Vibracion Forzada

Ortiz Pech Jorge

Universidad Autonoma de Yucatan

Facultad de Ingenierıa

Ingenierıa Mecatronica

Vibraciones Mecanicas

30 de octubre de 2014

Instructor: Dr. Aviles

1

Introduccion

En este documento se resuelven 4 ejercicios de vibraciones mecanicas para el caso de la vibracion forzadaque comprenden el capıtulo 3 y 4 de [1]. De manera general para la resolucion de los ejercicios habremos deconsiderar las definiciones de la variables en la vibracion amortiguada obtenidas de [1].

De la respuesta de un sistema amortiguado sometido a una fuerza de vibracion forzada tenemos la Tabla 1

Tabla 1: Ecuaciones Caracterısticas

Variable Igualdades Descripcion

ωn√k/m Frecuencia Natural no Amortiguada

ωd ωn√

1− ζ2 Frecuencia Natural Amortiguada

ζ c2mωn

= c2√mk

Factor de Amortiguamiento

δest F0/k Deflexion bajo fuerza estatica F0

r ω/ωn Relacion de Frecuencia

X δest√(1−r2)2+(2ζr)2

Amplitud de Soln. Particular

φ tan−1(

2ζr1−ζ2

)Fase de la soln. Particular

rXmax

√1− 2ζ2 Valor de r para X maximo en 0 < ζ < 1√

2(Xδest

)max

1

2ζ√

1−ζ2Valor maximo de X

Para las fuerzas externas periodicas y no sinusoidales, tenemos la siguiente ecuacion, que es la expansionen una serie de Fourier:

F (t) =a02

+

∞∑j=1

ajcos(jωt) +

∞∑j=1

bjsen(jωt) (1)

donde

aj =2

τ

∫ τ

0

F (t)cos(jωt)dt, j = 0, 1, 2, ... (2)

y

bj =2

τ

∫ τ

0

F (t)sen(jωt)dt, j = 1, 2, ... (3)

2

EJERCICIO 1

Un motor de automovil de cuatro cilindros se tiene que montar sobre tres amortiguadores, como semuestra en la figura 1. El ensamble de motor-bloque pesa 500 lb. Si la fuerza desbalanceada generada porel motor resulta de 200Sen(100πt), disene los tres amortiguadores (cada uno de rigidez ki y constante deamortiguamiento viscoso ci) de modo que la amplitud de vibracion sea menor que 0.1 in. Entonces tenemos :

m = 500 F0 = 200 Xmax = 0.1 ω = 100π

Recordamos que la ecuacion gobernarte para este sistema esta dada por:

mx+ cx+ kx = F0Sen(100πt) (4)

Figura 1: Motor de automovil de cuatro cilindros

Como es un sistema donde los amortiguadores estan en paralelo podemos asumir que el desplazamiento yla velocidad para cada uno de los amortiguadores seran iguales, de tal manera que la fuerza de rigidez de losresortes,Fk, esta dada por:

Fk = δ1ki + δ2ki + δ2ki

δ1 = δ2 = δ3

Fk = δ(ki + ki + ki) = δ(3ki) (5)

de la misma manera que en la ecuacion 5 para la rigidez equivalente del amortiguador, encontramos laconstante de amortiguamiento viscoso equivalente, teniendo ası las siguientes ecuaciones:

k = keq = ki + ki + ki = 3ki (6)

c = ceq = ci + ci + ci = 3ci (7)

3

Ahora bien de la Tabla 1 podemos observar las ecuaciones para obtener el valor maximo de la amplitud yel cual, segun este ejercicio, no debe de pasar de 0.1 in, ademas como el valor de ζ no esta definido suponemosun intervalo para 0 < ζ < 1√

2, donde el valor maximo ocurre como se muestra en la ecuacion 8, ası tenemos:

rXmax=

ω

ωn=√

1− 2ζ2 (8)

y (X

δest

)max

=1

2ζ√

1− ζ2(9)

Reacomodando las ecuaciones 8 y 9, y sustituyendo las equivalencias conocidas tenemos:

k(1− 2ζ2) = ω2m (10)

y

k(ζ√

1− ζ2) =F0

2Xmax(11)

luego entonces dividimos las ecuaciones 10 entre 11 y tenemos:

k(1− 2ζ2)

k(ζ√

1− ζ2)=

ω2m

F0/2Xmax(12)

Si sustituimos y reacomodamos la ecuacion 12, tomando n = ω2mF0/2Xmax

, la cual es una constante, obtenemos:

(4 + n2)ζ4 − (4 + n2)ζ2 + 1 = 0 (13)

Si solucionamos el polinomio de cuarto orden obtenido en la ecuacion 13, las unicas soluciones positivasencontradas es cuando ζ1 = 20.264236× 10−6 y ζ2 = 999.999999795× 10−3, por tanto utilizamos la ecuacion10 para obtener el valor de k, con ζ1

*:

k = 49.348× 106 lb/in

y posteriormente de hallamos c, con las ecuaciones de la Tabla 1

c = 2mωnζ = 6.366 lb− seg/in

Ası de esta manera tendremos que cada amortiguador se compondra de una rigidez ki = 16.449 lb/in yuna constante de amortiguamiento viscoso ci = 2.122 lb-seg/in.

*Si utilizamos ζ2 la rigidez k nos darıa negativa

4

EJERCICIO 2

Vibracion periodica de una valvula hidraulica

En el estudio de las vibraciones de valvulas utilizadas en sistemas de control hidraulico, la valvula y suvastago elastico se modelan como un sistema amortiguado de resorte-masa, como se muestra en la figura2(a). Ademas de la fuerza del resorte y de la fuerza de amortiguamiento, existe una presion de fluido sobrela valvula que cambia con la cantidad de apertura o cierre de la valvula. Encuentre la respuesta de estadoestable de la valvula cuando la presion en la camara varıa como se indica en la figura 2(b). Suponga quek = 2500 N/m, c = 10 N-s/m y m = 0.25 kg.

Figura 2: Vibracion periodica de una valvula hidraulica

Solucion: La valvula se puede considerar como una masa conectada a un resorte y un amortiguador porun lado y sometida a una funcion forzada F(t) por el otro. La funcion forzada se expresa como:

F (t) = Ap(t) (14)

donde A es el area de seccion transversal de la camara, dada por:

A =π(50)2

4= 625π mm2 = 0.000625π m2 (15)

y p(t) es la presion que actua sobre la valvula en cualquier instante de tiempo t. Como p(t) es periodicacomo periodo τ = 2 segundos y A es una constante, F(t) tambien es una funcion periodica de periodo τ = 2segundos. La frecuencia de la funcion forzada es ω = (2π/τ) = π rad/s. F(t) se expresa en la forma de unaserie de Fourier como:

F (t) =a02

+ a1cos(ωt) + a2cos(2ωt) + ...

+ b1sen(ωt) + b2sen(2ωt) + ... (16)

donde las ecuaciones 2 y 3 dan aj y bj . Como la funcion F(t) esta dada por:

F (t) =

{50, 000At durante 0 ≤ t ≤ τ

250, 000A(2− t) durante τ

2 ≤ t ≤ τ(17)

5

los coeficientes de Fourier aj y bj se calculan con ayuda de las ecuaciones 2 y 3:

a0 =2

2

[∫ 1

0

50, 000At dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)dt]

= 50, 000A (18)

a1 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atcos(πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)cos(πt)dt]

= −2× 105A

π2(19)

b1 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atsen(πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)sen(πt)dt

]= 0 (20)

a2 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atcos(2πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)cos(2πt)dt]

= 0 (21)

b2 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atsen(2πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)sen(2πt)dt

]= 0 (22)

a3 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atcos(3πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)cos(3πt)dt]

= −2× 105A

9π2(23)

b3 =2

2

[∫ 1

0

50, 000Atsen(3πt)dt+

∫ 2

1

50, 000A(2− t)sen(3πt)dt

]= 0 (24)

Del mismo modo, a4 = a6 = ... = b4 = b5 = b6 = ... = 0. Considerando solo los primeros tres armonicos, lafuncion forzada se puede escribir de forma aproximada como:

F (t) ' 25, 000A− 2× 105A

π2cos(ωt)− 2× 105A

9π2cos(3ωt) (25)

La respuesta de estado estable de la valvula a la funcion forzada de la ecuacion 25 se expresa como:

xp(t) =25, 000A

k−

2×105Akπ2√

(1− r2)2 + (2ζr)2cos(ωt− φ1)−

2×105A9kπ2√

(1− 9r2)2 + (6ζr)2cos(3ωt− φ3) (26)

La frecuencia natural de la valvula esta dada por:

ωn =√k/m =

√2500/0.25 = 100 rad/s (27)

y la frecuencia forzada la da:

ω =2π

τ= π rad/s (28)

Por lo tanto en la relacion de frecuencias de obtiene:

r =ω

ωn= π/100 = 0.031416 (29)

y la relacion de amortiguamiento:

ζ =c

2mωn=

10

2(0.25)(100)= 0.2 (30)

Los angulos de fase φ1 y φ3 se calculan como sigue:

φ1 = tan−1(

2ζr

1− r2

)= 0.0125664rad (31)

y

φ3 = tan−1(

6ζr

1− 9r2

)= 0.0380483rad (32)

De acuerdo con las ecuaciones 15 y 27 a 32, la solucion se escribe como:

xp(t) = 0.019635− 0.015930cos(πt− 0.0125664)− 0.00117828cos(3πt− 0.0380483) (33)

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Ahora procedemos a observar las graficas, de la funcion de entrada mostrada en figura 2(b) y su aproximacioncon la serie de Fourier, mostrada en la figura 3, y la respuesta a la vibracion de dicha entrada, mostrada en lafigura 4, donde se muestran las funciones de la ecuacion 33 con 2 y 3 terminos, respectivamente.

Figura 3: Aproximacion por Serie de Fourier

Figura 4: Respuesta de Estado Estable

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EJERCICIO 3

Respuesta a un Impulso

Primero consideramos la respuesta de un sistemas de un solo grado de libertad a una excitacion de impulso;este caso es importante al estudiar la respuesta ante excitaciones mas generales. Considere un sistemas deresorte-masa viscosamente amortiguado sometido a un impulso unitario en t = 0, como se muestra en lasfiguras 5(a) y (b). Para un sistema amortiguado, la solucion de la ecuacion de movimiento

mx+ cx+ kx = F (t) = Fδ(t) (34)

la da la ecuacion 35:

x(t) = e−ζωnt

{x0Cos(ωdt) +

x0 + ζωnx0ωd

Sen(ωdt)

}(35)

donde ζ, ωd y ωn estan definidas en la Tabla 1.

Figura 5: Sistema sometido a un Impulso

Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de la ecuacion 34,donde F = 1, otenemos:[m(s2 − sx0 − x0) + c(s− x0) + x

]X(s) = 1

o(ms2 + cs+ k)X(s) = mx+ (ms+ c)x0 + 1 (36)

Suponiendo una condicion inicial cero,x0 = x0 = 0, la ecuacion 36 se expresa como

(ms2 + cs+ k)X(s) = 1

o

X(s) =1

m(s2 + 2ζωns+ ω2n)

(37)

Ahora bien la ecuacion 37 se puede regresar al dominio del tiempo tomando la transformada inversa deLaplace, donde 1/m es una constante y, entonces, de la Tabla de pares de Transformada de Laplace delapendice D en [1], la ecuacion 37 no queda de la forma del par 27 en dicha tabla, obteniendo:

x(t) = g(t) =

(1

m

)1

ωde−ζωntSen(ωdt) (38)

8

La ecuacion 38 da la respuesta de un sistema de un solo grado de libertad a un impulso unitario, la cualtambien se conoce como funcion de respuesta de impulso, simbolizada por g(t). La funcion g(t), ecuacion 37,se muestra en la figura 5(c). Si la magnitud del impulso de F en lugar de la unidad, la velocidad inicial x0 esF/m y la respuesta del sistema se convierte en

x(t) =Fe−ζωnt

mωdSen(ωdt) = Fg(t) (39)

Si el impulso F se aplica en un tiempo arbitrario t = τ , como se muestra en la figura 6(a),modificara lavelocidad cuando t = τ por una cantidad F/m. Suponiendo que x = 0 hasta que se aplica el impulso, laecuacion 40 da el desplazamiento x en cualquier tiempo subsiguiente t, provocado por un cambio de lavelocidad en el tiempo τ , con t reemplazado por el tiempo transcurrido despues de la aplicacion del impulso;es decir, t− τ . Por lo tanto, obtenemos:

x(t) = Fg(t− τ) (40)

Esto se muestra en la figura 6(b).

Figura 6: Respuesta al Impulso

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EJERCICIO 4

Respuesta de una maquina compactadora

En la figura 7(a) se muestra una maquina compactadora, modelada como un sistema de un solo grado delibertad. La fuerza que actua en la masa m(m incluye las masas del piston, la plataforma y el material quese esta compactando) debido a una aplicacion repentina de la presion se puede idealizar como una fuerzagradual, como se muestra en la figura 7(b). Determina la respuesta del sistema suponiendo que el sistema essubamortiguado (es decir, ζ < 1).

Figura 7: Fuerza gradual aplicada a una maquina compactadora

Metodo: Use un modelo de resorte-masa-amortiguador de la maquina compactadora y la tecnica de latransformada de Laplace.

mx+ cx+ kx = f(t) (41)

Consideramos lo siguiente:

L {f(t)} = F (s) (42)

L {x(t)} = X(s) (43)

L {x(t)} = sX(s)− x(0) (44)

L {x(t)} = s2X(s)− sx(0)− x(0) (45)

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Luego entonces si consideramos la ecuacion 41 y aplicamos las transformadas de las ecuaciones 42 a la 45con x(0) = x0 y x(0) = x0, tenemos:

mL {x(t)}+ cL {x(t)}+ kL {x(t)} = L {f(t)}

m[s2X(s)− sx0 − x0

]+ c [sX(s)− x0] + kX(s) = F (s)

X(s)[ms2 + cs+ k

]− x0 [ms+ c]− x0[m] = F (s)

X(s) =F (s)

(ms2 + cs+ k)+

x0(ms+ c)

(ms2 + cs+ k)+

x0(m)

(ms2 + cs+ k)(46)

Solucion: La funcion forzada esta dada por:

F (t) =

{F0 durante 0 ≤ t ≤ t00 durante t > t0

(47)

Tomando la transformada de Laplace de la ecuacion diferencial rectora, ecuacion 46, reacomodando yconsiderando:

L {f(t)} = F (s) =F0(1− e−t0s)

s

tenemos:

X(s) =F0(1− e−t0s)

ms(s2 + 2ζωns+ ω2n)

+s+ 2ζωn

s2 + 2ζωns+ ω2n

x0 +1

s2 + 2ζωns+ ω2n

x0

X(s) =

(F0

m

)1

s(s2 + 2ζωns+ ω2n)−(F0

m

)e−t0s

s(s2 + 2ζωns+ ω2n)

+

(x0)s

s2 + 2ζωns+ ω2n

+ (x0 + 2ζωnx0)1

s2 + 2ζωns+ ω2n

(48)

La transformada inversa de la ecuacion 48 se expresa utilizando los resultados dados en el apendice D** de[1] como:

x(t) =

(F0

mω2n

)(1− ωn

ωde−ζωntSen(ωdt+ φ1)

)−(

F0

mω2n

)(1− ωn

ωde−ζωntSen(ωdt+ φ1)

)u(t− t0)

− (x0)

(ωnωde−ζωntSen(ωdt− φ1)

)+ (x0 + 2ζωnx0)

(1

ωde−ζωntSen(ωdt)

)(49)

donde φ = Cos−1(ζ); ζ < 1

**Para el segundo termino de la ecuacion 48 se utiliza el Segundo Teorema de Traslacion.El cual establece que L {f(t− a)u(t− a)} = e−asF (s) = e−asL {f(t)}, donde F (s) = 1

s(s2+2ζωns+ω2n)

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Reacomodando la ecuacion 49 nos queda:

x(t) =

(F0

mωnωd

)[−e−ζωntSen(ωdt+ φ1) + e−ζωn(t−t0)Sen(ωd(t− t0) + φ1)

]−(x0ωnωd

)(e−ζωntSen(ωdt− φ1)

)+

(x0 + 2ζωnx0

ωd

)(e−ζωntSen(ωdt)

)(50)

Referencias

[1] Rao S., Singiresu. Vibraciones Mecanicas. 2012. Quinta Edicion. Ed. Pearson Education.

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