VIBRACIN ARMNICA

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

CURSO: DINMICA

TEMA:VIBRACIN ARMNICA. VELOCIDAD Y ACELERACIN.ECUACIONES DIFERENCIALES DE MOVIMIENTO.

DOCENTE: ING.ESTELA UMPIRE JOHNNY JESUS

INTEGRANTES: ARANA ASTOPILCO, JEANPIERRE CERNA LOYOLA, MANUEL DIAZ DIAZ, DENIN JAVE ARTEAGA RICHARD OMAR ALVAREZ CASTRO MELAO

CAJAMARCA, 01 DE JULIO DE 2015

INDICE

Captulo 13OBJETIVOS3INTRODUCCION4MARCO TEORICO5Captulo 212EJEMPLOS12CONCLUSIONES19LISTA DE REFERENCIAS19

Captulo 1

OBJETIVOS

Objetivo general

1. Entender y comprender la definicion de vibracin armnica, velocidad y aceleracion , asi como las ecuaciones diferenciales de movimiento.Objetivos especficos2. Determinar los pasos que se siguen para poder realizar problemas relacionados con el tema de vibracin armnica, as como desarrollar la ecuacin diferencial de movimiento.3. Conocer las diversas aplicaciones que se le puede dar a una vibracin armnica dentro del campo de la ingeniera.

INTRODUCCION

Las vibraciones mecnicas se refieren a la oscilacin de un cuerpo o un sistema mecnico alrededor de su posicin de equilibrio. Algunas vibraciones son deseables, como por ejemplo el movimiento pendular que controla el movimiento de un reloj, ola vibracin de una cuerda de un instrumento musical. En cambio en muchas aplicaciones mecnicas no se desea la presencia de las vibraciones. As por ejemplo la vibracin excesiva de mquinas y estructuras puede ocasionar que se aflojen las uniones ylas conexiones llegandoen algunos casos a producir el colapso de la estructura.El estudio de las vibraciones es muy amplio de tal manera que existe un conjunto de publicaciones e investigaciones destinados al tema. Nuestra intencin en este trabajo es presentar los principios bsicos de las vibraciones que deben ser entendidos por los alumnos de ciencias e ingeniera y que sirven de base para el estudio de otros cursos de su especialidad.

MARCO TEORICO

VIBRACIN ARMONICA

Una vibracin es el movimiento peridico de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados desplazados de una posicin de equilibrio. En general existen 2 tipos de vibracin, libre y forzada. La vibracin libre ocurre cuando el movimiento se mantiene por fuerza gravitacional o elsticas, como el movimiento oscilatorio de un pndulo o la vibracin de una barra elstica. La vibracin forzada es provocada por una fuerza externa peridica aplicada al sistema. Ambos tipos de vibracin pueden ser amortiguadas o no amortiguadas. Las vibraciones no amortiguadas pueden continuar por tiempo indefinido porque los efectos de friccin se omiten en los anlisis. Como en realidad tanto las fuerzas de friccin externas como las internas estn presentes, el movimiento de todos los cuerpos vibratorios de hecho es amortiguado.El tipo ms simple de movimiento vibratorio es la vibracin libre no amortiguada representada por el modelo de bloque y resorte que se ilustra en la figura figura 1-(a)

El movimiento de vibracin ocurre cuando el bloque se suelta desde una posicin desplazada x de modo que el resorte tira del bloque. Esta alcanzara una velocidad de modo que dejara su posicin de equilibrio cuando X=0, y siempre que la superficie de soporte ese lisa, el bloque oscilara de un lado a otro.La trayectoria del movimiento dependiente del tiempo del bloque puede determinarse con la ecuacin de movimiento al bloque cuando est en la posicin desplazada x. El diagrama de cuerpo libre se muestra en la figura 1-(b)

La fuerza de restauracin elstica F=kx siempre est dirigida hacia la posicin de equilibrio, mientras que se supone que la aceleracin a actu en la direccin del desplazamiento positivo.

Como tenemos:

Observe que la aceleracin es proporcional al desplazamiento del bloque. El movimiento descrito de esta manera se llama movimiento armnico simple. Al reordenar los trminos en una forma estndar obtenemos:

. (1)

La constante n se llama frecuencia natural, y en este caso

... (2)

La ecuacin (1) tambin puede obtenerse si consideramos que el bloque est colgado de modo que el desplazamiento y se mide a partir de la posicin de equilibrio del bloque. Figura 2-(a)

Cuando el bloque esta en equilibrio, el resorte ejerce una fuerza dirigida hacia arriba de F = W = mg en el bloque. Por consiguiente cuando el bloque se desplaza una distancia y hacia debajo de esta posicin la magnitud de la fuerza del resorte es F=w + ky. Figura 2-(b)

Al aplicar la ecuacin de movimiento obtenemos:

O bien:

La cual es de la misma forma que la ecuacin 1, con n es definida por la ecuacin 2

La ecuacin (1) es una ecuacin diferencial lineal de segundo grado homognea con coeficientes constantes. Se puede demostrar por los mtodos de ecuaciones diferenciales, que la solucin general es :

. (3)

A y B representan dos constantes de integracin. La velocidad del bloque se determina por el clculo de derivadas con respecto al tiempo sucesivo, de lo cual resulta

(4). (5)

Cuando las ecuaciones (3) y (5) se sustituyen en la ecuacin (1) la ecuacin diferencial se satisface o que demuestra que la ecuacin (3) si es la solucin de la ecuacin (1)

Las constantes de integracin de la ecuacin (3) en general se determina a partir de las condiciones inciales del problema. Por ejemplo, suponga que el bloque de la figura 1-(a) se ha desplazado una distancia X1 a la derecha de su posicin de equilibrio y que eso le imprime una velocidad inicial (positiva) V1 dirigida a la derecha. Al sustituir X=X1 cuando t = 0 en la ecuacin (3) se obtiene B = X1. Y como V = V1 cuando t = 0, utilizando la ecuacin (4) obtenemos A = V1/ n .Si estos valores se sustituyen en la ecuacin (3), la ecuacin que describe el movimiento se hace

. (6)La ecuacin (3) tambin puede expresarse en funcin de un movimiento senoidal simple. para demostrar esto, sea:

.. (7) ... (8)

Donde C y son constantes nuevas que se determinaran en lugar de A y B. Al sustituir en la ecuacin (3) obtenemos

Y como, entonces

. (9)

Si esta ecuacin se traza sobre un eje x versus nt, se obtiene la grafica que se muestra en la siguiente figura

El desplazamiento mximo del bloque a partir de su posicion de equilibrio se define como la ampitud de vibracin. De acuerdo con la ecuacion (9) la amplitud es CEl ngulo se llama ngulo de fase puesto que representa la cantidad en la que la curva esta desplazada del origen cuando t = 0.Podemos relacionar estas dos constantes A y B por medio de las ecuaciones (7) y (8) al elevar al cuadrado y sumar estas dos ecuaciones la amplitud es

.. (10)

Si la ecuacin (8) se divide entre la ecuacin (7) el ngulo de fase es por tanto

.. (11)

Observe que la curva seno, ecuacin (9), completa un ciclo en el tiempo t = cuando n = 2, o

. (12)Este intervalo se llama periodo. Con la ecuacin (2), el periodo tambin puede presentarse como

.. (13)

Por ltimo, la frecuencia f se define como el nmero de ciclos completados por unidad de tiempo, lo cual es el recproco del periodo; es decir,

.. (14)O

.. (15)

La frecuencia de expresa en ciclos. Esta relacin de unidades se llama hertZ (Hz), donde 1 Hz = 1 ciclo = 2 rad/s.Cuando un cuerpo o sistema de cuerpos conectados experimenta un desplazamiento inicial a partir de su posicin de equilibrio y se deja libre, vibrar con una frecuencia natural, n .Siempre que el sistema tenga un grado de libertad, es decir, que se requiera solo una coordenada para especificar por completo la posicin del sistema en cualquier momento, entonces el movimiento vibratorio tendr las mismas caractersticas que el movimiento armnico simple del bloque y resorte que se acaban de presentar. En consecuencia, una ecuacin diferencial de la misma forma estndar que la ecuacion (1) describe el movimiento, es decir,

.. (16)

Por consiguiente, si se conoce la frecuencia natural n el periodo de vibracin , la frecuencia natural f y otras caractersticas de vibracin pueden establecerse con las ecuaciones (3) a (15).

PROCEDIMIENTO PARA EL ANLISISComo en el caso del bloque y el resorte, la frecuencia natural WB de un cuerpo o sistema de cuerpos conectados que tiene un grado nico de libertad se determinan por el siguiente procedimiento:Diagrama de cuerpo libre Trace el diagrama de cuerpo libre del cuerpo cuando este esta desplazado una pequea cantidad de su posicin de equilibrio localice el cuerpo con respecto a su posicin de equilibrio por medio de una coordenada inercial q apropiada. La aceleracin del centro de masa del cuerpo aG o la aceleracin angular del cuerpo debern tener un sentido de direccin supuesto, el cual est en la direccin positiva de la coordenada de posicin. si se tiene que utilizar la ecuacin de movimiento de rotacin , entonces puede ser util dibujar el diagrama cintico puesto que grficamente incluye las componentes, lo cual hace que sea conveniente para visualizar los trminos requeridos en la suma de momentos Ecuacin de movimiento Aplique la ecuacin de movimiento para relacionar las fuerzas de restauracin elstica o gravitacional y los momentos de par que actan en el cuerpo con su movimiento acelerado Cinemtica exprese con cinemtica el movimiento acelerado del cuerpo en funcin de la segunda derivada con respecto al tiempo de la coordenada de la posicin

sustituya el resultado en la ecuacin del movimiento y determine wb al reordenar los trminos de modo que la ecuacin resultante tenga la forma estndar .

Captulo 2 EJEMPLOS

Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplos de vibraciones mecnicas

1. Un objeto de 10 kg est suspendido por dos muelles idnticos de constante elstica K=500 N/m asociados en serie, y un amortiguador de tipo viscoso de constante c=90 Ns/m.

Calcular:a) Coeficiente de amortiguamiento crticob) Factor de frecuencias (_)

Resolucin:a) Constante equivalente (serie)

b) Factor de frecuencias

2. Un ingeniero que disea un sistema aislante de vibraciones para la consola de un instrumento modela esta y el sistema de aislamiento por medio del oscilador resorte-masa amortiguado de la fig. 10.14(a) con masa m= 2 kg, k= 8 N/m y c= 1N-s/m. Para determinar la respuesta del sistema a vibraciones externas, el supone que la masa esta inicialmente en reposo con el resorte sin estirar, y que en t=0 se aplica la masas de la fuerza.

F (t)= 20 sen 4t N.(a) Cul es la amplitud de la solucin particular (estado permeante)?(b) Cul es la posicin de la masa en funcin del tiempo?

Solucin:(a) La frecuencia circular natural del sistema no amortiguado es = = 2 rad/s. y la constante d = c/ (2m)= o.25 rad/s. por tanto la amplitud de la solucin particular es:Ep= = =0.822 m(b) Como d