CLASE VIBRACION LIBRE.pdf

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VIBRACIONES


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ONDA

UNO DE LOS CONCEPTOS MASIMPORTANTES DE LA INGENIERIASISMICA, ES LA ONDA.

EL ESTUDIO DE LOS MOVIMIENTOSOSCILATORIOS SE BASA EN OTROS MAS

SENCILLOS Y FACILES DE DETERMINAR,EL MOVIMIENTO CIRCULAR Y ELMOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE.


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PULSO DE ONDA

El movimiento de cualquier objetomaterial puede ser considerado comouna fuente de ondas.

Al moverse perturba el medio que lorodea y esta perturbación al propagarsegenera un pulso.


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TREN DE ONDA

Si las vibraciones del extremo sesuceden, se formará un tren de ondasque se transmite a lo largo de la cuerda.


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MOVIMIENTO OSCILATORIO OVIBRATORIO

LOS FENOMENOS VIBRATORIOS UOSCILATORIOS ESTAN PRESENTES ENLA NATURALEZA.

TODO CUERPO QUE POSEE MASA YELASTICIDAD SON CAPACES DE VIBRAR.

SON EJEMPLOS DE ESTE TIPO DEMOVIMIENTO, LOS PENDULOSFORMADOS POR OBJETOS QUE PENDENDE HILOS, LOS RESORTES QUE OSCILAN

SUJETOS A UN PUNTO FIJO,


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OSCILACION

LA OSCILACION ES UN MOVIMIENTO DEVAIVEN QUE ALCANSA UNA CIERTAAMPLITUD A AMBOS LADOS DE UNPUNTO FIJO.

ESTE PUNTO SE LLAMA POSICION DE

EQUILIBRIO Y SE ELIGE COMO ORIGENDE REFERENCIA EN LA DESCRIPCIONDEL MOVIMIENTO.


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MOVIMIENTO OSCILATORIO PERIODICO

EN ESTE MOVIMIENTO LA PARTICULADESCRIBE UNA TRAYECTORIA QUE SEREPITE CADA CIERTO TIEMPO,DENOMINADO PERIODO Y SE

SIMBOLOZA POR T


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T=PERIODOTIEMPO EN QUE EL SISTEMA DEMORA EN COMPLETAR UN CICLOA=AMPLITUDELONGACION MAXIMA


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MOVIMIENTO CIRCULAR

ES UN MOVIMIENTO PERIODICO NOOSCILATORIO, QUE RECORRE UNACIRCUNFERENCIA DE MANERAPERIODICA.


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POSICIÓN DE UN PUNTO EN UN MOVIMIENTO CIRCULAR


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X=A*sen(wt)


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X=A*sen(wt+F)


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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

ES UN MOVIMIENTO QUE DESCRIBEUNA PARTICULA QUE SE DESPLAZA AAMBOS LADOS DE UN PUNTO DEEQUILIBRIO QUE SE TOMA COMOORIGEN.

LA POSICION QUE OCUPA LA

PARTICULA EN UN MOMENTO DADO SEDENOMINA ELONGACION, Y SU MAXIMASEPARACION CON RESPECTO ALORIGEN SE DENOMINA AMPLITUD.


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X=A*sen(wt+F)


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CLASE DEVIBRACIONES


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VIBRACIONES LIBRENO AMORTIGUADA


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UNA ESTRUCTURA ESTA EN VIBRACIONLIBRE CUANDO ES PERTURBADA DE SU

POSICION ESTATICA DE EQUILIBRIO YCOMIENZA A VIBRAR SIN LAAPLICACIÓN DE UNA FUERZA EXTERNA.


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NEWTON:F=m ̈


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EQUILIBRIO DINAMICOPRINCIPIO DE D’LAMBERT

m ̈+kX=0


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m ̈+kX=0

̈+(

)X=0

ω²

=

̈+ω²X=0

ECUACION DIFERENCIAL DESEGUNDO ORDEN


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SOLUCIONES PARTICULARES

X=A*Sen(ω*t)X=B*Cos(ω*t)

SOLUCION GENERAL

X=A*Sen(ω*t) + B*Cos(ω*t) 1


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DERIVANDO ̇=AωCos(ωt)-Bωsen(ωt) 2

̈= -Aω²Sen(ωt)-Bω²Cos(ωt) 3

CONDICIONES INICIALES t=oDe 1 B=xDe 2 A=

ω

Remplazando en 1

X=

ω *Sen(ω*t) + x*Cos(ω*t)


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X= =

ω *Sen(ω*t) + x*Cos(ω*t)

ω= C*CosØ

= C*SenØ

X=C*CosØ*Sen(ω*t)+C*SenØ*Cos(ω*t)

X=C∗Sen(ω t + Ø)


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T=PERIODO T=∗

f=FRECUENCIA f=

C=AMPLITUD (Es la Máxima elongación)


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VIBRACIONES LIBREAMORTIGUADA


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CUANDO UN SISTEMA OSCILATORIO, ESTA SOMETIDO AROSAMIENTO, LA DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO ES MAS

COMPLICADO.

EL ROSAMIENTO SE DESCRIBE COMO UNA FUERZA DEAMORTIGUAMIENTO, QUE ES PROPORCIONAL A LA VELOCIDAD.

POR LO QUE LA ECUACION DIFERENCIAL QUE GOBIERNA

DICHO MOVIMIENTO ES:,

m ̈+c

̇+kX=0 1

c=constante de amortiguamiento


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Ecuación diferencial lineal de segundo orden, lasolución tiene la forma:

x=C

derivando y remplazando en 1

mCλ² + cCλ + k C=0

Factorizando elementos comunes:

C(mλ² + cλ + k)=0


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no puede ser cero, por lo que para que cumpla

(mλ²+cλ +k)=0

λ1 =-

+

−

λ2 =-

-

−

Por lo tanto, la solución general de la ecuación 1,esta dada por:

x=A + B


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1.- SISTEMA CON AMORTIGUACION CRITICAEscogiendo la expresión bajo el radical:

−

= 0 ω =

Definimos el amortiguamiento critico.

ccr =2*

ccr =2*m*ω ccr =∗

ω

λ1= λ2 =-

ccr ∗

= ω


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La ecuación 1 lo dividimos por m:

̈+ ̇+X=0 2

Al segundo termino de la ecuación 2, lomultiplicamos y dividimos por ccr.

̈+ccr

ccr

̇+

X=0 3

β=c

ccr Factor de amortiguación

c= 2βmw


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remplazando : ccr = 2mw obtenemos:

̈ +2mwccr

̇ +

X = 0

Reagrupando:

̈ + 2w

ccr

̇+

X=0

Remplazando β=cccr


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Remplazando β=cccr

β = factor de Amortiguación

̈ + 2β w ̇ +

X = 0

̈ + 2β w ̇ + w² X = 0


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La solución para un sistema

amortiguacion critica C=Ccr,

β=c

ccr = 1

LA SOLUCION

̈ + 2 w ̇ +

X = 0

X(t)=(A + B*t)*


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2.- SISTEMA SUB AMORTIGUADO C


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COMBINCION AMORTIGUACION CRITICA Y SUBAMORTIGUACION


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3.- SISTEMA SOBREAMORTIGUADO C>Ccr, β> 1

en este caso : λ1 y λ2 son números reales, lasolución es:

El movimiento no es vibratorio, elamortiguamiento es tan fuerte que cuando elbloque se desplaza y queda libre, regresa a su

posición original sin oscilar.

x=A + B


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