถามมวล 2 กอนผกตดกน จะเคลอนทได ระยะ เชงมมเทากน แตระยะตามแนววงกลม ไมเทากน ดงนนอตราเรวเชงมมเทากน แตอตราเรวเชงเสนไมเทากน


54

ตวอยาง วตถมวล 1 kg และ 0.5 kg ผกตด กบเชอก 2เสนยาวเสนละ 1 m วตถทงสอง จะเคลอนทเปนวงกลมอยบนโตะราบทม สมประสทธความเสยดทานจลน 0.2 และเชอกแตละเสนทนแรงไดสงสด15 N จงหาอตราเรวเชงมมสงสดทจะไมท าให เชอกเสนใดเสนหนงขาด


55

2. การเคลอนทของดาวเทยม v

mg cFmg

r

mv

r

mGmE

2

2

r

Gmv E2


56

ตวอยาง ดาวเทยมเคลอนทเปนวงกลมรอบ โลกโดยมระยะหางจากผวโลกเทากบรศม ของโลก จงหาอตราเรวของดาวเทยมมคา เปนกเมตร/วนาท เมอความเรงเนองจากแรงโนมถวงของโลก ท 2R เทากบ 2.5 m/s2


57

ตวอยาง ถายานอวกาศสามารถปรบใหโคจร เปนวงกลมรอบดวงจนทรทระยะรศม 1.8x106 m จงหาคาบการโคจรครบรอบของ ยานอวกาศล านเมอความเรงเนองจากแรง โนมถวงทบรเวณนนเปน 1/6 เทาของความ เรงทผวโลก


58

3. เชอกแกวงเปนรปกรวย

l h

r

T cos T

T sin

mg T cos = mg 1

T sin = FC 2


59

g

a

g

r

rg

v c22

tan

l h

r

T cos T

T sin

mg

r = l sin

g

l

T

p

sin2

cos

sin2

g

lT

p

cos2


60

g

l

sin

cos

sin 2

l

g2

cos

l

g

l

h2

2

gh


61

ตวอยาง วตถมวล 200 g ผกเชอกยาว 1m แกวงเปนวงกลมในระนาบระดบ โดยเชอก เอยง 530 กบแนวดง จงหา 1) อตราเรวเชงมมของวตถ 2) คาบการเคลอนท 3) แรงตงเชอกขณะแกวง


62

4) แรงทท าใหวตถเคลอนทเปนวงกลมได ตล อดเวลา และความเรงสศนยกลาง 5) ถาเชอกทนแรงตงได 4 N เชอกจะเอยง จากแนวดงไดมากทสดกองศา


63

ตวอยาง ทรงกลมมวล 6 kg หมนรอบแกนดง เชอกจะขาดเมอความตงเชอกเทากบ 100 N จงหาอตราเรวเชงมมของทรงกลมเมอเชอก ขาด


64

ตวอยาง รถจกรยายยนตและผขบขมมวล รวมกน 300 kg แลนบนพนราบ ขณะเลยว เขาทางโคงหนงตองเอยงรถท ามม กบแนว ดงถา แรงลพธทพนถนนกระท าตอรถในแนว ผานจดศนยกลางมวลมคา 5000 N ใหหามม และแรงสศนยกลาง


65

ตวอยาง รถเลยวโคงบนทางราบดวยรศม 100 m มอตราเรวคงท 16 m/s จงหาคา สมประสทธความเสยดทานระหวางลอรถ กบถนนทนอยทสดทท าใหรถไมไถลออก นอกเสนทาง


66

5. รถเอยงบนทางโคง Ncos

Nsin


67

ตวอยาง รถจกรยานยนตคนหนงแลนบน ทางโคงซงเอยงท ามม 45 องศา กบแนว ระดบจงหาวารถจกรยายยนตจะแลนได เรวทสดเทาโดยปลอดภย เมอรศมความโคง ของถนนเปน 160 m


68

6.มอเตอรไซคไตถง

mg

N

f 2v

Rg


69

การเคลอนทแบบวงกลมในแนวดง

ac

aT ac

aT

ac

ac

22

Tc aaa รวม

อตราเรวแตละจดจะไมเทากน ครชตชย โพธประภำ

70

ตวอยาง ผกวตถมวล 1 kg ไวกบเชอกซงยาว 1 m แลวน ามาแกวงเปนวงกลมในแนวดง ขณะทวตถเคลอนทมาอยในแนวระดบ จะม อตราเรวเปน 10 m/s จงหาวาขณะนนจะม ความเรงลพธเปนเทาใด


71

T2

7. วตถผกเชอกแกวงเปนวงกลมในแนวดง

T3

T1

T4

mg

mg mg

mg

A

B

C

D

T1 - mg = FC T2 = FC T3 + mg = FC

T4 - mgcos = FC

A

B

C

D


72

ตวอยาง น าวตถมวล m ผกตดเชอกแลวแกวง เปนวงกลมในระนาบดง มรศม r อตราเรวท นอยทสดในวงกลมทวตถจะเคลอนทมวถ เปนวงกลมสมบรณไดจะมคาเทาไร


73

ตวอยาง ถาใชเชอกยาว 50 cm ซงทนแรงตง ไดสงสด 200 N ผกวตถมวล 2 kg แกวงเปน วงกลมในระนาบดง จงหาวาจะแกวงใหวตถ นเคลอนทดวยอตราเรวสงสดเทาไรเชอกจง ไมขาด


74

8. วตถกลงในวงโคง

mg N

N + mg = FC


75

mg

N

รถเคลอนทบนสะพานโคง

mg - N = FC


76

ตวอยาง รถยนตมวล 200 kg เคลอนทดวย ความเรว 15 m/s ขามสะพานโคงซงมรศม 33 m ขณะถงจดสงสดของสะพานจะมแรง กระท าตอสะพานเทาใด

N

mg

v


77

ตวอยาง รถไฟเหาะตลงกาเคลอนทบนราง โคงในระนาบดงรศม 5 m ขณะผานจดต าสด มความเรว 20 m/s จงหาวาแรงทคนกระท า ตอทนงเปนกเทาของน าหนกคน


78

ตวอยาง มวล m กระเดนหลดจากจดสงสด ของรปครงวงกลมลนไมมแรงเสยดทาน ดงรป จงหาวามวล m ตกถงพนหางจากผว ทรงกลมเทาใด

R x

mg


79

ตวอยาง รถยนตมวล 1200 kg ก าลงวงดวย อตราเรว v m/s ขามสะพานทจดสงสดของ สะพานซงมรศมความโคงในระนาบดง 12 m จงหาอตราเรว v ทพอดท าใหรถยนตเรมหลด จากความโคงของสะพาน mg


80

ตวอยาง นกขบรถโลดโผนมวล 80 kg ขรถ ไปตามรางวงกลม ซงระนาบของรางอยใน แนวดง ณ จดสงสดของการเคลอนทอตรา เรวเปน 360 km/hr และแรงระหวางตวเขา กบเบาะนงรถเปน 1/4 ของน าหนกตวเขา จงหารศมความโคงของราง


81

ตวอยาง เครองบนบนเปนรปวงกลมในแนว ดงรศม 8 m ขณะผานจดสงสดแรงทกระท า ตอคนเปร 1 ใน 4 ของน าหนกตนเอง จงหา อตราเรวขณะนน

N mg

8 m


82

A

ฟสกส วฟ41201

ครผสอน…ชตชย โพธประภา

เรอง การเคลอนท S.H.M

T

m

L2

L1 จดหมน

R

A

O

a P

R

C B

T1

T2

A F

60 30

R r T

m

m

A

A

B 1 m 3

m F

20 cm

15 cm F

5 cm A

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t(s)

200 100

-100

P (kg.m/s)

300

M

2M

0.4 m

0.2 m 1.0 m

V

R B C ต ำแหนงสมดล

y

x


83

การเคลอนทใด ๆ ซงเคลอนทกลบไปกลบ มาซ าทางเดม โดยผานต าแหนงสมดล และ คาบการเคลอนทคงตว เรยกการเคลอนท ในลกษณะนวา การเคลอนทแบบพรออดก (Periodic motion)


84

ส าหรบการเคลอนทแบบพรออดกทม กราฟการกระจดกบเวลา อยในรปของ ฟงกชนไซน (sine) หรอโคไซน (cosine) ทมความถคงท เรยกการเคลอนทลกษณะ นวา การเคลอนทแบบฮารมอนกอยางงาย (Simple Hamonic Motion : S.H.M)


85

x

x

t

t

ฟงกชน sin

ฟงกชน cos

x = xmsin t

x = xmcos t

t


86

y R y

tR

y sinsin

tRy sin


87

ก าหนดให ymax ,vmax, และ amax เปนคา สงสด ของการกระจด ความเรว และ ความเรง ของการเคลอนทของวตถแบบ S.H.M. ดงนน ymax= R vmax = R amax = 2R

tyy sinmax

tvv cosmax

taa cosmaxครชตชย โพธประภำ

88

y

v t

t a

t ครชตชย โพธประภำ

89

ระยะทางทสนคลน P เคลอนทไปไดใน หนงหนวยเวลา เรยกวา อตราเรวคลน( v )

จ านวนคลนทเคลอนทผานต าแหนงใด ๆ ในหนงหนวยเวลา เรยกวา ความถ ( f )

ชวงเวลาทคลนเคลอนทผานต าแหนงใด ๆ ครบหนงรอบคลน เรยกวา คาบ ( T )


90

fT

1

fv


91

เฟสของคลน เปนการก าหนดต าแหนงของการเคลอนท ทมลกษณะเปนรอบ โดยจะมความสมพนธ กบการกระจดของการเคลอนทนน


92

h

f g i

j a 0

b

p/2 c p

d

3p/2 e 2 p


93

y

v t

t a

t ครชตชย โพธประภำ

94

tRy sin

22cos yAtRv

ytRa 22 sin


95

ตวอยาง สมการ a = 10 cos t m/s2 และ v = 4 sin t สมการของการกระจด x จะเปนอยางไร


96

ตวอยาง อนภาคหนงเคลอนทแบบ S.H.M มการกระจดดงสมการ จงหา 1. อตราเรวสงสด 2. ความเรงสงสด 3. ความเรวของอนภาคนเมอม การกระจด 1 m

45.0cos0.2

ptx


97

ตวอยาง วตถอนหนงเคลอนทตามสมการ a = 8 cos 10t การกระจดสงสดของการ เคลอนทเปนกเมตร ความเรวสงสดเปน เทาไร


98

ตวอยาง เมอวตถมวล 0.1 kg เคลอนทเปน วงกลมในแนวดงดวยอตราเรวคงท 20 rad/s โดยรศมวงกลม 0.2 m ปรากฏเงาของวตถนบน ผนงหอง เคลอนทเปนซมเปลฮารมอนกในแนว ราบ จงหา ก. ขณะมมเฟส 37 องศา เงาซงเคลอนทเปน S.H.M จะมอตราเรวและขนาดความเรงเทาใด


99

ข. ขณะผานจดสมดล เงาซงเคลอนทเปน S.H.M จะมอตราเรว และขนาดของความ เรงเทาไร


100

การแกวงของลกตมนาฬกา (Simple Pendulum Motion)

g

LT p2


101

ตวอยาง ถาใชเชอกยาว 1.5 m ผกวตถมวล 0.1 kg แกวงใหเคลอนทเปนวงกลมในแนวระดบ ดวยอตราเรวคงท โดยเชอกเบนจากแนวระดบ เปน มม 370 เมอสองไฟวตถจะเกดเงาของวตถ บนก าแพงเคลอนทแบบ S.H.M จงหา ก. ความถในการเคลอนทแบบ S.H.M ข. ความเรงและความเรวขณะผานจดสมดล


102

ตวอยาง อนภาคหนงเคลอนทแบบ S.H.M. ดวยความเรงสงสด 8p m/s2 และอตราเรว สงสด 1.6 m/s จงหา ก. คาบของการเคลอนท ข. แอมพลจด


103

ตวอยาง ลกตมอนหนงผกเชอกยาว 4 m ท าใหแกวงในระนาบระดบโดยมการกระจด 50 cm จงหา ก. คาบการแกวง ข. ความเรวสงสดของลกตม ค. ความเรงสงสดของลกตม


104

การแกวงของวตถทผกตดปลายสปรง

kxF

k

mT p2


105

ตวอยาง รถทดลองมวล 500 g ตดอยกบ สปรง เมอดงดวยแรง 5 N ในทศขนานกบ พนจะท าใหสปรงยดออก 10 cm เมอปลอย รถจะเคลอนทกลบไปมาบนพนเกลยงแบบ S.H.M. ดวยคาบเทาไร


106

ตวอยาง หากผกวตถมวล m ตดกบสปรงใน แนวดง ดงมวลลงเลกนอยแลวปลอยใหสน พบวาสปรงมคาบการสน 2 วนาท ถาเพม มวลเขาไปอก 2 kg สปรงจะมคาบการสน 3 วนาท จงหาขนาดของมวล m ในหนวย กโลกรม


Education

การเคลื่อนที่แบบต่าง ๆ