บทที่1 เลขยกกำ�ลัง1.คว�มหม�ยของเลขยกกำ�ลัง

นิย�ม ถ้� a เป็นจำ�นวนใด ๆ และn “ เป็นจำ�นวนเต็มบวก a ยกกำ�ลัง n “ “ หรอื a กำ�ลัง n “

เขยีนแทนด้วยa มคีว�มหม�ยดังน้ี a = a a a a a ….. a (a คณูกัน n ตัว) จ�กนิย�ม จะเรยีก a ว�่เลขยกกำ�ลัง เรยีกa ว�่ ฐ�น และเรยีก n ว�่ เลขชีก้ำ�ลัง

ตัวอย�่ง เชน่ 1) 3 = 3 3 3 3 มี 3 เป็น ฐ�น และ มี4 เป็น เลขชีก้ำ�ลัง

2) (-5) = -5 -5 -5 มี -5 เป็น ฐ�น และ มี3 เป็น เลขชีก้ำ�ลัง

3) = มี เป็น ฐ�น และ มี2 เป็น

เลขชีก้ำ�ลัง

ตัวอย�่งที่1 จงเขยีนจำ�นวนต่อไปน้ีใหอ้ยูใ่นรูปของเลขยกกำ�ลังวธิทีำ� 1) 8 16 = (2 2 2) (2 2 2 2)

= 2 2 2 2 2 2 2= 2

2) 75 15 = (3 5 5) (3 5)= 3 5 5 3 5= 3 5

2. สมบติัของเลขยกกำ�ลัง ถ้� a , b เป็นจำ�นวนจรงิใด ๆ และ m , n เป็นจำ�นวนเต็มบวก

1) ก�รคณูเลขยกกำ�ลัง ถ้�เลขยกกำ�ลังมฐี�นเหมอืนกัน เมื่อคณูกัน ใหน้ำ�เลขชีก้ำ�ลังของตัวคณู

แต่ละตัวม�บวกกัน โดยใชฐ้�นตัวเดิม นัน่คือ a a = a เชน่ 2 2 = 2 =22) ก�รห�รเลขยกกำ�ลัง ถ้�เลขยกกำ�ลังมฐี�นเหมอืนกัน เมื่อห�รกัน ใหน้ำ�เลขชีก้ำ�ลังของตัวห�รไป

ลบเลขชีก้ำ�ลังของตัวตัง้ โดยใชฐ้�นตัวเดิม นัน่คือ a a = a เชน่ 3 3 = 3 = 33) เลขยกกำ�ลังซอ้น ใหน้ำ�เลขชีก้ำ�ลังม�คณูกัน

นัน่คือ (a ) = a เชน่ (3 ) = 34) เลขยกกำ�ลังของผลคณู ส�ม�รถกระจ�ยเป็นผลคณูของเลขยกกำ�ลังแต่ละตัว เมื่อมฐี�นคงเดิม

นัน่คือ (ab) = a b เชน่ (3p) = 3 p

5) เลขยกกำ�ลังของผลห�ร ส�ม�รถกระจ�ยเป็นผลห�รของเลขยกกำ�ลังแต่ละตัว เมื่อมฐี�นคงเดิม

นัน่คือ = เชน่ =

6) เลขยกกำ�ลังที่มเีลขชีก้ำ�ลังเป็นจำ�นวนลบ ส�ม�รถเขยีนใหเ้ป็นสว่นกลับของ

เลขยกกำ�ลังที่มเีลขชีก้ำ�ลังเป็นจำ�นวนบวกได้ นัน่คือ a = เชน่ x = 7) เลขยกกำ�ลังที่มเีลขชีก้ำ�ลังเป็นศูนย(์0) เลขยกกำ�ลังที่มเีลขชีก้ำ�ลังเป็นศูนย ์ (0) มคี่�

เท่�กับ1 เสมอ นัน่คือ a = 1 เมื่อ a 0 เชน่ 5 = 1

ตัวอย�่งที่2 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� 1) ( a b )(2a b ) = 2a b= 2a b

2) = 4x y

=4xy

3) =

=

ตัวอย�่งที่3 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็วธิทีำ� 1) (2x y ) = 2 (x ) (y )

= 4 x y

2) =

2

=

ตัวอย�่งที่4 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� 1) 2 8 = 2 (2 )= 2 2= 2 2= 2= 2

2) 3 81 = 3 (3 )= 3 3= 3= 3

ตัวอย�่งที่5 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็ และใหม้เีลขชีก้ำ�ลังเป็นบวก

วธิทีำ� 1) =

=

=

=

3

2) =

=

=

=

ตัวอย�่งที่6 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� 1) 5a = 5a (1)

=5a2) =

=

3) =

=

4) = 7 x y z= 7 x y z

ตัวอย�่งที่7 จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� 1) 5 10 2 = 5 (5 2

4

= 5 5 2 2= 5 2= 5 2

2) =

=

=

=

=

3) =

=

=

= = =

=

5

แบบฝึกหดัที่ 1.2

1. จงทำ�ใหอ้ยูใ่นรูปอย�่งง่�ย และมเีลขชีก้ำ�ลังเป็นบวก เมื่อ a , b , c , x , y , z 0 และ m , n , p, q เป็นจำ�นวนเต็ม1.1 1.8 (x y )(x y )

1.2 (-2) y 1.9 (a ) (a )

1.3 (2x y ) 1.10

1.4 (x yz ) 1.11 (5 )(5 )

1.5 1.12 (a ) (b ) (ab)

1.6 1.13

1.7 1.14

2. จงทำ�ใหอ้ยูใ่นรูปอย�่งง่�ย และมเีลขชีก้ำ�ลังเป็นบวก

2.1 2.4

6

2.2 2.5

2.3 2.6

3. ก�รบวก ลบ เลขยกกำ�ลัง ก�รบวก ลบ เลขยกกำ�ลัง จะทำ�ได้ก็ต่อเมื่อ เลขยกกำ�ลังนัน้มฐี�นเท่�กันและมเีลขชีก้ำ�ลังเท่�กัน

โดยก�รนำ�สมัประสทิธิข์องเลขยกกำ�ลังนัน้ม�บวกหรอืลบกัน ตัวอย�่ง เชน่

1) จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็ 2x + 5x = (2+5) x

= 7x2) จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็ a +9a -5a = ( 1+9-5) a

= 5aขอ้สงัเกต ถ้�เลขยกกำ�ลังท่ีมฐี�นเท่�กัน แต่เลขชีก้ำ�ลังต่�งกัน จะนำ�สมัประสทิธิข์องเลขยก กำ�ลังม�บวกหรอืลบกันไมไ่ด้ จะต้องใชว้ธิแียกตัวประกอบ ตัวอย�่ง เชน่

1) จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็ 2x +5x - 10x = 2x +(5x)x -(10x

)x= (2 + 5x – 10x )x

2) จงทำ�ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็ 6a - 3a +7a = 6a - 3a a +7a a= (6 –3a +7a )a

ตัวอย�่งที่8 จงทำ� ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� =

=

= =

7

ตัวอย�่งที่9 จงทำ� ใหเ้ป็นผลสำ�เรจ็

วธิทีำ� =

=

= 2 + 6x

แบบฝึกหดัที่ 1.2จงทำ�ใหอ้ยูใ่นรูปอย�่งง่�ย

1. 4a - 14a +20a2. c - b +4c +6c + 10b3. 3x - 5x + 4x - 6x4. 3ab - 6ab - 4ab + 5ab5. (3x - 2x + 8x +9 ) – (2x + 5x +2x –1)6.7.8.9.

8

9

10

11