Universidad Tecnolgica de Panam

Facultad de Ingeniera Elctrica

Dinmica Aplicada

Laboratorio #6

VIBRACIN TORSIONAL

Integrantes:

Alberto Alvendas 8-845-971

Aldahir Chan 8-859-360

Gregorio Mrquez 8-854-1915

Daysi Mendoza 8-856-675

Grupo:

1IE141

Instructor:

Said Zamn

Carrera:

Licenciatura en Ingeniera Electromecnica

Fecha:

18 de noviembre de 2013

INTRODUCCIN

Un sistema torsional masa-resorte inicia su vibracin cuando se aplica una condicin

inicial de posicin o velocidad. En este laboratorio analizamos el comportamiento de un

sistema torsional masa-resorte de un solo disco y de un sistema con discos satelitales

presentando los modelos matemticos para ambos casos.

Un sistema masa-resorte torsional vibrar libremente al desplazarse de su posicin de

equilibrio esttico. Posee una naturaleza conservativa, por lo que no est sujeto a

fuerzas no-conservativas. Para cada caso se determin el periodo, la frecuencia natural y

la frecuencia natural angular y compararlas con las obtenidas mediante el uso del

modelo matemtico terico. La ecuacin del movimiento oscilatorio es una ecuacin

diferencial de segundo grado con coeficientes constantes

Objetivo General

Desarrollar y analizar el modelo fsico y matemtico de un sistema disco-resorte

torsional, de un grado de libertad, bajo vibracin libre con movimientos de rotacin.

Objetivos Especficos

Determinar las caractersticas principales de los componentes de un sistema

dinmico torsional.

Obtener el modelo matemtico de un sistema disco-resorte torsional.

Determinar el momento masa de inercia de discos y barras con respecto al eje de

rotacin.

Determinar el momento masa de inercia de discos y barras con respecto al eje de

rotacin

Reconocer la importancia de la posicin de equilibrio esttico en el desarrollo

del modelo matemtico de un sistema.

Definir las condiciones iniciales de movimiento de un sistema.

Calcular la frecuencia natural (Hz) de la vibracin resultante a partir del periodo

medido

Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) de la vibracin libre resultante a

partir del periodo medido.

Calcular la frecuencia circular natural (rad/s) y el periodo natural de la vibracin

libre resultante a partir del modelo matemtico desarrollado.

Comparar los resultados obtenidos del modelo matemtico con los resultados

medidos. Explicar las diferencias en funcin de las aproximaciones y

simplificaciones hechas al desarrollar el modelo.

Comparar los resultados obtenidos al utilizar ms discos y la constante del

resorte. Explicar el efecto que tiene variar los discos (masa) y/o la elasticidad en

la frecuencia natural de un sistema

RESULTADOS Y ANLISIS

Clculo de masa de los elementos:

Masa de la barra:

Masa de disco satelital:

Masa del disco principal:

Tabla 1. Mediciones disco principal

L(cm) t(s)

65 3.84

55 3.31

45 3.14

35 2.7

25 2.3

Tabla2. Mediciones disco principal y satelital

Longitud (cm) t(s)

65 5.10

55 4.6

45 4.0

35 3.6

25 2.40

Tabla 3. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales angulares experimentales

disco principal.

T(s) fn wn

0.48 2.08 13.07

0.41 2.43 15.27

0.39 2.56 16.08

0.34 2.94 18.47

0.29 3.45 21.68

Tabla 4. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales angulares experimentales

disco satelital.

T(s) fn wn

1.27 0.79 4.96

1.15 0.87 5.47

1 1 6.28

0.9 1.11 6.97

0.6 1.67 10.49

Sistema de un solo disco principal:

Periodo est dado por:

Reemplazando en la primera ecuacin:

Tenemos que la frecuencia natural angular es:

Clculo de momento masa de inercia.

Sistema Disco satelital con tres discos:

El modelo matemtico est dado por la siguiente ecuacin:

Tenemos que la frecuencia natural angular est dada por:

Los valores para el momento masa inercial se calculan mediante las siguientes

ecuaciones:

Tabla 5. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales angulares tericos disco

principal.

T(s) fn wn

0.5 2 12.53

0.46 2.17 13.63

0.42 2.4 15.07

0.37 2.72 17.08

0.31 3.22 20.21

Tabla 6. Periodo, frecuencia natural y frecuencias naturales angulares tericos disco

principal.

T(s) fn wn

1.39 0.72 4.55

1.26 0.79 4.95

1.15 0.87 5.47

1.01 0.99 6.2

0.85 1.17 7.34

Modelo matemtico:

Dnde:

Condiciones Iniciales:

Resolviendo para las condiciones iniciales:

Para

Para

A partir de las condiciones iniciales obtenemos las expresiones para la posicin,

velocidad y aceleracin.

Tabla 7. Modelo matemtico para posicin, velocidad y aceleracin angular del sistema

de disco principal.

L= 65cm L= 35cm

Tabla 8. Modelo matemtico para posicin, velocidad y aceleracin angular del sistema

de disco satelital.

L= 65cm L=35 cm

Figura 1. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de sistema de un disco

principal para longitud libre.

Figura 2. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de sistema de un disco

principal para distancia media de la longitud libre.

Figura 3. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de sistema de discos

satelitales para longitud libre.

Figura 4. Grficas de posicin, velocidad y aceleracin angular de sistema de discos

satelitales para distancia media de la longitud libre.

PREGUNTAS

Compare las frecuencias naturales de oscilacin, para los sistemas disco-resorte

torsional obtenidas de forma experimental y analtica. Calcule y registre el

porcentaje de error. Explique las posibles fuentes de error en la realizacin del

laboratorio.

Tabla 9. Porcentaje de error de frecuencias naturales.

% Error

Longitud

libre

12.53 13,07 4.13

Mitad de

longitud

libre

17,08 18,47 7.52

Longitud

libre

4,55 4,96 8.27

1Mi 6,2 6,97 11.05

o Error al colocar el ngulo inicial para las oscilaciones del sistema debido al

pulso y a errores de visin por lo que el ngulo pudo variar en algunos

grados afectando el comportamiento del sistema

o Errores en las mediciones, aunque se intent disminuir aumentando el

nmero de oscilaciones para la medida del periodo, sin embrago en algunos

momentos se presentaron oscilaciones muy rapidas en las que se pudo

presentar error.

Qu aproximaciones son necesarias para la simplificacin del modelo

matemtico estudiado en el laboratorio?

Despreciamos la resistencia del aire que produce un amortiguamiento ante las

oscilaciones del resorte torsional. Asumimos que el material del que estn hecho

los componentes del sistema son homogneos.

A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el periodo y la

frecuencia natural el incrementar el momento masa de inercia de un sistema.

Al incrementar el momento de masa de inercia en el sistema disminuimos la

frecuencia natural mientras que aumenta el periodo natural del sistema. EN el

modelo matemtico vemos que la frecuencia es inversamente proporcional al

momento de inercia.

A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el periodo y la

frecuencia natural el disminuir el momento masa de inercia de un sistema

Disminuir el momento masa de inercia aumenta la frecuencia natural del sistema

y disminuye el periodo debido a que el resorte almacena menor energa para

desplazar la masa y esto se evidencia al observar la forma de la ecuacin del

modelo matemtico donde observamos que la frecuencia natural aumenta

cuando la masa de inercia disminuye.

A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el periodo y la

frecuencia natural el incrementar la elasticidad de un sistema

Al aumentar la elasticidad el periodo disminuye y aumenta la frecuencia natural.

Esto se debe a que necesitamos poca energa para desplazarlo sin embargo estos

desplazamientos son bastantes pequeos pero muy rapidos

A partir de los resultados explique qu efecto tiene sobre el periodo y la

frecuencia natural el disminuir la elasticidad de un sistema

Al disminuir la elasticidad el periodo aumenta y se disminuye con ella la

frecuencia natural debido a que las oscilaciones sern menores al disminuirse la

recuperacin de la forma original ante las fuerzas externas.

Cul es su conclusin general sobre las caractersticas dinmicas de un sistema

torsional?

El sistema torsional muestra caractersticas de pndulo sinple, disminuyendo la frecuencia natural cuando disminuye la elasticidad, la nica diferencia es la dependencia de esta del momento de masa inercial.

CONCLUSION

La frecuencia natural en movimiento torsional depende de muchas variables como lo son el material, su elasticidad y los elementos que lo conforman;

dependiendo de estos valores obtendremos una frecuencia natural menor o

mayor. Si la elasticidad de los materiales es baja la frecuencia natural tambin lo

es ya que la frecuencia natural es directamente proporcional a la elasticidad, sin

embargo si aumenta el momento de inercia disminuye la frecuencia natural esto

es as porque la fuerza restituiva de la elasticidad disminuye lo que disminuye

las oscilaciones, podemos observar que para el sistema de discos satelitales el

momento de ms inercia aumento y la frecuencia natural disminuyo para este

caso y es que el objetivo de estos discos es estabilizar el sistema.

Es importante conocer la vibracin de un sistema ya que esto puede causar problemas en el funcionamiento de los elementos y dispositivos mecnicos, por

lo que conocer la frecuencia natural y el modelo matemtico para disminuir en la

medida de lo posible las oscilaciones no deseadas.

Analizando los resultados obtenidos vemos que mediante el modelo matemtico utilizado el mayor porcentaje de error que obtenemos es de 11% por lo que e

aceptable para el sistema, sin embargo es necesario tener presentes los errores

presentes en el anlisis e intentar disminuir los efectos de estos. Identificando

posibles errores por el material de los elementos, coordinacin en la medicin

entre las personas encargadas de analizar el sistema y problemas de calibracin

de los instrumentos de medicin.

REFERENCIAS

Vibraciones mecnicas Singiresu S. Rao. Quinta Edicin

Budynas, Richard. Diseo en Ingeniera Mecnica de Shigley 9na Edicin,

MacGrawHill