53

2. O STABILNOSTI STANJA MEHANIKOG SISTEMA

Matematiki modeli uvek predstavljaju idealizaciju razmatranog sistema jer je

nemogue sagledati i opisati u potpunosti sve njegove karakteristike koje mogu

da utiu na njegovo stanje 1)

. Usled toga, stvarna kretanja uvek odstupaju od

konanih jednaina koje se dobijaju kao teorijska reenja. Ukoliko su ta

odstupanja zanemarljiva ili u zadovoljavajuim granicama smatra se da teorijska

reenja praktino mogu da predstavljaju stvarno kretanje. Meutim, u nekim

sluajevima kretanje koje je odreeno teorijski dobijenim reenjima nije mogue

realizovati. Na primer, za neke sisteme, mogu da budu ispunjeni uslovi

ravnotee, ali je nije mogue praktino i ostvariti. U tom smislu, stanje sistema,

opisano matematikim modelom, moe biti stabilno ili nestabilno. Konana

reenja diferencijalnih jednaina ili uslovi ravnotee ne daju neposredan odgovor

na pitanje da li je stanje sistema, opisano datim matematikim modelom,

stabilno ili nestabilno. Zbog toga, za ispitivanje stabilnosti, u razmatranje se

uvodi poremeeno stanje. Na taj nain se otkriva uticaj parametara sistema na

stabilnost stanja, to daje mogunost da se njihovim biranjem sistem ponaa

stabilno ili nestabilno, po elji. Time je teorija stabilnosti usko povezana sa

teorijom diferencijalnih jednaina. Iako se teorija stabilnosti zaela u mehanici,

ona danas ima optiji znaaj i primenjiva je na sve procese koje determinie

poetno stanje i iji matematiki modeli predstavljaju diferencijalne jednaine

istog tipa (dinamiki sistemi).

2.1. Osnovne postavke problema

2.1.1. Neporemeeno i poremeeno kretanje. Poremeaji.

Neka je stanje holonomnog mehanikog sistema odreeno Lagranovim

promenljivim ),,1( , nqq , tako da je kretanje sistema opisano Lagranovim diferencijalnim jednainama druge vrste:

).,,1( nQq

T

q

T

dt

d

(2.1.1)

Za neko uoeno poetno stanje:

),,1,( ;;000

nqqt (2.1.2)

reavanjem jednaina (2.1.1), dobijaju se jednaine stanja sistema:

),1,( ),,;( ),,,;(000000

nqqttqqqqttqq . (2.1.3)

Ova reenja predstavljaju neporemeeno stanje (neporemeeno kretanje)

sistema.

1)

Zbog toga pojmovi realna mehanika, realni modeli i sl. nemaju smisla.

54

Ako se u istom poetnom trenutku 0

t uvedu u razmatranje drugi poetni uslovi:

),,1,( ;;000

nqqt (2.1.4)

reavanjem jednaina (2.1.1) dobijaju se jednaine stanja:

),,1,( ),,;( ),,,;(000000

nqqttqqqqttqq (2.1.5)

koje predstavljaju poremeeno stanje (poremeeno kretanje) sistema u odnosu

na, prethodno razmatrano, neporemeeno stanje. U daljem izlaganju, za

jednaine (2.1.3) neporemeenog i jednaine (2.1.5) poremeenog kretanja

koristie se krae oznake:

);( ),( tqqtqq ).,1,( )( ),( ntqqtqq (2.1.6)

Razlike:

, ),1,( (t))()( ),()()( ntqtq ttqtq (2.1.7)

nazivaju se poremeaji, a njihove vrednosti u poetnom trenutku:

),1,( )( ,)(0000

ntt , (2.1.8)

nazivaju se poetni poremeaji.

Prema tome, ako se zna neporemeeno stanje, proizvoljno poremeeno stanje

dobija se uvoenjem poremeaja. Poremeaji predstavljaju odstupanja

poremeenog stanja od neporemeenog, pa jednaine neporemeenog kretanja, u

tom smislu, imaju oblik:

),1,( ,0)( ,0)( ntt . (2.1.9)

q

)(tM

)(tM

0

M

0

M

O q

sl. 5

55

Na sl. 5 prikazane su trajektorije poremeenog i neporemeenog stanja u

dvodimenzionom prostoru koordinata stanja qq , sistema sa jednim stepenom slobode. Neporemeena trajektorija predstavljena je punom linijom i kretanje

reprezentativne take M po njoj karakterie promenu neporemeenog stanja.

Taka 0

M predstavlja poetno stanje sistema u nekom uoenom poetnom

trenutku 0

t . Ako se u istom poetnom trenutku uvede u razmatranje neko drugo

poetno stanje 0

M (poremeeno poetno stanje), stanje sistema bie

poremeeno u odnosu na neporemeeno i za 0

tt . Kretanje reprezentativne

take M po odgovarajuoj trajektoriji (isprekidana linija) karakterie promenu

poremeenog stanja. Uvoenjem poremeaja (2.1.7) u odnosu na neporemeeno

stanje, o poremeenom stanju sistema moe se suditi na osnovu ponaanja

poremeaja. U tom cilju pogodno je koristiti prostor poremeaja u kome

poremeaji , predstavljaju koordinate reprezentativne take. Pri tome,

neporemeeno kretanje (2.1.9) predstavljeno je jednom takom koordinatnim

poetkom.

0

P

P

O

sl. 6

Na sl. 6 neporemeeno kretanje prikazano je koordinatnim poetkom O , a

poremeeno kretanje krivom putanjom take P pri emu su poremeaji

koordinate vektora poloaja OP .

Ako se za poremeaje uvedu oznake:

ni

ixi

,

, )2,,1)(,,1( nmin , (2.1.10)

poremeeno kretanje u odnosu na neporemeeno odreeno je, u prostoru

poremeaja, n2 dimenzionim vektorom x

56

nxxx 221T ,,, x . (2.1.11)

Kada se kretanje sistema razmatra u faznom prostoru u Hamiltonovim

(kanonskim) promenljivim

pq , , poremeeno kretanje odreeno je

promenljivim

pq , , tako da su poremeaji:

ni

i

pp

qqxi

,

, )2,,1)(,,1( nmin . (2.1.12)

Iako je ovde upotrebljena ista oznaka ix za poremeaje kao i u (2.1.10), one

nemaju istu vrednost. Meutim, u oba sluaja one daju ekvivalentna razmatranja

poremeenog kretanja.

Da bi se moglo govoriti o meri odstupanja poremeenog kretanja od

neporemeenog, prostor poremeaja )2( nmRm treba normirati. Za

konanodimenzione prostore sve norme su ekvivalentne. Neke od normi vektora

koje se najee koriste su:

i

mi

m

i

im

i

i xxx

111

2 max , ,)(21

xxx . (2.1.13)

2.1.2. Jednaine poremeenog kretanja

Neka je kretanje mehanikog sistema opisano Lagranovim jednainama druge

vrste. Za razmatranje poremeenog stanja pogodno je koristiti kontravarijantne

jednaine (videti npr. (1.8.42)) koje se mogu dovesti na oblik:

),1,( );;( nqqtFq . (2.1.14)

Za date poetne uslove 00,0 ,qqt iz ovih jednaina dobijaju se jednaine

neporemeenog stanja:

),1,( )( ),( ntqqtqq . (2.1.15)

Poremeeno kretanje zadovoljava sistem Lagranovih jednaina:

),1,( );;( nqqtFq . (2.1.16)

Uvoenjem poremeaja (2.1.7), promenljive poremeenog stanja mogu da se,

izraze na sledei nain:

qqqq , , (2.1.17)

tako da jednaine (2.1.16) dobijaju oblik:

57

).;;( qqtFq (2.1.18)

S obzirom na (2.1.17) i (2.1.14) dobija se:

, );;();;( qqtFqqtF ),,1( n . (2.1.19)

Kada se poznato neporemeeno stanje dato jednainama (2.1.15) uvrsti u ove

jednaine, one dobijaju oblik:

).,1,( ),;( , ntf (2.1.20)

Ovaj sistem od n2 diferencijalnih jednaina prvog reda predstavlja

diferencijalne jednaine poremeenog stanja (kretanja) sistema1)

.

Ovde treba primetiti da se vreme javlja eksplicitno u ovim jednainama i u

sluaju kada ono ne figurie eksplicitno u jednainama (2.1.14). Do toga dolazi

posle unoenja poznatih funkcija (2.1.15) u jednaine (2.1.19).

Na slian nain, ako je kretanje sistema zadato u Hamiltonovom obliku:

),1,( ),;(~

, npqtQq

Hp

p

Hq

, (2.1.21)

za date poetne uslove

000,, pqt dobijaju se jednaine neporemeenog kretanja:

),1,( )( ),( ntpptqq

. (2.1.22)

Uvoenjem poremeaja

, poremeeno kretanje je:

),,1,( , nppqq

(2.1.23)

tako da Hamiltonove jednaine (2.1.21) za poremeeno kretanje dobijaju oblik:

).;;(~

);;(

);;(

pqtQpqtHq

p

pqtHp

q

(2.1.24)

Kada se od ovih jednaina oduzmu odgovarajue jednaine (2.1.21) i kada se

uzme u obzir da su funkcije (2.1.22) poznate, dobijaju se diferencijalne

jednaine poremeenog kretanja:

1)

Ovaj naziv nije u potpunosti taan, ali se kao takav koristi u literaturi to e se

praktikovati i u ovom tekstu. Tanije jednaine (2.1.20) su jednaine poremeaja, a

jednaine poremeenog kretanja su (2.1.16).

58

),,1( ),;( ),,;( ntt

, (2.1.25)

gde su:

).;();;( pqtHp

pqtHp

,

).,;(~

);;(~

).;();;( pqtQpqtQpqtHq

pqtHq

Prema tome, jednaine (2.1.20) i (2.1.25) pripadaju jednoj optoj klasi

diferencijalnih jednaina prvog reda:

),1,( ),,,;( 21 mixxxtXx mii . (2.1.26)

U razmatranim mehanikim sistemima veliine ix predstavljaju poremeaje

stanja (videti (2.1.10),(2.1.12)). Uvoenjem vektora poremeaja x (2.1.11) i

vektorske funkcije ),( xX t jednaine (2.1.26) mogu da se piu simboliki u

obliku

),( xXx t . (2.1.27)

Konana reenja diferencijalnih jednaina (2.1.26), odnosno (2.1.27), za neke

poetne poremeaje 00

,xt ,

)( ),1,( )( tmitxx ii xx , (2.1.28)

predstavljaju jednaine poremeenog kretanja u prostoru poremeaja mR , a

trivijalna reenja istih diferencijalnih jednaina:

),1,( 0)( mitxi 0x )(t , (2.1.29)

predstavljaju jednaine neporemeenog kretanja.

Oblik jednaina (2.1.26), odnosno (2.1.27), ima optiji znaaj. Osim kretanja

mehanikih sistema jednainama takvog oblika mogu da budu opisani i drugi

procesi tako da je teorija stabilnosti matematika teorija primenjiva na razne

sisteme (u tehnici, tehnologiji, ekonomiji itd.) koji imaju zajedniki naziv

dinamiki sistemi.

2.1.3. Definicije stabilnosti

U savremenoj literaturi o teoriji stabilnosti, kao osnova, najee se

upotrebljavaju Ljapunovljeve definicije stabilnosti. Ovde e biti navedene samo

neke od njih.

59

Definicija 1.

Neporemeeno kretanje 0x je stabilno ako, za proizvoljno 0 i proizvoljno

ot , postoji 0),(

0 t tako da, za svako poremeeno kretanje )(txx koje

ispunjava uslov )(0

tx , vai )(tx za 0

tt .

Ova definicija vai za sve norme x vektora poremeaja, ekvivalentne u

razmatranom konanodimenzionom prostoru (videti npr. (2.1.13)). Treba

napomenuti da se u literaturi ova definicija stabilnosti moe sresti i u neto

izmenjenom obliku, ali smisao je isti.

Na sl.7 , na primeru sistema sa jednim stepenom slobode, ilustrativana je

geometrijski definicija 1. stabilnosti neporemeenog kretanja .0,0 21 xx

Definicija 2.

Neporemeeno kretanje 0x je asimptotski stabilno ako, za proizvoljno 0

t ,

postoji 0)(0t tako da, za svako poremeeno kretanje )(txx za koje je

)(0

tx , vai 0x

)(lim tt

.

Treba napomenuti da asimptotski stabilni sistemi predstavljaju uu klasu

stabilnih sistema jer su uslovi definicije 2. obuhvaeni uslovima definicije 1.

Na sl.8 ilustrovana je definicija 2. o asimptotskoj stabilnosti neporemeenog

kretanja .0,0 21 xx

2x 2x

1x

sl. 7 sl. 8

Pored ovih definicija postoje i druge koje se odnose na neke ue klase sistema

koje, u ovom kratkom izlaganju, nee biti razmatrane.

Neporemeeno kretanje je nestabilno ako nije stabilno.

60

Navedene definicije su neizmenjene i za sluaj kada se ispituje stabilnost stanja

ravnotee. U tom sluaju, izraz neporemeeno kretanje, treba zameniti izrazom

stanje ravnotee.

2.2. Metode ispitivanja stabilnosti kretanja

Prethodno navedene definicije upuuju na ispitivanje stabilnosti analizom

reenja jednaina poremeenog kretanja, na emu je zasnovan i tzv. prvi

metod. Meutim, poto takav metod uglavnom podrazumeva i prethodno

reavanje diferencijalnih jednaina premeenog kretanja, to najee

predstavlja nepremostive tekoe, njegova primena je ograniena na dosta uske

klase sistema.

Drugi metod ili direktni Ljapunovljev metod zasniva se na analizi jednaina

poremeenog kretanja, bez njihovog prethodnog reavanja, razmatranjem

ponaanja posebno izabrabne funkcije na proizvoljnom poremeenom kretanju.

U ovom tekstu bie izloeni samo osnovni stavovi ovog metoda.

2.2.1 Direktni Ljapunovljev metod

Centralno mesto u ovom metodu ima Ljapunovljeva funkcija );( xtV definisana i

neprekidna na otvorenoj oblasti normiranog m dimenzionog prostora

poremeaja mR , pri emu oblast obuhvata koordinatni poetak O . Posebno se razmatra funkcija pozitivno definitna na oblasti , tj.:

(2.2.1)

Za ispitivanje stabilnosti neporemeenog stanja 0x koristi se ponaanje

izabrane Ljapunovljeve funkcije u okolini neporemeenog stanja (tanije: du

poremeajne trajektorije). Izvod Ljapunovljeve funkcije po vremenu du

poremeajne trajektorije (odnosno, izvod u smislu jednaina (2.1.26) ili (2.1.27))

daje osnovne karakteristike njenog ponaanja. Naime, u tom sluaju je

t

VxtX

x

VV i

i

);( , (2.2.2)

odnosno

t

VVgradV

X, ,

gde je sa oznaen generalisani skalarni proizvod dva vektora1)

.

Teorema 1.Neporemeeno kretanje 0x je stabilno, ako postoji pozitivno

definitna funkcija ),( xtV takva da je njen izvod po vremenu, na poremeenom

1)

Skalarni proizvod vektora a i b je abbaabbaTT,,

0x

0x

xx

,0);(

,0);(

tVtV

61

kretanju (u smislu jednaine )),,( xXx t nepozitivna funkcija

0),( xtV . (2.2.3)

Dokaz.

Ako postoji pozitivno definitna funkcija ),( xtV uvek moe da se nae pozitivno

definitna funkcija )(xW , takva da je

.0),()( , ),,()(0 000xxx tVWtVW (2.2.4)

Ako se u otvorenoj oblasti uoi hiperpersfera

S , poluprenika sa centrom

u koordinatnom poetku, koja ograniava oblast

K :

, : , :

xx KS (2.2.5)

tada na njoj postoji taka x u kojoj funkcija )(xW dostie svoj infimum W

0)()(inf

WWWS

xxx

. (2.2.6)

Nekom utvrenom trenutku 0

t odgovara pozitivno definitna funkcija ),(0

xtV ,

tako da uvek moe da se nae oblast

K

K : ,),( 0 tx (2.2.7)

u kojoj je

WtV ),(0

x . (2.2.8)

Prema tome, za proizvoljno poremeeno kretanje )(tx (reenje jednaine

(2.1.27)) koje u trenutku 0

t zapoinje iz oblasti

K (2.2.7), vai

WtVt ),( ,)(000

xx . (2.2.9)

S obzirom na pretpostavku (2.2.3) pozitivno definitna fznkcija ),( xtV je

opadajua tako da je

000 ),(),( ttWtVtV xx . (2.2.10)

Ovim je pokazano da poremeeno kretanje koje polazi iz oblasti

K ne izlazi iz

62

oblasti

K ime su ispunjeni uslovi dati u definiciji 1. o stabilnosti

neporemeenog kretanja. Time je teorema 1. dokazana.

Teorema 2.

Neporemeeno kretanje 0x je asimptotski stabilno ako postoji pozitivno

definitna funkcija ),( xtV sa beskonano malom granicom kad 0x , takva da

je njen izvod po vremenu, u smislu jednaina poremeenog kretanja, negativno

definitna funkcija.

Dokaz.

Uslovi ove teoreme sadrani su u uslovima teoreme 1. tako da je neporemeeno

kretanje 0x stabilno. Da bi bilo i asimptotski stabilno, prema definiciji 2. o

asimptotskoj stabilnosti, ostaje da se dokae da je, ako postoji ,0

zadovoljeno

0xx

)(lim ,)(t

0tt . (2.2.11)

S obzirom na pretpostavku o negativnoj definitnosti funkcije ))(,( ttV x

0x

0x ,0),(

,0),(

tVtV

, (2.2.12)

pozitivno definitna funkcija ))(,( ttV x je monotono opadajua. Pored toga, poto

funkcija V ima beskonanu malu granicu kad 0x , moe da se pokae (ovde

e dokaz biti izostavljen) da je, za proizvoljno )(0

tx ,

0))(,(lim

ttVt

x , (2.2.13)

odakle, zbog definitnosti funkcije, sledi

0x

)(lim tt

(2.2.14)

Ovim bi teorema o asimptotskoj stabilnosti neporemeenog kretanja 0x )(t

bila dokazana.

U dosadanjem izlaganju razmatrana je skalarna Ljapunovljeva funkcija opteg

tipa. U nekim sluajevima ispitivanja stabilnosti ravnotee ili neporemeenog

kretanja, kada su odgovarajue diferencijalne jednaine poremeenog kretanja

autonomne (vreme t ne figurie eksplicitno), Ljapunovljeve funkcije ne zavise

eksplicitno od vremena. Meutim, i u ovom sluaju navedene teoreme ostaju

neizmenjene i nije ih potrebno posebno formulisati. Dovoljno je samo umesto

funkcije ),( xtV razmatrati funkciju ).(xV

63

Treba istai da se u navedenim teoremama dokazuje samo dovoljnost njihovih

uslova.Pored navedenih teorema postoje i druge koje se odnose na ispitivanje

stabilnosti i nestabilnosti neporemeenog kretanja, koje u ovom, inae skuenom

tekstu, nee biti razmatrane.

Direktni Ljapunovljev metod kojim se ispituje stabilnost neporemeenog

kretanja, kao osnovni problem, ima odreivanje Ljapunovljeve funkcije. Iako se

dobar deo istraivanja odnosi na pitanje egzistencije Ljapunovljeve funkcije ne

postoji neki opti metod koji bi upuivao na njihovo nalaenje zbog ega se

prilikom reavanje ovog problema panja posveuje posebnim sluajevima.

2.3. Stabilnost ravnotee mehanikog sistema

2.3.1. Poloaj ravnotee. Stanje ravnotee.

U konfiguracionom prostoru poloaj mehanikog sistema je odreen

generalisanim koordinatama q ( n,...,1 ), gde je n broj stepena slobode

sistema. Poloaj ravnotee je takav poloaj u kome e sistem mirovati (biti u

stanju ravnotee) sve vreme, ako se u njemu nalazio u nekom trenutku 0

t i ako su

tada sve njegove brzine bile jednake nuli. Ako je sistem izloen delovanju

generalisanih sila nn qqqqQ ,...,;,..., 11

),,1( n , uslovi ravnotee mehanikog sistema su:

00,...,0;,...,1 nqqQ

( n,...,1 ). (2.3.1)

Sve koordinate qq koje zadovoljavaju ovaj sistem jednaina odreuju

mogue poloaje ravnotee mehanikog sistema u konfiguracionom prostoru.

Prema tome, ako u konfiguracionom prostoru postoji poloaj ravnotee sistema,

odreen koordinatama ,q stanje ravnotee sistema je odreeno jednainama:

),,1( ,0,0

nttqqq . (2.3.2)

Jednaine (2.3.1) predstavljaju statike uslove ravnotee i na osnovu njih ne mogu da se donesu nikakvi zakljuci o stabilnosti poloaja ravnotee. Kao ilustracija, moe da poslui jednostavan primer ravnotee kugle

teine G

. Na sl.9 prikazana su tri sluaja ravnotenog poloaja kugle

na vezi. Veze su: a) unutranja povr sfere, b) spoljanja povr sfere, c) horizontalna ravan.

a) b) c)

G

N

N

N

64

sl. 9

Iako u sva tri sluaja statiki uslovi ravnotee imaju identian oblik

0 NG

,

oni se sutinski razlikuju. U sluajevima a) i b) ravnoteni poloaji su izolovani,

a u sluaju c) postoji mnogostrukost poloaja ravnotee (u svakoj taki

horizontalne ravni kugla moe da ima ravnoteni poloaj). Ako se, u sluaju a)

kugli saopti neki proizvoljno mali poremeaj ona e se kretati u okolini

poloaja ravnotee, tako da se, saglasno Ljapunovljevoj definiciji stabilnosti, taj

poloaj ravnotee moe smatrati stabilnim. U sluaju b) praktino je nemogue

kuglu postaviti u ravnoteni poloaj, a ako bi to bilo i mogue pri najmanjem

poremeaju kugla e se po sferi udaljavati od ravnotenog poloaja tako da je taj

poloaj nestabilan. Za sluaj c), praktino je mogue realizovati ravnoteni

poloaj kugle u svakoj taki na povri, ali takva ravnotea nije stabilna. Na

primer, ako se u stanju ravnotee sreditu kugle saopti neka proizvoljno mala

konana brzina ona e se, ne menjajui smer kretanja, stalno udaljavati od

ravnotenog poloaja.

Ovom jednostavnom ilustracijom pokazuje se da se, o stabilnosti poloaja

ravnotee, moe zakljuivati samo na osnovu ponaanja sistema u njegovoj

okolini.

Ako se zbog jednostavnosti, ne ugroavajui optost, poetak koordinatnog

sistema generalisanih koordinata postavi u ravnoteni poloaj ( 0q )

jednaine (2.3.2) stanja ravnotee dobijaju oblik:

),,1( ,0,00

nttqq . (2.3.3)

Remeenjem stanja ravnotee sistem se dovodi u stanje kretanja, odreenog

promenljivim veliinama-poremeajima: ).(),( tqtq jj Ponaanje sistema u

poremeenom stanju zavisi od toga da li je poloaj ravnotee stabilan ili ne, pa je

prirodno da se o stabilnosti poloaja ravnotee sistema sudi na osnovu njegovog

poremeenog stanja. U tom smislu, Ljapunovljeve definicije stabilnosti kretanja

(odeljak 2.1.3) mogu da se koriste i kao definicije stabilnosti stanja ravnotee.

Poloaj ravnotee, u kome je stanje ravnotee sistema stabilno, naziva se poloaj

stabilne ravnotee.

Uvoenjem Hamiltonovih promenljivih

pq , , stanje ravnotee (2.3.3)

skleronomnog sistema moe da se ekvivalentno izrazi u obliku:

),1,( ,0 ,00

nttpq

. (2.3.4)

Ako se poremeti stanje ravnotee, sistem se dovodi u stanje kretanja opisano jednainama:

65

),,1,( ~

, nQq

Hp

p

Hq

(2.3.5)

gde su: ),( pqH Hamiltonova funkcija skleronomnog sistema, a ),(~

pqQ

generalisane nekonzervativne sile. Poto su, u ovom sluaju, promenljive

pq , poremeaji, diferencijalne jednaine (2.3.5) predstavljaju jednaine

poremeenog kretanja sistema u odnosu na stanje ravnotee

0)(,0)( tptq

.

U optem sluaju, u stanju ravnotee skleronomnog mehanikog sistema ispunjeni su potrebni uslovi:

).,1,( 0~

0 nQq

Q

(2.3.6)

2.3.2. Stabilnost ravnotee konzervativnog mehanikog sistema. Lagranova

(Leen Dirihleova) teorema.

Konzervativni mehaniki sistem je skleronoman i izloen iskljuivo delovanju

konzervativnih sila (potencijalne sile ija potencijalna energija ne zavisi

eksplicitno od vremena). U tom sluaju, potrebni uslovi ravnotee (2.3.6), zbog

odsustva nekonzervativnih sila, dobijaju oblik:

),,,1( 0 nq

(2.3.7)

pa se ispitivanje stabilnosti ravnotee svodi na razmatranje potencijalne enegije

mehanikog sistema. Ako su poznate koordinate poloaja ravnotee, one

zadovoljavaju jednaine (2.3.7). U protivnom, ako poloaj ravnotee nije poznat,

reavanjem algebarskih jednaina (2.3.7), dobijena realna reenja odreuju

koordinate moguih poloaja ravnotee, iju stabilnost treba ispitati.

Uslovi ravnotee (2.3.7) konzervativnog sistema istovremeno predstavljaju

potrebne uslove ekstremuma potencijalne energije. Da bi poloaj ravnotee bio

izolovan uslovi (2.3.7) treba da predstavljaju potrebne uslove izolovanog

ekstremuma, usled ega potencijalna energija treba da zavisi od svih nezavisnih

koordinata q , tj.

,),,( 1 Cqqf n (2.3.8)

gde je C proizvoljna aditivna konstanta. Ako je poznat poloaj ravnotee

koordinatni sistem moe da se izabere tako da se njegov koordinatni poetak

),1,( 0 nq postavi u poloaj ravnotee. Za proizvoljnu konstantu C pogodno je izabrati takvu vrednost, da je potencijalna energija u poloaju

ravnotee jednaka nuli, tj.

66

)0,,0(0)0,,0( fC . (2.3.9)

Prema tome, generalisane koordinate q predstavljaju odstupanja sistema od

poloaja ravnotee, a potencijalna energija funkciju generalisanih koordinata

),,( 1 nqq (2.3.10)

koja u poloaju ravnotee ima ekstremum jednak nuli.

Jedan od prvih poznatih kriterijuma stabilnosti poloaja ravnotee predstavlja

Torielijev1)

princip, prema kome e poloaj ravnotee sistema tela u polju tee

biti stabilan ako u njemu teite tog sistema zauzima najnii mogui poloaj.

Lagran je ovaj princip uoptio za sluaj proizvoljnih potencijalnih sila i u svom

delu Analitika mehanika (1788) formulisao teoremu koja predstavlja kriterijum

stabilnosti poloaja ravnotee konzervativnog sistema. Meutim, strogi dokaz

ove teoreme prvi je dao Leen Dirihle2)

, tako da se ova teorema u literaturi javlja

pod razliitim nazivima (najee: Lagranova teorema, Leen Dirihleova

teorema, Lagran-Dirihleova teorema).

Lagranova (Leen Dirihleova) teorema.

Poloaj ravnotee konzervativnog sistema u kome potencijalna energija ima

izolovani minimum, predstavlja poloaj stabilne ravnotee sistema.

Dokaz.

Bez razmatranja naina na koji je Leen Dirihle dokazao ovu teoremu, ovde e

biti iskoriena Ljapunovljeva teorema 1. (videti odeljak (2.2.1)) primenjena na

stabilnost ravnotenog stanja.

Hamiltonova funkcija skleronomnog sistema predstavlja ukupnu mehaniku

energiju

).,,(2

1 1 nqqppaTH

(2.3.11)

Kada je sistem u stanju ravnotee )0,0(

pq , kinetika energija a, s

obzirom na (2.3.9), i potencijalna energija jednake su nuli, usled ega je i

Hamiltonova funkcija u stanju ravnotee takoe jednaka nuli, tj.

)0,,0;0,,0( H 0. (2.3.12)

Kada se poremeti stanje ravnotee i sistem dovede u stanje kretanja, u okolini

poloaja ravnotee kinetika energija ima pozitivnu vrednost. Potencijalna

energija takoe ima pozitivnu vrednost, jer u poloaju ravnotee ima vrednost

jednaku nuli koja, prema pretpostavci u teoremi, predstavlja izolovani minimum.

1)

Torricelli Evangelista, 1608-1647 2)

Dirichlet, Peter Gustav Lejeune, 1805-1859

67

Prema tome, ako se, u faznom prostoru na oblasti koja obuhvata koordinatni

poetak (stanje ravnotee), Ljapunovljeva funkcija izabere u obliku Hamiltonove

funkcije (2.3.11)

),,,(2

1 1 nqqppaV

(2.3.13)

ona predstavlja pozitivno definitnu funkciju,tj.:

0,0

0,0

,0

,0

pq

pq

VV . (2.3.14)

Jednaine poremeenog kretanja konzervativnog sistema su:

p

Hq

,

q

Hp

),,1( n (2.3.15)

i vai zakon konzervacije mehanike energije .0 hH Prema tome izvod po

vremenu pozitivno definitne Ljapunovljeve funkcije (2.3.13) na poremeenom

kretanju (u smislu jednaina (2.3.15)) je

0V , (2.3.16)

to predstavlja nepozitivnu funkciju, ime su ispunjeni uslovi Ljapunovljeve

teoreme 1. o stabilnosti stanja ravnotee. Prema tome razmatrani poloaj

ravnotee je stabilan. Lagranova (Leen Dirihleova) teorema je dokazana.

Ova teorema daje samo dovoljan uslov stabilnosti ravnotee konzervativnog

sistema jer ne daje mogunost da se sudi o tome, da li je ravnotea stabilna ili

nestabilna ako potencijalna energija nema minimum u poloaju ravnotee.

Meutim postoje teoreme (teoreme o nestabilnosti), koje ovde nisu navedene, a

koje daju odgovor i na to pitanje i obezbeuju da se Leen Dirihleova teorema

koristi kao kriterijum stabilnosti ravnotee konzervativnog sistema. Za primenu

Leen Dirihleove teoreme je bitno da potencijalna energija predstavlja analitiku

funkciju i da zavisi od svih generalisanih koordinata sistema.

Prema tome, ispitivanje stabilnosti ravnotee sistema, svodi se na ispitivanje

minimuma potencijalne energije.

Jednaine (2.3.7) predstavljaju potrebne uslove ekstremuma potencijalne

energije. O karakteru tog ekstremuma moe da se sudi na osnovu izvoda vieg

reda. Razvijanjem potencijalne energije u okolini poloaja ravnotee 0q u

Tejlorov (Maklorenov) red dobija se

qq

qqq

qqq n

0

2

0

1

2

1)0,,0(),,( , (2.3.17)

68

gde je sa 0

oznaeno da je vrednost izraza u zagradi izraunata u poloaju

ravnotee. Pored toga, primenjena je konvencija o sabiranju po istim indeksima.

Poto su, u poloaju ravnotee:

0 ,0)0,,0(0

q , (2.3.18)

potencijalna energija razvijena je u red (2.3.17) koji poinje sa lanovima drugog reda. U dovoljno maloj okolini poloaja ravnotee, o ponaanju potencijalne energije moe da se sudi na osnovu ponaanja lanova drugog reda u (2.3.17), odnosno moe da se uzme da je

).,,1,( :su gde ,2

1

0

2

nqq

cqqc

(2.3.19)

Prema tome, ponaanje potencijalne energije u okolini poloaja ravnotee,

odgovara ponaanju homogene kvadratne forme sa konstantnim koeficijentima

c . Ako potencijalna energija ima minimum u poloaju ravnotee i njena

aproksimacija (2.3.19) ima minimum u istom poloaju. Drugim reima, ako je

poloaj ravnotee stabilan kvadratna forma (2.3.19) je pozitivno definitna.

Prema poznatoj Silvesterovoj1)

teoremi, ova forma je pozitivno definitna, ako

njeni koeficijenti predstavljaju elemente matrice

cC , (2.3.20)

iji su glavni dijagonalni minori pozitivni, tj.:

.0 , ,0 ,0

21

22221

11211

2221

1211

2111

nnnn

n

n

n

ccc

ccc

ccc

cc

ccc

(2.3.21)

Ukoliko ovi uslovi nisu ispunjeni kvadratna forma nije pozitivno definitna, pa ni

poloaj ravnotee nije stabilan. Meutim, u nekim sluajevima, moe da se desi

da, pri razvoju potencijalne energije u red, ne postoje lanovi drugog reda

).0(

c Tada minimum potencijalne energije moe da postoji samo ako red

(2.3.17) poinje formom parnog reda, pa ispitivanje definitnosti te forme

predstavlja ispitivanje stabilnosti poloaja ravnotee.

2.3.3. Uticaj giroskopskih i disipativnih sila na stabilnost poloaja ravnotee

1)

Sylvester, James Joseph, 1814-1897.

69

Ako je stanje ravnotee konzervativnog mehanikog sistema 0,0 qq ili,

u Hamiltonovim promenljivim, 0,0

pq , ono se nee promeniti ako je

sistem, pored datih konzervativnih sila, izloen i delovanju giroskopskih sila:

),(

qQ ili )(

apQ , (2.3.22)

jer se one javljaju samo pri kretanju sistema. Postavlja se pitanje kako one utiu

na stabilnost stanja ravnotee. Hamiltonove jednaine poremeenog kretanja, u

tom sluaju, imaju oblik:

),1,( , nQq

Hp

p

Hq

. (2.3.23)

Ako se izabere Ljapunovljeva funkcija u obliku (2.3.13), njen izvod po vremenu

du trajektorije poremeenog kretanja (u smislu jednaina (2.3.23)) predstavlja

izvod ukupne mehanike energije (Hamiltonove funkcije) tako da je

,0 PV (2.3.24)

gde je P snaga giroskopskih sila. Prema tome, giroskopske sile ne remete

stabilnost stanja ravnotee.

Ako, osim konzervativnih sila, na sistem deluju disipativne sile WQ

, koje se

javljaju samo pri kretanju sistema, poloaj ravnotee se ne menja a jednaine

poremeenog kretanja imaju oblik:

).,1,( , nQq

Hp

p

Hq W

(2.3.25)

Ako se Ljapunovljeva funkcija opet izabere u obliku (2.3.13), njen izvod po vremenu u smislu jednaina (2.3.25) je

0 WPV , (2.3.26)

gde je WP snaga disipativnih sila. Prema tome, disipativne sile ne naruavaju

stabilnost poloaja ravnotee. Moglo bi se rei da je pojaavaju. U sluaju

kad je du poremeene putanje u okolini poloaja ravnotee 0WP , stabilni

poloaj ravnotee postaje i asimptotski stabilan.

2.4. Stabilnost kretanja mehanikog sistema

U odeljku 2.1. pokazano je kako se poremeeno kretanje mehanikog sistema

opisuje diferencijalnim jednainama (2.1.26) ili (2.1.27) u prostoru poremeaja,

pri emu trivijalno reenje 0x )(t predstavlja neporemeeno kretanje. Prema

tome, ispitivanje stabilnosti neporemeenog kretanja svodi se na ispitivanje

stabilnosti nultog reenja jednaina:

70

),,;( 1 mii xxtXx ),,1( mi ili ),( xXx t . (2.4.1)

U prethodnom izlaganju razmatrana je stabilnost stanja ravnotee

konzervativnog mehanikog sistema ije jednaine poremeenog kretanja

pripadaju optoj klasi jednaina (2.4.1). Metod, koji je pri tome korien, moe

da se na istovetan nain primeni i na ispitivanje stabilnosti nekih stacionarnih

kretanja. Meutim, ispitivanje stabilnosti nekih optijih kretanja veoma je

sloeno, tako da e u ovom kratkom izlaganju panja biti posveena nekim

jednostavnijim sluajevima.

2.4.1. Stabilnost linearnih sistema.

Pojam linearni sistem koristi se u literaturi za sisteme iji su procesi opisani

linearnim jednainama. Tako i mehaniki sistemi ije kretanje opisuju

diferencijalne jednaine linearne po koordinatama i brzinama pripadaju klasi

linearnih sistema. Tako, ako je neporemeeno kretanje holonomnog mehanikog

sistema u konfiguracionom prostoru opisano Lagranovim jednainama druge

vrste:

Q

qq

T

q

T

dt

d ~

),,1( n , (2.4.2)

ili, u faznom prostoru, Hamiltonovim jednainama:

),1,( ~

, nQq

Hp

p

Hq

, (2.4.3)

da bi te jednaine bile linearne, kinetika energija T i potencijalna energija moraju da budu kvadratne forme generalisanih brzina i

generalisanih koordinata, a nekonzervativne sile

Q~

linearne forme tih

veliina. Pri tome, koeficijenti tih formi mogu da budu samo funkcije vremena i tada su linearne diferencijalne jednaine neautonomne. Ako se ograniimo na skleronomne sisteme sa stacionarnim potencijalom i na

nekonzervativne generalisane sile koje ne zavise eksplicitno od vremena, svi

koeficijenti ovih formi:

dqdqbQcqcqqcqqaT ~

,2

1 ,

2

10 , (2.4.4)

su konstantni, a odgovarajue diferencijalne jednaine su autonomne. U tom

sluaju, kovarijantne jednaine neporemeenog kretanja (2.4.2) su:

),,,1( ncqbqcqa

(2.4.5)

71

gde su: cdccdc , . Mnoenjem metrikim tenzorom a

ove diferencijalne jednaine neporemeenog kretanja dobijaju kontravarijantni

oblik:

cqbqcq ) , ,(

cacbabcac . (2.4.6)

Za date poetne uslove iz ovih jednaina dobijaju se konane jednaine

neporemeenog kretanja. Ako se uvede u razmatranje poremeeno stanje qq , , diferencijalne jednaine poremeenog kretanja su:

cqbqcq . (2.4.7)

Jednostavnim oduzimanjem jednaina (2.4.6) od jednaina (2.4.7) i uvoenjem poremeaja (videti odeljak 2.1.2):

qqqq , , (2.4.8)

dobijaju se jednaine:

),,1,( , nbc

, (2.4.9)

koje predstavljaju diferencijalne jednaine poremeenog kretanja u prostoru

poremeaja. Trivijalno reenje ovih jednaina 0)(,0)( tt su jednaine

neporemeenog kretanja u prostoru poremeaja. Moe da se primeti da su ove

jednaine autonomne, linearne i, za razliku od jednaina (2.4.6) i (2.4.7),

homogene. Usled toga, zahtev za autonomnou jednaina (2.4.6) moe da bude

manje strog. Naime, jednaine (2.4.9) e biti autonomne i kad su u izrazima

(2.4.4) koeficijenti dcc i , 0 neke proizvoljne funkcije vremena. Oni ne

figuriu u jednainama (2.4.9). Prema tome, stabilnost neporemeenog kretanja

u n dimenzionom konfiguracionopm prostoru, opisanog linearnim

jednainama (2.4.6), razmatra se kao stabilnost trivijalnog reenja linearnih

homogenih jednaina (2.4.9) sa konstantnim koeficijentima u n2 dimenzionom

prostoru poremeaja.

Ako se, kao i u prethodnim sluajevima, uvedu oznake:

),2,,1,)(,1,,(

),( , ),,(

),( , ),,( ,

,0 ,

,

,

nmjin

njnibjni

njiji

ck

ni

ix ij

i

(2.4.10)

jednaine (2.4.9) mogu da se piu kao:

),2,,1,( nmjixkx jiji (2.4.11)

72

odnosno, u vektorskom obliku

Kxx , (2.4.12)

gde su:

bc

0 , Kx . (2.4.13)

(Sa

oznaen je Kronekerov simbol)

Partikularna reenja linearnih diferencijalnih jednaina (2.4.11), odnosno

(2.4.12), trae se u obliku:

ttii emieux ux ),,1( , (2.4.14)

gde su iu proizvoljne konstante, elementi m dimenzionog vektora u . Od

vrednosti skalara zavisi oblik partikularnog reenja koje, u ovom sluaju,

karakterie ponaanje sistema u poremeenom stanju. Kada se ovo partikularno

reenje uvrsti u jednaine (2.4.11) odnosno (2.4.12) dobija se:

0uIK )( 0)( jiji

j uk , (2.4.15)

gde je sa I oznaena jedinina matrica.

Jednaine (2.4.15) ine sistem od nm 2 linearnih homogenih algebarskih

jednaina za odreivanje nepoznatih konstanti iu . Da bi postojalo netrivijalno

reenje ))(( 0x0u t potrebno je da je

0 0det IK ijijk . (2.4.16)

Ovo je karakteristina jednaina diferencijalnih jednaina poremeenog kretanja

(2.4.11) ili (2.4.12).Reenja karakteristine jednaine su karakteristini

brojevi (karakteristini koreni). Leva strana jednaine (2.4.16) je polinom

m tog stepena po

01

2

2

1

10

mm

mmm AAAAA . (2.4.17)

Iz ove jednaine dobija se m karakteristinih korena ),,1( mkk

koji, s obzirom na (2.4.16), predstavljaju sopstvene vrednosti matrice K . Svakoj

vrednosti k odgovara po jedan sopstveni vektor )(ku , odnosno po jedno

partikularno reenje oblika (2.4.14):

),,1( )()(

mket

kkk ux . (2.4.18)

73

Ovde treba napomenuti da su svi sopstveni vektori )(ku meusobno nezavisni1)

.

Opte reenje diferencijalnih jednaina je linearna kombinacija partikularnih

reenja, tj:

,)(

11

)(

t

k

m

k

k

m

k

kkkeCC

uxx

(2.4.19)

gde su k

C proizvoljne konstante koje mogu da se odreuju na osnovu poetnih

uslova. Naime, ako se uzme da je: 000

)( ,0 xx tt , dobija se:

.1

0)(

m

k

kkC xu (2.4.20)

U teoriji linearnih jednaina dokazuje se da, ako meu karakteristinim

korenima k ima jednakih, opte reenje (2.4.19) ima sloeniji oblik. Naime,

tada se umesto konstantnih sopstvenih vektora )(ku javljaju vektorski polinomi

po vremenu: tt ko

kk )()()( )( uuu , tako da opte reenje ima oblik

.)(1

)(

tm

k

kkketC

ux (2.4.21)

S obzirom da su, u optem sluaju, karakteristini koreni kompleksni brojevi:

),,1( mkikkk

, (2.4.22)

moe da se pie

.)sin)(cos(1

)(

m

k

kkk

t

ktitteC k

ux (2.4.23)

Ovaj oblik reenja omoguava da se na osnovu vrednosti karakteristinih korena

ispita stabilnost neporemeenog kretanja 0x )(t i donesu sledei zakljuci:

1. Ako su realni delovi svih karakteristinih korena nepozitivni 0(Re k

) k neporemeeno kretanje je:

- stabilno, ako karakteristinim korenima sa nultim realnim delom

odgovaraju konstantni sopstveni vektori;

- nestabilno, ako karakteristinim korenima sa nultim realnim delom

odgovaraju promenljivi sopstveni vektori.

1)

Dokaz o nezavisnosti sopstvenih vektora moe se nai u bilo kojem kursu matrinog

rauna.

74

2. Ako svi karakteristini koreni imaju negativne realne delove 0(Re k

) k neporemeeno kretanje je asimptotski stabilno.

3. Ako makar jedan karakteristini koren ima pozitivan realan deo

) 0(Re kk

neporemeeno kretenje je nestabilno.

Neposredna primena ovih zakljuaka zahtevala bi odreivanje karakteristinih korena reavanjem karakteristine jednaine to predstavlja poseban problem kod polinomskih jednaina vieg stepena. Meutim, iz prethodnog razmatranja se vidi da je, za ispitivanje stabilnosti, neophodan samo znak realnog dela karakteristinog korena, pa se za tu svrhu koriste razne metode koje ne zahtevaju izraunavanje karakteristinih brojeva. Ovde e biti korien metod zasnovan na kriterijumu koji su ustanovio Raut (Routh E.J.) 1875. god., a zatim, nezavisno od njega i u vidno izmenjenom obliku, Hurvic (Hurwitz A.) 1895.god. Metod se zasniva na ispitivanju tzv. Hurvicove matrice, formirane od koeficijenata polinoma karakteristine jednaine (2.4.17) na sledei nain

mA

AAA

AAA

AA

000

0

0

00

345

123

01

H , (2.4.24)

pri emu je 00A . Za ispitivanje znaka realnog dela karakteristnih korena

koriste se glavni dijagonalni minori (Hurvicove determinante):

. , ,

0

, ,

345

123

01

3

23

01

211H

m

AAA

AAA

AA

AA

AAA (2.4.25)

Hurvicova teorema.

Da bi koreni jednaine (2.4.17) imali negativne realne delove potrebno je i

dovoljno da su ispunjeni uslovi:

0 , ,0 ,021

m

. (2.4.26)

75

Ova teorema1)

ovde nee biti dokazivana. Poto uslovi (2.4.26) predstavljaju

kriterijum za ocenu negativnosti realnih delova karakteristinih korena, s

obzirom na prethodno donesene zakljuke, Hurvicova teorema predstavlja

kriterijum asimptotske stabilnosti neporemeenog kretanja linearnog

sistema.

Ako je bar jedna od Hurvicovih determinanti negativna, neporemeeno

kretanje je nestabilno.

U sluaju da su jedna ili vie Hurvicovih determinanti jednake nuli

neporemeeno kretanje moe biti stabilno ali ne i asimptotski. Stabilnost ili

nestabilnost, u ovom sluaju, dodatno se ispituje.

Kada je razmatrani sistem determinisan, odnosno kada su koeficijenti

karakteristinog polinoma brojne vrednosti, Hurvicove determinante se

jednostavno izraunavaju. Meutim, kada koeficijenti karakteristinog polinoma

sadre neodreene parametre, nejednakosti (2.4.26) mogu da budu veoma

glomazne, naroito kod sistema sa veim brojem stepena slobode n kada karakteristini polinom ima stepen nm 2 . U tom sluaju, uslovi (2.4.26) mogu

da se zamene donekle jednostavnijim uslovima. Naime, kao jedna od posledica

uslova (2.4.26), dobija se da, za ,00A i svi ostali koeficijenti karakteristinog

polinoma imaju pozitivnu vrednost:

),1,2,( 0 mkAk

. (2.4.27)

Iako ovih uslova ima m , oni su potrebni ali ne i dovoljni. Njima treba dodati i

uslove:

,0 ,031

mm (2.4.28)

Uslovi (2.4.27) i (2.4.28) u potpunosti zamenjuju Hurvicove uslove (2.4.26).

Jednostavniji su u tom smislu to je za njihovo korienje potrebno izraunati

tek svaku drugu Hurvicovu determinantu. Poznati su pod nazivom Lienar-

iparovi (Lienard, Chipart) uslovi.

Osvrnimo se ukratko na egzistenciju Ljapunovljeve funkcije za linearne sisteme.

Neka je dat linearni sistem sa konstantnim koeficijentima:

Kxx jij

i xkx (2.4.29)

i neka je postavljen zadatak da se odredi kvadratna forma

CxxT VxxcV ji

ij (2.4.30)

1)

U literaturi se esto sree pod nazivom Raut-Hurvicov kriterijum, Raut-Hurvicovi

uslovi i sl......

76

iji je izvod po vremenu u smislu jednaina (2.4.29) jednak nekoj zadatoj

kvadratnoj formi

, TBxx WxxbW jiij (2.4.31)

gde je data matrica B konstantna i simetrina. Treba odrediti konstantnu i

simetrinu matricu C tako da je

. 0)( )( TTTTT xBCKCKxBxxxCKCKxWV (2.4.32)

Odavde je, za svako x ,

BCKCK T . (2.4.32)

Pokazuje se da matrica C predstavlja jedinstveno reenje ove matrine

jednaine ako i samo ako su karakteristini brojevi matrice K takvi da je

0 ji , (2.4.33)

za sve vrednosti ji i

1). Prema tome, ako svi karakteristini brojevi matrice K

imaju negativne realne delove, uslovi (2.4.33) su ispunjeni, tako da postoji samo

jedna kvadratna forma (2.4.30) iji je izvod u smislu jednaina (2.4.29) jednak

zadatoj formi (2.4.31). Ako se forma (2.4.31) zada kao negativno definitna,

traena forma (2.4.30) je pozitivno definitna ime su ispunjeni uslovi

Ljapunovljeve teoreme o asimptotskoj stabilnosti.

2.4.2. O ispitivanju stabilnosti nelinearnih sistema pomou linearne

aproksimacije. U prethodnom razmatranju ustanovljen je algoritam za ispitivanje stabilnosti

linearnih sistema, zasnovan uglavnom na Raut-Hurvicovim uslovima. Ukazano

je i na uslove egzistencije Ljapunovljeve funkcije za linearne sisteme. Ispitivanje

stabilnosti neporemeenog kretanja nelinearnih sistema je veoma sloeno i bez

opteg kriterijuma egzistencije Ljapunovljeve funkcije. Ovde e biti razmatrano

pitanje da li, u bilo kojoj meri, metod ispitivanja stabilnosti linearnih sistema

moe da poslui za formiranje metoda ispitivanja stabilnosti nelinearnih sistema.

Neka su jednainame poremeenog kretanja:

),( ),,1( ),,;( 1 xXx tmixxtXx mii , (2.4.34)

1)

Dokaz ovog stava moe se nai u knjizi Bellman R., Inttroduction tu Matrix Analysis,

1960.

77

gde su ),,;( 1 mi xxtX nelinearne funkcije poremeaja ix i neka su

0)0,,0;( tX i , odnosno 00X ),(t , tako da je neporemeeno kretanje

0x )(t trivijalno reenje. Neka su desne strane jednaina (2.4.34) analitine

funkcije tako da mogu da se razviju u Maklorenov red i predstave u obliku:

),()(),( ),,1( );()();( xfxKxX tttmixtfxtkxtX ijiji ,

(2.4.35)

gde su );( xtf i odnosno ),( xf t nelinearni lanovi. U daljem razmatranju

ograniiemo se na sisteme kod kojih je matrica K konstantna. U tom sluaju jednaine (2.4.34) mogu da se predstave u sledeem obliku:

),( ),,1( );( xfKxx tmixtfxkx ijiji . (2.4.36)

Jednaine:

Kxx ),,1( mixkx jiji , (2.4.37)

predstavljaju linearnu aproksimaciju jednaina (2.4.34) za one sisteme u kojima su, pri razvoju u red, koeficijenti uz linearne lanove konstantni. Dokaimo sledeu teoremu.

Teorema 1.

Ako je linearni sistem (2.4.37) asimptotski stabilan i ako je

,0),(

lim x

xf

0x

t (2.4.38)

neporemeeno kretanje 0x )(t nelinearnog sistema (2.4.36) je asimptotski

stabilno.

Dokaz

Neka su u izrazu (2.4.38) sa ),( i xfx t oznaene Euklidske norme,tj:

21

2

1

T

1

2)( xxx

m

i

ix

Poto je, prema uslovima teoreme, linearni sistem (2.4.37) asimptotski stabilan,

svi karakteristini brojevi matrice K imaju realne negativne korene. Na kraju

prethodnog odeljka pokazano je da moe da se odredi pozitivno definitna

kvadratna forma CxxTV iji je izvod po vremenu, u smislu jednaina (2.4.37),

jednak datoj negativno definitnoj kvadratnoj formi W. Neka je

78

2Txxx W , (2.4.39)

tada je

2x

LV , (2.4.40)

gde je sa L

V oznaeno da je izvod po vremenu raunat u smislu linearnih jednaina (2.4.37). S obzirom na (2.4.32), matrica C je reenje matrine

jednaine

ICKCK T , (2.4.41)

gde je I jedinina matrica. Ako se potrai izvod po vremenu, tako odreene,

pozitivno definitne funkcije V u smislu jednaina (2.4.36) dobie se

),(2),()grad( T2T

xCfxxxf ttVVVL

. (2.4.42)

Odavde se vidi da je

(2.4.43)

a s obzirom na uslov (2.4.38), za 0 postoji 0h , tako da, hx za , vai

nejednakost

,),( xxf t ,

usled ega iz (2.4.42) sledi da je

0222 xCx V . (2.4.44)

Prema tome, s obzirom na (2.4.43) i (2.4.44) izvod pozitivno definitne funkcije

V u smislu jednaina (2.4.36) je negativno definitna funkcija, ime su

zadovoljeni uslovi Ljapunovljeve teoreme o asimptotskoj stabilnosti

razmatranog nelinearnog sistema. Teorema je dokazana.

Navedimo, bez dokaza, sledeu teoremu.

Teorema 2.

Akou sistemu (2.4.37) postoji bar jedan karakteristini broj matrice K sa pozitivnim realnim delom i ako je

,0),(

lim x

xf

0x

t (2.4.45)

,0)0,( tV

79

neporemeeno kretanje 0x )(t nelinearnog sistema (2.4.36) je nestabilno.

Napomenimo da, ako )(xf ne zavisi eksplicitno od vremena, uslov (2.4.45) u

teoremama 1. i 2. je trivijalno zadovoljen u nekoj dovoljno maloj okolini

koordinatnog poetka.

Svi sluajevi ija se stabilnost razmatra metodom linearne aproksimacije mogu

da se podele na dve grupe: kritine i nekritine. Sluajevi ija stabilnost ili

nestabilnost moe da se ustanovi primenom teorema 1. ili 2. spadaju u

nekritine. Sluajevi kod kojih nisu ispunjeni uslovi teorema 1. i 2. spadaju u

kritine i za ispitivanje stabilnosti moraju da se uzmu u obzir i nelinearni

lanovi.